WBJEE 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે પ્રથમ સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_1 = 1 + 2 + 3 = 6 \,kg$ છે અને તેનું $C.M.$ $R_1 = (1, 2, 3)$ પર છે.
ધારો કે બીજી સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_2 = 3 + 2 = 5 \,kg$ છે અને તેનું $C.M.$ $R_2 = (-1, 3, -2)$ પર છે.
આપણે $M_3 = 5 \,kg$ દળનો ત્રીજો કણ $R_3 = (x, y, z)$ સ્થાન પર ઉમેરીએ છીએ.
સમગ્ર સિસ્ટમનું $C.M.$ $R_{cm} = (1, 2, 3)$ આપેલ છે.
સંયુક્ત સિસ્ટમના $C.M.$ માટેનું સૂત્ર $R_{cm} = \frac{M_1 R_1 + M_2 R_2 + M_3 R_3}{M_1 + M_2 + M_3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(1, 2, 3) = \frac{6(1, 2, 3) + 5(-1, 3, -2) + 5(x, y, z)}{6 + 5 + 5}$.
કુલ દળ $M = 16 \,kg$. તેથી,$16(1, 2, 3) = (6, 12, 18) + (-5, 15, -10) + (5x, 5y, 5z)$.
$(16, 32, 48) = (1, 27, 8) + (5x, 5y, 5z)$.
$x$-યામ માટે: $16 = 1 + 5x \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$.
$y$-યામ માટે: $32 = 27 + 5y \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1$.
$z$-યામ માટે: $48 = 8 + 5z \Rightarrow 5z = 40 \Rightarrow z = 8$.
આમ,સ્થાન $(3, 1, 8)$ છે.

(B) સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ અને ગુરુત્વકેન્દ્ર $(COG)$ એક જ સ્થાને હોય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $y_{\text{cen}}$ નું સૂત્ર: $y_{\text{cen}} = \frac{\int_{0}^{\infty} y \, dm}{\int_{0}^{\infty} dm} = \frac{\int_{0}^{\infty} y \rho(y) \, dy}{\int_{0}^{\infty} \rho(y) \, dy}$.
બેરોમેટ્રિક સૂત્ર મુજબ,$y$ ઊંચાઈએ વાયુની ઘનતા: $\rho(y) = \rho_{0} e^{-Mgy / RT}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$y_{\text{cen}} = \frac{\int_{0}^{\infty} y e^{-Mgy / RT} \, dy}{\int_{0}^{\infty} e^{-Mgy / RT} \, dy}$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int_{0}^{\infty} x e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a^2}$ અને $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{Mg}{RT}$:
$y_{\text{cen}} = \frac{1/a^2}{1/a} = \frac{1}{a} = \frac{RT}{Mg}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $P = \frac{RT}{2V - b} - \frac{a}{4b^{2}}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને મળે: $P + \frac{a}{4b^{2}} = \frac{RT}{2V - b}$.
છેદમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા: $P + \frac{a}{4b^{2}} = \frac{RT}{2(V - b/2)}$.
બંને બાજુ $2(V - b/2)$ વડે ગુણતા, આપણને મળે: $(P + \frac{a}{4b^{2}})(V - b/2) = \frac{RT}{2}$.
આને $n$ મોલ માટેના વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{an^{2}}{V^{2}})(V - nb) = nRT$ સાથે સરખાવતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આપેલ સમીકરણ માટે $n = 1/2 \text{ મોલ}$ છે.
$O_{2}$ નું આણ્વીય દળ $32 \text{ g/mol}$ છે.
તેથી, વાયુનું દળ $m = n \times M = (1/2) \times 32 \text{ g} = 16 \text{ g}$ થાય.

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = m + 2m + 3m = 6m$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{6m}$ છે.
$N_{1}$ શોધવા માટે,$2m$ અને $3m$ દળના બ્લોક્સની ગતિને એકસાથે ધ્યાનમાં લો. બળ $N_{1}$ આ બે બ્લોક્સને ધકેલે છે:
$N_{1} = (2m + 3m)a = 5m \times \frac{F}{6m} = \frac{5}{6}F$.
$N_{2}$ શોધવા માટે,માત્ર $3m$ દળના બ્લોકની ગતિને ધ્યાનમાં લો. બળ $N_{2}$ આ બ્લોકને ધકેલે છે:
$N_{2} = (3m)a = 3m \times \frac{F}{6m} = \frac{3}{6}F = \frac{1}{2}F$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $F = \frac{6}{6}F$,$N_{1} = \frac{5}{6}F$,અને $N_{2} = \frac{3}{6}F$.
તેથી,$F > N_{1} > N_{2}$.

