TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ है।
दी गई रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ से $y = \frac{2x + 4}{3}$ प्राप्त होता है।
इसे दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $25x^2 + 9(\frac{2x + 4}{3})^2 = 225$.
$25x^2 + (2x + 4)^2 = 225 \Rightarrow 29x^2 + 16x - 209 = 0$.
$x$-निर्देशांक का मध्यबिंदु $\alpha = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-16/29}{2} = -\frac{8}{29}$.
इसी प्रकार,$y$-निर्देशांक के लिए $x = \frac{3y - 4}{2}$ रखने पर: $261y^2 - 600y - 500 = 0$.
$y$-निर्देशांक का मध्यबिंदु $\beta = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{600/261}{2} = \frac{100}{87}$.
अब,$3\beta - 2\alpha = 3(\frac{100}{87}) - 2(-\frac{8}{29}) = \frac{100}{29} + \frac{16}{29} = \frac{116}{29} = 4$.

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक $P = (a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $Q = (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ हैं।
माना $PQ$ का मध्यबिंदु $(x, y)$ है। अतः,
$x = \frac{a(\cos \theta - \sin \theta)}{2} \Rightarrow \frac{2x}{a} = \cos \theta - \sin \theta$
$y = \frac{b(\sin \theta + \cos \theta)}{2} \Rightarrow \frac{2y}{b} = \sin \theta + \cos \theta$
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\frac{2x}{a})^2 + (\frac{2y}{b})^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2 + (\sin \theta + \cos \theta)^2$
$\frac{4x^2}{a^2} + \frac{4y^2}{b^2} = 2$
$\frac{x^2}{a^2/2} + \frac{y^2}{b^2/2} = 1$
इसकी तुलना $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ से करने पर,$\alpha = \frac{a}{\sqrt{2}}$ और $\beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a+b}{\alpha+\beta} = \frac{a+b}{\frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{b}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}$.

(C) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{k-\frac{5}{2}} + \frac{y^2}{\frac{7}{3}-k} = 1$ है।
अतिपरवलय को दर्शाने के लिए,हर (denominators) के चिह्न विपरीत होने चाहिए,अर्थात उनका गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए:
$(k - \frac{5}{2})(\frac{7}{3} - k) < 0$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $(k - \frac{5}{2})(k - \frac{7}{3}) > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{7}{3} < \frac{5}{2}$ है,इसलिए असमिका $(k - \frac{7}{3})(k - \frac{5}{2}) > 0$ तब सत्य होती है जब $k < \frac{7}{3}$ या $k > \frac{5}{2}$ हो।
अतः,$k$ के सभी मानों का समुच्चय $\left(-\infty, \frac{7}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{2}, \infty\right)$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
अतिपरवलय पर कोई भी बिंदु $(5 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $P(\theta) = (x_1, \frac{3 \sqrt{5}}{2})$ के लिए,$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $3 \tan \theta = \frac{3 \sqrt{5}}{2} \implies \tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$।
चूँकि $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,हमारे पास $\sec^2 \theta = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$ है,इसलिए $\sec \theta = \frac{3}{2}$ (चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)।
अतः,$x_1 = 5 \sec \theta = 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$।
साथ ही,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{\sec^2 \theta} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$।
अंत में,$2 x_1 + 9 \sin^2 \theta = 2(\frac{15}{2}) + 9(\frac{5}{9}) = 15 + 5 = 20$।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ दिया गया है,जहाँ $a^2=16$ और $b^2=9$ है।
चूँकि बिंदु $P(5, y_1)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$x=5$ रखने पर:
$\frac{25}{16}-\frac{y_1^2}{9}=1$
$\Rightarrow \frac{y_1^2}{9}=\frac{25}{16}-1 = \frac{9}{16}$
$\Rightarrow y_1^2 = \frac{81}{16}$ $\Rightarrow y_1 = \pm \frac{9}{4}$.
अतः,$P = (5, \pm \frac{9}{4})$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
धनात्मक $X$-अक्ष पर नाभि $S = (ae, 0) = (4 \times \frac{5}{4}, 0) = (5, 0)$.
अब,दूरी $SP = \sqrt{(5-5)^2 + (0 - (\pm \frac{9}{4}))^2} = \sqrt{0 + \frac{81}{16}} = \frac{9}{4}$.

