AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ પદાવલિ: $S = ^{37}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {^{(42-r)}C_r}$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = ^{37}C_4 + ^{41}C_1 + ^{40}C_2 + ^{39}C_3 + ^{38}C_4 + ^{37}C_5$.
પાસ્કલના નિત્યસમ $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,અંતિમ જવાબ $^{42}C_4$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$.
નિત્યસમ $^nC_r = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^nC_{r+1} = \frac{n}{r+1} \cdot ^{n-1}C_r$ લખી શકાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1} \cdot ^{n-1}C_r$.
$^{n-1}C_r \neq 0$ ધારીને,બંને બાજુ $^{n-1}C_r$ વડે ભાગતા:
$1 = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1}$.
$k^2 - 3$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$k^2 - 3 = \frac{r+1}{n}$.
$0 \le r \le n-1$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{r+1}{n}$ એ $(0, 1]$ અંતરાલમાં છે.
તેથી,$0 < k^2 - 3 \le 1$.
બધા પદોમાં $3$ ઉમેરતા:
$3 < k^2 \le 4$.
વર્ગમૂળ લેતા,$k \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,અંતરાલ $[\sqrt{3}, 2]$ એ $k$ ની શક્ય કિંમતોનો ઉપગણ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \dots (3n-1)}{n! 3^{n-1}}$ છે.
આ શ્રેણી દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-p}$ સાથે સામ્યતા ધરાવે છે.
પદોની સરખામણી કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે આ શ્રેણી $(1-z)^{-2/3}$ સાથે સંબંધિત છે.
ગણતરી કરતા,$x^2 + 8x + 8$ ની કિંમત $23$ મળે છે.

(A) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ નો સહગુણક ${ }^n C_r$ છે.
આપેલ પદાવલિમાં $x^5$ નો સહગુણક દરેક પદના $x^5$ ના સહગુણકોનો સરવાળો છે:
${ }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + { }^{23} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5$.
નિત્યસમ ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
${ }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5 = ({ }^{21} C_6 + { }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5) - { }^{21} C_6$.
આ નિત્યસમનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
${ }^{21} C_6 + { }^{21} C_5 = { }^{22} C_6$.
${ }^{22} C_6 + { }^{22} C_5 = { }^{23} C_6$.
છેલ્લે સુધી આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા:
${ }^{30} C_6 + { }^{30} C_5 = { }^{31} C_6$.
આમ,સરવાળો ${ }^{31} C_6 - { }^{21} C_6$ થાય છે.

(A) $(1+x)^{37}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં કુલ $37+1 = 38$ પદો છે. \\ સહગુણકો $\binom{37}{r}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \dots, 37$. \\ છેલ્લા $19$ પદો $r = 19, 20, \dots, 37$ ને અનુરૂપ છે. \\ બધા સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{37} \binom{37}{r} = 2^{37}$ થાય. \\ સંમિતતા મુજબ,$\binom{37}{r} = \binom{37}{37-r}$. \\ ધારો કે $S$ એ છેલ્લા $19$ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો છે: $S = \binom{37}{19} + \binom{37}{20} + \dots + \binom{37}{37}$. \\ પ્રથમ $19$ પદોનો સરવાળો $\binom{37}{0} + \binom{37}{1} + \dots + \binom{37}{18}$ છે. \\ $\binom{37}{0} = \binom{37}{37}, \binom{37}{1} = \binom{37}{36}, \dots, \binom{37}{18} = \binom{37}{19}$ હોવાથી,પ્રથમ $19$ પદોનો સરવાળો છેલ્લા $19$ પદોના સરવાળા જેટલો જ થાય. \\ તેથી,$2S = \sum_{r=0}^{37} \binom{37}{r} = 2^{37}$. \\ આમ,$S = \frac{2^{37}}{2} = 2^{36}$.

(B) આપેલ છે કે,$x = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12} + \ldots \infty \text{ પદો}$.
આપણે પદોને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$x = \frac{1 \cdot 3}{3^2 \cdot 2!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3^3 \cdot 3!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3^4 \cdot 4!} + \ldots$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 1/2$ અને $z = 2/3$ છે.
$x = \left[ 1 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)}{2!}(\frac{2}{3})^2 + \ldots \right] - (1 + \frac{1}{3})$
$x = (1 - \frac{2}{3})^{-1/2} - \frac{4}{3}$
$x = (\frac{1}{3})^{-1/2} - \frac{4}{3} = \sqrt{3} - \frac{4}{3}$
$3x + 4 = 3\sqrt{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(3x + 4)^2 = (3\sqrt{3})^2$
$9x^2 + 24x + 16 = 27$
$9x^2 + 24x = 11$.

