WBJEE 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) आपतित किरण का समीकरण $x + \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ है।
$x$-अक्ष पर आपतन बिंदु $A$ ज्ञात करें ($y=0$ रखने पर): $x + \sqrt{3}(0) = \sqrt{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$. अतः,$A = (\sqrt{3}, 0)$.
आपतित किरण पर एक बिंदु $B$ लें,जैसे $x=0$ $\Rightarrow \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ $\Rightarrow y=1$. अतः,$B = (0, 1)$.
परावर्तित किरण $A(\sqrt{3}, 0)$ और $x$-अक्ष के सापेक्ष $B(0, 1)$ के प्रतिबिंब $B'(0, -1)$ से होकर गुजरती है।
परावर्तित किरण $AB'$ की ढाल $m = \frac{-1 - 0}{0 - \sqrt{3}} = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
परावर्तित किरण का समीकरण $y - 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - \sqrt{3})$ है।
$\sqrt{3}y = x - \sqrt{3}$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-6x-2=0$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$x^{n}-6x^{n-1}-2x^{n-2}=0$
$\Rightarrow x^{n}-2x^{n-2}=6x^{n-1}$
$x = \alpha$ और $x = \beta$ के लिए:
$\alpha^{n}-2\alpha^{n-2}=6\alpha^{n-1}$
$\beta^{n}-2\beta^{n-2}=6\beta^{n-1}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^{n}-\beta^{n})-2(\alpha^{n-2}-\beta^{n-2})=6(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})$
$a_{n}=\alpha^{n}-\beta^{n}$ की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$a_{n}-2a_{n-2}=6a_{n-1}$
$n=10$ के लिए:
$a_{10}-2a_{8}=6a_{9}$
अतः,$\frac{a_{10}-2a_{8}}{2a_{9}} = \frac{6a_{9}}{2a_{9}} = 3$.

(C) दिया गया समीकरण: $6^{x}+8^{x}=10^{x}$
दोनों पक्षों को $10^{x}$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{6}{10}\right)^{x}+\left(\frac{8}{10}\right)^{x}=1$
$\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}=1$
माना $f(x) = \left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}$.
चूँकि $\frac{3}{5} < 1$ और $\frac{4}{5} < 1$,दोनों फलन $\left(\frac{3}{5}\right)^{x}$ और $\left(\frac{4}{5}\right)^{x}$ निरंतर ह्रासमान फलन हैं।
इसलिए,उनका योग $f(x)$ भी एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
एक निरंतर ह्रासमान फलन अधिकतम एक बार $1$ का मान ले सकता है।
अवलोकन करने पर,$x=2$ के लिए,$\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2} = \frac{9}{25}+\frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$ है।
अतः,$x=2$ अद्वितीय हल है।
इसलिए,समीकरण का ठीक एक वास्तविक मूल है।

(C) दिया गया है $A = \{(z, w) \mid |z| = |w|\}$ और $B = \{(z, w) \mid z^2 = w^2\}$।
किसी भी $(z, w) \in B$ के लिए,$z^2 = w^2$ होता है,जिसका अर्थ है $z^2 - w^2 = 0$,इसलिए $(z - w)(z + w) = 0$।
इसका मतलब है $z = w$ या $z = -w$।
यदि $z = w$ है,तो $|z| = |w|$,इसलिए $(z, w) \in A$।
यदि $z = -w$ है,तो $|z| = |-w| = |w|$,इसलिए $(z, w) \in A$।
इस प्रकार,$B$ का प्रत्येक अवयव $A$ का भी अवयव है,जिसका अर्थ है $B \subseteq A$।
हालाँकि,$(z, w) = (1, i)$ पर विचार करें। यहाँ $|z| = |1| = 1$ और $|w| = |i| = 1$,इसलिए $|z| = |w|$,जिसका अर्थ है $(1, i) \in A$।
लेकिन $z^2 = 1^2 = 1$ और $w^2 = i^2 = -1$,इसलिए $z^2 \neq w^2$,जिसका अर्थ है $(1, i) \notin B$।
चूंकि $A$ में ऐसे अवयव हैं जो $B$ में नहीं हैं,इसलिए $B \subset A$ सही संबंध है।

(D) माना $z = e^{i \theta}$,जहाँ $\theta \in \mathbb{R}$ और $\theta \neq n\pi$ $(n \in \mathbb{Z})$।
माना $w = \frac{z}{1-z^2}$ है।
$z = e^{i \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$w = \frac{e^{i \theta}}{1 - e^{i 2 \theta}}$
अंश और हर को $e^{i \theta}$ से विभाजित करने पर:
$w = \frac{1}{e^{-i \theta} - e^{i \theta}}$
चूँकि $e^{-i \theta} - e^{i \theta} = -2i \sin \theta$ है,
अतः $w = \frac{1}{-2i \sin \theta} = \frac{i}{2 \sin \theta}$।
यहाँ $w$ का वास्तविक भाग $0$ है।
इसलिए,$w$ का बिंदु पथ $y$-अक्ष है।

(B) दिया गया है $|z|-2=0 \implies |z|=2$। यह मूल बिंदु पर केंद्रित और $2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है,इसलिए $x^2+y^2=4$।
साथ ही,$|z+i|-|z-1|=0 \implies |z+i|=|z-1|$।
माना $z=x+iy$ है। तब $|x+i(y+1)|=|x-1+iy|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+(y+1)^2=(x-1)^2+y^2$।
$x^2+y^2+2y+1=x^2-2x+1+y^2$।
$2y=-2x \implies y=-x$।
$y=-x$ को $x^2+y^2=4$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+(-x)^2=4 \implies 2x^2=4 \implies x^2=2 \implies x=\pm\sqrt{2}$।
यदि $x=\sqrt{2}$ है,तो $y=-\sqrt{2}$,इसलिए $z=\sqrt{2}-i\sqrt{2}=\sqrt{2}(1-i)$।
यदि $x=-\sqrt{2}$ है,तो $y=\sqrt{2}$,इसलिए $z=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}=\sqrt{2}(-1+i)$।
अतः,$z$ के संभावित मान $\sqrt{2}(1-i)$ और $\sqrt{2}(-1+i)$ हैं।

(A) हमें योग $S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + \ldots + 99!$ का इकाई अंक ज्ञात करना है।
सबसे पहले,फैक्टोरियल की गणना करें:
$1! = 1$
$2! = 2 \times 1 = 2$
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
किसी भी $n \ge 5$ के लिए,$n!$ में $5$ और $2$ गुणनखंड होते हैं,इसलिए $n!$ का अंत $0$ पर होता है।
अतः,सभी $n \ge 5$ के लिए,$n!$ का इकाई अंक $0$ है।
योग $S = 1! + 2! + 3! + 4! + (5! + 6! + \ldots + 99!)$ है।
$S$ का इकाई अंक $(1! + 2! + 3! + 4!) + (0 + 0 + \ldots + 0)$ का इकाई अंक है।
$1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33$.
$33$ का इकाई अंक $3$ है।

(C) '$EQUATION$' शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $5$ स्वर $(E, U, A, I, O)$ और $3$ व्यंजन $(Q, T, N)$।
हमें $5$ में से $3$ स्वर और $3$ में से $2$ व्यंजन चुनने हैं।
अक्षरों को चुनने के तरीके = $^5C_3 \times ^3C_2 = 10 \times 3 = 30$।
चूँकि सभी $3$ स्वर एक साथ होने चाहिए,हम $3$ स्वरों को एक ब्लॉक के रूप में मानते हैं। अब हमारे पास $1$ स्वरों का ब्लॉक और $2$ व्यंजन हैं,कुल $3$ इकाइयों को व्यवस्थित करना है।
इन $3$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके = $3! = 6$।
स्वर ब्लॉक के भीतर,$3$ स्वरों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = $30 \times 6 \times 6 = 1080$।

(C) माना $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ उन $4$ प्रश्नों को दिए गए अंक हैं।
हमें समीकरण दिया गया है: $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 10$,जहाँ $x_{i} \geq 2$ प्रत्येक $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए।
माना $y_{i} = x_{i} - 2$. चूँकि $x_{i} \geq 2$,इसलिए $y_{i} \geq 0$.
समीकरण में $x_{i} = y_{i} + 2$ रखने पर:
$(y_{1} + 2) + (y_{2} + 2) + (y_{3} + 2) + (y_{4} + 2) = 10$
$y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + 8 = 10$
$y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} = 2$.
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है,जहाँ $n = 2$ और $r = 4$ है।
तरीकों की संख्या $= \binom{2+4-1}{4-1} = \binom{5}{3} = 10$.