(C) दिए गए समीकरण प्राचलिक रूप $x = a \sec \theta, y = b \tan \theta$ में हैं,जो अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ को दर्शाते हैं।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$ है।
पहले अतिपरवलय के लिए,$a = 1$ और $b = \sqrt{2}$,इसलिए $e_1^2 = 1 + \frac{(\sqrt{2})^2}{1^2} = 1 + 2 = 3$।
दूसरे अतिपरवलय के लिए,$a = \sqrt{2}$ और $b = 1$,इसलिए $e_2^2 = 1 + \frac{1^2}{(\sqrt{2})^2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$।
अतः,$\frac{e_2^2}{e_1^2} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$।

(C) मूलबिंदु पर केंद्र और $X$-अक्ष पर अनुप्रस्थ अक्ष वाले अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ दी गई है,इसलिए $a = 4$ और $a^2 = 16$ है।
अतिपरवलय $(5, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{25}{16} - \frac{4}{b^2} = 1$ है।
$\frac{4}{b^2} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$,जिससे $b^2 = \frac{64}{9}$ प्राप्त होता है।
संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e'$ का मान $e' = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$e' = \sqrt{1 + \frac{16}{64/9}} = \sqrt{1 + \frac{16 \times 9}{64}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ के लिए,$a^2=9$ और $b^2=4$ है।
अतः,$a=3$ और $b=2$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
धनात्मक $X$-अक्ष पर नाभि $S = (ae, 0) = (\sqrt{5}, 0)$ है।
दीर्घवृत्त पर बिंदु $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ है।
नाभीय दूरी के सूत्र $SP = a - ex$ के अनुसार,$SP = 3 - (\frac{\sqrt{5}}{3})(3 \cos \theta) = 3 - \sqrt{5} \cos \theta$ है।
$SP = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 = 3 - \sqrt{5} \cos \theta$।
$\sqrt{5} \cos \theta = 2$।
$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$।

(B) प्रथम अतिपरवलय के लिए,नाभियों के बीच की दूरी $2ae_1$ है और नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e_1}$ है।
दिया गया है कि $2ae_1 = 2 \times \frac{2a}{e_1}$,जो $e_1^2 = 2$ में सरल हो जाता है। चूंकि $e_1 > 1$,इसलिए $e_1 = \sqrt{2}$ है।
दूसरे अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a_2$ है और संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b_2$ है।
दिया गया है कि $2a_2 = 2(2b_2)$,इसलिए $a_2 = 2b_2$ या $b_2 = \frac{a_2}{2}$ है।
उत्केंद्रता $e_2 = \sqrt{1 + \frac{b_2^2}{a_2^2}} = \sqrt{1 + \frac{(a_2/2)^2}{a_2^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
अतः,$e_1 e_2 = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ है।
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,नाभीय दूरियाँ $SP = |ex - a|$ और $S^{\prime}P = |ex + a|$ होती हैं।
दी गई शर्त $SP + S^{\prime}P - 2|SP - S^{\prime}P| = 0$ के अनुसार,हम जानते हैं कि $|SP - S^{\prime}P| = 2a$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $SP + S^{\prime}P = 2(2a) = 4a$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए,नाभीय दूरियों का योग $SP + S^{\prime}P = 2ex$ होता है।
अतः,$2ex = 4a$,जिसका अर्थ है $x = \frac{2a}{e}$।
बिंदु $P(\frac{\pi}{6})$ प्राचलिक रूप में $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ है।
यहाँ,$x = a \sec(\frac{\pi}{6}) = a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
$x$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $\frac{2a}{e} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$।
अतः,$e = \sqrt{3}$।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 2y^2 = 1$ है। $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a^2 = 1$ और $b^2 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1/2}{1}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
नाभि $S$ बिंदु $(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ है।
बिंदु $P(-1, 1)$ और $S(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{0 - 1}{\sqrt{\frac{3}{2}} - (-1)} = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ है।
रेखा $PS$ का समीकरण $y = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}(x - \sqrt{\frac{3}{2}})$ है।
$Y$-अंतःखंड $(B)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखने पर: $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |OS| \times |OB| = \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{3}{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{3}{2(\sqrt{6} + 2)}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण $9x^2 - 16y^2 = 9$ को $\frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{(3/4)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a=1, b=3/4$ है।
अतिपरवलय पर प्राचलिक बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ होते हैं।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$P_1 = (\sqrt{2}, \frac{3}{4})$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$P_2 = (2, \frac{3\sqrt{3}}{4})$.
दूरी $D = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{4})^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \sqrt{66 - 32\sqrt{2} - 9\sqrt{3}}$.
कथन सत्य है।
कारण असत्य है क्योंकि अतिपरवलय के प्राचलिक समीकरण $x = a \sec \theta, y = b \tan \theta$ होते हैं।
अतः,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(D) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। केंद्र $(0, 0)$ है।
नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(ae, \frac{b^2}{a})$ और $(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
नाभिलंब द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $120^{\circ}$ है।
अतः,केंद्र और एक अंतिम बिंदु $(ae, \frac{b^2}{a})$ को जोड़ने वाली रेखा $x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
इसलिए,$\tan(60^{\circ}) = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$.
चूंकि $\sqrt{3} = \frac{a^2(e^2 - 1)}{a^2e} = \frac{e^2 - 1}{e}$,हमें $e^2 - \sqrt{3}e - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$e = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर बिंदुओं $A(\theta_1)$ और $B(\theta_2)$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण है:
$\frac{x}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)-\frac{y}{b} \sin \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)=\cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
चूंकि जीवा नाभि $S(ae, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $x=ae$ और $y=0$ रखने पर:
$\frac{ae}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
$e \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
संबंध $e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
$\sqrt{a^2+b^2} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = a \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
दिए गए समीकरण $a \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right) = k \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)$ के साथ तुलना करने पर:
$k = \sqrt{a^2+b^2}$