(C) આપેલ પદાવલિ $(1+x)^2(8-x)^{-\frac{1}{3}} = (1+2x+x^2) \cdot 8^{-\frac{1}{3}} (1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}}$ છે.
$8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,પદાવલિ $\frac{1}{2}(1+2x+x^2)(1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}}$ બને છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}} = 1 + \frac{x}{24} + \frac{x^2}{288}$ મળે છે.
હવે,$\frac{1}{2}(1+2x+x^2)(1 + \frac{x}{24} + \frac{x^2}{288})$ નો ગુણાકાર કરતા $x^2$ નો સહગુણક $\frac{1}{2} [\frac{1}{288} + \frac{2}{24} + 1] = \frac{313}{576}$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $f(x) = \frac{x}{(x-1)^2(x-2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{x}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x-2}$.
અચળાંકો શોધતા: $x = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2$.
$x=1$ માટે: $1 = B(1-2) \implies B = -1$.
$x=2$ માટે: $2 = C(2-1)^2 \implies C = 2$.
$x^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $0 = A + C \implies A = -2$.
તેથી,$f(x) = \frac{-2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{1-x} - \frac{1}{(1-x)^2} - \frac{1}{1-x/2}$.
વિસ્તરણ: $2(1+x+x^2+\dots+x^n+\dots) - (1+2x+3x^2+\dots+(n+1)x^n+\dots) - (1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\dots+\frac{x^n}{2^n}+\dots)$.
$x^n$ નો સહગુણક: $2 - (n+1) - \frac{1}{2^n} = 1 - n - \frac{1}{2^n}$.
આ વિસ્તરણ $|x| < 1$ માટે માન્ય છે.

(C) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P(x, y)$ થી નાભિ $S(1, -1)$ નું અંતર એ $P$ થી નિયામિકા $x+y+2=0$ ના અંતરના $e$ ગણું હોય છે.
$SP^2 = e^2 \times (\text{લંબ અંતર})^2$
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = (\frac{2}{3})^2 \times \frac{(x+y+2)^2}{2}$
સાદુરૂપ આપતા,$7x^2 + 7y^2 - 4xy - 26x - 26y + 10 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{2-r} + \frac{y^2}{r-5} = -1$ છે.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x^2}{r-2} + \frac{y^2}{5-r} = 1$ મળે છે.
આ ઉપવલય દર્શાવે તે માટે,છેદ ધન હોવા જોઈએ,એટલે કે $r-2 > 0$ અને $5-r > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $r > 2$ અને $r < 5$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $2 < r < 5$ મળે છે.

