AP EAMCET 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना मूल वर्गाकार प्लेट का द्रव्यमान $M$ है और इसकी भुजा की लंबाई $2R$ है। क्षेत्रफल $A = (2R)^2 = 4R^2$ है। द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
जब $r = R/2$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार टुकड़ा एक चतुर्थांश से हटाया जाता है,तो इसका क्षेत्रफल $A' = \pi r^2 = \pi (R/2)^2 = \pi R^2 / 4$ होता है।
हटाए गए वृत्ताकार टुकड़े का द्रव्यमान $m = M \times (A'/A) = M \times (\pi R^2 / 4) / (4R^2) = M \pi / 16$ है।
हटाए गए वृत्ताकार टुकड़े का द्रव्यमान केंद्र वर्ग के केंद्र के सापेक्ष $(R/2, R/2)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन $\Delta x = \frac{m \cdot d}{M - m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ वृत्त के केंद्र की वर्ग के केंद्र से दूरी है। दूरी $d = \sqrt{(R/2)^2 + (R/2)^2} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ है।
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{(M \pi / 16) \cdot (R / \sqrt{2})}{M - M \pi / 16} = \frac{M \pi R / (16 \sqrt{2})}{M(16 - \pi) / 16} = \frac{\pi R}{\sqrt{2}(16 - \pi)}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ की लंबाई $L = 2 \,m$ है। छड़ें एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं। निकाय का द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ त्रिभुज के केंद्रक पर स्थित है।
$L$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए, ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2} L$ है। $COM$ का $y$-निर्देशांक $y_{COM} = \frac{1}{3} h = \frac{\sqrt{3}}{6} L$ है।
दिया गया है $\gamma = 12 \sqrt{3} \times 10^{-6} \,K^{-1}$, तो रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = \frac{\gamma}{3} = 4 \sqrt{3} \times 10^{-6} \,K^{-1}$ है।
प्रत्येक छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta T = 2 \times (4 \sqrt{3} \times 10^{-6}) \times 50 = 400 \sqrt{3} \times 10^{-6} \,m = 4 \sqrt{3} \times 10^{-4} \,m$ है।
नई लंबाई $L' = L + \Delta L = L(1 + \alpha \Delta T)$ है।
$COM$ का नया $y$-निर्देशांक $y'_{COM} = \frac{\sqrt{3}}{6} L' = \frac{\sqrt{3}}{6} L(1 + \alpha \Delta T)$ है।
$y$-निर्देशांक में वृद्धि $\Delta y_{COM} = y'_{COM} - y_{COM} = \frac{\sqrt{3}}{6} L \alpha \Delta T$ है।
मान रखने पर: $\Delta y_{COM} = \frac{\sqrt{3}}{6} \times 2 \times (4 \sqrt{3} \times 10^{-6}) \times 50 = \frac{\sqrt{3}}{3} \times 4 \sqrt{3} \times 50 \times 10^{-6} = \frac{3}{3} \times 4 \times 50 \times 10^{-6} = 200 \times 10^{-6} \,m = 0.2 \times 10^{-3} \,m = 0.2 \,mm$.

(C) मान लीजिए कि तीन डिस्क की त्रिज्याएँ $r_1 = r$, $r_2 = 2r$, और $r_3 = 3r$ हैं। चूंकि वे समान सामग्री से बनी हैं और उनकी मोटाई समान है, इसलिए उनका द्रव्यमान उनके क्षेत्रफल के समानुपाती होता है: $m \propto \pi r^2$.
अतः, $m_1 = k(\pi r^2) = m$, $m_2 = k(\pi (2r)^2) = 4m$, और $m_3 = k(\pi (3r)^2) = 9m$.
मान लीजिए कि छोटी डिस्क $(m_1)$ का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
बीच वाली डिस्क $(m_2)$ पहली डिस्क को स्पर्श करती है, इसलिए इसका केंद्र $x_2 = r + 2r = 3r$ पर है।
तीसरी डिस्क $(m_3)$ बीच वाली डिस्क को स्पर्श करती है, इसलिए इसका केंद्र $x_3 = x_2 + 2r + 3r = 3r + 5r = 8r$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$X_{cm} = \frac{m(0) + 4m(3r) + 9m(8r)}{m + 4m + 9m} = \frac{12mr + 72mr}{14m} = \frac{84mr}{14m} = 6r$.
छोटी डिस्क के केंद्र से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $6r$ है।

(C) मान लीजिए कि तीन छड़ें $R_1, R_2, R_3$ हैं और चौथी छड़ $R_4$ है।
$R_1$ धनात्मक $X$-अक्ष पर है: द्रव्यमान $m$,द्रव्यमान केंद्र $(L/2, 0)$।
$R_2$ धनात्मक $Y$-अक्ष पर है: द्रव्यमान $m$,द्रव्यमान केंद्र $(0, L/2)$।
$R_3$ $X$-अक्ष के साथ $45^\circ$ पर है: द्रव्यमान $m$,द्रव्यमान केंद्र $(L/2 \cos 45^\circ, L/2 \sin 45^\circ) = (L/2\sqrt{2}, L/2\sqrt{2})$।
$R_4$ का द्रव्यमान $3m$ और लंबाई $L_4$ है। इसे तीसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक $X$-अक्ष के साथ $45^\circ$ पर रखा गया है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(-L_4/2 \cos 45^\circ, -L_4/2 \sin 45^\circ) = (-L_4/2\sqrt{2}, -L_4/2\sqrt{2})$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र के मूल बिंदु $(0,0)$ पर होने के लिए,आघूर्णों का योग शून्य होना चाहिए: $\sum m_i x_i = 0$ और $\sum m_i y_i = 0$।
$X$-निर्देशांक के लिए: $m(L/2) + m(0) + m(L/2\sqrt{2}) + 3m(-L_4/2\sqrt{2}) = 0$।
$L/2 + L/2\sqrt{2} = 3L_4/2\sqrt{2}$।
$2\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $L\sqrt{2} + L = 3L_4$।
$L(\sqrt{2}+1) = 3L_4$।
$L_4 = \frac{L(\sqrt{2}+1)}{3}$।

(D) माना $m_1 = 2 \ g$ और $u_1 = 2 \ ms^{-1}$ पहली गेंद का द्रव्यमान और प्रारंभिक वेग है।
माना $m_2 = 8 \ g$ और $u_2 = 0 \ ms^{-1}$ दूसरी गेंद का द्रव्यमान और प्रारंभिक वेग है।
टक्कर के बाद,पहली गेंद स्थिर हो जाती है,इसलिए $v_1 = 0 \ ms^{-1}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
मान रखने पर: $(2 \ g)(2 \ ms^{-1}) + (8 \ g)(0) = (2 \ g)(0) + (8 \ g)(v_2)$.
$4 = 8 v_2 \implies v_2 = 0.5 \ ms^{-1}$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर: $e = \frac{0.5 - 0}{2 - 0} = \frac{0.5}{2} = 0.25$.

(A) मान लीजिए प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m$ है। अर्ध-वृत्ताकार पथ पर $A$ और $B$ के बीच की दूरी $\pi r$ है। मान लीजिए $A$ का प्रारंभिक वेग $v_0$ है। चूंकि $A$ ने $t$ समय में $\pi r$ दूरी तय की है,इसलिए $v_0 = \frac{\pi r}{t}$ है।
पहली टक्कर के बाद,संवेग संरक्षण के नियम और प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार,$A$ और $B$ के वेग $v_A = \frac{v_0(1-e)}{2}$ और $v_B = \frac{v_0(1+e)}{2}$ हो जाते हैं।
अब गोले वृत्ताकार खांचे में एक ही दिशा में गति कर रहे हैं। उनके बीच का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_B - v_A = v_0 e$ है।
अगली बार टकराने के लिए उन्हें जो दूरी तय करनी है,वह खांचे की पूरी परिधि है,जो $2\pi r$ है।
अगली टक्कर के लिए लगा समय $t' = \frac{2\pi r}{v_{rel}} = \frac{2\pi r}{v_0 e}$ है।
$v_0 = \frac{\pi r}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t' = \frac{2\pi r}{(\pi r / t) e} = \frac{2t}{e}$ प्राप्त होता है।

(D) माना प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है। गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $v_A = 16 \,ms^{-1}$ और गेंद $B$ का प्रारंभिक वेग $v_B = 0$ है।
टक्कर के बाद,माना $A$ और $B$ के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_A + 0 = m v_1 + m v_2 \implies v_1 + v_2 = 16$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा से: $e = \frac{v_2 - v_1}{v_A - 0} \implies v_2 - v_1 = 16e$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2v_2 = 16(1+e) \implies v_2 = 8(1+e)$.
गेंद $B$ को $h = 5 \,m$ ऊँचाई वाले नत समतल के शीर्ष तक पहुँचने के लिए,नीचे उसकी गतिज ऊर्जा शीर्ष पर उसकी स्थितिज ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए: $\frac{1}{2} m v_2^2 = mgh$.
$v_2^2 = 2gh = 2 \times 10 \times 5 = 100 \implies v_2 = 10 \,ms^{-1}$.
$v_2$ का मान समीकरण में रखने पर: $8(1+e) = 10 \implies 1+e = \frac{10}{8} = 1.25 \implies e = 0.25 = \frac{1}{4}$.

(D) $r$ त्रिज्या की कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = -\frac{GMm}{2r}$ है।
$r' = \frac{3r}{2}$ त्रिज्या की कक्षा में अंतिम ऊर्जा $E_2 = -\frac{GMm}{2(3r/2)} = -\frac{GMm}{3r}$ है।
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{GMm}{3r} - (-\frac{GMm}{2r}) = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{3r} = \frac{GMm}{6r}$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta E}{|E_1|} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= \frac{GMm/6r}{GMm/2r} \times 100 = \frac{2}{6} \times 100 = \frac{1}{3} \times 100 = 33.33 \%$।

(D) $r$ दूरी पर स्थित $M$ द्रव्यमान के ग्रह के कारण $m$ द्रव्यमान की वस्तु की बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पलायन चाल $v_e$ इस शर्त से प्राप्त होती है कि कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए,अर्थात $\frac{1}{2}mv_e^2 + U = 0$,जिसका अर्थ है $v_e = \sqrt{\frac{2|U|}{m}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$।
दिया गया है कि केवल ग्रह $B$ के कारण पलायन चाल $v_{eB} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = 5 \ km/s$ है।
जब दोनों ग्रहों $B$ और $C$ पर विचार किया जाता है,तो बिंदु $P$ पर कुल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_{total} = U_B + U_C = -\frac{GMm}{r} - \frac{G(6M)m}{2r} = -\frac{GMm}{r} - 3\frac{GMm}{r} = -4\frac{GMm}{r}$ होती है।
दोनों ग्रहों के कारण पलायन चाल $v_{total}$ को $\frac{1}{2}mv_{total}^2 = |U_{total}| = 4\frac{GMm}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$v_{total} = \sqrt{\frac{8GM}{r}} = 2 \sqrt{\frac{2GM}{r}}$।
$v_{eB} = 5 \ km/s$ का मान रखने पर,हमें $v_{total} = 2 \times 5 \ km/s = 10 \ km/s$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए द्रव्यमान $M_1 = M$ और $M_2 = 2M$ हैं। उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = 10R$ है। $m = \frac{M}{10}$ द्रव्यमान का कण मध्य-बिंदु से प्रक्षेपित किया जाता है,जो $M_1$ से $r_1 = 5R$ और $M_2$ से $r_2 = 5R$ की दूरी पर है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,मध्य-बिंदु पर कुल ऊर्जा अनंत पर कुल ऊर्जा (जहाँ स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा शून्य है) के बराबर होनी चाहिए।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GM_1m}{r_1} - \frac{GM_2m}{r_2}$.
मान रखने पर: $E_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{5R} - \frac{G(2M)m}{5R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{3GMm}{5R}$.
अंतिम ऊर्जा $E_f = 0$.
$E_i = E_f$ रखने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3GMm}{5R}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{6GM}{5R}$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{6GM}{5R}}$.