(A) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $l$ છે. અંતિમ સ્થાને,વેગ શૂન્ય છે,તેથી તણાવ $T_{\min } = mg \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ મહત્તમ કોણીય સ્થાનાંતર છે.
સૌથી નીચા બિંદુએ (મધ્યમાન સ્થાન),તણાવ મહત્તમ હોય છે,જે $T_{\max } = mg + \frac{mv^2}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતિમ સ્થાન અને મધ્યમાન સ્થાન વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} mv^2 = mgl(1 - \cos \theta)$,જેનો અર્થ છે $v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$.
$T_{\max }$ ના સમીકરણમાં $v^2$ મૂકતા: $T_{\max } = mg + \frac{m(2gl(1 - \cos \theta))}{l} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(1 + 2 - 2 \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$.
આપેલ છે કે $T_{\max } = 2 T_{\min }$,તેથી $mg(3 - 2 \cos \theta) = 2(mg \cos \theta)$.
$3 - 2 \cos \theta = 2 \cos \theta \implies 4 \cos \theta = 3 \implies \cos \theta = \frac{3}{4}$.
$T_{\max }$ ના સમીકરણમાં $\cos \theta = \frac{3}{4}$ મૂકતા: $T_{\max } = 2mg \cos \theta = 2mg \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{3mg}{2}$.

(B) સમતાપી પરિસ્થિતિઓ માટે, હવાના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે। $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P + \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P$ એ બાહ્ય દબાણ છે અને $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે।
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, તાપમાન અચળ હોવાથી $PV$ એ મોલની સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે।
તેથી, $P_1V_1 + P_2V_2 = P_cV_c$.
કિંમતો મૂકતા: $(P + \frac{4T}{a}) \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 + (P + \frac{4T}{b}) \cdot \frac{4}{3}\pi b^3 = (P + \frac{4T}{c}) \cdot \frac{4}{3}\pi c^3$.
$\frac{4}{3}\pi$ વડે ભાગતા: $P(a^3 + b^3 - c^3) = 4T(c^2 - a^2 - b^2)$.
$T$ માટે ગોઠવતા: $T = \frac{P(a^3 + b^3 - c^3)}{4(c^2 - a^2 - b^2)} = \frac{P(c^3 - a^3 - b^3)}{4(a^2 + b^2 - c^2)}$.

(B) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યા અને $d$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v_{T} = \frac{2r^{2}g(d-\rho)}{9\eta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $g, d, \rho$ અને $\eta$ બંને ગોળાઓ માટે અચળ હોવાથી,$v_{T} \propto r^{2}$ થાય.
ગોળાનું દળ $m = \frac{4}{3}\pi r^{3}d$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r \propto m^{1/3}$.
આ કિંમત ટર્મિનલ વેગના સમપ્રમાણતાના સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $v_{T} \propto (m^{1/3})^{2} = m^{2/3}$ મળે છે.
તેથી,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\frac{m_{1}}{m_{2}}\right)^{2/3}$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{m_{1}}{m_{2}} = 8$,તેથી $\frac{v_{1}}{v_{2}} = (8)^{2/3} = (2^{3})^{2/3} = 2^{2} = 4$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,જ્યારે હવાનો અવરોધ અવગણવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર કોઈ સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $(a_{x})$ શૂન્ય છે.
કારણ કે $a_{x} = 0$,તેથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(u_{x})$ ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી,$u_{x}$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સમક્ષિતિજ સીધી રેખા હોવો જોઈએ.
આ આકૃતિ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(B, C) આપેલ છે $V = A x(x-4) = A x^2 - 4Ax \ J$.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dV}{dx} = -(2Ax - 4A) = -2A(x-2) \ N$ છે.
અહીં $F \propto -(x-2)$ હોવાથી,કણ $x = 2 \ m$ ના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે.
$SHM$ માં,ઝડપ સરેરાશ સ્થાન પર મહત્તમ હોય છે,તેથી $x = 2 \ m$ પર ઝડપ મહત્તમ છે.
$F = -2A(x-2)$ ની સરખામણી પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $F = -k(x-x_0)$ સાથે કરતા,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 2A$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{2A}{0.02}} = \sqrt{100A} = 10\sqrt{A} \ rad/s$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\sqrt{A}} = \frac{\pi}{5\sqrt{A}} \ s$ છે.
આમ,વિધાન $B$ અને $C$ સાચા છે.

(D) જ્યારે સળિયાના એક છેડે આઘાત $P$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું રેખીય વેગમાન $P = mv$ થાય છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = \frac{P}{m}$ મળે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ કોણીય આઘાત $J = P \times \frac{L}{2}$ છે. કારણ કે $J = I\omega$,જ્યાં $I = \frac{mL^2}{12}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,તેથી $\omega = \frac{P(L/2)}{mL^2/12} = \frac{6P}{mL}$ મળે છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $K = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{1}{2}m\left(\frac{P}{m}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{mL^2}{12}\right)\left(\frac{6P}{mL}\right)^2$.
$K = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}\left(\frac{mL^2}{12}\right)\left(\frac{36P^2}{m^2L^2}\right) = \frac{P^2}{2m} + \frac{3P^2}{2m} = \frac{4P^2}{2m} = \frac{2P^2}{m}$.