(B) ઉપવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓ $(-1, 0)$ અને $(7, 0)$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{-1+7}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 7 - (-1) = 8$ છે,તેથી $ae = 4$.
$e = \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$a(\frac{1}{2}) = 4$,જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 8^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 64(1 - \frac{1}{4}) = 64(\frac{3}{4}) = 48$.
તેથી,$b = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ વાળા ઉપવલય પરના બિંદુના પ્રચલ યામ $(h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(3 + 8 \cos \theta, 0 + 4 \sqrt{3} \sin \theta) = (3 + 8 \cos \theta, 4 \sqrt{3} \sin \theta)$ મળે છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,જો $\alpha$ અને $\beta$ નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓના ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણાઓ હોય,તો $\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2) = \frac{e-1}{e+1}$ થાય.
અહીં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ હોવાથી,$e = \sqrt{1 - 9/25} = 4/5$.
તેથી,$\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2) = \frac{4/5 - 1}{4/5 + 1} = -1/9$.
આમ,$\frac{\cot(\alpha/2)}{\tan(\beta/2)} = \frac{1}{\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2)} = -9$.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ધારો કે $P = (a \cos \theta, b \sin \theta)$ અને $Q = (a \cos \phi, b \sin \phi)$.
$\angle PCQ = 90^{\circ}$ હોવાથી,$CP$ અને $CQ$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
તેથી,$\frac{b^2}{a^2} \tan \theta \tan \phi = -1$,એટલે કે $\tan \theta \tan \phi = -\frac{a^2}{b^2}$.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $R(h, k)$ એ $h = a \frac{\cos(\frac{\theta+\phi}{2})}{\cos(\frac{\theta-\phi}{2})}$ અને $k = b \frac{\sin(\frac{\theta+\phi}{2})}{\cos(\frac{\theta-\phi}{2})}$ દ્વારા મળે છે.
આના પરથી $R$ નો બિંદુપથ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ મળે છે,જે એક ઉપવલય દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$ છે.
ધારો કે કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી આ સ્પર્શક પરના લંબનો પાદ $(h, k)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ છે,તેથી લંબ રેખાનો ઢાળ $-\frac{1}{m}$ થાય.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી લંબ રેખાનું સમીકરણ $y = -\frac{1}{m} x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $m = -\frac{x}{y}$.
કારણ કે $(h, k)$ સ્પર્શક પર છે,તેથી $k = mh + \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$.
$m = -\frac{h}{k}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $k = -\frac{h^2}{k} + \sqrt{a^2 \frac{h^2}{k^2} + b^2}$.
$k + \frac{h^2}{k} = \sqrt{\frac{a^2 h^2 + b^2 k^2}{k^2}}$.
$\frac{k^2 + h^2}{k} = \frac{\sqrt{a^2 h^2 + b^2 k^2}}{k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(h^2 + k^2)^2 = a^2 h^2 + b^2 k^2$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x^2 + y^2)^2 = a^2 x^2 + b^2 y^2$ છે.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=16$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm 4\sqrt{1+m^2}$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{4}=1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm \sqrt{49m^2+4}$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,અચળ પદો સમાન હોવા જોઈએ:
$16(1+m^2) = 49m^2+4$
$16+16m^2 = 49m^2+4$
$33m^2 = 12$
$m^2 = \frac{4}{11}$
$m = \pm \frac{2}{\sqrt{11}}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\sqrt{11}y = \pm 2x \pm 4\sqrt{15}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $\sqrt{11}y=2x+4\sqrt{15}$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 32$.
નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ $(ae, \frac{b^2}{a})$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$(x_1, y_1) = (ae, \frac{b^2}{a})$ મૂકતા,આપણને $\frac{a^2x}{ae} - \frac{b^2y}{b^2/a} = a^2 - b^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{ax}{e} - ay = a^2 - b^2$ થાય.
આ અભિલંબ ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $(0, b)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$\frac{a(0)}{e} - a(b) = a^2 - b^2$,એટલે કે $-ab = a^2 - b^2$,અથવા $b^2 - ab - a^2 = 0$.
$a^2$ વડે ભાગતા,$(\frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{a}) - 1 = 0$ મળે.
$b^2 = a^2(1-e^2)$ હોવાથી,$(\frac{b}{a})^2 = 1-e^2$.
આમ,$(1-e^2) - \sqrt{1-e^2} - 1 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $\sqrt{1-e^2} = -e^2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1-e^2 = e^4$,તેથી $1 = e^4 + e^2$.
આપણે $\frac{e^4}{1-e^2}$ શોધવાનું છે. $1-e^2 = e^4$ હોવાથી,પદાવલિ $\frac{e^4}{e^4} = 1$ થાય.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 2y^2 - 5 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ છે.
સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
અહીં $S = 3x^2 + 2y^2 - 5$,$S_1 = 6$,અને $T = 3x + 4y - 5$.
$SS_1 = T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(3x^2 + 2y^2 - 5)(6) = (3x + 4y - 5)^2$.
સાદુરૂપ આપતા $9x^2 - 4y^2 - 24xy + 30x + 40y - 55 = 0$ મળે છે.
અહીં $a = 9$,$b = -4$,અને $h = -12$ છે.
ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{144 + 36}}{5} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{12\sqrt{5}}{5}\right)$.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $y=2x+\sqrt{76}$ અને $y=-\frac{1}{2}x+4$ છે.
ઢાળ-અંત:ખંડ સ્વરૂપ $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને ઢાળ $m_1=2$ અને $m_2=-\frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,તેથી બંને રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
ઉપવલયના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ તેનું નિયામક વર્તુળ (director circle) છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2+b^2$ છે.
અહીં,$a^2=16$ અને $b^2=12$ છે.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=16+12=28$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{c-12} + \frac{y^2}{7-c} = 1$ છે.
આ સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે તે માટે છેદનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $(c-12)(7-c) < 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $(c-12)(c-7) > 0$ મળે છે.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $c < 7$ અથવા $c > 12$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) અતિવલય પરનું બિંદુ $P$ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ લો.
$P$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ છે.
રેખાઓ $L_1: bx - ay = 0$ અને $L_2: bx + ay = 0$ છે.
$Q$ શોધવા માટે,$\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ અને $bx = ay \implies y = \frac{bx}{a}$ ઉકેલો.
$y$ ની કિંમત મૂકતા: $x(\frac{\sec \theta}{a} - \frac{\tan \theta}{a}) = 1 \implies x = a(\sec \theta + \tan \theta)$.
તેથી $y = b(\sec \theta + \tan \theta)$. એટલે કે $Q = (a(\sec \theta + \tan \theta), b(\sec \theta + \tan \theta))$.
$CQ^2 = (a^2+b^2)(\sec \theta + \tan \theta)^2$.
તે જ રીતે,$R$ માટે,$bx = -ay$ સાથે ઉકેલતા:
$x = a(\sec \theta - \tan \theta)$ અને $y = -b(\sec \theta - \tan \theta)$.
$CR^2 = (a^2+b^2)(\sec \theta - \tan \theta)^2$.
$CQ \cdot CR = (a^2+b^2)|\sec^2 \theta - \tan^2 \theta| = a^2+b^2$.

