TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना दी गई रेखा $L_1: \sqrt{3}x + y - 9 = 0$ है। $L_1$ की ढाल $m_1 = -\sqrt{3}$ है।
माना अभीष्ट रेखा $L$ की ढाल $m$ है। $L$ और $L_1$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})} \right|$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \left| \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m} \right|$.
स्थिति $1$: $\sqrt{3} = \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}$ $\Rightarrow \sqrt{3} - 3m = m + \sqrt{3}$ $\Rightarrow 4m = 0$ $\Rightarrow m = 0$.
समीकरण $y + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}$ $\Rightarrow -\sqrt{3} + 3m = m + \sqrt{3}$ $\Rightarrow 2m = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow m = \sqrt{3}$.
रेखा $L$ का समीकरण $y - (-3) = \sqrt{3}(x - 5) \Rightarrow \sqrt{3}x - y - 3 - 5\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना रेखाएँ $L_1: 2x + 3y + 4 = 0$ और $L_2: 3x - 2y + 4 = 0$ हैं।
बिंदु $(a, b)$ से $L_1$ पर लंब की लंबाई $d_1 = \frac{|2a + 3b + 4|}{\sqrt{13}}$ है।
बिंदु $(a, b)$ से $L_2$ पर लंब की लंबाई $d_2 = \frac{|3a - 2b + 4|}{\sqrt{13}}$ है।
दिया गया है कि $d_1 = d_2$,इसलिए $|2a + 3b + 4| = |3a - 2b + 4|$।
इसका अर्थ है $2a + 3b + 4 = 3a - 2b + 4$ या $2a + 3b + 4 = -(3a - 2b + 4)$।
स्थिति $1$: $2a + 3b + 4 = 3a - 2b + 4 \Rightarrow a - 5b = 0$।
स्थिति $2$: $2a + 3b + 4 = -3a + 2b - 4 \Rightarrow 5a + b + 8 = 0$।
अतः,$(a, b)$ का बिंदु पथ $x - 5y = 0$ या $5x + y + 8 = 0$ है।

(B) दी गई रेखाओं के परिवार हैं:
$(x+y+1) + \lambda(5y-3) = 0$ $(i)$
$(2x-3y+3) + \mu(5x+6) = 0$ $(ii)$
प्रथम परिवार के लिए,संगामी बिंदु $x+y+1=0$ और $5y-3=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$5y-3=0$ से,हमें $y = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
$x+y+1=0$ में मान रखने पर,हमें $x = -\frac{3}{5} - 1 = -\frac{8}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रथम बिंदु $P_1 = \left(-\frac{8}{5}, \frac{3}{5}\right)$ है।
दूसरे परिवार के लिए,संगामी बिंदु $2x-3y+3=0$ और $5x+6=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$5x+6=0$ से,हमें $x = -\frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
$2x-3y+3=0$ में मान रखने पर,हमें $3y = 2(-\frac{6}{5}) + 3 = -\frac{12}{5} + 3 = \frac{3}{5}$,अतः $y = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरा बिंदु $P_2 = \left(-\frac{6}{5}, \frac{1}{5}\right)$ है।
$P_1$ और $P_2$ के बीच की दूरी $\sqrt{\left(-\frac{6}{5} - (-\frac{8}{5})\right)^2 + (\frac{1}{5} - \frac{3}{5})^2}$ है।
$= \sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (-\frac{2}{5})^2} = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{8}{25}} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) दी गई शर्त $\alpha a + \beta b + \gamma c = 0$ है।
चूंकि $\gamma \neq 0$,हम $c = -\frac{\alpha}{\gamma} a - \frac{\beta}{\gamma} b$ लिख सकते हैं।
इसे रेखाओं के परिवार के समीकरण $ax + by + c = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$ax + by + (-\frac{\alpha}{\gamma} a - \frac{\beta}{\gamma} b) = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a(x - \frac{\alpha}{\gamma}) + b(y - \frac{\beta}{\gamma}) = 0$.
इस समीकरण के सभी स्वेच्छ $a$ और $b$ के लिए सत्य होने हेतु,$a$ और $b$ के गुणांक स्वतंत्र रूप से शून्य होने चाहिए।
अतः,$x - \frac{\alpha}{\gamma} = 0 \Rightarrow x = \frac{\alpha}{\gamma}$ और $y - \frac{\beta}{\gamma} = 0 \Rightarrow y = \frac{\beta}{\gamma}$.
इस प्रकार,संगामी बिंदु $\left(\frac{\alpha}{\gamma}, \frac{\beta}{\gamma}\right)$ है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिए गए बिंदु $A(1, 1)$,$B(-1, 1)$ और $C(-1, -1)$ हैं।
प्रतिबंध $PA^2 = PB^2 + PC^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = [(x + 1)^2 + (y - 1)^2] + [(x + 1)^2 + (y + 1)^2]$
सरल करने पर:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = 2x^2 + 2y^2 + 4x + 4$
अतः,$P$ के बिंदु पथ का समीकरण $x^2 + y^2 + 6x + 2y + 2 = 0$ है।