(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 4y^2 = 4$ है, जिसे $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ, $a = 2$ और $b = 1$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $(a \sec \theta, b \tan \theta) = (2 \sec \theta, \tan \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं।
बिंदुओं की गणना करने पर:
$P(\frac{\pi}{4}) = (2 \sqrt{2}, 1)$
$Q(\frac{5 \pi}{4}) = (-2 \sqrt{2}, 1)$
$R(\frac{3 \pi}{4}) = (-2 \sqrt{2}, -1)$
$T(\frac{7 \pi}{4}) = (2 \sqrt{2}, -1)$
ये बिंदु एक आयत बनाते हैं जिसके शीर्ष $(2 \sqrt{2}, 1), (-2 \sqrt{2}, 1), (-2 \sqrt{2}, -1),$ और $(2 \sqrt{2}, -1)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
चौड़ाई $= |2 \sqrt{2} - (-2 \sqrt{2})| = 4 \sqrt{2}$
ऊंचाई $= |1 - (-1)| = 2$
क्षेत्रफल $= \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई} = 4 \sqrt{2} \times 2 = 8 \sqrt{2}$ वर्ग इकाई।
अतः, विकल्प $D$ सही है।

(D) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 2x - 2\tan x}{(1 - \cos x)(2^x - 1)}$.
$\tan x$ के विस्तार का उपयोग करने पर: $\tan 2x - 2\tan x = 2x^3$.
हर में: $(1 - \cos x)(2^x - 1) \approx (\frac{x^2}{2})(x \ln 2) = \frac{x^3 \ln 2}{2}$.
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^3}{\frac{x^3 \ln 2}{2}} = \frac{4}{\ln 2}$.

(D) हम सीमा को दो भागों में विभाजित करके उसका मूल्यांकन करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 2} \left[ (x-2)^2 \cos \left(\frac{2}{x-2}\right) \right] + \lim _{x \rightarrow 2} \left[ \frac{x^2-4}{x^3-2 x-4} \right]$
पहले भाग के लिए,$\lim _{x \rightarrow 2} (x-2)^2 \cos \left(\frac{2}{x-2}\right)$. चूँकि $(x-2)^2 \rightarrow 0$ और $\cos \left(\frac{2}{x-2}\right)$ $[-1, 1]$ में परिबद्ध है,इसलिए स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) द्वारा,सीमा $0 \times [-1, 1] = 0$ है।
दूसरे भाग के लिए,$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x^2+2x+2)} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+2}{x^2+2x+2}$.
$x=2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2+2}{2^2+2(2)+2} = \frac{4}{4+4+2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल सीमा $0 + \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$ है।

(A) $f(x) = 2x - [2x]$ दिया गया है।
$l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$ ज्ञात करने के लिए:
मान लीजिए $x = 2 - h$,जहाँ $h \rightarrow 0$ और $h > 0$ है।
$l_1 = \lim_{h \rightarrow 0} (2(2 - h) - [2(2 - h)]) = \lim_{h \rightarrow 0} (4 - 2h - [4 - 2h])$।
चूँकि $h$ एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या है,$4 - 2h$ का मान $4$ से थोड़ा कम है,इसलिए $[4 - 2h] = 3$ है।
अतः,$l_1 = 4 - 3 = 1$ है।
$l_2 = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x)$ ज्ञात करने के लिए:
मान लीजिए $x = 2 + h$,जहाँ $h \rightarrow 0$ और $h > 0$ है।
$l_2 = \lim_{h \rightarrow 0} (2(2 + h) - [2(2 + h)]) = \lim_{h \rightarrow 0} (4 + 2h - [4 + 2h])$।
चूँकि $h$ एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या है,$4 + 2h$ का मान $4$ से थोड़ा अधिक है,इसलिए $[4 + 2h] = 4$ है।
अतः,$l_2 = 4 - 4 = 0$ है।
इसलिए,$l_1 + l_2 = 1 + 0 = 1$ है।

(B) दिया गया है,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{2 x}-2^{x+1}+2-\cos 2 x}{x^2}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 1 + 1 - \cos 2x}{x^2}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2^x - 1)^2 + (1 - \cos 2x)}{x^2}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{2^x - 1}{x} \right)^2 + \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$
मानक सीमाओं $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log _e a$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos kx}{x^2} = \frac{k^2}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= (\log _e 2)^2 + \frac{2^2}{2}$
$= (\log _e 2)^2 + 2$

(C) दिया गया है,$L = \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x^3-3 x^2-4 x+12}{2 x^3-7 x^2+2 x+3}$.
$x = 3$ पर रूप की जाँच करने पर,हमें $\frac{27 - 27 - 12 + 12}{54 - 63 + 6 + 3} = \frac{0}{0}$ रूप प्राप्त होता है।
$L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{3 x^2-6 x-4}{6 x^2-14 x+2}$.
अब,$x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{3(3^2) - 6(3) - 4}{6(3^2) - 14(3) + 2} = \frac{27 - 18 - 4}{54 - 42 + 2} = \frac{5}{14}$.