(B) સળિયો મુક્તપણે ફરતો હોવાથી, કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે।
$L = I \omega = \text{constant}$.
પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{3}$.
તાપમાનમાં વધારા પછી, નવી લંબાઈ $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ થાય છે।
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{m(L')^2}{3} = \frac{m L^2 (1 + \alpha \Delta T)^2}{3} = I(1 + \alpha \Delta T)^2$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $I \omega = I' \omega'$.
આપેલ છે કે $\omega' = \frac{\omega}{2}$, તેથી $I \omega = I(1 + \alpha \Delta T)^2 \frac{\omega}{2}$.
$1 = \frac{(1 + \alpha \Delta T)^2}{2} \implies (1 + \alpha \Delta T)^2 = 2$.
વર્ગમૂળ લેતા: $1 + \alpha \Delta T = \sqrt{2}$.
$\alpha \ll 1$ હોવાથી, દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + 2 \alpha \Delta T \approx 2$.
$2 \alpha \Delta T = 1$.
$\Delta T = \frac{1}{2 \alpha}$.

(B) $25^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ થતા $300 \text{ g}$ પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_{released} = m \cdot c \cdot \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
$Q_{released} = 300 \text{ g} \times 1 \text{ cal/g}^{\circ}C \times (25^{\circ}C - 0^{\circ}C) = 7500 \text{ cal}$.
$0^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા $100 \text{ g}$ બરફને $0^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા પાણીમાં ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_{required} = m \cdot L_f$ દ્વારા મળે છે.
$Q_{required} = 100 \text{ g} \times 80 \text{ cal/g} = 8000 \text{ cal}$.
અહીં $Q_{required} > Q_{released}$ હોવાથી,ઉપલબ્ધ ઉષ્મા બધો બરફ ઓગળવા માટે પૂરતી નથી.
તેથી,મિશ્રણ $0^{\circ}C$ તાપમાને ઉષ્મીય સંતુલન પ્રાપ્ત કરશે અને થોડો બરફ ઓગળ્યા વગરનો બાકી રહેશે.
આમ,મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $0^{\circ}C$ હશે.

(A, B, C) પ્રક્રિયા $A \rightarrow B \rightarrow C$ છે. યામો $A(2V_{0}, P_{0})$,$B(V_{0}, P_{0})$,અને $C(V_{0}, 2P_{0})$ છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$\Delta U = n C_{v} \Delta T = \frac{n C_{v}}{nR} (P_{f}V_{f} - P_{i}V_{i}) = \frac{C_{v}}{R} (P_{f}V_{f} - P_{i}V_{i})$.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$C_{v} = \frac{3}{2}R$,તેથી $\Delta U = \frac{3}{2} (P_{f}V_{f} - P_{i}V_{i})$.
સમગ્ર પ્રક્રિયા $A \rightarrow C$ માટે,$\Delta U = \frac{3}{2} (P_{C}V_{C} - P_{A}V_{A}) = \frac{3}{2} (2P_{0}V_{0} - P_{0}2V_{0}) = 0$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
થયેલ કાર્ય $W = \int P dV$. $A \rightarrow B$ માટે $P-V$ વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $P_{0}(V_{0} - 2V_{0}) = -P_{0}V_{0}$ છે. $B \rightarrow C$ માટે,$dV = 0$,તેથી $W = 0$. કુલ કાર્ય $W = -P_{0}V_{0}$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. કારણ કે $\Delta U = 0$ અને $W < 0$,તેથી $\Delta Q < 0$,જેનો અર્થ છે કે ઉષ્મા મુક્ત થાય છે. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે,$\Delta U_{AB} = \frac{3}{2} (P_{B}V_{B} - P_{A}V_{A}) = \frac{3}{2} (P_{0}V_{0} - P_{0}2V_{0}) = -\frac{3}{2} P_{0}V_{0}$. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
ગણતરી મુજબ,કુલ કાર્ય $-P_{0}V_{0}$ છે,તેથી વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_{v}\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta U \propto \Delta T$ હોવાથી,આપણે સમાન પ્રારંભિક અવસ્થા $(P_{0}, V_{0})$ થી સમાન અંતિમ કદ $2V_{0}$ સુધીની ત્રણેય પ્રક્રિયાઓ માટે તાપમાનમાં થતા ફેરફારોની સરખામણી કરીએ છીએ.
પ્રક્રિયા $1$ (સમદાબી) માટે: $T_{initial} = \frac{P_{0}V_{0}}{nR}$,$T_{final} = \frac{P_{0}(2V_{0})}{nR} = 2T_{0}$. તેથી,$\Delta T_{1} = T_{0} > 0$.
પ્રક્રિયા $2$ (સમતાપી) માટે: $T_{initial} = T_{0}$,$T_{final} = T_{0}$. તેથી,$\Delta T_{2} = 0$.
પ્રક્રિયા $3$ (સમોષ્મી) માટે: વાયુનું વિસ્તરણ થતું હોવાથી,તાપમાન ઘટે છે,તેથી $T_{final} < T_{0}$. તેથી,$\Delta T_{3} < 0$.
ફેરફારોની સરખામણી કરતા: $\Delta T_{1} > \Delta T_{2} > \Delta T_{3}$.
તેથી,$\Delta U_{1} > \Delta U_{2} > \Delta U_{3}$.

