AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ $x^6-1=0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x^6=1$.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^6=1$.
વળી,$\alpha \neq 1$ કારણ કે $\alpha$ એ વાસ્તવિક નથી.
અંશને $\alpha^2(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3)$ તરીકે લખી શકાય.
$\alpha^6-1 = (\alpha-1)(\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1) = 0$ અને $\alpha \neq 1$ હોવાથી,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1 = 0$ થાય.
આથી $\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2 = -(\alpha+1)$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{-(\alpha+1)}{\alpha+1} = -1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $|z-z_1| + |z-z_2| = 2a$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $z_1 = 3i$ અને $z_2 = -3i$ છે.
આ એક ઉપવલય દર્શાવે છે જેના નાભિઓ $(0, 3)$ અને $(0, -3)$ પર છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = |z_1 - z_2| = |3i - (-3i)| = |6i| = 6$ છે.
અહીં $2a = 10$ આપેલ છે,તેથી $a = 5$.
સંબંધ $2ae = 6$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $5e = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $e = \frac{3}{5}$.
આમ,બિંદુપથ એ $\frac{3}{5}$ ઉત્કેન્દ્રિયતા વાળું ઉપવલય છે.

(C) આપેલ છે કે,$\log _{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left\{\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|}\right\}>-2$.
અહીં આધાર $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ એ $0 < a < 1$ શરતનું પાલન કરે છે,તેથી લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતા ઉલટાય છે:
$\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|} < \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
આમ,$\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|} < 3$.
બંને બાજુ $(2+|z|)$ વડે ગુણતા (કારણ કે $|z| \ge 0$,તેથી $2+|z| > 0$):
$|z|^2-|z|+1 < 3(2+|z|)$.
$|z|^2-|z|+1 < 6+3|z|$.
$|z|^2-4|z|-5 < 0$.
અવયવ પાડતા: $(|z|-5)(|z|+1) < 0$.
કારણ કે $|z| \ge 0$,$|z|+1$ હંમેશા ધન છે,તેથી $|z|-5 < 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $|z| < 5$.
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $5$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે.

(C) સંકેત બનાવવા માટે,આપણે એક સમયે $1, 2, 3, 4, 5, 6,$ અથવા $7$ શીટ્સ પસંદ કરી શકીએ છીએ.
સંકેતમાં શીટ્સનો ક્રમ મહત્વનો હોવાથી,આપણે ક્રમચયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.
કુલ સંકેતોની સંખ્યા દરેક કિસ્સા માટે ક્રમચયનો સરવાળો છે:
$S = P(7, 1) + P(7, 2) + P(7, 3) + P(7, 4) + P(7, 5) + P(7, 6) + P(7, 7)$
$S = 7 + 42 + 210 + 840 + 2520 + 5040 + 5040 = 13699$

(A) જો કોઈ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
ધારો કે ચાર અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4$ છે.
પ્રથમ ત્રણ અંકો $(d_1, d_2, d_3)$ માટે $9$ વિકલ્પો છે,જે ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ છે.
પ્રથમ ત્રણ અંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $9 \times 9 \times 9 = 729$ છે.
ધારો કે પ્રથમ ત્રણ અંકોનો સરવાળો $S = d_1 + d_2 + d_3$ છે.
આખી સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય બને તે માટે,$S + d_4$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$S$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,આપણે $d_4 \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ માટે એવી કિંમતો શોધીએ છીએ કે જેથી $S + d_4 \equiv 0 \pmod{3}$ થાય.
જો $S \equiv 0 \pmod{3}$ હોય,તો $d_4 \in {3, 6, 9}$ ($3$ વિકલ્પો).
જો $S \equiv 1 \pmod{3}$ હોય,તો $d_4 \in {2, 5, 8}$ ($3$ વિકલ્પો).
જો $S \equiv 2 \pmod{3}$ હોય,તો $d_4 \in {1, 4, 7}$ ($3$ વિકલ્પો).
બધા કિસ્સાઓમાં,$d_4$ માટે બરાબર $3$ વિકલ્પો છે.
તેથી,આવી ચાર અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $729 \times 3 = 2187$ છે.

(A) ચાર અંકની કુલ સંખ્યાઓ $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$ છે.
ચાર અંકની એવી સંખ્યાઓ કે જેમાં ચાર અલગ-અલગ અંકો ન હોય તે શોધવા માટે,આપણે કુલ સંખ્યામાંથી ચાર અલગ-અલગ અંકો ધરાવતી સંખ્યાઓ બાદ કરીશું.
ચાર અલગ-અલગ અંકો ધરાવતી ચાર અંકની સંખ્યાઓ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
પ્રથમ અંક (હજારનું સ્થાન) $1$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે ($9$ વિકલ્પો).
બીજો અંક બાકીના $9$ અંકોમાંથી કોઈપણ હોઈ શકે ($9$ વિકલ્પો).
ત્રીજો અંક બાકીના $8$ અંકોમાંથી કોઈપણ હોઈ શકે ($8$ વિકલ્પો).
ચોથો અંક બાકીના $7$ અંકોમાંથી કોઈપણ હોઈ શકે ($7$ વિકલ્પો).
અલગ-અલગ અંકો ધરાવતી કુલ સંખ્યાઓ = $9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$.
તેથી,ચાર અંકની એવી સંખ્યાઓ કે જેમાં ચાર અલગ-અલગ અંકો ન હોય = $9000 - 4536 = 4464$.

(C) $BANANA$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $A, A, A, B, N, N$.
કુલ ગોઠવણીઓ $= \frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$.
બંને $N$ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓ શોધવા માટે,આપણે કુલ ગોઠવણીઓમાંથી બંને $N$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ બાદ કરીશું.
બંને $N$ ને એક એકમ $(NN)$ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $A, A, A, B, (NN)$.
$N$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ $= \frac{5!}{3!1!1!} = \frac{120}{6} = 20$.
બંને $N$ સાથે ન આવે તેવી રીતોની સંખ્યા $= 60 - 20 = 40$.

(D) $9$ શિષ્યવૃત્તિઓને $3$ વિદ્યાર્થીઓ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવા માટે કે જેથી દરેક વિદ્યાર્થીને $3$ શિષ્યવૃત્તિ મળે,આપણે મલ્ટિનોમિયલ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
રીતોની સંખ્યા આ સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{9!}{3! \times 3! \times 3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $1680$ છે.

(A) ધારો કે $10$ મધ્યવર્તી સ્ટેશનો $S_1, S_2, S_3, \dots, S_{10}$ છે.
આપણે $3$ સ્ટેશનો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે ક્રમિક ન હોય.
આ સમસ્યા માટેનું સૂત્ર $^{n-r+1}C_r$ છે,જ્યાં $n = 10$ અને $r = 3$ છે.
રીતોની સંખ્યા $= ^{10-3+1}C_3 = ^8C_3$.
કિંમત ગણતા: $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

(B) $3000$ થી મોટી સંખ્યાઓ બનાવવા માટે આપણે $4, 5$ અને $6$ અંકની સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈશું.
$1$. $4$ અંકની સંખ્યાઓ: પ્રથમ અંક $3, 4$ અથવા $5$ હોઈ શકે ($3$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાન $5$ અંકોમાંથી $P(5, 3) = 60$ રીતે ભરી શકાય. કુલ = $3 \times 60 = 180$.
$2$. $5$ અંકની સંખ્યાઓ: પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો). બાકીના $4$ સ્થાન $P(5, 4) = 120$ રીતે ભરી શકાય. કુલ = $5 \times 120 = 600$.
$3$. $6$ અંકની સંખ્યાઓ: પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો). બાકીના $5$ સ્થાન $P(5, 5) = 120$ રીતે ભરી શકાય. કુલ = $5 \times 120 = 600$.
સરવાળો: $180 + 600 + 600 = 1380$.

(A) $CAPITAL$ શબ્દમાં અક્ષરોનો મૂળાક્ષર ક્રમ $A, A, C, I, L, P, T$ છે.
કુલ અક્ષરો = $7$. $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{6!}{1!} = 720$.
$C$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$CA...$: $4! = 24$.
$CAI...$: $4! = 24$.
$CAL...$: $4! = 24$.
$CAP...$:
$CAPA...$: $3! = 6$.
$CAPI...$:
$CAPIA...$: $2! = 2$.
$CAPIL...$:
$CAPILA...$: $1! = 1$.
$CAPITAL$: $1$.
કુલ ક્રમ = $720 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 1 + 1 = 802$.

(B) પ્રથમ,$6$ અલગ સફેદ ગુલાબને વર્તુળમાં ગોઠવો. $n$ અલગ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$6$ સફેદ ગુલાબને ગોઠવવાની રીતો $(6-1)! = 5! = 120$ છે.
વર્તુળમાં $6$ સફેદ ગુલાબ વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ બને છે.
આપણે $5$ અલગ લાલ ગુલાબને આ $6$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે લાલ ગુલાબ સાથે ન આવે. $6$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_5 = 6$ છે.
પસંદ કરેલી $5$ જગ્યાઓમાં $5$ અલગ લાલ ગુલાબને ગોઠવવાની રીતો $5! = 120$ છે.
હારને ઉલટાવી શકાય છે (ઘડિયાળની દિશામાં અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવણી સમાન ગણાય છે),તેથી આપણે $2$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
કુલ રીતો $= \frac{5! \times ^6C_5 \times 5!}{2} = \frac{120 \times 6 \times 120}{2} = \frac{86400}{2} = 43200$.

(C) દરેક પ્રશ્ન માટે,જવાબ આપવા માટે $4$ વિકલ્પો છે,અને પ્રશ્ન ખાલી છોડવા માટે $1$ વિકલ્પ છે.
દરેક $4$ પ્રશ્નો માટે,ઉમેદવાર પાસે $5$ શક્યતાઓ છે: કાં તો $4$ જવાબોમાંથી એક પસંદ કરવો અથવા પ્રશ્નનો જવાબ ન આપવો.
$4$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાની કુલ રીતો (કેટલાક ખાલી છોડવા સહિત) $5^4 = 625$ છે.
ઉમેદવારે 'એક અથવા વધુ' પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના હોવાથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરવો પડશે જેમાં ઉમેદવાર બધા $4$ પ્રશ્નો ખાલી છોડે છે.
કુલ રીતો = $5^4 - 1 = 625 - 1 = 624$.