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \left[ \sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} - \sqrt{2} x \right]$ है।
व्यंजक का परिमेयकरण करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \left[ \sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} - \sqrt{2} x \right] \times \frac{\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x}{\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \frac{x^2 + \sqrt{x^4 + 1} - 2x^2}{\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x} = \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \frac{\sqrt{x^4 + 1} - x^2}{\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x}$.
पुनः परिमेयकरण करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \frac{(\sqrt{x^4 + 1} - x^2)(\sqrt{x^4 + 1} + x^2)}{(\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x)(\sqrt{x^4 + 1} + x^2)} = \lim _{x \rightarrow \infty} x^3 \frac{x^4 + 1 - x^4}{(\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x)(\sqrt{x^4 + 1} + x^2)}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3}{(\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} + \sqrt{2} x)(\sqrt{x^4 + 1} + x^2)}$.
अंश और हर को $x^3$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{(\sqrt{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}} + \sqrt{2})(\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}} + 1)} = \frac{1}{(\sqrt{1 + 1} + \sqrt{2})(1 + 1)} = \frac{1}{(2\sqrt{2})(2)} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$.

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^2(\pi \sec ^4 x)}{\pi^2 x^4}$.
चूंकि $\sec(0) = 1$,व्यंजक $\frac{\tan^2(\pi)}{0} = \frac{0}{0}$ का रूप लेता है।
हम गुणधर्म $\tan(\pi \sec^4 x) = \tan(\pi \sec^4 x - \pi) = \tan(\pi(\sec^4 x - 1))$ का उपयोग करते हैं।
याद रखें कि $\sec^4 x - 1 = (\sec^2 x - 1)(\sec^2 x + 1) = \tan^2 x (\sec^2 x + 1)$.
जैसे $x \rightarrow 0$,$\tan x \approx x$ और $\sec^2 x \approx 1$,इसलिए $\sec^4 x - 1 \approx x^2(1+1) = 2x^2$.
अतः,$\tan(\pi \sec^4 x) \approx \tan(2\pi x^2) \approx 2\pi x^2$.
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2\pi x^2)^2}{\pi^2 x^4} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4\pi^2 x^4}{\pi^2 x^4} = 4$.

(C) दिया गया है कि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(0)=0$ और $f^{\prime}(0)=20$ है।
हमें $\lim _{x \rightarrow 0} A(x) = \lim _{x \rightarrow 0} [2 f(x) \operatorname{cosec} 4 x + 4 f(x)(\cos ^2 x + 1) - 4 \cos ^2 x]$ ज्ञात करना है।
व्यंजक को इस प्रकार लिखें:
$\lim _{x \rightarrow 0} A(x) = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{2 f(x)}{\sin 4x} + 4 f(x)(\cos ^2 x + 1) - 4 \cos ^2 x \right]$.
चूंकि $f(0)=0$,पहला पद $\frac{0}{0}$ प्रकार का एक अनिर्धारित रूप है।
सीमा का उपयोग करते हुए $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin 4x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \frac{1}{4} = f^{\prime}(0) \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
अब,सीमा का मूल्यांकन करें:
$\lim _{x \rightarrow 0} A(x) = 2 \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin 4x} \right) + 4 \lim _{x \rightarrow 0} f(x)(\cos ^2 x + 1) - 4 \lim _{x \rightarrow 0} \cos ^2 x$.
$= 2(5) + 4(0)(1+1) - 4(1)^2$.
$= 10 + 0 - 4 = 6$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हमें सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2^x-1\right)(1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}}}{\log (1+2 x)}$ का मूल्यांकन करना है।
सबसे पहले,पद $(1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}}$ पर विचार करें। जैसे $x \rightarrow 0$,$\sin x \rightarrow 0$,इसलिए यह $(1+u)^{2/u}$ के रूप में है जहाँ $u = \sin x$ है। हम जानते हैं कि $\lim _{u \rightarrow 0} (1+u)^{1/u} = e$,इसलिए $\lim _{x \rightarrow 0} (1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}} = e^2$ है।
अब,सीमा को इस प्रकार लिखें:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{2^x-1}{\log(1+2x)} \right) \times \lim _{x \rightarrow 0} (1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}}$.
मानक सीमाओं $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log a$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^x-1}{\log(1+2x)} = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{2^x-1}{x} \cdot \frac{2x}{\log(1+2x)} \cdot \frac{1}{2} \right) = \log 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\log 2}{2} = \log \sqrt{2}$ है।
अतः,$L = \log \sqrt{2} \cdot e^2 = e^2 \log \sqrt{2}$ है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) दी गई सीमा: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^3-x^2-x-2}{2 x^3-3 x^2-3 x+2}$
$x = 2$ रखने पर,हमें $\frac{0}{0}$ रूप प्राप्त होता है।
एल. हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
अंश का अवकलन: $3x^2-2x-1$
हर का अवकलन: $6x^2-6x-3$
अब,सीमा का मान: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3x^2-2x-1}{6x^2-6x-3} = \frac{3(4)-4-1}{6(4)-12-3} = \frac{7}{9}$