(B) જ્યારે સ્પ્રિંગ મહત્તમ સંકોચાયેલી હોય,ત્યારે બંને બ્લોક્સ સમાન વેગ $v_{cm}$ થી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv + m(0) = (m + m)v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = \frac{v}{2}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા એ અંતિમ ગતિ ઉર્જા અને મહત્તમ સંકોચન $x$ સમયે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)v_{cm}^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = m(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
$x^2 = \frac{mv^2}{2k} \Rightarrow x = v\sqrt{\frac{m}{2k}}$.

(B) ધારો કે પદાર્થની ઘનતા $\rho_b = 1.2 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$, પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 2.4 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$, પડવાની ઊંચાઈ $h = 1 \text{ m}$ અને પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંડાઈ $d$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, મુક્ત કરવાના બિંદુથી મહત્તમ ઊંડાઈના બિંદુ સુધી પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઉત્પ્લાવક બળ) દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય છે (કારણ કે ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે).
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય = $Mg(h + d) = V \rho_b g (h + d)$.
ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય = $-Bd = -V \rho_l g d$.
થયેલા કાર્યને સરખાવતા: $V \rho_b g (h + d) - V \rho_l g d = 0$.
$Vg$ વડે ભાગતા: $\rho_b (h + d) = \rho_l d$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.2 \times 10^3)(1 + d) = (2.4 \times 10^3) d$.
$1.2(1 + d) = 2.4d$.
$1 + d = 2d$.
$d = 1 \text{ m}$.

(B) બંને ધાતુના તાર સમાન પરિમાણો ધરાવતા હોવાથી,તેમની લંબાઈ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન હશે. ધારો કે તે અનુક્રમે $l$ અને $A$ છે.
પ્રથમ તારનો અવરોધ $R_1 = \frac{l}{\sigma_1 A}$ ...$(i)$
બીજા તારનો અવરોધ $R_2 = \frac{l}{\sigma_2 A}$ ...$(ii)$
તેઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,તેમનો અસરકારક અવરોધ $R_s = R_1 + R_2$ થાય.
$R_s = \frac{l}{\sigma_1 A} + \frac{l}{\sigma_2 A} = \frac{l}{A} \left( \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2} \right)$ ...$(iii)$
જો $\sigma_{eff}$ એ સંયોજનની અસરકારક વાહકતા હોય,તો કુલ લંબાઈ $2l$ થાય અને કુલ અવરોધ $R_s = \frac{2l}{\sigma_{eff} A}$ થાય ...$(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2l}{\sigma_{eff} A} = \frac{l}{A} \left( \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2} \right)$
$\frac{2}{\sigma_{eff}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2}$
$\sigma_{eff} = \frac{2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2}$

(D) આવર્તક વિધેય $v(t)$ નું રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) મૂલ્ય $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} v^2(t) dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $v(t)$ એ $0 \le t < \frac{T}{2}$ અંતરાલ માટે $V_0$ છે અને $\frac{T}{2} \le t < T$ અંતરાલ માટે $0$ છે.
તેથી,$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \left[ \int_{0}^{T/2} V_0^2 dt + \int_{T/2}^{T} 0^2 dt \right]$.
$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \left[ V_0^2 \cdot \frac{T}{2} + 0 \right] = \frac{V_0^2}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I$ એ વોલ્ટેજ $V$ કરતા $\phi = 90^{\circ}$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) ના ફેઝ એંગલથી પાછળ રહે છે.
$A$.$C$. સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં ફેઝ એંગલ $\phi = 90^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\cos 90^{\circ} = 0$ મળે છે.
તેથી,$P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$.
આમ,શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર કોઈ સરેરાશ પાવરનો વપરાશ કરતું નથી.