(A) माना वर्ग के शीर्ष $A(-4, 5)$ और $B(3, 4)$ हैं। विकर्ण $L$ का समीकरण $7x - y + 8 = 0$ है।
$AB$ का मध्यबिंदु $M = (-0.5, 4.5)$ है,जो $L$ पर स्थित है।
$AB$ की ढाल $m_1 = -1/7$ है और $L$ की ढाल $m_2 = 7$ है।
विकर्ण की लंबाई $AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
$M$ से $L$ पर स्थित बिंदुओं की दूरी $5/\sqrt{2}$ है।
गणना करने पर,शीर्ष $(0, 8)$ और $(-1, 1)$ प्राप्त होते हैं।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: 2x+2y+3=0$ और $L_2: 3x+3y+2=0$ हैं।
$L_1$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x+y+\frac{3}{2}=0$ प्राप्त होता है।
$L_2$ को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $x+y+\frac{2}{3}=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों रेखाओं की ढाल $-1$ है,इसलिए वे समानांतर हैं।
रेखा $L_3: x-y+1=0$ की ढाल $1$ है।
चूंकि $L_1$ (या $L_2$) और $L_3$ की ढाल का गुणनफल $(-1) \times (1) = -1$ है,इसलिए रेखा $L_3$ दोनों समानांतर रेखाओं पर लंब है।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच की दूरी $AB$ दो समानांतर रेखाओं $x+y+\frac{3}{2}=0$ और $x+y+\frac{2}{3}=0$ के बीच की लंबवत दूरी है।
दो समानांतर रेखाओं $ax+by+c_1=0$ और $ax+by+c_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a=1, b=1, c_1=\frac{3}{2}, c_2=\frac{2}{3}$ है।
$AB = \frac{|\frac{3}{2}-\frac{2}{3}|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|\frac{9-4}{6}|}{\sqrt{2}} = \frac{5}{6\sqrt{2}}$.

(C) दिया गया है कि $Q$,बिंदु $P(1,1)$ का रेखा $x+y+1=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ का रेखा $ax+by+c=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब का सूत्र:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \right)$
मान रखने पर:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = -2 \left( \frac{1+1+1}{1^2+1^2} \right) = -2 \left( \frac{3}{2} \right) = -3$
अतः,$x-1 = -3 \Rightarrow x = -2$ और $y-1 = -3 \Rightarrow y = -2$।
इस प्रकार,$Q$ के निर्देशांक $(-2, -2)$ हैं।
अब,$Q(-2, -2)$ से रेखा $3x-4y+3=0$ पर लंब की लंबाई:
$d = \left| \frac{3(-2) - 4(-2) + 3}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{-6 + 8 + 3}{\sqrt{9 + 16}} \right| = \left| \frac{5}{5} \right| = 1$।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(1,3), B(-3,5)$ और $C(5,-1)$ हैं।
$AC$ की ढाल $= \frac{-1-3}{5-1} = -1$ है।
$B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $1$ है।
$B(-3,5)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण: $x-y = -8$ (समीकरण $i$)।
$BC$ की ढाल $= \frac{-1-5}{5-(-3)} = -\frac{3}{4}$ है।
$A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $\frac{4}{3}$ है।
$A(1,3)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण: $4x-3y = -5$ (समीकरण $ii$)।
समीकरणों को हल करने पर,$x=19$ और $y=27$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $(19,27)$ है।

(D) माना चर रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है,जहाँ $a^2 + b^2 \neq 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि लंबवत दूरियों का बीजगणितीय योग शून्य है,हम चिन्हित दूरियों को लेते हैं:
$d_1 = \frac{2a + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$,$d_2 = \frac{2b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$,और $d_3 = \frac{a + b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$।
दिया गया है कि $d_1 + d_2 + d_3 = 0$,इसलिए:
$\frac{2a + c + 2b + c + a + b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$
$3a + 3b + 3c = 0$
$a + b + c = 0$
$c = -(a + b)$ को रेखा के समीकरण $ax + by + c = 0$ में रखने पर:
$ax + by - (a + b) = 0$
$a(x - 1) + b(y - 1) = 0$
यह समीकरण सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य होने के लिए,$x - 1 = 0$ और $y - 1 = 0$ होना चाहिए।
अतः,निश्चित बिंदु $(1, 1)$ है।

