$z$ નો બિંદુપથ શોધો કે જેથી $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=2$,જ્યાં $z=x+iy$ છે.

જો $a = \cos \alpha + i\sin \alpha$,$b = \cos \beta + i\sin \beta$,$c = \cos \gamma + i\sin \gamma$ અને $\frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} = 1$ હોય,તો $\cos (\beta - \gamma ) + \cos (\gamma - \alpha ) + \cos (\alpha - \beta )$ ની કિંમત શોધો.

પ્રદેશ $S = \{z \in \mathbb{C} : |z-1| \leq 2, (z+\overline{z}) + i(z-\overline{z}) \leq 2, \operatorname{Im}(z) \geq 0\}$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

ધારો કે $z = x + iy$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં એક બિંદુ છે. જો $\left(\frac{z - 3}{z + 2i}\right)$ નો કંપવિસ્તાર (amplitude) $\frac{\pi}{2}$ હોય,તો $z$ નો બિંદુપથ શું છે?

જો $a$ અને $b$ એ $0$ અને $1$ ની વચ્ચેની વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,જેથી બિંદુઓ $z_1 = a + i$,$z_2 = 1 + bi$ અને $z_3 = 0$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે,તો

એક વિધેય $f$ એ સંકર સંખ્યાઓ પર $f(z) = (a + ib)z$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $a, b \in \mathbb{R}^+$. આ વિધેયનો ગુણધર્મ એ છે કે સંકર સમતલના કોઈપણ બિંદુનું $f$-પ્રતિબિંબ તે બિંદુ અને ઉગમબિંદુથી સમાન અંતરે છે. જો $|a + bi| = 10$ અને $b^2 = \frac{p}{q}$ હોય,જ્યાં $p, q \in \mathbb{Z}$ અને $\text{gcd}(p, q) = 1$,તો $p + q$ ની કિંમત શોધો.