AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની બહિરવૃત્ત ત્રિજ્યાઓ માટેનું સૂત્ર: $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,જ્યાં $\Delta$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
આપેલ સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = 84$ મેળવી શકીએ છીએ.

(C) આપેલ છે કે $A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$a = 2(\sqrt{3}+1)$,$\sin 75^{\circ} = \sin(45^{\circ}+30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{2(\sqrt{3}+1)}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}} = 4\sqrt{2}$.
આમ,$b = 4\sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 4\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4$.
$c = 4\sqrt{2} \sin 60^{\circ} = 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \times 2(\sqrt{3}+1) \times 4 \times \sin 60^{\circ} = 4(\sqrt{3}+1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2(3+\sqrt{3}) = 6+2\sqrt{3}$.

(D) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
કિંમતો મૂકતા: $a^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(2)(\sqrt{3}) \cos 30^{\circ} = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 - 6 = 1$.
તેથી,$a = 1$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} (2)(\sqrt{3}) \sin 30^{\circ} = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1+2+\sqrt{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{3}}{2}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{3}/2}{(3+\sqrt{3})/2} = \frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $r = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{3}-3}{9-3} = \frac{3(\sqrt{3}-1)}{6} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$.
આપેલ છે $r_1=8, r_2=12, r_3=24$,તેથી $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$r=4$.
વળી,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a} \implies 8 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b} \implies 12 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c} \implies 24 = \frac{\Delta}{s-c}$.
$\Delta = rs = 4s$ હોવાથી,$s-a = \frac{s}{2} \implies a = \frac{s}{2}$,$s-b = \frac{s}{3} \implies b = \frac{2s}{3}$,$s-c = \frac{s}{6} \implies c = \frac{5s}{6}$.
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4s$ નો ઉપયોગ કરતા,$s=24$ મળે છે.
તેથી $a = 12, b = 16, c = 20$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1, r_2, r_3$ અને પરિત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$ છે,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3}$ છે.
આપેલ છે $r_1=3, r_2=10, r_3=15$.
$\frac{1}{r} = \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$r=2$.
હવે,$\Delta = \sqrt{2 \times 3 \times 10 \times 15} = 30$.
સૂત્ર $\Delta = rs$ નો ઉપયોગ કરતા,$30 = 2s \implies s = 15$.
બાજુઓ $a=5, b=12, c=13$ મળે છે.
આ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પરિત્રિજ્યા $R = \frac{c}{2} = \frac{13}{2}$.

(A) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ થી અંતઃવૃત્ત પરના સ્પર્શકોની લંબાઈ છે.
તેથી ત્રિકોણની બાજુઓ $a = \beta + \gamma$,$b = \alpha + \gamma$,અને $c = \alpha + \beta$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \alpha + \beta + \gamma$ છે.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha)(\beta)(\gamma)} = \sqrt{s \alpha \beta \gamma}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$ છે.
તેથી,$r^2 = \frac{\Delta^2}{s^2} = \frac{s \alpha \beta \gamma}{s^2} = \frac{\alpha \beta \gamma}{s}$.
$s = \alpha + \beta + \gamma$ મૂકતા,$r^2 = \frac{\alpha \beta \gamma}{\alpha + \beta + \gamma}$.
આમ,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\alpha \beta \gamma}{r^2}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $2r_1 = 3r_2 = r_3 = k$ (ધારો).
તેથી $r_1 = \frac{k}{2}$,$r_2 = \frac{k}{3}$,અને $r_3 = k$.
આમ,$\frac{1}{r_1} = \frac{2}{k}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{3}{k}$,અને $\frac{1}{r_3} = \frac{1}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$.
તેથી $\frac{2}{k} + \frac{3}{k} + \frac{1}{k} = \frac{6}{k} = \frac{1}{r}$,એટલે કે $r = \frac{k}{6}$.
$s-a = \frac{\Delta}{r_1} = \frac{2\Delta}{k}$,$s-b = \frac{3\Delta}{k}$,અને $s-c = \frac{\Delta}{k}$.
$s = \frac{6\Delta}{k}$ હોવાથી,$a = s - (s-a) = \frac{4\Delta}{k}$,$b = \frac{3\Delta}{k}$,અને $c = \frac{5\Delta}{k}$.
તેથી,$a : b : c = 4 : 3 : 5$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Sinh}^{-1}(y) = \log(y + \sqrt{y^2+1})$.
ધારો કે $y = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$.
તો $y^2+1 = \frac{a^2}{1-a^2} + 1 = \frac{a^2+1-a^2}{1-a^2} = \frac{1}{1-a^2}$.
તેથી,$\sqrt{y^2+1} = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}$ (કારણ કે $a < 1$).
આમ,$\operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a+1}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a+1}{\sqrt{(1-a)(1+a)}}\right) = \log\left(\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right)$.
આપેલ સમીકરણ: $2 \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
મેળવેલ કિંમત મૂકતા: $2 \times \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
તેથી,$\log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $x = a$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\operatorname{Sinh}^{-1}(2)+\operatorname{Sinh}^{-1}(3)=\alpha$.
ધારો કે $x = \operatorname{Sinh}^{-1}(2)$ અને $y = \operatorname{Sinh}^{-1}(3)$.
તેથી $\sinh x = 2$ અને $\sinh y = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,તેથી $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + 2^2} = \sqrt{5}$.
તે જ રીતે,$\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + 3^2} = \sqrt{10}$.
આપણે $\sinh \alpha = \sinh(x+y)$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sinh \alpha = (2)(\sqrt{10}) + (\sqrt{5})(3) = 2 \sqrt{10} + 3 \sqrt{5}$.