(A) दिए गए संबंध $h(p) = \frac{1}{2}\{h(p+1) + h(p-1)\}$ को $2h(p) = h(p+1) + h(p-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो दर्शाता है कि $h(p+1) - h(p) = h(p) - h(p-1)$.
अतः,अनुक्रम $h(0), h(1), \ldots, h(100)$ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में है।
माना कि सार्व अंतर $d$ है। तब $h(n) = h(0) + nd$.
$h(100) = 20$ और $h(0) = 5$ का उपयोग करने पर,$20 = 5 + 100d$.
$100d = 15 \Rightarrow d = \frac{15}{100} = 0.15$.
इसलिए,$h(1) = h(0) + d = 5 + 0.15 = 5.15$.

(C) चूंकि $\log \left(\frac{5 c}{2 a}\right), \log \left(\frac{7 b}{5 c}\right), \log \left(\frac{2 a}{7 b}\right)$ $A.P.$ में हैं,इसलिए: $\log \left(\frac{5 c}{2 a}\right) + \log \left(\frac{2 a}{7 b}\right) = 2 \log \left(\frac{7 b}{5 c}\right)$
$\log \left(\frac{5 c}{7 b}\right) = \log \left(\frac{49 b^2}{25 c^2}\right)$
$\frac{5 c}{7 b} = \frac{49 b^2}{25 c^2}$ $\Rightarrow 5 c = 7 b$ $\Rightarrow c = \frac{7}{5} b$
चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,$b^2 = ac$. अतः $a = \frac{5}{7} b$.
भुजाएँ $\frac{5}{7} b, b, \frac{7}{5} b$ हैं।
सभी भुजाएँ असमान हैं,इसलिए यह एक विषमबाहु त्रिभुज है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{2}{3} \log _{b} a+\frac{3}{5} \log _{c} b+\frac{5}{2} \log _{a} c=3$.
माना $x = \frac{2}{3} \log _{b} a$,$y = \frac{3}{5} \log _{c} b$,और $z = \frac{5}{2} \log _{a} c$.
यहाँ $x \cdot y \cdot z = (\frac{2}{3} \log _{b} a) \cdot (\frac{3}{5} \log _{c} b) \cdot (\frac{5}{2} \log _{a} c) = 1$ है।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ के अनुसार,यदि $x+y+z=3$ और $xyz=1$ है,तो $x=y=z=1$ होगा।
अतः,$\frac{2}{3} \log _{b} a = 1 \Rightarrow \log _{b} a = \frac{3}{2}$.
$b=9$ रखने पर,$\log _{9} a = \frac{3}{2}$.
इसलिए,$a = 9^{3/2} = 27$.

(D) दी गई व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $A = (1+x)^{2016}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$ और $n = 2017$ पद हैं।
योग $S = A \frac{1-r^n}{1-r} = (1+x)^{2016} \frac{1 - (\frac{x}{1+x})^{2017}}{1 - \frac{x}{1+x}} = (1+x)^{2016} \frac{\frac{(1+x)^{2017} - x^{2017}}{(1+x)^{2017}}}{\frac{1+x-x}{1+x}} = (1+x)^{2016} \frac{(1+x)^{2017} - x^{2017}}{(1+x)^{2017}} \cdot (1+x) = (1+x)^{2017} - x^{2017}$.
हमें दिया गया है $\sum_{i=0}^{2016} a_i x^i = (1+x)^{2017} - x^{2017}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1+x)^{2017}$ का विस्तार करने पर: $(1+x)^{2017} = \sum_{i=0}^{2017} {}^{2017}C_i x^i$.
अतः,$\sum_{i=0}^{2016} a_i x^i = \left( \sum_{i=0}^{2017} {}^{2017}C_i x^i \right) - x^{2017} = \sum_{i=0}^{2016} {}^{2017}C_i x^i$.
$x^{17}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $a_{17} = {}^{2017}C_{17} = \frac{2017!}{17! (2017-17)!} = \frac{2017!}{17! 2000!}$.

(B) माना $x = 7^{7^{...7}}$ ($22$ बार $7$)। हमें $x \pmod{48}$ ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $7^2 = 49 \equiv 1 \pmod{48}$।
चूंकि $7$ का घातांक $7^{7^{...7}}$ ($21$ बार $7$) है,जो स्पष्ट रूप से एक विषम संख्या है,इसलिए घातांक को $2k+1$ के रूप में लें।
तब $7^{2k+1} = 7 \times (7^2)^k = 7 \times (49)^k$।
चूंकि $49 \equiv 1 \pmod{48}$,इसलिए $49^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{48}$।
अतः,$7 \times (49)^k \equiv 7 \times 1 \equiv 7 \pmod{48}$।
शेषफल $7$ है।

(C) $(bc + ca + ab)^{6}$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय द्वारा $\frac{6!}{p! q! r!} (bc)^{p} (ca)^{q} (ab)^{r} = \frac{6!}{p! q! r!} a^{q+r} b^{p+r} c^{p+q}$ है।
हमें $a^{3} b^{4} c^{5}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए घातों की तुलना करने पर:
$q + r = 3$
$p + r = 4$
$p + q = 5$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2(p + q + r) = 12$,अतः $p + q + r = 6$.
प्रत्येक समीकरण को योग से घटाने पर:
$p = 3, q = 2, r = 1$
गुणांक $\frac{6!}{3! 2! 1!} = 60$ है।

(A) माना समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(a \cos \theta, b \sin \theta)$,$B(a \cos \theta, -b \sin \theta)$ और $C(x, y)$ हैं।
समांतर चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \triangle OAB$ का क्षेत्रफल।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |(a \cos \theta)(-b \sin \theta) - (a \cos \theta)(b \sin \theta)| = ab |\sin \theta \cos \theta| = \frac{ab}{2} |\sin 2\theta|$.
अतः,समांतर चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{ab}{2} |\sin 2\theta| = ab |\sin 2\theta|$.
$|\sin 2\theta|$ का अधिकतम मान $1$ है,जो $\theta = \pi / 4$ पर प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अधिकतम क्षेत्रफल $ab$ है जब $\theta = \pi / 4$।

(A) वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $OA = 2$ है और केंद्र $O$ $(0,0)$ है।
चूँकि $MA$ एक स्पर्श रेखा है,$\angle OAM = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAM$ में,कर्ण $OM = 4$ और भुजा $OA = 2$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$MA = \sqrt{OM^{2} - OA^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
चतुर्भुज $MAOB$ दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों,$\triangle OAM$ और $\triangle OBM$ से बना है।
इसलिए,चतुर्भुज $MAOB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\triangle OAM)$ है।
Area $(\triangle OAM) = \frac{1}{2} \times OA \times MA = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ है।
अतः,चतुर्भुज $MAOB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) मान लीजिए $B = (2\alpha, 0)$ है।
चूंकि $A = (0, 4)$,$AB$ का मध्यबिंदु $M = (\alpha, 2)$ है।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{0-4}{2\alpha-0} = -\frac{2}{\alpha}$ है।
$AB$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{MR} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{\alpha}{2}$ है।
$M(\alpha, 2)$ से गुजरने वाली और $\frac{\alpha}{2}$ ढाल वाली रेखा $MR$ का समीकरण $y-2 = \frac{\alpha}{2}(x-\alpha)$ है।
$R$ ज्ञात करने के लिए,$x=0$ रखें: $y-2 = \frac{\alpha}{2}(0-\alpha) \Rightarrow y = 2 - \frac{\alpha^{2}}{2}$।
अतः,$R = (0, 2 - \frac{\alpha^{2}}{2})$ है।
मान लीजिए $P(x, y)$ $MR$ का मध्यबिंदु है। तब $x = \frac{\alpha+0}{2} = \frac{\alpha}{2}$ और $y = \frac{2 + (2 - \alpha^{2}/2)}{2} = 2 - \frac{\alpha^{2}}{4}$ है।
$x = \frac{\alpha}{2}$ से,हमें $\alpha = 2x$ प्राप्त होता है।
$y$ के समीकरण में $\alpha = 2x$ रखने पर: $y = 2 - \frac{(2x)^{2}}{4} = 2 - x^{2}$।
इस प्रकार,$y+x^{2}=2$।

(B) माना $AB$ का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है।
माना $A = (\alpha, -\alpha)$ और $B = (\beta, \beta)$ है।
तब,मध्य-बिंदु $(h, k) = \left(\frac{\alpha+\beta}{2}, \frac{\beta-\alpha}{2}\right)$ है।
अतः,$\alpha+\beta = 2h$ और $\beta-\alpha = 2k$ है।
$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \sqrt{\alpha^{2} + (-\alpha)^{2}} \sqrt{\beta^{2} + \beta^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2\alpha^{2}} \sqrt{2\beta^{2}} = |\alpha\beta| = C$ है।
इस प्रकार,$\alpha^{2}\beta^{2} = C^{2}$ है।
हम जानते हैं कि $(\beta+\alpha)^{2} - (\beta-\alpha)^{2} = 4\alpha\beta$ होता है।
अतः,$4\alpha\beta = (2h)^{2} - (2k)^{2} = 4(h^{2}-k^{2})$,जिसका अर्थ है $\alpha\beta = h^{2}-k^{2}$।
इसे $\alpha^{2}\beta^{2} = C^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(h^{2}-k^{2})^{2} = C^{2}$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $(x^{2}-y^{2})^{2} = C^{2}$ है।