(B) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ और $\cos C + \cos D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
अंश: $4[\sin (2022 x) - \sin (2020 x)] = 4 \times 2 \cos(2021 x) \sin(x) = 8 \cos(2021 x) \sin(x)$.
हर: $x[\cos (2022 x) + \cos (2020 x) + 2 \cos (2021 x)] = x[2 \cos(2021 x) \cos(x) + 2 \cos(2021 x)] = 2x \cos(2021 x) [\cos(x) + 1]$.
इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{8 \cos(2021 x) \sin(x)}{2x \cos(2021 x) [\cos(x) + 1]} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 \sin(x)}{x [\cos(x) + 1]}$.
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\cos(0) = 1$:
$= \frac{4(1)}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$.

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0}\left(\frac{4 !}{x^8}\left(1-\cos \frac{x^2}{3}-\cos \frac{x^2}{4}+\cos \frac{x^2}{3} \cos \frac{x^2}{4}\right)\right)$ है।
हम सीमा के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4!}{x^8} (1 - \cos \frac{x^2}{3})(1 - \cos \frac{x^2}{4})$.
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$1 - \cos \frac{x^2}{3} = 2 \sin^2(\frac{x^2}{6})$ और $1 - \cos \frac{x^2}{4} = 2 \sin^2(\frac{x^2}{8})$.
इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = 24 \times \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^8} \times 2 \sin^2(\frac{x^2}{6}) \times 2 \sin^2(\frac{x^2}{8})$.
$L = 24 \times 4 \times \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left(\frac{\sin(\frac{x^2}{6})}{\frac{x^2}{6}}\right)^2 \times (\frac{x^2}{6})^2 \times \left(\frac{\sin(\frac{x^2}{8})}{\frac{x^2}{8}}\right)^2 \times (\frac{x^2}{8})^2 \times \frac{1}{x^8}$.
चूंकि $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए:
$L = 96 \times 1^2 \times \frac{x^4}{36} \times 1^2 \times \frac{x^4}{64} \times \frac{1}{x^8}$.
$L = 96 \times \frac{1}{36 \times 64} = \frac{96}{2304} = \frac{1}{24}$.

(B) दिया गया है $x = \log_e \left( \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right)$.
हम जानते हैं कि $\sinh x = -\tan(2\theta)$ और $\cosh x = \sec(2\theta)$.
अतः $(\sinh x)(\cosh x) = -\tan(2\theta) \sec(2\theta) = -\frac{\sin(2\theta)}{\cos^2(2\theta)}$.
अब,सीमा $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\theta}{-\sin(2\theta)/\cos^2(2\theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} -\frac{\theta}{\sin(2\theta)} \cdot \cos^2(2\theta) = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$.

(C) अवलोकनों का माध्य,अवलोकनों के योग और अवलोकनों की संख्या का अनुपात होता है।
योग $= 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 + 47 + 78 = 198$.
माध्य $(\bar{x}) = \frac{198}{9} = 22$.
अब,माध्य से माध्य विचलन $M.D. = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$ सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$M.D. = \frac{|1-22| + |3-22| + |4-22| + |7-22| + |11-22| + |18-22| + |29-22| + |47-22| + |78-22|}{9}$.
$M.D. = \frac{21 + 19 + 18 + 15 + 11 + 4 + 7 + 25 + 56}{9}$.
$M.D. = \frac{176}{9}$.

(C) दिया गया है कि $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ऋणात्मक संख्याएँ हैं जो आरोही क्रम में हैं।
पहले पद $x_1$ और अंतिम पद $x_n$ के चिह्न बदलने पर,नया क्रम $-x_1, x_2, \ldots, -x_n$ हो जाता है।
यहाँ सबसे बड़ा मान $-x_1$ है और सबसे छोटा मान $x_2$ है।
अतः,परिसर $= (-x_1) - x_2 = |x_1| - x_2$.

