AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $y=\sqrt{3}x$ અને $y=-\sqrt{3}x$ નું છેદબિંદુ $A(0, 0)$ છે.
$2$. $y=\sqrt{3}x$ અને $y=3$ નું છેદબિંદુ $B(\sqrt{3}, 3)$ છે.
$3$. $y=-\sqrt{3}x$ અને $y=3$ નું છેદબિંદુ $C(-\sqrt{3}, 3)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$c = AB = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (3-0)^2} = 2\sqrt{3}$.
$b = AC = \sqrt{(-\sqrt{3}-0)^2 + (3-0)^2} = 2\sqrt{3}$.
$a = BC = \sqrt{(\sqrt{3}-(-\sqrt{3}))^2 + (3-3)^2} = 2\sqrt{3}$.
$a=b=c$ હોવાથી,આ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું અંતઃકેન્દ્ર $(I)$ તેના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ જેટલું જ હોય છે.
$I = G = \left(\frac{0+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}, \frac{0+3+3}{3}\right) = (0, 2)$.

(D) ધારો કે $A(1, 2, 3), B(3, -1, 5), C(4, 0, -3)$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે. ધારો કે $O(x, y, z)$ એ પરિકેન્દ્ર છે. તેથી $OA = OB = OC$,જેનો અર્થ છે કે $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-5)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 10z + 25$
$4x - 6y + 4z = 20 \Rightarrow 2x - 3y + 2z = 10 \quad \dots (i)$
$OB^2 = OC^2 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-5)^2 = (x-4)^2 + y^2 + (z+3)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 10z + 25 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 + 6z + 9$
$2x + 2y - 16z = -10 \Rightarrow x + y - 8z = -5 \quad \dots (ii)$
$OA^2 = OC^2 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-4)^2 + y^2 + (z+3)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 + 6z + 9$
$6x - 4y - 12z = 11 \quad \dots (iii)$
સમીકરણો $(i), (ii),$ અને $(iii)$ ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{7}{2}, y = -\frac{1}{2}, z = 1$ મળે છે.
આમ,પરિકેન્દ્ર $\left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2+4xy-6y^2+2x+8y+1=0$ છે.
તેને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, h=2, b=-6, g=1, f=4, c=1$ મળે છે.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,ઉગમબિંદુને $(h_0, k_0)$ બિંદુ પર ખસેડવું પડે,જે આંશિક વિકલન $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ના છેદબિંદુ દ્વારા મળે છે.
આ સમીકરણો $4x+4y+2=0$ અને $4x-12y+8=0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x+2y=-1$
$2x-6y=-4$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8y=3 \implies y=\frac{3}{8}$.
$y=\frac{3}{8}$ ને $2x+2y=-1$ માં મૂકતા:
$2x+2(\frac{3}{8})=-1 \implies 2x+\frac{3}{4}=-1 \implies 2x=-\frac{7}{4} \implies x=-\frac{7}{8}$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $\left(-\frac{7}{8}, \frac{3}{8}\right)$ છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ છે અને તેની મધ્યગા $AD = 9$ એકમ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર $O$ એ મધ્યગા $AD$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર હોવાથી અને તે શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું હોવાથી,$O$ એ $\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ હોય છે.
તેથી,કેન્દ્ર $O$ થી શિરોબિંદુ $A$ સુધીનું અંતર એ વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે.
$R = AO = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times 9 = 6$ એકમ.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્ર અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = R^2$ છે.
$R = 6$ મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 6^2 = 36$ મળે છે.

(A) ધારો કે મૂળ યામ $(X, Y)$ છે અને નવા યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ પરિભ્રમણ ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે.
રૂપાંતરિત સમીકરણ $x^2+y^2-6x+8y+21=0$ માં $x = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{-X+Y}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,
સાદુરૂપ આપતા આપણને $X^2+Y^2 - 7\sqrt{2}X + \sqrt{2}Y + 21 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. $P$ એ રેખા $3x + y + 4 = 0$ પર હોવાથી,$y = -3x - 4$ મળે.
ધારો કે $A = (-5, 6)$ અને $B = (3, 2)$.
$P$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA^2 = PB^2$.
$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$.
$x^2 + 10x + 25 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4$.
$16x - 8y + 48 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $2x - y + 6 = 0$ થાય.
$y = -3x - 4$ ને $2x - y + 6 = 0$ માં મૂકતા:
$2x - (-3x - 4) + 6 = 0$.
$5x + 10 = 0 \implies x = -2$.
તેથી $y = -3(-2) - 4 = 6 - 4 = 2$.
બિંદુ $(-2, 2)$ છે.

(A) રેખાઓ $x=0, y=0$ અને $3x+4y=12$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 0), B(0, 3)$ અને $C(4, 0)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $a=5, b=4, c=3$ છે.
અંતઃકેન્દ્રનું સૂત્ર $\left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$I_x = \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{12} = 1$ અને $I_y = \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{12} = 1$.
તેથી,અંતઃકેન્દ્ર $(1, 1)$ છે.

(A) ધારો કે $A = (2, 0)$ અને $B = (6, 4)$.
સદિશ $\vec{AB} = (4, 4)$ છે.
લંબાઈ $r = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ છે.
પ્રારંભિક ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
ઋણ દિશામાં $45^{\circ}$ પરિભ્રમણ પછી નવો ખૂણો $\theta' = 45^{\circ} - 45^{\circ} = 0^{\circ}$ થાય.
નવા યામ $(x', y') = (2 + r \cos(0^{\circ}), 0 + r \sin(0^{\circ})) = (2 + 4\sqrt{2}, 0)$ મળે.

(A) ધારો કે $B = (x_1, y_1)$. $3x + 4y - 18 = 0$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ રેખા પર આવેલું છે.
$M = (\frac{x_1+3}{2}, \frac{y_1-4}{2})$. રેખાના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3(\frac{x_1+3}{2}) + 4(\frac{y_1-4}{2}) - 18 = 0 \implies 3x_1 + 4y_1 = 43$.
વળી,$AB$ નો ઢાળ રેખા $3x + 4y - 18 = 0$ (ઢાળ $-3/4$) ને લંબ છે. તેથી,$AB$ નો ઢાળ $= 4/3$.
$\frac{y_1+4}{x_1-3} = \frac{4}{3} \implies 4x_1 - 3y_1 = 24$.
સમીકરણો ઉકેલતા: $x_1 = 9$ અને $y_1 = 4$. તેથી $B = (9, 4)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{3+9+6}{3}, \frac{-4+4+3}{3}) = (6, 1)$.

(D) ધારો કે રેખા $L$ બિંદુ $P(1, 5)$ માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે રેખા $L$ એ $L_1: 5x - y - 4 = 0$ ને $A(x_1, y_1)$ માં અને $L_2: 3x + 4y - 4 = 0$ ને $B(x_2, y_2)$ માં છેદે છે.
$P(1, 5)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$x_1 + x_2 = 2$ અને $y_1 + y_2 = 10$ મળે.
$A$ એ $L_1$ પર હોવાથી,$5x_1 - y_1 - 4 = 0$,તેથી $y_1 = 5x_1 - 4$.
$B$ એ $L_2$ પર હોવાથી,$3x_2 + 4y_2 - 4 = 0$,તેથી $y_2 = 1 - \frac{3}{4}x_2$.
$x_2 = 2 - x_1$ અને $y_2 = 10 - y_1$ ને $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(2 - x_1) + 4(10 - y_1) - 4 = 0 \implies 3x_1 + 4y_1 = 42$.
હવે $y_1 = 5x_1 - 4$ અને $3x_1 + 4y_1 = 42$ ને ઉકેલતા $x_1 = \frac{58}{23}$ અને $y_1 = \frac{198}{23}$ મળે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $m = \frac{5 - \frac{198}{23}}{1 - \frac{58}{23}} = \frac{83}{35}$.
$L$ નું સમીકરણ $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1) \implies 83x - 35y + 92 = 0$.

(B) બિંદુઓના યામ $P(-1, 0)$,$Q(0, 0)$ અને $R(3, 3\sqrt{3})$ છે.
રેખા $QP$ અને $QR$ ના ઢાળ શોધો.
$QP$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $0$ છે.
$QR$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $\sqrt{3}$ છે.
રેખા $QP$ નો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $0^\circ$ છે.
રેખા $QR$ નો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
$\angle PQR$ નો દ્વિભાજક $x$-અક્ષ સાથે $\theta = \frac{0^\circ + 60^\circ}{2} = 30^\circ$ નો ખૂણો બનાવશે.
પરંતુ,$P$ એ $x$-અક્ષની ઋણ દિશામાં હોવાથી,ખૂણો $120^\circ$ થશે.
તેથી,દ્વિભાજકનો ઢાળ $m = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$ થશે.
સમીકરણ $y = -\sqrt{3}x$ એટલે કે $\sqrt{3}x + y = 0$ મળે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુ $P(a, b)$ એ $3x + 2y = 13$ પર છે,તેથી $3a + 2b = 13$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે બિંદુ $Q(b, a)$ એ $4x - y = 5$ પર છે,તેથી $4b - a = 5$,જેનો અર્થ છે $a = 4b - 5$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$3(4b - 5) + 2b = 13$
$12b - 15 + 2b = 13$
$14b = 28 \implies b = 2$.
$b = 2$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$a = 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3$.
આમ,$P = (3, 2)$ અને $Q = (2, 3)$.
રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{3 - 2}{2 - 3} = \frac{1}{-1} = -1$.
બિંદુ $(3, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$y - 2 = -1(x - 3)$
$y - 2 = -x + 3$
$x + y = 5$.

(A) $P(3,4)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta = \frac{\pi}{6}$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ પ્રાચલ સ્વરૂપમાં: $\frac{x-3}{\cos(\pi/6)} = \frac{y-4}{\sin(\pi/6)} = r$ છે,જ્યાં $r$ એ $PQ$ નું અંતર છે.
તેથી,$x = 3 + r \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $y = 4 + \frac{r}{2}$.
$Q$ એ $12x+5y+10=0$ પર હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$12(3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$
$36 + 6r\sqrt{3} + 20 + 2.5r + 10 = 0$
$66 + r(6\sqrt{3} + 2.5) = 0$
$r = \frac{66}{6\sqrt{3} + 2.5} = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$.

