TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं में से $(n-r)$ वस्तुओं को न चुनने के तरीकों की संख्या $r$ वस्तुओं को चुनने के बराबर है,जो ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$ है। अतः,$(A) \rightarrow (V)$।
$(B)$ हमारे पास $(n-r+1) \cdot { }^n C_{r-1} = (n-r+1) \cdot \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \cdot r = r \cdot { }^n C_r$ है। अतः,$(B) \rightarrow (III)$।
$(C)$ $n$ भिन्न वस्तुओं में से कम से कम $(n-r)$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या ${ }^n C_{n-r} + { }^n C_{n-r+1} + \ldots + { }^n C_n$ है। यह $2^n - ({ }^n C_0 + { }^n C_1 + \ldots + { }^n C_{n-r-1})$ के बराबर है। चूँकि ${ }^n C_k = { }^n C_{n-k}$,यह व्यंजक $2^n - 1 - n - { }^n C_2 - \ldots - { }^n C_r$ से मेल खाता है। अतः,$(C) \rightarrow (IV)$।
$(D)$ $(n-r)({ }^{n-1} C_{r-1} + { }^{n-1} C_r) = (n-r)({ }^n C_r) = (n-r) \cdot \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{r!(n-r-1)!} = (r+1) \cdot \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!} = (r+1) \cdot { }^n C_{r+1}$ है। अतः,$(D) \rightarrow (II)$।

(A) सबसे पहले,$360$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$.
भाजक को $3$ का गुणज होने के लिए,इसमें कम से कम एक $3$ का गुणनखंड होना चाहिए।
मान लीजिए भाजक $2^a \times 3^b \times 5^c$ के रूप में है,जहाँ $0 \le a \le 3$,$1 \le b \le 2$,और $0 \le c \le 1$ है।
$a$ के लिए विकल्पों की संख्या $4$ है (अर्थात $0, 1, 2, 3$)।
$b$ के लिए विकल्पों की संख्या $2$ है (अर्थात $1, 2$)।
$c$ के लिए विकल्पों की संख्या $2$ है (अर्थात $0, 1$)।
कुल भाजकों की संख्या = $4 \times 2 \times 2 = 16$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) $TSEAMCET$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $T, T, E, E, S, A, M, C$.
यहाँ $6$ भिन्न अक्षर हैं: $\{T, E, S, A, M, C\}$.
हमें $4$ अक्षरों का चयन करना है।
स्थिति $1$: सभी $4$ अक्षर भिन्न हों।
तरीकों की संख्या $= {}^{6}C_{4} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15$.
स्थिति $2$: एक समान अक्षरों का जोड़ा और $2$ भिन्न अक्षर।
तरीकों की संख्या $= {}^{2}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 2 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 20$.
स्थिति $3$: दो समान अक्षरों के जोड़े।
तरीकों की संख्या $= {}^{2}C_{2} = 1$.
कुल तरीकों की संख्या $= 15 + 20 + 1 = 36$.

(A) दिया गया है कि $a, b, c \in \mathbb{N}$ (धनात्मक पूर्णांक) जहाँ $a+b+c=5$ है। संभावित त्रिक $(a, b, c)$ हैं: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2)$।
प्रत्येक त्रिक के लिए $2^a 3^b 5^c$ का मान ज्ञात करने पर:
$(1, 1, 3) \implies 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^3 = 750$
$(1, 3, 1) \implies 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1 = 270$
$(3, 1, 1) \implies 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 120$
$(2, 2, 1) \implies 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 180$
$(1, 2, 2) \implies 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 450$
$(2, 1, 2) \implies 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 300$
अधिकतम मान $M = 750$ और न्यूनतम मान $L = 120$ है।
अतः $M - L = 750 - 120 = 630$ है।
$630$ का अभाज्य गुणनखंड $2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(D) $15$ संगामी रेखाओं में से किन्हीं $2$ रेखाओं और तीसरी भुजा के रूप में रेखा $L$ को चुनकर एक त्रिभुज बनता है।
चूँकि $15$ रेखाएँ बिंदु $P$ पर संगामी हैं,इसलिए कोई भी दो रेखाएँ $P$ पर प्रतिच्छेद करेंगी।
जब ये $2$ रेखाएँ रेखा $L$ को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $L$ को एक भुजा के रूप में लेकर एक त्रिभुज बनता है।
$15$ में से $2$ रेखाओं को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{15}C_{2}$ है।
अतः,त्रिभुजों की संख्या ${}^{15}C_{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ है।

(D) माना समीकरण के मूल $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं। चूँकि सभी मूल धनात्मक हैं और उनका समांतर माध्य $(AM)$ उनके गुणोत्तर माध्य $(GM)$ के बराबर है,इसलिए सभी मूल समान होने चाहिए। माना $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = \alpha$ है।
समीकरण $x^5-ax^4+bx^3-cx^2+dx-1=0$ से,मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 = (-1)^5 (-1) = 1$ है।
अतः,$\alpha^5 = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = 1$।
समीकरण $(x-1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1 = 0$ है।
इसे दिए गए समीकरण $x^5-ax^4+bx^3-cx^2+dx-1=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=5, b=10, c=10, d=5$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a+b+c+d = 5+10+10+5 = 30$।

(B) $\left(a x+\frac{b}{x^2}\right)^{11}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax)^{11-r} \left(\frac{b}{x^2}\right)^r = {}^{11}C_r a^{11-r} b^r x^{11-3r}$ है।
$x^{-7}$ के गुणांक के लिए,$11-3r = -7$ रखने पर,$3r = 18$,अतः $r = 6$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$L = {}^{11}C_6 a^5 b^6$ है।
इसी प्रकार,$\left(b x^2+\frac{a}{x}\right)^{11}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r (bx^2)^{11-r} \left(\frac{a}{x}\right)^r = {}^{11}C_r b^{11-r} a^r x^{22-3r}$ है।
$x^7$ के गुणांक के लिए,$22-3r = 7$ रखने पर,$3r = 15$,अतः $r = 5$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$M = {}^{11}C_5 b^6 a^5 = {}^{11}C_6 a^5 b^6$ (क्योंकि ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6$)।
अतः,$L+M = 2 \times {}^{11}C_6 a^5 b^6$ है।
अब,$\left(ax^2+\frac{b}{x}\right)^{12}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{12}C_r (ax^2)^{12-r} \left(\frac{b}{x}\right)^r = {}^{12}C_r a^{12-r} b^r x^{24-3r}$ है।
$x^6$ के गुणांक के लिए,$24-3r = 6$ रखने पर,$3r = 18$,अतः $r = 6$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^{12}C_6 a^6 b^6$ है।
ध्यान दें कि ${}^{12}C_6 = \frac{12}{6} \times {}^{11}C_5 = 2 \times {}^{11}C_6$ है।
अतः,$x^6$ का गुणांक $2 \times {}^{11}C_6 a^6 b^6 = a(2 \times {}^{11}C_6 a^5 b^6) = a(L+M)$ है।
इस प्रकार,$L+M = \frac{1}{a} \left[\left(ax^2+\frac{b}{x}\right)^{12} \text{ में } x^6 \text{ का गुणांक}\right]$।

(B) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$\left(\frac{x}{2}-\frac{2y}{3}\right)^6$ के विस्तार के लिए,$4^{\text{th}}$ पद $(T_4)$ $r=3$ के अनुरूप है।
$T_4 = {}^6C_3 \left(\frac{x}{2}\right)^{6-3} \left(-\frac{2y}{3}\right)^3$.
$T_4 = 20 \times \left(\frac{x}{2}\right)^3 \times \left(-\frac{8y^3}{27}\right)$.
$T_4 = 20 \times \frac{x^3}{8} \times \left(-\frac{8y^3}{27}\right) = -20 \times \frac{x^3 y^3}{27}$.
यह दिया गया है कि $T_4 = -20$,इसलिए $-20 \times \frac{x^3 y^3}{27} = -20$.
दोनों पक्षों को $-20$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^3 y^3}{27} = 1$ प्राप्त होता है।
$x^3 y^3 = 27$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$xy = 3$।

(B) $(2x^2 - \frac{1}{3x^3})^5$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^5C_r (2x^2)^{5-r} (-\frac{1}{3x^3})^r$
$T_{r+1} = {}^5C_r (2)^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{10-5r}$
$x^5$ के गुणांक के लिए,घातांक $10-5r = 5$ रखने पर:
$5r = 5 \implies r = 1$
$k$ ज्ञात करने के लिए $r=1$ रखने पर:
$k = {}^5C_1 (2)^{5-1} (-\frac{1}{3})^1 = 5 \times 16 \times (-\frac{1}{3}) = -\frac{80}{3}$
अंत में,$\frac{3k}{2}$ की गणना करने पर:
$\frac{3k}{2} = \frac{3}{2} \times (-\frac{80}{3}) = -40$

(C) $(a+x)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या $n+1$ है। दिया गया है कि $n+1 = 15$,इसलिए $n = 14$.
चूंकि $n=14$ एक सम संख्या है,इसलिए केवल एक मध्य पद $T_8$ होगा।
मध्य पद $T_8$ के पड़ोसी पद $T_7$ और $T_9$ हैं।
गणना के अनुसार,$a=4$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया विस्तार $(2x - 3y)^{11}$ है। $x = \frac{1}{3}$ और $y = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $(2(\frac{1}{3}) - 3(\frac{1}{2}))^{11} = (\frac{2}{3} - \frac{3}{2})^{11} = (\frac{2}{3})^{11} (1 - \frac{9}{4})^{11}$ प्राप्त होता है।
$(1 + a)^n$ के विस्तार के लिए,संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद $T_{r+1}$ सूत्र $r = \lfloor \frac{(n+1)|a|}{|a|+1} \rfloor$ द्वारा निर्धारित होता है।
यहाँ $n = 11$ और $a = -\frac{9}{4}$,इसलिए $|a| = \frac{9}{4} = 2.25$ है।
$r = \lfloor \frac{(11+1)(2.25)}{2.25+1} \rfloor = \lfloor \frac{27}{3.25} \rfloor = 8$ है।
अतः,$9$ वां पद $(T_9)$ सबसे बड़ा पद है।
$T_9 = { }^{11}C_8 (\frac{2}{3})^3 (-\frac{3}{2})^8 = { }^{11}C_3 (\frac{3}{2})^5$.