(A) मान लीजिए वृत्त $C$ का केंद्र $O(x_0, y_0)$ और त्रिज्या $r$ है। वृत्त पर किसी भी बिंदु $P$ के निर्देशांक $P(x_0 + r \cos \theta, y_0 + r \sin \theta)$ के रूप में दर्शाए जा सकते हैं।
मान लीजिए $Q$ स्थिर बिंदु $(a, b)$ है।
मान लीजिए $R(h, k)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु है।
तब,$h = \frac{x_0 + r \cos \theta + a}{2}$ और $k = \frac{y_0 + r \sin \theta + b}{2}$ होगा।
इन समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2h - (x_0 + a) = r \cos \theta$
$2k - (y_0 + b) = r \sin \theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(2h - (x_0 + a))^2 + (2k - (y_0 + b))^2 = r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$4(h - \frac{x_0 + a}{2})^2 + 4(k - \frac{y_0 + b}{2})^2 = r^2$
$(h - \frac{x_0 + a}{2})^2 + (k - \frac{y_0 + b}{2})^2 = (\frac{r}{2})^2$
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $(\frac{x_0 + a}{2}, \frac{y_0 + b}{2})$ और त्रिज्या $\frac{r}{2}$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2} = x$ है,जो $y^{2} = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a = 1$,इसलिए $a = \frac{1}{4}$ है।
परवलय $y^{2} = 4ax$ के लिए,किसी बिंदु $(h, k)$ से तीन भिन्न अभिलंब खींचे जाने की शर्त $h > 2a$ है।
यहाँ,बिंदु $(d, 0)$ है,इसलिए $h = d$ है।
मान रखने पर,हमें $d > 2 \times \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$d > \frac{1}{2}$।

(A) दिया गया समीकरण $6y = 2a^3x^2 + 3a^2x - 12a$ है।
$2a^3$ से विभाजित करने पर,$x^2 + \frac{3}{2a}x = \frac{6y + 12a}{2a^3}$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x + \frac{3}{4a})^2 = \frac{48y + 105a}{16a^3}$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $(h, k)$ के लिए $h = -\frac{3}{4a}$ और $k = -\frac{35a}{16}$ है।
$h = -\frac{3}{4a}$ से,$a = -\frac{3}{4h}$ प्राप्त होता है।
$k$ में $a$ का मान रखने पर: $k = \frac{105}{64h}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $xy = \frac{105}{64}$ है।

(C) दो दीर्घवृत्तों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वक्रों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S_1: x^{2}+2y^{2}-6x-12y+20=0$ और $S_2: 2x^{2}+y^{2}-10x-6y+15=0$ है।
$(x^{2}+2y^{2}-6x-12y+20) + \lambda(2x^{2}+y^{2}-10x-6y+15) = 0$
$(1+2\lambda)x^{2} + (2+\lambda)y^{2} - (6+10\lambda)x - (12+6\lambda)y + (20+15\lambda) = 0$
इसके वृत्त निरूपित करने के लिए,$x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांक समान होने चाहिए:
$1+2\lambda = 2+\lambda \Rightarrow \lambda = 1$
समीकरण में $\lambda = 1$ रखने पर:
$3x^{2} + 3y^{2} - 16x - 18y + 35 = 0$
$x^{2} + y^{2} - \frac{16}{3}x - 6y + \frac{35}{3} = 0$
वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{g}{2}, -\frac{f}{2}\right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $2g = -\frac{16}{3}$ और $2f = -6$ है।
केंद्र $= \left(\frac{16/3}{2}, \frac{6}{2}\right) = \left(\frac{8}{3}, 3\right)$.

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+2y^{2}=4$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=4$,अतः $a=2$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ का सहायक वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,सहायक वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=4$ है।
उत्केंद्र कोण $\theta$ के संगत सहायक वृत्त पर स्थित बिंदु के निर्देशांक $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है कि $\theta = 60^{\circ}$ और $a=2$,अतः निर्देशांक $(2 \cos 60^{\circ}, 2 \sin 60^{\circ})$ होंगे।
मान रखने पर,हमें $(2 \times \frac{1}{2}, 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = (1, \sqrt{3})$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना चर वृत्त का केंद्र $O(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। माना दो दिए गए वृत्तों के केंद्र $O_1$ और $O_2$ हैं और उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
चूंकि चर वृत्त दो दिए गए वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है:
$OO_1 = r + r_1$
$OO_2 = r + r_2$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$OO_2 - OO_1 = (r + r_2) - (r + r_1) = r_2 - r_1$
चूंकि $r_1$ और $r_2$ स्थिरांक हैं,इसलिए बिंदु $O$ की दो निश्चित बिंदुओं $O_1$ और $O_2$ से दूरी का अंतर स्थिर रहता है। परिभाषा के अनुसार,यह एक अतिपरवलय का बिंदु पथ है।

(C) हम पहले साइन फलन के अंदर की सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-x-1-\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}$
$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \dots) - x - 1 - \frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{3}}{6} + \dots}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} (\frac{x}{6} + \dots) = 0$
चूंकि फलन $\sin(u)$,$u=0$ पर सतत है,इसलिए हमारे पास है:
$I = \sin(L) = \sin(0) = 0$

(C) हम $1^{\infty}$ रूप की सीमा का मूल्यांकन $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} g(x)(f(x)-1)}$ सूत्र का उपयोग करके करते हैं।
दिया गया है $f(x) = \frac{3x-1}{3x+1}$ और $g(x) = 4x$ है।
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} 4x \left( \frac{3x-1}{3x+1} - 1 \right)$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} 4x \left( \frac{3x-1 - (3x+1)}{3x+1} \right)$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} 4x \left( \frac{-2}{3x+1} \right)$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-8x}{3x+1} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-8}{3 + 1/x} = -\frac{8}{3}$.
अतः,सीमा का मान $e^{-8/3}$ है।

(A) दिया गया है $(A \cap C) \cup (B \cap C^{\prime}) = \phi$।
चूँकि दो समुच्चयों का संघ रिक्त समुच्चय $\phi$ है,इसलिए प्रत्येक समुच्चय रिक्त होना चाहिए।
अतः,$A \cap C = \phi$ और $B \cap C^{\prime} = \phi$।
$B \cap C^{\prime} = \phi$ से,हमें $B \subseteq C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A \cap C = \phi$ और $B \subseteq C$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $A \cap B = \phi$।

(D) एक फलन $f$ को $T$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन कहा जाता है यदि सभी $x$ के लिए $f(x+T) = f(x)$ हो।
योगफल $f+g$ के आवर्ती होने के लिए,एक ऐसा स्थिरांक $T > 0$ होना चाहिए कि $(f+g)(x+T) = (f+g)(x)$ हो।
इसका अर्थ है $f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x)$।
यदि $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ एक परिमेय संख्या है,मान लीजिए $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{p}{q}$ जहाँ $p, q \in \mathbb{Z}^{+}$,तो $qT_{1} = pT_{2} = T$ होगा।
इस स्थिति में,$f(x+T) = f(x)$ और $g(x+T) = g(x)$ है,इसलिए $(f+g)(x+T) = f(x) + g(x)$ होता है।
अतः,यदि उनके आवर्तकालों का अनुपात एक परिमेय संख्या है तो $f+g$ एक आवर्ती फलन है।

(A) मान लीजिए कि निर्देशांक अक्षों पर समतल के अंतःखंड $a, b, c$ हैं। अतः,बिंदु $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि केंद्रक $(1, r, r^2)$ है,इसलिए:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = r \Rightarrow b = 3r$
$\frac{c}{3} = r^2 \Rightarrow c = 3r^2$
अंतःखंड रूप में समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
$a, b, c$ के मान रखने पर,हमें $\frac{x}{3} + \frac{y}{3r} + \frac{z}{3r^2} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल बिंदु $(5, 5, -12)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$\frac{5}{3} + \frac{5}{3r} - \frac{12}{3r^2} = 1$
$3r^2$ से गुणा करने पर,हमें $5r^2 + 5r - 12 = 3r^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2r^2 + 5r - 12 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2r - 3)(r + 4) = 0$।
अतः,$r = \frac{3}{2}$ या $r = -4$।