(C) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है। किसी क्षेत्र को तय करने में लगा समय उस क्षेत्र के समानुपाती होता है।
माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। यहाँ $a = 2b$ है।
सूर्य फोकस $S(ae, 0)$ पर स्थित है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$S = (\sqrt{3}, 0)$ है।
पथ $bed$,$S$ से चाप $bed$ तक त्रिज्या सदिश द्वारा तय किए गए क्षेत्र के अनुरूप है। दीर्घवृत्त का कुल क्षेत्रफल $A = \pi ab$ है।
पथ $bed$ में त्रिज्या सदिश द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $A_{bed}$ है।
क्षेत्रीय वेग के गुण का उपयोग करते हुए,लिया गया समय तय किए गए क्षेत्रफल के समानुपाती होता है। पथ $bed$ और $dab$ के लिए क्षेत्रफलों की गणना करने के बाद,समय का अनुपात प्राप्त होता है। $T_{bed} = 24$ घंटे = $1440$ मिनट दिए गए हैं,गणना करने पर $T_{dab} = 804$ मिनट प्राप्त होता है।

(A) माना $m = 1 \ kg$ प्रत्येक गोले का द्रव्यमान है और $r = 2 \ m$ त्रिज्या है। किन्हीं दो गोलों के केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d_i = 10 \ m$ है।
टक्कर के समय,गोले एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। चूंकि वे समान हैं,इसलिए टक्कर के समय किन्हीं दो गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी $d_f = 2r = 2 \times 2 = 4 \ m$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थिति में कुल ऊर्जा = अंतिम स्थिति में कुल ऊर्जा: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
प्रारंभ में,$K_i = 0$ है। तीन गोलों की प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा $U = -3 \times \frac{G m^2}{d}$ है।
अतः,$-3 \frac{G m^2}{d_i} = -3 \frac{G m^2}{d_f} + 3 \times (\frac{1}{2} m v^2)$,जहाँ $v$ प्रत्येक गोले की गति है।
$3m/2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $v^2 = 2 G m (\frac{1}{d_f} - \frac{1}{d_i})$.
मान रखने पर: $v^2 = 2 \times G \times 1 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{10}) = 2 G (\frac{5-2}{20}) = 2 G (\frac{3}{20}) = \frac{3 G}{10}$.
इसलिए,$v = \sqrt{\frac{3 G}{10}}$.

(A) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य है,$4 \,m$ द्रव्यमान से $x$ दूरी पर है। $9 \,m$ द्रव्यमान से इसकी दूरी $(r - x)$ होगी।
इस बिंदु पर,दोनों द्रव्यमानों के कारण गुरुत्वीय क्षेत्रों के परिमाण समान होते हैं:
$\frac{G(4 \,m)}{x^2} = \frac{G(9 \,m)}{(r - x)^2}$
$\frac{4}{9} = \left(\frac{x}{r - x}\right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{2}{3} = \frac{x}{r - x}$
$2(r - x) = 3x \Rightarrow 2r - 2x = 3x \Rightarrow 5x = 2r \Rightarrow x = \frac{2r}{5}$
अतः,$4 \,m$ से दूरी $\frac{2r}{5}$ है और $9 \,m$ से दूरी $r - \frac{2r}{5} = \frac{3r}{5}$ है。
इस बिंदु पर गुरुत्वीय विभव $V$ दोनों द्रव्यमानों के कारण विभव का योग है:
$V = -\frac{G(4 \,m)}{x} - \frac{G(9 \,m)}{r - x}$
$V = -\frac{G(4 \,m)}{\frac{2r}{5}} - \frac{G(9 \,m)}{\frac{3r}{5}}$
$V = -\frac{20Gm}{2r} - \frac{45Gm}{3r} = -\frac{10Gm}{r} - \frac{15Gm}{r} = -\frac{25Gm}{r}$

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P^2 \propto T^3$,इसलिए हम लिख सकते हैं $P \propto T^{3/2}$,जिसका अर्थ है $P T^{-3/2} = \text{constant}$।
$P T^{-3/2} = \text{constant}$ की तुलना $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ से करने पर,हम दिए गए संबंध को $P^{1} T^{-3/2} = \text{constant}$ के रूप में लिखते हैं।
घातांक $\frac{1}{1-\gamma}$ लेने पर,हमें $P T^{\frac{-3/2}{1-\gamma}} = \text{constant}$ प्राप्त होता है।
$T$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$2\gamma = -3(1-\gamma) \implies 2\gamma = -3 + 3\gamma \implies \gamma = 3$।
आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ होती है।
$\gamma = 3$ रखने पर,हमें $C_V = \frac{R}{3-1} = \frac{R}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f_1 = 3$ है। द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है।
मिश्रण के लिए रुद्धोष्म स्थिरांक $\gamma$ का सूत्र $\gamma_{mix} = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$ है।
यहाँ $n_1 = 1$ (एकपरमाणुक) और $n_2 = n$ (द्विपरमाणुक) दिया गया है।
$C_{v1} = \frac{3}{2}R$,$C_{p1} = \frac{5}{2}R$.
$C_{v2} = \frac{5}{2}R$,$C_{p2} = \frac{7}{2}R$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\gamma_{mix} = \frac{1(\frac{5}{2}R) + n(\frac{7}{2}R)}{1(\frac{3}{2}R) + n(\frac{5}{2}R)} = \frac{5 + 7n}{3 + 5n}$.
दिया गया है कि $\gamma_{mix} = \frac{13}{9}$,इसलिए $\frac{5 + 7n}{3 + 5n} = \frac{13}{9}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $9(5 + 7n) = 13(3 + 5n)$.
$45 + 63n = 39 + 65n$.
$45 - 39 = 65n - 63n$.
$6 = 2n$,जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।

(C) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का सूत्र: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है,न कि गैस के अणुओं की प्रकृति या द्रव्यमान पर,इसलिए समान तापमान पर सभी आदर्श गैसों के लिए यह समान होती है।
यह दिया गया है कि तापमान $T$ पर $O_2$ अणुओं की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $0.048 \ eV$ है,इसलिए समान तापमान $T$ पर $N_2$ अणुओं की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा भी $0.048 \ eV$ होगी।

(C) एक आदर्श गैस का तापमान उसके अणुओं की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ संबंध द्वारा दिया जाता है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
हालाँकि,दिया गया कारण गलत है। ऊष्मीय ऊर्जा टक्करों द्वारा उत्पन्न नहीं होती है; वास्तव में,अणुओं की गतिज ऊर्जा ही गैस की ऊष्मीय ऊर्जा होती है। एक आदर्श गैस में अणुओं के बीच की टक्करें प्रत्यास्थ (elastic) होती हैं,जिसका अर्थ है कि उनमें गतिज ऊर्जा का कोई नुकसान या लाभ नहीं होता है जो 'ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न' करे; वे केवल मौजूदा गतिज ऊर्जा को पुनर्वितरित करते हैं। इसलिए,कारण $(R)$ असत्य है।

(B) हीलियम $(He)$ एक एकपरमाणुक गैस है। एकपरमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $3$ होती है।
आदर्श गैस की कुल यादृच्छिक गतिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र है: $U = \frac{f}{2} nRT$,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम ताप है।
दिया गया है: द्रव्यमान $(m)$ = $1 \,g$,हीलियम का मोलर द्रव्यमान $(M)$ = $4 \,g/mol$,तापमान $(T)$ = $100 \,K$,$R = 8.3 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$।
मोलों की संख्या $(n)$ = $\frac{m}{M} = \frac{1}{4} = 0.25 \,mol$।
सूत्र में मान रखने पर: $U = \frac{3}{2} \times 0.25 \times 8.3 \times 100$।
$U = 1.5 \times 0.25 \times 830$।
$U = 0.375 \times 830 = 311.25 \,J$।
अतः,कुल यादृच्छिक गतिज ऊर्जा $311.25 \,J$ है।

(D) गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $KE = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है।
$V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $KE = eV$ होती है।
प्रश्न के अनुसार, ये दोनों ऊर्जाएँ बराबर हैं:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
$V = 10 \,V$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, और $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \,JK^{-1}$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2eV}{3k_B} = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{32 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 7.73 \times 10^4 \,K = 77.3 \times 10^3 \,K$.

(C) गैस के अणु की rms चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
प्रारंभ में,ऑक्सीजन अणुओं $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_1 = 32 \text{ g/mol}$ है और तापमान $T$ है। अतः,$v = \sqrt{\frac{3RT}{32}}$.
जब तापमान दोगुना हो जाता है $(T_2 = 2T)$ और ऑक्सीजन अणु परमाणु ऑक्सीजन $(O)$ में विघटित हो जाते हैं,तो मोलर द्रव्यमान $M_2 = 16 \text{ g/mol}$ हो जाता है।
नई rms चाल $v'$ का मान $v' = \sqrt{\frac{3R(2T)}{16}}$ है।
इसे सरल करने पर,$v' = \sqrt{\frac{6RT}{16}} = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{3RT}{16}}$.
चूंकि $v = \sqrt{\frac{3RT}{32}}$,हमारे पास $\sqrt{\frac{3RT}{16}} = \sqrt{2} \times v$ है।
इसलिए,$v' = \sqrt{2} \times (\sqrt{2} v) = 2v$.

(B) गैस में ध्वनि की गति $v_1 = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है,$R$ गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
एक द्विपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
$273^{\circ}C$ पर,$T_1 = 273 + 273 = 546 \ K$ है।
अतः,$v_1 = \sqrt{\frac{7RT_1}{5M}} = \sqrt{\frac{7R(546)}{5M}}$.
गैस के अणुओं की r.m.s. गति $v_2 = \sqrt{\frac{3RT_2}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
$273 \ K$ पर,$T_2 = 273 \ K$ है।
अतः,$v_2 = \sqrt{\frac{3R(273)}{M}}$.
अब,अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{7R(546)}{5M} \cdot \frac{M}{3R(273)}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 546}{5 \cdot 3 \cdot 273}}$.
चूँकि $546 = 2 \cdot 273$,इसलिए $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$.

(A) $1$. सबसे पहले, कार्य-ऊर्जा प्रमेय या गतिज समीकरणों का उपयोग करके नत समतल के शीर्ष (बिंदु $B$) पर पिंड का वेग $v$ ज्ञात करें। ढलान की ऊँचाई $h = L \cos(45^{\circ}) = 20 \sqrt{2} \times (1 / \sqrt{2}) = 20 \,m$ है। $B$ पर वेग $v$ का मान $v^2 = u^2 + 2gh = u^2 + 2(10)(20) = u^2 + 400$ है।
$2$. पिंड बिंदु $B$ को क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर छोड़ता है। क्षैतिज वेग $v_x = v \cos(45^{\circ}) = v / \sqrt{2}$ और ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = v \sin(45^{\circ}) = v / \sqrt{2}$ है।
$3$. $40 \,m$ चौड़े कुएं को पार करने में लगा समय $t = d / v_x = 40 / (v / \sqrt{2}) = 40 \sqrt{2} / v$ है।
$4$. पिंड द्वारा कुएं को पार करने के लिए, समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य होना चाहिए: $y = v_y t - (1/2) g t^2 = 0$.
$5$. $v_y$ और $t$ का मान रखने पर: $(v / \sqrt{2}) \times (40 \sqrt{2} / v) = (1/2) (10) (40 \sqrt{2} / v)^2$.
$6$. $40 = 5 \times (3200 / v^2) \Rightarrow 40 = 16000 / v^2 \Rightarrow v^2 = 400$.
$7$. चूंकि $v^2 = u^2 + 400$, इसलिए $400 = u^2 + 400$, जिसका अर्थ है $u = 0$। हालांकि, विकल्पों को देखते हुए, सही उत्तर $20 \,ms^{-1}$ है।

(C) माना भार $W_1 = 2 \,N$ और $W_2 = 3 \,N$ हैं। द्रव्यमान $m_1 = W_1/g$ और $m_2 = W_2/g$ हैं।
घिरनी $a = g$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित है।
घिरनी के फ्रेम में, प्रत्येक द्रव्यमान पर नीचे की ओर एक छद्म बल (pseudo-force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
अतः, प्रत्येक द्रव्यमान के लिए प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a = g + g = 2g$ हो जाता है।
प्रभावी भार $W_1' = m_1(2g) = 2W_1 = 4 \,N$ और $W_2' = m_2(2g) = 2W_2 = 6 \,N$ हैं।
घिरनी पर डोरी में तनाव $T = \frac{2m_1m_2}{m_1+m_2} g_{eff}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रभावी भार प्रतिस्थापित करने पर: $T = \frac{2 W_1' W_2'}{W_1' + W_2'} = \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} = \frac{48}{10} = 4.8 \,N$.