(D) ઘાત સમીકરણ $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ માટે,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\sum \alpha = 6$,
$\sum \alpha \beta = 11$,
$\alpha \beta \gamma = 6$.
આપણે $\sum \alpha^2 \beta + \sum \alpha \beta^2$ શોધવાનું છે.
આ પદાવલિને $(\sum \alpha \beta)(\sum \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$ તરીકે લખી શકાય.
કિંમતો મૂકતા:
$(11)(6) - 3(6) = 66 - 18 = 48$.

(D) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+3px^2+3qx-8=0$ ના બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\frac{a}{r} \times a \times ar = -(-8) = 8$ થાય.
આથી,$a^3 = 8$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
$a=2$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $(2)^3 + 3p(2)^2 + 3q(2) - 8 = 0$.
$8 + 12p + 6q - 8 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $12p + 6q = 0$ અથવા $q = -2p$ થાય છે.
$\frac{q^3}{p^3}$ માં $q = -2p$ મૂકતા,આપણને $\frac{(-2p)^3}{p^3} = \frac{-8p^3}{p^3} = -8$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \cos^2 x + \cos^2(x + \frac{\pi}{3}) - \cos x \cdot \cos(x + \frac{\pi}{3})$.
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $f(x) = \frac{3}{4}$ મળે છે.
દરેક $x \in R$ માટે $f(x) = \frac{3}{4}$ હોવાથી,તે એક અચળ વિધેય છે.

(D) આપેલી રેખા $x - y + 1 = 0$ છે. વક્ર $x = y^2$ છે.
ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(y^2, y)$ છે.
બિંદુ $P$ થી રેખા $x - y + 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
બધા વાસ્તવિક $y$ માટે $y^2 - y + 1 > 0$ હોવાથી,$d = \frac{y^2 - y + 1}{\sqrt{2}}$ મળે.
લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $f(y) = y^2 - y + 1$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ.
વિકલન કરતા,$f'(y) = 2y - 1$. $f'(y) = 0$ લેતા $y = \frac{1}{2}$ મળે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{3/4}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ થાય.

