$XZ$-સમતલ બિંદુઓ $A(-2, 3, 4)$ અને $B(1, 2, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું જે બિંદુએ વિભાજન કરે છે તેના યામ શોધો:

ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ છે,અને $M$ અને $N$ એ રેખાઓ $\frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}$ અને $\frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}$ પરના બિંદુઓ છે,જેથી $MN$ એ આપેલી રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. તો $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$ ની કિંમત શોધો.

જો રેખાઓ $\frac{x - 1}{c} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 3}{4}$ અને $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{c}$ સમાંતર હોય,તો $c = ....$

રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ અને $\frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.

ધારો કે બિંદુ $A$ એ બિંદુ $P(a, b, 0)$ માંથી રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-\alpha}{3}$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. જો રેખાખંડ $PA$ નું મધ્યબિંદુ $(0, \frac{3}{4}, -\frac{1}{4})$ હોય,તો $a^2+b^2+\alpha^2$ ની કિંમત શોધો:

જો $P$ એ બિંદુ $A(\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખા પરનું બિંદુ હોય,જેથી $|AP|=18$ થાય,તો $P$ નો સ્થાન સદિશ શોધો.