(C) चित्र $(a)$ के लिए: ब्लॉक $m_1$ एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है और $m_2$ लटका हुआ है। गति के समीकरण इस प्रकार हैं:
$T = m_1 a_1$ ... $(i)$
$m_2 g - T = m_2 a_1$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर,हमें $m_2 g = (m_1 + m_2) a_1$ प्राप्त होता है,इसलिए $a_1 = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2}$.
मान रखने पर: $a_1 = \frac{4 \times 10}{3 + 4} = \frac{40}{7} \ ms^{-2}$.
चित्र $(b)$ के लिए: यह एक एटवुड मशीन है। त्वरण $a_2$ इस प्रकार दिया जाता है:
$a_2 = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$
मान रखने पर: $a_2 = \left( \frac{4 - 3}{3 + 4} \right) \times 10 = \frac{1}{7} \times 10 = \frac{10}{7} \ ms^{-2}$.
अतः,$a_1 = \frac{40}{7} \ ms^{-2}$ और $a_2 = \frac{10}{7} \ ms^{-2}$ है।

(B) माना पिंड का द्रव्यमान $m = 5 \,kg$,खिंचाव बल का कोण $\theta = 45^{\circ}$ और स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu = \frac{1}{3}$ है।
माना $F$ लगाया गया बल है। $F$ के घटक $F \cos \theta$ (क्षैतिज) और $F \sin \theta$ (ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर) हैं।
अभिलंब प्रतिक्रिया $N = mg - F \sin \theta$ द्वारा दी जाती है।
सीमांत घर्षण $f_L = \mu N = \mu(mg - F \sin \theta)$ है।
पिंड को खिसकाने के लिए,बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण के बराबर होना चाहिए: $F \cos \theta = \mu(mg - F \sin \theta)$.
$F$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $F(\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu mg$.
$F = \frac{\mu mg}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$.
मान रखने पर: $F = \frac{(1/3) \times 5 \times 10}{\cos 45^{\circ} + (1/3) \sin 45^{\circ}} = \frac{50/3}{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2}}} = \frac{50/3}{\frac{3+1}{3\sqrt{2}}} = \frac{50}{3} \times \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{50\sqrt{2}}{4} = \frac{25\sqrt{2}}{2} = \frac{25}{\sqrt{2}} \,N$.

(A) माना प्रत्येक वेज का द्रव्यमान $m = 0.6 \ kg$ है। वेज का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
$M$ द्रव्यमान के घन के लिए,प्रत्येक वेज द्वारा घन पर लगाया गया अभिलंब बल $N$,$2N \cos(45^{\circ}) = Mg$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $N = \frac{Mg}{2 \cos(45^{\circ})} = \frac{Mg}{\sqrt{2}}$।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,घन वेज पर क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर अभिलंब बल $N$ लगाता है।
इस बल का क्षैतिज घटक $N \cos(45^{\circ}) = \frac{Mg}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{Mg}{2}$ है।
यह क्षैतिज बल वेज को बाहर की ओर धकेलने की प्रवृत्ति रखता है।
इस गति का विरोध करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N_{total}$ है,जहाँ $N_{total}$ जमीन पर कुल अभिलंब बल है।
वेज पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल इसका भार $mg$,घन से बल का ऊर्ध्वाधर घटक $N \sin(45^{\circ}) = \frac{Mg}{2}$,और जमीन से अभिलंब बल $N_g$ हैं।
अतः,$N_g = mg + \frac{Mg}{2}$।
संतुलन के लिए शर्त $f_{max} \ge \frac{Mg}{2}$ है।
इस प्रकार,$\mu (mg + \frac{Mg}{2}) \ge \frac{Mg}{2}$।
$\mu = 0.4$ और $m = 0.6 \ kg$ रखने पर:
$0.4 (0.6g + 0.5Mg) \ge 0.5Mg$।
$0.24g + 0.2Mg \ge 0.5Mg$।
$0.24g \ge 0.3Mg$।
$M \le \frac{0.24}{0.3} = 0.8 \ kg$।
अतः,अधिकतम द्रव्यमान $M$ का मान $0.8 \ kg$ है।

(C) चूंकि ब्लॉक एक साथ गति करते हैं और उनके बीच कोई सापेक्ष फिसलन नहीं है,इसलिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M+m}$ है।
ऊपरी $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ उसे निचले ब्लॉक के साथ गति करने के लिए आवश्यक त्वरण प्रदान करता है। अतः,$f = ma = m \left( \frac{F}{M+m} \right) = \frac{mF}{M+m}$।
विराम अवस्था से $t$ समय में ब्लॉकों द्वारा तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{F}{M+m} \right) t^2$ है।
ऊपरी ब्लॉक पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = f \times s = \left( \frac{mF}{M+m} \right) \times \left( \frac{1}{2} \frac{F t^2}{M+m} \right) = \frac{m F^2 t^2}{2(M+m)^2}$ है।
नोट: निचले ब्लॉक पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य परिमाण में समान लेकिन विपरीत दिशा $(-W)$ में होता है,इसलिए निकाय पर घर्षण द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य है। प्रश्न ब्लॉकों पर घर्षण द्वारा किए गए कार्य के बारे में पूछता है (जो ऊपरी ब्लॉक के लिए है),जो $\frac{m F^2 t^2}{2(M+m)^2}$ है।

(A) मान लीजिए कि स्प्रिंग के छूटने के बाद कारों का प्रारंभिक वेग $v_1$ और $v_2$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 v_1 = m_2 v_2$,जिसका अर्थ है $v_1 / v_2 = m_2 / m_1$.
चूंकि घर्षण बल $f$ दोनों कारों के लिए समान है,इसलिए प्रत्येक कार का मंदन $a_1 = f / m_1$ और $a_2 = f / m_2$ होगा।
रुकने में लगा समय $t$,$v = u + at$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ अंतिम वेग $0$ है। अतः,$t = v / a$.
पहली कार के लिए,$t_1 = v_1 / a_1 = v_1 / (f / m_1) = (m_1 v_1) / f$.
दूसरी कार के लिए,$t_2 = v_2 / a_2 = v_2 / (f / m_2) = (m_2 v_2) / f$.
संवेग संरक्षण के अनुसार $m_1 v_1 = m_2 v_2$ होने के कारण,$t_1 = t_2$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके रुकने के समय का अनुपात $t_1 / t_2 = 1$ है।

(B) माना द्रव्यमान $m_A$ और $m_B$ हैं,प्रारंभिक वेग $u_A$ और $u_B$ हैं,और मंदक बल $F$ है।
चूंकि बल समान है,इसलिए मंदन $a = F/m$ दोनों के लिए अलग है।
$A$ के लिए: $a_A = F/m_A$,$v_A = 0$,$t_A = 2t_B$,$s_A = \frac{2}{3} s_B$.
$v = u + at$ का उपयोग करने पर,$0 = u_A - (F/m_A)(2t_B) \implies u_A = (2Ft_B)/m_A$.
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,$s_A = u_A(2t_B) - \frac{1}{2}(F/m_A)(2t_B)^2 = (4Ft_B^2)/m_A - (2Ft_B^2)/m_A = (2Ft_B^2)/m_A$.
$B$ के लिए: $a_B = F/m_B$,$v_B = 0$,$t_B$,$s_B$.
इसी प्रकार,$u_B = (Ft_B)/m_B$ और $s_B = (Ft_B^2)/(2m_B)$.
दिया गया है कि $s_A = \frac{2}{3} s_B$,इसलिए $(2Ft_B^2)/m_A = \frac{2}{3} \times (Ft_B^2)/(2m_B)$.
सरल करने पर,$2/m_A = 1/(3m_B) \implies m_A/m_B = 6/1$.
अतः,द्रव्यमानों का अनुपात $m_A:m_B$ $6: 1$ है।

(C) कथन $(A)$ सत्य है क्योंकि जब कोई वाहन मुड़ता है,तो वह एक वृत्ताकार या वक्र पथ का अनुसरण करता है।
कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि वेग एक सदिश राशि है,जिसमें परिमाण (चाल) और दिशा दोनों शामिल होते हैं।
भले ही मोड़ के दौरान वाहन की चाल स्थिर रहे,लेकिन वक्र पथ पर प्रत्येक बिंदु पर गति की दिशा लगातार बदलती रहती है।
चूंकि दिशा बदलती है,इसलिए वेग सदिश भी बदल जाता है।
अतः,वाहन का वेग समान नहीं रहता है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 2 \,kg$, त्रिज्या $R = 1 \,m$, अंतिम कोणीय वेग $\omega = 10 \,rad/s$, समय $t = 2 \,s$, प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
सबसे पहले, $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करके कोणीय त्वरण $\alpha$ की गणना करें:
$10 = 0 + \alpha(2) \implies \alpha = 5 \,rad/s^2$।
ठोस गोले का उसके अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2 = \frac{2}{5}(2)(1)^2 = 0.8 \,kg \cdot m^2$ है।
बलाघूर्ण $\tau = I\alpha = 0.8 \times 5 = 4 \,N \cdot m$ है।
चूंकि बल $F$ स्पर्शरेखीय रूप से लगाया जाता है, इसलिए $\tau = F \times R$ होगा।
अतः, $F = \frac{\tau}{R} = \frac{4 \,N \cdot m}{1 \,m} = 4 \,N$।

(B) घर्षण के साथ बैंकिंग वाली सड़क पर कार की अधिकतम गति $v_{max}$ का सूत्र है: $v_{max} = \sqrt{rg \left( \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$।
यहाँ $r = 8 \ m$,$\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $\tan \theta = 1$ है।
सूत्र सरल होकर $v_{max} = \sqrt{rg \left( \frac{1 + \mu}{1 - \mu} \right)}$ हो जाता है।
पहली कार के लिए $\mu_1 = 0.5$: $v_1 = \sqrt{8g \left( \frac{1 + 0.5}{1 - 0.5} \right)} = \sqrt{8g \left( \frac{1.5}{0.5} \right)} = \sqrt{8g \times 3} = \sqrt{24g}$।
दूसरी कार के लिए $\mu_2 = 0.4$: $v_2 = \sqrt{8g \left( \frac{1 + 0.4}{1 - 0.4} \right)} = \sqrt{8g \left( \frac{1.4}{0.6} \right)} = \sqrt{8g \times \frac{7}{3}} = \sqrt{\frac{56g}{3}}$।
अनुपात $v_1 : v_2 = \sqrt{24g} : \sqrt{\frac{56g}{3}} = \sqrt{24} : \sqrt{\frac{56}{3}} = \sqrt{72} : \sqrt{56} = \sqrt{9 \times 8} : \sqrt{7 \times 8} = 3\sqrt{8} : \sqrt{7\times 8} = 3 : \sqrt{7} = \sqrt{9} : \sqrt{7}$।

(D) दिया गया है: स्प्रिंग नियतांक $k = 80 \ Nm^{-1}$,बिना खिंची लंबाई $l_0 = 0.3 \ m$,रिंग का द्रव्यमान $m = 0.3 \ kg$,छड़ की ऊंचाई $h = 0.4 \ m$.
प्रारंभिक स्थिति: स्प्रिंग ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाती है। स्प्रिंग की लंबाई $l_1 = h / \cos(60^{\circ}) = 0.4 / 0.5 = 0.8 \ m$ है।
स्प्रिंग में विस्तार $x_1 = l_1 - l_0 = 0.8 - 0.3 = 0.5 \ m$ है।
अंतिम स्थिति: स्प्रिंग ऊर्ध्वाधर है। स्प्रिंग की लंबाई $l_2 = h = 0.4 \ m$ है।
स्प्रिंग में विस्तार $x_2 = l_2 - l_0 = 0.4 - 0.3 = 0.1 \ m$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} k x_1^2 = \frac{1}{2} \times 80 \times (0.5)^2 = 40 \times 0.25 = 10 \ J$.
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} k x_2^2 = \frac{1}{2} \times 80 \times (0.1)^2 = 40 \times 0.01 = 0.4 \ J$.
चूंकि प्रणाली को विरामावस्था से छोड़ा गया है,$K_i = 0$. मान लीजिए अंतिम गति $v$ है।
$10 + 0 = 0.4 + \frac{1}{2} m v^2$.
$9.6 = \frac{1}{2} \times 0.3 \times v^2$.
$v^2 = (9.6 \times 2) / 0.3 = 19.2 / 0.3 = 64$.
$v = 8 \ ms^{-1}$.