(A) કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશનના બોહરના પૂર્વધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
આ સમીકરણ પરથી,આપણે ક્વોન્ટમ નંબર $n$ ને નીચે મુજબ દર્શાવી શકીએ છીએ:
$n = \frac{2\pi m}{h} \cdot (vr)$
અહીં $m$,$h$,અને $\pi$ અચળાંકો હોવાથી,આપણને મળે છે:
$n \propto vr$
તેથી,રાશિ $vr$ એ ક્વોન્ટમ નંબર $n$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુના ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
પરમાણુને $n$-માં ઉર્જા સ્તર સુધી ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_n - E_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_n = -13.6/n^2 \text{ eV}$ છે.
$n=2$ માટે,$\Delta E = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \text{ eV}$.
$n=3$ માટે,$\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \text{ eV}$.
$n=4$ માટે,$\Delta E = -0.85 - (-13.6) = 12.75 \text{ eV}$.
આપેલ ઇલેક્ટ્રોન બીમની ઉર્જા $12.5 \text{ eV}$ હોવાથી,તે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓને $n=3$ સ્તર $(12.09 \text{ eV})$ સુધી ઉત્તેજિત કરવા માટે પૂરતી ઉર્જા આપી શકે છે,પરંતુ $n=4$ સ્તર $(12.75 \text{ eV})$ સુધી પહોંચવા માટે પૂરતી ઉર્જા નથી.
તેથી,હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ $n=3$ ઉર્જા સ્તર સુધી ઉત્તેજિત થશે.

(C) કાર્બન અવરોધ માટેના કલર કોડ મુજબ:
$1$. પ્રથમ પટ્ટો લાલ (Red) છે,જે અંક $2$ દર્શાવે છે.
$2$. બીજો પટ્ટો પીળો (Yellow) છે,જે અંક $4$ દર્શાવે છે.
$3$. ત્રીજો પટ્ટો નારંગી (Orange) છે,જે ગુણક $10^3$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$4$. અહીં ચોથો પટ્ટો ન હોવાથી,ટોલરન્સ (સહિષ્ણુતા) $\pm 20\%$ લેવામાં આવે છે.
તેથી,અવરોધનું મૂલ્ય $R = 24 \times 10^3 \Omega = 24 \text{ k}\Omega \pm 20\%$ થાય છે.

(A, B) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = a \cos \omega_{0} t + \frac{a}{2} [\sin(\omega + \omega_{0})t + \sin(\omega - \omega_{0})t]$ છે.
આ ત્રણ આવૃત્તિઓની હાજરી સૂચવે છે: $f_{0} = \frac{\omega_{0}}{2\pi}$,$f_{1} = \frac{\omega + \omega_{0}}{2\pi}$,અને $f_{2} = \frac{|\omega - \omega_{0}|}{2\pi}$.
મહત્તમ ઊર્જા સૌથી વધુ આવૃત્તિ $f_{1} = \frac{6 \times 10^{15}}{2\pi} \text{ Hz}$ ને અનુરૂપ છે.
આ ફોટોનની ઊર્જા $E_{max} = h f_{1} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{15}}{2 \times 3.14 \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \approx 3.95 \text{ eV}$ છે.
આપેલ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s} = 2 \text{ V}$ છે,તેથી $KE_{max} = 2 \text{ eV}$.
$KE_{max} = E_{max} - \phi$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \text{ eV} = 3.95 \text{ eV} - \phi$,તેથી $\phi = 1.95 \text{ eV}$.
આવૃત્તિ $\omega = 10^{15} \text{ s}^{-1}$ માટે,ઊર્જા $E = h(\frac{\omega}{2\pi}) \approx 0.66 \text{ eV}$ છે.
કારણ કે $E < \phi$,તેથી $\omega$ આવૃત્તિ માટે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર શક્ય નથી.
આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_{s} = hf - \phi$ એ $V_{s}$ અને $f$ વચ્ચેનો સીધી રેખાનો આલેખ દર્શાવે છે.