(B) આપણે નિત્યસમ $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$\sum_{r=0}^{4} {^{(33-r)}C_4} = ^{33}C_4 + ^{32}C_4 + ^{31}C_4 + ^{30}C_4 + ^{29}C_4$.
હવે,પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$^{29}C_5 + ^{29}C_4 + ^{30}C_4 + ^{31}C_4 + ^{32}C_4 + ^{33}C_4$.
નિત્યસમ $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{29}C_5 + ^{29}C_4 = ^{30}C_5$.
$^{30}C_5 + ^{30}C_4 = ^{31}C_5$.
$^{31}C_5 + ^{31}C_4 = ^{32}C_5$.
$^{32}C_5 + ^{32}C_4 = ^{33}C_5$.
$^{33}C_5 + ^{33}C_4 = ^{34}C_5$.
આમ,અંતિમ જવાબ $^{34}C_5$ છે.

(B) $n!$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય $p$ નો ઘાતાંક લેજેન્ડ્રના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
$n = 37$ અને $p = 3$ માટે:
$\alpha_3 = \lfloor \frac{37}{3} \rfloor + \lfloor \frac{37}{9} \rfloor + \lfloor \frac{37}{27} \rfloor = 12 + 4 + 1 = 17$.
$n = 37$ અને $p = 5$ માટે:
$\alpha_5 = \lfloor \frac{37}{5} \rfloor + \lfloor \frac{37}{25} \rfloor = 7 + 1 = 8$.
આમ,ગુણોત્તર $\alpha_3 : \alpha_5 = 17 : 8$ છે.

(B) $n$ ઘટકોના ગણમાંથી $8$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $\binom{n}{8}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_4$ નો સમાવેશ કરતા $8$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા એ બાકીના $(n-1)$ ઘટકોમાંથી $7$ ઘટકો પસંદ કરવા સમાન છે,જે $\binom{n-1}{7}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\binom{n}{8} = 5 \times \binom{n-1}{7}$.
$\binom{n}{r} = \frac{n}{r} \binom{n-1}{r-1}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\binom{n}{8} = \frac{n}{8} \binom{n-1}{7}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{n}{8} \binom{n-1}{7} = 5 \times \binom{n-1}{7}$.
$\binom{n-1}{7} \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $\binom{n-1}{7}$ વડે ભાગતા $\frac{n}{8} = 5$ મળે.
તેથી,$n = 5 \times 8 = 40$.

(C) $n$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $t_n = \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $t_{n+1} = t_n + 28$ મુજબ:
$\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = 28$.
ગુણધર્મ $\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = \binom{n}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{n}{2} = 28$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 28$.
$n(n-1) = 56$.
$n^2 - n - 56 = 0$.
$(n-8)(n+7) = 0$.
$n$ ધન હોવાથી,$n = 8$.

(B) આપેલ છે કે $p, x_1, x_2, \ldots, x_n$ એ $a$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે,તેથી $x_k = p + ka$. આમ,$x_1 = p+a$ અને $x_n = p+na$. $x_1, \ldots, x_n$ નો સમાંતર મધ્યક $\alpha = \frac{x_1 + x_n}{2} = \frac{2p + a(n+1)}{2} \quad (i)$.
તે જ રીતે,$q, y_1, \ldots, y_n$ માટે સામાન્ય તફાવત $b$ છે,તેથી $\beta = \frac{y_1 + y_n}{2} = \frac{2q + b(n+1)}{2} \quad (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$\frac{2(\alpha - p)}{a} = n+1$ અને $\frac{2(\beta - q)}{b} = n+1$.
તેથી,$\frac{2(\alpha - p)}{a} = \frac{2(\beta - q)}{b}$,જેનું સાદું રૂપ $b(\alpha - p) = a(\beta - q)$ થાય છે.
આમ,$P(\alpha, \beta)$ નો બિંદુપથ $b(x-p) = a(y-q)$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $S_n = 4^3 + 8^3 + 12^3 + \ldots + (4n)^3$ છે.
આને $S_n = \sum_{r=1}^{n} (4r)^3$ તરીકે લખી શકાય.
$S_n = \sum_{r=1}^{n} 64r^3 = 64 \sum_{r=1}^{n} r^3$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો કરવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
આ કિંમત $S_n$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_n = 64 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 16n^2(n+1)^2$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $k n^2(n+1)^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 16$ મળે છે.

(D) ધારો કે $S_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$.
કોઈપણ $k \geq 1$ માટે,આપણી પાસે $\sqrt{k} \leq \sqrt{n}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}}$.
આ અસમતાનો $k=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}$.
$S_n \geq n \times \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$.
આમ,બધા $n \in N$ માટે $S_n \geq \sqrt{n}$ થાય છે.

(C) આપણી પાસે છે,$\sum_{r=1}^{n-1} r(r+1-\omega)(r+1-\omega^2)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} r((r+1)^2 - (r+1)(\omega + \omega^2) + \omega^3)$
કારણ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega + \omega^2 = -1$.
$= \sum_{r=1}^{n-1} r((r+1)^2 + (r+1) + 1)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} r(r^2 + 2r + 1 + r + 1 + 1) = \sum_{r=1}^{n-1} r(r^2 + 3r + 3)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} (r^3 + 3r^2 + 3r)$
$= \left[\frac{(n-1)n}{2}\right]^2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$
$= \frac{n^2(n-1)^2}{4} + \frac{n(n-1)(2n-1)}{2} + \frac{3n(n-1)}{2}$
$= \frac{n(n-1)}{4} [n(n-1) + 2(2n-1) + 6]$
$= \frac{n(n-1)}{4} [n^2 - n + 4n - 2 + 6]$
$= \frac{n(n-1)}{4} (n^2 + 3n + 4)$

(C) ધારો કે સરવાળો $S_n = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ છે.
સામાન્ય પદ $T_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ છે.
આપણે $T_k = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$ લખી શકીએ.
તેથી,$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે,તેથી:
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{n}{2(3n+2)}$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\sin x \cosh y = \cos \theta$
$(2)$ $\cos x \sinh y = \sin \theta$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(1)$ $\sin^2 x \cosh^2 y = \cos^2 \theta$
$(2)$ $\cos^2 x \sinh^2 y = \sin^2 \theta$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$,તેથી $\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin^2 x (1 + \sinh^2 y) = \cos^2 \theta$
$\sin^2 x + \sin^2 x \sinh^2 y = \cos^2 \theta$
$(2)$ પરથી,$\sin^2 \theta = \cos^2 x \sinh^2 y$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 x + \sin^2 x \sinh^2 y = 1 - \cos^2 x \sinh^2 y$
$\sinh^2 y (\sin^2 x + \cos^2 x) = 1 - \sin^2 x$
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ અને $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ હોવાથી:
$\sinh^2 y = \cos^2 x$.

(B) ધારો કે $x = \cot 70^{\circ} + 4 \cos 70^{\circ}$.
આને $x = \frac{\cos 70^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} + 4 \cos 70^{\circ} = \frac{\cos 70^{\circ} + 4 \sin 70^{\circ} \cos 70^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$ તરીકે લખી શકાય.
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\cos 70^{\circ} + 2 \sin 140^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
$\sin 140^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 40^{\circ}) = \sin 40^{\circ}$ હોવાથી,$x = \frac{\cos 70^{\circ} + 2 \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
$\cos 70^{\circ} = \sin 20^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\sin 20^{\circ} + 2 \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} = \frac{\sin 20^{\circ} + \sin 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
$\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 20^{\circ} + \sin 40^{\circ} = 2 \sin 30^{\circ} \cos 10^{\circ} = 2 \times \frac{1}{2} \times \cos 10^{\circ} = \cos 10^{\circ}$.
તેથી,$x = \frac{\cos 10^{\circ} + \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} = \frac{\sin 80^{\circ} + \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
$\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{2 \sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} = \frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} = \sqrt{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin(270^{\circ}-x^{\circ})=\cos 292^{\circ}$.
સંબંધિત ખૂણાના સૂત્ર $\sin(270^{\circ}-\theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\cos x^{\circ} = \cos 292^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(180^{\circ}+\theta) = -\cos \theta$,તેથી:
$-\cos x^{\circ} = \cos(180^{\circ}+x^{\circ})$.
હવે,$\cos(180^{\circ}+x^{\circ}) = \cos 292^{\circ}$ ને સરખાવતા:
$180+x = 292 \implies x = 292-180 = 112$.
આમ,$x = 112$.

(C) ધારો કે $\theta_1 = \frac{\pi}{12}$,$\theta_2 = \frac{5\pi}{12}$,$\theta_3 = \frac{7\pi}{12}$,અને $\theta_4 = \frac{11\pi}{12}$.
અહીં $\theta_3 = \pi - \theta_2$ અને $\theta_4 = \pi - \theta_1$ છે.
$\cos(\pi - x) = -\cos x$ હોવાથી,$\cos^4(\pi - x) = \cos^4 x$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $2(\cos^4 \frac{\pi}{12} + \cos^4 \frac{5\pi}{12})$ બને છે.
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^4 x = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$ મળે.
$x = \frac{\pi}{12}$ માટે,$\cos^4 \frac{\pi}{12} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 0.5}{8} = \frac{3.5 + 2\sqrt{3}}{8}$.
$x = \frac{5\pi}{12}$ માટે,$\cos^4 \frac{5\pi}{12} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 0.5}{8} = \frac{3.5 - 2\sqrt{3}}{8}$.
સરવાળો કરતા: $2 \times (\frac{7}{8}) = \frac{7}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{\tan (\alpha+\beta-\gamma)}{\tan (\alpha-\beta+\gamma)}=\frac{\tan \gamma}{\tan \beta}$.
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{\tan (\alpha+\beta-\gamma)+\tan (\alpha-\beta+\gamma)}{\tan (\alpha+\beta-\gamma)-\tan (\alpha-\beta+\gamma)}=\frac{\tan \gamma+\tan \beta}{\tan \gamma-\tan \beta}$.
$\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ અને $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(2\alpha)}{\sin(2\beta-2\gamma)} = \frac{\sin(\gamma+\beta)}{\sin(\gamma-\beta)}$.
$\sin(2\alpha) = \frac{\sin(\gamma+\beta) \sin(2\beta-2\gamma)}{\sin(\gamma-\beta)} = -2 \sin(\beta+\gamma) \cos(\beta-\gamma)$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(2\alpha) = -(\sin(2\beta) + \sin(2\gamma))$.
તેથી,$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 0$.