(B) આપેલ રેખા $(2x + 3y + 4) + \lambda(6x - y + 12) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(2 + 6\lambda)x + (3 - \lambda)y + (4 + 12\lambda) = 0$ મળે.
આ રેખાનો ઢાળ $(m_1)$ $-\frac{2 + 6\lambda}{3 - \lambda}$ છે.
બીજી રેખા $7x + 5y = 2$ છે,જેનો ઢાળ $(m_2)$ $-\frac{7}{5}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,તેથી $m_1 \times m_2 = -1$.
$(-\frac{2 + 6\lambda}{3 - \lambda}) \times (-\frac{7}{5}) = -1$.
$\frac{14 + 42\lambda}{5(3 - \lambda)} = -1$.
$14 + 42\lambda = -15 + 5\lambda$.
$37\lambda = -29$.
$\lambda = -\frac{29}{37}$.

(C) $x - y = 5$ રેખાનો ઢાળ $m = 1$ છે.
માંગેલ રેખા $P(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x - y = 5$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y - 1 = 1(x - 1)$ એટલે કે $y = x$ અથવા $x - y = 0$ થાય.
છેદબિંદુ $Q$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$x - y = 0$
$x + 3y = 2$
બીજા સમીકરણમાં $x = y$ મૂકતા: $y + 3y = 2 \implies 4y = 2 \implies y = 0.5$.
આમ,$x = 0.5$. બિંદુ $Q$ એ $(0.5, 0.5)$ છે.
$PQ$ રેખાખંડની લંબાઈ $\sqrt{(1 - 0.5)^2 + (1 - 0.5)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
$PQ$ ની લંબાઈના બમણા $2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ થાય.

(A) આપેલ રેખા $5x - y = 1$ છે,જેને $y = 5x - 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 5$ છે.
રેખા $L$ આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times 5 = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $m = -1/5$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $y = -\frac{1}{5}x + c$ અથવા $x + 5y = 5c$ છે. ધારો કે $k = 5c$,તેથી સમીકરણ $x + 5y = k$ છે.
આ રેખાના અંતઃખંડો $x = k$ (જ્યારે $y=0$) અને $y = k/5$ (જ્યારે $x=0$) છે.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_{int} \times y_{int}| = 5$ છે.
$\frac{1}{2} |k \times \frac{k}{5}| = 5 \implies |k^2| = 50 \implies k = \pm \sqrt{50} = \pm 5 \sqrt{2}$.
આમ,રેખા $L$ નું સમીકરણ $x + 5y = \pm 5 \sqrt{2}$ છે.

(D) રેખા $y - 3kx + 4 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = 3k$ છે.
રેખા $(2k - 1)x - (8k - 1)y - 6 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2k - 1}{8k - 1}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$3k \times \left(\frac{2k - 1}{8k - 1}\right) = -1$.
$6k^2 - 3k = -8k + 1$.
$6k^2 + 5k - 1 = 0$.
$(6k - 1)(k + 1) = 0$.
તેથી,$k = \frac{1}{6}$ અથવા $k = -1$.
$k_1 > k_2$ આપેલ હોવાથી,$k_1 = \frac{1}{6}$ અને $k_2 = -1$.
જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{k_2}{k_1} = \frac{-1}{1/6} = -6$ છે.
$(k_1, k_2) = (\frac{1}{6}, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -6$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-1) = -6(x - \frac{1}{6})$.
$y + 1 = -6x + 1$.
$6x + y = 0$.

(B) ધારો કે રેખા $L(x, y) = 3x - 5y + a = 0$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ રેખા $Ax + By + C = 0$ ની એક જ બાજુએ હોય તે માટે,$L(x_1, y_1)$ અને $L(x_2, y_2)$ ના ચિહ્નો સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $L(x_1, y_1) \times L(x_2, y_2) > 0$.
બિંદુ $(1, 2)$ માટે,$L(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = a - 7$.
બિંદુ $(3, 4)$ માટે,$L(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = a - 11$.
આમ,આપણે $(a - 7)(a - 11) > 0$ ની જરૂર છે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે છે જ્યારે $a < 7$ અથવા $a > 11$ હોય.

(D) ધારો કે રેખા $3x - 4y + 1 = 0$ પરનું બિંદુ $A(x, y)$ એ બિંદુ $P(3, 2)$ થી $5$ એકમ અંતરે છે.
બિંદુ $(3, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{\cos \theta} = \frac{y-2}{\sin \theta} = r$ છે.
$r = \pm 5$ માટે,$x = 3 \pm 5 \cos \theta$ અને $y = 2 \pm 5 \sin \theta$ મળે.
આ બિંદુ રેખા $3x - 4y + 1 = 0$ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(3 \pm 5 \cos \theta) - 4(2 \pm 5 \sin \theta) + 1 = 0$
$9 \pm 15 \cos \theta - 8 \mp 20 \sin \theta + 1 = 0$
રેખા $3x - 4y + 1 = 0$ નો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે,તેથી $\tan \theta = \frac{3}{4}$.
આથી $\sin \theta = \pm \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$ મળે.
આ કિંમતો $x = 3 \pm 5 \cos \theta$ અને $y = 2 \pm 5 \sin \theta$ માં મૂકતા:
ધન ચિહ્ન માટે: $x = 3 + 5(\frac{4}{5}) = 7$ અને $y = 2 + 5(\frac{3}{5}) = 5$.
ઋણ ચિહ્ન માટે: $x = 3 - 5(\frac{4}{5}) = -1$ અને $y = 2 - 5(\frac{3}{5}) = -1$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(7, 5)$ અને $(-1, -1)$ છે.

(A) રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 3 & 2 & -2 \\ k & -3 & -23 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(2(-23) - (-2)(-3)) - 1(3(-23) - (-2)(k)) - 3(3(-3) - 2(k)) = 0$
$2(-46 - 6) - 1(-69 + 2k) - 3(-9 - 2k) = 0$
$-104 + 96 + 4k = 0$
$4k = 8 \implies k = 2$
$k = 2$ ને દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^2 - 7x + k = 0$ માં મૂકતા:
$6x^2 - 7x + 2 = 0$
$(2x - 1)(3x - 2) = 0$
તેથી બીજ $x = 1/2$ અને $x = 2/3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં છે,તેથી $\frac{1}{b} = \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{a} - \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 0$ મળે છે.
રેખાનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{2}{c} = 0$ છે.
આને હાર્મોનિક શ્રેણીની શરત સાથે સરખાવતા,આપણે રેખાના સમીકરણને $\frac{1}{a}(x) + \frac{1}{b}(y) + \frac{1}{c}(-2) = 0$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
જો આપણે $x = 1$ અને $y = -2$ લઈએ,તો સમીકરણ $\frac{1}{a} - \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 0$ બને છે,જે હાર્મોનિક શ્રેણીની શરત છે.
આમ,રેખાઓ $(1, -2)$ બિંદુએ સંગામી છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુઓ $(1,1), (-6,0),$ અને $(-2,2)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1$) $(1,1)$ માટે: $2g + 2f + c = -2$.
$2$) $(-6,0)$ માટે: $-12g + c = -36$.
$3$) $(-2,2)$ માટે: $-4g + 4f + c = -8$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $-6g + 2f = -6 \implies f = 3g - 3$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$c = 12g - 36$.
આ કિંમતો $(1)$ માં મૂકતા: $2g + 2(3g - 3) + (12g - 36) = -2 \implies 20g = 40 \implies g = 2$.
તેથી $f = 3$ અને $c = -12$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x + 6y - 12 = 0$ છે.
વિકલ્પ $(C) (-2,-8)$ ચકાસતા: $(-2)^2 + (-8)^2 + 4(-2) + 6(-8) - 12 = 4 + 64 - 8 - 48 - 12 = 0$.
આમ,બિંદુ $(-2,-8)$ વર્તુળ પર આવેલું છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
$P(-1, -1)$ થી $C(1, 2)$ નું અંતર $d = \sqrt{13}$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{13 - 9} = 2$ છે.
ત્રિકોણ $PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{24}{13}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $P(-1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે. તે $P(-1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$-\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ મળે.
ધારો કે $AB$ પરનું બિંદુ $Q(h, k)$ એવું છે કે $PA, PQ, PB$ હરાત્મક શ્રેણીમાં છે. હરાત્મક શ્રેણી માટેની શરત $\frac{2}{PQ} = \frac{1}{PA} + \frac{1}{PB}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = m(x + 1)$ લો. $x$-અંતઃખંડ $A$ મેળવવા માટે $y=0$ મૂકતા: $-2 = m(x+1) \implies x = -1 - \frac{2}{m}$. તેથી $A = (-1 - \frac{2}{m}, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ $B$ મેળવવા માટે $x=0$ મૂકતા: $y - 2 = m(1) \implies y = 2 + m$. તેથી $B = (0, 2 + m)$.
$PA = \sqrt{(-1 - \frac{2}{m} - (-1))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{\frac{4}{m^2} + 4} = \frac{2}{|m|} \sqrt{1 + m^2}$.
$PB = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 + m - 2)^2} = \sqrt{1 + m^2}$.
$Q(h, k)$ એ $AB$ પર હોવાથી,$k - 2 = m(h + 1) \implies m = \frac{k-2}{h+1}$.
અક્ષો પરના રેખાખંડો માટે હરાત્મક મધ્યકની ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ નો બિંદુપથ $2x - y + 4 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+2xy+y^2-8mx-8my-9m^2=0$ છે.
આને $(x+y)^2-8m(x+y)-9m^2=0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $X = x+y$. તો સમીકરણ $X^2-8mX-9m^2=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(X-9m)(X+m)=0$.
તેથી,બે રેખાઓ $x+y-9m=0$ અને $x+y+m=0$ છે.
આ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ સ્વરૂપની સમાંતર રેખાઓ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A=1, B=1, C_1=-9m, C_2=m$.
$d = \frac{|-9m-m|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-10m|}{\sqrt{2}} = \frac{10|m|}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}|m|$.
જો $m>0$ લઈએ,તો અંતર $5\sqrt{2}m$ થાય.