(A, B, D) $M$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા ગજિયા ચુંબકને કારણે $x$ અંતરે અક્ષીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{x^3}$ છે.
$x >> a$ હોવાથી,$A = \pi a^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{x^3} \cdot \pi a^2$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{\mu_0}{4\pi} 2M \pi a^2 \frac{d}{dt}(x^{-3}) = -\frac{\mu_0}{4\pi} 2M \pi a^2 (-3x^{-4}) \frac{dx}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dx}{dt} = -v$ હોવાથી (કારણ કે $x$ ઘટે છે),$\epsilon = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{6M \pi a^2 v}{x^4}$. આમ,$\epsilon \propto \frac{1}{x^4}$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\epsilon}{R} \propto \frac{1}{x^4}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_{coil} = i \cdot A = i \cdot \pi a^2 \propto \frac{1}{x^4} \cdot a^2$.
ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર $P = i^2 R \propto (x^{-4})^2 = \frac{1}{x^8}$. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે,$\vec{E} = 90 \sin (0.5 \times 10^{3} x + 1.5 \times 10^{11} t) \hat{k} \text{ V/m}$.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $\vec{E} = E_{0} \sin (kx + \omega t) \hat{n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $E_{0} = 90 \text{ V/m}$ મળે છે.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $-\hat{i}$ છે (કારણ કે દલીલ $kx + \omega t$ છે).
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_{0} = \frac{E_{0}}{c} = \frac{90}{3 \times 10^{8}} = 3 \times 10^{-7} \text{ T}$ છે.
પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{E}$ એ $\hat{k}$ ની દિશામાં છે અને પ્રસરણની દિશા $-\hat{i}$ છે.
તેથી,$\hat{k} \times \hat{B} = -\hat{i}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$,તેથી $\vec{B}$ એ $\hat{j}$ ની દિશામાં હોવું જોઈએ.
આમ,$\vec{B} = 3 \times 10^{-7} \sin (0.5 \times 10^{3} x + 1.5 \times 10^{11} t) \hat{j} \text{ T}$.

(C) વિદ્યુતભાર $q_{3}$ સંતુલનમાં રહે તે માટે તેના પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $q_{1}$ થી $q_{3}$ નું અંતર $x$ છે. $q_{1}$ ને કારણે લાગતું બળ $F_{1} = \frac{k q_{1} q_{3}}{x^{2}}$ અને $q_{2}$ ને કારણે લાગતું બળ $F_{2} = \frac{k q_{2} q_{3}}{(d-x)^{2}}$ છે.
સંતુલન માટે,$F_{1} = F_{2}$ (મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ).
$\frac{k q_{1} q_{3}}{x^{2}} = \frac{k q_{2} q_{3}}{(d-x)^{2}}$
$\frac{q_{1}}{x^{2}} = \frac{q_{2}}{(d-x)^{2}}$
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે સ્થાન $x$ માત્ર $q_{1}$ અને $q_{2}$ ના મૂલ્યો અને અંતર $d$ પર આધાર રાખે છે. સમીકરણની બંને બાજુએથી વિદ્યુતભાર $q_{3}$ ઉડી જાય છે.
તેથી,સંતુલન સ્થાન એ ત્રીજા વિદ્યુતભાર $q_{3}$ ની સંજ્ઞા અને મૂલ્યથી સ્વતંત્ર છે.
આમ,તે $q_{3}$ ની સંજ્ઞાને ધ્યાનમાં લીધા વગર શક્ય છે.

(D) '$a$' ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત રીંગની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી '$z$' અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_z$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qz}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$
જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય તે સ્થાન શોધવા માટે,આપણે $E_z$ નું '$z$' ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dE_z}{dz} = 0$
$\frac{d}{dz} \left[ \frac{Qz}{(z^2 + a^2)^{3/2}} \right] = 0$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(z^2 + a^2)^{3/2} - z \cdot \frac{3}{2}(z^2 + a^2)^{1/2} \cdot 2z = 0$
$(z^2 + a^2)^{3/2} = 3z^2(z^2 + a^2)^{1/2}$
$z^2 + a^2 = 3z^2$
$2z^2 = a^2$
$z = \frac{a}{\sqrt{2}}$
આલેખની આડી ધરી $Z/a$ દર્શાવતી હોવાથી,$M$ યામ $z/a = 1/\sqrt{2}$ ને અનુરૂપ છે.

(D) $\sigma$ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતી અનંત સમતલ શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ શીટને લંબ એકમ સદિશ છે જે શીટથી દૂરની દિશામાં છે.
બિંદુ $(0, 2a, 0)$ પર,સ્થાન $Y=2a$ છે.
$1$. $Y=a$ પર $-\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે: બિંદુ શીટની જમણી બાજુએ છે. ક્ષેત્ર શીટ તરફ (ઋણ $Y$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_1 = -\frac{-\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j}$.
$2$. $Y=3a$ પર $2\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે: બિંદુ શીટની ડાબી બાજુએ છે. ક્ષેત્ર શીટથી દૂર (ઋણ $Y$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_2 = -\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{j}$.
$3$. $Y=4a$ પર $4\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે: બિંદુ શીટની ડાબી બાજુએ છે. ક્ષેત્ર શીટથી દૂર (ઋણ $Y$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_3 = -\frac{4\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{j}$.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{4\sigma}{2\varepsilon_0} \right) \hat{j} = \frac{\sigma - 2\sigma - 4\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = -\frac{5\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j}$.