(B) माना $S = \frac{1}{8} - \frac{7}{8 \times 12} + \frac{7 \times 10}{8 \times 12 \times 16} - \ldots$
द्विपद विस्तार $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots$ का उपयोग करते हुए
$(1 + \frac{3}{4})^{-1/3} = 1 + (-\frac{1}{3})(\frac{3}{4}) + \frac{(-\frac{1}{3})(-\frac{4}{3})}{2!}(\frac{3}{4})^2 + \frac{(-\frac{1}{3})(-\frac{4}{3})(-\frac{7}{3})}{3!}(\frac{3}{4})^3 + \ldots$
$= 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{7}{8 \times 12} + \ldots$
$= \frac{3}{4} + S$
अतः,$\sqrt[3]{\frac{4}{7}} = \frac{3}{4} + S$
इसलिए,$S = \sqrt[3]{\frac{4}{7}} - \frac{3}{4}$

(C) माना $E = \cos ^2 76^{\circ}+\sin ^2 46^{\circ}+\sin 76^{\circ} \cos 46^{\circ}$ है।
सर्वसमिका $2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ और $2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1 + \cos 152^{\circ}}{2} + \frac{1 - \cos 92^{\circ}}{2} + \frac{1}{2} (2 \sin 76^{\circ} \cos 46^{\circ})$
$E = 1 + \frac{1}{2} (\cos 152^{\circ} - \cos 92^{\circ}) + \frac{1}{2} (\sin(76^{\circ} + 46^{\circ}) + \sin(76^{\circ} - 46^{\circ}))$
$E = 1 + \frac{1}{2} (-2 \sin 122^{\circ} \sin 30^{\circ}) + \frac{1}{2} (\sin 122^{\circ} + \sin 30^{\circ})$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए:
$E = 1 - \frac{1}{2} \sin 122^{\circ} + \frac{1}{2} \sin 122^{\circ} + \frac{1}{4}$
$E = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

(A) $f(x) = 3 \sin \frac{\pi x}{3} - \cos \frac{\pi x}{2} + \tan \frac{\pi x}{4}$ का आवर्तकाल इसके घटकों के आवर्तकाल का ल.स.प. है। आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$,$T_2 = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$,और $T_3 = \frac{\pi}{\pi/4} = 4$ हैं। अतः,$\alpha = \text{LCM}(6, 4, 4) = 12$ है।
$\beta$ के लिए,सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ का उपयोग करें। यहाँ,$\sin^2 \left( \frac{\pi}{7} + \frac{x}{4} \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{7} - \frac{x}{4} \right) = \sin \left( \frac{2\pi}{7} \right) \sin \left( \frac{x}{2} \right)$ है। आवर्तकाल $\beta = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है।
$\gamma$ के लिए,$\cos^4 x + \sin^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos(4x)$ है। आवर्तकाल $\gamma = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
अंत में,$\frac{\alpha \gamma}{\beta} = \frac{12 \times \frac{\pi}{2}}{4\pi} = \frac{6\pi}{4\pi} = \frac{3}{2}$।

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+k) \sin(46^{\circ}+k)}$ है।
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हम $\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करते हैं:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((46^{\circ}+k) - (45^{\circ}+k))}{\sin(45^{\circ}+k) \sin(46^{\circ}+k)}$
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\cot(45^{\circ}+k) - \cot(46^{\circ}+k))$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 46^{\circ} - \cot 47^{\circ}) + \ldots + (\cot 89^{\circ} - \cot 90^{\circ})]$
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [\cot 45^{\circ} - \cot 90^{\circ}]$
चूंकि $\cot 45^{\circ} = 1$ और $\cot 90^{\circ} = 0$,इसलिए $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [1 - 0] = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.
दिया गया है $S = \frac{1}{\sin x^{\circ}}$,इसलिए $x = 1$.
अतः,$\sin \left(\frac{\pi}{2} x\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} \times 1\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{\sin 250^{\circ}}+\frac{\sqrt{3}}{\cos 290^{\circ}}$
$= \frac{1}{\sin(270^{\circ}-20^{\circ})} + \frac{\sqrt{3}}{\cos(270^{\circ}+20^{\circ})}$
$= -\frac{1}{\cos 20^{\circ}} + \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}$
$= \frac{-\sin 20^{\circ} + \sqrt{3} \cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ} \sin 20^{\circ}}$
$= \frac{2 \left( -\frac{1}{2} \sin 20^{\circ} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$
अतः,विकल्प $B$ सही है.

(B) दिया गया है $\sin A = \frac{-7}{25}$। चूँकि $\sin A < 0$ और $A$ तीसरे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $A$ चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए।
चौथे चतुर्थांश में,$\cos A > 0$ होता है। अतः,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{-7}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$।
इसलिए,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{-7/25}{24/25} = \frac{-7}{24}$।
दिया गया है $\cos B = \frac{8}{17}$। चूँकि $\cos B > 0$ और $B$ पहले चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $B$ चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए।
चौथे चतुर्थांश में,$\sin B < 0$ होता है। अतः,$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = -\sqrt{1 - \frac{64}{289}} = -\sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{-15}{17}$।
इसलिए,$\cot B = \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{8/17}{-15/17} = \frac{-8}{15}$।
अब,$8 \tan A - 5 \cot B = 8(\frac{-7}{24}) - 5(\frac{-8}{15}) = \frac{-7}{3} + \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$।

(A) दिया गया है: $x = \log \left(\cot \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right)\right)$
$\theta = \frac{\pi}{12}$ रखने पर:
$x = \log \left(\cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}\right)\right) = \log \left(\cot \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$
चूंकि $\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $x = \log \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
अतः $e^x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $e^{-x} = \sqrt{3}$.
$\cosh x$ की परिभाषा के अनुसार,$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
$\cosh x = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) माना $A = \frac{\sqrt{2} \cos 45^{\circ} + \cos 56^{\circ} + \cos 58^{\circ} - \cos 66^{\circ}}{\sqrt{2} \cos 28^{\circ} \cos 29^{\circ} \sin 33^{\circ}}$.
चूँकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,अंश $1 + \cos 56^{\circ} + \cos 58^{\circ} - \cos 66^{\circ}$ हो जाता है।
व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $1 - \cos 66^{\circ} + \cos 56^{\circ} + \cos 58^{\circ} = 2 \sin^2 33^{\circ} + 2 \cos 57^{\circ} \cos 1^{\circ}$।
चूँकि $\sin 33^{\circ} = \cos 57^{\circ}$,अंश $2 \cos 57^{\circ} (\cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ})$ है।
हर $\sqrt{2} \cos 28^{\circ} \cos 29^{\circ} \cos 57^{\circ}$ है।
$2 \cos 28^{\circ} \cos 29^{\circ} = \cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\frac{2 \cos 57^{\circ} (\cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ})}{\sqrt{2} \cos 57^{\circ} (\cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ})} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ में सरल हो जाता है।

(A) दिया है,$\cos x + \cos y = p$ और $\sin x + \sin y = q$।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\cos x + \cos y)^2 + (\sin x + \sin y)^2 = p^2 + q^2$
$(\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2(\cos x \cos y + \sin x \sin y) = p^2 + q^2$
$1 + 1 + 2\cos(x - y) = p^2 + q^2$
$2 + 2\cos(x - y) = p^2 + q^2$
$2(1 + \cos(x - y)) = p^2 + q^2$
सर्वसमिका $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$2(2\cos^2(\frac{x-y}{2})) = p^2 + q^2$
$4\cos^2(\frac{x-y}{2}) = p^2 + q^2$
$\cos^2(\frac{x-y}{2}) = \frac{p^2 + q^2}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\cos(\frac{x-y}{2}) = \pm \frac{\sqrt{p^2 + q^2}}{2}$

(A) माना $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,और $z_3 = e^{i\gamma}$ है।
दिया है $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$,अतः $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ है।
चूंकि $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$,इसलिए $\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = \bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} = \overline{z_1 + z_2 + z_3} = 0$ है।
अतः,$\frac{z_2z_3 + z_1z_3 + z_1z_2}{z_1z_2z_3} = 0$,जिसका अर्थ है $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 0$ है।
अब,$(z_1 + z_2 + z_3)^2 = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + 2(z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1) = 0$ है।
चूंकि $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 0$,इसलिए $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0$ है।
$z_k = \cos k + i \sin k$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha) + (\cos 2\beta + i \sin 2\beta) + (\cos 2\gamma + i \sin 2\gamma) = 0$ प्राप्त होता है।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = 0$ प्राप्त होता है।

(B) हम हाइपरबोलिक फलनों के लिए योग और अंतर के सूत्रों का उपयोग करते हैं:
$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$
$\sinh(x-y) = \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y$
$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$
$\cosh(x-y) = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y$
अंश में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sinh(x+y) + \sinh(x-y) = 2 \sinh x \cosh y$
हर में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cosh(x+y) - \cosh(x-y) = 2 \sinh x \sinh y$
अब,अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \sinh x \cosh y}{2 \sinh x \sinh y} = \frac{\cosh y}{\sinh y} = \coth y$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin (A+B) \sin (A-B)+\cos (A+B) \cos (A-B)=\frac{1}{2}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = A+B$ और $y = A-B$:
$\cos ((A+B) - (A-B)) = \frac{1}{2}$
$\cos (A+B-A+B) = \frac{1}{2}$
$\cos (2B) = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए $2B = \frac{\pi}{3}$
अतः,$B = \frac{\pi}{6}$
इसलिए,विकल्प $A$ सही है.

(C) दिया गया है $\frac{5 \sinh 2x}{7+6 \cosh 2x} = \frac{3}{2}$.
सर्वसमिकाओं $\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x$ और $\cosh 2x = 2 \cosh^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{5(2 \sinh x \cosh x)}{7+6(2 \cosh^2 x - 1)} = \frac{3}{2}$
$\frac{10 \sinh x \cosh x}{12 \cosh^2 x + 1} = \frac{3}{2}$
अंश और हर को $\cosh^2 x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10 \tanh x}{12 + \text{sech}^2 x} = \frac{3}{2}$
चूंकि $\text{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$:
$\frac{10 \tanh x}{12 + 1 - \tanh^2 x} = \frac{3}{2}$
$\frac{10 \tanh x}{13 - \tanh^2 x} = \frac{3}{2}$
$20 \tanh x = 39 - 3 \tanh^2 x$
$3 \tanh^2 x + 20 \tanh x = 39$

(D) दिया है: $a \tan \alpha + b \tan \beta = (a + b) \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a \left( \tan \alpha - \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \right) = b \left( \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) - \tan \beta \right)$
सर्वसमिका $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A - B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a \sin \left( \alpha - \frac{\alpha + \beta}{2} \right)}{\cos \alpha \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)} = \frac{b \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} - \beta \right)}{\cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \beta}$
$\frac{a \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}{\cos \alpha} = \frac{b \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}{\cos \beta}$
चूंकि $\alpha - \beta \neq 2n\pi$,इसलिए $\sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \neq 0$ है।
दोनों पक्षों को $\sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{\cos \alpha} = \frac{b}{\cos \beta}$
अतः,$\frac{\cos \beta}{\cos \alpha} = \frac{b}{a}$.

(D) दिया गया है $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$.
$1 - \sin(2\theta) = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin(2\theta) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
अब,$\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2(\frac{2}{3})^2 = 1 - 2(\frac{4}{9}) = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
आगे,$\sin(6\theta) = 3\sin(2\theta) - 4\sin^3(2\theta) = 3(\frac{2}{3}) - 4(\frac{2}{3})^3 = 2 - 4(\frac{8}{27}) = 2 - \frac{32}{27} = \frac{54 - 32}{27} = \frac{22}{27}$.
अंत में,$\sin(2\theta) + \cos(4\theta) + \sin(6\theta) = \frac{2}{3} + \frac{1}{9} + \frac{22}{27} = \frac{18 + 3 + 22}{27} = \frac{43}{27}$.