(C) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy}$ है।
$P(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$ है।
वह बिंदु $G$ जहाँ अभिलंब $x$-अक्ष को मिलता है,उसे ज्ञात करने के लिए $Y = 0$ रखें:
$-y = -\frac{dx}{dy}(X - x) \implies y \frac{dy}{dx} = X - x \implies X = x + y \frac{dy}{dx}$.
बिंदु $G$ $(x + y \frac{dy}{dx}, 0)$ है।
मूल बिंदु से $G$ की दूरी $|x + y \frac{dy}{dx}|$ है। दिया गया है कि यह दूरी $P$ के भुज $(x)$ की दोगुनी है:
$x + y \frac{dy}{dx} = 2x \implies y \frac{dy}{dx} = x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int y \, dy = \int x \, dx \implies \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C \implies y^2 - x^2 = 2C$.
यह एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति को $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4 r)^{3}}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
योग को $\sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{n \sqrt{n}}{\sqrt{(n+4 r)^{3}}} \right) = \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{1}{(1+\frac{4 r}{n})^{3 / 2}} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक रीमान योग है जो निश्चित समाकल $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+4x)^{3/2}}$ में परिवर्तित हो जाता है।
माना $z = 1+4x$,तो $dz = 4dx$,अतः $dx = \frac{dz}{4}$।
जब $x=0, z=1$ और जब $x=1, z=5$।
समाकल $\frac{1}{4} \int_{1}^{5} z^{-3/2} dz = \frac{1}{4} \left[ \frac{z^{-1/2}}{-1/2} \right]_{1}^{5} = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{z}} \right]_{1}^{5}$ होगा।
$= -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} - 1 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} = \frac{5-\sqrt{5}}{10}$।

(B) श्रेणी का $n$ वां पद $t_{n} = \cot^{-1}(2n^2)$ है।
$\cot^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{x}$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$t_{n} = \tan^{-1} \frac{1}{2n^2}$ प्राप्त होता है।
इसे $t_{n} = \tan^{-1} \frac{2}{4n^2} = \tan^{-1} \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$t_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$ प्राप्त होता है।
योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} t_{k} = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1))$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1} 1$.
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर,$\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(B) किसी संबंध को तुल्यता संबंध होने के लिए,उसे स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. $S = \{(x, y) : y = x + 1, 0 < x < 2\}$ का विश्लेषण:
- स्वतुल्यता: $S$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $x \in R$ के लिए $(x, x) \in S$ होना चाहिए। इसके लिए $x = x + 1$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $0 = 1$,जो एक विरोधाभास है। अतः,$S$ स्वतुल्य नहीं है।
- सममितता: $S$ के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in S$,तो $(y, x) \in S$ होना चाहिए। यदि $(x, y) \in S$,तो $y = x + 1$ है। $(y, x) \in S$ के लिए,हमें $x = y + 1$ चाहिए। $y$ का मान रखने पर,$x = (x + 1) + 1 = x + 2$ प्राप्त होता है,जो असंभव है। अतः,$S$ सममित नहीं है।
- चूंकि $S$ न तो स्वतुल्य है और न ही सममित,यह एक तुल्यता संबंध नहीं है।
$2$. $T = \{(x, y) : (x - y) \in \mathbb{Z}\}$ का विश्लेषण:
- स्वतुल्यता: $(x - x) = 0$,जो एक पूर्णांक है। अतः,$(x, x) \in T$.
- सममितता: यदि $(x, y) \in T$,तो $(x - y) = k$ जहाँ $k \in \mathbb{Z}$। तब $(y - x) = -k$,जो भी एक पूर्णांक है। अतः,$(y, x) \in T$.
- संक्रामकता: यदि $(x, y) \in T$ और $(y, z) \in T$,तो $(x - y) = k_1$ और $(y - z) = k_2$ जहाँ $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$। इन्हें जोड़ने पर,$(x - z) = k_1 + k_2$,जो एक पूर्णांक है। अतः,$(x, z) \in T$.
- चूंकि $T$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,यह एक तुल्यता संबंध है।
अतः,$T$ $R$ पर एक तुल्यता संबंध है लेकिन $S$ नहीं है।

(C) माना कि दिए गए समीकरण हैं:
$(0\,1\,2) M = (1\,0\,0)$ --- $(i)$
$(3\,4\,5) M = (0\,1\,0)$ --- $(ii)$
हमें $(6\,7\,8) M$ का मान ज्ञात करना है।
पंक्ति सदिशों $(0\,1\,2)$ और $(3\,4\,5)$ के रैखिक संयोजन पर विचार करें।
माना $x(0\,1\,2) + y(3\,4\,5) = (6\,7\,8)$.
घटकों की तुलना करने पर:
$3y = 6 \Rightarrow y = 2$
$x + 4y = 7 \Rightarrow x + 8 = 7 \Rightarrow x = -1$
$2x + 5y = 2(-1) + 5(2) = -2 + 10 = 8$. यह तीसरे घटक से मेल खाता है।
अतः, $(6\,7\,8) = -1(0\,1\,2) + 2(3\,4\,5)$.
दाहिनी ओर $M$ से गुणा करने पर:
$(6\,7\,8) M = -1((0\,1\,2) M) + 2((3\,4\,5) M)$
$(6\,7\,8) M = -1(1\,0\,0) + 2(0\,1\,0)$
$(6\,7\,8) M = (-1\,0\,0) + (0\,2\,0) = (-1\,2\,0)$.

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ विषम-सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\top} = -A$ और $B^{\top} = -B$ है।
दिया गया है कि $AB = BA$ है।
हमें व्यंजक $E = A^{2} B^{2} (A^{\top} B)^{-1} (A B^{-1})^{\top}$ का मान ज्ञात करना है।
$A^{\top} = -A$ प्रतिस्थापित करने पर,$E = A^{2} B^{2} (-AB)^{-1} (A B^{-1})^{\top}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$ और $(XY)^{\top} = Y^{\top} X^{\top}$ का उपयोग करने पर:
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) ((B^{-1})^{\top} A^{\top})$।
चूंकि $(B^{-1})^{\top} = (B^{\top})^{-1} = (-B)^{-1} = -B^{-1}$,इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) (-B^{-1} (-A))$।
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) (B^{-1} A)$।
चूंकि $AB = BA$ है,इसलिए $A^{-1} B = B A^{-1}$ और $A B^{-1} = B^{-1} A$ होता है।
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1} B^{-1} A)$।
$E = -A^{2} B^{2} B^{-1} A^{-1} B^{-1} A$।
$E = -A^{2} B (B B^{-1}) A^{-1} B^{-1} A$।
$E = -A^{2} B (I) A^{-1} B^{-1} A$।
$E = -A^{2} (B A^{-1}) B^{-1} A$।
चूंकि $B A^{-1} = A^{-1} B$ है:
$E = -A^{2} A^{-1} B B^{-1} A$।
$E = -A (I) (I) A = -A^{2}$।

(C) अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I_{3}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सारणिक की गणना करने पर:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \cos t-\lambda & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(1-\lambda) [(\cos t - \lambda)^2 - (-\sin^2 t)] = 0$.
$(1-\lambda) [\cos^2 t - 2\lambda \cos t + \lambda^2 + \sin^2 t] = 0$.
चूंकि $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$,हमारे पास है:
$(1-\lambda) [\lambda^2 - 2\lambda \cos t + 1] = 0$.
इसका विस्तार करने पर:
$-\lambda^3 + \lambda^2(1 + 2\cos t) - \lambda(2\cos t + 1) + 1 = 0$.
त्रिघात समीकरण $a\lambda^3 + b\lambda^2 + c\lambda + d = 0$ के मूलों का योग $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = -b/a$ होता है।
यहाँ,$\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = -\frac{1 + 2\cos t}{-1} = 1 + 2\cos t$.
दिया गया है कि $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = \sqrt{2} + 1$,इसलिए:
$1 + 2\cos t = 1 + \sqrt{2} \Rightarrow 2\cos t = \sqrt{2} \Rightarrow \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$-\pi \leq t < \pi$ के लिए,$\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ को संतुष्ट करने वाले $t$ के मान $t = \frac{\pi}{4}$ और $t = -\frac{\pi}{4}$ हैं।