(C) $1$. આંતરિક ગોળા પર $q$ વિદ્યુતભાર છે. પ્રેરણને કારણે, કવચની આંતરિક સપાટી ($a$ ત્રિજ્યા) પર $-q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
$2$. કવચ અર્થિંગ કરેલી હોવાથી, તેનું સ્થિતિમાન શૂન્ય છે. કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{shell} = -q + q' = 0$ છે, જ્યાં $q'$ એ બાહ્ય સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર છે. અર્થિંગને કારણે, બાહ્ય સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર શૂન્ય થઈ જાય છે. આમ, આંતરિક સપાટી પર $-q$ અને બાહ્ય સપાટી પર $0$ વિદ્યુતભાર રહે છે.
$3$. ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન એ ગોળા, કવચની આંતરિક સપાટી અને કવચની બાહ્ય સપાટીને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$4$. $V_{centre} = V_{sphere} + V_{inner_shell} + V_{outer_shell} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q}{R} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{-q}{a} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{0}{b} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{a} \right)$.

(B) અનંત લંબાઈના તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તાર માટે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી અંતર $r = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને પ્રવાહની દિશા $\hat{k}$ ને લંબ હોય છે.
બિંદુ $L(-1, 1)$ પરના તાર માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}_L = -\hat{i} + \hat{j}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_L$ એ $\vec{I} \times \vec{r}_L = \hat{k} \times (-\hat{i} + \hat{j}) = -\hat{j} - \hat{i}$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $M(-1, -1)$ પરના તાર માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}_M = -\hat{i} - \hat{j}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_M$ એ $\vec{I} \times \vec{r}_M = \hat{k} \times (-\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{j} + \hat{i}$ ના પ્રમાણમાં છે.
બંને ક્ષેત્રોનો સરવાળો કરતા,$\hat{i}$ ઘટકો રદ થાય છે: $\vec{B}_{net} = \vec{B}_L + \vec{B}_M = 2 \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \times \sin(\theta) \hat{j}$,જ્યાં $\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\vec{B}_{net} = 2 \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi \sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \hat{j}$.

(D) પ્રવાહ ધારિત વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + d^{2})^{3/2}}$
જ્યારે સળિયાને $T$ આવર્તકાળ સાથે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય પ્રવાહ $I$ છે:
$I = \frac{q}{T} = \frac{\lambda (2 \pi R)}{T}$
$I$ ની કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_{0} (2 \pi R \lambda / T) R^{2}}{2(R^{2} + d^{2})^{3/2}}$
$d >> R$ માટે,આપણે $(R^{2} + d^{2})^{3/2} \approx (d^{2})^{3/2} = d^{3}$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર બને છે:
$B \approx \frac{\mu_{0} (2 \pi R \lambda) R^{2}}{2 T d^{3}} = \frac{\mu_{0} \pi \lambda}{T} \frac{R^{3}}{d^{3}}$
આને આપેલા સ્વરૂપ $B \propto \frac{R^{m}}{d^{n}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 3$ અને $n = 3$ મળે છે.

(A, C) જો કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R$ એ વિસ્તાર-$b$ ની પહોળાઈ $L$ કરતા વધારે હોય તો જ કણ વિસ્તાર-$c$ માં પ્રવેશે છે.
$R = \frac{mv}{qB}$ હોવાથી,વિસ્તાર-$c$ માં પ્રવેશવા માટેની શરત $\frac{mv}{qB} > L$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v > \frac{qBL}{m}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,જેનાથી વિસ્તાર-$b$ માં કણનો પથ વર્તુળાકાર બને છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
વિસ્તાર-$b$ માં વિતાવેલો સમય $t = \frac{\theta}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો છે અને $\omega = \frac{qB}{m}$ એ કોણીય વેગ છે. ખૂણો $\theta$ એ ત્રિજ્યા $R$ (અને તેથી વેગ $v$) પર આધારિત હોવાથી,વિસ્તાર-$b$ માં વિતાવેલો સમય વેગ $v$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(A) $1$. પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,ક્યુરીના નિયમ મુજબ,$\chi = \frac{C}{T}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\chi} = \frac{T}{C}$. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. ક્યુરી તાપમાન $(T_c)$ થી ઉપરના ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,સસેપ્ટિબિલિટી ક્યુરી-વેઈસના નિયમનું પાલન કરે છે: $\chi = \frac{C}{T - T_c}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\chi} = \frac{T - T_c}{C}$. આ ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી નથી.
$3$. ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ નાની,ઋણ અને તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોય છે. તેથી,$\frac{1}{\chi}$ એ અચળ ઋણ મૂલ્ય છે,જે $\frac{1}{\chi}$ વિરુદ્ધ $T$ ના આલેખમાં આડી રેખા (શૂન્ય ઢાળ) આપે છે.
$4$. આપેલી આકૃતિમાં,રેખા $A$ ધન ઢાળ સાથે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,જે દર્શાવે છે કે તે પેરામેગ્નેટિક છે. રેખા $B$ એ આડી રેખા (શૂન્ય ઢાળ) છે,જે દર્શાવે છે કે તે ડાયામેગ્નેટિક છે.
$5$. તેથી,$A$ પેરામેગ્નેટિક છે અને $B$ ડાયામેગ્નેટિક છે.