(A) दिया है: $\sin B = \frac{5}{13}$. चूँकि $B$ एक न्यून कोण है,$\cos B = \frac{12}{13}$ और $\tan B = \frac{5}{12}$ है।
दिया है: $\sin (A-B) = \frac{16}{65}$. अतः $\cos (A-B) = \frac{63}{65}$ और $\tan (A-B) = \frac{16}{63}$ है।
सूत्र $\tan (A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan A - \frac{5}{12}}{1 + \tan A \cdot \frac{5}{12}} = \frac{16}{63}$
गणना करने पर $\tan A = \frac{507}{676}$ प्राप्त होता है।
अतः $\tan A + \cot A = \frac{507}{676} + \frac{676}{507} = \frac{714025}{342732}$।

(A) दिया है $A+B+C=\frac{3 \pi}{2} \ldots(1)$
व्यंजक $E = 4 \sin A \sin B \sin C+\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ और $\cos 2C = 1 - 2 \sin^2 C$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 2 \cos(A+B) \cos(A-B) + 1 - 2 \sin^2 C$.
$(1)$ से,$A+B = \frac{3 \pi}{2} - C$,इसलिए $\cos(A+B) = \cos(\frac{3 \pi}{2} - C) = -\sin C$.
यह मान रखने पर:
$= 2(-\sin C) \cos(A-B) + 1 - 2 \sin^2 C$
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) + \sin C]$
चूंकि $\sin C = \sin(\frac{3 \pi}{2} - (A+B)) = -\cos(A+B)$:
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 - 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 1 - 4 \sin A \sin B \sin C$.
अतः,$4 \sin A \sin B \sin C + \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$-\sin(A+B+C) = -\sin(\frac{3 \pi}{2}) = -(-1) = 1$.
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $A+B+C=\frac{\pi}{2}$. हमें $S = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-A\right)+\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-B\right)+\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-C\right)+1$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $1 = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$.
अतः,$S = \sqrt{2} [\cos(\frac{\pi}{4}-A) + \cos(\frac{\pi}{4}-B) + \cos(\frac{\pi}{4}-C) + \cos(\frac{\pi}{4})]$.
$\cos X + \cos Y = 2 \cos \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = 4\sqrt{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\tan \theta = \frac{-3}{4}$। चूंकि $\tan \theta < 0$ है और $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\theta$ चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए।
चौथे चतुर्थांश में,$\sin \theta = \frac{-3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ होता है।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1 - 4/5}{-3/5} = \frac{1/5}{-3/5} = \frac{-1}{3}$।
साथ ही,$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times (\frac{-3}{5}) \times (\frac{4}{5}) = \frac{-24}{25}$।
अतः,$\tan \frac{\theta}{2} + \sin 2 \theta = \frac{-1}{3} + (\frac{-24}{25}) = \frac{-25 - 72}{75} = \frac{-97}{75}$।

(A) हम सर्वसमिका $2 \cosh A \sinh B = \sinh(A+B) - \sinh(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
माना $A = x+y$ और $B = x-y$ है।
तब $A+B = 2x$ और $A-B = 2y$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$2 \cosh (x+y) \sinh (x-y) = \sinh 2x - \sinh 2y$ प्राप्त होता है।
अब,इसमें $\sinh 2y$ जोड़ने पर:
$(\sinh 2x - \sinh 2y) + \sinh 2y = \sinh 2x$।

(B) दिया गया है,$\tanh x = \frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\tanh^2 x = 1 - \text{sech}^2 x$,इसलिए $\text{sech}^2 x = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\text{sech } x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cosh x = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$,इसलिए $\sinh x = \tanh x \cdot \cosh x = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अब,$\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}$.
और $\text{sech } 2x = \frac{1}{\cosh 2x} = \frac{1}{\cosh^2 x + \sinh^2 x} = \frac{1}{(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \frac{1}{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$.
इसलिए,$\sinh 2x - \text{sech } 2x = \frac{4}{3} - \frac{3}{5} = \frac{20 - 9}{15} = \frac{11}{15}$.

(A) दी गई व्यंजक: $E = \frac{e^{4x} + e^{-4x} + 14}{4(e^x - e^{-x})^2}$.
हम जानते हैं कि $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$,इसलिए $(e^x - e^{-x})^2 = 4\sinh^2 x$.
अतः हर $4(4\sinh^2 x) = 16\sinh^2 x$ है।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\sinh^2 x + \coth^2 x$.
$\sinh^2 x + \coth^2 x = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 + \left(\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\right)^2$
$= \frac{(e^x - e^{-x})^4 + 4(e^x + e^{-x})^2}{4(e^x - e^{-x})^2}$
$= \frac{(e^{4x} + e^{-4x} + 14)}{4(e^x - e^{-x})^2}$.
अतः सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \cos(\sinh(\log x) + \cosh(\log x))$.
$\sinh(u) = \frac{e^u - e^{-u}}{2}$ और $\cosh(u) = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$ की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए:
$\sinh(\log x) + \cosh(\log x) = \frac{e^{\log x} - e^{-\log x}}{2} + \frac{e^{\log x} + e^{-\log x}}{2} = \frac{2e^{\log x}}{2} = x$.
अतः,$f(x) = \cos(x)$.
$\cos(x)$ का न्यूनतम मान $-1$ है।
इसलिए,$k = -1$.
अब,$\cosh(k+1) = \cosh(-1+1) = \cosh(0)$.
चूंकि $\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$.

(C) दिया गया है $|\sin \alpha - \cos \alpha| = \frac{3}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = (\frac{3}{4})^2$.
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{9}{16}$.
$1 - \sin 2\alpha = \frac{9}{16}$,जिसका अर्थ है $\sin 2\alpha = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
चूंकि $\sin 2\alpha = \frac{7}{16}$,लंब $P = 7$ और कर्ण $H = 16$ है।
आधार $B = \sqrt{H^2 - P^2} = \sqrt{16^2 - 7^2} = \sqrt{256 - 49} = \sqrt{207} = 3\sqrt{23}$.
अतः,$\cos 2\alpha = \frac{B}{H} = \frac{3\sqrt{23}}{16}$.
अब,$|\sec 2\alpha - \tan 2\alpha| = |\frac{1}{\cos 2\alpha} - \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}| = |\frac{1 - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}|$.
मान रखने पर,$|\frac{1 - 7/16}{3\sqrt{23}/16}| = |\frac{9/16}{3\sqrt{23}/16}| = \frac{9}{3\sqrt{23}} = \frac{3}{\sqrt{23}}$.
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया है $\sinh x = \tan A$.
हम जानते हैं कि $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \tan A$,इसलिए $e^x - e^{-x} = 2 \tan A$.
माना $e^x = t$. तब $t - \frac{1}{t} = 2 \tan A$,जिसका अर्थ है $t^2 - 2 \tan A \cdot t - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{2 \tan A \pm \sqrt{4 \tan^2 A + 4}}{2} = \tan A \pm \sec A$.
चूंकि $e^x > 0$,हम $e^x = \tan A + \sec A$ लेते हैं।
तब $e^{-x} = \frac{1}{\sec A + \tan A} = \sec A - \tan A$.
अब,$\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{(\tan A + \sec A) - (\sec A - \tan A)}{(\tan A + \sec A) + (\sec A - \tan A)} = \frac{2 \tan A}{2 \sec A} = \frac{\tan A}{\sec A} = \sin A$.
अतः,$|\tanh x| = |\sin A|$.

(D) कथन $(A)$: $\coth x = \frac{1-k}{1+k}$
$\Rightarrow \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{1-k}{1+k}$
योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) लागू करने पर:
$\frac{(e^x + e^{-x}) + (e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})} = \frac{(1-k) + (1+k)}{(1-k) - (1+k)}$
$\Rightarrow \frac{2e^x}{2e^{-x}} = \frac{2}{-2k}$
$\Rightarrow e^{2x} = -\frac{1}{k}$
चूंकि $e^{2x} > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए और $0 < k < 2$ के लिए $-\frac{1}{k} < 0$ है,इसलिए समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है। अतः,कथन गलत है।
कारण $(R)$: फलन $y = \tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ है। जैसे $x \to \infty$,$y \to 1$ और जैसे $x \to -\infty$,$y \to -1$। ग्राफ $y = -1$ और $y = 1$ के बीच स्थित होता है। अतः,कारण सत्य है।

(B) रेखाएँ $L_1: x=2$,$L_2: y=3$,और $L_3: 4x+3y+7=0$ हैं।
शीर्ष प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त होते हैं:
$A = L_2 \cap L_3: y=3$ $\Rightarrow 4x+9+7=0$ $\Rightarrow 4x=-16$ $\Rightarrow x=-4$. अतः $A=(-4, 3)$.
$B = L_1 \cap L_2: x=2, y=3$. अतः $B=(2, 3)$.
$C = L_1 \cap L_3: x=2$ $\Rightarrow 8+3y+7=0$ $\Rightarrow 3y=-15$ $\Rightarrow y=-5$. अतः $C=(2, -5)$.
भुजाओं की लंबाई $c = AB = 6$,$a = BC = 8$,और $b = AC = 10$ है।
अंतःकेंद्र $I = \left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right) = \left(\frac{8(-4)+10(2)+6(2)}{24}, \frac{8(3)+10(3)+6(-5)}{24}\right) = (0, 1)$.
चूँकि $\triangle ABC$,$B(2, 3)$ पर एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए परिकेंद्र $S$,कर्ण $AC$ का मध्यबिंदु है।
$S = \left(\frac{-4+2}{2}, \frac{3-5}{2}\right) = (-1, -1)$.
दूरी $IS = \sqrt{(0-(-1))^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.

(C) निर्देशांक अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाने का रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\cos \theta = \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$।
इन मानों को $49x^2 + 25y^2 = 1225$ में रखने पर:
$49 \left( \frac{X-Y}{\sqrt{2}} \right)^2 + 25 \left( \frac{X+Y}{\sqrt{2}} \right)^2 = 1225$
$\frac{49}{2} (X^2 + Y^2 - 2XY) + \frac{25}{2} (X^2 + Y^2 + 2XY) = 1225$
$2$ से गुणा करने पर:
$49(X^2 + Y^2 - 2XY) + 25(X^2 + Y^2 + 2XY) = 2450$
$74X^2 - 48XY + 74Y^2 = 2450$
$2$ से भाग देने पर:
$37X^2 - 24XY + 37Y^2 = 1225$
$px^2 + qxy + ry^2 = t$ से तुलना करने पर,$p=37, q=-24, r=37, t=1225$ प्राप्त होता है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $(p+q+r-15)^2 = (37 - 24 + 37 - 15)^2 = (35)^2 = 1225 = t$।

(A) माना रेखाओं $x-3y+3=0$ और $x+3y+3=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ है। समीकरणों को जोड़ने पर: $2x+6=0 \implies x=-3$। $x=-3$ को $x-3y+3=0$ में रखने पर,$y=0$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (-3, 0)$।
माना रेखाओं $x+3y+3=0$ और $x+y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ है। समीकरणों को घटाने पर: $(x+3y+3) - (x+y-1) = 0 \implies 2y+4=0 \implies y=-2$। $y=-2$ को $x+y-1=0$ में रखने पर,$x-2-1=0 \implies x=3$ प्राप्त होता है। अतः,$B = (3, -2)$।
माना रेखाओं $x-3y+3=0$ और $x+y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C$ है। समीकरणों को घटाने पर: $(x-3y+3) - (x+y-1) = 0 \implies -4y+4=0 \implies y=1$। $y=1$ को $x+y-1=0$ में रखने पर,$x+1-1=0 \implies x=0$ प्राप्त होता है। अतः,$C = (0, 1)$।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ होता है।
$G = \left(\frac{-3+3+0}{3}, \frac{0-2+1}{3}\right) = \left(0, -\frac{1}{3}\right)$।

(A) माना बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र के अनुसार,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{3m - 2n}{m + n}, \frac{-2m + 3n}{m + n}\right)$ हैं।
चूंकि $P$ रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2\left(\frac{3m - 2n}{m + n}\right) - 3\left(\frac{-2m + 3n}{m + n}\right) + 4 = 0$ है।
$(m + n)$ से गुणा करने पर,$6m - 4n + 6m - 9n + 4m + 4n = 0$,जो $16m - 9n = 0$ में सरल होता है,अतः $\frac{m}{n} = \frac{9}{16}$ है।
हमें $AB$ को $k = \frac{-4m}{3n} = \frac{-4}{3} \times \frac{9}{16} = -\frac{3}{4}$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात करना है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$x = -17$ और $y = 18$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(-17, 18)$ है।