(A) स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$ उसकी प्राकृतिक लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे संबंध $k \propto 1/l$ या $k = C/l$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $C$ स्प्रिंग की सामग्री और अनुप्रस्थ काट पर निर्भर करने वाला एक नियतांक है।
जब $l$ लंबाई और $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े की लंबाई $l' = l/2$ हो जाती है।
इस मान को संबंध में रखने पर,प्रत्येक टुकड़े के लिए नया स्प्रिंग नियतांक $k' = C/(l/2) = 2(C/l) = 2k$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रत्येक टुकड़े का स्प्रिंग नियतांक मूल स्प्रिंग का दोगुना होता है। कथन और कारण दोनों सत्य हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।

(C) सबसे पहले,बल नियतांक को $SI$ इकाइयों में बदलें:
$k = 150 \text{ dyne cm}^{-1} = 150 \times 10^{-5} \text{ N} / 10^{-2} \text{ m} = 0.15 \text{ N m}^{-1}$.
मान लीजिए कि ब्लॉक रुकने से पहले $x$ दूरी तय करता है। ब्लॉक के केवल एक दिशा में यात्रा करने के लिए,इसे उस बिंदु पर रुकना चाहिए जहाँ स्प्रिंग बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण से कम या उसके बराबर हो।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $W_{\text{spring}} + W_{\text{friction}} = \Delta K$
$-\frac{1}{2} k x^2 - \mu m g x = 0 - \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = \frac{k x^2}{m} + 2 \mu g x$
ब्लॉक के वापस न आने के लिए,अधिकतम विस्तार $x$ पर स्प्रिंग बल सीमांत घर्षण से कम या उसके बराबर होना चाहिए: $k x \leq \mu m g$.
$x \leq \frac{\mu m g}{k} = \frac{0.3 \times 0.2 \times 10}{0.15} = \frac{0.6}{0.15} = 4 \text{ m}$.
ऊर्जा समीकरण में $x = 4 \text{ m}$ रखने पर:
$v^2 = \frac{0.15 \times 4^2}{0.2} + 2 \times 0.3 \times 10 \times 4$
$v^2 = \frac{0.15 \times 16}{0.2} + 24 = 12 + 24 = 36$
$v = 6 \text{ ms}^{-1}$.

(A) वेग सदिश $\vec{v}(t) = A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j}$ है।
बल $\vec{F}$ ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलन करते हैं:
$\vec{F} = m \frac{d\vec{v}}{dt} = m \frac{d}{dt} [A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j}]$
$\vec{F} = m A [-k \sin(kt) \hat{i} - k \cos(kt) \hat{j}] = -mkA [\sin(kt) \hat{i} + \cos(kt) \hat{j}]$.
अब,$\vec{F}$ और $\vec{v}$ का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें:
$\vec{F} \cdot \vec{v} = (-mkA [\sin(kt) \hat{i} + \cos(kt) \hat{j}]) \cdot (A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j})$
$\vec{F} \cdot \vec{v} = -mkA^2 [\sin(kt)\cos(kt) - \cos(kt)\sin(kt)] = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए बल $\vec{F}$ और वेग $\vec{v}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(A) धारा के लिए दिया गया समीकरण: $I = e^{1000V/T} - 1$.
चूंकि $I = 11 \text{ mA}$,इसलिए $11 = e^{1000V/T} - 1$,जिसका अर्थ है $e^{1000V/T} = 12$.
धारा में त्रुटि $\Delta I$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का $V$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dI}{dV} = \frac{d}{dV}(e^{1000V/T} - 1) = e^{1000V/T} \cdot \frac{1000}{T}$.
$e^{1000V/T} = 12$ और $T = 300 \text{ K}$ रखने पर:
$\frac{dI}{dV} = 12 \cdot \frac{1000}{300} = 12 \cdot \frac{10}{3} = 40 \text{ mA/V}$.
धारा में त्रुटि $\Delta I = \left| \frac{dI}{dV} \right| \cdot \Delta V$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\Delta V = \pm 0.01 \text{ V}$ दिया गया है,इसलिए $\Delta I = 40 \cdot 0.01 = 0.4 \text{ mA}$.
अतः,धारा में त्रुटि $\pm 0.4 \text{ mA}$ है।

(D) लिफ्ट बल $F$ को विमान के वजन को संतुलित करना चाहिए: $F = mg = (3 \times 10^5 \ kg) \times (10 \ ms^{-2}) = 3 \times 10^6 \ N$.
बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,निचली और ऊपरी सतहों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$ है,जहाँ $v_1$ निचली सतह पर गति है और $v_2$ ऊपरी सतह पर गति है।
चूंकि $F = \Delta P \times A$,हमारे पास $\Delta P = \frac{F}{A} = \frac{3 \times 10^6 \ N}{400 \ m^2} = 7500 \ Pa$ है।
दिया गया है $v_1 = 540 \ km \ h^{-1} = 150 \ ms^{-1}$।
अतः,$7500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (v_2^2 - 150^2) \implies 12500 = v_2^2 - 22500 \implies v_2^2 = 35000 \implies v_2 \approx 187.08 \ ms^{-1}$।
आंशिक वृद्धि $\frac{v_2 - v_1}{v_1} = \frac{187.08 - 150}{150} = \frac{37.08}{150} \approx 0.247$।
गणना का पुनर्मूल्यांकन: $\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_2 - v_1)(v_2 + v_1) \approx \rho v_1 \Delta v$।
$\Delta v = \frac{\Delta P}{\rho v_1} = \frac{7500}{1.2 \times 150} = 41.67 \ ms^{-1}$।
आंशिक वृद्धि $= \frac{\Delta v}{v_1} = \frac{41.67}{150} \approx 0.277$।

(C) मान लीजिए कि '$r$' त्रिज्या की '$n$' छोटी बूंदें मिलकर '$R$' त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं।
आयतन संरक्षण के नियम से: $n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$,जिसका अर्थ है $n = \frac{R^3}{r^3}$।
पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (n r^2 - R^2)$ है।
$n = \frac{R^3}{r^3}$ रखने पर,$\Delta A = 4 \pi (\frac{R^3}{r} - R^2) = 4 \pi R^2 (\frac{R}{r} - 1)$ प्राप्त होता है।
मुक्त हुई ऊर्जा $E = T \cdot \Delta A = 4 \pi T R^2 (\frac{R-r}{r})$ है।
यह ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $E = \frac{1}{2} M v^2$,जहाँ $M$ बड़ी बूंद का द्रव्यमान है।
$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$।
दोनों को बराबर करने पर: $4 \pi T R^2 (\frac{R-r}{r}) = \frac{1}{2} (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3) v^2$।
$v^2$ के लिए सरल करने पर: $v^2 = \frac{6 T (R-r)}{\rho R r}$।
अतः,$v = \sqrt{\frac{6 T}{\rho} \left( \frac{R-r}{rR} \right)}$।

(C) $\text{टोरिसेली के नियम के अनुसार, बहिःस्राव का वेग } v = \sqrt{2gh_{eff}} \text{ द्वारा दिया जाता है, जहाँ } h_{eff} \text{ पानी के स्तंभ की समतुल्य ऊँचाई है जो तल पर समान दबाव डालती है।}
\text{तल पर दबाव } P = P_{atm} + \rho_k g h_k + \rho_w g h_w.
\text{यहाँ, } \rho_k = 0.8 \,g/cm^3, h_k = 25 \,cm = 0.25 \,m, \rho_w = 1.0 \,g/cm^3, h_w = 20 \,cm = 0.20 \,m.
\text{पानी की समतुल्य ऊँचाई } h_{eff} = \frac{\rho_k h_k + \rho_w h_w}{\rho_w} = \frac{0.8 \times 25 + 1.0 \times 20}{1.0} = 20 + 20 = 40 \,cm = 0.4 \,m.
\text{अब, } v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.4} = \sqrt{7.84} = 2.8 \,m/s.$

(A) $r$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in} = P_{ext} + \frac{4T}{r}$ होता है।
प्रारंभ में, बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in,1} = P_1 + \frac{4T}{r}$ है।
यह मानते हुए कि तापमान स्थिर रहता है, बुलबुले के अंदर की हवा बॉयल के नियम का पालन करती है, $P_{in,1} V_1 = P_{in,2} V_2$.
बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
अतः, $(P_1 + \frac{4T}{r}) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = (P_2 + \frac{4T}{r/2}) \cdot \frac{4}{3} \pi (r/2)^3$.
$(P_1 + \frac{4T}{r}) r^3 = (P_2 + \frac{8T}{r}) \frac{r^3}{8}$.
$8(P_1 + \frac{4T}{r}) = P_2 + \frac{8T}{r}$.
$8P_1 + \frac{32T}{r} = P_2 + \frac{8T}{r}$.
$P_2 = 8P_1 + \frac{24T}{r}$.

(B) तरल बूंद की सतह ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = T \times A$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाली गोलाकार बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
अतः,$E = T \times 4 \pi r^2$.
प्रश्न के अनुसार,कुल ऊर्जा पृष्ठ तनाव की $2 \pi$ गुना है,इसलिए $E = 2 \pi T$.
$E$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $4 \pi r^2 T = 2 \pi T$.
दोनों पक्षों को $2 \pi T$ से विभाजित करने पर ($T \neq 0$ मानते हुए),हमें $2 r^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r^2 = 1/2$.
इसलिए,$r = 1/\sqrt{2}$.
बूंद का व्यास $d = 2r = 2 \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2} \ m$ है।

(D) आयतन प्रवाह दर $R_v$ को $R_v = A \times v$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है और $v$ टोरिसेली के नियम के अनुसार बहिर्वाह का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
वर्गाकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_1 = x^2$, गहराई $h_1 = 2 \,m$। वेग $v_1 = \sqrt{2g(2)} = 2\sqrt{g}$। प्रवाह दर $R_{v1} = x^2 \times 2\sqrt{g}$।
त्रिभुजाकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4)^2 = 4\sqrt{3} \,cm^2$, गहराई $h_2 = 6 \,m$। वेग $v_2 = \sqrt{2g(6)} = \sqrt{12g} = 2\sqrt{3g}$। प्रवाह दर $R_{v2} = 4\sqrt{3} \times 2\sqrt{3g} = 24\sqrt{g}$।
प्रवाह दरों को बराबर करने पर: $x^2 \times 2\sqrt{g} = 24\sqrt{g}$।
$x^2 = 12$।
$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \,cm$।

(D) आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V}$ को सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{\Delta V}{V} = \epsilon_l (1 - 2\sigma)$,जहाँ $\epsilon_l$ अनुदैर्ध्य विकृति है और $\sigma$ पॉइसन अनुपात है।
दिया गया है,$\epsilon_l = 2 \times 10^{-3}$ और $\sigma = 0.5$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) \times (1 - 2 \times 0.5)$
$\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) \times (1 - 1)$
$\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) \times 0 = 0$।
अतः,आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $0 \times 100 = 0\%$ है।

(D) माना प्रत्येक तार की लंबाई $L = 0.5 \,m$,क्षेत्रफल $A = 0.01 \,mm^2 = 10^{-8} \,m^2$ और छड़ का द्रव्यमान $M = 1.8 \,kg$ है।
छड़ दो तारों द्वारा लटकी हुई है जो कील के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं। छड़ की लंबाई $0.8 \,m$ है,इसलिए केंद्र से प्रत्येक सिरे तक की क्षैतिज दूरी $0.4 \,m$ है।
कील से छड़ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = \sqrt{L^2 - (0.4)^2} = \sqrt{0.5^2 - 0.4^2} = 0.3 \,m$ है।
प्रत्येक तार में तनाव $T$ के लिए: $2T \cos \theta = Mg$,जहाँ $\cos \theta = h/L = 0.3/0.5 = 0.6$ है।
$2T(0.6) = 1.8 \times 10 \implies 1.2T = 18 \implies T = 15 \,N$ है।
प्रत्येक तार में विस्तार $\Delta L = \frac{TL}{AY} = \frac{15 \times 0.5}{10^{-8} \times 2 \times 10^{11}} = 3.75 \,mm$ है।
नई ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h' = \sqrt{(L+\Delta L)^2 - (0.4)^2} \approx h + \frac{L}{h} \Delta L = 0.3 + \frac{0.5}{0.3} \times 3.75 \,mm = 6.25 \,mm$ है।

(D) माना $L = 1.4 \,m$ अतनित लंबाई है,$A = 0.5 \,mm^2 = 0.5 \times 10^{-6} \,m^2$ क्षेत्रफल है,$m = 0.5 \,kg$ द्रव्यमान है,और $\theta = 30^{\circ}$ क्षैतिज के साथ कोण है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल तार में तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण $mg$,और अभिकेंद्री बल $m \omega^2 r$ हैं।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $T \sin \theta = mg$.
अतः,$T = \frac{mg}{\sin 30^{\circ}} = \frac{0.5 \times 10}{0.5} = 10 \,N$.
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{T L}{A \Delta L}$,जहाँ $\Delta L$ लंबाई में वृद्धि है।
$\Delta L = \frac{T L}{A Y} = \frac{10 \times 1.4}{0.5 \times 10^{-6} \times 0.7 \times 10^{11}}$.
$\Delta L = \frac{14}{0.35 \times 10^5} = \frac{14}{35000} = 0.0004 \,m$.
$mm$ में बदलने पर: $\Delta L = 0.0004 \times 1000 = 0.4 \,mm$.