(B) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=16$ ની જીવાનું સમીકરણ જેનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ હોય તે $T=S_1$ દ્વારા મળે છે,જે $xh+yk = h^2+k^2$ છે.
આ જીવા અતિવલય $9x^2-16y^2=144$ ને સ્પર્શક છે,જેને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $lx+my=n$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $n^2 = a^2l^2 - b^2m^2$ છે.
અહીં,$l=h$,$m=k$,$n=h^2+k^2$,$a^2=16$,અને $b^2=9$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $16x^2-9y^2 = (x^2+y^2)^2$ મળે છે.

(A) અનંતસ્પર્શકો $2x + 3y = 0$ અને $3x + 2y = 0$ ને સમાંતર હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ $(2x + 3y + c_1)(3x + 2y + c_2) = k$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 2)$ હોવાથી,રેખાઓ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
પ્રથમ રેખા માટે: $2(1) + 3(2) + c_1 = 0 \implies c_1 = -8$.
બીજી રેખા માટે: $3(1) + 2(2) + c_2 = 0 \implies c_2 = -7$.
તેથી સમીકરણ $(2x + 3y - 8)(3x + 2y - 7) = k$ થાય.
બિંદુ $(5, 3)$ મૂકતા:
$(2(5) + 3(3) - 8)(3(5) + 2(3) - 7) = k$
$(11)(14) = k \implies k = 154$.
આમ,સમીકરણ $(2x + 3y - 8)(3x + 2y - 7) = 154$ છે.

(D) અભિલંબનું આપેલ સમીકરણ $lx + my = 1$ છે,જેને $y = -(\frac{l}{m})x + \frac{1}{m}$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = Mx + C$ સાથે સરખાવતા,$M = -\frac{l}{m}$ અને $C = \frac{1}{m}$ મળે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે રેખા $y = Mx + C$ અભિલંબ હોવાની શરત $C^2 = \frac{M^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 M^2 - b^2}$ છે.
$M$ અને $C$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(\frac{1}{m})^2 = \frac{(-\frac{l}{m})^2(a^2 + b^2)^2}{a^2(-\frac{l}{m})^2 - b^2}$
$\frac{1}{m^2} = \frac{\frac{l^2}{m^2}(a^2 + b^2)^2}{\frac{a^2 l^2 - b^2 m^2}{m^2}}$
$\frac{1}{m^2} = \frac{l^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 l^2 - b^2 m^2}$
$a^2 l^2 - b^2 m^2 = l^2 m^2(a^2 + b^2)^2$.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,અનંતસ્પર્શકો $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ છે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$,તેથી $a = 3$ અને $b = 2$.
અનંતસ્પર્શકો $2x - 3y = 0$ અને $2x + 3y = 0$ છે.
ધારો કે $P(x_0, y_0)$ એ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,તેથી $\frac{x_0^2}{9} - \frac{y_0^2}{4} = 1$.
$P$ થી $2x - 3y = 0$ નું લંબ અંતર $d_1 = \frac{|2x_0 - 3y_0|}{\sqrt{13}}$ છે.
$P$ થી $2x + 3y = 0$ નું લંબ અંતર $d_2 = \frac{|2x_0 + 3y_0|}{\sqrt{13}}$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $d_1 d_2 = \frac{|4x_0^2 - 9y_0^2|}{13} = \frac{36}{13}$ થાય છે.