(A) दिया गया समीकरण $y^2+4y+8x-2=0$ है।
मान लीजिए कि मूल बिंदु को $(\alpha, \beta)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
तब,$x = X + \alpha$ और $y = Y + \beta$।
मूल समीकरण में मान रखने पर:
$(Y + \beta)^2 + 4(Y + \beta) + 8(X + \alpha) - 2 = 0$
$Y^2 + 2Y\beta + \beta^2 + 4Y + 4\beta + 8X + 8\alpha - 2 = 0$
$Y^2 + Y(2\beta + 4) + 8X + (\beta^2 + 4\beta + 8\alpha - 2) = 0$।
रूपांतरित समीकरण में $Y$ पद और अचर पद न होने के लिए,उनके गुणांकों को शून्य के बराबर रखने पर:
$2\beta + 4 = 0 \Rightarrow \beta = -2$।
$\beta^2 + 4\beta + 8\alpha - 2 = 0$।
$\beta = -2$ रखने पर:
$(-2)^2 + 4(-2) + 8\alpha - 2 = 0$
$4 - 8 + 8\alpha - 2 = 0$
$8\alpha - 6 = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{4}$।
अतः,मूल बिंदु को $\left(\frac{3}{4}, -2\right)$ पर स्थानांतरित किया जाता है।

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। चूँकि $P$,$A(-1, 3)$,$B(3, 5)$ और $C(5, 7)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA = PB = PC$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = (x+1)^2 + (y-3)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10$
$PB^2 = (x-3)^2 + (y-5)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34$
$PC^2 = (x-5)^2 + (y-7)^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 14y + 49 = x^2 + y^2 - 10x - 14y + 74$
$PA^2 = PB^2$ की तुलना करने पर:
$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34$
$8x + 4y = 24 \implies 2x + y = 6$ $(i)$
$PB^2 = PC^2$ की तुलना करने पर:
$x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34 = x^2 + y^2 - 10x - 14y + 74$
$4x + 4y = 40 \implies x + y = 10$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$(2x + y) - (x + y) = 6 - 10 \implies x = -4$
$x = -4$ को $(ii)$ में रखने पर:
$-4 + y = 10 \implies y = 14$
अतः,$P$ के निर्देशांक $(-4, 14)$ हैं।
$PA = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (14 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (11)^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}$.
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) माना शीर्ष $A(0, a)$,$B(2a, 0)$ और $C(x_1, y_1)$ हैं।
चूंकि एक भुजा क्षैतिज रेखा है और यह $X$-अक्ष नहीं है,इसलिए भुजा $AC$ क्षैतिज होनी चाहिए।
अतः,$C$ का $y$-निर्देशांक $A$ के $y$-निर्देशांक के बराबर होना चाहिए,यानी $y_1 = a$.
त्रिभुज समद्विबाहु है,इसलिए $AC = BC$ लेने पर,
$AC^2 = BC^2 \Rightarrow x_1^2 = (x_1 - 2a)^2 + a^2$.
$x_1^2 = x_1^2 - 4ax_1 + 4a^2 + a^2$.
$4ax_1 = 5a^2 \Rightarrow x_1 = \frac{5a}{4}$.
इस प्रकार,$x_1 + y_1 = \frac{5a}{4} + a = \frac{9a}{4}$.

(A) दिया गया समीकरण $3x^2+4xy+y^2-8x-4y-4=0$ है।
रैखिक पदों को हटाने के लिए,हम मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित करते हैं।
मान लीजिए $x = X+h$ और $y = Y+k$। इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3(X+h)^2 + 4(X+h)(Y+k) + (Y+k)^2 - 8(X+h) - 4(Y+k) - 4 = 0$.
विस्तार करने पर:
$3X^2 + 4XY + Y^2 + X(6h+4k-8) + Y(4h+2k-4) + (3h^2+4hk+k^2-8h-4k-4) = 0$.
रैखिक पदों को शून्य करने के लिए,$X$ और $Y$ के गुणांकों को शून्य लेते हैं:
$6h+4k-8 = 0 \Rightarrow 3h+2k=4$
$4h+2k-4 = 0 \Rightarrow 2h+k=2$
इन्हें हल करने पर,हमें $h=0$ और $k=2$ प्राप्त होता है।
अचर पद में $h=0, k=2$ रखने पर:
$c = 3(0)^2 + 4(0)(2) + (2)^2 - 8(0) - 4(2) - 4 = 4 - 8 - 4 = -8$.
अतः,रूपांतरित समीकरण $f(X, Y) = 3X^2 + 4XY + Y^2 - 8 = 0$ है।
इसलिए,$f(1,1) = 3(1)^2 + 4(1)(1) + (1)^2 - 8 = 3 + 4 + 1 - 8 = 0$.

(D) माना अनुपात $m:n = k:1$ है। बिंदु $(a, b)$ बिंदुओं $(2, -1)$ और $(1, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$a = \frac{k(1) + 1(2)}{k+1} = \frac{k+2}{k+1}$ और $b = \frac{k(-4) + 1(-1)}{k+1} = \frac{-4k-1}{k+1}$।
चूंकि $(a, b)$ रेखा $2x - y - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2(\frac{k+2}{k+1}) - (\frac{-4k-1}{k+1}) - 4 = 0$।
$(k+1)$ से गुणा करने पर,$2k + 4 + 4k + 1 - 4(k+1) = 0$,जो $6k + 5 - 4k - 4 = 0$ में सरल होता है,अतः $2k + 1 = 0$,जिससे $k = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$।
$k = -\frac{1}{2}$ को निर्देशांकों में रखने पर: $a = \frac{-0.5+2}{-0.5+1} = \frac{1.5}{0.5} = 3$ और $b = \frac{-4(-0.5)-1}{-0.5+1} = \frac{2-1}{0.5} = 2$।
अंत में,$4(a - b(\frac{m}{n})^2) = 4(3 - 2(-\frac{1}{2})^2) = 4(3 - 2(\frac{1}{4})) = 4(3 - 0.5) = 4(2.5) = 10$।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + 6x - 4y + 15 = 0$ है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 + 6x + 9) - 9 - 4y + 15 = 0$.
$(x + 3)^2 - 4y + 6 = 0$.
$(x + 3)^2 = 4y - 6$.
$(x + 3)^2 = 4(y - \frac{3}{2})$.
इसे रूपांतरित समीकरण $(x - \alpha)^2 = 8a(y - \beta)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x - \alpha = x + 3 \Rightarrow \alpha = -3$.
$y - \beta = y - \frac{3}{2} \Rightarrow \beta = \frac{3}{2}$.
$8a = 4 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
अब,$2\alpha + 8\beta^2$ की गणना करने पर:
$2(-3) + 8(\frac{3}{2})^2 = -6 + 8(\frac{9}{4}) = -6 + 18 = 12$.

(B) $a=5$ और $b=7$ अंतःखंडों वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{7} = 1$ है,जो $7x + 5y = 35$ के रूप में सरल होता है।
जब अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो नए निर्देशांक $(x', y')$ इस प्रकार होते हैं: $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ और $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$।
इन मानों को रेखा के समीकरण में रखने पर: $7(x' \cos \theta - y' \sin \theta) + 5(x' \sin \theta + y' \cos \theta) = 35$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x'(7 \cos \theta + 5 \sin \theta) + y'(5 \cos \theta - 7 \sin \theta) = 35$।
नए अक्षों पर अंतःखंड $a' = \frac{35}{7 \cos \theta + 5 \sin \theta}$ और $b' = \frac{35}{5 \cos \theta - 7 \sin \theta}$ हैं।
चूंकि अंतःखंड समान हैं,$a' = b'$,इसलिए $7 \cos \theta + 5 \sin \theta = 5 \cos \theta - 7 \sin \theta$।
$12 \sin \theta = -2 \cos \theta$।
$\tan \theta = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$।
अतः,$|\tan \theta| = \frac{1}{6}$।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ और $L_2: \frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ हैं।
$L_1$ की ढाल $m_1 = -\frac{b}{a}$ है।
$L_2$ की ढाल $m_2 = -\frac{a}{b}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{b}{a} - (-\frac{a}{b})}{1 + (-\frac{b}{a})(-\frac{a}{b})} \right| = \left| \frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{a^2 - b^2}{2ab} \right|$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{|a^2 - b^2|}{|2ab|}$,कर्ण $\sqrt{(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2} = |a^2 + b^2|$ होगा।
अतः,$\sin \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \left| \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \right|$.

(B) दी गई रेखाएं $L_1: 2x - 3y + 4 = 0$ और $L_2: 6x - 9y + 7 = 0$ हैं।
यहाँ $L_1$ और $L_2$ समांतर हैं।
रेखा $L$,$L_1$ और $L_2$ पर लंबवत है,इसलिए इसका समीकरण $3x + 2y + C = 0$ के रूप में होगा।
चूँकि $P(1, 1)$ रेखा $L$ पर स्थित है,$3(1) + 2(1) + C = 0 \implies C = -5$। अतः $L: 3x + 2y - 5 = 0$।
$A$,$L_1$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $A = (7/13, 22/13)$।
$B$,$L_2$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $B = (31/39, 3/13)$।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$,$AB$ को $9:4$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।

(D) दिया गया है,$f(x)=\log _e\left(e^{2 x}\left(\frac{3 x+5}{5-3 x}\right)^{\frac{2}{3}}\right)$
$\log(ab) = \log a + \log b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$f(x)=\log _e e^{2 x}+\log _e\left(\frac{3 x+5}{5-3 x}\right)^{\frac{2}{3}}$
$f(x)=2 x+\frac{2}{3} \log _e\left(\frac{3 x+5}{5-3 x}\right)$
$\log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b$ का उपयोग करने पर:
$f(x)=2 x+\frac{2}{3}\left(\log _e(3 x+5)-\log _e(5-3 x)\right)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d f}{d x}=2+\frac{2}{3}\left(\frac{3}{3 x+5}-\frac{-3}{5-3 x}\right)$
$\frac{d f}{d x}=2+2\left(\frac{1}{3 x+5}+\frac{1}{5-3 x}\right)$
$x=1$ पर:
$\left(\frac{d f}{d x}\right)_{x=1}=2+2\left(\frac{1}{3(1)+5}+\frac{1}{5-3(1)}\right)$
$=2+2\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\right)=2+2\left(\frac{1+4}{8}\right)=2+2\left(\frac{5}{8}\right)=2+\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$

(B) दिया गया है $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x, h(x)=x^2$.
हमें सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(g(h(x)))-f(g(h(1)))}{x-1}$ का मूल्यांकन करना है।
यह व्यंजक संयुक्त फलन $F(x) = f(g(h(x)))$ का $x=1$ पर अवकलज की परिभाषा है,अर्थात $F'(1)$।
सबसे पहले,$F(x) = f(g(h(x))) = \sin(\cos(x^2))$ ज्ञात करें।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $F(x)$ का अवकलन करें:
$F'(x) = \cos(\cos(x^2)) \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x^2)) = \cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$.
$F'(x) = \cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot (2x) = -2x \sin(x^2) \cos(\cos(x^2))$.
अब,$x=1$ पर मान रखने पर:
$F'(1) = -2(1) \sin(1^2) \cos(\cos(1^2)) = -2 \sin 1 \cos(\cos 1)$.
अतः,सीमा का मान $-2 \sin 1 \cos(\cos 1)$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{1+\sec x}{2(\sec x-1)}$.
$f(x)$ को $\cos x$ में बदलकर सरल करने पर:
$f(x) = \frac{1 + \frac{1}{\cos x}}{2(\frac{1}{\cos x} - 1)} = \frac{\frac{\cos x + 1}{\cos x}}{2(\frac{1 - \cos x}{\cos x})} = \frac{1 + \cos x}{2(1 - \cos x)}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $1 + \cos x = 2 \cos^2(\frac{x}{2})$ और $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{2 \cos^2(\frac{x}{2})}{2(2 \sin^2(\frac{x}{2}))} = \frac{1}{2} \cot^2(\frac{x}{2})$.
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cot(\frac{x}{2}) \cdot (-\operatorname{cosec}^2(\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cot(\frac{x}{2}) \operatorname{cosec}^2(\frac{x}{2})$.
हम जानते हैं कि $f^{\prime}(x) = f(x) \cdot g(x)$,इसलिए $g(x) = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
$g(x) = \frac{-\frac{1}{2} \cot(\frac{x}{2}) \operatorname{cosec}^2(\frac{x}{2})}{\frac{1}{2} \cot^2(\frac{x}{2})} = -\frac{\operatorname{cosec}^2(\frac{x}{2})}{\cot(\frac{x}{2})} = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} = -\frac{1}{\sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})}$.
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$g(x) = -\frac{2}{2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})} = -\frac{2}{\sin x} = -2 \operatorname{cosec} x$.