(C) બાજુઓનું સમીકરણ $(x^2+7xy+2y^2)(y-1)=0$ છે.
આથી બાજુઓ $x^2+7xy+2y^2=0$ અને $y-1=0$ છે.
રેખાઓ $x^2+7xy+2y^2=0$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1+m_2 = -7/2$ અને ગુણાકાર $m_1m_2 = 1/2$ છે.
શિરોબિંદુઓ: $V_1 = (1/m_1, 1)$,$V_2 = (1/m_2, 1)$,અને $V_3 = (0,0)$.
મધ્યકેન્દ્ર $(G_x, G_y) = (\frac{1/m_1+1/m_2+0}{3}, \frac{1+1+0}{3})$.
$G_x = \frac{m_1+m_2}{3m_1m_2} = \frac{-7/2}{3/2} = -7/3$.
$G_y = 2/3$.
તેથી,મધ્યકેન્દ્ર $(-\frac{7}{3}, \frac{2}{3})$ છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $x-y=2$ છે,જેને $\frac{x-y}{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
આને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $5x^2+12xy-8y^2+(8x-4y)(1) + 12(1)^2=0$.
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$20x^2+48xy-32y^2+2(8x-4y)(x-y)+3(x^2-2xy+y^2)=0$.
સાદુરૂપ આપતા: $39x^2+18xy-21y^2=0$.
$3$ વડે ભાગતા: $13x^2+6xy-7y^2=0$.
અવયવ પાડતા: $(13x-7y)(x+y)=0$.
આ રેખાઓ $13x-7y=0$ અને $x+y=0$ છે.
આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો $xy=0$ રેખાઓની જોડ સાથે સમાન રીતે નમેલા છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+2xy+y^2-8mx-8my-9m^2=0$ છે.
આને $(x+y)^2-8m(x+y)-9m^2=0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $X = x+y$. તો સમીકરણ $X^2-8mX-9m^2=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(X-9m)(X+m)=0$.
તેથી,$X=9m$ અથવા $X=-m$.
આ બે સમાંતર રેખાઓ આપે છે: $x+y-9m=0$ અને $x+y+m=0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
અહીં,$A=1, B=1, C_1=-9m, C_2=m$.
$d = \frac{|-9m-m|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-10m|}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}|m|$.
જો $m > 0$ હોય,તો અંતર $5\sqrt{2}m$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{a} + \frac{2}{h}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{b}(\frac{y}{x})^2 = 0$ મળે. ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ ઢાળ છે. તેથી $\frac{1}{b}m^2 + \frac{2}{h}m + \frac{1}{a} = 0$.
ધારો કે ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_2 = 2m_1$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2b}{h}$.
તેથી,$3m_1 = -\frac{2b}{h} \implies m_1 = -\frac{2b}{3h}$.
બીજનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{b}{a}$.
તેથી,$2m_1^2 = \frac{b}{a} \implies 2(-\frac{2b}{3h})^2 = \frac{b}{a}$.
$2(\frac{4b^2}{9h^2}) = \frac{b}{a} \implies \frac{8b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$.
$b$ વડે ભાગતા,$\frac{8b}{9h^2} = \frac{1}{a} \implies \frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$.

(C) બાજુઓનું સમીકરણ $(x^2+7xy+2y^2)(y-1)=0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બાજુઓ $x^2+7xy+2y^2=0$ અને $y-1=0$ છે.
$x^2+7xy+2y^2=0$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી બે રેખાઓ દર્શાવે છે.
ત્રીજી રેખા $y=1$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $y=1$ મૂકતા $x^2+7x+2=0$ મળે. જેના બીજ $x_1, x_2$ છે.
શિરોબિંદુઓ $V_2 = (x_1, 1)$ અને $V_3 = (x_2, 1)$ છે.
બીજનો સરવાળો $x_1+x_2 = -7$.
મધ્યકેન્દ્ર $(G_x, G_y) = (\frac{0+x_1+x_2}{3}, \frac{0+1+1}{3}) = (\frac{-7}{3}, \frac{2}{3})$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 3xy + Ky^2 = 0$ છે.
$Ky^2$ વડે ભાગતા,આપણને ઢાળ $m = \frac{y}{x}$ ના સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$Km^2 + 3m + 2 = 0$.
એક ઢાળ $m_1 = 2$ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$K(2)^2 + 3(2) + 2 = 0$ $\Rightarrow 4K + 8 = 0$ $\Rightarrow K = -2$.
$K = -2$ ને $Km^2 + 3m + 2 = 0$ માં મૂકતા:
$-2m^2 + 3m + 2 = 0 \Rightarrow 2m^2 - 3m - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2m + 1)(m - 2) = 0$.
આમ,ઢાળ $m_1 = 2$ અને $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
$m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2+7xy+2y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(3x+y)(x+2y)=0$ મળે.
બે રેખાઓ $L_1: 3x+y=0$ અને $L_2: x+2y=0$ છે.
$(\alpha, 1)$ થી $L_1$ અને $L_2$ પરના લંબની લંબાઈ $p_1 = \frac{|3\alpha+1|}{\sqrt{10}}$ અને $p_2 = \frac{|\alpha+2|}{\sqrt{5}}$ છે.
લંબાઈનો ગુણાકાર $p_1 p_2 = \frac{|3\alpha^2+7\alpha+2|}{5\sqrt{2}}$ છે.
આપેલ છે કે $p_1 p_2 = \frac{\sqrt{2}}{5}$,તેથી $|3\alpha^2+7\alpha+2| = 2$.
કિસ્સો $1$: $3\alpha^2+7\alpha+2 = 2 \implies \alpha = 0, -\frac{7}{3}$.
કિસ્સો $2$: $3\alpha^2+7\alpha+2 = -2 \implies \alpha = -\frac{4}{3}, -1$.
$P = \{0, -\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -1\}$ નો સરવાળો $-\frac{14}{3}$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2\sqrt{3}xy + 2y^2 = 0$ છે. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$h = -\sqrt{3}$,અને $b = 2$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{3 - 2}}{1 + 2} \right| = \frac{2}{3}$ મળે છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ $\tan \theta = \sqrt{3}$ થાય.
પ્રશ્નના માળખાને જોતા,આપેલ સમીકરણમાં ભૂલ જણાય છે. યોગ્ય ગણતરી મુજબ સાચો જવાબ $3\sqrt{2} + 6$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 + 3xy + y^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h = 3$ (તેથી $h = 3/2$),અને $b = 1$ મળે છે.
ધારો કે $m_1 = \tan \theta_1$ અને $m_2 = \tan \theta_2$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -2h/b = -3$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = a/b = 2$ થાય છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\tan(\theta_1 - \theta_2)| = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(m_1 - m_2)^2 = (-3)^2 - 4(2) = 9 - 8 = 1$.
તેથી,$|m_1 - m_2| = 1$.
આમ,$|\tan(\theta_1 - \theta_2)| = |\frac{1}{1 + 2}| = 1/3$.