(B) આપેલ છે કે $\cos \alpha + \cos \beta = a$ અને $\sin \alpha + \sin \beta = b$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\cos \alpha + \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2 = a^2 + b^2$
$(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = a^2 + b^2$
$1 + 1 + 2 \cos(\alpha - \beta) = a^2 + b^2$
$2 + 2 \cos(2 \theta) = a^2 + b^2$
$2(1 + \cos 2 \theta) = a^2 + b^2$
$2(2 \cos^2 \theta) = a^2 + b^2$
$4 \cos^2 \theta = a^2 + b^2$
$\cos^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{4}$.
હવે,$\frac{\cos 3 \theta}{\cos \theta} = \frac{4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta}{\cos \theta} = 4 \cos^2 \theta - 3$.
$\cos^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{4}$ મૂકતા:
$4 \left( \frac{a^2 + b^2}{4} \right) - 3 = a^2 + b^2 - 3$.

(D) આપણે નિત્યસમ $\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે $\cos^3 A = \frac{1}{4} (\cos 3A + 3 \cos A)$.
દરેક પદ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\cos^3 \theta = \frac{1}{4} (\cos 3\theta + 3 \cos \theta)$
$\cos^3(120^{\circ} + \theta) = \frac{1}{4} (\cos(360^{\circ} + 3\theta) + 3 \cos(120^{\circ} + \theta)) = \frac{1}{4} (\cos 3\theta + 3 \cos(120^{\circ} + \theta))$
$\cos^3(\theta - 120^{\circ}) = \frac{1}{4} (\cos(3\theta - 360^{\circ}) + 3 \cos(\theta - 120^{\circ})) = \frac{1}{4} (\cos 3\theta + 3 \cos(\theta - 120^{\circ}))$
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
સરવાળો $= \frac{1}{4} [3 \cos 3\theta + 3 (\cos \theta + \cos(120^{\circ} + \theta) + \cos(\theta - 120^{\circ}))]$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(120^{\circ} + \theta) + \cos(\theta - 120^{\circ}) = 2 \cos \theta \cos 120^{\circ} = 2 \cos \theta (-1/2) = -\cos \theta$
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
સરવાળો $= \frac{1}{4} [3 \cos 3\theta + 3 (\cos \theta - \cos \theta)] = \frac{3}{4} \cos 3\theta$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin(x+3\alpha) + 3\sin(x-\alpha) = 0$
$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$(\sin x \cos 3\alpha + \cos x \sin 3\alpha) + 3(\sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha) = 0$
$\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$ અને $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x(4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha) + \cos x(3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha) + 3\sin x \cos \alpha - 3\cos x \sin \alpha = 0$
$\sin x(4\cos^3 \alpha) - 4\cos x \sin^3 \alpha = 0$
$4\sin x \cos^3 \alpha = 4\cos x \sin^3 \alpha$
$\tan x = \tan^3 \alpha$

(C) આપણી પાસે પદાવલિ $\cos 20^{\circ} + \cos 30^{\circ} + \cos 40^{\circ}$ છે.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદ માટે સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 40^{\circ} + \cos 20^{\circ} = 2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ}$.
હવે પદાવલિ $2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ} + \cos 30^{\circ}$ બને છે.
$\cos 30^{\circ}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $\cos 30^{\circ} (2 \cos 10^{\circ} + 1)$ મળે છે.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $4 \cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ} \cos 20^{\circ}$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપણી પાસે છે,
$1+\cos 10^{\circ}+\cos 20^{\circ}+\cos 30^{\circ} = (1+\cos 10^{\circ}) + (\cos 20^{\circ}+\cos 30^{\circ})$
$= 2\cos^2 5^{\circ} + 2\cos 25^{\circ} \cos 5^{\circ}$
$= 2\cos 5^{\circ} (\cos 5^{\circ} + \cos 25^{\circ})$
$= 2\cos 5^{\circ} (2\cos \frac{25^{\circ}+5^{\circ}}{2} \cos \frac{25^{\circ}-5^{\circ}}{2})$
$= 2\cos 5^{\circ} (2\cos 15^{\circ} \cos 10^{\circ})$
$= 4\cos 5^{\circ} \cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ}$

(C) ધારો કે $P = \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15} \cos \frac{14 \pi}{15}$.
નોંધો કે $\cos \frac{14 \pi}{15} = \cos (\pi - \frac{\pi}{15}) = -\cos \frac{\pi}{15}$.
તેથી,$P = -\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15}$.
$2^4 \sin \frac{\pi}{15}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = -\frac{1}{16 \sin \frac{\pi}{15}} (16 \sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15})$.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$P = -\frac{\sin \frac{16 \pi}{15}}{16 \sin \frac{\pi}{15}}$.
$\sin \frac{16 \pi}{15} = \sin (\pi + \frac{\pi}{15}) = -\sin \frac{\pi}{15}$ હોવાથી,
$P = -\frac{-\sin \frac{\pi}{15}}{16 \sin \frac{\pi}{15}} = \frac{1}{16}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{\sqrt{2}-(\sin \alpha+\cos \alpha)}{\sin \alpha-\cos \alpha}$ છે.
અંશ અને છેદને $\frac{1}{\sqrt{2}}$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \alpha+\cos \alpha)}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \alpha-\cos \alpha)}$.
$\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1-\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})}{\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})}$.
$1-\sin \theta = 2\sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})$ અને $\sin \theta = 2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \tan(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{8})$ મળે છે.

(C) ધારો કે $S = \cos 12^{\circ} + \cos 60^{\circ} + \cos 84^{\circ} + \cos 132^{\circ} + \cos 156^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$S = \frac{1}{2} + (\cos 12^{\circ} + \cos 84^{\circ} + \cos 132^{\circ} + \cos 156^{\circ})$.
$\cos 132^{\circ} = -\cos 48^{\circ}$ અને $\cos 156^{\circ} = -\cos 24^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{2} + (\cos 84^{\circ} - \cos 48^{\circ}) + (\cos 12^{\circ} - \cos 24^{\circ})$.
સૂત્ર $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{2} - 2 \sin 18^{\circ} (\sin 66^{\circ} - \sin 6^{\circ}) = \frac{1}{2} - 2 \sin 18^{\circ} \cos 36^{\circ}$.
$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ કિંમતો મૂકતા,$S = 0$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2 \theta)$.
ધારો કે $S = \sum_{k=1,3,5,7} (\sin^4 \frac{k \pi}{8} + \cos^4 \frac{k \pi}{8})$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$S = \sum_{k=1,3,5,7} (1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{k \pi}{4})$.
અહીં $4$ પદો હોવાથી,$S = 4 - \frac{1}{2} (\sin^2 \frac{\pi}{4} + \sin^2 \frac{3 \pi}{4} + \sin^2 \frac{5 \pi}{4} + \sin^2 \frac{7 \pi}{4})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$,$\sin^2 \frac{3 \pi}{4} = \frac{1}{2}$,$\sin^2 \frac{5 \pi}{4} = \frac{1}{2}$,અને $\sin^2 \frac{7 \pi}{4} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$S = 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 4 - \frac{1}{2} (2) = 4 - 1 = 3$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$.
બંને બાજુને $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{2}$ વડે ભાગતા.
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અહીં $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ લેતા,$\tan \alpha = \tan(\frac{5\pi}{12})$ મળે.
તેથી,$\sin(\theta + \frac{5\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
ઉકેલ: $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cot \frac{x}{2} - \operatorname{cosec} \frac{x}{2} = \cot x$.
નિત્યસમ $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ અને $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos(x/2) - 1}{\sin(x/2)} = \frac{\cos x}{\sin x}$.
$\cos(x/2) - 1 = -2 \sin^2(x/4)$ અને $\sin(x/2) = 2 \sin(x/4) \cos(x/4)$ મૂકતા,ડાબી બાજુ:
$\frac{-2 \sin^2(x/4)}{2 \sin(x/4) \cos(x/4)} = -\tan(x/4)$.
જમણી બાજુ $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ છે.
તેથી,$-\tan(x/4) = \frac{1}{\tan x}$,જેનો અર્થ છે $\tan x \cdot \tan(x/4) = -1$.
આ સમીકરણ માટે $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમતો શક્ય નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ: $1 + \cos^2 \theta = 3 \sin \theta \cos \theta$.
બંને બાજુને $\cos^2 \theta$ વડે ભાગતા:
$\sec^2 \theta + 1 = 3 \tan \theta$.
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ હોવાથી:
$(1 + \tan^2 \theta) + 1 = 3 \tan \theta$
$\tan^2 \theta - 3 \tan \theta + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા:
$(\tan \theta - 1)(\tan \theta - 2) = 0$.
બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $\tan \theta = 2 \Rightarrow \theta = n\pi + \tan^{-1}(2)$.
આમ,ઉકેલ $n\pi + \frac{\pi}{4}, n\pi + \tan^{-1}(2); n \in \mathbb{Z}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$.
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x) = 0$.
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(\frac{5x}{2}) \cos(\frac{3x}{2}) + 2 \sin(\frac{5x}{2}) \cos(\frac{x}{2}) = 0$.
$2 \sin(\frac{5x}{2}) [\cos(\frac{3x}{2}) + \cos(\frac{x}{2})] = 0$.
$\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \sin(\frac{5x}{2}) \cos x \cos(\frac{x}{2}) = 0$.
કેસ $1$: $\sin(\frac{5x}{2}) = 0 \implies x = \frac{2n \pi}{5}$. $0 \leq x \leq 2 \pi$ માટે,$x \in \{0, \frac{2 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \frac{6 \pi}{5}, \frac{8 \pi}{5}, 2 \pi\}$.
કેસ $2$: $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$.
કેસ $3$: $\cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies x = \pi$.
કુલ અનન્ય મૂલ્યોની સંખ્યા $9$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $1+\cos x \cdot \cos 5 x=\sin ^2 x$
નિત્યસમ $\sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1+\cos x \cdot \cos 5 x = 1 - \cos ^2 x$
$\Rightarrow \cos ^2 x + \cos x \cdot \cos 5 x = 0$
$\Rightarrow \cos x(\cos x + \cos 5 x) = 0$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \cos x [2 \cos(3x) \cos(-2x)] = 0$
$\cos(-2x) = \cos(2x)$ હોવાથી:
$2 \cos x \cos 3x \cos 2x = 0$
આથી $\cos x = 0$ અથવા $\cos 3x = 0$ અથવા $\cos 2x = 0$.
$x \in [0, 2 \pi]$ માટે:
$1$. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ ($2$ ઉકેલો)
$2$. $\cos 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}$ ($6$ ઉકેલો)
$3$. $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ ($4$ ઉકેલો)
આ બધાને ભેગા કરતા અને પુનરાવર્તિત ઉકેલો $(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ દૂર કરતા,કુલ $10$ ઉકેલો મળે છે.