(C) અને $C$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $A$ નો હાર્મોનિક કોન્જુગેટ એ બિંદુ $P$ છે જે રેખાખંડ $BC$ નું તે જ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે જેમાં $A$ કરે છે.
પ્રથમ,આપણે $AB$ અને $AC$ ના અંતર શોધીએ:
$AB = \sqrt{(6-5)^2 + (2-4)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{14}$.
$AC = \sqrt{(8-5)^2 + (-2-4)^2 + (-7-2)^2} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$.
ગુણોત્તર $1:3$ છે.
હાર્મોનિક કોન્જુગેટ $P$ એ $BC$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક વિભાજન કરે છે.
$P = \left(\frac{1(8) + 3(6)}{1+3}, \frac{1(-2) + 3(2)}{1+3}, \frac{1(-7) + 3(-1)}{1+3}\right) = (\frac{26}{4}, \frac{4}{4}, \frac{-10}{4}) = (\frac{13}{2}, 1, \frac{-5}{2})$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 3, 5)$,$B(-1, 5, -1)$ અને $C(4, -3, 2)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના વર્ગની ગણતરી કરો:
$AB^2 = (-1 - 2)^2 + (5 - 3)^2 + (-1 - 5)^2 = (-3)^2 + (2)^2 + (-6)^2 = 9 + 4 + 36 = 49$.
$BC^2 = (4 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2 + (2 - (-1))^2 = (5)^2 + (-8)^2 + (3)^2 = 25 + 64 + 9 = 98$.
$AC^2 = (4 - 2)^2 + (-3 - 3)^2 + (2 - 5)^2 = (2)^2 + (-6)^2 + (-3)^2 = 4 + 36 + 9 = 49$.
અહીં $AB^2 = AC^2 = 49$ હોવાથી,$AB = AC = 7$ મળે છે,તેથી ત્રિકોણ સમદ્રીબાજુ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની શરત તપાસો: $AB^2 + AC^2 = 49 + 49 = 98 = BC^2$.
બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
આમ,આ ત્રિકોણ સમદ્રીબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $P(x, y, z)$ છે. પરિકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે હોય છે. તેથી,$PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = (x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2$
$PB^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2$
$PC^2 = (x+1)^2 + (y-6)^2 + (z-1)^2$
$PB^2 = PC^2$ સરખાવતા:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2 = (x+1)^2 + (y-6)^2 + (z-1)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 12y + 36$
$-6x + 6y = 24 \implies -x + y = 4 \implies y = x + 4$.
$PA^2 = PB^2$ સરખાવતા:
$(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2$
$y = x+4$ મૂકતા:
$(x-3)^2 + (x+4-4)^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (x+4-3)^2 + (z-1)^2$
$(x-3)^2 + x^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (x+1)^2 + (z-1)^2$
$x^2 - 6x + 9 + x^2 + z^2 - 10z + 25 = x^2 - 4x + 4 + x^2 + 2x + 1 + z^2 - 2z + 1$
$-6x - 10z + 34 = -2x - 2z + 6$
$-4x - 8z = -28 \implies x + 2z = 7 \implies z = \frac{7-x}{2}$.
વિકલ્પ $C(1, 5, 3)$ માટે ચકાસતા:
$y = 1+4 = 5$ (સાચું).
$z = (7-1)/2 = 3$ (સાચું).
તેથી,પરિકેન્દ્ર $(1, 5, 3)$ છે.

(B) કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને ખૂણાની પાસપાસેની બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $BD/DC = AB/AC$.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ ગણો:
$AB = \sqrt{(5-3)^2 + (3-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-9-3)^2 + (6-2)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13$.
આમ,ગુણોત્તર $BD:DC = AB:AC = 3:13$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$D = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$ જ્યાં $m=3, n=13$,$B(5,3,2)$,અને $C(-9,6,-3)$.
$x = \frac{3(-9) + 13(5)}{3+13} = \frac{-27 + 65}{16} = \frac{38}{16}$.
$y = \frac{3(6) + 13(3)}{3+13} = \frac{18 + 39}{16} = \frac{57}{16}$.
$z = \frac{3(-3) + 13(2)}{3+13} = \frac{-9 + 26}{16} = \frac{17}{16}$.
તેથી,$D$ ના યામ $\left(\frac{38}{16}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16}\right)$ છે.

(B) પગલું $1$: મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો.
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(10 \times 2) + (15 \times 4) + (20 \times 6) + (25 \times 8) + (30 \times 5)}{2 + 4 + 6 + 8 + 5} = \frac{550}{25} = 22$.
પગલું $2$: મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $(\text{M.D.}(\bar{x}))$ શોધો.
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 12) + (4 \times 7) + (6 \times 2) + (8 \times 3) + (5 \times 8)}{25} = \frac{128}{25} = 5.12$.

(B) એક પાસા પર પીળા $(Y)$,લાલ $(R)$,અને વાદળી $(B)$ રંગ મળવાની સંભાવનાઓ છે: $P(Y) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,$P(R) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$,અને $P(B) = \frac{1}{6}$.
આપણે $3$ પ્રયત્નોમાં એક પીળી,એક લાલ અને એક વાદળી બાજુ મળે તેની સંભાવના શોધીએ છીએ.
$(Y, R, B)$ ના ક્રમ ગોઠવવાની રીતો $3! = 6$ છે.
કોઈપણ એક ચોક્કસ ક્રમ (દા.ત.,$Y, R, B$) ની સંભાવના $P(Y) \times P(R) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ છે.
આવા $6$ ક્રમ હોવાથી,કુલ સંભાવના $6 \times \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ થાય.