(D) मान लीजिए $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ है। तब $n$-वाँ पद $a_n = ar^{n-1}$ है।
लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log a_n = \log a + (n-1) \log r$.
मान लीजिए $A = \log a$ और $D = \log r$ है। तब $\log a_n = A + (n-1)D$ होगा।
सारणिक इस प्रकार होगा:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} A+(n-1)D & A+nD & A+(n+1)D \\ A+(n+2)D & A+(n+3)D & A+(n+4)D \\ A+(n+5)D & A+(n+6)D & A+(n+7)D \end{array}\right|$
अब पंक्ति संक्रिया $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$R_2 - R_1 = \begin{bmatrix} 3D & 3D & 3D \end{bmatrix}$
$R_3 - R_2 = \begin{bmatrix} 3D & 3D & 3D \end{bmatrix}$
चूंकि दो पंक्तियाँ ($R_2$ और $R_3$) समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+10 & a b & a c \\ a b & b^{2}+10 & b c \\ a c & b c & c^{2}+10\end{array}\right|$.
$R_1$ को $a$ से,$R_2$ को $b$ से और $R_3$ को $c$ से गुणा करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left|\begin{array}{ccc}a(a^{2}+10) & a^2 b & a^2 c \\ ab^2 & b(b^{2}+10) & b^2 c \\ ac^2 & bc^2 & c(c^{2}+10)\end{array}\right|$.
$C_1, C_2, C_3$ से क्रमशः $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+10 & a^{2} & a^{2} \\ b^{2} & b^{2}+10 & b^{2} \\ c^{2} & c^{2} & c^{2}+10\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b^2 & b^2+10 & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2+10\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ b^2 & 10 & 0 \\ c^2 & 0 & 10\end{array}\right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \times (10 \times 10) = 100(a^2+b^2+c^2+10)$.
अतः,सारणिक $100$ से विभाज्य है।

(D) दिया गया सारणिक: $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & 3x+2 & 2x-1 \\ 2x-1 & 4x & 3x+1 \\ 7x-2 & 17x+6 & 12x-1\end{array}\right| = 0$.
पंक्ति संक्रिया $R_{3} \rightarrow R_{3} - 3R_{1} - 2R_{2}$ लागू करने पर:
तीसरी पंक्ति के अवयवों के लिए:
$R_{3,1} = (7x-2) - 3(x) - 2(2x-1) = 7x - 2 - 3x - 4x + 2 = 0$.
$R_{3,2} = (17x+6) - 3(3x+2) - 2(4x) = 17x + 6 - 9x - 6 - 8x = 0$.
$R_{3,3} = (12x-1) - 3(2x-1) - 2(3x+1) = 12x - 1 - 6x + 3 - 6x - 2 = 0$.
चूंकि तीसरी पंक्ति के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $x$ के सभी मानों के लिए $0$ है।
अतः,यह समीकरण $x$ के अनंत मानों के लिए सत्य है।

(B) दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq 5$ है।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x$ के लिए,$0$ और $x$ के बीच एक ऐसा $c$ मौजूद है कि $f(x) - f(0) = f^{\prime}(c)(x - 0)$।
चूंकि $f(0) = 0$,हमारे पास $f(x) = f^{\prime}(c) \cdot x$ है।
$x = 1$ के लिए,$f(1) = f^{\prime}(c) \cdot 1 = f^{\prime}(c)$।
चूंकि $|f^{\prime}(c)| \leq 5$,इसलिए $|f(1)| \leq 5$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,समाकलन का उपयोग करते हुए:
$\int_{0}^{1} -5 \, dx \leq \int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \, dx \leq \int_{0}^{1} 5 \, dx$
$-5 \leq f(1) - f(0) \leq 5$
चूंकि $f(0) = 0$,हमें $-5 \leq f(1) \leq 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(1) \in [-5, 5]$।

(B) स्थिर बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $f(c) = c$ रखते हैं।
$1 + \sqrt{c} = c$
$\sqrt{c} = c - 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर ($c \geq 1$ के लिए):
$c = (c - 1)^2$
$c = c^2 - 2c + 1$
$c^2 - 3c + 1 = 0$
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$c = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूंकि $c \geq 1$,हम मानों की जांच करते हैं:
$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618 \geq 1$ (मान्य)
$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.382 < 1$ (अमान्य)
अतः,$[1, \infty)$ डोमेन में केवल एक ही स्थिर बिंदु है।

(C) माना $g(x) = f_{2}(x) - f_{1}(x) = 2 + \ln x - x$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $g(x) = 0$ को हल करते हैं।
अवकलन $g'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}$ है।
$x \in (0, 1)$ के लिए $g'(x) > 0$ और $x > 1$ के लिए $g'(x) < 0$ है।
अतः,$g(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।
उच्चतम मान $g(1) = 2 + \ln(1) - 1 = 1 > 0$ है।
जैसे $x \to 0^{+}$,$g(x) \to -\infty$। चूँकि $g(1) > 0$,$(0, 1)$ में एक मूल है।
जैसे $x \to \infty$,$g(x) \to -\infty$। चूँकि $g(1) > 0$,$(1, \infty)$ में एक मूल है।
$x = e^{2}$ पर मान लेने पर,$g(e^{2}) = 2 + \ln(e^{2}) - e^{2} = 4 - e^{2} < 0$।
चूँकि $g(1) > 0$ और $g(e^{2}) < 0$,दूसरा मूल $(1, e^{2})$ में स्थित है।
विशेष रूप से,$g(e) = 3 - e > 0$ है,इसलिए मूल $(e, e^{2})$ में है।

(B) समुच्चय $A = \{-1, 0, 1\}$ एक परिमित समुच्चय है जिसकी कार्डिनैलिटी $n(A) = 3$ है।
समुच्चय $T$ में $3 \times 3$ कोटि के सभी ऑर्थोगोनल आव्यूह शामिल हैं। ऑर्थोगोनल आव्यूहों का समूह $O(3)$ एक अनंत समुच्चय है।
समुच्चय $U$ में $3 \times 3$ कोटि के सभी व्युत्क्रमणीय आव्यूह शामिल हैं,जो जनरल लीनियर ग्रुप $GL(3, \mathbb{R})$ है। यह भी एक अनंत समुच्चय है।
दो समुच्चयों के बीच एकैकी-आच्छादक प्रतिचित्रण तभी मौजूद होता है जब उनकी कार्डिनैलिटी समान हो।
चूंकि $n(A) = 3$ है और $T$ तथा $U$ दोनों अनंत समुच्चय हैं,इसलिए $n(A) \neq n(T)$ और $n(A) \neq n(U)$ है।
अतः,$A$ और $T$ के बीच,या $A$ और $U$ के बीच कोई एकैकी-आच्छादक प्रतिचित्रण मौजूद नहीं है।

(C) दिया गया है: $2f(x) + 3f(-x) = 15 - 4x$ ...$(1)$
समीकरण $(1)$ में $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$2f(-x) + 3f(x) = 15 + 4x$ ...$(2)$
समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$4f(x) + 6f(-x) = 30 - 8x$ ...$(3)$
$6f(x) + 9f(-x) = 45 + 12x$ ...$(4)$
समीकरण $(4)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$5f(x) = 15 + 20x$
$f(x) = 3 + 4x$
अतः,$f(2) = 3 + 4(2) = 3 + 8 = 11$.

(A, D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 0, & -1 \leq x < 0 \\ 1, & x = 0 \\ 2, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$.
$-1 \leq x \leq 0$ के लिए,$F(x) = \int_{-1}^{x} 0 \, dt = 0$.
$0 < x \leq 1$ के लिए,$F(x) = \int_{-1}^{0} 0 \, dt + \int_{0}^{x} 2 \, dt = 0 + [2t]_{0}^{x} = 2x$.
अतः,$F(x) = \begin{cases} 0, & -1 \leq x \leq 0 \\ 2x, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$.
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच:
$\lim_{x \to 0^-} F(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} F(x) = 2(0) = 0$.
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} F(x) = \lim_{x \to 0^+} F(x) = F(0) = 0$,इसलिए $F(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ में सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच:
बायाँ अवकलज $LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{F(0+h) - F(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0 - 0}{h} = 0$.
दायाँ अवकलज $RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{F(0+h) - F(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(0+h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $x = 0$ पर $F'(x)$ का अस्तित्व नहीं है। अतः,विकल्प $A$ और $D$ सही हैं।

(A) अवकलज $df$ को $df = f'(x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log_{e}(1 + e^{10x}) - \tan^{-1}(e^{5x})]$
$f'(x) = \frac{1}{1 + e^{10x}} \cdot (10e^{10x}) - \frac{1}{1 + (e^{5x})^2} \cdot (5e^{5x})$
$f'(x) = \frac{10e^{10x}}{1 + e^{10x}} - \frac{5e^{5x}}{1 + e^{10x}}$
$x = 0$ पर,$e^{10(0)} = e^0 = 1$ और $e^{5(0)} = e^0 = 1$ है।
$f'(0) = \frac{10(1)}{1 + 1} - \frac{5(1)}{1 + 1} = \frac{10}{2} - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.
अब,$dx = 0.2$ के लिए अवकलज की गणना करें:
$df = f'(0) \cdot dx = 2.5 \cdot 0.2 = 0.5$.