(A) ધારો કે આપેલ સમીકરણો છે:
$x^2-16pxy-y^2=0 \quad (i)$
$x^2-16qxy-y^2=0 \quad (ii)$
રેખાઓની જોડી $ax^2+2hxy+by^2=0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(i)$ માટે,$a=1, b=-1, h=-8p$. દ્વિભાજકો છે $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-8p} \implies \frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-8p} \implies -8px^2-2xy+8py^2=0 \quad (iii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માટે,$a=1, b=-1, h=-8q$. દ્વિભાજકો છે $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-8q} \implies \frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-8q} \implies -8qx^2-2xy+8qy^2=0 \quad (iv)$.
દરેક જોડી બીજી જોડી વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતી હોવાથી,સમીકરણ $(i)$ એ સમીકરણ $(iv)$ જેવું જ હોવું જોઈએ અને સમીકરણ $(ii)$ એ સમીકરણ $(iii)$ જેવું જ હોવું જોઈએ.
$(i)$ અને $(iv)$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{1}{-8q} = \frac{-16p}{-2} = \frac{-1}{8q}$. આનાથી $1 = -64pq$ મળે છે,તેથી $pq = \frac{-1}{64}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $3$ ઘાતનું સમપરિમાણીય સમીકરણ છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રણ રેખાઓ દર્શાવે છે.
સમીકરણને $x^3$ વડે ભાગતા,$2 + \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^3 = 0$ મળે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$,તો $m^3 + m + 2 = 0$.
અવલોકન કરતા,$m = -1$ એ એક બીજ છે.
તેથી,ત્રીજી રેખાનો ઢાળ $-1$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી: $4xy + 2x + 6y + 3 = 0$.
અવયવ પાડતા:
$2x(2y + 1) + 3(2y + 1) = 0$
$(2x + 3)(2y + 1) = 0$.
તેથી,રેખાઓ $x = -\frac{3}{2}$ અને $y = -\frac{1}{2}$ છે.
$x = -\frac{3}{2}$ ને લંબ રેખા $y = 1$ છે,જે $(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
$y = -\frac{1}{2}$ ને લંબ રેખા $x = 2$ છે,જે $(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ બંને રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ $(y - 1)(x - 2) = 0$ છે.
જેનું સાદું રૂપ $xy - x - 2y + 2 = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે.
રેખા $L_1$ એ $x+2y+7=0$ ને લંબ છે. $x+2y+7=0$ નો ઢાળ $m = -1/2$ છે. તેથી,$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = 2$ છે. $L_1$ નું સમીકરણ $y = 2x$ અથવા $2x-y=0$ છે.
રેખા $L_2$ એ $3x+4y+5=0$ ને સમાંતર છે. $3x+4y+5=0$ નો ઢાળ $m = -3/4$ છે. તેથી,$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -3/4$ છે. $L_2$ નું સમીકરણ $y = -3/4x$ અથવા $3x+4y=0$ છે.
રેખાઓની જોડીનું સંયુક્ત સમીકરણ $(2x-y)(3x+4y) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $6x^2 + 8xy - 3xy - 4y^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $6x^2 + 5xy - 4y^2 = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $6x^2+13xy+6y^2=0$ અને $6x^2+13xy+6y^2+10x+10y+4=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$6x^2+9xy+4xy+6y^2=0$
$3x(2x+3y)+2y(2x+3y)=0$
$(3x+2y)(2x+3y)=0$
તેથી,રેખાઓ $L_1: 3x+2y=0$ અને $L_2: 2x+3y=0$ છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$6x^2+13xy+6y^2+10x+10y+4=0$
$(3x+2y+2)(2x+3y+2)=0$
તેથી,રેખાઓ $L_3: 3x+2y+2=0$ અને $L_4: 2x+3y+2=0$ છે.
રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ સમાંતર છે,અને $L_2$ અને $L_4$ સમાંતર છે,તેથી આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતર રેખાઓ $ax+by+c_1=0$ અને $ax+by+c_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ છે.
$L_1$ અને $L_3$ વચ્ચેનું અંતર: $d_1 = \frac{|2-0|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
$L_2$ અને $L_4$ વચ્ચેનું અંતર: $d_2 = \frac{|2-0|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
કારણ કે $d_1 = d_2$ અને રેખાઓ લંબ નથી (ઢાળ $-3/2$ અને $-2/3$ છે),તેથી આકૃતિ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(D) પ્રથમ જોડીની રેખાઓ $xy+4x-3y-12=0$ છે,જેનું અવયવીકરણ $(x-3)(y+4)=0$ થાય છે. તેથી,રેખાઓ $x=3$ અને $y=-4$ છે.
બીજી જોડીની રેખાઓ $xy-3x+4y-12=0$ છે,જેનું અવયવીકરણ $(x+4)(y-3)=0$ થાય છે. તેથી,રેખાઓ $x=-4$ અને $y=3$ છે.
ચોરસ બનાવતી ચાર રેખાઓ $x=3, x=-4, y=-4, y=3$ છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(3, 3), (3, -4), (-4, -4), (-4, 3)$ છે.
વિકર્ણો $(3, 3)$ થી $(-4, -4)$ અને $(3, -4)$ થી $(-4, 3)$ ને જોડે છે.
$(3, 3)$ અને $(-4, -4)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણનું સમીકરણ $y-3 = \frac{-4-3}{-4-3}(x-3)$ છે,જે $y-3 = x-3$ એટલે કે $x-y=0$ માં પરિણમે છે.
$(3, -4)$ અને $(-4, 3)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણનું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ છે,જે $y+4 = -1(x-3)$ એટલે કે $x+y+1=0$ માં પરિણમે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y)(x+y+1) = x^2+xy+x-xy-y^2-y = x^2-y^2+x-y=0$ છે.

(B) પ્રથમ,$3x^2 + 8xy - 3y^2 + 2x - 4y - 1 = 0$ રેખાઓની જોડીના અવયવ પાડો.
સમીકરણને $3x^2 + (8y + 2)x - (3y^2 + 4y + 1) = 0$ તરીકે લખો.
$x$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-(8y+2) \pm \sqrt{(8y+2)^2 + 4(3)(3y^2+4y+1)}}{2(3)}$.
વિવેચકનું સાદું રૂપ આપતા: $(64y^2 + 32y + 4) + (36y^2 + 48y + 12) = 100y^2 + 80y + 16 = (10y+4)^2$.
આમ,$x = \frac{-8y-2 \pm (10y+4)}{6}$.
આનાથી બે રેખાઓ મળે છે: $3x - y - 1 = 0$ અને $x + 3y + 1 = 0$.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 3$ અને $m_2 = -1/3$ છે. $m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,આ બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
ત્રીજી રેખા $4x - 3y - 2 = 0$ છે,જેનો ઢાળ $m_3 = 4/3$ છે.
પ્રથમ બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેઓ ત્રીજી રેખા સાથે મળીને કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $x + 2y + 1 = 0$ છે,જેને $-(x + 2y) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)(-(x + 2y)) - (-(x + 2y))^2 = 0$.
સાદુરૂપ આપતા: $2x^2 - 2xy + 3y^2 - (2x^2 + 3xy - 2y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = 0$.
$-x^2 - 9xy + y^2 = 0$,એટલે કે $x^2 + 9xy - y^2 = 0$.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = -1$ મળે.
અહીં $a + b = 0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 - 3xy + y^2 = 0$ છે.
તેના અવયવ પાડતા,$(2x - y)(x - y) = 0$ મળે છે.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: y = 2x$ અને $L_2: y = x$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x + y = 1$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x + 2x = 1 \implies 3x = 1 \implies x = 1/3, y = 2/3$. શિરોબિંદુ $(1/3, 2/3)$ છે.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x + x = 1 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2, y = 1/2$. શિરોબિંદુ $(1/2, 1/2)$ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(1/3, 2/3)$,અને $C(1/2, 1/2)$ છે.
$B$ માંથી $AC$ પરના વેધનું સમીકરણ $y = -x + 1$ મળે છે.
$C$ માંથી $AB$ પરના વેધનું સમીકરણ $y = -1/2x + 3/4$ મળે છે.
આ બંનેને ઉકેલતા,લંબકેન્દ્ર $(1/2, 1/2)$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $6x^2 - 5xy - 6y^2 + x + 5y - 1 = 0$ છે.
પ્રથમ,આપણે $6x^2 - 5xy - 6y^2$ ના અવયવ પાડીએ:
$(3x + 2y)(2x - 3y) = 0$.
રેખાઓ $(3x + 2y - 1) = 0$ અને $(2x - 3y + 1) = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાઓનું લંબ અંતર $d_1 = \frac{1}{\sqrt{13}}$ અને $d_2 = \frac{1}{\sqrt{13}}$ છે.
તેથી,અંતરનો ગુણાકાર $\frac{1}{13}$ થાય.

(A) રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $2x^2 + 3xy + ky^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,$k(\frac{y}{x})^2 + 3(\frac{y}{x}) + 2 = 0$ મળે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે. તેથી $km^2 + 3m + 2 = 0$.
આપેલ છે કે એક ઢાળ $m_1 = 2$ છે,તેથી $k(2)^2 + 3(2) + 2 = 0 \implies 4k + 8 = 0 \implies k = -2$.
સમીકરણ $2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$ બને છે.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = -2$ મળે.
અહીં $a + b = 2 - 2 = 0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(NONE) ત્રિકોણની બાજુઓને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળોનું રેડિકલ કેન્દ્ર એ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર (orthocentre) હોય છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H = (-6,5)$.
ધારો કે $A = (3,2)$,$B = (2,1)$,અને $C = (x,y)$.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{y-1}{x-2}$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$AH$ નો ઢાળ $m_{AH} = \frac{5-2}{-6-3} = -\frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$m_{BC} = 3$.
આમ,$3x-y = 5$ $(1)$.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{y-2}{x-3}$ છે.
$BH \perp AC$ હોવાથી,$BH$ નો ઢાળ $m_{BH} = \frac{5-1}{-6-2} = -\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$m_{AC} = 2$.
આમ,$2x-y = -4$ $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,$x = 9$ અને $y = 22$ મળે છે.
તેથી,$C = (9,22)$.

(C) $x^2+5x+6=0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta = -5$ અને $\alpha\beta = 6$ થાય.
$y^2+6y+7=0$ ના બીજ $\gamma, \delta$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\gamma+\delta = -6$ અને $\gamma\delta = 7$ થાય.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
અહીં,અંત્યબિંદુઓ $(\alpha, \gamma)$ અને $(\beta, \delta)$ છે.
તેથી,સમીકરણ $(x-\alpha)(x-\beta) + (y-\gamma)(y-\delta) = 0$ થશે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta + y^2 - (\gamma+\delta)y + \gamma\delta = 0$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (-5)x + 6 + y^2 - (-6)y + 7 = 0$.
જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 + 5x + 6y + 13 = 0$ થાય છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(x, y)$ છે.
વર્તુળ બિંદુઓ $A(5, 7)$ અને $B(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી અંતર $CA$ અને $CB$ એ ત્રિજ્યા $r = 2.5$ જેટલા છે.
$CA^2 = CB^2 = r^2 = (2.5)^2 = 6.25$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 6.25$ ---$(1)$
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 6.25$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(x - 5)^2 - (x - 2)^2 + (y - 7)^2 - (y - 3)^2 = 0$
$(x^2 - 10x + 25 - x^2 + 4x - 4) + (y^2 - 14y + 49 - y^2 + 6y - 9) = 0$
$-6x + 21 - 8y + 40 = 0$
$6x + 8y = 61$
વિકલ્પો તપાસતા:
$(3.5, 5)$ માટે: $6(3.5) + 8(5) = 21 + 40 = 61$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
હવે ત્રિજ્યા તપાસતા: $(3.5 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = (1.5)^2 + (2)^2 = 2.25 + 4 = 6.25 = (2.5)^2$.
આમ,કેન્દ્ર $(3.5, 5)$ છે.

(A) લંબચોરસની બાજુઓ $x=4, x=-2, y=5, y=-2$ છે.
લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(4, 5), (-2, 5), (-2, -2)$ અને $(4, -2)$ છે.
વિકર્ણના અંત્યબિંદુઓ $(4, 5)$ અને $(-2, -2)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x-4)(x+2) + (y-5)(y+2) = 0$
$x^2 + 2x - 4x - 8 + y^2 + 2y - 5y - 10 = 0$
$x^2 + y^2 - 2x - 3y - 18 = 0$.