(C) माना प्रेक्षणों $x_1, x_2, \ldots, x_n$ का माध्य $\bar{x}$ है।
दिया गया है कि $x_i$ का माध्य विचलन ($M$.$D$.) $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| = 10$ है।
माना नए प्रेक्षण $y_i = \frac{2x_i + 5}{3}$ हैं।
नए प्रेक्षणों का माध्य $\bar{y} = \frac{2\bar{x} + 5}{3}$ है।
नए प्रेक्षणों का माध्य विचलन इस प्रकार है:
$\text{नया M.D.} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \bar{y}|$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\frac{2x_i + 5}{3} - \frac{2\bar{x} + 5}{3}|$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\frac{2(x_i - \bar{x})}{3}|$
$= \frac{2}{3} \times (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|)$
$= \frac{2}{3} \times 10 = \frac{20}{3}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) कथन $(I)$: परिसर अधिकतम और न्यूनतम अवलोकनों के बीच का अंतर है। चूंकि मध्यवर्ती अवलोकन अधिकतम या न्यूनतम मानों को प्रभावित नहीं करते हैं,इसलिए परिसर अपरिवर्तित रहता है। अतः,कथन $(I)$ सत्य है।
कथन $(II)$: माध्य विचलन का एक प्रसिद्ध गुण यह है कि यह माध्यिका के सापेक्ष गणना करने पर न्यूनतम होता है। अतः,कथन $(II)$ सत्य है।
कथन $(III)$: वर्गीकृत डेटा के लिए,परिसर सबसे बड़े वर्ग की ऊपरी सीमा और सबसे छोटे वर्ग की निचली सीमा के बीच का अंतर होता है। दिए गए कथन में इन्हें उलट दिया गया है,इसलिए यह असत्य है।
अतः,कथन $I$ और $II$ सत्य हैं लेकिन कथन $III$ असत्य है।

(D) प्रेक्षणों $x_1, x_2, \ldots, x_n$ के उनके माध्य $\bar{x}$ से निरपेक्ष विचलनों के माध्य को माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन कहा जाता है।
गणितीय रूप से,यह इस प्रकार है:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n}$
जहाँ $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$.

(D) दिए गए अवलोकन $1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ हैं।
सबसे पहले,हम माध्य $(\bar{x})$ की गणना करते हैं:
$\bar{x} = \frac{1+3+5+7+11+13+17+19+23}{9} = \frac{99}{9} = 11$.
माध्य से माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य विचलन $= \frac{1}{9} [|1-11| + |3-11| + |5-11| + |7-11| + |11-11| + |13-11| + |17-11| + |19-11| + |23-11|]$.
माध्य विचलन $= \frac{1}{9} [10 + 8 + 6 + 4 + 0 + 2 + 6 + 8 + 12]$.
माध्य विचलन $= \frac{56}{9} = 6 \frac{2}{9}$.

(D) दिया गया है: $A=\frac{\pi}{6}, b=7, c=4\sqrt{3}$.
कोसाइन नियम के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
$a^2 = 7^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2(7)(4\sqrt{3}) \cos(\frac{\pi}{6})$.
$a^2 = 49 + 48 - 56\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 97 - 84 = 13$.
अतः,$a = \sqrt{13}$.
साइन नियम के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
इस प्रकार,$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{7 \sin(\pi/6)}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2\sqrt{13}}$.
और $\sin C = \frac{c \sin A}{a} = \frac{4\sqrt{3} \sin(\pi/6)}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.
इसलिए,$a \sin B \sin C = \sqrt{13} \times \frac{7}{2\sqrt{13}} \times \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.

(B) $L.H.S. = (b+c)^2 \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + (b-c)^2 \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$
$= (b^2 + c^2 + 2bc) \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + (b^2 + c^2 - 2bc) \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$
$= (b^2 + c^2) \left[\sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)\right] - 2bc \left[\cos^2\left(\frac{A}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{A}{2}\right)\right]$
$= b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$= a^2$ (कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$)
चूँकि $a = 2R \sin A$,इसलिए $a^2 = 4R^2 \sin^2 A$
$= 4R^2 \left(\frac{1 - \cos 2A}{2}\right)$
$= 2R^2 (1 - \cos 2A)$
$K(1 - \cos 2A)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K = 2R^2$ प्राप्त होता है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a-d, a, a+d$ हैं। परिमाप $(a-d) + a + (a+d) = 42$ है,जिससे $3a = 42$,अर्थात $a = 14$ प्राप्त होता है।
चूँकि $B < A < C$ है,भुजाएँ $b < a < c$ के क्रम में हैं। अतः भुजाएँ $14-d, 14, 14+d$ हैं।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta}$ द्वारा दी जाती है।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,जहाँ $s = 21$ है।
$\Delta = 7 \sqrt{21(49-d^2)}$ प्राप्त होता है।
$R = \frac{65}{8}$ दिया गया है,अतः $\frac{14(196-d^2)}{28 \sqrt{21(49-d^2)}} = \frac{65}{8}$।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\sin A = \frac{a}{2R} = \frac{14}{2 \times (65/8)} = \frac{56}{65}$।