(D) આપણને આપેલ છે કે $\tanh ^2 x = \tan ^2 \theta$.
નિત્યસમ $\cosh 2x = \frac{1 + \tanh ^2 x}{1 - \tanh ^2 x}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\tanh ^2 x = \tan ^2 \theta$ મૂકીએ:
$\cosh 2x = \frac{1 + \tan ^2 \theta}{1 - \tan ^2 \theta}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta$ અને $1 - \tan ^2 \theta = \frac{\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} = \frac{\cos 2\theta}{\cos ^2 \theta}$.
આમ,$\cosh 2x = \frac{\sec ^2 \theta}{\frac{\cos 2\theta}{\cos ^2 \theta}} = \frac{1}{\cos ^2 \theta} \times \frac{\cos ^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta} = \sec 2\theta$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ ના યામ $(h,k)$ છે.
$A(2,3)$,$B(3,-5)$ અને $C(h,k)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(x,y)$ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{2+3+h}{3} = \frac{5+h}{3} \implies h = 3x-5$
$y = \frac{3-5+k}{3} = \frac{k-2}{3} \implies k = 3y+2$
મધ્યકેન્દ્ર $G(x,y)$ રેખા $2x+y-2=0$ પર હોવાથી,$x = \frac{h+5}{3}$ અને $y = \frac{k-2}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\frac{h+5}{3}) + (\frac{k-2}{3}) - 2 = 0$
$3$ વડે ગુણતા:
$2(h+5) + (k-2) - 6 = 0$
$2h + 10 + k - 2 - 6 = 0$
$2h + k + 2 = 0$
$(h,k)$ ને $(x,y)$ વડે બદલતા,$C$ નો બિંદુપથ $2x+y+2=0$ મળે છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ રેખા $x \sec \alpha + y \operatorname{cosec} \alpha - 10 = 0$ માટે,$p = \frac{|-10|}{\sqrt{\sec^2 \alpha + \operatorname{cosec}^2 \alpha}} = 10 \sin \alpha \cos \alpha = 5 \sin 2 \alpha$ મળે.
તેથી,$p^2 = 25 \sin^2 2 \alpha$,એટલે કે $4p^2 = 100 \sin^2 2 \alpha$.
બીજી રેખા $x \cos \alpha - y \sin \alpha - 10 \cos 2 \alpha = 0$ માટે,$q = \frac{|-10 \cos 2 \alpha|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = 10 \cos 2 \alpha$ મળે.
તેથી,$q^2 = 100 \cos^2 2 \alpha$.
આમ,$4p^2 + q^2 = 100 \sin^2 2 \alpha + 100 \cos^2 2 \alpha = 100(1) = 100$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે. $\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $P(x, y)$,$A(4, 5)$ અને $B(-2, 3)$ છે,તે સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 7$.
યામો મૂકતા: $\frac{1}{2} |x(5 - 3) + 4(3 - y) + (-2)(y - 5)| = 7$.
$\frac{1}{2} |2x + 12 - 4y - 2y + 10| = 7$.
$|2x - 6y + 22| = 14$.
$2$ વડે ભાગતા: $|x - 3y + 11| = 7$.
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે: $x - 3y + 11 = 7$ અથવા $x - 3y + 11 = -7$.
આ સમીકરણો બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે: $x - 3y + 4 = 0$ અને $x - 3y + 18 = 0$.
આમ,બિંદુપથ એ સમાંતર રેખાઓની જોડી છે.

(B) પગલું $1$: બિંદુ $P(4,1)$ નું રેખા $x-y=0$ (અથવા $y=x$) માં પ્રતિબિંબ. $y=x$ માં પ્રતિબિંબનો નિયમ $(x,y) \to (y,x)$ છે. તેથી,નવું બિંદુ $P'$ એ $(1,4)$ થશે.
પગલું $2$: ધન $X$-અક્ષની દિશામાં $2$ એકમનું સ્થાનાંતર. નિયમ $(x,y) \to (x+2, y)$ છે. તેથી,$P'' = (1+2, 4) = (3,4)$ થશે.
પગલું $3$: $X$-અક્ષ પર પ્રક્ષેપણ. બિંદુ $(x,y)$ નું $X$-અક્ષ પરનું પ્રક્ષેપણ $(x,0)$ છે. તેથી,અંતિમ બિંદુ $(3,0)$ થશે.

(C) ધારો કે $P = (x, y)$. આપેલ શરત $PA + PB = 4$ છે.
બિંદુઓ $A(2, 2)$ અને $B(2, -2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$ છે.
કારણ કે અંતરનો સરવાળો $PA + PB$ એ નિશ્ચિત બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેના અંતર જેટલો છે (એટલે કે $PA + PB = AB = 4$),તેથી બિંદુ $P$ એ $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોવું જોઈએ.
બિંદુઓ $A(2, 2)$ અને $B(2, -2)$ બંનેનો $x$-યામ $2$ છે,તેથી તેમને જોડતો રેખાખંડ એક શિરોલંબ રેખાખંડ છે.
તેથી,$P$ નો બિંદુપથ એ $y = -2$ અને $y = 2$ ની વચ્ચેની શિરોલંબ રેખા $x = 2$ નો રેખાખંડ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 - 8x + 36y + 4 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ પદો દૂર કરવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડીએ છીએ.
ધારો કે $x = X + h$ અને $y = Y + k$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $4(X+h)^2 + 9(Y+k)^2 - 8(X+h) + 36(Y+k) + 4 = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $4(X^2 + 2hX + h^2) + 9(Y^2 + 2kY + k^2) - 8X - 8h + 36Y + 36k + 4 = 0$.
રેખીય પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(8h - 8)X + (18k + 36)Y + (4h^2 + 9k^2 - 8h + 36k + 4) = 0$.
$X$ અને $Y$ પદો દૂર કરવા માટે,તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$8h - 8 = 0 \implies h = 1$.
$18k + 36 = 0 \implies k = -2$.
આમ,ઉગમબિંદુને $(1, -2)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (a, 0)$ અને $B = (-a, 0)$.
અંતર $PA$ નો વર્ગ $PA^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$ છે.
અંતર $PB$ નો વર્ગ $PB^2 = (x + a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + 2ax + a^2 + y^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$PA^2 - PB^2 = a^2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) - (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) = a^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$-2ax - 2ax = a^2$.
$-4ax = a^2$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$-a$ વડે ભાગતા:
$4x = -a$,અથવા $x = -\frac{a}{4}$.
આ $y$-અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(C) દ્વિઘાતનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
$x^2 + 2xy - y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$h = 1$,અને $b = -1$ મળે છે.
$xy$ પદ દૂર કરવા માટે જરૂરી પરિભ્રમણનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan(2\theta) = \frac{2h}{a-b}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan(2\theta) = \frac{2(1)}{1 - (-1)} = \frac{2}{2} = 1$.
તેથી,$2\theta = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{8}$.

(A) ધારો કે $y = \log \left\{e^x \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{\frac{3}{4}}\right\}$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$y = \log e^x + \log \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{\frac{3}{4}} = x \log e + \frac{3}{4} \log \left(\frac{x-2}{x+2}\right) = x + \frac{3}{4} [\log(x-2) - \log(x+2)]$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right] = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)} \right] = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{4}{x^2-4} \right] = 1 + \frac{3}{x^2-4}$.
$x = 3$ આગળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=3} = 1 + \frac{3}{3^2-4} = 1 + \frac{3}{9-4} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.

(D) આપેલ છે કે $y = a \cos x + (b + 2x) \sin x$.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત $y^{\prime}$ મેળવો:
$y^{\prime} = -a \sin x + (b + 2x) \cos x + 2 \sin x$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $y^{\prime \prime}$ મેળવો:
$y^{\prime \prime} = -a \cos x - (b + 2x) \sin x + 2 \cos x + 2 \cos x$.
$y^{\prime \prime} = -(a \cos x + (b + 2x) \sin x) + 4 \cos x$.
કારણ કે $y = a \cos x + (b + 2x) \sin x$,આપણે $y$ ને પદાવલિમાં મૂકીએ:
$y^{\prime \prime} = -y + 4 \cos x$.
તેથી,$y^{\prime \prime} + y = 4 \cos x$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^3+y^3=3xy$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(3xy)$.
$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 3(y + x \frac{dy}{dx})$.
$3$ વડે ભાગતા:
$x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$y^2 \frac{dy}{dx} - x \frac{dy}{dx} = y - x^2$.
$\frac{dy}{dx}(y^2 - x) = y - x^2$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y-x^2}{y^2-x}$.

(B) આપેલ છે $y = x^x + x^7 + 7^x + 7^7$.
$\frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે,આપણે દરેક પદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું.
$1$. $x^x$ માટે: ધારો કે $u = x^x$. બંને બાજુ $\log$ લેતા,$\log u = x \log x$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$. તેથી,$\frac{du}{dx} = x^x(1 + \log_e x)$.
$2$. $x^7$ માટે: ઘાતનો નિયમ વાપરતા,$\frac{d}{dx}(x^7) = 7x^6$.
$3$. $7^x$ માટે: ઘાતાંકીય નિયમ $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log_e a$ વાપરતા,આપણને $\frac{d}{dx}(7^x) = 7^x \log_e 7$ મળે છે.
$4$. $7^7$ માટે: $7^7$ અચળ હોવાથી,તેનું વિકલન $0$ થાય છે.
આ બધાને જોડતા,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log_e x) + 7x^6 + 7^x \log_e 7 + 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log_e x) + 7x^6 + 7^x \log_e 7$.