(A) दिया गया है $f(x) = \sin \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \cos \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)$।
आंतरिक पद के अवकलन के लिए भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx} \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) = \frac{(x^2+2)(2x) - (x^2+1)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^3 + 4x - 2x^3 - 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{2x}{(x^2+2)^2}$।
अतः,$f^{\prime}(x) = \cos \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) \cdot \frac{2x}{(x^2+2)^2}$।
$x = 1$ पर मान रखने पर:
$f^{\prime}(1) = \cos \left(\cosh \left(\frac{1^2+1}{1^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{1^2+1}{1^2+2}\right) \cdot \frac{2(1)}{(1^2+2)^2} = \frac{2}{9} \sinh \left(\frac{2}{3}\right) \cos \left(\cosh \left(\frac{2}{3}\right)\right)$।

(A) दिया गया समीकरण $x \cos (k+y)=\cos y$ है।
हम इसे $x = \frac{\cos y}{\cos (k+y)}$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\cos(k+y) \cdot (-\sin y) - \cos y \cdot (-\sin(k+y))}{\cos^2(k+y)}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\sin(k+y)\cos y - \cos(k+y)\sin y}{\cos^2(k+y)}$
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\sin(k+y-y)}{\cos^2(k+y)} = \frac{\sin k}{\cos^2(k+y)}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{\cos^2(k+y)}{\sin k}$.
अब,$y = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2(k+\frac{\pi}{2})}{\sin k} = \frac{(-\sin k)^2}{\sin k} = \frac{\sin^2 k}{\sin k} = \sin k$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) माना $u = x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}+1$ और $v = x^2-3 x+5$ है। गुणन नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ का उपयोग करते हुए:
$u' = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$
$v' = 2x-3$
$\frac{d}{dx}(uv) = (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})(x^2-3 x+5) + (x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}+1)(2 x-3)$
$= (\frac{5}{2} x^{\frac{7}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{25}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{9}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}}) + (2 x^{\frac{7}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + 2 x - 3)$
$= (\frac{5}{2} + 2) x^{\frac{7}{2}} + (-\frac{15}{2} - \frac{3}{2} - 3 - 2) x^{\frac{5}{2}} + (\frac{25}{2} + \frac{9}{2} + 3) x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$
$= \frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}} - 14 x^{\frac{5}{2}} + 20 x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$

(C) माना $y = \log \left(\sin \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}\right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}} \cdot \cos \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2+1}{x^2+2} \right)$.
आंतरिक भाग का अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2+1}{x^2+2} \right) = \frac{2x(x^2+2) - 2x(x^2+1)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^3+4x-2x^3-2x}{(x^2+2)^2} = \frac{2x}{(x^2+2)^2}$.
$x = \sqrt{2}$ रखने पर,$\frac{x^2+1}{x^2+2} = \frac{2+1}{2+2} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \cot \left( \sqrt{\frac{3}{4}} \right) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{3/4}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{(2+2)^2} = \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{16} = \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2} \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{8 \sqrt{3}}$.

(B) दिया गया है,$x=\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta$.
अतः,$\frac{d x}{d \theta}=-\operatorname{cosec} \theta \cot \theta-\cos \theta=-\cot \theta(\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)$.
चूँकि $x^2+4=(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)^2+4=(\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)^2$,इसलिए $\sqrt{x^2+4}=\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta$.
अतः,$\frac{d x}{d \theta}=-\cot \theta \sqrt{x^2+4}$.
इसी प्रकार,$y=\operatorname{cosec}^{2022} \theta-\sin ^{2022} \theta$.
अतः,$\frac{d y}{d \theta}=-2022 \cot \theta(\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta)$.
चूँकि $y^2+4=(\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta)^2$,इसलिए $\sqrt{y^2+4}=\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta$.
अतः,$\frac{d y}{d \theta}=-2022 \cot \theta \sqrt{y^2+4}$.
दोनों अवकलजों को विभाजित करने पर,$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = 2022 \frac{\sqrt{y^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = (2022)^2 \frac{y^2+4}{x^2+4}$.
इसकी तुलना $\frac{k(y^2+4)}{g(x)}$ से करने पर,हमें $k=(2022)^2$ और $g(x)=x^2+4$ प्राप्त होता है।
अंत में,$10+k-g(2022) = 10+(2022)^2-(2022^2+4) = 10-4 = 6$.

(C) दिया गया है $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta)$।
सबसे पहले,$\frac{dx}{d\theta}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta) = a\theta \cos \theta$।
हम जानते हैं कि $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\tan \theta}{\theta}$।
अतः,$\frac{dy}{d\theta} = \frac{dx}{d\theta} \cdot \frac{\tan \theta}{\theta} = (a\theta \cos \theta) \cdot \frac{\sin \theta}{\theta \cos \theta} = a \sin \theta$।
अब,$f(\theta)$ ज्ञात करने के लिए $\frac{dy}{d\theta}$ का $\theta$ के सापेक्ष समाकलन करें:
$f(\theta) = \int a \sin \theta \, d\theta = -a \cos \theta + C$।
दिया गया है $f(2\pi) = 0$,इसलिए $-a \cos(2\pi) + C = 0 \implies -a(1) + C = 0 \implies C = a$।
इस प्रकार,$f(\theta) = a - a \cos \theta = a(1 - \cos \theta)$।
अब,$f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ का मान ज्ञात करें:
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = a\left(1 - \cos \frac{\pi}{3}\right) = a\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{a}{2}$।

(D) दिया गया है: $x^2+y^2=t-\frac{1}{t}$ (समीकरण $1$)
समीकरण $1$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2+y^2)^2 = (t-\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
दिया गया है: $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को विस्तारित रूप में रखने पर:
$(t^2+\frac{1}{t^2})+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
$2x^2y^2 = -2$
$x^2y^2 = -1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(-1)$
$x^2(2y \frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$
$2x^2y \frac{dy}{dx} = -2xy^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = -\frac{y}{x}$

(C) दिया गया है कि $g(x)$,$f(x)$ का प्रति-अवकलज है,इसलिए $g^{\prime}(x) = f(x)$ है।
हमें वह फलन $h(x)$ ज्ञात करना है जिसके लिए $\int h(x) \, dx = \log _e(1+(g(x))^2) + c$ हो।
प्रति-अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$h(x) = \frac{d}{dx} [\log _e(1+(g(x))^2) + c]$ होगा।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} [\log _e(1+(g(x))^2)] = \frac{1}{1+(g(x))^2} \cdot \frac{d}{dx} (1+(g(x))^2)$ होगा।
$= \frac{1}{1+(g(x))^2} \cdot (2 g(x) \cdot g^{\prime}(x))$।
चूंकि $g^{\prime}(x) = f(x)$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$h(x) = \frac{2 g(x) f(x)}{1+(g(x))^2}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{e^{-x} \sin x}{\log_e x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln f(x) = \ln(e^{-x}) + \ln(\sin x) - \ln(\ln x) = -x + \ln(\sin x) - \ln(\ln x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{f'(x)}{f(x)} = -1 + \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x \ln x}$.
चूंकि $f'(x) = f(x) \cdot g(x)$,इसलिए $g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = -1 + \cot x - \frac{1}{x \ln x}$.
$g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $g'(x) = -\operatorname{cosec}^2 x - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x \ln x} \right) = -\operatorname{cosec}^2 x - \left( \frac{-(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x})}{(x \ln x)^2} \right) = -\operatorname{cosec}^2 x + \frac{\ln x + 1}{x^2 (\ln x)^2}$.
$x = e$ रखने पर: $g'(e) = -\operatorname{cosec}^2(e) + \frac{\ln e + 1}{e^2 (\ln e)^2} = -\operatorname{cosec}^2(e) + \frac{1 + 1}{e^2 (1)^2} = 2e^{-2} - \operatorname{cosec}^2(e)$.

(D) दिया गया है $y = \frac{e^{\sin x} + \sinh^3 x}{\cosh x - \tan x}$।
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = e^{\sin x} + \sinh^3 x$ और $v = \cosh x - \tan x$ है।
सबसे पहले,$x = 0$ पर अवकलज ज्ञात करें:
$u(0) = e^{\sin 0} + \sinh^3 0 = e^0 + 0 = 1$.
$u'(x) = e^{\sin x} \cos x + 3 \sinh^2 x \cosh x$.
$u'(0) = e^0 \cos 0 + 3 \sinh^2 0 \cosh 0 = 1 \cdot 1 + 0 = 1$.
$v(0) = \cosh 0 - \tan 0 = 1 - 0 = 1$.
$v'(x) = \sinh x - \sec^2 x$.
$v'(0) = \sinh 0 - \sec^2 0 = 0 - 1 = -1$.
अब,इन मानों को $x = 0$ पर भागफल नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$y'(0) = \frac{u'(0)v(0) - u(0)v'(0)}{(v(0))^2} = \frac{(1)(1) - (1)(-1)}{(1)^2} = \frac{1 + 1}{1} = 2$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $y = \frac{ax + b}{cx + d}$.
$\frac{dx}{dy}$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$y(cx + d) = ax + b$
$cyx + yd = ax + b$
$cyx - ax = b - yd$
$x(cy - a) = b - yd$
$x = \frac{b - yd}{cy - a} = \frac{yd - b}{a - cy}$.
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dy} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{dy} = \frac{d(a - cy) - (yd - b)(-c)}{(a - cy)^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{ad - cdy + cdy - bc}{(a - cy)^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{ad - bc}{(a - cy)^2}$.

(B) दिया गया है $a f(x)+b f\left(\frac{1}{x}\right)=x+1$ $(i)$
$x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है $a f\left(\frac{1}{x}\right)+b f(x)=\frac{1}{x}+1$ $(ii)$
$(i)$ को $a$ से और $(ii)$ को $b$ से गुणा करने पर:
$a^2 f(x)+a b f\left(\frac{1}{x}\right)=a x+a$
$b^2 f(x)+a b f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{b}{x}+b$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(a^2-b^2) f(x)=a x-\frac{b}{x}+a-b$
$f(x)=\frac{a x}{a^2-b^2}-\frac{b}{x(a^2-b^2)}+\frac{1}{a+b}$
अब,$x^2 f(x)=\frac{a x^3}{a^2-b^2}-\frac{b x}{a^2-b^2}+\frac{x^2}{a+b}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}\left(x^2 f(x)\right)=\frac{3 a x^2}{a^2-b^2}-\frac{b}{a^2-b^2}+\frac{2 x}{a+b}$
$2 x^2+2 x+\frac{1}{3}$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{3 a}{a^2-b^2}=2$ $(iii)$
$\frac{2}{a+b}=2 \Rightarrow a+b=1$ $(iv)$
$-\frac{b}{a^2-b^2}=\frac{1}{3}$ $(v)$
$(iv)$ से,$a^2-b^2=(a-b)(a+b)=a-b$.
$(iii)$ और $(v)$ में मान रखने पर:
$\frac{3 a}{a-b}=2 \Rightarrow 3 a=2 a-2 b \Rightarrow a=-2 b$
$-\frac{b}{a-b}=\frac{1}{3} \Rightarrow -3 b=a-b \Rightarrow a=-2 b$
चूंकि $a+b=1$ और $a=-2 b$,इसलिए $-2 b+b=1 \Rightarrow b=-1$ और $a=2$.
अतः,$a-b=2-(-1)=3$.