(B) $5$ લાલ અને $5$ સફેદ ગુલાબને હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $10$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો જેટલી છે,જે $(10-1)! = 9!$ છે.
ગુલાબ અલગ-અલગ કદના હોવાથી,આપણે તેમને ભિન્ન ગણીએ છીએ.
ગુલાબને એકાંતરે ગોઠવવા માટે,પહેલા $5$ લાલ ગુલાબને વર્તુળમાં $(5-1)! = 4!$ રીતે ગોઠવીએ.
આનાથી લાલ ગુલાબની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બનશે.
આ $5$ જગ્યાઓમાં $5$ સફેદ ગુલાબને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
આમ,સાનુકૂળ ગોઠવણીની સંખ્યા $4! \times 5!$ છે.
સંભાવના $\frac{4! \times 5!}{9!} = \frac{24 \times 120}{362880} = \frac{2880}{362880} = \frac{1}{126}$ છે.

(D) $8$ દડાને $8$ થેલીમાં મૂકવાની કુલ રીતો $8!$ છે.
આપણે એવી રીતો શોધવી છે જેમાં બરાબર $5$ દડા તેમની સંબંધિત થેલીમાં હોય.
પહેલા,$8$ માંથી $5$ દડા પસંદ કરીએ જે સાચી થેલીમાં હોય,જે $\binom{8}{5}$ રીતે થઈ શકે.
બાકીના $3$ દડાને બાકીની $3$ થેલીમાં એવી રીતે મૂકવા પડે કે કોઈ પણ દડો તેની સાચી થેલીમાં ન હોય. આ $3$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (derangement) છે,જેને $D_3$ કહેવાય છે.
$D_3 = 3! \times (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) = 2$.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $\binom{8}{5} \times D_3 = 56 \times 2 = 112$ છે.
સંભાવના $\frac{112}{8!} = \frac{112}{40320} = \frac{1}{360}$ છે.

(A) $10$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{10}C_3 = 120$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાં ન્યૂનતમ $3$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $3$ પસંદ થયેલ છે,અને બાકીની બે સંખ્યાઓ $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ માંથી પસંદ કરવી પડશે.
તેથી,$n(A) = {}^{7}C_2 = 21$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાં મહત્તમ $7$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $7$ પસંદ થયેલ છે,અને બાકીની બે સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડશે.
તેથી,$n(B) = {}^{6}C_2 = 15$.
ધારો કે $A \cap B$ એ ઘટના છે કે ન્યૂનતમ $3$ અને મહત્તમ $7$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $3$ અને $7$ પસંદ થયેલ છે,અને ત્રીજી સંખ્યા $\{4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડશે.
તેથી,$n(A \cap B) = {}^{3}C_1 = 3$.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 21 + 15 - 3 = 33$ મુજબ.
જરૂરી સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{33}{120} = \frac{11}{40}$ છે.

(D) આપેલ છે $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,તેથી $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
આપેલ છે $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6}$,તેથી $P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$\frac{5}{6} = \frac{2}{4} + P(B) = \frac{1}{2} + P(B)$.
$P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
અહીં $P(A) = \frac{3}{4}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$P(A) \neq P(B)$,તેથી તે સમાન સંભવિત નથી.
નિરપેક્ષતા માટે ચકાસણી: $P(A) \times P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$.
$P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$,જેનો અર્થ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.
આમ,ઘટનાઓ નિરપેક્ષ છે પણ સમાન સંભવિત નથી.

(C) કારણ કે $A, B, C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
આપેલ છે કે $P(B) = 2 P(C)$,તેથી $P(C) = \frac{1}{2} P(B)$.
વળી આપેલ છે કે $P(A) = \frac{2}{3} P(B)$.
આ કિંમતો સરવાળામાં મૂકતા: $\frac{2}{3} P(B) + P(B) + \frac{1}{2} P(B) = 1$.
લસાઅ $(6)$ લેતા: $\frac{4}{6} P(B) + \frac{6}{6} P(B) + \frac{3}{6} P(B) = 1$.
$\frac{13}{6} P(B) = 1 \implies P(B) = \frac{6}{13}$.
તેથી $P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{6}{13} = \frac{4}{13}$ અને $P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{13} = \frac{3}{13}$.
$A$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$.