(A) दिया गया है $A=\frac{\pi}{3}$ और $B=\frac{\pi}{4}$। $\triangle ABC$ में,$\angle C = \pi - (A+B) = \pi - (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \pi - \frac{7\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$a = k \sin(\frac{\pi}{3}) = k \frac{\sqrt{3}}{2}$,$b = k \sin(\frac{\pi}{4}) = k \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $c = k \sin(\frac{5\pi}{12}) = k \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = k (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}) = k \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$।
अब,$\frac{a^2-b^2}{c^2} = \frac{k^2(\frac{3}{4} - \frac{1}{2})}{k^2(\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{3+1+2\sqrt{3}}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{4+2\sqrt{3}}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{2+\sqrt{3}}{4})} = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है $\frac{a}{\tan A} = \frac{b}{\tan B} = \frac{c}{\tan C}$.
चूंकि $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$,हमारे पास $\frac{a \cos A}{\sin A} = \frac{b \cos B}{\sin B} = \frac{c \cos C}{\sin C}$ है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$2R \cos A = 2R \cos B = 2R \cos C$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\cos A = \cos B = \cos C$.
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,$A = B = C = 60^{\circ}$.
अतः,$\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(B) दिया गया है,$\triangle ABC$ में $A$ न्यूनकोण है,$C$ अधिककोण है,$\sin A = \frac{3\sqrt{3}}{14}$,$a = 3$ और $b = 5$ है।
सबसे पहले,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{27}{196}} = \frac{13}{14}$ ज्ञात करें।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
मान रखने पर: $\frac{13}{14} = \frac{16 + c^2}{10c}$.
सरल करने पर: $14c^2 - 130c + 224 = 0 \Rightarrow 7c^2 - 65c + 112 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(7c - 16)(c - 7) = 0$.
अतः $c = \frac{16}{7}$ या $c = 7$।
चूंकि $C$ अधिककोण है,भुजा $c$ सबसे बड़ी होनी चाहिए,इसलिए $c = 7$।

(B) हम जानते हैं कि $r = (s-a) \tan \frac{A}{2} = (s-b) \tan \frac{B}{2} = (s-c) \tan \frac{C}{2}$ और $r_1 = s \tan \frac{A}{2}$ है।
दिया गया है $\frac{r}{r_1} = \frac{1}{2}$,अतः $\frac{s-a}{s} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $s = 2a$।
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $b+c = 3a$।
सर्वसमिका $\tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 1 - \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{s-a}{s} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$4 \tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 4 \times \frac{1}{2} = 2$।

(D) दिया गया है कि $a=7, b=8$ और $\cos C=\frac{2}{7}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$।
मान रखने पर: $\frac{2}{7} = \frac{7^2+8^2-c^2}{2 \times 7 \times 8}$।
$\frac{2}{7} = \frac{49+64-c^2}{112}$।
दोनों पक्षों को $112$ से गुणा करने पर: $\frac{2 \times 112}{7} = 113 - c^2$।
$2 \times 16 = 113 - c^2$।
$32 = 113 - c^2$।
$c^2 = 113 - 32 = 81$।
अतः,$c = \sqrt{81} = 9$।

(B) चूंकि $BC$ कर्ण है,इसलिए त्रिभुज $A$ पर समकोण है,अतः $\angle A = \frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः,$r_2 + r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} \right) = \Delta \left( \frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} \right) = \Delta \left( \frac{2s-b-c}{(s-b)(s-c)} \right)$.
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s-b-c = a$.
साथ ही,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए $(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s(s-a)}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$r_2 + r_3 = \Delta \left( \frac{a}{\Delta^2 / s(s-a)} \right) = \frac{as(s-a)}{\Delta}$.
चूंकि $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,इसलिए $\frac{s(s-a)}{\Delta} = \cot \frac{A}{2}$.
अतः,$r_2 + r_3 = a \cot \frac{A}{2} = a \cot \frac{\pi}{4} = a(1) = a$.

(D) दिया गया है कि $\Delta$ त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल है।
प्रोजेक्शन नियम का उपयोग करते हुए,$b \cos C + c \cos B = a$।
ज्या (sine) नियम का उपयोग करते हुए,$\sin C = \frac{c}{2R}$ और $\sin B = \frac{b}{2R}$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
अतः,$b \sin C + c \sin B = b(\frac{c}{2R}) + c(\frac{b}{2R}) = \frac{bc}{2R} + \frac{cb}{2R} = \frac{2bc}{2R} = \frac{bc}{R}$।
अब,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$(b \sin C + c \sin B)(b \cos C + c \cos B) = (\frac{bc}{R})(a) = \frac{abc}{R}$।
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{abc}{4R}$ होता है,इसलिए $\frac{abc}{R} = 4 \Delta$।
अतः,सही विकल्प $4 \Delta$ है।

(C) दिया गया है $\sinh x = -\frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
मान रखने पर: $\cosh^2 x = 1 + (-\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
चूंकि $\cosh x > 0$,इसलिए $\cosh x = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
अब,$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{-1/2}{\sqrt{5}/2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
डबल एंगल सूत्र $\tanh 2x = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$\tanh 2x = \frac{2(-1/\sqrt{5})}{1 + (-1/\sqrt{5})^2} = \frac{-2/\sqrt{5}}{1 + 1/5} = \frac{-2/\sqrt{5}}{6/5} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{5}{6} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.