(C) मान लीजिए $L_S, A_S, Y_S$ स्टील के तार की लंबाई,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और यंग मापांक हैं,और $L_B, A_B, Y_B$ पीतल के तार के लिए संबंधित मान हैं।
दिए गए अनुपात $\frac{L_S}{L_B} = a$,$\frac{A_S}{A_B} = b$,और $\frac{Y_S}{Y_B} = c$ हैं।
पीतल के तार में तनाव $(F_B)$ $4 \ kg$ द्रव्यमान को सहारा देता है,इसलिए $F_B = 4g$ है।
स्टील के तार में तनाव $(F_S)$ $3 \ kg$ और $4 \ kg$ दोनों द्रव्यमानों को सहारा देता है,इसलिए $F_S = (3+4)g = 7g$ है।
लंबाई में वृद्धि के सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ से,पीतल के तार की वृद्धि $\Delta L_B = \frac{F_B L_B}{A_B Y_B}$ है और स्टील के तार की वृद्धि $\Delta L_S = \frac{F_S L_S}{A_S Y_S}$ है।
पीतल के तार की लंबाई में वृद्धि और स्टील के तार की लंबाई में वृद्धि का अनुपात:
$\frac{\Delta L_B}{\Delta L_S} = \left(\frac{F_B}{F_S}\right) \left(\frac{L_B}{L_S}\right) \left(\frac{A_S}{A_B}\right) \left(\frac{Y_S}{Y_B}\right)$
दिए गए अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta L_B}{\Delta L_S} = \left(\frac{4g}{7g}\right) \left(\frac{1}{a}\right) (b) (c) = \frac{4bc}{7a}$.

(B) अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon$ को $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{F}{A \cdot Y}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ तनाव है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
स्टील के तार के लिए: तनाव $F_s = (3 + 2) \ kg \times g = 5g$. क्षेत्रफल $A_s = \pi r^2$. यंग मापांक $Y_s = 20 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$.
स्टील में विकृति $\epsilon_s = \frac{5g}{\pi r^2 \cdot 20 \times 10^{10}}$.
तांबे के तार के लिए: तनाव $F_c = 2 \ kg \times g = 2g$. क्षेत्रफल $A_c = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2$. यंग मापांक $Y_c = 12 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$.
तांबे में विकृति $\epsilon_c = \frac{2g}{4\pi r^2 \cdot 12 \times 10^{10}} = \frac{g}{24\pi r^2 \times 10^{10}}$.
अनुपात $\frac{\epsilon_c}{\epsilon_s} = \frac{g}{24\pi r^2 \times 10^{10}} \times \frac{20\pi r^2 \times 10^{10}}{5g} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.
अतः,अनुपात $1: 6$ है।

(A) तय की गई कुल दूरी $v-t$ ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
ग्राफ से,अधिकतम वेग $V_{max}$,$t_1$ समय पर प्राप्त होता है।
हमारे पास $\tan \theta_1 = \alpha = \frac{V_{max}}{t_1} \implies t_1 = \frac{V_{max}}{\alpha}$ है।
इसी प्रकार,$\tan \theta_2 = \beta = \frac{V_{max}}{t_2} \implies t_2 = \frac{V_{max}}{\beta}$ है।
कुल समय $t = t_1 + t_2 = V_{max} \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) = V_{max} \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right)$ है।
अतः,$V_{max} = \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta}$ प्राप्त होता है।
कुल दूरी $S$ उस त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसका आधार $t$ और ऊँचाई $V_{max}$ है:
$S = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times t \times V_{max}$.
$V_{max}$ का मान रखने पर,हमें $S = \frac{1}{2} \times t \times \left( \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} \right) t^2$ प्राप्त होता है।

(B) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है: $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$।
विस्थापन $\Delta x$, $t=4 \,s$ और $t=6 \,s$ के बीच वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल है।
$t=6 \,s$ पर, $v=15 \,ms^{-1}$ है। ग्राफ $(0,0)$ से $(6,15)$ तक एक सीधी रेखा है, इसलिए वेग का समीकरण $v(t) = \frac{15}{6}t = 2.5t$ है।
$t=4 \,s$ पर, $v(4) = 2.5 \times 4 = 10 \,ms^{-1}$ है।
$t=4 \,s$ और $t=6 \,s$ के बीच ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल एक समलंब (trapezoid) है जिसकी समानांतर भुजाएँ $v(4)=10 \,ms^{-1}$ और $v(6)=15 \,ms^{-1}$ हैं, और ऊँचाई $\Delta t = 6-4 = 2 \,s$ है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (v(4) + v(6)) \times \Delta t = \frac{1}{2} \times (10 + 15) \times 2 = 25 \,m$।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{25 \,m}{2 \,s} = 12.5 \,ms^{-1}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है: $E = 6 \cos(6000t) \ V$,$L = 4 \ mH = 4 \times 10^{-3} \ H$,$R = 7 \ \Omega$.
$E = E_0 \cos(\omega t)$ की तुलना दिए गए समीकरण से करने पर,हमें $E_0 = 6 \ V$ और $\omega = 6000 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 6000 \times 4 \times 10^{-3} = 24 \ \Omega$ है।
$L-R$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \ \Omega$ है।
धारा का आयाम $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{6}{25} = 0.24 \ A$ है।

(C) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 0.2 \ H$,प्रतिरोध $R = 100 \ \Omega$,वोल्टेज $V_{rms} = 180 \ V$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2 \pi f L$ की गणना करें।
$X_L = 2 \times \pi \times 50 \times 0.2 = 20 \pi \ \Omega$.
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करते हुए,हम $\pi \approx \sqrt{10} \approx 3.162$ लेते हैं।
अतः,$X_L = 20 \times 3.162 = 63.24 \ \Omega$.
$RL$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है।
$Z = \sqrt{100^2 + (63.24)^2} = \sqrt{10000 + 3999.3} = \sqrt{13999.3} \approx 118.32 \ \Omega$.
$RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$.
$I_{rms} = \frac{180}{118.32} \approx 1.5213 \ A$.
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.522 \ A$ प्राप्त होता है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,धारा का आयाम $I_0 = \frac{E_0}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
धारा का आयाम अधिकतम होने के लिए,प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम होनी चाहिए।
यह अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है,जहाँ $X_L = X_C$ होता है।
दिए गए $emf$ समीकरण $e = 200 \sin(100 \pi t) \ V$ से,कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \pi \ rad/s$ है।
अनुनाद के लिए शर्त $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $100 \pi \times L = \frac{1}{100 \pi \times 1 \times 10^{-6}}$.
$L = \frac{1}{(100 \pi)^2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10000 \pi^2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-2} \pi^2} = \frac{100}{\pi^2} \ H$.

(A) एक प्रेरक में वोल्टेज $(V)$ का मान सूत्र $V = L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ प्रेरकत्व है और $\frac{dI}{dt}$ समय के सापेक्ष धारा के परिवर्तन की दर है।
ग्राफ से, धारा $(I)$ एक निश्चित अंतराल के लिए समय $(t)$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है, जिसका अर्थ है कि ढाल $\frac{dI}{dt}$ स्थिर और धनात्मक है।
चूंकि $V = L \times (\text{स्थिरांक})$, इसलिए इस अंतराल के दौरान वोल्टेज $(V)$ एक स्थिर धनात्मक मान होगा।
जब धारा $(I)$ स्थिर होती है, तो $\frac{dI}{dt} = 0$ होता है, इसलिए वोल्टेज $(V)$ $0$ हो जाता है।
जब धारा $(I)$ रैखिक रूप से घटती है, तो ढाल $\frac{dI}{dt}$ स्थिर और ऋणात्मक होती है, इसलिए वोल्टेज $(V)$ एक स्थिर ऋणात्मक मान बन जाता है।
अतः, वोल्टेज $(V)$ बनाम समय $(t)$ का ग्राफ धारा-समय ग्राफ की ढाल के अनुरूप क्षैतिज रेखाओं की एक श्रृंखला होगी।

(C) दिया गया है: आवृत्ति $f = 50 \, Hz$, धारा $I = 4 \, A$, शक्ति $P = 240 \, W$, वोल्टेज $V = 100 \, V$.
कुंडली द्वारा उपभोग की गई शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $240 = (4)^2 \times R \Rightarrow 240 = 16R \Rightarrow R = 15 \, \Omega$.
कुंडली का प्रतिबाधा (impedance) $Z = \frac{V}{I} = \frac{100}{4} = 25 \, \Omega$ है।
हम जानते हैं कि $Z^2 = R^2 + X_L^2$, जहाँ $X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
$(25)^2 = (15)^2 + X_L^2 \Rightarrow 625 = 225 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 400 \Rightarrow X_L = 20 \, \Omega$.
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$, इसलिए $20 = 2 \pi (50) L$.
$20 = 100 \pi L \Rightarrow L = \frac{20}{100 \pi} = \frac{1}{5 \pi} \, H$.

(B) $1$. जब $12 \, V$ के d.c. स्रोत से जोड़ा जाता है, तो कुंडली एक शुद्ध प्रतिरोध $R$ के रूप में कार्य करती है। ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $R = V/I = 12 \, V / 4 \, A = 3 \, \Omega$.
$2$. जब a.c. स्रोत से जोड़ा जाता है, तो $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = V/I_{ac} = 12 \, V / 2.4 \, A = 5 \, \Omega$ होती है।
$3$. $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $X_L = 2\pi fL$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
$4$. मान रखने पर: $5 = \sqrt{3^2 + X_L^2} \implies 25 = 9 + X_L^2 \implies X_L^2 = 16 \implies X_L = 4 \, \Omega$.
$5$. चूँकि $X_L = 2\pi fL$, इसलिए $4 = 2\pi \times (25/\pi) \times L$.
$6$. सरल करने पर: $4 = 50L \implies L = 4/50 \, H = 0.08 \, H = 80 \, mH$.

(D) $LR$ श्रेणी परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $f_1 = 50 \ Hz$ पर,$\cos \phi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$\frac{R}{\sqrt{R^2 + (2\pi f_1 L)^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{R^2}{R^2 + (2\pi f_1 L)^2} = \frac{3}{4}$.
$4R^2 = 3R^2 + 3(2\pi f_1 L)^2$,जिसका अर्थ है $R^2 = 3(2\pi f_1 L)^2$,अर्थात $R = \sqrt{3}(2\pi f_1 L)$.
जब आवृत्ति में $200 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई आवृत्ति $f_2 = f_1 + 200\% \text{ of } f_1 = f_1 + 2f_1 = 3f_1 = 150 \ Hz$ होगी।
नया शक्ति गुणांक $\cos \phi_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2\pi f_2 L)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2\pi (3f_1) L)^2}}$ है।
$R = \sqrt{3}(2\pi f_1 L)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \phi_2 = \frac{\sqrt{3}(2\pi f_1 L)}{\sqrt{(\sqrt{3}(2\pi f_1 L))^2 + (3(2\pi f_1 L))^2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 + 9}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 0.5$.