(A) दिया गया वक्र का समीकरण $\sin y = \sqrt{3} x \sin \left(\frac{\pi}{6} + y\right) \quad (i)$ है।
$x = 0$ पर,$\sin y = 0$,जिसका अर्थ है $y = 0$ है।
अब,समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\cos y \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6} + y\right) + \sqrt{3} x \cos \left(\frac{\pi}{6} + y\right) \frac{dy}{dx}$.
बिंदु $(0, 0)$ पर,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$\cos(0) \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6} + 0\right) + \sqrt{3}(0) \cos \left(\frac{\pi}{6} + 0\right) \frac{dy}{dx}$.
$1 \cdot \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
बिंदु $(0, 0)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - 0 = -\frac{2}{\sqrt{3}}(x - 0)$.
$\sqrt{3}y = -2x$,जिसे सरल करने पर $2x + \sqrt{3}y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र $y=x^2$ है। जब इसे धनात्मक $X$-अक्ष पर '$a$' इकाई खिसकाया जाता है,तो नया वक्र $y=(x-a)^2$ हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को बराबर रखते हैं:
$x^2 = (x-a)^2$
$x^2 = x^2 - 2ax + a^2$
$2ax = a^2$
चूंकि $a \neq 0$,हमें $x = \frac{a}{2}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{a}{2}$ को $y=x^2$ में रखने पर,$y = \frac{a^2}{4}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4})$ है।
अब,इस बिंदु पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करते हैं:
$y=x^2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x=\frac{a}{2}$ पर,$m_1 = 2(\frac{a}{2}) = a$.
$y=(x-a)^2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2(x-a)$. $x=\frac{a}{2}$ पर,$m_2 = 2(\frac{a}{2}-a) = -a$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{a - (-a)}{1 + (a)(-a)} \right| = \left| \frac{2a}{1 - a^2} \right| = \frac{2|a|}{|1 - a^2|}$.
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) दिए गए वक्र $x^2-y^2=4$ और $y^2=3x$ हैं।
प्रथम समीकरण में $y^2=3x$ रखने पर: $x^2-3x-4=0$.
$(x-4)(x+1)=0$. चूंकि $y^2=3x$,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $x=4$.
तब $y^2=12$,जिससे $y=\pm 2\sqrt{3}$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 2\sqrt{3})$ लें।
$x^2-y^2=4$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x-2y \frac{dy}{dx}=0 \implies \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}$.
$(4, 2\sqrt{3})$ पर,$m_1 = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$y^2=3x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx}=3 \implies \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2y}$.
$(4, 2\sqrt{3})$ पर,$m_2 = \frac{3}{2(2\sqrt{3})} = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
$\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{4}}{1+(\frac{2}{\sqrt{3}})(\frac{\sqrt{3}}{4})} \right| = \left| \frac{\frac{8-3}{4\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{5}{4\sqrt{3}} \times \frac{2}{3} \right| = \frac{5}{6\sqrt{3}}$.

(D) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें अवकलज $\Delta S \approx dS = 8 \pi r \Delta r$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\Delta S = 0.02 \text{ cm}^2$ और $r = 10 \text{ cm}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.02 = 8 \pi (10) \Delta r$.
$\Delta r$ के लिए हल करने पर,हमें $\Delta r = \frac{0.02}{80 \pi} = \frac{0.001}{4 \pi} \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $\Delta V \approx dV = 4 \pi r^2 \Delta r$ है।
$r = 10$ और $\Delta r = \frac{0.001}{4 \pi}$ रखने पर:
$\Delta V = 4 \pi (10)^2 \times \frac{0.001}{4 \pi} = 100 \times 0.001 = 0.1 \text{ cm}^3$.

(B) माना $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ है। हमें $f(28)$ का सन्निकट मान ज्ञात करना है।
माना $x = 27$ और $\Delta x = 1$,ताकि $x + \Delta x = 28$ हो जाए।
हम जानते हैं कि $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ होता है।
यहाँ,$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$,इसलिए $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$ होगा।
$x = 27$ के लिए,$f(27) = (27)^{\frac{1}{3}} = 3$ है।
$f'(27) = \frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(3^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(3^2)} = \frac{1}{3 \times 9} = \frac{1}{27}$ है।
अब,$f(28) \approx f(27) + f'(27) \Delta x$ होगा।
$f(28) \approx 3 + \left(\frac{1}{27}\right)(1) = 3 + 0.037037...$
$3$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $3.037$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(C) यह दिया गया है कि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ में सतत है और प्रत्येक $\delta > 0$ के लिए $f(c - \delta) < f(c)$ और $f(c + \delta) < f(c)$ है,इसलिए स्थानीय उच्चिष्ठ की परिभाषा के अनुसार $f(x)$ का $x = c$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।
अब,सभी $\alpha \in (a, b)$ जहाँ $\alpha \neq c$ है,के लिए शर्त $(f(\alpha - \delta) - f(\alpha))(f(\alpha + \delta) - f(\alpha)) < 0$ पर विचार करें।
यह असमिका दर्शाती है कि दो गुणनखंडों $(f(\alpha - \delta) - f(\alpha))$ और $(f(\alpha + \delta) - f(\alpha))$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
स्थिति $1$: $f(\alpha - \delta) - f(\alpha) > 0$ और $f(\alpha + \delta) - f(\alpha) < 0$। इसका अर्थ है $f(\alpha - \delta) > f(\alpha)$ और $f(\alpha + \delta) < f(\alpha)$। यह दर्शाता है कि फलन $\alpha$ के पड़ोस में घट रहा है,इसलिए $\alpha$ एक नति परिवर्तन बिंदु (inflection point) है (न तो स्थानीय उच्चिष्ठ और न ही स्थानीय निम्निष्ठ)।
स्थिति $2$: $f(\alpha - \delta) - f(\alpha) < 0$ और $f(\alpha + \delta) - f(\alpha) > 0$। इसका अर्थ है $f(\alpha - \delta) < f(\alpha)$ और $f(\alpha + \delta) > f(\alpha)$। यह दर्शाता है कि फलन $\alpha$ के पड़ोस में बढ़ रहा है,इसलिए $\alpha$ भी एक नति परिवर्तन बिंदु है।
अतः,$f(x)$ का $c$ पर केवल एक स्थानीय उच्चिष्ठ है और $\alpha$ पर कोई स्थानीय चरम मान नहीं है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = -(x-2)^3(x+2)^2$ है।
स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = -[3(x-2)^2(x+2)^2 + (x-2)^3 \cdot 2(x+2)]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2) [3(x+2) + 2(x-2)]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2) [3x + 6 + 2x - 4]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2)(5x + 2)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = 2, x = -2, x = -\frac{2}{5}$ प्राप्त होते हैं।
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए:
$x < -2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$-2 < x < -\frac{2}{5}$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$-\frac{2}{5} < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x > 2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
चूंकि $x = -\frac{2}{5}$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए यह स्थानीय अधिकतम का बिंदु है।
स्थानीय अधिकतम मान $f(-\frac{2}{5}) = -(-\frac{2}{5}-2)^3(-\frac{2}{5}+2)^2$ है।
$f(-\frac{2}{5}) = -(-\frac{12}{5})^3(\frac{8}{5})^2 = -(-\frac{1728}{125}) \cdot \frac{64}{25} = \frac{1728 \cdot 64}{3125} = \frac{12^3 \cdot 8^2}{5^5}$.

(B) दिया गया है,$f(x)=\frac{6 x^2-18 x+21}{6 x^2-18 x+17}$।
हम फलन को $f(x)=1+\frac{4}{6 x^2-18 x+17}$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $g(x)=6 x^2-18 x+17$ है। $f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें $g(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना होगा।
$g'(x)=12 x-18$। $g'(x)=0$ रखने पर,हमें $x=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$g(x)$ का न्यूनतम मान $g(\frac{3}{2}) = 6(\frac{9}{4}) - 18(\frac{3}{2}) + 17 = \frac{27}{2} - 27 + 17 = \frac{7}{2}$ है।
अतः,$f(x)$ का अधिकतम मान $m = 1 + \frac{4}{7/2} = 1 + \frac{8}{7} = \frac{15}{7}$ है।
जैसे $x \to \pm \infty$,$f(x) \to 1$ होता है। चूँकि सभी $x$ के लिए $g(x) > 0$ है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x) > 1$ है। अतः,$n = 1$ है।
अंत में,$14 m - 7 n = 14(\frac{15}{7}) - 7(1) = 30 - 7 = 23$।

(D) मान लीजिए शंकु की त्रिज्या $R = \sqrt{3}$ और अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = \frac{\pi}{3}$ है।
शंकु की ऊँचाई $H = R \cot(\alpha) = \sqrt{3} \cot(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$ है।
मान लीजिए अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,$\frac{R-r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
अतः,$h = \frac{R-r}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-r}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{r}{\sqrt{3}}$.
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi r^2 (1 - \frac{r}{\sqrt{3}}) = \pi (r^2 - \frac{r^3}{\sqrt{3}})$.
$V$ को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dV}{dr} = \pi (2r - \frac{3r^2}{\sqrt{3}}) = \pi (2r - \sqrt{3}r^2) = 0$.
चूँकि $r \neq 0$,इसलिए $2 - \sqrt{3}r = 0$,जिससे $r = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
बेलन की ऊँचाई $h = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{2}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होती है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 1 + 6x - 3x^2, & x \leq 1 \\ x + \log_2(b^2 + 7), & x > 1 \end{cases}$।
$f(1)$ को अधिकतम मान होने के लिए,सभी $x$ के लिए $f(x) \leq f(1)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$f(1) = 1 + 6(1) - 3(1)^2 = 1 + 6 - 3 = 4$ की गणना करें।
$x > 1$ के लिए,हमें $f(x) \leq 4$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x + \log_2(b^2 + 7) \leq 4$।
चूंकि यह सभी $x > 1$ के लिए सत्य होना चाहिए,हम $x \to 1^+$ की सीमा लेते हैं,जिससे $1 + \log_2(b^2 + 7) \leq 4$ प्राप्त होता है।
$\log_2(b^2 + 7) \leq 3$।
$b^2 + 7 \leq 2^3 = 8$।
$b^2 \leq 1$।
अतः,$-1 \leq b \leq 1$,यानी $b \in [-1, 1]$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 9$ अंतराल $[-3, 3]$ पर है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 36$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$6(x^2 - x - 6) = 0 \Rightarrow 6(x - 3)(x + 2) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 3$ और $x = -2$ हैं।
दोनों बिंदु अंतराल $[-3, 3]$ के भीतर स्थित हैं।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(-3) = 2(-3)^3 - 3(-3)^2 - 36(-3) + 9 = -54 - 27 + 108 + 9 = 36$.
$f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 9 = -16 - 12 + 72 + 9 = 53$.
$f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 9 = 54 - 27 - 108 + 9 = -72$.
अतः,निरपेक्ष अधिकतम मान $53$ है।

(A) माना $f(x) = -x^2 + 6x + 12$.
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x) = -2x + 6$ प्राप्त करते हैं।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $-2x + 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 3$.
अतः,$\alpha = 3$.
चरम मान $\beta$ है $f(\alpha) = f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 12 = -9 + 18 + 12 = 21$.
चूंकि $\alpha = 3$,हम लिख सकते हैं $\beta = 21 = 7 \times 3 = 7 \alpha$.
इसलिए,$\beta = 7 \alpha$.

(D) माना $I = \int \left(x \sqrt{x} - e^{\log(\sec x \tan x)} + \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2}\right) dx$.
गुणधर्म $e^{\log f(x)} = f(x)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \left(x^{3/2} - \sec x \tan x + 3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$\int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x}$.
$\int -\sec x \tan x dx = -\sec x$.
$\int 3 dx = 3x$.
$\int -\frac{2}{x} dx = -2 \log x$.
$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
इन सबको जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} - \sec x + 3x - 2 \log x - \frac{1}{x} + c$.