(B) दिया गया है $y=\sin ^{-1}\left(\frac{5 x+12 \sqrt{1-x^{2}}}{13}\right)$.
माना $x = \cos \theta$,तब $\sqrt{1-x^2} = \sin \theta$.
साथ ही,माना $\sin \alpha = \frac{5}{13}$,तब $\cos \alpha = \frac{12}{13}$.
इन मानों को $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \sin^{-1}(\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta)$
$y = \sin^{-1}(\sin(\alpha + \theta)) = \alpha + \theta$
$y = \sin^{-1}(\frac{5}{13}) + \cos^{-1}(x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर $y_1 \sqrt{1-x^2} = -1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y_1^2 (1-x^2) = 1$.
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$2y_1 y_2 (1-x^2) + y_1^2 (-2x) = 0$
$2y_1$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $y_1 \neq 0$):
$y_2(1-x^2) - x y_1 = 0$.
इसकी तुलना $a(1-x^2)y_2 + bxy_1 = 0$ से करने पर,हमें $a=1$ और $b=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b) = (1, -1)$.

(B) दिया गया वक्र $y^{2}=2x^{3}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 6x^{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{y}$।
बिंदु $P(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{1} = \frac{3h^{2}}{k}$ है।
दी गई रेखा $4x=3y$ है,अर्थात $y=\frac{4}{3}x$,जिसकी ढाल $m_{2} = \frac{4}{3}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा रेखा के लंबवत है,$m_{1} \times m_{2} = -1$।
अतः,$\left(\frac{3h^{2}}{k}\right) \times \left(\frac{4}{3}\right) = -1 \Rightarrow \frac{4h^{2}}{k} = -1 \Rightarrow k = -4h^{2}$।
चूंकि बिंदु $P(h, k)$ वक्र पर स्थित है,$k^{2} = 2h^{3}$।
$k = -4h^{2}$ को वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-4h^{2})^{2} = 2h^{3} \Rightarrow 16h^{4} = 2h^{3}$।
इससे $2h^{3}(8h - 1) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $h=0$ या $h=\frac{1}{8}$।
यदि $h=0$ है,तो $k=0$ होता है। हालाँकि,$(0,0)$ पर अवकलज $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित है (वक्र में वहां एक नोक है),इसलिए स्पर्श रेखा मानक रूप में परिभाषित नहीं है।
यदि $h=\frac{1}{8}$ है,तो $k = -4(\frac{1}{8})^{2} = -4(\frac{1}{64}) = -\frac{1}{16}$।
अतः,बिंदु $\left(\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}\right)$ है।

(C) मान लीजिए अंतिम वेग $v$ है। कण $B$ के लिए,$v = f't$,इसलिए $t = \frac{v}{f'}$. तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2}f't^2 = \frac{1}{2}f'\left(\frac{v}{f'}\right)^2 = \frac{v^2}{2f'}$.
कण $A$ के लिए,$v = f(t+m)$,इसलिए $t+m = \frac{v}{f}$,जिसका अर्थ है $t = \frac{v}{f} - m$. तय की गई दूरी $s+n = \frac{1}{2}f(t+m)^2 = \frac{1}{2}f\left(\frac{v}{f}\right)^2 = \frac{v^2}{2f}$.
वेग समीकरणों से: $f't = f(t+m) \implies t(f'-f) = fm \implies t = \frac{fm}{f'-f}$.
$t$ का मान वेग समीकरण $v = f't$ में रखने पर: $v = \frac{f'fm}{f'-f}$.
अब,$n = (s+n) - s = \frac{v^2}{2f} - \frac{v^2}{2f'} = \frac{v^2}{2} \left(\frac{f'-f}{ff'}\right)$.
$v^2 = \left(\frac{ff'm}{f'-f}\right)^2$ रखने पर:
$n = \frac{1}{2} \left(\frac{ff'm}{f'-f}\right)^2 \left(\frac{f'-f}{ff'}\right) = \frac{1}{2} \frac{(ff')^2 m^2}{(f'-f)^2} \cdot \frac{f'-f}{ff'} = \frac{ff'm^2}{2(f'-f)}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: $(f'-f)n = \frac{1}{2}ff'm^2$.

(B) माना $r = 10 \ m$ वृत्ताकार ट्रैक की त्रिज्या है।
ट्रैक पर व्यक्ति की गति $v = r \frac{d\theta}{dt} = 10 \ m/sec$ है।
चूंकि $r = 10 \ m$ है,हमारे पास $10 \frac{d\theta}{dt} = 10$ है,जिसका अर्थ है $\frac{d\theta}{dt} = 1 \ rad/sec$।
माना $P$ से $\theta$ कोणीय दूरी पर दीवार पर छाया की स्थिति $y$ है।
ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{y}{r}$,इसलिए $y = r \tan \theta$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dt} = r \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\theta = 60^{\circ}$ पर,$\sec(60^{\circ}) = 2$ है,इसलिए $\sec^2(60^{\circ}) = 4$।
मान रखने पर,$\frac{dy}{dt} = 10 \times 4 \times 1 = 40 \ m/sec$।
अतः,छाया की गति $40 \ m/sec$ है।

(C) दिया गया है $g(x) = \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} dt$।
लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करते हैं:
$g'(x) = \frac{f(2x)}{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) - \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$g'(x) = \frac{f(2x)}{2x} \cdot 2 - \frac{f(x)}{x} \cdot 1$
$g'(x) = \frac{f(2x)}{x} - \frac{f(x)}{x}$
चूंकि यह दिया गया है कि $f(2x) = f(x)$,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$g'(x) = \frac{f(x) - f(x)}{x} = 0$
चूंकि सभी $x > 0$ के लिए $g'(x) = 0$ है,इसलिए फलन $g(x)$ एक अचर फलन है।

(C) फलन $f(x) = |x^{2} - 1|$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसके ग्राफ को देखकर या बिंदुओं का परीक्षण करके फलन के व्यवहार का विश्लेषण कर सकते हैं।
$x = \pm 1$ पर,$f(x) = |(\pm 1)^{2} - 1| = |1 - 1| = 0$ है। चूंकि निरपेक्ष मान फलन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x) \geq 0$ है। इस प्रकार,$x = \pm 1$ पर $f(x) = 0$ फलन का निरपेक्ष न्यूनतम मान दर्शाता है,जो एक स्थानीय न्यूनतम भी है।
$x = 0$ पर,$f(0) = |0^{2} - 1| = |-1| = 1$ है। $x = 0$ के करीब के मानों के लिए,जैसे $x = 0.1$ या $x = -0.1$,$f(0.1) = |(0.1)^{2} - 1| = |0.01 - 1| = 0.99$ प्राप्त होता है। चूंकि $f(0) = 1 > 0.99$,इसलिए $x = 0$ स्थानीय अधिकतम का बिंदु है।
अतः,$f$ का $x = \pm 1$ पर स्थानीय न्यूनतम और $x = 0$ पर स्थानीय अधिकतम है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln x$ अंतराल $x \in \left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ पर है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{2x} = \frac{2x - (1+x^2)}{2x(1+x^2)} = \frac{-(x-1)^2}{2x(1+x^2)}$.
चूंकि $-(x-1)^2 \leq 0$ और $2x(1+x^2) > 0$ है,इसलिए $f'(x) \leq 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ दिए गए अंतराल पर एक ह्रासमान फलन है।
अधिकतम मान बाएं छोर $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर प्राप्त होता है:
$f_{\max} = f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4} \ln 3$.
न्यूनतम मान दाएं छोर $x = \sqrt{3}$ पर प्राप्त होता है:
$f_{\min} = f(\sqrt{3}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \ln(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{4} \ln 3$.

(B) रोले के प्रमेय के लिए फलन $f(x)$ का एक बंद अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित,$[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना आवश्यक है।
यहाँ,प्रांत $D = [0, 1] \cup [2, 4]$ एक एकल बंद अंतराल नहीं है। यह दो अलग-अलग बंद अंतरालों का संघ है।
रोले के प्रमेय को लागू करने के लिए,प्रांत को एक एकल जुड़ा हुआ बंद अंतराल $[a, b]$ होना चाहिए।
चूँकि प्रांत $D$ असंबद्ध है,इसलिए $f$ के लिए $D$ में रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।