(C) રેખાઓ $x+y=2$ અને $x-y=2$ બિંદુ $(2, 0)$ પર છેદે છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ આ રેખાઓને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર તેના ખૂણાના દ્વિભાજક પર હશે,એટલે કે $y=0$.
$x^2+y^2=1$ ને સ્પર્શવાની શરત મુજબ,કેન્દ્ર $(\sqrt{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{2}-1$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $(x-\sqrt{2})^2+y^2=(\sqrt{2}-1)^2$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int x^2 \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) dx = \frac{1}{2} \int x^2 \sin 2x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા,$u = x^2$ અને $dv = \sin 2x \, dx$ લો.
તેથી $du = 2x \, dx$ અને $v = -\frac{\cos 2x}{2}$.
$I = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2 \cos 2x}{2} - \int \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) (2x) \, dx \right]$
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx$.
ફરીથી $\int x \cos 2x \, dx$ માટે ખંડશઃ સંકલન વાપરતા:
$u = x$ અને $dv = \cos 2x \, dx$ લો. તેથી $du = dx$ અને $v = \frac{\sin 2x}{2}$.
$\int x \cos 2x \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4}$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{1}{2} \left( \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} \right) + c$
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8} + c$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આ પદને $\frac{1-2x^2}{8} \cos 2x + \frac{x}{4} \sin 2x + c$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) આપણને $I_n = \int \frac{t^n}{1+t^2} dt$ આપેલ છે.
સરવાળો $I_n + I_{n-2} = \int \frac{t^n}{1+t^2} dt + \int \frac{t^{n-2}}{1+t^2} dt$ ધ્યાનમાં લો.
$I_n + I_{n-2} = \int \frac{t^n + t^{n-2}}{1+t^2} dt = \int \frac{t^{n-2}(t^2 + 1)}{1+t^2} dt$.
$I_n + I_{n-2} = \int t^{n-2} dt = \frac{t^{n-1}}{n-1} + c$.
$n = 6$ માટે,આપણને $I_6 + I_4 = \frac{t^{6-1}}{6-1} + c = \frac{t^5}{5} + c$ મળે છે.

(A) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \sin^5 x \, dx = \int \sin^4 x \cdot \sin x \, dx$ છે.
નિત્યસમ $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^4 x = (1 - \cos^2 x)^2 = 1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x$ મળે છે.
આને સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int (1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x) \sin x \, dx$.
ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x \, dx$,તેથી $\sin x \, dx = -du$.
$I = -\int (1 - 2u^2 + u^4) \, du = -[u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}] + C = -\frac{u^5}{5} + \frac{2u^3}{3} - u + C$.
$u = \cos x$ પાછું મૂકતા: $I = -\frac{\cos^5 x}{5} + \frac{2}{3} \cos^3 x - \cos x + C$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{-\cos^5 x}{5} + a \cos^3 x + b \cos x + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{2}{3}$ અને $b = -1$ મળે છે.
તેથી,$a + b = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$.
નિત્યસમ $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x + \int \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x$
$I = \frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} d x + \int \tan \frac{x}{2} d x$.
પ્રથમ પદ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int x \sec^2 \frac{x}{2} d x = x \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} - \int 1 \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} d x = 2x \tan \frac{x}{2} - 2 \int \tan \frac{x}{2} d x$.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} (2x \tan \frac{x}{2} - 2 \int \tan \frac{x}{2} d x) + \int \tan \frac{x}{2} d x$
$I = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} d x + \int \tan \frac{x}{2} d x$
$I = x \tan \frac{x}{2} + C$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{3 \sin x - 5 \cos x}{2 \sin x + 7 \cos x} \, dx$ ઉકેલવા માટે,અંશને $A(\text{છેદ}) + B(\frac{d}{dx}(\text{છેદ}))$ તરીકે દર્શાવો.
ધારો કે $3 \sin x - 5 \cos x = A(2 \sin x + 7 \cos x) + B(2 \cos x - 7 \sin x)$.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$\sin x$ માટે: $2A - 7B = 3$
$\cos x$ માટે: $7A + 2B = -5$
આ સમીકરણો ઉકેલતા: પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે અને બીજાને $7$ વડે ગુણતા: $4A - 14B = 6$ અને $49A + 14B = -35$.
સરવાળો કરતા: $53A = -29 \implies A = -\frac{29}{53}$.
$A$ ની કિંમત $2A - 7B = 3$ માં મૂકતા: $2(-\frac{29}{53}) - 7B = 3 \implies -\frac{58}{53} - 3 = 7B \implies 7B = -\frac{217}{53} \implies B = -\frac{31}{53}$.
તેથી,$I = \int \frac{A(2 \sin x + 7 \cos x) + B(2 \cos x - 7 \sin x)}{2 \sin x + 7 \cos x} \, dx = A \int 1 \, dx + B \int \frac{2 \cos x - 7 \sin x}{2 \sin x + 7 \cos x} \, dx$.
$I = A x + B \log |2 \sin x + 7 \cos x| + c = -\frac{29}{53} x - \frac{31}{53} \log |2 \sin x + 7 \cos x| + c$.

(B) $\int \frac{x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)} dx$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $\frac{x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)} = 1 + \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$.
કવર-અપ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$A = \frac{1^2}{(1-2)(1-3)} = \frac{1}{2}$.
$B = \frac{2^2}{(2-1)(2-3)} = -4$.
$C = \frac{3^2}{(3-1)(3-2)} = \frac{9}{2}$.
આમ,સંકલન $\int (1 + \frac{1/2}{x-1} - \frac{4}{x-2} + \frac{9/2}{x-3}) dx$ બને છે.
$= x + \frac{1}{2} \log_e |x-1| - 4 \log_e |x-2| + \frac{9}{2} \log_e |x-3| + C'$.
$= \log_e e^x + \log_e |x-1|^{1/2} - \log_e |x-2|^4 + \log_e |x-3|^{9/2} + C'$.
$= \log_e \left( \frac{e^x |x-1|^{1/2} |x-3|^{9/2}}{|x-2|^4} \right) + C'$.
$\log_e f(x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = C \cdot \frac{|x-1|^{1/2} |x-3|^{9/2}}{(x-2)^4}$ મળે છે.

(B) $\int \frac{6x^2-17x-5}{(x+3)(x-2)^2} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{6x^2-17x-5}{(x+3)(x-2)^2} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^2}$.
$(x+3)(x-2)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$6x^2-17x-5 = A(x-2)^2 + B(x+3)(x-2) + C(x+3)$.
$x=2$ લેતા: $6(4)-17(2)-5 = C(5) \Rightarrow 24-34-5 = 5C \Rightarrow -15 = 5C \Rightarrow C = -3$.
$x=-3$ લેતા: $6(9)-17(-3)-5 = A(-5)^2 \Rightarrow 54+51-5 = 25A \Rightarrow 100 = 25A \Rightarrow A = 4$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $6 = A + B \Rightarrow 6 = 4 + B \Rightarrow B = 2$.
આમ,સંકલન $\int \left( \frac{4}{x+3} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{(x-2)^2} \right) dx$ થાય છે.
પદવાર સંકલન કરતા: $4 \log |x+3| + 2 \log |x-2| + \frac{3}{x-2} + c$.
આ $\log |(x+3)^4 (x-2)^2| + \frac{3}{x-2} + c$ માં પરિણમે છે.

(A) આપેલ છે કે $I_n = \int \frac{\sin nx}{\cos x} dx$ ... $(i)$
$I_n + I_{n-2} = \int \frac{\sin nx + \sin (n-2)x}{\cos x} dx$ લો.
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_n + I_{n-2} = \int \frac{2 \sin \left(\frac{nx + nx - 2x}{2}\right) \cos \left(\frac{nx - nx + 2x}{2}\right)}{\cos x} dx$
$I_n + I_{n-2} = \int \frac{2 \sin (n-1)x \cos x}{\cos x} dx$
$I_n + I_{n-2} = 2 \int \sin (n-1)x dx$
$I_n + I_{n-2} = 2 \left[ \frac{-\cos (n-1)x}{n-1} \right] + C$
તેથી,$I_n = \frac{-2}{n-1} \cos (n-1)x - I_{n-2}$.

(B) આપેલ છે કે $I_n = \int \frac{t^{2n}}{1+t^2} dt$ અને $I_{n+1} = \int \frac{t^{2n+2}}{1+t^2} dt$.
હવે,$I_{n+1} + I_n = \int \frac{t^{2n+2} + t^{2n}}{1+t^2} dt$
$= \int \frac{t^{2n}(t^2 + 1)}{1+t^2} dt$
$= \int t^{2n} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષે $t^{2n}$ નું સંકલન કરતા,આપણને $\frac{t^{2n+1}}{2n+1} + C$ મળે છે.
તેથી,$I_{n+1} + I_n = \frac{t^{2n+1}}{2n+1} + C$.
આમ,$I_{n+1} = \frac{t^{2n+1}}{2n+1} - I_n$.

(B) આપણે $I = \int_{-1}^{3/2} |x \sin \pi x| \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x \in [-1, 0]$ અને $x \in [0, 1]$ માટે $x \sin \pi x \ge 0$ હોવાથી,અને $x \in [1, 3/2]$ માટે $x \sin \pi x \le 0$ હોવાથી,આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_{-1}^{1} x \sin \pi x \, dx - \int_{1}^{3/2} x \sin \pi x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \sin \pi x \, dx = -\frac{x \cos \pi x}{\pi} + \frac{\sin \pi x}{\pi^2}$.
પ્રથમ ભાગ: $\int_{-1}^{1} x \sin \pi x \, dx = [-\frac{x \cos \pi x}{\pi} + \frac{\sin \pi x}{\pi^2}]_{-1}^{1} = \frac{1}{\pi} - (-\frac{1}{\pi}) = \frac{2}{\pi}$.
બીજો ભાગ: $\int_{1}^{3/2} x \sin \pi x \, dx = [-\frac{x \cos \pi x}{\pi} + \frac{\sin \pi x}{\pi^2}]_{1}^{3/2} = -\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}$.
તેથી,$I = \frac{2}{\pi} - (-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}) = \frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.