(C) दिया गया है: $f(x)=\int\left(\frac{2 x^3-3 x^2+4 x-5}{x^2}\right) d x$
समाकल्य को सरल करने पर: $f(x)=\int\left(2 x-3+\frac{4}{x}-\frac{5}{x^2}\right) d x$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $f(x)=x^2-3 x+4 \log |x|+\frac{5}{x}+C$
दिया गया है $f(1)=1$,इसलिए $x=1$ प्रतिस्थापित करने पर: $1^2-3(1)+4 \log(1)+\frac{5}{1}+C=1$
$1-3+0+5+C=1 \Rightarrow 3+C=1 \Rightarrow C=-2$
अतः,$f(x)=x^2-3 x+4 \log |x|+\frac{5}{x}-2$
अब,$f(5)$ का मान ज्ञात करने पर: $f(5)=5^2-3(5)+4 \log 5+\frac{5}{5}-2$
$f(5)=25-15+4 \log 5+1-2$
$f(5)=9+4 \log 5$

(D) हमें समाकलन $I = \int \frac{1+\cos 8 x}{\tan 2 x-\cot 2 x} d x$ दिया गया है।
सर्वसमिका $1+\cos 8x = 2\cos^2 4x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{2 \cos ^2 4 x}{\frac{\sin 2 x}{\cos 2 x}-\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x}} d x$.
हर को सरल करने पर: $\frac{\sin 2 x}{\cos 2 x}-\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x} = \frac{\sin^2 2x - \cos^2 2x}{\sin 2x \cos 2x} = \frac{-\cos 4x}{\frac{1}{2}\sin 4x} = -2\cot 4x$.
अतः,$I = \int \frac{2 \cos^2 4x}{-2\cot 4x} d x = -\int \frac{\cos^2 4x}{\frac{\cos 4x}{\sin 4x}} d x = -\int \cos 4x \sin 4x d x$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर: $I = -\frac{1}{2} \int 2 \sin 4x \cos 4x d x = -\frac{1}{2} \int \sin 8x d x$.
समाकलन करने पर: $I = -\frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 8x}{8} \right) + c = \frac{1}{16} \cos 8x + c$.
$f(x) \cdot \cos(g(x)) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{16}$ और $g(x) = 8x$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f\left(\frac{1}{4}\right) + g\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} + 8\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} + 2 = \frac{33}{16}$.

(B) दिया गया है $\tan \alpha = \frac{4}{3}$। चूँकि $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4}{3}$,इसलिए $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ और $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ है।
माना $I = \int \frac{dx}{3 \cos x - 4 \sin x}$।
$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{5} \int \frac{dx}{\frac{3}{5} \cos x - \frac{4}{5} \sin x} = \frac{1}{5} \int \frac{dx}{\cos \alpha \cos x - \sin \alpha \sin x}$।
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{5} \int \frac{dx}{\cos(x + \alpha)} = \frac{1}{5} \int \sec(x + \alpha) dx$।
$\sec \theta$ का समाकलन $\log | \sec \theta + \tan \theta |$ या $\log | \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}) |$ होता है।
अतः,$I = \frac{1}{5} \log \left| \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x + \alpha}{2} \right) \right| + c = \frac{1}{5} \log \left| \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\alpha}{2} \right) \right| + c$।

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \left(2^x - \sqrt{1 + \sin 2x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}\right) dx$ है।
चूंकि $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$,इसलिए $\sqrt{1 + \sin 2x} = |\sin x + \cos x|$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{3 \pi}{4} < x < \frac{7 \pi}{4}$,इस अंतराल में $\sin x + \cos x$ ऋणात्मक है।
अतः,$|\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x)$ होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \left(2^x - (-(\sin x + \cos x)) + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}\right) dx$
$I = \int \left(2^x + \sin x + \cos x + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}\right) dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \frac{2^x}{\log 2} - \cos x + \sin x - \frac{1}{x} - \log |x| + c$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{2^x}{\log 2} + \sin x - \cos x - \frac{1}{x} - \log |x| + c$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \left( \frac{\sin x + \sin 2x}{1 + \cos x + \cos 2x} \right)^2 dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \left( \frac{\sin x + 2 \sin x \cos x}{1 + \cos x + 2 \cos^2 x - 1} \right)^2 dx$
$I = \int \left( \frac{\sin x (1 + 2 \cos x)}{\cos x (1 + 2 \cos x)} \right)^2 dx$
चूंकि $\cos x \neq -1/2$,हम $(1 + 2 \cos x)$ को काट सकते हैं:
$I = \int \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^2 dx = \int \tan^2 x dx$
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int (\sec^2 x - 1) dx = \tan x - x + c$.

(A) दिया गया है $f(x) = \int \frac{2-3 \sin^2 x}{1+\cos 2x} dx$।
सर्वसमिका $1+\cos 2x = 2 \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \int \frac{2-3 \sin^2 x}{2 \cos^2 x} dx = \int \left( \frac{2}{2 \cos^2 x} - \frac{3 \sin^2 x}{2 \cos^2 x} \right) dx$
$f(x) = \int (\sec^2 x - \frac{3}{2} \tan^2 x) dx$
चूंकि $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$,इसलिए:
$f(x) = \int (\sec^2 x - \frac{3}{2}(\sec^2 x - 1)) dx = \int (\sec^2 x - \frac{3}{2} \sec^2 x + \frac{3}{2}) dx$
$f(x) = \int (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \sec^2 x) dx = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} \tan x + C$
दिया गया है $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$:
$\frac{3}{2} \left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2} \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 1$
$\frac{3\pi}{8} - \frac{1}{2}(1) + C = 1 \Rightarrow C = 1 + \frac{1}{2} - \frac{3\pi}{8} = \frac{3}{2} - \frac{3\pi}{8} = \frac{3}{8}(4-\pi)$
अब,$f(0) = \frac{3}{2}(0) - \frac{1}{2} \tan(0) + C = C = \frac{3}{8}(4-\pi)$।

(D) माना $I = \int \sqrt{4 \cos ^2 x - 5 \sin ^2 x} \cos x \, dx$.
सर्वसमिका $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \sqrt{4(1 - \sin ^2 x) - 5 \sin ^2 x} \cos x \, dx = \int \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} \cos x \, dx$.
माना $\sin x = t$,तब $\cos x \, dx = dt$.
$I = \int \sqrt{4 - 9t^2} \, dt = \int \sqrt{2^2 - (3t)^2} \, dt$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 3t$ और $du = 3 \, dt$ (अतः $dt = \frac{du}{3}$):
$I = \frac{1}{3} \int \sqrt{2^2 - u^2} \, du = \frac{1}{3} \left[ \frac{u}{2} \sqrt{4 - u^2} + \frac{4}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) \right] + C$.
$u = 3 \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{3 \sin x}{2} \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} + 2 \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sin x}{2}\right) \right] + C$.
$I = \frac{1}{2} \sin x \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} + \frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sin x}{2}\right) + C$.

(C) माना $I = \int(2 x-3) \sqrt{3 x+2} \, dx$ है।
$3x+2 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \frac{t^2-2}{3}$ और $dx = \frac{2t}{3} \, dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \left(2 \left(\frac{t^2-2}{3}\right) - 3\right) \cdot t \cdot \frac{2t}{3} \, dt$
$I = \int \left(\frac{2t^2-13}{3}\right) \cdot \frac{2t^2}{3} \, dt = \frac{2}{9} \int (2t^4 - 13t^2) \, dt$
$I = \frac{2}{9} \left( \frac{2t^5}{5} - \frac{13t^3}{3} \right) + c = \frac{2}{135} (6t^5 - 65t^3) + c$
चूंकि $t = \sqrt{3x+2}$ है,
$I = \frac{2}{135} (3x+2) \sqrt{3x+2} (6(3x+2) - 65) + c$
$I = \frac{2}{135} \sqrt{3x+2} (3x+2) (18x - 53) + c$
$I = \frac{2}{135} (54x^2 - 123x - 106) \sqrt{3x+2} + c$.

(C) माना $I = \int \frac{\cos \left(\log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)\right)}{(3-2x)^2} \, dx$.
$t = \log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2x+3}{3-2x} = e^t$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) = \frac{(3-2x)(2) - (2x+3)(-2)}{(3-2x)^2} = \frac{6-4x+4x+6}{(3-2x)^2} = \frac{12}{(3-2x)^2}$.
अतः,$\frac{12}{(3-2x)^2} \, dx = e^t \, dt$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{(3-2x)^2} \, dx = \frac{1}{12} e^t \, dt$.
समाकलन में मान रखने पर: $I = \int \cos(t) \cdot \frac{1}{12} e^t \, dt = \frac{1}{12} \int e^t \cos(t) \, dt$.
दिए गए सूत्र $\int e^t \cos(t) \, dt = \frac{e^t}{2}(\cos t + \sin t)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{12} \cdot \frac{e^t}{2}(\cos t + \sin t) = \frac{e^t}{24}(\cos t + \sin t)$.
$t = \log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)$ और $e^t = \frac{2x+3}{3-2x}$ वापस रखने पर,$I = \frac{\frac{2x+3}{3-2x}}{24} \left[ \cos \left( \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) \right) + \sin \left( \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) \right) \right] + c$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$f(x) = \frac{2x+3}{3-2x}$ और $g(x) = \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right)$.
अतः,$g(x) = \log(f(x))$,जिसका अर्थ है $g(1) = \log(f(1))$.

(C) दिया गया है $f\left(\frac{2x+1}{5x+3}\right) = x+2$।
मान लीजिए $t = \frac{2x+1}{5x+3}$।
तब $t(5x+3) = 2x+1 \implies 5xt + 3t = 2x+1 \implies x(5t-2) = 1-3t \implies x = \frac{1-3t}{5t-2} = \frac{3t-1}{2-5t}$।
फलन में $x$ का मान रखने पर: $f(t) = \frac{3t-1}{2-5t} + 2 = \frac{3t-1 + 4-10t}{2-5t} = \frac{3-7t}{2-5t} = \frac{7t-3}{5t-2}$।
अब,$\int f(x) dx = \int \frac{7x-3}{5x-2} dx$।
विभाजन का उपयोग करने पर: $\frac{7x-3}{5x-2} = \frac{7}{5} \left(\frac{5x-2}{5x-2}\right) + \frac{\frac{14}{5}-3}{5x-2} = \frac{7}{5} - \frac{1}{5(5x-2)}$।
अतः,$\int f(x) dx = \int \left(\frac{7}{5} - \frac{1}{5(5x-2)}\right) dx = \frac{7}{5}x - \frac{1}{25} \ln |5x-2| + c$।

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{3 x^6-2 x^4+x^2-2}{x^2+1} d x$ का मान ज्ञात करना है।
अंश $3x^6 - 2x^4 + x^2 - 2$ को हर $x^2 + 1$ से विभाजित करने पर:
$3x^6 - 2x^4 + x^2 - 2 = (x^2 + 1)(3x^4 - 5x^2 + 6) - 8$.
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \left( 3x^4 - 5x^2 + 6 - \frac{8}{x^2+1} \right) d x$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = 3 \int x^4 d x - 5 \int x^2 d x + 6 \int 1 d x - 8 \int \frac{1}{x^2+1} d x$.
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करने पर:
$I = 3 \left( \frac{x^5}{5} \right) - 5 \left( \frac{x^3}{3} \right) + 6x - 8 \tan^{-1} x + c$.
$I = \frac{3}{5} x^5 - \frac{5}{3} x^3 + 6x - 8 \tan^{-1} x + c$.