(C) माना $I = \int \frac{\sin 2 x}{(a+b \cos x)^{2}} d x$ है।
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{(a+b \cos x)^{2}} d x$ प्राप्त होता है।
माना $t = a + b \cos x$ है। तब $dt = -b \sin x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \, dx = -\frac{dt}{b}$ है।
साथ ही,$t = a + b \cos x$ से,$\cos x = \frac{t-a}{b}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2 (\frac{t-a}{b})}{t^2} \cdot (-\frac{dt}{b}) = -\frac{2}{b^2} \int \frac{t-a}{t^2} \, dt$।
$I = -\frac{2}{b^2} \int (\frac{1}{t} - \frac{a}{t^2}) \, dt$।
$I = -\frac{2}{b^2} [\ln |t| + \frac{a}{t}] + c$।
$t = a + b \cos x$ को वापस रखने पर:
$I = -\frac{2}{b^2} [\ln |a + b \cos x| + \frac{a}{a + b \cos x}] + c$।
दी गई अभिव्यक्ति $\alpha [\log _{e}|a+b \cos x|+\frac{a}{a+b \cos x}]+c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = -\frac{2}{b^2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समाकलन $\int_{\log _{e} 2}^{x} \frac{1}{e^{t}-1} dt = \log _{e} \frac{3}{2}$ है।
माना $u = e^{t}-1$,तो $du = e^{t} dt$,जिसका अर्थ है $dt = \frac{du}{u+1}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें $\int \frac{1}{u(u+1)} du = \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}) du = \log _{e} |u| - \log _{e} |u+1| = \log _{e} |\frac{u}{u+1}|$ प्राप्त होता है।
$u = e^{t}-1$ रखने पर,समाकलन $[\log _{e} |\frac{e^{t}-1}{e^{t}}|]_{\log _{e} 2}^{x} = [\log _{e} |1-e^{-t}|]_{\log _{e} 2}^{x}$ बन जाता है।
सीमाओं को लागू करने पर: $\log _{e} (1-e^{-x}) - \log _{e} (1-e^{-\log _{e} 2}) = \log _{e} (1-e^{-x}) - \log _{e} (1-\frac{1}{2}) = \log _{e} (1-e^{-x}) - \log _{e} (\frac{1}{2}) = \log _{e} \frac{3}{2}$।
अतः,$\log _{e} (\frac{1-e^{-x}}{1/2}) = \log _{e} \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है $2(1-e^{-x}) = \frac{3}{2}$।
$1-e^{-x} = \frac{3}{4} \implies e^{-x} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$-x = \log _{e} (\frac{1}{4}) = -\log _{e} 4$।
इसलिए,$x = \log _{e} 4$।

(C) माना $I = \int_{a-1}^{a} \frac{e^{-t}}{t-a-1} dt$ है।
$u = t - a + 1$ प्रतिस्थापन लेने पर,$t = u + a - 1$ और $dt = du$ प्राप्त होता है।
जब $t = a-1$ तब $u = 0$ और जब $t = a$ तब $u = 1$ होता है।
अतः,$I = \int_{0}^{1} \frac{e^{-(u+a-1)}}{u-2} du$।
इस समाकलन को हल करने पर $-b e^{-a}$ प्राप्त होता है।

(C, D) $I_{1}=\int_{-2}^{2} \frac{dx}{4+x^{2}}$ के लिए,समाकल्य धनात्मक है,इसलिए $I_{1} > 0$ है।
यदि हम $x=\frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करते हैं,तो $dx = -\frac{1}{t^{2}} dt$ होगा। सीमाएं $x=-2$ से $t=-1/2$ और $x=2$ से $t=1/2$ में बदल जाती हैं।
$I_{1} = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{-dt/t^{2}}{4+1/t^{2}} = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{-dt}{4t^{2}+1}$। चूंकि समाकल्य धनात्मक है,इसलिए समाकलन धनात्मक होना चाहिए,लेकिन यह प्रतिस्थापन एक ऋणात्मक मान देता है,जो $t=0$ पर $1/t$ की असंततता के कारण गलत है। अतः,यह संभव नहीं है।
$I_{2}=\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1} dx$ के लिए,यदि हम $x=\operatorname{cosec} \theta$ रखते हैं,तो $\operatorname{cosec} \theta \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होता है। चूंकि $x \in (0, 1)$,$x$ का परिसर $\operatorname{cosec} \theta$ के परिसर से मेल नहीं खाता है। अतः,यह संभव नहीं है।
इसलिए,विकल्प $C$ और $D$ सही हैं।

(B) माना $I = \int_{1}^{3} \frac{|x-1|}{|x-2|+|x-3|} d x$.
चूंकि $x \in [1, 3]$,$|x-1| = x-1$ है।
$x \in [1, 2]$ के लिए,$|x-2| = 2-x$ और $|x-3| = 3-x$ है।
$x \in [2, 3]$ के लिए,$|x-2| = x-2$ और $|x-3| = 3-x$ है।
अतः,$I = \int_{1}^{2} \frac{x-1}{(2-x)+(3-x)} d x + \int_{2}^{3} \frac{x-1}{(x-2)+(3-x)} d x$.
$I = \int_{1}^{2} \frac{x-1}{5-2x} d x + \int_{2}^{3} (x-1) d x$.
प्रथम समाकलन के लिए,$u = 5-2x$ लें,तो $du = -2 dx$,इसलिए $dx = -\frac{1}{2} du$. जब $x=1, u=3$; जब $x=2, u=1$.
$\int_{1}^{2} \frac{x-1}{5-2x} d x = \int_{3}^{1} \frac{\frac{5-u}{2}-1}{u} (-\frac{1}{2}) du = \frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{3-u}{u} du = \frac{1}{4} [3 \ln |u| - u]_{1}^{3} = \frac{1}{4} (3 \ln 3 - 2) = \frac{3}{4} \ln 3 - \frac{1}{2}$.
दूसरे समाकलन के लिए,$\int_{2}^{3} (x-1) d x = [\frac{x^2}{2} - x]_{2}^{3} = (\frac{9}{2} - 3) - (2 - 2) = \frac{3}{2}$.
इसलिए,$I = (\frac{3}{4} \ln 3 - \frac{1}{2}) + \frac{3}{2} = 1 + \frac{3}{4} \ln 3$.

(C) माना $I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \sqrt{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2}-2} d x$.
सर्वसमिका $a^2 + b^2 - 2 = (a-b)^2$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \left| \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right| d x$.
मापांक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x}{x^2-1}$.
इसलिए,$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \left| \frac{4x}{x^2-1} \right| d x$.
चूंकि फलन सम है,$I = 2 \int_{0}^{1 / 2} \left| \frac{4x}{x^2-1} \right| d x$.
$x \in [0, 1/2]$ के लिए,$x^2-1 < 0$,इसलिए $|\frac{4x}{x^2-1}| = -\frac{4x}{x^2-1} = \frac{4x}{1-x^2}$.
$I = 2 \int_{0}^{1 / 2} \frac{4x}{1-x^2} d x = 4 \int_{0}^{1 / 2} \frac{2x}{1-x^2} d x$.
माना $u = 1-x^2$,तो $du = -2x dx$.
$I = 4 [-\ln|1-x^2|]_{0}^{1/2} = 4 [-\ln(3/4) + \ln(1)] = 4 \ln(4/3)$.

(B) $T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन $f(x)$ के लिए,$T$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन स्थिर होता है।
मान लीजिए $I(a) = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dI}{da} = f(a+T) \cdot \frac{d}{da}(a+T) - f(a) \cdot \frac{d}{da}(a)$
चूंकि $f(x)$ का आवर्तकाल $T$ है,इसलिए $f(a+T) = f(a)$.
अतः,$\frac{dI}{da} = f(a) - f(a) = 0$.
चूंकि अवकलज $0$ है,इसलिए $I$,$a$ से स्वतंत्र है और $I = \int_{0}^{T} f(x) \, dx$ है।

(A) फलन $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ पर विचार करें।
$x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ के लिए,अवकलज $f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} = \frac{\cos x (x - \tan x)}{x^2}$ है।
चूंकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $\tan x > x$ होता है,इसलिए $f'(x) < 0$ है,अतः $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
इसलिए,सभी $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ के लिए $f(\frac{\pi}{3}) \leq f(x) \leq f(\frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
मानों की गणना करने पर: $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin(\pi/3)}{\pi/3} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$ और $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$।
असमिका का समाकलन करने पर: $\int_{\pi/4}^{\pi/3} f(\frac{\pi}{3}) dx \leq \int_{\pi/4}^{\pi/3} f(x) dx \leq \int_{\pi/4}^{\pi/3} f(\frac{\pi}{4}) dx$।
$\frac{3\sqrt{3}}{2\pi} (\frac{\pi}{12}) \leq I \leq \frac{2\sqrt{2}}{\pi} (\frac{\pi}{12})$।
$\frac{\sqrt{3}}{8} \leq I \leq \frac{\sqrt{2}}{6}$।

(C) $\int_{0}^{5} \max \{x^{2}, 6x-8\} dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले $y = x^{2}$ और $y = 6x-8$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x^{2} = 6x-8$ रखने पर,हमें $x^{2}-6x+8 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x-2)(x-4) = 0$ हैं। अतः,वक्र $x = 2$ और $x = 4$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$x \in [0, 2]$ के लिए,$x^{2} \ge 6x-8$.
$x \in [2, 4]$ के लिए,$6x-8 \ge x^{2}$.
$x \in [4, 5]$ के लिए,$x^{2} \ge 6x-8$.
इसलिए,समाकलन को इस प्रकार विभाजित किया जाएगा:
$\int_{0}^{2} x^{2} dx + \int_{2}^{4} (6x-8) dx + \int_{4}^{5} x^{2} dx$
$= \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{2} + \left[ 3x^{2}-8x \right]_{2}^{4} + \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{4}^{5}$
$= (\frac{8}{3} - 0) + ((48-32) - (12-16)) + (\frac{125}{3} - \frac{64}{3})$
$= \frac{8}{3} + (16 - (-4)) + \frac{61}{3}$
$= \frac{8}{3} + 20 + \frac{61}{3} = \frac{69}{3} + 20 = 23 + 20 = 43$.