(A) આપણે સંકલન $I = \int_{-2}^3 |1-x^2| dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
માનાંકની અંદરનું પદ $1-x^2$,$x = -1$ અને $x = 1$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે.
આપણે સંકલનને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ: $[-2, -1]$,$[-1, 1]$,અને $[1, 3]$.
$[-2, -1]$ માં,$1-x^2 \le 0$,તેથી $|1-x^2| = x^2-1$.
$[-1, 1]$ માં,$1-x^2 \ge 0$,તેથી $|1-x^2| = 1-x^2$.
$[1, 3]$ માં,$1-x^2 \le 0$,તેથી $|1-x^2| = x^2-1$.
તેથી,$I = \int_{-2}^{-1} (x^2-1) dx + \int_{-1}^1 (1-x^2) dx + \int_{1}^3 (x^2-1) dx$.
દરેક ભાગની ગણતરી કરતા:
$\int_{-2}^{-1} (x^2-1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{3} + 1) - (-\frac{8}{3} + 2) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$.
$\int_{-1}^1 (1-x^2) dx = [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^1 = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$.
$\int_{1}^3 (x^2-1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_1^3 = (9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1) = 6 - (-\frac{2}{3}) = \frac{20}{3}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $I = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{20}{3} = \frac{28}{3}$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx - \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx - I$.
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x dx$. જ્યારે $x=0, u=1$; જ્યારે $x=\pi, u=-1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2}$.
$2I = \pi [\tan^{-1} u]_{-1}^1 = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$.
$I = \frac{\pi^2}{4}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^1 f(k-1+x) d x$.
$k-1+x = t$ આદેશ લેતા,$d x = d t$ મળે.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $t=k-1$.
જ્યારે $x=1$,ત્યારે $t=k$.
તેથી,$I = \int_{k-1}^k f(t) d t = \int_{k-1}^k f(x) d x$.
હવે,આપણે સરવાળાની ગણતરી કરવાની છે:
$\sum_{k=1}^{10} \int_0^1 f(k-1+x) d x = \sum_{k=1}^{10} \int_{k-1}^k f(x) d x$.
સરવાળાને વિસ્તારતા:
$= \int_0^1 f(x) d x + \int_1^2 f(x) d x + \dots + \int_9^{10} f(x) d x$.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x + \int_b^c f(x) d x = \int_a^c f(x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$= \int_0^{10} f(x) d x$.
આપેલ છે કે $\int_0^{10} f(x) d x = 5$,તેથી અંતિમ કિંમત $5$ છે.

(A) આપણને આપેલ છે કે $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંતરાલને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\int_{-1}^4 f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx + \int_2^4 f(x) dx = 4$.
આપણને $\int_2^4 (3 - f(x)) dx = 7$ પણ આપેલ છે.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\int_2^4 3 dx - \int_2^4 f(x) dx = 7$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય શોધતા:
$[3x]_2^4 - \int_2^4 f(x) dx = 7
(3 \times 4) - (3 \times 2) - \int_2^4 f(x) dx = 7
12 - 6 - \int_2^4 f(x) dx = 7
6 - \int_2^4 f(x) dx = 7
\int_2^4 f(x) dx = 6 - 7 = -1$.
હવે,$\int_2^4 f(x) dx = -1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\int_{-1}^2 f(x) dx + (-1) = 4
\int_{-1}^2 f(x) dx = 4 + 1 = 5$.

(C) સંકલન $I = \int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\int_0^{\pi / 2} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)(n-3) \dots (1)}{n(n-2) \dots (2)} \times \frac{\pi}{2}$ જ્યાં $n$ બેકી સંખ્યા છે.
અહીં,$n = 8$.
$I = \frac{7 \times 5 \times 3 \times 1}{8 \times 6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{105}{384} \times \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{105 \pi}{768}$
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા:
$I = \frac{35 \pi}{256}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n+r}$ છે.
આપણે તેને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n(1 + \frac{r}{n})}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2n} f(\frac{r}{n})$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે,જે $\int_{0}^{2} f(x) dx$ બરાબર થાય છે.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{1+x}$ છે.
તેથી,$S = \int_{0}^{2} \frac{1}{1+x} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $S = [\ln(1+x)]_{0}^{2}$ મળે છે.
$S = \ln(1+2) - \ln(1+0) = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) - 0 = \ln(3)$.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{\sqrt{n^2-r^2}}{n^2}$ છે.
આને આપણે $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n \sqrt{1-(r/n)^2}}{n^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sqrt{1-(\frac{r}{n})^2}$ તરીકે લખી શકીએ.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \sqrt{1-x^2}$.
તેથી,$S = \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = [\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x)]_{0}^{1}$.
સીમાઓ મૂકતા: $S = (0 + \frac{1}{2} \sin^{-1}(1)) - (0 + \frac{1}{2} \sin^{-1}(0)) = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}$ છે.
આપણે તેને $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{1}{n} \cdot \frac{r/n}{\sqrt{1+(r/n)^2}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
આ $\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે.
ધારો કે $u = 1+x^2$,તો $du = 2x dx$,અથવા $x dx = \frac{1}{2} du$.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $u=1$. જ્યારે $x=2$,ત્યારે $u=1+2^2=5$.
આમ,$L = \int_{1}^{5} \frac{1}{2\sqrt{u}} du = \frac{1}{2} [2\sqrt{u}]_{1}^{5} = [\sqrt{u}]_{1}^{5} = \sqrt{5}-1$.

(B) આપેલ લક્ષ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{r^3+n^3}$ છે.
આપણે તેને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{n^3( (r/n)^3 + 1 )}$ તરીકે લખી શકીએ.
$n$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^2}{(r/n)^3 + 1}$ મળે છે.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^3+1} dx$ મળે.
ધારો કે $u = x^3+1$,તો $du = 3x^2 dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 dx = \frac{du}{3}$.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $u=1$. જ્યારે $x=1$,ત્યારે $u=2$.
આમ,$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} [\ln |u|]_{1}^{2} = \frac{1}{3} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{3} \ln 2 = \ln 2^{1/3} = \log \sqrt[3]{2}$.

(C) આપણી પાસે છે,
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{r}{n}\right)^k$
આ સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા છે:
$\int_0^1 x^k \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_0^1 x^k \, dx = \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_0^1$
$= \frac{1^{k+1}}{k+1} - \frac{0^{k+1}}{k+1} = \frac{1}{k+1}$
તેથી,લક્ષનું મૂલ્ય $\frac{1}{k+1}$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4n^2 - r^2}}$ છે.
સરવાળાની અંદરના પદને આપણે $\frac{1}{\sqrt{n^2(4 - (r/n)^2)}} = \frac{1}{n \sqrt{4 - (r/n)^2}}$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4 - (r/n)^2}}$.
નિયત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$.
તેથી,$S = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2^2 - x^2}} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = [\arcsin(\frac{x}{2})]_{0}^{1} = \arcsin(\frac{1}{2}) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi x \sin^7 x \cos^6 x \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^7(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$
કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$ અને $\cos(\pi - x) = -\cos x$,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^7 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^7 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^\pi \sin^7 x \cos^6 x \, dx - I$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^7 x \cos^6 x \, dx$
$\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય,તો:
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \sin^7 x \cos^6 x \, dx$
વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \pi \times \frac{6 \times 4 \times 2 \times 5 \times 3 \times 1}{13 \times 11 \times 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1} = \pi \times \frac{48}{13 \times 11 \times 9 \times 7} = \pi \times \frac{16}{13 \times 11 \times 3 \times 7} = \frac{16 \pi}{3003}$.

(D) ધારો કે $I = \int_3^5 \sqrt{8x - x^2 - 15} dx$.
આપણે દ્વિઘાત પદાવલિને $-(x^2 - 8x + 15) = -(x^2 - 8x + 16 - 1) = 1 - (x - 4)^2$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$I = \int_3^5 \sqrt{1 - (x - 4)^2} dx$.
ધારો કે $x - 4 = \sin \theta$,તો $dx = \cos \theta d\theta$.
જ્યારે $x = 3$,ત્યારે $\sin \theta = -1$,તેથી $\theta = -\frac{\pi}{2}$.
જ્યારે $x = 5$,ત્યારે $\sin \theta = 1$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 \theta d\theta$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = (\frac{\pi}{4} + 0) - (-\frac{\pi}{4} + 0) = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$p = \frac{\pi}{2}$.
હવે $\sin p + \operatorname{cosec} p = \sin(\frac{\pi}{2}) + \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}) = 1 + 1 = 2$.

(C) આપેલ પરવલયો $y^2 = 4x$ અને $y^2 = 4(4-x)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$4x = 4(4-x)$ લેતા,જે $x = 4-x$ આપે છે,તેથી $2x = 4$,એટલે કે $x = 2$.
$x = 2$ માટે,$y^2 = 4(2) = 8$,તેથી $y = \pm 2\sqrt{2}$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને $2$ વડે ગુણીશું.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{2} \sqrt{4x} \, dx + 2 \int_{2}^{4} \sqrt{4(4-x)} \, dx$.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx + 4 \int_{2}^{4} \sqrt{4-x} \, dx$.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} + 4 \left[ \frac{-(4-x)^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4}$.
ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \frac{2}{3} [2^{3/2} - 0] + 4 \times \frac{2}{3} [-(0) - (-(4-2)^{3/2})]$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{8}{3} [2\sqrt{2}] + \frac{8}{3} [2\sqrt{2}] = \frac{16\sqrt{2}}{3} + \frac{16\sqrt{2}}{3} = \frac{32\sqrt{2}}{3}$.