(D) माना $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है। चूँकि $AD$ और $BE$ माध्यिकाएं हैं,$G$,$AD$ और $BE$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{8}{3}$ और $BG = \frac{2}{3} BE$.
$\triangle ABG$ में,ज्या नियम (Sine Rule) से: $\frac{AG}{\sin(\angle ABG)} = \frac{BG}{\sin(\angle BAG)}$.
दिया है $\angle BAG = \frac{\pi}{6}$ और $\angle ABG = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\frac{8/3}{\sin(\pi/3)} = \frac{BG}{\sin(\pi/6)}$.
$BG = \frac{8}{3 \sqrt{3}}$.
$\triangle ABG$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AG \times BG \times \sin(\angle AGB)$.
चूँकि $\angle AGB = \pi/2$,इसलिए $\sin(\angle AGB) = 1$.
$\triangle ABG$ का क्षेत्रफल $= \frac{32}{9 \sqrt{3}}$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 3 \times \triangle ABG$ का क्षेत्रफल $= \frac{32}{3 \sqrt{3}}$.

(D) दिया गया है $a=3, b=7, c=8$।
टैंजेंट के नियम का उपयोग करते हुए,$\tan \frac{C-A}{2} = \frac{c-a}{c+a} \cot \frac{B}{2}$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \frac{B}{2} \tan \frac{C-A}{2} = \sin \frac{B}{2} \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \cot \frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2} \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \frac{\cos \frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}} = \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \cos \frac{B}{2}$।
अब,कोसाइन के नियम का उपयोग करके $\cos B$ ज्ञात करें:
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{3^2+8^2-7^2}{2 \times 3 \times 8} = \frac{9+64-49}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$।
अर्ध-कोण सूत्र $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos B}{2}}$ का उपयोग करते हुए:
$\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1+1/2}{2}} = \sqrt{\frac{3/2}{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अंत में,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{8-3}{8+3} \right) \cos \frac{B}{2} = \frac{5}{11} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{22}$।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है। दिए गए बहिर्वृत्तों के क्षेत्रफल $A_1, A_2, A_3$ क्रमशः $4, 9, 16$ हैं,इसलिए:
$\pi r_1^2 = 4 \Rightarrow r_1 = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$
$\pi r_2^2 = 9 \Rightarrow r_2 = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$
$\pi r_3^2 = 16 \Rightarrow r_3 = \frac{4}{\sqrt{\pi}}$
अंतःत्रिज्या $r$ और बहिर्त्रिज्याओं $r_1, r_2, r_3$ के बीच का संबंध $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{r} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} + \frac{\sqrt{\pi}}{3} + \frac{\sqrt{\pi}}{4} = \sqrt{\pi} \left( \frac{6+4+3}{12} \right) = \frac{13\sqrt{\pi}}{12}$.
अतः,$r = \frac{12}{13\sqrt{\pi}}$.
अंतःवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{12}{13\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \left( \frac{144}{169\pi} \right) = \frac{144}{169}$.

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज $ABC$ में,कोटिस्पर्शज्या अर्ध-कोण सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \frac{s-a}{r}$,$\cot \frac{B}{2} = \frac{s-b}{r}$,और $\cot \frac{C}{2} = \frac{s-c}{r}$ हैं।
इन मानों को व्यंजक $r^2 \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= r^2 \left( \frac{s-a}{r} \right) \left( \frac{s-b}{r} \right) \left( \frac{s-c}{r} \right)$
$= r^2 \cdot \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r^3}$
$= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}$
चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = rs$ है,इसलिए $r = \frac{\Delta}{s}$।
साथ ही,हेरॉन के सूत्र के अनुसार,$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,इसलिए $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,जिसका अर्थ है कि $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$।
इन मानों को रखने पर:
$= \frac{\Delta^2 / s}{\Delta / s} = \frac{\Delta^2}{s} \cdot \frac{s}{\Delta} = \Delta$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है $a=7, c=11, \cos A=\frac{17}{22}, \cos C=\frac{1}{14}$।
टैंजेंट के नियम का उपयोग करते हुए:
$\tan \left(\frac{C-A}{2}\right) = \left(\frac{c-a}{c+a}\right) \cot \left(\frac{B}{2}\right)$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$:
$\frac{17}{22} = \frac{b^2+121-49}{2b(11)} \implies \frac{17}{22} = \frac{b^2+72}{22b} \implies 17b = b^2+72 \implies b^2-17b+72=0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(b-8)(b-9)=0$,अतः $b=8$ या $b=9$।
$b=9$ के लिए,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$b \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C-A}{2} = b \tan \frac{B}{2} \left(\frac{c-a}{c+a}\right) \cot \frac{B}{2} = b \left(\frac{c-a}{c+a}\right) = 9 \left(\frac{11-7}{11+7}\right) = 9 \left(\frac{4}{18}\right) = 2$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।