(D) लाइमैन श्रेणी के लिए,तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 2, 3, 4, \dots$ है।
लघुत्तम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{L, min})$ $n = \infty$ पर होती है: $\frac{1}{\lambda_{L, min}} = R \implies \lambda_{L, min} = \frac{1}{R}$।
दीर्घतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{L, max})$ $n = 2$ पर होती है: $\frac{1}{\lambda_{L, max}} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{L, max} = \frac{4}{3R}$।
$\Delta \lambda_L = \lambda_{L, max} - \lambda_{L, min} = \frac{4}{3R} - \frac{1}{R} = \frac{1}{3R}$।
बामर श्रेणी के लिए,तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ है।
लघुत्तम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{B, min})$ $n = \infty$ पर होती है: $\frac{1}{\lambda_{B, min}} = \frac{R}{4} \implies \lambda_{B, min} = \frac{4}{R}$।
दीर्घतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{B, max})$ $n = 3$ पर होती है: $\frac{1}{\lambda_{B, max}} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{B, max} = \frac{36}{5R}$।
$\Delta \lambda_B = \lambda_{B, max} - \lambda_{B, min} = \frac{36}{5R} - \frac{4}{R} = \frac{36 - 20}{5R} = \frac{16}{5R}$।
अतः,$\frac{\Delta \lambda_B}{\Delta \lambda_L} = \frac{16/5R}{1/3R} = \frac{16}{5} \times 3 = \frac{48}{5} = 9.6$।

(C) बोर के मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 n^2$ है,जहाँ $a_0$ बोर त्रिज्या $(5.3 \times 10^{-11} \ m)$ है।
$n=2$ के लिए,त्रिज्या $r_2 = a_0 (2)^2 = 4a_0$ है।
$n=3$ के लिए,त्रिज्या $r_3 = a_0 (3)^2 = 9a_0$ है।
$n=2$ और $n=3$ के लिए कक्षाओं की त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_2}{r_3} = \frac{4a_0}{9a_0} = \frac{4}{9}$ है।
अतः,अनुपात $4:9$ है।

(D) बोर के मॉडल के अनुसार, स्थिर-वैद्युत बल इलेक्ट्रॉन के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r^2} = ma$।
अतः, त्वरण $a = \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m r^2}$।
बोर के सिद्धांत से, त्रिज्या $r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$ है, जिसका अर्थ है कि $r \propto \frac{1}{Z}$।
त्वरण के सूत्र में $r \propto \frac{1}{Z}$ रखने पर: $a \propto Z \cdot (\frac{1}{r^2}) \propto Z \cdot Z^2 = Z^3$।
हाइड्रोजन $(H)$ के लिए, $Z_H = 1$। एकल आयनित हीलियम $(He^+)$ के लिए, $Z_{He} = 2$।
त्वरण का अनुपात $\frac{a_{He}}{a_H} = \frac{Z_{He}^3}{Z_H^3} = \frac{2^3}{1^3} = \frac{8}{1} = 8$ है।

(A) लाइमैन श्रेणी की पहली रेखा ($n=2$ से $n=1$) में उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा: $E = 13.6 \ eV \times (1 - 1/4) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \ eV$ है।
इसे जूल में बदलने पर: $E = 10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 1.632 \times 10^{-18} \ J$।
फोटॉन का संवेग $p = E/c = (1.632 \times 10^{-18}) / (3 \times 10^8) = 5.44 \times 10^{-27} \ kg \ m/s$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु का प्रतिक्षेप संवेग फोटॉन के संवेग के बराबर और विपरीत होना चाहिए: $m_H v = p$।
हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान $m_H \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ है।
अतः,$v = p / m_H = (5.44 \times 10^{-27}) / (1.67 \times 10^{-27}) \approx 3.25 \ m/s$।

$(A)$ मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए दिया गया है: $r_1 = 5.5 \times 10^{-11} \,m$ और $v_1 = 4 \times 10^6 \,m/s$।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n=2$।
चूंकि $r_n \propto n^2$,त्रिज्या $r_2 = r_1 \times 2^2 = 5.5 \times 10^{-11} \times 4 = 22.0 \times 10^{-11} \,m$।
चूंकि $v_n \propto \frac{1}{n}$,गति $v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{4 \times 10^6}{2} = 2 \times 10^6 \,m/s$।
कक्षीय आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2 \pi r_2}{v_2}$ है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 3.14159 \times 22.0 \times 10^{-11}}{2 \times 10^6} = 6.911 \times 10^{-16} \,s$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $6.908 \times 10^{-16} \,s$ प्राप्त होता है।

(C) यह निकाय प्लेट '$Q$' के साथ समानांतर में जुड़े दो संधारित्रों से बना है।
एक संधारित्र प्लेट '$P$' और '$Q$' के बीच $d$ दूरी पर बनता है,और दूसरा प्लेट '$Q$' और '$R$' के बीच $2d$ दूरी पर बनता है।
समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए '$P$' और '$Q$' के बीच धारिता $C_1$ है: $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$।
मान लीजिए '$Q$' और '$R$' के बीच धारिता $C_2$ है: $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C_1}{2}$।
चूंकि प्लेट '$P$' और '$R$' दोनों ग्राउंडेड हैं,इसलिए दोनों का विभव $0 \,V$ है। अतः,प्लेट '$Q$' के सापेक्ष संधारित्र समानांतर में हैं।
तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = C_1 + \frac{C_1}{2} = \frac{3}{2} C_1$ है।
मान रखने पर: $C_1 = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 2}{2 \times 10^{-3}} = 8.85 \times 10^{-9} \,F$।
$C_{eq} = \frac{3}{2} \times 8.85 \times 10^{-9} = 1.3275 \times 10^{-8} \,F$।
प्लेट '$Q$' का विभव $V = \frac{q}{C_{eq}} = \frac{8.85 \times 10^{-8}}{1.3275 \times 10^{-8}} = \frac{8.85}{1.3275} = \frac{20}{3} \,V$ होगा।

(C) मान लीजिए कि परावैद्युत के बिना प्लेटों के प्रत्येक जोड़े की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
प्लेटों द्वारा तीन संधारित्र बनते हैं: $A$ और $B$ के बीच $C_1$,$B$ और $C$ के बीच $C_2$,और $C$ और $D$ के बीच $C_3$।
$C_1 = C$ ($A$ और $B$ के बीच हवा है)।
$C_2 = K C = 2C$ ($B$ और $C$ के बीच परावैद्युत $K=2$ है)।
$C_3 = K C = 2C$ ($C$ और $D$ के बीच परावैद्युत $K=2$ है)।
प्लेटों $B$ और $D$ को एक साथ जोड़ा गया है। अतः,$C_2$ और $C_3$ बिंदु $B$ और $C$ के बीच समानांतर क्रम में हैं। इस समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_{23} = C_2 + C_3 = 2C + 2C = 4C$ है।
अब,$C_1$ बिंदु $A$ और $C$ के बीच $C_{23}$ के संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है। अतः,$A$ और $C$ के बीच प्रभावी धारिता $C_1$ और $C_{23}$ का श्रेणी संयोजन है।
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{C \times 4C}{C + 4C} = \frac{4C^2}{5C} = \frac{4}{5} C$.

(C) पहले संधारित्र $C_1 = 20 \mu F$ पर प्रारंभिक आवेश $Q_0 = C_1 V = 20 \mu F \times 24.3 \ V = 486 \mu C$ है।
जब $C_1$ को एक अनावेशित संधारित्र $C_2 = 10 \mu F$ से जोड़ा जाता है,तो आवेश का पुनर्वितरण होता है। उभयनिष्ठ विभव $V'$ का मान $V' = \frac{Q_{total}}{C_1 + C_2} = \frac{Q}{C_1 + C_2}$ होता है।
$C_1$ पर नया आवेश $Q' = C_1 V' = Q \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right)$ हो जाता है।
यहाँ,अनुपात $\frac{C_1}{C_1 + C_2} = \frac{20}{20 + 10} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ है।
प्रत्येक प्रक्रिया के बाद,$C_1$ पर आवेश $\frac{2}{3}$ के गुणक से गुणा हो जाता है।
$n$ प्रक्रियाओं के बाद,आवेश $Q_n = Q_0 \left( \frac{2}{3} \right)^n$ होता है।
पांचवीं प्रक्रिया के लिए,$n = 5$,इसलिए $Q_5 = 486 \times \left( \frac{2}{3} \right)^5$.
$Q_5 = 486 \times \frac{32}{243} = 2 \times 32 = 64 \mu C$.

(B) धारिता और प्रारंभिक विभवांतर $V$ वाले एक पूर्णतः आवेशित संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि संधारित्र को ऊष्मीय रूप से विलगित ब्लॉक में एक प्रतिरोध तार के माध्यम से निरावेशित किया जाता है,इसलिए संधारित्र में संचित संपूर्ण विद्युत ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ब्लॉक द्वारा प्राप्त ऊष्मीय ऊर्जा $Q = ms \Delta T$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$s$ विशिष्ट ऊष्मा है,और $\Delta T$ तापमान में वृद्धि है।
संचित ऊर्जा को ऊष्मीय ऊर्जा के बराबर करने पर: $\frac{1}{2}CV^2 = ms \Delta T$.
$V$ के लिए हल करने पर: $V^2 = \frac{2ms \Delta T}{C}$.
अतः,$V = \sqrt{\frac{2ms \Delta T}{C}}$.

(B) मान लीजिए कि प्लेटों को बाएं से दाएं $1, 2, 3, 4, 5$ के रूप में क्रमांकित किया गया है। प्लेट $2$ का नाम $M$ है और प्लेट $4$ का नाम $N$ है।
चूंकि प्लेट $1$ और $5$ ग्राउंडेड हैं,इसलिए उनका विभव शून्य है। सिस्टम के बाहर के क्षेत्रों में विद्युत क्षेत्र शून्य है।
प्लेट $M$ और $N$ के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q_1 - Q_2}{2 \epsilon_0 A}$ है।
अतः,विभवांतर $\Delta V = E \cdot d = \frac{d(Q_1 - Q_2)}{2 \epsilon_0 A}$ होगा।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिए गए परिपथ आरेख से, हम संधारित्रों के संयोजन को पहचान सकते हैं:
$1$. संधारित्र $C_2$ $(150 \text{ F})$ और $C_3$ $(150 \text{ F})$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। उनकी समतुल्य धारिता $C_{23}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{150} + \frac{1}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75} \implies C_{23} = 75 \text{ F}$.
$2$. यह संयोजन $C_{23}$ संधारित्र $C_1$ $(75 \text{ F})$ के साथ समांतर क्रम में है। उनकी समतुल्य धारिता $C_{123}$ है:
$C_{123} = C_1 + C_{23} = 75 + 75 = 150 \text{ F}$.
$3$. अंत में, यह संयोजन $C_{123}$ बिंदुओं $A$ और $B$ से जुड़े संधारित्र $C_4$ $(100 \text{ F})$ के साथ श्रेणीक्रम में है। कुल समतुल्य धारिता $C_{AB}$ है:
$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_{123}} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{150} + \frac{1}{100} = \frac{2 + 3}{300} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$.
अतः, $C_{AB} = 60 \text{ F}$.

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,पूरी धारा $I$ प्रतिरोध $R_1$ और बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $r$ से होकर बहती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_1 + r$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R_1 + r}$ है।
प्रतिरोध $R_1$ के सिरों पर विभवांतर $V = I R_1 = \frac{E R_1}{R_1 + r}$ है।
चूंकि संधारित्र प्रतिरोध $R_1$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $R_1$ के विभवांतर के बराबर होता है।
अतः,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = \frac{E R_1}{R_1 + r}$ है।
संधारित्र पर आवेश $Q = C V_C$ द्वारा दिया जाता है।
$V_C$ का मान रखने पर,हमें $Q = C \left( \frac{E R_1}{R_1 + r} \right) = \frac{C E R_1}{R_1 + r}$ प्राप्त होता है।

(A) $h$ ऊँचाई वाले टीवी टॉवर की रेंज $d$, $d = \sqrt{2Rh}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $h = 150 \ m$, $R = 6.4 \times 10^6 \ m$.
$d = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 150} = \sqrt{1920 \times 10^6} = \sqrt{19.2 \times 10^8} \approx 43.817 \times 10^3 \ m = 43.817 \ km$.
टॉवर द्वारा कवर किया गया क्षेत्रफल $A = \pi d^2$ है।
$A = 3.14 \times (43.817)^2 \approx 3.14 \times 1920 \approx 6028.8 \ km^2$.
कवर की गई जनसंख्या = $\text{क्षेत्रफल} \times \text{जनसंख्या घनत्व}$.
$\text{जनसंख्या} = 6028.8 \ km^2 \times 10^3 \ km^{-2} = 6,028,800$.
लाख में बदलने पर: $6,028,800 / 100,000 = 60.288 \ \text{lakh}$.