(C) પ્રથમ,$l$ ની કિંમત શોધો:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{5 x} = \frac{1}{5} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{x} = \frac{1}{5} \times 2 = \frac{2}{5}$.
તેથી,$l = \frac{2}{5}$.
ત્યારબાદ,$5l = 5 \times \frac{2}{5} = 2$.
હવે,$m$ ની કિંમત શોધો:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 \log x}{x-1}$.
ધારો કે $x = 1+h$,જેમ $x \rightarrow 1, h \rightarrow 0$.
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \log(1+h)}{h} = 2(1) = 2$.
તેથી,$m = 2$.
ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $2, 2$ અને $1$ છે.
સમીકરણ $(x-2)(x-2)(x-1) = 0$ છે.
$(x^2-4x+4)(x-1) = 0$.
$x^3 - x^2 - 4x^2 + 4x + 4x - 4 = 0$.
$x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = 0$.

(D) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{f(x)}-3}{\sqrt{x}-3}$ છે.
$f(9)=9$ હોવાથી,આ પદ $\frac{\sqrt{9}-3}{\sqrt{9}-3} = \frac{0}{0}$ સ્વરૂપ ધારણ કરે છે,જે અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$
$L = \lim _{x \rightarrow 9} \frac{f'(x) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}}$
$x=9$ મુકતા:
$L = \frac{f'(9) \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{f(9)}} = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta(x) = \begin{vmatrix} e^x & -1 \\ \sin x - 1 & 1 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $\Delta(x) = (e^x)(1) - (-1)(\sin x - 1)$.
$\Delta(x) = e^x + \sin x - 1$.
હવે,આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\Delta(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x + \sin x - 1}{x}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે,તેથી આપણે પ્રમાણિત લક્ષનો ઉપયોગ કરીએ.
પ્રમાણિત લક્ષનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^x - 1}{x} + \frac{\sin x}{x} \right)$.
$= 1 + 1 = 2$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી આપણે $ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)$ લખી શકીએ.
ધારો કે $f(x) = ax^2+bx+c$. જેમ $x \rightarrow \alpha$,તેમ $f(x) \rightarrow 0$.
લિમિટના સૂત્ર $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(x-\alpha)^2} = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(a(x-\alpha)(x-\beta))^2} \times \frac{a^2(x-\alpha)^2(x-\beta)^2}{(x-\alpha)^2}$
$= \frac{1}{2} \times \lim_{x \rightarrow \alpha} a^2(x-\beta)^2$
$= \frac{1}{2} a^2(\alpha-\beta)^2$.

(D) ધારો કે $l = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos 2 x)(3+\cos x)}{x \tan 4 x}$.
નિત્યસમ $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$l = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 x (3 + \cos x)}{x \tan 4x}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ અને $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\tan u}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$l = 2 \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{x}{\tan 4x} \cdot (3 + \cos x)$.
ટેન્જન્ટના આર્ગ્યુમેન્ટ સાથે મેળ કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$l = 2 \cdot \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{4x}{\tan 4x} \cdot \frac{1}{4} \cdot (3 + \cos x)$.
$x \rightarrow 0$ લેતા:
$l = 2 \cdot (1)^2 \cdot (1) \cdot \frac{1}{4} \cdot (3 + \cos 0) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = 2$.

(A) વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $\bar{x}$ એ સમાંતર મધ્યક છે.
પ્રથમ વિતરણ માટે: $60 = \frac{21}{\bar{x}_1} \times 100 \implies \bar{x}_1 = \frac{2100}{60} = 35$.
બીજા વિતરણ માટે: $70 = \frac{16}{\bar{x}_2} \times 100 \implies \bar{x}_2 = \frac{1600}{70} \approx 22.857$.
આમ,સમાંતર મધ્યકો $35$ અને આશરે $22.85$ છે.

(A) અંકગણિતીય મધ્યક $\frac{a + b + 8 + 5 + 10}{5} = 6$ છે.
$a + b + 23 = 30$,તેથી $a + b = 7$.
વિચરણ $\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{મધ્યક})^2 = 6.8$ છે.
$\frac{a^2 + b^2 + 64 + 25 + 100}{5} - 36 = 6.8$.
$\frac{a^2 + b^2 + 189}{5} = 42.8$.
$a^2 + b^2 + 189 = 214$,તેથી $a^2 + b^2 = 25$.
$a + b = 7$ હોવાથી,$b = 7 - a$.
બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $a^2 + (7 - a)^2 = 25$.
$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$.
$2a^2 - 14a + 24 = 0$.
$a^2 - 7a + 12 = 0$.
$(a - 3)(a - 4) = 0$.
તેથી,$a = 3$ અથવા $a = 4$.
જો $a = 3$,તો $b = 4$. જો $a = 4$,તો $b = 3$.
ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ એ $(3, 4)$ અથવા $(4, 3)$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(3, 4)$ સાચો જવાબ છે.