(A) સમીકરણો $x^2+y^2=16a^2$ અને $y^2=6ax$ છે. વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2=6ax$ મૂકતા: $x^2+6ax-16a^2=0$.
અવયવ પાડતા $(x+8a)(x-2a)=0$ મળે છે. પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,આપણે $x=2a$ લઈએ છીએ.
$x=2a$ પર,$y^2=6a(2a)=12a^2$,તેથી $y=\pm 2a\sqrt{3}$.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{2a} \sqrt{6ax} \, dx + 2 \int_{2a}^{4a} \sqrt{16a^2-x^2} \, dx$.
પ્રથમ સંકલન: $2\sqrt{6a} \int_{0}^{2a} x^{1/2} \, dx = 2\sqrt{6a} [\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{2a} = \frac{16a^2\sqrt{3}}{3}$.
બીજું સંકલન: $2 [\frac{x}{2}\sqrt{16a^2-x^2} + 8a^2 \sin^{-1}(\frac{x}{4a})]_{2a}^{4a} = \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2\sqrt{3}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2\sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(4\pi+\sqrt{3})$.

(C) આપેલ વક્રો $y=x^2$ $(i)$ અને $y=|x|$ $(ii)$ છે.
બંને વક્રો $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં જ્યાં $x \ge 0$ હોય ત્યાંના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
$x \ge 0$ માટે,$y=|x|=x$.
$y=x^2$ અને $y=x$ ને ઉકેલતા,આપણને $x^2=x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x(x-1)=0$,તેથી $x=0$ અથવા $x=1$.
પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $\int_0^1 (x - x^2) dx$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_0^1 (x - x^2) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ પર બે વક્રો વચ્ચેના તફાવતના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} |\sin x - \cos x| \, dx$.
અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ માં,$\sin x \geq \cos x$ છે.
તેથી,$A = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
$A = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$.
$A = (-(\cos \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{5\pi}{4})) - (-(\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}))$.
$A = (-(-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})) - (-(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}))$.
$A = (\frac{2}{\sqrt{2}}) - (-\frac{2}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્ર $y = -x^2 - 2x + 3$ છે.
વક્ર $Y$-અક્ષને મળે તે બિંદુ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $y = 3$. તેથી,બિંદુ $(0, 3)$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -2x - 2$.
$(0, 3)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -2(0) - 2 = -2$ છે.
$(0, 3)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 3 = -2(x - 0)$ એટલે કે $y = -2x + 3$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષને $y = 0$ પર મળે છે: $-x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0$. તેથી,$x = -3$ અને $x = 1$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને $y = 0$ પર મળે છે: $0 = -2x + 3 \implies x = 1.5$.
વક્ર,$X$-અક્ષ અને સ્પર્શક દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\frac{7}{12}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$.
$\cos ^2 x$ વડે ભાગતા: $\frac{d y}{d x} + y \sec ^2 x = \tan x \sec ^2 x$.
આ $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \sec ^2 x$ અને $Q(x) = \tan x \sec ^2 x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \sec ^2 x dx} = e^{\tan x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y e^{\tan x} = \int \tan x \sec ^2 x e^{\tan x} dx + C$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec ^2 x dx$.
સંકલન $\int u e^u du$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u e^u du = u e^u - \int e^u du = u e^u - e^u = e^u(u-1)$.
કિંમત મૂકતા: $y e^{\tan x} = e^{\tan x}(\tan x - 1) + C$.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = c(x - c)^2$ છે.
પગલું $1$: $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = 2c(x - c)$.
પગલું $2$: મૂળ સમીકરણ પરથી,$c = \frac{y}{(x - c)^2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$y' = 2c(x - c)$ પરથી,$c = \frac{y'}{2(x - c)}$.
$c$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{y}{(x - c)^2} = \frac{y'}{2(x - c)} \implies 2y = y'(x - c) \implies x - c = \frac{2y}{y'}$.
પગલું $3$: $x - c$ ની કિંમત $y'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y' = 2c \left(\frac{2y}{y'}\right) \implies c = \frac{(y')^2}{4y}$.
પગલું $4$: $c$ અને $x - c$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણ $y = c(x - c)^2$ માં મૂકતા:
$y = \left(\frac{(y')^2}{4y}\right) \left(\frac{2y}{y'}\right)^2 = y$.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,$c = x - \frac{2y}{y'}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y' = 2(x - \frac{2y}{y'})(\frac{2y}{y'}) = \frac{4y(xy' - 2y)}{(y')^2}$.
તેથી,$(y')^3 = 4y(xy' - 2y)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y = a e^{2x} + b e^{5x}$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2a e^{2x} + 5b e^{5x}$ (સમીકરણ $1$)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4a e^{2x} + 25b e^{5x}$ (સમીકરણ $2$)
આપણે $a$ અને $b$ નો લોપ કરવો છે. લાક્ષણિક સમીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $m_1 = 2$ અને $m_2 = 5$ છે.
તેથી,લાક્ષણિક સમીકરણ $(m - 2)(m - 5) = 0$ થશે.
$m^2 - 7m + 10 = 0$.
$m^k$ ને $\frac{d^k y}{dx^k}$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{d^2 y}{dx^2} - 7 \frac{dy}{dx} + 10 y = 0$ મળે છે.

(A) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર $Y$-અક્ષને સ્પર્શતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $(a,0)$ એ કેન્દ્ર છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2ax$ $(i)$ થાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$ મળે છે.
આમ,$a = x + y \frac{dy}{dx}$ $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$
$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$
$2xy \frac{dy}{dx} = y^2 - x^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $A x^2 + B y^2 = 1$ $(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 A x + 2 B y \frac{d y}{d x} = 0 \implies A x + B y y' = 0$ $(2)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $A + B (y')^2 + B y y'' = 0$ $(3)$
$(2)$ પરથી,$A = -B \frac{y y'}{x}$. આ કિંમત $(3)$ માં મૂકતા:
$-B \frac{y y'}{x} + B (y')^2 + B y y'' = 0$
$B$ વડે ભાગતા (ધારો કે $B \neq 0$):
$-\frac{y y'}{x} + (y')^2 + y y'' = 0$
$x$ વડે ગુણતા: $-y y' + x (y')^2 + x y y'' = 0$
ગોઠવતા: $x y y'' + x (y')^2 = y y'$
આમ,વિકલ સમીકરણ $x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = y \frac{d y}{d x}$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળોનું કુળ: $(x-a)^2+(y-b)^2=4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-a)+2(y-b)y'=0 \implies (x-a)+(y-b)y'=0$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $1+(y')^2+(y-b)y''=0 \implies (y-b) = -\frac{1+(y')^2}{y''}$.
$(y-b)$ ની કિંમત પ્રથમ વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $(x-a) = -y'(y-b) = y' \cdot \frac{1+(y')^2}{y''}$.
હવે $(x-a)$ અને $(y-b)$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\left(y' \cdot \frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 + \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 = 4$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(1+(y')^2)^2}{(y'')^2} \cdot ((y')^2+1) = 4$.
તેથી,$(1+(y')^2)^3 = 4(y'')^2$,જે $4\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(e^y + 1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\int \cot x \, dx$.
ધારો કે $u = e^y + 1$,તો $du = e^y \, dy$. સંકલન $\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|\sin x| + C$ થાય.
તેથી,$\ln(e^y + 1) = -\ln|\sin x| + C$,જે $\ln((e^y + 1) \sin x) = C$ માં પરિણમે છે.
આથી $(e^y + 1) \sin x = K$ (જ્યાં $K = e^C$).
વક્ર $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = \frac{\pi}{6}$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$(e^0 + 1) \sin(\frac{\pi}{6}) = K \implies (1 + 1) \cdot \frac{1}{2} = K \implies K = 1$.
આમ,$(e^y + 1) \sin x = 1$,જેનો અર્થ છે કે $e^y + 1 = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
તેથી,$e^y = \operatorname{cosec} x - 1$,અને $y = \log_e(\operatorname{cosec} x - 1)$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x-y)^2 \frac{dy}{dx} = a^2$ છે.
ધારો કે $v = x - y$. તેથી $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v^2 (1 - \frac{dv}{dx}) = a^2$.
$1 - \frac{dv}{dx} = \frac{a^2}{v^2} \implies \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{a^2}{v^2} = \frac{v^2 - a^2}{v^2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v^2}{v^2 - a^2} dv = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{v^2 - a^2 + a^2}{v^2 - a^2} dv = \int dx$.
$\int (1 + \frac{a^2}{v^2 - a^2}) dv = x + c$.
$v + a^2 \cdot \frac{1}{2a} \log \left| \frac{v-a}{v+a} \right| = x + c$.
$v + \frac{a}{2} \log \left| \frac{v-a}{v+a} \right| = x + c$.
$v = x - y$ મૂકતા: $(x-y) + \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| = x + c$.
$-y + \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| = c$.
$y = \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| + c'$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$.
$y^2$ વડે ભાગતા: $2 y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{xy} = \frac{1}{x^2}$.
ધારો કે $v = y^{-1}$,તેથી $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-2 \frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = \frac{1}{x^2}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dx} + \frac{v}{2x} = -\frac{1}{2x^2}$ થાય છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{2x} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln x} = \sqrt{x}$ છે.
$IF$ વડે ગુણતા: $\sqrt{x} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2x^{3/2}}$,એટલે કે $\frac{d}{dx}(v \sqrt{x}) = -\frac{1}{2} x^{-3/2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $v \sqrt{x} = -\frac{1}{2} \int x^{-3/2} dx = -\frac{1}{2} \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = \frac{1}{\sqrt{x}} + C$.
તેથી,$v = \frac{1}{x} + \frac{C}{\sqrt{x}} = \frac{1 + C\sqrt{x}}{x}$.
$v = 1/y$ હોવાથી,$y = \frac{x}{1 + C\sqrt{x}}$.
$x = 1$ ત્યારે $y = 2$ આપેલ છે: $2 = \frac{1}{1 + C}$,તેથી $2 + 2C = 1$,એટલે કે $2C = -1$ અથવા $C = -1/2$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા: $y = \frac{x}{1 - \frac{1}{2}\sqrt{x}} = \frac{2x}{2 - \sqrt{x}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x+1) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ છે.
$(x+1)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{x+1}y = \frac{1}{x+1}$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{x}{x+1} = -1 + \frac{1}{x+1}$ અને $Q = \frac{1}{x+1}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{x+1}) dx} = e^{-x + \log(x+1)} = (x+1)e^{-x}$ થાય.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ છે.
$y(x+1)e^{-x} = \int (\frac{1}{x+1} \cdot (x+1)e^{-x}) dx + C = \int e^{-x} dx + C = -e^{-x} + C$.
$e^{-x}$ વડે ભાગતા,$y(x+1) = -1 + Ce^x$ મળે.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x=0$ અને $y=1$ મૂકતા: $1(0+1) = -1 + Ce^0 \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$.
તેથી,$y(x+1) = 2e^x - 1$,એટલે કે $y = \frac{2e^x - 1}{x+1}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}-y=0$ જ્યાં $y>0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}=y$.
$y>0$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $\frac{dx}{dy} = \frac{x-4y^3}{y} = \frac{x}{y} - 4y^2$.
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{1}{y}$ અને $Q = -4y^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) આ મુજબ છે: $I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = e^{\ln y^{-1}} = \frac{1}{y}$.
વ્યાપક ઉકેલ: $x \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dy + C$.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int (-4y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + C$.
$\frac{x}{y} = \int -4y dy + C$.
$\frac{x}{y} = -4 \cdot \frac{y^2}{2} + C = -2y^2 + C$.
$y$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $x = -2y^3 + Cy$,જેનું સાદું રૂપ $x+2y^3=Cy$ થાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^3 + x) \frac{dy}{dx} = y$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{y^3 + x}{y} = y^2 + \frac{x}{y}$.
આ $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = y^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ છે.
$IF$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = y$.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int \frac{d}{dy} (\frac{x}{y}) dy = \int y dy$.
$\frac{x}{y} = \frac{y^2}{2} + C$.
$x = \frac{y^3}{2} + Cy \implies 2x = y^3 + 2Cy$.
$y^3 = ax + b$ હોવાથી,આપણે તેને $y^3 = 2x - 2Cy$ તરીકે લખીએ છીએ.
$y^3 = ax + b$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ અને $b = -2Cy$ મળે છે.
$y(4) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $2^3 = 2(4) + b \implies 8 = 8 + b \implies b = 0$.
તેથી $y^3 = 2x + 0$,એટલે કે $a = 2$ અને $b = 0$.
$4a + 12b^2 = 4(2) + 12(0)^2 = 8 + 0 = 8$.