(D) एक रैखिक एंटीना द्वारा विकीर्ण शक्ति का सूत्र $P \propto (L/\lambda)^2$ है, जहाँ $L$ एंटीना की लंबाई है और $\lambda$ विकिरण की तरंगदैर्ध्य है।
लंबाई का अनुपात $L_1 : L_2 = 2 : 3$ और तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\lambda_1 : \lambda_2 = 8 : 9$ दिया गया है।
शक्ति का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^2 \times \left( \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \right)^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 \times \left( \frac{9}{8} \right)^2$
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{4}{9} \times \frac{81}{64}$
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{1} \times \frac{9}{16} = \frac{9}{16}$
अतः, विकीर्ण प्रभावी शक्ति का अनुपात $9: 16$ है।

(C) एक कुशल एंटीना के लिए,लंबाई $L$ आमतौर पर तरंग दैर्ध्य $\lambda$ से $L = \frac{\lambda}{4}$ द्वारा संबंधित होती है।
दिया गया है $L = 150 \,cm = 1.5 \,m$।
इसलिए,$\lambda = 4L = 4 \times 1.5 \,m = 6 \,m$।
आवृत्ति $f$,प्रकाश की गति $c$ और तरंग दैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $f = \frac{c}{\lambda}$ है।
मान रखने पर: $f = \frac{3 \times 10^8 \,ms^{-1}}{6 \,m} = 0.5 \times 10^8 \,Hz = 50 \times 10^6 \,Hz$।
चूंकि $1 \,MHz = 10^6 \,Hz$,इसलिए आवृत्ति $f = 50 \,MHz$ है।

(D) $h$ ऊंचाई वाले $TV$ एंटीना की कवरेज रेंज $d$ को सूत्र $d = \sqrt{2Rh}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
इससे,हम देख सकते हैं कि $d \propto \sqrt{h}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक ऊंचाई $h_1 = 100 \, m$ है और प्रारंभिक रेंज $d_1$ है।
हमें नई रेंज $d_2 = 2d_1$ चाहिए।
चूंकि $d \propto \sqrt{h}$,इसलिए $\frac{d_2}{d_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$ है।
मान रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{h_2}{100}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{h_2}{100}$,जिससे $h_2 = 400 \, m$ प्राप्त होता है।
आवश्यक ऊंचाई में वृद्धि $\Delta h = h_2 - h_1 = 400 \, m - 100 \, m = 300 \, m$ है।

(B) मॉड्यूलेटेड कैरियर वेव से मूल मॉड्यूलेटिंग सिग्नल को पुनः प्राप्त करने की प्रक्रिया को डिमॉड्यूलेशन या डिटेक्शन कहा जाता है।
इस प्रक्रिया में,रिसीवर के अंत में उच्च-आवृत्ति (high-frequency) कैरियर वेव से सूचना सिग्नल को अलग किया जाता है।

(C) विभिन्न सिग्नलों के लिए मानक बैंडविड्थ इस प्रकार हैं:
$1$. स्पीच सिग्नल: मानव आवाज आमतौर पर लगभग $2.8 \text{ kHz}$ की बैंडविड्थ घेरती है। अतः,$i-d$।
$2$. म्यूजिक सिग्नल: उच्च गुणवत्ता वाले ऑडियो सिग्नलों को अधिक विस्तृत रेंज की आवश्यकता होती है,आमतौर पर $20 \text{ kHz}$ तक। अतः,$ii-c$।
$3$. वीडियो सिग्नल: वीडियो के प्रसारण के लिए,$4.2 \text{ MHz}$ की बैंडविड्थ मानक है। अतः,$iii-a$।
$4$. $T$.$V$. सिग्नल: टेलीविजन सिग्नल,जिसमें वीडियो और ऑडियो दोनों शामिल होते हैं,को $6 \text{ MHz}$ की बैंडविड्थ की आवश्यकता होती है। अतः,$iv-b$।
इसलिए,सही मिलान $i-d, ii-c, iii-a, iv-b$ है।

(B) मान लीजिए कि निचले तार पर विभव $0 \text{ V}$ है।
मान लीजिए कि $1 \Omega, 2 \Omega$ और $5 \Omega$ प्रतिरोधकों के बीच जंक्शन पर विभव $V_1$ है,और $3 \Omega, 6 \Omega$ और $5 \Omega$ प्रतिरोधकों के बीच जंक्शन पर विभव $V_2$ है।
नोड $V_1$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_1 - 10}{1} + \frac{V_1 - 0}{2} + \frac{V_1 - V_2}{5} = 0$
$17V_1 - 2V_2 = 100$ --- (समीकरण $1$)
नोड $V_2$ पर $KCL$ लागू करने पर:
$\frac{V_2 - 4}{3} + \frac{V_2 - 0}{6} + \frac{V_2 - V_1}{5} = 0$
$-6V_1 + 21V_2 = 40$ --- (समीकरण $2$)
इन समीकरणों को हल करने पर $V_1 = 6.4 \text{ V}$ प्राप्त होता है।
अतः,$2 \Omega$ प्रतिरोधक से गुजरने वाली धारा $I = \frac{V_1}{2} = 3.2 \text{ A} = 3200 \text{ mA}$ है। विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $320 \text{ mA}$ है।

(C) माना कुल आंतरिक प्रतिरोध $r = r_1 + r_2$ है।
जब सेल समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में होते हैं,तो कुल emf $E_1 + E_2$ होता है। धारा $I_1 = \frac{E_1 + E_2}{R + r} = 5 \ A$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$E_1 + E_2 = 5(R + r) \quad (1)$।
जब $E_2$ की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो कुल emf $E_1 - E_2$ हो जाता है (यह मानते हुए कि $E_1 > E_2$)। धारा $I_2 = \frac{E_1 - E_2}{R + r} = 2 \ A$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$E_1 - E_2 = 2(R + r) \quad (2)$।
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{5}{2}$।
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{5 + 2}{5 - 2}$।
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{7}{3}$।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{7}{3}$।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक सेल का $EMF$ $E$ है और प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
श्रेणीक्रम में $n$ सेलों के लिए,कुल $EMF$ $nE$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ है। धारा $I_s = \frac{nE}{R + nr}$ द्वारा दी जाती है।
समांतर क्रम में $n$ सेलों के लिए,कुल $EMF$ $E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r/n$ है। धारा $I_p = \frac{E}{R + r/n} = \frac{nE}{nR + r}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $I_s = I_p$,इसलिए $\frac{nE}{R + nr} = \frac{nE}{nR + r}$।
इसका अर्थ है $R + nr = nR + r$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $nr - r = nR - R$ प्राप्त होता है,जो $r(n - 1) = R(n - 1)$ में सरल हो जाता है।
यदि $n \neq 1$ है,तो दोनों पक्षों को $(n - 1)$ से विभाजित करने पर $r = R$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि श्रेणीक्रम में जुड़े सेलों की संख्या $n$ है और समानांतर पंक्तियों की संख्या $m$ है,जिनमें से प्रत्येक में $n$ सेल हैं। सेलों की कुल संख्या $N = nm$ है।
संयोजन का कुल emf $E_{eq} = nE = n(1.5)$ है।
कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{nr}{m} = \frac{n(1)}{m} = \frac{n}{m}$ है।
बाहरी प्रतिरोध $R = 30 \ \Omega$ में धारा $I = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $I = 1.5 \ A$,$E = 1.5 \ V$,$R = 30 \ \Omega$,और $r = 1 \ \Omega$:
$1.5 = \frac{n(1.5)}{30 + \frac{n}{m}} \implies 30 + \frac{n}{m} = n \implies 30 = n(1 - \frac{1}{m}) = n(\frac{m-1}{m})$.
चूंकि $N = nm$,हमारे पास $n = \frac{N}{m}$ है। इसे प्रतिस्थापित करने पर: $30 = \frac{N}{m} \cdot \frac{m-1}{m} = N \frac{m-1}{m^2}$.
$N$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें फलन $f(m) = \frac{m-1}{m^2}$ को अधिकतम करना होगा। $f'(m) = 0$ रखने पर $m=2$ प्राप्त होता है।
$m=2$ के लिए,$30 = N \frac{2-1}{2^2} = N \frac{1}{4} \implies N = 120$.

(B) टर्मिनल विभवांतर $V$ को $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ emf है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है। साथ ही,$V = IR$,इसलिए $I = V/R$ है।
स्थिति $1$: $V_1 = 1.6 \text{ V}$,$R_1 = 4 \Omega$. धारा $I_1 = 1.6 / 4 = 0.4 \text{ A}$.
$E = V_1 + I_1 r$ का उपयोग करने पर,हमें $E = 1.6 + 0.4r$ प्राप्त होता है (समीकरण $i$)।
स्थिति $2$: एक दूसरा $4 \Omega$ प्रतिरोध समानांतर में जोड़ा जाता है,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_2 = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \Omega$ है। नया विभवांतर $V_2 = 1.33 \text{ V}$ है।
नई धारा $I_2 = V_2 / R_2 = 1.33 / 2 = 0.665 \text{ A}$ है।
$E = V_2 + I_2 r$ का उपयोग करने पर,हमें $E = 1.33 + 0.665r$ प्राप्त होता है (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर: $1.6 + 0.4r = 1.33 + 0.665r$.
$1.6 - 1.33 = 0.665r - 0.4r \Rightarrow 0.27 = 0.265r \Rightarrow r \approx 1 \Omega$.
$r = 1 \Omega$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $E = 1.6 + 0.4(1) = 2 \text{ V}$.
अतः,emf $2 \text{ V}$ है और आंतरिक प्रतिरोध $1 \Omega$ है।

(A) $1$. एक पंक्ति में $n$ सेल श्रेणीक्रम में हैं। एक पंक्ति का कुल emf $nE$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ है।
$2$. ऐसी $m$ पंक्तियाँ समानांतर क्रम में जुड़ी हैं। समानांतर संयोजन का कुल emf $nE$ ही रहता है क्योंकि सभी पंक्तियाँ समान हैं।
$3$. $m$ पंक्तियों के समानांतर होने के कारण,तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{nr}{m}$ होता है।
$4$. बाहरी लोड प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित कुल धारा $I = \frac{nE}{R + r_{eq}} = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}} = \frac{mnE}{mR + nr}$ है।
$5$. चूंकि $m$ पंक्तियाँ समानांतर में हैं,कुल धारा $I$ सभी $m$ पंक्तियों में समान रूप से विभाजित हो जाती है। अतः,प्रत्येक सेल में धारा $I_{cell} = \frac{I}{m} = \frac{nE}{nr + mR}$ होगी।

(C) स्थायी अवस्था में, संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है, इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः, धारा $I$ केवल $2 \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित होती है।
$2 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज सेल के टर्मिनल वोल्टेज $V$ के बराबर होता है।
चूंकि संधारित्र $2 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है, इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $2 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है।
$V_C = \frac{Q}{C} = \frac{4 \times 10^{-6} \text{ C}}{2 \times 10^{-6} \text{ F}} = 2 \text{ V}$।
इस प्रकार, टर्मिनल वोल्टेज $V = 2 \text{ V}$ है।
$2 \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{2 \text{ V}}{2 \Omega} = 1 \text{ A}$ है।
सेल के टर्मिनल वोल्टेज के संबंध का उपयोग करते हुए, $V = E - Ir$, जहाँ $E$ विद्युत वाहक बल (emf) है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है:
$E = V + Ir = 2 \text{ V} + (1 \text{ A} \times 0.5 \Omega) = 2 + 0.5 = 2.5 \text{ V}$।
अतः, सेल का emf $2.5 \text{ V}$ है।

(A) चालक में धारा $I = nAev_d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $v_d$ अपवाह वेग है।
चालक की $l$ लंबाई में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $N = nAl$ है।
इन इलेक्ट्रॉनों का कुल संवेग $P = Nmv_d = (nAl)mv_d$ है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
हम धारा के समीकरण को $v_d = I / (nAe)$ के रूप में लिख सकते हैं।
संवेग समीकरण में $v_d$ का मान रखने पर: $P = nAlm \times (I / (nAe)) = (lmI) / e$.
विशिष्ट आवेश $s$ को $s = e/m$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका अर्थ है $m/e = 1/s$.
अतः,प्रति इकाई लंबाई संवेग $P/l = (mI) / e = I / s$ है।

(B) माना सेल का $EMF$ $E$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। जब सेल को $R$ प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = E \cdot R / (R + r)$ होता है।
चूंकि संतुलन लंबाई $L$ टर्मिनल विभवांतर $V$ के समानुपाती होती है,इसलिए $L \propto V$.
प्रथम स्थिति के लिए: $L_1 = k \cdot E \cdot R / (R + r)$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दूसरी स्थिति के लिए,शंट प्रतिरोध $2R$ है: $L_2 = k \cdot E \cdot 2R / (2R + r)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $L_1 / L_2 = [R / (R + r)] / [2R / (2R + r)] = (2R + r) / (2(R + r))$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2L_1(R + r) = L_2(2R + r)$.
$2L_1R + 2L_1r = 2L_2R + L_2r$.
$r(2L_1 - L_2) = 2R(L_2 - L_1)$.
अतः,$r = 2R(L_2 - L_1) / (2L_1 - L_2)$.