(B) આપેલ વક્રના પ્રાચલ સમીકરણો $x = a(\theta + \sin \theta)$ અને $y = a(1 - \cos \theta)$ છે.
પ્રથમ,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = a(\sin \theta)$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \tan(\frac{\theta}{2})$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m} = -1$ થશે.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ બિંદુના યામ $x = a(\frac{\pi}{2} + 1)$ અને $y = a(1 - 0) = a$ છે.
અભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $|y \sqrt{1 + m^2}|$ છે,તેથી $|a \sqrt{1 + (1)^2}| = |a \sqrt{2}| = a \sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે કે $x = a(\cos t + t \sin t)$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = a(-\sin t + \sin t + t \cos t) = at \cos t$.
આપેલ છે કે $y = a(\sin t - t \cos t)$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = a(\cos t - (\cos t - t \sin t)) = a(\cos t - \cos t + t \sin t) = at \sin t$.
હવે,$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}$ ની ગણતરી કરતા:
$= \sqrt{(at \cos t)^2 + (at \sin t)^2}$
$= \sqrt{a^2 t^2 \cos^2 t + a^2 t^2 \sin^2 t}$
$= \sqrt{a^2 t^2 (\cos^2 t + \sin^2 t)}$
$= \sqrt{a^2 t^2 (1)}$
$= at$.

(D) આપેલ છે કે $y = t^2 + t^3$ અને $x = t - t^4$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dy}{dt} = 2t + 3t^2$
$\frac{dx}{dt} = 1 - 4t^3$
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3}$ મેળવો.
$\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધવા માટે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3} \right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt} \left( \frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3} \right) \cdot \frac{1}{1 - 4t^3}$.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dt} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dt} \left( \frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3} \right) = \frac{(2 + 6t)(1 - 4t^3) - (2t + 3t^2)(-12t^2)}{(1 - 4t^3)^2} = \frac{12t^4 + 16t^3 + 6t + 2}{(1 - 4t^3)^2}$.
આમ,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{12t^4 + 16t^3 + 6t + 2}{(1 - 4t^3)^3}$.
$t = 1$ આગળ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{12(1)^4 + 16(1)^3 + 6(1) + 2}{(1 - 4(1)^3)^3} = \frac{36}{-27} = -\frac{4}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $x = a(1 - \sin t)$ અને $y = a(t + \cos t)$.
પ્રથમ,$\frac{dx}{dt} = -a \cos t$ અને $\frac{dy}{dt} = a(1 - \sin t)$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a(1 - \sin t)}{-a \cos t} = \frac{\sin t - 1}{\cos t} = \tan t - \sec t$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\tan t - \sec t) = \frac{d}{dt}(\tan t - \sec t) \cdot \frac{dt}{dx}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = (\sec^2 t - \sec t \tan t) \cdot \frac{1}{-a \cos t} = \frac{\sec t(\sec t - \tan t)}{-a \cos t} = \frac{\frac{1}{\cos t}(\frac{1 - \sin t}{\cos t})}{-a \cos t} = \frac{1 - \sin t}{-a \cos^3 t} = \frac{\sin t - 1}{a \cos^3 t}$.

(D) આપેલ છે $y = \log \left( \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x} \right)$.
લઘુગણકની અંદરના પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$y = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)^2}{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)} \right) = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)^2}{(x^2+1)-x^2} \right) = \log (\sqrt{x^2+1}-x)^2$.
ગુણધર્મ $\log(a^b) = b \log a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $y = 2 \log(\sqrt{x^2+1}-x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x - 1 \right)$.
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{-( \sqrt{x^2+1}-x )}{\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}-x)} = \frac{-2}{\sqrt{x^2+1}}$.

(B) ધારો કે $x^2 = \cos(2\theta)$,જ્યાં $2\theta \in (0, \pi)$,તેથી $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
ત્યારબાદ $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\cos(2\theta)} = \sqrt{2\cos^2\theta} = \sqrt{2}\cos\theta$ અને $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\cos(2\theta)} = \sqrt{2\sin^2\theta} = \sqrt{2}\sin\theta$.
આ કિંમતોને $f(x)$ માં મૂકતા:
$f(x) = \operatorname{Tan}^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta} \right] = \operatorname{Tan}^{-1} \left[ \frac{\cos\theta + \sin\theta}{\cos\theta - \sin\theta} \right] = \operatorname{Tan}^{-1} \left[ \frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta} \right] = \operatorname{Tan}^{-1} [\tan(\frac{\pi}{4} + \theta)] = \frac{\pi}{4} + \theta$.
$\theta$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $f(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{-x}{\sqrt{1-x^4}}$.

(D) ધારો કે $x^2 = \cos(2\theta)$,તેથી $2\theta = \cos^{-1}(x^2)$,જેનો અર્થ છે $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
ત્યારબાદ $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\cos(2\theta)} = \sqrt{2\cos^2(\theta)} = \sqrt{2}\cos(\theta)$ અને $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\cos(2\theta)} = \sqrt{2\sin^2(\theta)} = \sqrt{2}\sin(\theta)$.
આ કિંમતોને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos(\theta) + \sqrt{2}\sin(\theta)}{\sqrt{2}\cos(\theta) - \sqrt{2}\sin(\theta)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\cos(\theta) + \sin(\theta)}{\cos(\theta) - \sin(\theta)}\right)$.
અંશ અને છેદને $\cos(\theta)$ વડે ભાગતા:
$y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1 + \tan(\theta)}{1 - \tan(\theta)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \theta)) = \frac{\pi}{4} + \theta$.
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ મૂકતા:
$y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\right) \cdot (2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \right\} + \sin \left\{ 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} \right\}$.
ધારો કે $x = \cos 2\theta$,તેથી $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
$x = \cos 2\theta$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\cos 2\theta}{1 + \sin 2\theta} \right\} + \sin \left\{ 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}} \right\}$
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{(\cos \theta + \sin \theta)^2} \right\} + \sin \left\{ 2 \tan^{-1} (\tan \theta) \right\}$
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} \right\} + \sin 2\theta$
$y = \tan^{-1} \left\{ \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right\} + \sin 2\theta$
$y = \frac{\pi}{4} - \theta + \sin 2\theta$
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ અને $\sin 2\theta = \sqrt{1 - x^2}$ મૂકતા:
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x + \sqrt{1 - x^2}$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) + \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} (-2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{1 - x^2}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = x \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા: $\frac{y}{x} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$. તો $\frac{x}{y} = \frac{1}{v}$.
સમીકરણ $v = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{v}\right)$ બને છે,જેનો અર્થ છે $\tan(v) = \frac{1}{v}$,અથવા $v \tan(v) = 1$.
જોકે,$y = x \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + x \cdot \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{y}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + x \cdot \frac{y^2}{x^2+y^2} \cdot \left(\frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x}{x^2+y^2} \cdot (y - x \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^2+y^2} - \frac{x^2}{x^2+y^2} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} \left(1 + \frac{x^2}{x^2+y^2}\right) = \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^2+y^2}$
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{2x^2+y^2}{x^2+y^2}\right) = \frac{2x^2y+y^3}{x(x^2+y^2)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(D) આપેલ છે,$y = \frac{\sinh^{-1} x}{\sqrt{1+x^2}}$
$\sqrt{1+x^2} y = \sinh^{-1} x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{1+x^2} y_1 + y \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
બંને બાજુ $\sqrt{1+x^2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$(1+x^2) y_1 + xy = 1$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$(1+x^2) y_2 + y_1(2x) + x y_1 + y = 0$
$(1+x^2) y_2 + 3xy_1 + y = 0$

(C) આપેલ સમીકરણ $a y^4 = (x + b)^5$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(a) + 4 \ln(y) = 5 \ln(x + b)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{4}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{5}{x + b}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{5y}{4(x + b)}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{(x + b) \frac{dy}{dx} - y}{(x + b)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5y}{4(x + b)}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{(x + b) \cdot \frac{5y}{4(x + b)} - y}{(x + b)^2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{\frac{5y}{4} - y}{(x + b)^2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{y}{4(x + b)^2} = \frac{5y}{16(x + b)^2}$.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{y \cdot (\frac{d^2y}{dx^2})}{(\frac{dy}{dx})^2} = \frac{y \cdot \frac{5y}{16(x + b)^2}}{(\frac{5y}{4(x + b)})^2} = \frac{\frac{5y^2}{16(x + b)^2}}{\frac{25y^2}{16(x + b)^2}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

(D) આપેલ છે કે $y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = -a \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x}$
$x y_1 = -a \sin(\log x) + b \cos(\log x)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x y_2 + y_1 = -a \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x}$
$x$ વડે ગુણતા:
$x^2 y_2 + x y_1 = -[a \cos(\log x) + b \sin(\log x)]$
કારણ કે $y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$,તેથી:
$x^2 y_2 + x y_1 = -y$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$n\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n\left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ,$x = a$ અને $y = b$ મૂકતા:
$n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{n}{a} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - b = m(x - a)$ છે,જ્યાં $m = -\frac{b}{a}$.
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$.
$a(y - b) = -b(x - a)$.
$ay - ab = -bx + ab$.
$bx + ay = 2ab$.
બંને બાજુ $ab$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વક્રનું સમીકરણ $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ છે.
પ્રચલિત સમીકરણો $x = a \cos^3 \theta$ અને $y = a \sin^3 \theta$ છે.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$ મળે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = -\tan \theta$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = \frac{-1}{m_T} = \cot \theta$ છે.
આપેલ છે કે અભિલંબ $X$-અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $\tan \phi$ છે.
આમ,$\tan \phi = \cot \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,અથવા $\theta = \frac{\pi}{2} - \phi$.
$\theta$ ની કિંમત પ્રચલિત યામોમાં મૂકતા: $x = a \cos^3(\frac{\pi}{2} - \phi) = a \sin^3 \phi$ અને $y = a \sin^3(\frac{\pi}{2} - \phi) = a \cos^3 \phi$.
$(a \sin^3 \phi, a \cos^3 \phi)$ બિંદુએ અને $\tan \phi$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - a \cos^3 \phi = \tan \phi (x - a \sin^3 \phi)$
$y \cos \phi - a \cos^4 \phi = x \sin \phi - a \sin^4 \phi$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a (\cos^4 \phi - \sin^4 \phi)$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a (\cos^2 \phi - \sin^2 \phi)(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a \cos 2 \phi$.