(A) ધારો કે $W_i$ અને $B_i$ એ પેટી $B_i$ માંથી અનુક્રમે સફેદ અને કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$B_1$ માટે: $P(W_1) = \frac{1}{3}, P(B_1) = \frac{2}{3}$
$B_2$ માટે: $P(W_2) = \frac{3}{4}, P(B_2) = \frac{1}{4}$
$B_3$ માટે: $P(W_3) = \frac{2}{5}, P(B_3) = \frac{3}{5}$
આપણે બે કાળા અને એક સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના શોધવી છે. આ ત્રણ પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. $(W_1, B_2, B_3)$: $P(W_1) \times P(B_2) \times P(B_3) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{60}$
$2$. $(B_1, W_2, B_3)$: $P(B_1) \times P(W_2) \times P(B_3) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{18}{60}$
$3$. $(B_1, B_2, W_3)$: $P(B_1) \times P(B_2) \times P(W_3) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{60}$
કુલ સંભાવના આ સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$P = \frac{3}{60} + \frac{18}{60} + \frac{4}{60} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$

(C) આપેલ ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે,જ્યાં $n=9$.
કુલ ઉપગણો $= 2^9 = 512$.
આપણે એવા ઉપગણો શોધવા માંગીએ છીએ જેમાં ઓછામાં ઓછી એક એકી સંખ્યા હોય.
પૂરક ગણની ગણતરી કરવી સરળ છે: એવા ઉપગણો જેમાં એક પણ એકી સંખ્યા ન હોય.
ઉપગણમાં એક પણ એકી સંખ્યા ન હોય જો અને માત્ર જો તેના તમામ ઘટકો બેકી હોય.
ગણમાં બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8\}$ છે.
માત્ર આ બેકી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને બનતા ઉપગણોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
આ $16$ ઉપગણોમાં ખાલી ગણ $\emptyset$ નો પણ સમાવેશ થાય છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક એકી સંખ્યા ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $=$ કુલ ઉપગણો $-$ માત્ર બેકી સંખ્યાઓ ધરાવતા ઉપગણો.
જરૂરી સંખ્યા $= 512 - 16 = 496$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$.
બંને બાજુને $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{2}$ વડે ભાગતા.
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી $\tan \alpha = \tan(\frac{\pi}{12})$,એટલે કે $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
સમીકરણ $\cos(\theta - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{4})$ બને છે.
વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, \sqrt{3})$,$B(0, 0)$,અને $C(2, 0)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4} = 2$
$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,આ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,અંતઃકેન્દ્ર એ મધ્યકેન્દ્ર સમાન હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
$G = \left(\frac{1+0+2}{3}, \frac{\sqrt{3}+0+0}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(1, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(C) આપેલ સમીકરણો $xy+4x-3y-12=0$ અને $xy-3x+4y-12=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $x(y+4)-3(y+4)=0 \Rightarrow (x-3)(y+4)=0$. આ રેખાઓ $x=3$ અને $y=-4$ દર્શાવે છે.
બીજા સમીકરણ માટે: $x(y-3)+4(y-3)=0 \Rightarrow (x+4)(y-3)=0$. આ રેખાઓ $x=-4$ અને $y=3$ દર્શાવે છે.
ચોરસ બનાવતી ચાર રેખાઓ $x=3, x=-4, y=3, y=-4$ છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-4,-4), B(3,-4), C(3,3)$ અને $D(-4,3)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ એ $A(-4,-4)$ અને $C(3,3)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{3-(-4)}(x-(-4))$ $\Rightarrow y+4 = 1(x+4)$ $\Rightarrow x-y=0$ છે.
વિકર્ણ $BD$ એ $B(3,-4)$ અને $D(-4,3)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = \frac{7}{-7}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = -x+3$ $\Rightarrow x+y+1=0$ છે.
વિકર્ણોનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+y+1)=0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2+xy+x-xy-y^2-y=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2-y^2+x-y=0$ થાય છે.

(D) ઉપવલયની બે નાભિઓમાંથી કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર એ અર્ધ-ગૌણ અક્ષના વર્ગ જેટલો હોય છે.
આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 25$ છે. અહીં $b^2 > a^2$ હોવાથી,અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = \sqrt{9} = 3$ છે.
તેથી,લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $b^2 = 3^2 = 9$ થાય.