(B) पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ है,जहाँ $l_1 = 60 \text{ cm}$ और $l_2 = 50 \text{ cm}$ है।
दिया गया है $\Delta l = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$ और $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \%$.
$r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ का लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta (l_1/l_2)}{(l_1/l_2) - 1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{l_1}{l_2} = \frac{60}{50} = 1.2$,इसलिए $\frac{l_1}{l_2} - 1 = 0.2$ है।
$\frac{l_1}{l_2}$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta (l_1/l_2)}{(l_1/l_2)} = \frac{\Delta l_1}{l_1} + \frac{\Delta l_2}{l_2} = \frac{0.1}{60} + \frac{0.1}{50} = \frac{1}{600} + \frac{1}{500} = \frac{11}{3000}$ है।
अतः,$\Delta (l_1/l_2) = 1.2 \times \frac{11}{3000} = 0.0044$ है।
$r$ में त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = \left( \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta (l_1/l_2)}{(l_1/l_2) - 1} \right) \times 100 = 2 \% + \left( \frac{0.0044}{0.2} \right) \times 100 = 2 \% + 2.2 \% = 4.2 \%$ है।

(A) गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 10 \Omega$ है। पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $I_g = 1 \text{ mA} = 1 \times 10^{-3} \text{ A}$ है। नई रेंज $I = 101 \text{ mA} = 101 \times 10^{-3} \text{ A}$ है।
गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,समानांतर में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाता है।
शंट प्रतिरोध का सूत्र $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$ है।
मान रखने पर: $S = \frac{1 \times 10^{-3} \times 10}{101 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}} = \frac{10 \times 10^{-3}}{100 \times 10^{-3}} = 0.1 \Omega$.
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho = 1 \times 10^{-6} \Omega \text{ m}$ और $A = 1 \text{ mm}^2 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2$ है।
$R = S = 0.1 \Omega$ रखने पर,हमें मिलता है $0.1 = (1 \times 10^{-6}) \times \frac{L}{1 \times 10^{-6}}$.
$0.1 = L$.
अतः,$L = 0.1 \text{ m} = 10 \text{ cm}$।

(C) लैंप एक आदर्श वोल्टेज स्रोत $E$ के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं। समानांतर परिपथ में, प्रत्येक लैंप के सिरों पर वोल्टेज समान रहता है, चाहे अन्य लैंप चालू हों या बंद।
मान लीजिए कि प्रत्येक समान लैंप का प्रतिरोध $R$ है। प्रत्येक लैंप से गुजरने वाली धारा $I_L = E/R$ है।
जब सभी $5$ लैंप काम कर रहे होते हैं, तो एमीटर द्वारा मापी गई कुल धारा सभी $5$ लैंपों से गुजरने वाली धाराओं का योग होती है: $I_{total} = 5 \times (E/R) = 3 \,A$.
इसलिए, प्रत्येक व्यक्तिगत लैंप से गुजरने वाली धारा $I_L = 3 \,A / 5 = 0.6 \,A$ है।
जब लैंप '$1$' को बंद कर दिया जाता है, तो एमीटर शेष $4$ लैंपों से गुजरने वाली धारा को मापता है।
नई कुल धारा $I'_{total} = 4 \times I_L = 4 \times 0.6 \,A = 2.4 \,A$ होगी।

(C) संधारित्र पर आवेश $Q = 1 \text{ mC} = 1 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
धारिता $C = 5 \text{ } \mu\text{F} = 5 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = \frac{Q}{C} = \frac{1 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-6}} = 200 \text{ V}$ है।
स्थिर अवस्था में,संधारित्र शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। $5 \text{ A}$ की धारा $50 \text{ } \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित होती है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करके,गणना करने पर हमें $R_1, R_2$ और $R_3$ के मान प्राप्त होते हैं।
अंततः,$\frac{R_1 R_2}{R_3}$ का अनुपात $0.6$ प्राप्त होता है।

(B) यह परिपथ बिंदुओं $D$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ (ऊपरी) में $3 \, \Omega$ और $5 \, \Omega$ के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_1 = 3 + 5 = 8 \, \Omega$ है।
शाखा $2$ (निचली) में $6 \, \Omega$ और $4 \, \Omega$ के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_2 = 6 + 4 = 10 \, \Omega$ है।
कुल धारा $I = 12 \, A$ इन दो समानांतर शाखाओं में विभाजित होती है।
मान लीजिए $I_1$ ऊपरी शाखा में धारा है और $I_2$ निचली शाखा में धारा है।
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए: $I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 12 \times \frac{10}{8 + 10} = 12 \times \frac{10}{18} = \frac{20}{3} \, A$.
$I_2 = I \times \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 12 \times \frac{8}{8 + 10} = 12 \times \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \, A$.
$D$ पर विभव $V_D$ है। $A$ पर विभव $V_A = V_D - I_1 \times 3 = V_D - (\frac{20}{3}) \times 3 = V_D - 20$ है।
$C$ पर विभव $V_C = V_D - I_2 \times 6 = V_D - (\frac{16}{3}) \times 6 = V_D - 32$ है।
$A$ और $C$ के बीच विभवांतर $V_A - V_C = (V_D - 20) - (V_D - 32) = -20 + 32 = 12 \, V$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
निरोधी विभव $V_s$ और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध $K = eV_s$ है,इसलिए $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV_s}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2meV_s}$,जिसका अर्थ है कि $V_s \propto \frac{1}{m\lambda^2}$।
दिया गया है कि $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = 2$,इसलिए $\frac{V_{s,p}}{V_{s,e}} = \frac{m_e}{m_p} \times \left( \frac{\lambda_e}{\lambda_p} \right)^2$।
द्रव्यमान अनुपात $\frac{m_e}{m_p} \approx \frac{1}{1836}$ और $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{V_{s,p}}{V_{s,e}} = \frac{1}{1836} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{7344}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दिए गए विकल्पों में सटीक उत्तर नहीं है,द्रव्यमान अनुपात के आधार पर सबसे निकटतम तार्किक उत्तर $1: 1836$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
अवकलन करने पर,हमें $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,$\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य में $5 \%$ का परिवर्तन होता है,इसलिए $\frac{d\lambda}{\lambda} = -0.05$ (क्योंकि संवेग बढ़ने पर तरंगदैर्ध्य घटती है)।
अतः,$\frac{dp}{p} = 0.05$,जहाँ $dp = P$ है।
इसलिए,$\frac{P}{p} = 0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$।
अतः,प्रारंभिक संवेग $p = 20 P$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2 m_e K_e}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K_e$ इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda_e^2 = \frac{h^2}{2 m_e K_e}$,जिसका अर्थ है $K_e = \frac{h^2}{2 m_e \lambda_e^2}$।
फोटॉन की ऊर्जा $K_p = \frac{hc}{\lambda_p}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\lambda_e = \lambda_p = \lambda = 1.2 \ \text{Å} = 1.2 \times 10^{-10} \ \text{m}$।
उनकी ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_e}{K_p} = \frac{h^2 / (2 m_e \lambda^2)}{hc / \lambda} = \frac{h}{2 m_e c \lambda}$ है।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ \text{J} \cdot \text{s}$,$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ \text{kg}$,$c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$,और $\lambda = 1.2 \times 10^{-10} \ \text{m}$।
$\frac{K_e}{K_p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8 \times 1.2 \times 10^{-10}} \approx \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.56 \times 10^{-31}} \approx 0.01 = \frac{1}{100}$।
अतः,$K_e : K_p$ का अनुपात $1 : 100$ है।

(B) तापमान $T$ पर गैस के अणु की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ अणु का द्रव्यमान है,$k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,$m_1 = 2u$ और $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ है।
हीलियम $(He)$ के लिए,$m_2 = 4u$ और $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$ है।
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2 T_2}{m_1 T_1}} = \sqrt{\frac{4 \times 400}{2 \times 300}} = \sqrt{\frac{1600}{600}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,अनुपात $2\sqrt{2}:\sqrt{3}$ है।

(B) आपतित फोटॉनों की ऊर्जा $E = 4.8 eV$ है और गोले का कार्य फलन $\phi = 2.8 eV$ है। फोटो-इलेक्ट्रिक उत्सर्जन तब रुक जाता है जब गोले का विभव $V$ ऐसे मान तक पहुँच जाता है कि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा शून्य हो जाए। यह तब होता है जब $eV = E - \phi = 4.8 eV - 2.8 eV = 2.0 eV$,इसलिए $V = 2.0 V$ है।
$R = 9 mm = 9 \times 10^{-3} m$ त्रिज्या वाले गोले की धारिता $C = 4\pi\epsilon_0 R = \frac{R}{k} = \frac{9 \times 10^{-3}}{9 \times 10^9} = 10^{-12} F$ है।
विभव $V$ तक पहुँचने के लिए आवश्यक आवेश $Q = CV = 10^{-12} F \times 2.0 V = 2 \times 10^{-12} C$ है।
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{Q}{e} = \frac{2 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.25 \times 10^7$ है।
चूंकि उत्सर्जन की दर $10^5$ इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड है,इसलिए लगा समय $t = \frac{n}{\text{rate}} = \frac{1.25 \times 10^7}{10^5} = 125 s$ है।

(A) ऊर्जा फ्लक्स $I = 18 \,W \,cm^{-2}$ है。
सतह का क्षेत्रफल $A = 20 \,cm^2$ है。
सतह पर आपतित कुल शक्ति $P = I \times A = 18 \,W \,cm^{-2} \times 20 \,cm^2 = 360 \,W$ है。
गैर-परावर्तक सतह के लिए, विकिरण दबाव द्वारा लगाया गया बल $F = \frac{P}{c}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $c$ प्रकाश की गति है。
मान रखने पर: $F = \frac{360 \,W}{3 \times 10^8 \,ms^{-1}} = 120 \times 10^{-8} \,N = 1.2 \times 10^{-6} \,N$.
चूंकि बल समय अंतराल के दौरान स्थिर है, इसलिए औसत बल $1.2 \times 10^{-6} \,N$ है。

(A) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = \Delta E = 3.31 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा और तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
यहाँ $h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$, $c = 3 \times 10^8 \ m/s$, और $1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J$ है।
सूत्र $\lambda = \frac{hc}{E}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{(6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \ m/s)}{3.31 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J}$.
$\lambda = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{5.296 \times 10^{-19}} \ m$.
$\lambda \approx 3.75 \times 10^{-7} \ m$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर $(1 \ Å = 10^{-10} \ m)$:
$\lambda \approx 3750 \ Å$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = h\nu - \phi_0$,जहाँ $\phi_0 = h\nu_0$ है।
आवृत्ति $\nu_1 = 2\nu_0$ के लिए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_1 = h(2\nu_0) - h\nu_0 = h\nu_0$ है।
दिया गया है कि $v_1 = 2 \times 10^6 \ m/s$,इसलिए $K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = h\nu_0$ है।
आवृत्ति $\nu_2 = 3\nu_0$ के लिए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_2 = h(3\nu_0) - h\nu_0 = 2h\nu_0$ है।
चूंकि $K_2 = 2K_1$,इसलिए $\frac{1}{2}mv_2^2 = 2(\frac{1}{2}mv_1^2)$ है।
अतः,$v_2^2 = 2v_1^2$,जिसका अर्थ है कि $v_2 = \sqrt{2}v_1$ है।
$v_1 = 2 \times 10^6 \ m/s$ का मान रखने पर,हमें $v_2 = \sqrt{2} \times 2 \times 10^6 = 2\sqrt{2} \times 10^6 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए लूप की त्रिज्या $r$ है और तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A_w$ है।
लूप का द्रव्यमान $m = (2 \pi r) A_w d$ है,इसलिए $A_w = \frac{m}{2 \pi r d}$।
लूप का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A_w} = \rho \frac{2 \pi r}{A_w} = \rho \frac{2 \pi r}{m / (2 \pi r d)} = \frac{4 \pi^2 r^2 \rho d}{m}$ है।
लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot \pi r^2$ है।
प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\pi r^2 \frac{dB}{dt}$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{\pi r^2 (dB/dt)}{4 \pi^2 r^2 \rho d / m} = \frac{m}{4 \pi \rho d} \left(\frac{dB}{dt}\right)$ है।

(B) चुंबकीय फ्लक्स $\phi(t) = at^2 + bt + c$ द्वारा दिया गया है।
यह पता लगाने के लिए कि फ्लक्स किस समय अधिकतम है, हम $t$ के सापेक्ष $\phi$ का अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d\phi}{dt} = 2at + b = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर, हमें $t = -\frac{b}{2a}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार, फ्लक्स $t = 2 \,s$ पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
इसलिए, $2 = -\frac{b}{2a}$.
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $4a = -b$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $a = -\frac{b}{4}$।

(B) फैराडे के नियम के अनुसार,कुंडली में प्रेरित $emf$ $(\varepsilon)$ $\varepsilon = -N \frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है।
जैसे-जैसे फेरों की संख्या $(N)$ बढ़ती है,चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के लिए प्रेरित $emf$ और परिणामस्वरूप प्रेरित धारा बढ़ जाती है।
लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस कारण का विरोध करती है जो इसे उत्पन्न करता है,जो कि चुंबक की गति है।
चूंकि अधिक $N$ के कारण प्रेरित धारा मजबूत होती है,इसलिए विरोधी चुंबकीय बल बढ़ जाता है,जिससे चुंबक को कुंडली में धकेलना अधिक कठिन हो जाता है।
अतः,$A$ और $R$ दोनों सही हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।