(A) આપેલ વક્રો:
$x^2 = 3y \quad ...(i)$
$x^2 + y^2 = 4 \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માં $x^2 = 3y$ મૂકતા,આપણને મળે:
$3y + y^2 = 4$
$y^2 + 3y - 4 = 0$
$(y + 4)(y - 1) = 0$
$x^2 = 3y$ હોવાથી,$y$ અઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $y = 1$.
$y = 1$ ને $x^2 = 3y$ માં મૂકતા,$x^2 = 3$,તેથી $x = \pm \sqrt{3}$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(\sqrt{3}, 1)$ અને $(-\sqrt{3}, 1)$ છે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(i)$ માટે,$2x = 3 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}$.
$(ii)$ માટે,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(\sqrt{3}, 1)$ આગળ:
$m_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$m_2 = -\frac{\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} - (-\sqrt{3})}{1 + (\frac{2}{\sqrt{3}})(-\sqrt{3})} \right|$
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{2 + 3}{\sqrt{3}}}{1 - 2} \right| = \left| \frac{5/\sqrt{3}}{-1} \right| = \frac{5}{\sqrt{3}}$
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{5}{\sqrt{3}} \right)$.

(D) આપેલ વક્રો $C_1: x^2 y = 1$ અને $C_2: y(x^2 + 1) = 2$ છે.
પ્રથમ,બીજા સમીકરણમાં $y = 1/x^2$ મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો: $(1/x^2)(x^2 + 1) = 2 \implies 1 + 1/x^2 = 2 \implies 1/x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
$x = 1$ માટે,$y = 1$. $x = -1$ માટે,$y = 1$. છેદબિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(-1, 1)$ છે.
$C_1$ માટે,$y = x^{-2} \implies dy/dx = -2x^{-3} = -2/x^3$. $(1, 1)$ આગળ,$m_1 = -2$.
$C_2$ માટે,$y = 2/(x^2 + 1) \implies dy/dx = -2(2x)/(x^2 + 1)^2 = -4x/(x^2 + 1)^2$. $(1, 1)$ આગળ,$m_2 = -4(1)/(1+1)^2 = -4/4 = -1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |(m_1 - m_2) / (1 + m_1 m_2)|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = |(-2 - (-1)) / (1 + (-2)(-1))| = |-1 / (1 + 2)| = |-1/3| = 1/3$.
તેથી,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(1/3)$.

(B) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm$ અને તેની ઊંચાઈ $H$ છે. ધારો કે અંતર્ગત નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને તેની ઊંચાઈ $h$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,$\frac{H-h}{r} = \frac{H}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $h = H(1 - \frac{r}{R})$.
નળાકારની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 2\pi rh = 2\pi r H(1 - \frac{r}{R}) = 2\pi H(r - \frac{r^2}{R})$ થાય.
$S$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dS}{dr} = 2\pi H(1 - \frac{2r}{R}) = 0$.
આનાથી $1 - \frac{2r}{R} = 0$ મળે છે,તેથી $r = \frac{R}{2}$.
અહીં $R = 10 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$r = \frac{10}{2} = 5 \ cm$ મળે.

(B) ધારો કે $x$ એ સમઘનની ધારની લંબાઈ છે અને $V$ એ તેનું ઘનફળ છે.
આપેલ છે કે ધારની લંબાઈમાં ફેરફારનો દર $\frac{dx}{dt} = 1 \text{ cm/sec}$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $V = x^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
જ્યારે ધારની લંબાઈ $x = 5 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે આપણે વિકલિતમાં કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{dV}{dt} = 3(5)^2(1) = 3 \times 25 \times 1 = 75 \text{ cc/sec}$.
આમ,ઘનફળમાં થતા ફેરફારનો દર $75 \text{ cc/sec}$ છે.

(D) આપેલ સ્થાન વિધેય $S(t) = t^3 - 3t^2 + 4t - 2$ છે.
વેગ $v(t)$ એ $S(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$v(t) = \frac{dS}{dt} = 3t^2 - 6t + 4$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ $v(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 6$.
પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય $t$ શોધવા માટે:
$6t - 6 = 0 \implies t = 1 \text{ સેકન્ડ}$.
હવે,$t = 1$ ને વેગના વિધેયમાં મૂકતા:
$v(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 3 - 6 + 4 = 1 \text{ m/s}$.
આમ,જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય ત્યારે કણનો વેગ $1 \text{ m/s}$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $x^3 = 12y$ છે. બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3x^2 \frac{dx}{dt} = 12 \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{3x^2}{12} \frac{dx}{dt} = \frac{x^2}{4} \frac{dx}{dt}$
આપેલ છે કે $x$ ના ફેરફારનો દર $y$ ના ફેરફારના દર કરતા વધારે છે,એટલે કે $\frac{dx}{dt} > \frac{dy}{dt}$.
$\frac{dy}{dt}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dx}{dt} > \frac{x^2}{4} \frac{dx}{dt}$
$x > 0$ હોવાથી,$\frac{dx}{dt}$ ધન છે,તેથી $\frac{dx}{dt}$ વડે ભાગતા:
$1 > \frac{x^2}{4}$
$x^2 < 4$
$|x| < 2$
$x > 0$ ની શરત આપેલ હોવાથી,$x$ માટેનો અંતરાલ $(0, 2)$ છે.

(A) ધારો કે $V$ એ ઘનફળ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ કોઈપણ સમયે $t$ પર ઊંધા શંકુમાં પાણીની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે,$\frac{dV}{dt} = 3 \ m^3/min$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
શંકુમાં ત્રિકોણની સમાનતા પરથી,આપણી પાસે $\frac{r}{h} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{2}{3}h$.
ઘનફળના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2}{3}h\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{4}{9}h^2\right) h = \frac{4}{27} \pi h^3$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{27} \pi (3h^2) \frac{dh}{dt} = \frac{4}{9} \pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
આપેલ છે $\frac{dV}{dt} = 3$ અને આપણે જ્યારે $h = 3 \ m$ હોય ત્યારે $\frac{dh}{dt}$ શોધવાનું છે:
$3 = \frac{4}{9} \pi (3)^2 \frac{dh}{dt}$
$3 = \frac{4}{9} \pi (9) \frac{dh}{dt}$
$3 = 4 \pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{3}{4 \pi} \ m/min$.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x) = x(x+3)(x-2) = x^3 + x^2 - 6x$.
$f(x)$ બહુપદી હોવાથી તે $[-1, 4]$ પર સતત છે અને $(-1, 4)$ પર વિકલનીય છે.
$LMVT$ મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (-1, 4)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
અહીં $a = -1$ અને $b = 4$ છે.
$f(-1) = (-1)(2)(-3) = 6$.
$f(4) = (4)(7)(2) = 56$.
$f'(x) = 3x^2 + 2x - 6$.
તેથી,$3c^2 + 2c - 6 = \frac{56 - 6}{4 - (-1)} = \frac{50}{5} = 10$.
$3c^2 + 2c - 16 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $c = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-16)}}{6} = \frac{-2 \pm 14}{6}$.
બે શક્ય કિંમતો: $c_1 = 2$ અને $c_2 = -\frac{8}{3}$.
$c \in (-1, 4)$ હોવાથી,$c = 2$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$ છે.
વધતા કે ઘટતા અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$.
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)] = e^{x-x^2} (1 + x - 2x^2)$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $1 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 1) = -(2x+1)(x-1) = (2x+1)(1-x)$.
તેથી,$f'(x) = e^{x-x^2} (2x+1)(1-x)$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે,$f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $e^{x-x^2} > 0$ તમામ $x \in R$ માટે,$f'(x)$ ની નિશાની $(2x+1)(1-x)$ પર આધાર રાખે છે.
$(2x+1)(1-x) \geq 0$ નો અર્થ છે કે $-\frac{1}{2} \leq x \leq 1$.
આમ,વિધેય અંતરાલ $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ માં વધતું વિધેય છે.

(B) બેક્ટેરિયાના વધવાનું વિધેય $f(t) = t^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વધવાનો દર શોધવા માટે,આપણે $f(t)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(t) = \frac{d}{dt}(t^4) = 4t^3$.
આપણને આપેલ છે કે $t = t_0$ સમયે વધવાનો દર $4000 \text{ units/second}$ છે.
તેથી,$f'(t_0) = 4t_0^3 = 4000$.
બંને બાજુ $4$ વડે ભાગતા,આપણને $t_0^3 = 1000$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$t_0 = \sqrt[3]{1000} = 10$.
આમ,$t_0 = 10$ સેકન્ડ.

(C) $[0, 1]$ પર $f(x) = (x+1)^{1/3} - (x-1)^{1/3}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{1}{3}(x+1)^{-2/3} - \frac{1}{3}(x-1)^{-2/3} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{(x+1)^{2/3}} - \frac{1}{(x-1)^{2/3}} \right]$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $(x-1)^{2/3} = (x+1)^{2/3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $|x-1| = |x+1|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x-1)^2 = (x+1)^2$,તેથી $x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + 1$,જે $4x = 0$ આપે છે,એટલે કે $x = 0$.
હવે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુ $x=0$ અને અંતિમ બિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ પર $f(x)$ ની કિંમત તપાસીએ.
$x=0$ માટે,$f(0) = (0+1)^{1/3} - (0-1)^{1/3} = 1 - (-1) = 2$.
$x=1$ માટે,$f(1) = (1+1)^{1/3} - (1-1)^{1/3} = 2^{1/3} - 0 = 2^{1/3}$.
$f(0) = 2$ અને $f(1) = 2^{1/3} \approx 1.26$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $2$ છે.

(A) $(0,0)$,$(x_1, y_1)$,અને $(x_2, y_2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(x, \cos x)$,અને $(\sin^3 x, 0)$ છે.
તેથી,$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે $A(x) = \frac{1}{2} |x(0) - (\sin^3 x)(\cos x)| = \frac{1}{2} \sin^3 x \cos x$ થાય.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $A(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$A'(x) = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos x \cdot \cos x + \sin^3 x (-\sin x)] = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x]$.
$A'(x) = 0$ લેતા,આપણને $3 \sin^2 x \cos^2 x = \sin^4 x$ મળે છે.
કારણ કે $\sin x \neq 0$,તેથી $3 \cos^2 x = \sin^2 x$,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 x = 3$,તેથી $\tan x = \sqrt{3}$ ($x \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી).
આમ,$x = \frac{\pi}{3}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ પર,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos x = \frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમતોને $A(x)$ માં મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{8}) (\frac{1}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{32}$.