(D) ગોળીય વક્રીભવન સપાટીનો પાવર $P = \frac{n_2 - n_1}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_1$ એ વસ્તુના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,$n_2$ એ પ્રતિબિંબના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે અને $R$ એ મીટરમાં વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $P = 5 \text{ D}$,$n_1 = 1.0$,$n_2 = \frac{4}{3}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{\frac{4}{3} - 1}{R}$
$5 = \frac{\frac{1}{3}}{R}$
$R = \frac{1}{15} \text{ m} = 6.67 \text{ cm}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે ગણતરી કરીએ તો સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) પરાવર્તક સપાટીનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
આ $\frac{dy}{dx}$ એ બિંદુ $M$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ દર્શાવે છે. બિંદુ $M$ પરનો લંબ $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે કારણ કે આપાત કિરણ આડું છે અને પરાવર્તિત કિરણ ઊભું છે.
કિરણ $90^{\circ}$ વળવા માટે ( $+x$ થી $+y$ તરફ),$M$ પરનો લંબ $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવવો જોઈએ.
લંબનો ઢાળ $\tan(45^{\circ}) = 1$ છે. લંબ એ સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $-1$ થશે.
આમ,$-\frac{x}{y} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.
સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ માં $x = y$ મૂકતા,આપણને $2x^{2} = R^{2}$ મળે છે,તેથી $x = \pm \frac{R}{\sqrt{2}}$.
પરાવર્તનની ભૂમિતિના આધારે,બિંદુ $M$ બીજા ચરણમાં હોવું જોઈએ,જ્યાં $x < 0$ અને $y > 0$ છે.
તેથી,યામ $M = \left(-\frac{R}{\sqrt{2}}, \frac{R}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં, $9 \text{ V}$ ની બેટરી ડાયોડના એનોડ સાથે જોડાયેલ છે અને $10 \text{ V}$ ની બેટરી $1 \text{ k}\Omega$ ના અવરોધ દ્વારા કેથોડ સાથે જોડાયેલ છે.
કેથોડ પરનું પોટેન્શિયલ $(10 \text{ V})$ એ એનોડ પરના પોટેન્શિયલ $(9 \text{ V})$ કરતા વધારે હોવાથી, ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં છે.
આદર્શ ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે, જેનો અર્થ છે કે તે અનંત અવરોધ આપે છે.
તેથી, સર્કિટમાં કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ, ડાયોડમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $0 \text{ mA}$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટ $XOR$ ગેટ દર્શાવે છે,જે $Y = A \oplus B = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$ ઓપરેશન કરે છે.
ઇનપુટ્સ $(A=0, B=1)$ માટે:
$Y = 0 \cdot \overline{1} + \overline{0} \cdot 1 = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 = 1$.
ઇનપુટ્સ $(A=0, B=0)$ માટે:
$Y = 0 \cdot \overline{0} + \overline{0} \cdot 0 = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$.
આમ,આઉટપુટ અનુક્રમે $1$ અને $0$ છે.

(C) $\text{n}^{th}$ ક્રમના મહત્તમનું સ્થાન $x_n = n \frac{D \lambda}{d}$ છે।
$\text{n}^{th}$ ક્રમના ન્યૂનતમનું સ્થાન $x'_n = (n - 0.5) \frac{D \lambda}{d}$ છે।
$3^{rd}$ ક્રમના મહત્તમ $(n=3)$ અને $3^{rd}$ ક્રમના ન્યૂનતમ $(n=3)$ વચ્ચેનું અંતર:
$\Delta x = x_3 - x'_3 = 3 \frac{D \lambda}{d} - (3 - 0.5) \frac{D \lambda}{d} = 0.5 \frac{D \lambda}{d} = \frac{\beta}{2}$.
આપેલ છે: $\Delta x = 0.18 \,cm = 1.8 \times 10^{-3} \,m$, $D = 1.2 \,m$, અને $d = 0.02 \,cm = 2 \times 10^{-4} \,m$.
$\frac{\beta}{2} = 1.8 \times 10^{-3} \,m \implies \beta = 3.6 \times 10^{-3} \,m$.
$\beta = \frac{D \lambda}{d}$ હોવાથી, $\lambda = \frac{\beta d}{D}$.
$\lambda = \frac{(3.6 \times 10^{-3} \,m) \times (2 \times 10^{-4} \,m)}{1.2 \,m} = 6 \times 10^{-7} \,m = 600 \,nm$.