(A) $1$. દરેક વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો: $5, 15, 25, 35$.
$2$. મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો: $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 5) + (3 \times 15) + (4 \times 25) + (2 \times 35)}{10} = 22$.
$3$. વિચરણ $(\sigma^2)$ શોધો: $\sigma^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i} = \frac{810}{10} = 81$.
$4$. પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ = $\sqrt{81} = 9$.

(D) આપેલ સંખ્યાઓ $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$ છે. આ $N = 2n+1$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે.
મધ્યક $\bar{x}$ એ વચ્ચેનું પદ છે: $\bar{x} = a + nd$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $MD = \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{2n} |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા મળે છે.
$MD = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(a+kd) - (a+nd)| = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |k-n||d|$.
ધારો કે $j = k-n$. જ્યારે $k$ એ $0$ થી $2n$ સુધી જાય,ત્યારે $j$ એ $-n$ થી $n$ સુધી જાય છે.
$MD = \frac{|d|}{2n+1} \sum_{j=-n}^{n} |j| = \frac{|d|}{2n+1} \left( 2 \sum_{j=1}^{n} j \right) = \frac{|d|}{2n+1} \cdot 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)|d|}{2n+1}$.

(D) $3$ ના પ્રથમ દસ ગુણકો $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n = 10$ પદો છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{(n^2 - 1)d^2}{12}$ છે.
કિંમતો $n = 10$ અને $d = 3$ મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{(10^2 - 1) \times 3^2}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(100 - 1) \times 9}{12}$
$\sigma^2 = \frac{99 \times 9}{12} = \frac{891}{12} = 74.25$.
આમ,વિચરણ $74.25$ છે.

(B) અવલોકનો $x_K = 1 + K\alpha$ છે,જ્યાં $K = 0, 1, 2, \ldots, 100$.
કુલ $n = 101$ અવલોકનો છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{101} \sum_{K=0}^{100} (1 + K\alpha) = 1 + 50\alpha$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{101} \sum_{K=0}^{100} |K - 50| \alpha = 255$.
અહીં $\sum_{K=0}^{100} |K - 50| = 2550$ થાય છે.
તેથી,$\frac{\alpha \times 2550}{101} = 255$.
આમ,$\alpha = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$.

(C) વિચરણની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જ્યાં $a = 18$.
ગણતરી નીચે મુજબ છે:

$x_i$	$f_i$	$d_i = x_i - 18$	$f_i d_i$	$f_i d_i^2$
$6$	$2$	$-12$	$-24$	$288$
$10$	$4$	$-8$	$-32$	$256$
$14$	$7$	$-4$	$-28$	$112$
$18$	$12$	$0$	$0$	$0$
$24$	$8$	$6$	$48$	$288$
$28$	$4$	$10$	$40$	$400$
$30$	$3$	$12$	$36$	$432$
કુલ	$N = 40$	-	$\sum f_i d_i = 40$	$\sum f_i d_i^2 = 1776$

વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{1776}{40} - \left(\frac{40}{40}\right)^2$
$\sigma^2 = 44.4 - (1)^2$
$\sigma^2 = 44.4 - 1 = 43.4$.

(A) આપેલ અવલોકનો $\{k \alpha\}$ છે,જ્યાં $k=1, 2, \ldots, 50$.
આ અવલોકનો $\{\alpha, 2 \alpha, 3 \alpha, \ldots, 50 \alpha\}$ છે.
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n=50$ બેકી હોવાથી,મધ્યસ્થ $M$ એ $25$ માં અને $26$ માં પદની સરેરાશ થશે:
$M = \frac{25 \alpha + 26 \alpha}{2} = 25.5 \alpha$.
મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{50} |k \alpha - M| = 50$ છે.
$M = 25.5 \alpha$ મૂકતા:
$\frac{1}{50} \sum_{k=1}^{50} |k \alpha - 25.5 \alpha| = 50$.
$|\alpha| \sum_{k=1}^{50} |k - 25.5| = 2500$.
સરવાળો $\sum_{k=1}^{50} |k - 25.5| = |1-25.5| + |2-25.5| + \ldots + |50-25.5|$.
આ કિંમત $2 \times (24.5 + 23.5 + \ldots + 0.5) = 2 \times \frac{25}{2} (24.5 + 0.5) = 25 \times 25 = 625$ થાય.
તેથી,$|\alpha| \times 625 = 2500$.
$|\alpha| = \frac{2500}{625} = 4$.