(D) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v}$ છે. $\vec{v}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,તે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ ને સમાંતર હશે.
પ્રથમ,$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - 2\hat{k}$ શોધો.
હવે,$\vec{a}$ અને $\vec{n}$ ને લંબ સદિશ શોધો:
$\vec{v} = \vec{a} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = -8\hat{i} + 16\hat{j} - 8\hat{k}$.
આ સદિશની દિશા $\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
તેનું માન $\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ છે.
તેથી,એકમ સદિશ $\frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{r}_A$ અને $\vec{r}_B$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{r}_A = \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$.
બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $m:n = 2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ $C$ નો સ્થાન સદિશ: $\vec{r}_C = \frac{m \vec{r}_B + n \vec{r}_A}{m+n}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c}}{3} = \frac{2 \vec{r}_B + 1 (\bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c})}{2+1}$.
$\frac{3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c}}{3} = \frac{2 \vec{r}_B + \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}}{3}$.
અંશને સરખાવતા: $3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c} = 2 \vec{r}_B + \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$.
$2 \vec{r}_B = (3 \bar{a}-\bar{a}) + (4 \bar{b}+2 \bar{b}) + (-5 \bar{c}-3 \bar{c})$.
$2 \vec{r}_B = 2 \bar{a} + 6 \bar{b} - 8 \bar{c}$.
$\vec{r}_B = \bar{a} + 3 \bar{b} - 4 \bar{c}$.
આમ,$B$ નો સ્થાન સદિશ $\bar{a} + 3 \bar{b} - 4 \bar{c}$ છે.

(A) ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ બે એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
સદિશ $\bar{v} = \alpha \bar{a} + \bar{b}$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી તે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ની દિશામાં રહેલા એકમ સદિશોના સરવાળાની દિશામાં હોવો જોઈએ.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો પોતે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ છે.
ખૂણાનો દુભાજક સદિશ $\hat{a} + \hat{b} = \bar{a} + \bar{b}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,$\alpha \bar{a} + \bar{b} = k(\bar{a} + \bar{b})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા (કારણ કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ સમાંતર નથી,તેથી તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે),આપણને $\alpha = k$ અને $1 = k$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = 1$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{OA} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
$\overline{AB}$ ના દિકગુણોત્તરો $1, -1, 2$ છે. ધારો કે સદિશ $\overline{AB} = k(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\overline{AB}| = |k| \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = |k| \sqrt{6}$.
આપેલ છે કે $|\overline{AB}| = 2\sqrt{6}$,તેથી $|k|\sqrt{6} = 2\sqrt{6} \implies |k| = 2$.
આમ,$\overline{AB} = 2(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ અથવા $\overline{AB} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
કારણ કે $\overline{OB} = \overline{OA} + \overline{AB}$,આપણી પાસે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $\overline{OB} = (3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + (2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 5\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.
તેથી $|\overline{OB}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$.
કિસ્સો $2$: $\overline{OB} = (3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + (-2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
તેથી $|\overline{OB}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
બંને કિસ્સાઓમાં,$|\overline{OB}| = \sqrt{35}$.

(C) આપેલ સદિશ સમીકરણ:
$(3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) = x(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) + y(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}) + z(-2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j},$ અને $\hat{k}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$2x + y - 2z = 3$ $(1)$
$3x - 2y + z = -1$ $(2)$
$-x + 2y - 2z = 2$ $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(2x + y - 2z) - (-x + 2y - 2z) = 3 - 2$
$3x - y = 1 \implies y = 3x - 1$
$y = 3x - 1$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3x - 2(3x - 1) + z = -1$
$3x - 6x + 2 + z = -1 \implies z = 3x - 3$
$y$ અને $z$ ની કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + (3x - 1) - 2(3x - 3) = 3$
$2x + 3x - 1 - 6x + 6 = 3$
$-x + 5 = 3 \implies x = 2$
હવે,$y$ અને $z$ શોધીએ:
$y = 3(2) - 1 = 5$
$z = 3(2) - 3 = 3$
આમ,ત્રિપુટી $(x, y, z) = (2, 5, 3)$ છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ એ પરિકેન્દ્ર $S$ છે. તો શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે,જ્યાં $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
લંબકેન્દ્ર $O$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{o} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
સ્થાન સદિશોના સંદર્ભમાં,આ $(\vec{a} - \vec{o}) + (\vec{b} - \vec{o}) + (\vec{c} - \vec{o})$ છે.
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o}$.
કારણ કે $\vec{o} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$,આપણે આને પદાવલિમાં મૂકીએ છીએ:
$= \vec{o} - 3\vec{o} = -2\vec{o}$.
કારણ કે ઉગમબિંદુ $S$ છે,$\vec{o}$ એ સદિશ $\vec{SO}$ છે.
આમ,$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = -2\vec{SO} = 2\vec{OS}$.

(C) આપેલ બિંદુઓ $P, Q, R, S$ ના સ્થાન સદિશો:
$\vec{p} = -\bar{a} + 4\bar{b} - 3\bar{c}$
$\vec{q} = 3\bar{a} + 2\bar{b} - 5\bar{c}$
$\vec{r} = -3\bar{a} + 8\bar{b} - 5\bar{c}$
$\vec{s} = -3\bar{a} + 2\bar{b} + \bar{c}$
સ્થાનંતર સદિશોની ગણતરી:
$\overline{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 4\bar{a} - 2\bar{b} - 2\bar{c}$
$\overline{PR} = \vec{r} - \vec{p} = -2\bar{a} + 4\bar{b} - 2\bar{c}$
$\overline{PS} = \vec{s} - \vec{p} = -2\bar{a} - 2\bar{b} + 4\bar{c}$
$\overline{PQ} = x\overline{PR} + y\overline{PS}$ માટે:
$4\bar{a} - 2\bar{b} - 2\bar{c} = (-2x - 2y)\bar{a} + (4x - 2y)\bar{b} + (-2x + 4y)\bar{c}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x + y = -2$ અને $2x - y = -1$
બંનેનો સરવાળો કરતા $3x = -3 \implies x = -1$,તેથી $y = -1$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y) = (-1, -1)$ છે.

(B) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$,અને $\vec{C} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = |\vec{B} - \vec{A}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = |\vec{C} - \vec{A}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$D$ એ $BC$ નું $AB:AC = 6:3 = 2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{D} = \frac{2\vec{C} + 1\vec{B}}{3} = 2\hat{i} + \frac{13}{3}\hat{j} + 6\hat{k}$ મળે છે.
હવે,$AD = |\vec{D} - \vec{A}| = |-2\hat{i} - \frac{8}{3}\hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{2}{3}\sqrt{34}$.

(C) પ્રથમ,$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\bar{i} - 2\bar{j} + \bar{k}$ ગણો.
$|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$.
આપેલ છે કે $|\bar{c} - \bar{a}|^2 = 8$,તેથી $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$.
$|\bar{a}| = 3$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$ હોવાથી,$|\bar{c}|^2 + 9 - 2|\bar{c}| = 8$,એટલે કે $(|\bar{c}| - 1)^2 = 0$,તેથી $|\bar{c}| = 1$.
હવે,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(30^{\circ}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. આપેલ છે કે ત્રિકોણ $C$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે,તેથી $\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}$,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$,તેથી $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$
$E = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}) + (-\overrightarrow{CB}) \cdot (-\overrightarrow{AB}) + 0$
$E = |\overrightarrow{AB}|^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$
કારણ કે $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$,આ પદો ઉડી જશે.
$E = |\overrightarrow{AB}|^2 = p^2$.