(D) वक्रों $y=2x-x^2$,$y=0$ और $x=1$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{1} (2x-x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।
माना रेखा $y=mx$ इस क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
रेखा $y=mx$ और $x=1$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times m = \frac{m}{2}$ है।
इसे कुल क्षेत्रफल के आधे के बराबर रखने पर: $\frac{m}{2} = \frac{1}{3} \implies m = \frac{2}{3}$।
अतः,रेखा का समीकरण $y=\frac{2}{3}x$ है।

(A) दिए गए वक्रों $y=4x^{2}$ और $y=\frac{x^{2}}{9}$ के लिए,$x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$y=4x^{2}$ के लिए,$x^{2}=\frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$.
$y=\frac{x^{2}}{9}$ के लिए,$x^{2}=9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$.
यह क्षेत्र $y=0$ से $y=2$ के बीच स्थित है और $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 2 \int_{0}^{2} \left(3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2}\right) dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy$
$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 5 \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2}$
$A = \frac{10}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{20\sqrt{2}}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) मूल बिंदु पर केंद्रित और निर्देशांक अक्षों को अपने अक्ष मानने वाले दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y y^{\prime}}{b^{2}}=0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{x}{a^{2}}+\frac{y y^{\prime}}{b^{2}}=0$ मिलता है।
इससे $\frac{b^{2}}{a^{2}} = -\frac{y y^{\prime}}{x}$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{a^{2}} = -\frac{y y^{\prime}}{b^{2}x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-\frac{y y^{\prime}}{b^{2}x} + \frac{1}{b^{2}}(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ मिलता है।
$b^{2}x$ से गुणा करने पर,$-y y^{\prime} + x(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x y y^{\prime \prime} + x(y^{\prime})^{2} - y y^{\prime} = 0$ अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = \frac{x f(xy)}{f'(xy)}$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{d(xy)}{dx} = \frac{x f(xy)}{f'(xy)}$.
चर $xy$ और $x$ को अलग करने पर: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln |f(xy)| = \frac{x^2}{2} + C$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|f(xy)| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C \cdot e^{x^2 / 2}$.
माना $k = e^C$,तो हमें प्राप्त होता है: $|f(xy)| = k e^{x^2 / 2}$.

(B) दिया गया है कि $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}$,$\vec{\gamma}$ के साथ संरेख है,अतः एक अदिश $k_{1}$ का अस्तित्व है जिससे $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}=k_{1} \vec{\gamma}$.
इसका अर्थ है $\vec{\beta}=\frac{k_{1}}{3} \vec{\gamma}-\frac{1}{3} \vec{\alpha}$.
साथ ही,$\vec{\beta}+2 \vec{\gamma}$,$\vec{\alpha}$ के साथ संरेख है,अतः एक अदिश $k_{2}$ का अस्तित्व है जिससे $\vec{\beta}+2 \vec{\gamma}=k_{2} \vec{\alpha}$.
इसका अर्थ है $\vec{\beta}=k_{2} \vec{\alpha}-2 \vec{\gamma}$.
$\vec{\beta}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{k_{1}}{3} \vec{\gamma}-\frac{1}{3} \vec{\alpha}=k_{2} \vec{\alpha}-2 \vec{\gamma}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\vec{\alpha}(k_{2}+\frac{1}{3})=\vec{\gamma}(\frac{k_{1}}{3}+2)$.
चूंकि $\vec{\alpha}$ और $\vec{\gamma}$ असंरेख हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए: $k_{2}+\frac{1}{3}=0 \Rightarrow k_{2}=-\frac{1}{3}$ और $\frac{k_{1}}{3}+2=0 \Rightarrow k_{1}=-6$.
पहले समीकरण में $k_{1}=-6$ रखने पर,हमें मिलता है $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}=-6 \vec{\gamma}$.
अतः,$\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}+6 \vec{\gamma}=\overrightarrow{0}$.

(C) दिया गया समीकरण $a(\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) + b(\vec{\beta} \times \vec{\gamma}) + c(\vec{\gamma} \times \vec{\alpha}) = \overrightarrow{0}$ है।
मान लीजिए $\vec{u} = \vec{\alpha} \times \vec{\beta}$,$\vec{v} = \vec{\beta} \times \vec{\gamma}$,और $\vec{w} = \vec{\gamma} \times \vec{\alpha}$ है।
अतः समीकरण $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \overrightarrow{0}$ हो जाता है।
चूंकि $a, b, c$ अशून्य अदिश हैं,सदिश $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ रैखिक रूप से आश्रित हैं,जिसका अर्थ है कि वे समतलीय हैं।
किन्हीं तीन सदिशों $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ के लिए,उनके सदिश गुणनफल $\vec{\alpha} \times \vec{\beta}$,$\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$,और $\vec{\gamma} \times \vec{\alpha}$ तभी समतलीय होते हैं यदि $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ स्वयं समतलीय हों।
इसलिए,सदिश $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ समतलीय हैं।

(B) दिया गया बिंदु $P(a, b, c)$ है।
$YZ$-समतल पर लंब $PA$ खींचा गया है। अतः $A$ के निर्देशांक $(0, b, c)$ हैं।
$ZX$-समतल पर लंब $PB$ खींचा गया है। अतः $B$ के निर्देशांक $(a, 0, c)$ हैं।
मूल बिंदु $O$ $(0, 0, 0)$ है।
समतल $O(0, 0, 0)$,$A(0, b, c)$ और $B(a, 0, c)$ से होकर गुजरता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{OA} = 0\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{OB} = a\hat{i} + 0\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = \hat{i}(bc - 0) - \hat{j}(0 - ac) + \hat{k}(0 - ab) = bc\hat{i} + ac\hat{j} - ab\hat{k}$.
अतः,मूल बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण $bcx + acy - abz = 0$ है।

(A) माना घूर्णन के बाद समतल का समीकरण $P_{3}: \ell x+my+nz=0$ है।
समतल $P_{1}: \ell x+my=0$ और $P_{2}: z=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा वह रेखा है जहाँ $\ell x+my=0$ और $z=0$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}_{1} = (\ell, m, 0)$ और $\vec{n}_{3} = (\ell, m, n)$ हैं।
समतलों $P_{1}$ और $P_{3}$ के बीच का कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{3}|}{|\vec{n}_{1}| |\vec{n}_{3}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \alpha = \frac{|\ell^{2}+m^{2}|}{\sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \sqrt{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}} = \sqrt{\frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^{2} \alpha = \frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}$.
$\Rightarrow \cos^{2} \alpha (\ell^{2}+m^{2}+n^{2}) = \ell^{2}+m^{2}$.
$\Rightarrow n^{2} \cos^{2} \alpha = (\ell^{2}+m^{2})(1 - \cos^{2} \alpha) = (\ell^{2}+m^{2}) \sin^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n^{2} = (\ell^{2}+m^{2}) \tan^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n = \pm \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha$.
$n$ का मान $P_{3}$ के समीकरण में रखने पर,हमें $\ell x+my \pm z \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना रेखा की दिक्कोज्या $(l, l, l)$ है क्योंकि यह निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है।
चूंकि $l^2 + l^2 + l^2 = 1$,हमारे पास $3l^2 = 1$ है,जिससे $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है (धनात्मक मान लेने पर)।
बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली और दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ वाली रेखा का समीकरण है:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$
रेखा पर कोई भी बिंदु $(r+2, r-1, r+2)$ के रूप में है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x+y+z=9$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9 \Rightarrow 4r = 4 \Rightarrow r = 1$.
बिंदु $Q$ का मान $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ है।
लंबाई $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \text{ इकाई}$.

(D) पासे पर सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = \frac{1}{2}$ है और विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(O) = \frac{1}{2}$ है।
$A$ खेल जीतता है यदि $A$ को $1^{st}, 5^{th}, 9^{th}, \dots$ बारी पर सम संख्या मिलती है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{2}$ और सार्व अनुपात $r = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ है।
योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/2}{1 - 1/16} = \frac{8}{15}$.

(A) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $np = 4$ और प्रसरण $npq = 2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 4$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 8$।
ठीक $x$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X=x) = {}^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 2$ के लिए,$P(X=2) = {}^{8}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{8-2} = {}^{8}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{8}$।
मान की गणना करने पर,${}^{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।
अतः,$P(X=2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}$।