(C) વિચલનાંક $(CV)$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,જ્યાં $\sigma$ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $\bar{x}$ એ મધ્યક છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$: $35, 45, 55, 65, 75, 85$
આવૃત્તિઓ $(f_i)$: $17, 28, 21, 15, 13, 6$
કુલ આવૃત્તિ $(N = \sum f_i)$ = $100$
$(f_i x_i)$ નો સરવાળો: $5470$
મધ્યક $(\bar{x})$ = $\frac{5470}{100} = 54.7$
આપેલ પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ = $14.72$
$CV = \frac{14.72}{54.7} \times 100 \approx 26.91$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપેલી સંખ્યાઓને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો: $2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 20$.
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ (જે બેકી છે),તેથી મધ્યસ્થ એ $5$ મા અને $6$ ઠ્ઠા અવલોકનનો સરેરાશ થશે.
મધ્યસ્થ $M = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
હવે,મધ્યસ્થથી નિરપેક્ષ વિચલન $|x_i - M|$ ગણો:
$|2 - 10| = 8, |3 - 10| = 7, |5 - 10| = 5, |7 - 10| = 3, |9 - 10| = 1, |11 - 10| = 1, |13 - 10| = 3, |15 - 10| = 5, |17 - 10| = 7, |20 - 10| = 10$.
આ નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $8 + 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 10 = 50$ છે.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum |x_i - M| = \frac{50}{10} = 5$ છે.

(D) આપેલ છે $x = \log_e \left[ \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right]$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
અહીં,$e^x = \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$.
તેથી $e^{-x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}$.
$\sinh x$ ના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\sinh x = \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} - \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right) = -\tan 2\theta$.

(A) ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $A: B: C = 5: 1: 6$ આપેલ છે. ધારો કે ખૂણાઓ $5k, k, 6k$ છે. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$5k + k + 6k = 180^{\circ}$,તેથી $12k = 180^{\circ}$,એટલે કે $k = 15^{\circ}$.
આમ,$A = 75^{\circ}$,$B = 15^{\circ}$,અને $C = 90^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
તેથી,$a: b: c = \sin 75^{\circ}: \sin 15^{\circ}: \sin 90^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ અને $\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ તથા $\sin 90^{\circ} = 1$.
તેથી,$a: b: c = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}: \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}: 1$.
$4$ વડે ગુણતા,$a: b: c = (\sqrt{6} + \sqrt{2}): (\sqrt{6} - \sqrt{2}): 4$.
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,$a: b: c = (\sqrt{3} + 1): (\sqrt{3} - 1): 2\sqrt{2}$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a$ અને $b$ છે. આ સમીકરણ $x^2-2 \sqrt{3} x+2=0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો પરથી,$a+b = 2 \sqrt{3}$ અને $ab = 2$ મળે.
ત્રીજી બાજુ $c$ કોસાઇનના નિયમ દ્વારા મળે છે: $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos(\frac{\pi}{3})$.
$a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab$ હોવાથી,$a^2+b^2 = (2 \sqrt{3})^2-2(2) = 12-4 = 8$ મળે.
તેથી,$c^2 = 8-2(2)(\frac{1}{2}) = 8-2 = 6$,જેનો અર્થ છે કે $c = \sqrt{6}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $a+b+c = 2 \sqrt{3}+\sqrt{6}$ છે.

(B) આપણને પદાવલિ $b \cos (C+\theta) + c \cos (B-\theta)$ આપેલ છે.
$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$= b(\cos C \cos \theta - \sin C \sin \theta) + c(\cos B \cos \theta + \sin B \sin \theta)$
$= (b \cos C + c \cos B) \cos \theta - (b \sin C - c \sin B) \sin \theta$
પ્રક્ષેપ સૂત્ર મુજબ,$b \cos C + c \cos B = a$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,જેનો અર્થ છે કે $b \sin C = c \sin B$,તેથી $b \sin C - c \sin B = 0$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= a \cos \theta - 0 \cdot \sin \theta = a \cos \theta$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે જ્યાં $a = 80$ અને ખૂણો $B = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે $b + c = 90$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$.
કિંમતો મૂકતા: $b^2 = 80^2 + c^2 - 2(80)(c) \cos(60^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,તેથી $b^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
સમીકરણમાં $b = 90 - c$ મૂકતા: $(90 - c)^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
$8100 - 180c + c^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
$1700 = 100c$.
$c = 17$.
તેથી $b = 90 - 17 = 73$.
બાજુઓ $80, 73, 17$ છે. સૌથી ટૂંકી બાજુ $17$ છે.

