ધારો કે $A, B, C$ એ ગણ $S$ ના ત્રણ અરિક્ત ઉપગણો છે. ધારો કે $(A \cap C) \cup (B \cap C^{\prime}) = \phi$,જ્યાં $C^{\prime}$ એ $S$ માં ગણ $C$ નો પૂરક ગણ દર્શાવે છે. તો:

ગણ $A$ અને $B$ માં અનુક્રમે $3$ અને $6$ ઘટકો છે. $A \cup B$ માં ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા કેટલી હોઈ શકે?

$100$ વિદ્યાર્થીઓના વર્ગમાં,$15$ વિદ્યાર્થીઓએ માત્ર ભૌતિકવિજ્ઞાન (પરંતુ ગણિત અને રસાયણશાસ્ત્ર નહીં),$3$ વિદ્યાર્થીઓએ માત્ર રસાયણશાસ્ત્ર (પરંતુ ગણિત અને ભૌતિકવિજ્ઞાન નહીં),અને $45$ વિદ્યાર્થીઓએ માત્ર ગણિત (પરંતુ ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણશાસ્ત્ર નહીં) પસંદ કર્યું છે. બાકીના વિદ્યાર્થીઓમાંથી,એવું જાણવા મળ્યું છે કે $23$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણશાસ્ત્ર લીધું છે,$20$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાન અને ગણિત લીધું છે,અને $12$ એ ગણિત અને રસાયણશાસ્ત્ર લીધું છે. ત્રણેય વિષયો પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા કેટલી છે?

$A$ અને $B$ બે ગણ છે જેમાં અનુક્રમે $3$ અને $6$ ઘટકો છે. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો. વિધાન $(I)$: $A \cup B$ માં ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $6$ છે. વિધાન $(II)$: $A \cap B$ માં ઘટકોની મહત્તમ સંખ્યા $3$ છે. નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ અને $B = \{3, 6, 7, 9\}$ છે. તો ગણ $\{ C \subseteq A : C \cap B \neq \phi \}$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી થાય?

$4$-અંકી એવી સંખ્યાઓની સંખ્યા શોધો જે $7$ કે $3$ ના ગુણક ન હોય.