(C) આપેલ છે કે નળાકાર પાત્રનું ઘનફળ $V$ છે અને તેના ઉપરના ભાગે ઢાંકણ નથી.
ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ નળાકારની ઊંચાઈ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $h = \frac{V}{\pi r^2}$.
વપરાતી ધાતુની શીટનું કુલ પૃષ્ઠફળ $S$ (તળિયું સહિત પણ ઢાંકણ વગર) નીચે મુજબ છે:
$S = 2\pi rh + \pi r^2$
$S$ ના સમીકરણમાં $h = \frac{V}{\pi r^2}$ મૂકતા:
$S(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) + \pi r^2 = \frac{2V}{r} + \pi r^2$
ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે,આપણે $S(r)$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$S'(r) = -\frac{2V}{r^2} + 2\pi r = 0$
$2\pi r = \frac{2V}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{V}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$
હવે,$h$ ના સમીકરણમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi (V/\pi)^{2/3}} = \frac{V}{\pi} \cdot \left(\frac{\pi}{V}\right)^{2/3} = \left(\frac{V}{\pi}\right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$
આમ,ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ માટે ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ $r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ અને $h = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ છે.

(B) ધારો કે $R(x)$ એ આવક વિધેય છે અને $C(x)$ એ ખર્ચ વિધેય છે.
આવક $R(x) = x \times \left(5 - \frac{x}{100}\right) = 5x - \frac{x^2}{100}$.
નફાનું વિધેય $P(x) = R(x) - C(x) = \left(5x - \frac{x^2}{100}\right) - \left(\frac{x}{5} + 500\right)$.
$P(x) = 5x - \frac{x^2}{100} - \frac{x}{5} - 500 = 4.8x - \frac{x^2}{100} - 500$.
મહત્તમ નફો શોધવા માટે,આપણે વિકલન $P'(x)$ શોધીએ છીએ અને તેને $0$ ની બરાબર લઈએ છીએ.
$P'(x) = 4.8 - \frac{2x}{100} = 4.8 - \frac{x}{50}$.
$P'(x) = 0$ લેતા,આપણને $4.8 = \frac{x}{50}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 4.8 \times 50 = 240$.
ચકાસણી કરવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $P''(x) = -\frac{1}{50}$ તપાસીએ છીએ.
કારણ કે $P''(x) < 0$ છે,તેથી $x = 240$ પર નફો મહત્તમ છે.

(A) આપેલ વક્ર $3y^2 = (x+5)^3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $6y \frac{dy}{dx} = 3(x+5)^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+5)^2}{2y}$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $ST = |\frac{y}{dy/dx}| = |\frac{y}{(x+5)^2 / 2y}| = |\frac{2y^2}{(x+5)^2}|$ થાય.
$y^2 = \frac{(x+5)^3}{3}$ મૂકતા,આપણને $ST = |\frac{2(x+5)^3}{3(x+5)^2}| = |\frac{2(x+5)}{3}|$ મળે છે.
આમ,$(ST)^2 = \frac{4(x+5)^2}{9}$,તેથી $9(ST)^2 = 4(x+5)^2$.
સબનોર્મલની લંબાઈ $SN = |y \frac{dy}{dx}| = |y \cdot \frac{(x+5)^2}{2y}| = |\frac{(x+5)^2}{2}|$ થાય.
તેથી,$8 SN = 8 \cdot \frac{(x+5)^2}{2} = 4(x+5)^2$.
બંને પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણને $9(ST)^2 = 8 SN$ મળે છે.

(D) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ ને $[a, b]$ પર લાગુ કરવા માટે,વિધેય $f(x)$ નીચેની શરતોનું પાલન કરતું હોવું જોઈએ:
$1$. $[a, b]$ પર સતત હોવું જોઈએ.
$2$. $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
અંતરાલ $[0, 1]$ માટે વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
- વિકલ્પ $A$: વિધેય $x = 1/2$ પર સતત છે કારણ કે $\lim_{x \to 1/2^-} (1/2 - x) = 0$ અને $f(1/2) = 0$. તે દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે.
- વિકલ્પ $B$: વિધેય $x = 0$ પર સતત છે કારણ કે $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 = f(0)$. તે દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે.
- વિકલ્પ $C$: $f(x) = x|x|$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સતત અને વિકલનીય છે.
- વિકલ્પ $D$: $f(x) = |x|$. $x = 0$ આગળ,ડાબી બાજુનું વિકલન $-1$ છે અને જમણી બાજુનું વિકલન $1$ છે. ડાબી બાજુનું વિકલન $\neq$ જમણી બાજુનું વિકલન હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી. $0 \in [0, 1]$ હોવાથી,$LMVT$ એ $f(x) = |x|$ માટે $[0, 1]$ પર લાગુ પડતું નથી.

(D) રોલના પ્રમેય લાગુ કરવા માટે,$f(x)$ એ $[1, 2]$ પર સતત,$(1, 2)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ અને $f(1) = f(2)$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$f(1) = (1-1)^3(1-2)^5 = 0$ અને $f(2) = (2-1)^3(2-2)^5 = 0$. તેથી $f(1) = f(2) = 0$ હોવાથી રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.
આપણે $c \in (1, 2)$ શોધવાનું છે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = 3(x-1)^2(x-2)^5 + 5(x-1)^3(x-2)^4$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા: $f'(x) = (x-1)^2(x-2)^4 [3(x-2) + 5(x-1)]$.
$f'(x) = (x-1)^2(x-2)^4 [3x - 6 + 5x - 5] = (x-1)^2(x-2)^4 (8x - 11)$.
$c \in (1, 2)$ માટે $f'(c) = 0$ લેતા:
$(c-1)^2(c-2)^4 (8c - 11) = 0$.
$c \neq 1$ અને $c \neq 2$ હોવાથી,$8c - 11 = 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $c = \frac{11}{8}$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ અંતરાલ $[0, 1/2]$ પર છે.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c \in (0, 1/2)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં,$a = 0$ અને $b = 1/2$.
$f(a) = f(0) = (0-1)(0-2) = 2$.
$f(b) = f(1/2) = (1/2 - 1)(1/2 - 2) = (-1/2)(-3/2) = 3/4$.
$f'(x) = 2x - 3$,તેથી $f'(c) = 2c - 3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $2c - 3 = \frac{3/4 - 2}{1/2 - 0}$.
$2c - 3 = \frac{-5/4}{1/2} = -5/2$.
$2c = 3 - 5/2 = 1/2$.
$c = 1/4$.
કારણ કે $1/4 \in (0, 1/2)$,તેથી $c$ નું મૂલ્ય $1/4$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{1}{x \sqrt{x^6+1}} \, dx$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x^2}{x^3 \sqrt{(x^3)^2+1}} \, dx$.
ધારો કે $u = x^3$,તેથી $du = 3x^2 \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 \, dx = \frac{du}{3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u \sqrt{u^2+1}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{u \sqrt{u^2+a^2}} = -\frac{1}{a} \operatorname{Sinh}^{-1} \left( \frac{a}{u} \right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{3} \left( -\operatorname{Sinh}^{-1} \left( \frac{1}{u} \right) \right) + C = -\frac{1}{3} \operatorname{Sinh}^{-1} \left( \frac{1}{x^3} \right) + C$.

(A) ધારો કે $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx = \int \frac{\tan x + 1}{\sqrt{\tan x}} dx$.
$\tan x = t^2$ આદેશ લેતા,$\sec^2 x dx = 2t dt$ મળે.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + t^4$ હોવાથી,$dx = \frac{2t}{1+t^4} dt$ થાય.
તેથી,$I = \int \frac{t^2 + 1}{t} \cdot \frac{2t}{1+t^4} dt = 2 \int \frac{t^2 + 1}{t^4 + 1} dt$.
અંશ અને છેદને $t^2$ વડે ભાગતા: $I = 2 \int \frac{1 + 1/t^2}{t^2 + 1/t^2} dt = 2 \int \frac{1 + 1/t^2}{(t - 1/t)^2 + 2} dt$.
$u = t - 1/t$ લેતા,$du = (1 + 1/t^2) dt$ મળે.
$I = 2 \int \frac{du}{u^2 + (\sqrt{2})^2} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + c = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{t - 1/t}{\sqrt{2}}\right) + c$.
$t = \sqrt{\tan x}$ મૂકતા,$I = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan x - 1}{\sqrt{2 \tan x}}\right) + c$ મળે.