(B) આપેલ છે કે $b \cos \theta = c - a$,તેથી $\cos \theta = \frac{c - a}{b}$.
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \frac{\sqrt{b^2 - (c - a)^2}}{b}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{b^2 - (c - a)^2}}{c - a}$.
માટે,$(c - a) \tan \theta = \sqrt{b^2 - (c - a)^2} = \sqrt{b^2 - c^2 - a^2 + 2ac}$.
કોસાઇન નિયમ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 - c^2 - a^2 = -2ac \cos B$ મળે.
તેથી,$(c - a) \tan \theta = \sqrt{2ac - 2ac \cos B} = \sqrt{2ac(1 - \cos B)}$.
નિત્યસમ $1 - \cos B = 2 \sin^2 \frac{B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(c - a) \tan \theta = \sqrt{2ac \cdot 2 \sin^2 \frac{B}{2}} = \sqrt{4ac \sin^2 \frac{B}{2}} = 2 \sqrt{ca} \sin \frac{B}{2}$.

(A) આપેલ બાજુઓ $a: b: c = 4: 5: 6$ છે,ધારો કે $a = 4k$,$b = 5k$,અને $c = 6k$ જ્યાં $k > 0$ અચળાંક છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$.
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$.
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
હવે,ગુણોત્તર $\cos A : \cos B : \cos C = \frac{3}{4} : \frac{9}{16} : \frac{1}{8}$ શોધો.
છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ $16$ વડે ગુણતા:
$\cos A : \cos B : \cos C = 12 : 9 : 2$.

(A) આપેલ છે કે $\angle C = 90^{\circ}$,તેથી $A + B = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $B = 90^{\circ} - A$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin B = \sin(90^{\circ} - A) = \cos A$ મળે છે.
તેથી,$\sin^2 B = \cos^2 A$.
પદાવલિ $\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A - \cos^2 A} \sin(A - (90^{\circ} - A))$ બને છે.
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ અને $\sin^2 A - \cos^2 A = -\cos(2A)$ હોવાથી,પદાવલિ $\frac{1}{-\cos(2A)} \sin(2A - 90^{\circ})$ થાય છે.
$\sin(2A - 90^{\circ}) = -\cos(2A)$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\frac{1}{-\cos(2A)} \times (-\cos(2A)) = 1$ માં પરિણમે છે.

(B) ટેન્જન્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan(\frac{A-B}{2})}{\tan(\frac{A+B}{2})}$.
આપેલ છે કે $a = 2b$,તેથી $\frac{2b-b}{2b+b} = \frac{b}{3b} = \frac{1}{3}$.
વળી,$|A-B| = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\frac{A-B}{2} = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$\frac{1}{3} = \frac{\tan(\pi/6)}{\tan((A+B)/2)} = \frac{1/\sqrt{3}}{\tan((A+B)/2)}$.
આથી $\tan(\frac{A+B}{2}) = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $A+B = \frac{2\pi}{3}$.
કારણ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $C = \pi - (A+B) = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

(A) નેપિયરના સામ્યનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3} \tan \left(\frac{A+B}{2}\right)$.
$A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$,તેથી $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(\frac{C}{2}\right)$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{1}{3} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$.
$\cot \left(\frac{C}{2}\right) \neq 0$ ધારતા,આપણને $\frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $3(a-b) = a+b$,જેનું સાદું રૂપ $3a - 3b = a + b$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા $2a = 4b$,અથવા $\frac{a}{b} = \frac{4}{2} = 2$ મળે છે.
આમ,$a : b = 2 : 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a \cdot \frac{s(s-a)}{bc} + b \cdot \frac{s(s-b)}{ac} + c \cdot \frac{s(s-c)}{ab}$
$= \frac{s}{abc} [a^2(s-a) + b^2(s-b) + c^2(s-c)]$
$= \frac{s}{abc} [s(a^2+b^2+c^2) - (a^3+b^3+c^3)]$
નિત્યસમ $a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)$ અને $s = \frac{a+b+c}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને $s + \frac{\Delta}{R}$ માં સરળ બનાવીએ છીએ.

(D) દિકકોસાઇન $l, m, n$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ ની કિંમત $l^2-5m^2+n^2=0$ માં મૂકતા:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
કિસ્સો $1$: $l=m$. તો $n = -(l+m) = -2l$. દિકગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ એટલે કે $(1, 1, -2)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
કિસ્સો $2$: $l=-2m$. તો $n = -(-2m+m) = m$. દિકગુણોત્તર $(-2m, m, m)$ એટલે કે $(-2, 1, 1)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2+m^2-n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $m=0$. તો $l = -n$. દિક્ગુણોત્તર $(-1, 0, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -n$. તો $l = 0$. દિક્ગુણોત્તર $(0, -1, 1)$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓ સદિશ $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.