(A) दिया गया है $f(x) = \int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{4(\sin^3 x + \cos^3 x)}{(2 \sin x \cos x)^2} \right] dx$.
चूँकि $\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$,व्यंजक $\int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{4(\sin^3 x + \cos^3 x)}{4 \sin^2 x \cos^2 x} \right] dx$ बन जाता है।
$= \int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right] dx$.
$= \int \left[ (\sec^2 x - 1) + (\csc^2 x - 1) + \sec x \tan x + \csc x \cot x \right] dx$.
$= \tan x - x - \cot x - x + \sec x - \csc x + C$.
$f(x) = \tan x - \cot x + \sec x - \csc x - 2x + C$.
दिया है $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$: $\tan\frac{\pi}{4} - \cot\frac{\pi}{4} + \sec\frac{\pi}{4} - \csc\frac{\pi}{4} - 2\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 0$.
$1 - 1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} - \frac{\pi}{2} + C = 0 \implies C = \frac{\pi}{2}$.
अतः $f(x) = \tan x - \cot x + \sec x - \csc x - 2x + \frac{\pi}{2}$.
अब $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \tan\frac{\pi}{6} - \cot\frac{\pi}{6} + \sec\frac{\pi}{6} - \csc\frac{\pi}{6} - 2\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2}$.
$= \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - 2 - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} - 2 + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} - 2$.
तब $3 \left[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \right] = 3 \left[ \frac{\pi}{6} - 2 + 2 \right] = 3 \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{2}$.

(A) माना $I = \int \frac{\cos^3 x}{(1+\sin x)^4} dx$ है।
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos^3 x = \cos x(1 - \sin^2 x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{\cos x(1 - \sin^2 x)}{(1+\sin x)^4} dx$ है।
माना $u = \sin x$,तो $du = \cos x dx$ है।
$I = \int \frac{1 - u^2}{(1+u)^4} du = \int \frac{(1-u)(1+u)}{(1+u)^4} du = \int \frac{1-u}{(1+u)^3} du$ है।
माना $t = 1+u$,तो $u = t-1$ और $du = dt$ है।
$I = \int \frac{1-(t-1)}{t^3} dt = \int \frac{2-t}{t^3} dt = \int (2t^{-3} - t^{-2}) dt$ है।
$I = 2 \frac{t^{-2}}{-2} - \frac{t^{-1}}{-1} + c = -\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t} + c$ है।
$t = 1+\sin x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = -\frac{1}{(1+\sin x)^2} + \frac{1}{1+\sin x} + c = \frac{-1 + (1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} + c = \frac{\sin x}{(1+\sin x)^2} + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{\sin x \sec^2 x - \tan x \sin x + \cos x}{1 - \cos 2x} dx$ है।
$1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin x \sec^2 x - \tan x \sin x + \cos x}{2 \sin^2 x} dx$
$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{\sin x \sec^2 x}{\sin^2 x} - \frac{\tan x \sin x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) dx$
$I = \frac{1}{2} \int \left( \sec x \tan x - \sec x + \operatorname{cosec} x \cot x \right) dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$\int \sec x \tan x dx = \sec x$
$\int \sec x dx = \log |\sec x + \tan x| = \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})|$
$\int \operatorname{cosec} x \cot x dx = -\operatorname{cosec} x$
अतः,$I = \frac{1}{2} [\sec x - \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})| - \operatorname{cosec} x] + c$
$I = \frac{1}{2} [\sec x - \operatorname{cosec} x - \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})|] + c$
जो विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।

(C) दिया गया है,$\int \frac{x+3}{(x-1)^2(2 x-1)} d x=\frac{A}{x-1}+B \log (2 x-1)+C \log (x-1)+K$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिखते हैं: $\frac{x+3}{(x-1)^2(2 x-1)}=\frac{\alpha}{x-1}+\frac{\beta}{(x-1)^2}+\frac{\gamma}{2 x-1}$।
$(x-1)^2(2 x-1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x+3=\alpha(x-1)(2 x-1)+\beta(2 x-1)+\gamma(x-1)^2$।
$x=1$ रखने पर,हमें $4=\beta(2-1) \Rightarrow \beta=4$ प्राप्त होता है।
$x=1/2$ रखने पर,हमें $3.5=\gamma(1/2-1)^2 \Rightarrow 3.5=\gamma(1/4) \Rightarrow \gamma=14$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के गुणांक की तुलना करने पर,हमें $0=2\alpha+\gamma \Rightarrow 2\alpha=-14 \Rightarrow \alpha=-7$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर: $\int \left( \frac{-7}{x-1}+\frac{4}{(x-1)^2}+\frac{14}{2 x-1} \right) d x = -7 \log |x-1| - \frac{4}{x-1} + \frac{14}{2} \log |2 x-1| + K = -7 \log |x-1| - \frac{4}{x-1} + 7 \log |2 x-1| + K$।
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,हमें $A=-4$,$B=7$,और $C=-7$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B+C = -4+7-7 = -4$।

(A) दिया गया है $f(x) = \int \frac{16x^7 + 5x^{10}}{(x^3 + 2 + 3x^8)^2} dx$।
अंश और हर को $x^{16}$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = \int \frac{16x^{-9} + 5x^{-6}}{(x^{-5} + 2x^{-8} + 3)^2} dx$।
मान लीजिए $u = x^{-5} + 2x^{-8} + 3$।
तब $du = (-5x^{-6} - 16x^{-9}) dx$,जिसका अर्थ है $-du = (16x^{-9} + 5x^{-6}) dx$।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \int -u^{-2} du = u^{-1} + C = \frac{1}{x^{-5} + 2x^{-8} + 3} + C = \frac{x^8}{1 + 2x^5 + 3x^8} + C$।
दिया गया है $f(0) = 1$,इसलिए $1 = \frac{0}{1} + C$,जिसका अर्थ है $C = 1$।
अतः,$f(x) = \frac{x^8}{1 + 2x^5 + 3x^8} + 1$।
$f(1)$ के लिए,$f(1) = \frac{1}{1 + 2 + 3} + 1 = \frac{1}{6} + 1 = \frac{7}{6}$।

(A) हमारे पास $I = \int \frac{1}{x^4+3x^2+1} dx$ है। अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1/x^2}{x^2 + 1/x^2 + 3} dx$.
हम $1/x^2$ को $\frac{1}{2} \left[ (1 + 1/x^2) - (1 - 1/x^2) \right]$ के रूप में लिख सकते हैं।
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1 + 1/x^2}{(x - 1/x)^2 + 5} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1 - 1/x^2}{(x + 1/x)^2 + 1} dx$.
$u = x - 1/x$ $(du = (1 + 1/x^2) dx)$ और $v = x + 1/x$ $(dv = (1 - 1/x^2) dx)$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + (\sqrt{5})^2} - \frac{1}{2} \int \frac{dv}{v^2 + 1^2}$.
$I = \frac{1}{2 \sqrt{5}} \tan^{-1}\left(\frac{x - 1/x}{\sqrt{5}}\right) - \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x + 1/x}{1}\right) + k$.
$I = \frac{1}{2 \sqrt{5}} \tan^{-1}\left(\frac{x^2 - 1}{\sqrt{5}x}\right) - \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right) + k$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1}{2 \sqrt{5}}$,$b = \frac{1}{\sqrt{5}}$,$c = -\frac{1}{2}$,और $d = 1$ प्राप्त होता है।
अब,$5(c + d + ab) = 5\left(-\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = 5\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{10}\right) = 5\left(\frac{6}{10}\right) = 3$.

(A) माना $I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x}\left(\frac{3}{\pi}+\log \left(\frac{4+\sin x}{4-\sin x}\right)\right) d x$.
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें:
$I=\frac{3}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x + \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} \log \left(\frac{4+\sin x}{4-\sin x}\right) d x$.
दूसरा समाकलन शून्य है क्योंकि फलन विषम है।
अतः,$I=\frac{3}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x = \frac{6}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x$.
$\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ का उपयोग करते हुए:
$I=\frac{6}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{2(1+\tan^2 x) - (1-\tan^2 x)} d x = \frac{6}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{1+3\tan^2 x} d x$.
माना $\tan x = t$,तो $\sec^2 x d x = d t$. जब $x: 0 \to \frac{\pi}{4}$,तब $t: 0 \to 1$.
$I=\frac{6}{\pi} \int_0^1 \frac{d t}{1+3t^2} = \frac{6}{\pi} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}t) \right]_0^1 = \frac{6}{\pi \sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
इसलिए,$3I^2 = 3 \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$.

(A) माना $I = \int_1^2 x \sqrt{4-x^2} \, dx$.
$u = 4-x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = -2x \, dx$,जिसका अर्थ है $x \, dx = -\frac{1}{2} \, du$.
जब $x = 1$ है,तो $u = 4 - (1)^2 = 3$.
जब $x = 2$ है,तो $u = 4 - (2)^2 = 0$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_3^0 \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) \, du = \frac{1}{2} \int_0^3 u^{1/2} \, du$.
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_0^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_0^3$.
$I = \frac{1}{3} (3^{3/2} - 0) = \frac{1}{3} (3 \sqrt{3}) = \sqrt{3}$.

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 \theta \cos^3 \theta \, d\theta$.
हम $\cos^3 \theta \, d\theta$ को $\cos^2 \theta \cdot \cos \theta \, d\theta = (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta \, d\theta$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 \theta (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta \, d\theta$.
माना $t = \sin \theta$,तब $dt = \cos \theta \, d\theta$.
जब $\theta = 0$,तब $t = 0$. जब $\theta = \frac{\pi}{2}$,तब $t = 1$.
$I = \int_0^1 t^4 (1 - t^2) \, dt = \int_0^1 (t^4 - t^6) \, dt$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \left[ \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} \right]_0^1 = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) - (0 - 0) = \frac{7 - 5}{35} = \frac{2}{35}$.

(D) माना $I = \int_0^3 \left(\sin \left(\frac{\pi}{3} x\right) - \cos \left(\frac{\pi}{3} x\right)\right) dx$ है।
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \int_0^3 \sin \left(\frac{\pi}{3} x\right) dx - \int_0^3 \cos \left(\frac{\pi}{3} x\right) dx$।
सूत्र $\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax)$ और $\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \sin(ax)$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ -\frac{3}{\pi} \cos \left(\frac{\pi}{3} x\right) \right]_0^3 - \left[ \frac{3}{\pi} \sin \left(\frac{\pi}{3} x\right) \right]_0^3$।
$I = -\frac{3}{\pi} [\cos(\pi) - \cos(0)] - \frac{3}{\pi} [\sin(\pi) - \sin(0)]$।
$I = -\frac{3}{\pi} [-1 - 1] - \frac{3}{\pi} [0 - 0]$।
$I = -\frac{3}{\pi} [-2] = \frac{6}{\pi}$।

(A) माना $I = \int_1^4 \left(x + \sqrt{x} + \frac{1}{x}\right) dx - \int_1^{2 \log 2} dx$.
सबसे पहले,पहले समाकलन का मान ज्ञात करें: $\int_1^4 \left(x + x^{1/2} + \frac{1}{x}\right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3}x^{3/2} + \log |x| \right]_1^4$.
$= \left( \frac{16}{2} + \frac{2}{3}(8) + \log 4 \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 0 \right) = \left( 8 + \frac{16}{3} + 2 \log 2 \right) - \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{40}{3} + 2 \log 2 - \frac{7}{6} = \frac{80 - 7}{6} + 2 \log 2 = \frac{73}{6} + 2 \log 2$.
अब,दूसरे समाकलन का मान ज्ञात करें: $\int_1^{2 \log 2} dx = [x]_1^{2 \log 2} = 2 \log 2 - 1$.
दोनों परिणामों को घटाने पर: $I = \left( \frac{73}{6} + 2 \log 2 \right) - (2 \log 2 - 1) = \frac{73}{6} + 1 = \frac{73 + 6}{6} = \frac{79}{6}$.