(C) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{1-x^7}{x(1+x^7)} dx$ છે.
અંશ અને છેદને $x^6$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x^6(1-x^7)}{x^7(1+x^7)} dx$.
ધારો કે $u = x^7$,તેથી $du = 7x^6 dx$,જેનો અર્થ છે $x^6 dx = \frac{du}{7}$.
સંકલનમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \int \frac{1-u}{u(1+u)} \cdot \frac{du}{7} = \frac{1}{7} \int \frac{1-u}{u(1+u)} du$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1-u}{u(1+u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+u}$.
$1-u = A(1+u) + Bu$.
$u=0$ માટે,$A=1$.
$u=-1$ માટે,$1-(-1) = B(-1) \Rightarrow B = -2$.
તેથી,$I = \frac{1}{7} \int (\frac{1}{u} - \frac{2}{1+u}) du = \frac{1}{7} (\ln |u| - 2 \ln |1+u|) + C$.
$u = x^7$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{7} \ln |x^7| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C = \frac{7}{7} \ln |x| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C = 1 \ln |x| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C$.
આને $a \ln |x| + b \ln |x^7+1| + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ અને $b = -2/7$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{e^x-1}{e^x+1} dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ: $I = \int \frac{(e^x+1)-2}{e^x+1} dx$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $I = \int (1 - \frac{2}{e^x+1}) dx = \int 1 dx - 2 \int \frac{1}{e^x+1} dx$.
$\int \frac{1}{e^x+1} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,અંશ અને છેદને $e^{-x}$ વડે ગુણો:
$I = x - 2 \int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx$.
ધારો કે $t = 1+e^{-x}$,તેથી $dt = -e^{-x} dx$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-x} dx = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = x - 2 \int \frac{-dt}{t} = x + 2 \int \frac{1}{t} dt$.
$I = x + 2 \log_e|t| + c = x + 2 \log_e(1+e^{-x}) + c$.
કારણ કે $1+e^{-x} = \frac{e^x+1}{e^x}$,તેથી:
$I = x + 2 \log_e(\frac{e^x+1}{e^x}) + c = x + 2 \log_e(e^x+1) - 2 \log_e(e^x) + c$.
$I = x + 2 \log_e(e^x+1) - 2x + c = 2 \log_e(e^x+1) - x + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \cos^{-1}(2x^2-1) \, dx$.
$x = \cos \theta$ આદેશ લેતા,$dx = -\sin \theta \, d\theta$ મળે.
સંકલન $I = \int \cos^{-1}(2 \cos^2 \theta - 1) \cdot (-\sin \theta) \, d\theta$ થશે.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int \cos^{-1}(\cos 2\theta) \cdot (-\sin \theta) \, d\theta = \int 2\theta \cdot (-\sin \theta) \, d\theta = -2 \int \theta \sin \theta \, d\theta$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = \theta$ અને $dv = \sin \theta \, d\theta$:
$I = -2 [\theta(-\cos \theta) - \int (-\cos \theta) \, d\theta] = -2 [-\theta \cos \theta + \sin \theta] + c = 2\theta \cos \theta - 2 \sin \theta + c$.
અહીં $x = \cos \theta$ હોવાથી,$\theta = \cos^{-1} x$ અને $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1-x^2}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$I = 2x \cos^{-1} x - 2\sqrt{1-x^2} + c = 2(x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2}) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)^3}$. અંશ અને છેદને $x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x dx}{x^2(x^2+1)^3}$.
ધારો કે $x^2 = t$,તેથી $2x dx = dt$,એટલે કે $x dx = \frac{dt}{2}$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t(t+1)^3}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{t(t+1)^3} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1} + \frac{C}{(t+1)^2} + \frac{D}{(t+1)^3}$.
અચળાંકો માટે ઉકેલતા: $A=1, B=-1, C=-1, D=-1$.
$I = \frac{1}{2} [\int \frac{1}{t} dt - \int \frac{1}{t+1} dt - \int \frac{1}{(t+1)^2} dt - \int \frac{1}{(t+1)^3} dt]$.
$I = \frac{1}{2} [\log|t| - \log|t+1| + \frac{1}{t+1} + \frac{1}{2(t+1)^2}] + c$.
$t = x^2$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \log \frac{x^2}{x^2+1} + \frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$.
$I = \log \sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}} + \frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{x^{2 / 3}(1+x^{2 / 3})}$.
$x^{1/3} = t$ આદેશ લેતા,$x = t^3$ મળે,તેથી $dx = 3t^2 dt$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{3t^2 dt}{(t^2)(1+t^2)} = \int \frac{3 dt}{1+t^2}$.
$\frac{1}{1+t^2}$ નું સંકલન $\tan^{-1}(t)$ થાય છે.
તેથી,$I = 3 \tan^{-1}(t) + c$.
$t = x^{1/3}$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = 3 \tan^{-1}(x^{1/3}) + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{1-2a \cos x + a^2}$.
નિત્યસમ $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{dx}{1-2a \left(\frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}\right) + a^2} = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{(1+a^2)(1+\tan^2(x/2)) - 2a(1-\tan^2(x/2))}$.
ધારો કે $t = \tan(x/2)$,તેથી $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,એટલે કે $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$.
$I = \int \frac{2 dt}{(1+a^2)(1+t^2) - 2a(1-t^2)} = \int \frac{2 dt}{1+a^2+t^2+a^2t^2-2a+2at^2} = \int \frac{2 dt}{(1-a)^2 + t^2(1+a)^2}$.
$I = \frac{2}{(1+a)^2} \int \frac{dt}{\left(\frac{1-a}{1+a}\right)^2 + t^2}$.
$\int \frac{dx}{k^2+x^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1}(\frac{x}{k})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{2}{(1+a)^2} \cdot \frac{1+a}{1-a} \tan^{-1}\left(t \cdot \frac{1+a}{1-a}\right) + c = \frac{2}{1-a^2} \tan^{-1}\left[\frac{1+a}{1-a} \tan \frac{x}{2}\right] + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{6x+5}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx$.
અંશને $6x+5 = A \frac{d}{dx}(6+x-2x^2) + B$ તરીકે દર્શાવીએ.
$6x+5 = A(1-4x) + B = -4Ax + (A+B)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$-4A = 6 \implies A = -\frac{3}{2}$ અને $A+B = 5 \implies B = 5 + \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$.
તેથી,$I = \int \frac{-\frac{3}{2}(1-4x) + \frac{13}{2}}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx = -\frac{3}{2} \int \frac{1-4x}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx + \frac{13}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{6+x-2x^2}}$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$u = 6+x-2x^2$ લેતા,$du = (1-4x)dx$ મળે.
સંકલન $-\frac{3}{2} \int u^{-1/2} du = -\frac{3}{2} (2\sqrt{u}) = -3\sqrt{6+x-2x^2}$ થાય.
બીજા ભાગ માટે,$\int \frac{dx}{\sqrt{6+x-2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{3 + \frac{x}{2} - x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{49}{16} - (x-\frac{1}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin^{-1}\left(\frac{4x-1}{7}\right)$.
બંનેને જોડતા,$I = -3\sqrt{6+x-2x^2} + \frac{13}{2\sqrt{2}} \sin^{-1}\left(\frac{4x-1}{7}\right) + c$ મળે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{5x^2+3}{x^2(x^2-2)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,ધારો કે $\frac{5x^2+3}{x^2(x^2-2)} = \frac{A}{x^2} + \frac{B}{x^2-2}$.
તેથી $5x^2+3 = A(x^2-2) + Bx^2$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B = 5$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $-2A = 3 \implies A = -\frac{3}{2}$.
$A+B=5$ માં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $-\frac{3}{2} + B = 5 \implies B = 5 + \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$.
આમ,$I = \int \left( -\frac{3}{2x^2} + \frac{13}{2(x^2-2)} \right) dx$.
$I = -\frac{3}{2} \int x^{-2} dx + \frac{13}{2} \int \frac{1}{x^2-(\sqrt{2})^2} dx$.
સૂત્ર $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{3}{2} \left( -\frac{1}{x} \right) + \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right| + C$.
$I = \frac{3}{2x} + \frac{13}{4\sqrt{2}} \log \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right| + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^e+e^x} dx$ ... $(i)$
$x^e + e^x = t$ મૂકતા ... $(ii)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d}{dx}(x^e + e^x) = \frac{dt}{dx}$
$e x^{e-1} + e^x = \frac{dt}{dx}$
$(e x^{e-1} + e^x) dx = dt$
$e$ સામાન્ય કાઢતા:
$e(x^{e-1} + \frac{e^x}{e}) dx = dt$
$e(x^{e-1} + e^{x-1}) dx = dt$
$(x^{e-1} + e^{x-1}) dx = \frac{1}{e} dt$ ... $(iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ ની કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{e} dt$
$I = \frac{1}{e} \int \frac{1}{t} dt$
$I = \frac{1}{e} \log |t| + C$
$t = x^e + e^x$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{e} \log |x^e + e^x| + C$

(A) સંકલન $I = \int \frac{\sin (x-a)}{\sin (x-b)} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશને $\sin((x-b) + (b-a))$ તરીકે લખીએ છીએ.
$\sin(u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin(x-b)\cos(b-a) + \cos(x-b)\sin(b-a)}{\sin(x-b)} dx$
$I = \int \cos(b-a) dx + \int \sin(b-a) \cot(x-b) dx$
$I = x \cos(b-a) + \sin(b-a) \log |\sin(x-b)| + C$
આને $Ax + B \log |\sin(x-b)| + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \cos(b-a)$ અને $B = \sin(b-a)$ મળે છે.
આમ,$(A, B) = (\cos(b-a), \sin(b-a))$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\log _e x}{(1+\log _e x)^2} dx$.
$\log _e x = t$ આદેશ લેતા,$x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{t}{(1+t)^2} e^t dt$.
અંશને $(t+1-1)$ તરીકે લખતા:
$I = \int \frac{t+1-1}{(1+t)^2} e^t dt = \int \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) e^t dt$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \frac{1}{1+t}$ અને $f'(t) = -\frac{1}{(1+t)^2}$:
$I = e^t \left( \frac{1}{1+t} \right) + C$.
$t = \log _e x$ પાછું મૂકતા:
$I = e^{\log _e x} \left( \frac{1}{1+\log _e x} \right) + C = \frac{x}{1+\log _e x} + C$.

(B) $\int x^5 e^{-2 x} d x$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ઇન્ટિગ્રેશન બાય પાર્ટ્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અથવા ટેબ્યુલર પદ્ધતિ (બર્નુલીનું સૂત્ર) વાપરીએ છીએ: $\int u v' dx = u v - u' v_1 + u'' v_2 - u''' v_3 + \dots$
અહીં,$u = x^5$ અને $v' = e^{-2 x}$ છે.
$u = x^5, u' = 5x^4, u'' = 20x^3, u''' = 60x^2, u^{(4)} = 120x, u^{(5)} = 120, u^{(6)} = 0$.
$v = e^{-2 x}, v_1 = \frac{e^{-2 x}}{-2}, v_2 = \frac{e^{-2 x}}{4}, v_3 = \frac{e^{-2 x}}{-8}, v_4 = \frac{e^{-2 x}}{16}, v_5 = \frac{e^{-2 x}}{-32}, v_6 = \frac{e^{-2 x}}{64}$.
સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$\int x^5 e^{-2 x} d x = x^5 \left(\frac{e^{-2 x}}{-2}\right) - 5x^4 \left(\frac{e^{-2 x}}{4}\right) + 20x^3 \left(\frac{e^{-2 x}}{-8}\right) - 60x^2 \left(\frac{e^{-2 x}}{16}\right) + 120x \left(\frac{e^{-2 x}}{-32}\right) - 120 \left(\frac{e^{-2 x}}{64}\right) + c$
$= -e^{-2 x} \left[ \frac{x^5}{2} + \frac{5x^4}{4} + \frac{20x^3}{8} + \frac{60x^2}{16} + \frac{120x}{32} + \frac{120}{64} \right] + c$
$= -e^{-2 x} \left[ \frac{x^5}{2} + \frac{5x^4}{4} + \frac{5x^3}{2} + \frac{15x^2}{4} + \frac{15x}{4} + \frac{15}{8} \right] + c$.