(A) बिंदु $(5, -7)$ से गुजरने वाली और $3x - 5y + 1 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $5x + 3y + k = 0$ है।
चूंकि यह $(5, -7)$ से गुजरती है,हमारे पास $5(5) + 3(-7) + k = 0$ है,जो $25 - 21 + k = 0$ देता है,इसलिए $k = -4$ है।
रेखा $5x + 3y - 4 = 0$ है।
$M$ खोजने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$3x - 5y = -1$ ($3$ से गुणा करने पर $\implies 9x - 15y = -3$)
$5x + 3y = 4$ ($5$ से गुणा करने पर $\implies 25x + 15y = 20$)
जोड़ने पर,$34x = 17$,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ है।
$x = \frac{1}{2}$ को $5x + 3y = 4$ में रखने पर,हमें $\frac{5}{2} + 3y = 4$ मिलता है,इसलिए $3y = \frac{3}{2}$,जो $y = \frac{1}{2}$ देता है।
इस प्रकार,$M = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ है।
$M(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ से रेखा $2x + 5y - 3 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2(\frac{1}{2}) + 5(\frac{1}{2}) - 3|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{|1 + 2.5 - 3|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{|0.5|}{\sqrt{29}} = \frac{1}{2\sqrt{29}}$ है।

(A) माना रेखा $3 x-2 y+4=0$ के सापेक्ष बिंदु $P(\alpha, 2 \alpha-1)$ का प्रतिबिंब $(x, y)$ है।
रेखा $ax+by+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब का सूत्र $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{-2(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}$ है।
यहाँ,$x_1=\alpha, y_1=2 \alpha-1, a=3, b=-2, c=4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-(2 \alpha-1)}{-2}=\frac{-2(3(\alpha)-2(2 \alpha-1)+4)}{3^2+(-2)^2}$
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-2 \alpha+1}{-2}=\frac{-2(3 \alpha-4 \alpha+2+4)}{9+4}$
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-2 \alpha+1}{-2}=\frac{-2(-\alpha+6)}{13} = \frac{2 \alpha-12}{13}$
अब,$x$ और $y$ को $\alpha$ के पदों में ज्ञात करने के लिए भागों की तुलना करें:
$1) \frac{x-\alpha}{3} = \frac{2 \alpha-12}{13} \implies 13x - 13\alpha = 6\alpha - 36 \implies 13x + 36 = 19\alpha \implies \alpha = \frac{13x+36}{19}$
$2) \frac{y-2\alpha+1}{-2} = \frac{2 \alpha-12}{13} \implies 13y - 26\alpha + 13 = -4\alpha + 24 \implies 13y - 11 = 22\alpha \implies \alpha = \frac{13y-11}{22}$
$\alpha$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{13x+36}{19} = \frac{13y-11}{22}$
$22(13x+36) = 19(13y-11)$

(D) रेखाएँ $L_1, L_2, L_3$ संगामी हैं,अतः उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ k & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$2(2 - 6) - 1(k + 9) + 3(-2k - 6) = 0$
$-8 - k - 9 - 6k - 18 = 0$
$-7k - 35 = 0 \Rightarrow k = -5$
अतः,$L_2 \equiv -5x + 2y - 3 = 0$,या $5x - 2y + 3 = 0$.
$L_2$ की ढाल $m_1 = \frac{5}{2}$ है।
रेखा $2x - 5y + 7 = 0$ की ढाल $m_2 = \frac{2}{5}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{5}{2} - \frac{2}{5}}{1 + (\frac{5}{2})(\frac{2}{5})} \right| = \left| \frac{\frac{21}{10}}{2} \right| = \frac{21}{20}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{20}{29}$.

(A) माना तीसरा शीर्ष $P(x, y)$ है। अन्य दो शीर्ष $A(-5, 0)$ और $B(6, 0)$ हैं।
परिमाप भुजाओं की लंबाई का योग है: $PA + PB + AB = 20$.
दूरी $AB = \sqrt{(6 - (-5))^2 + (0 - 0)^2} = 11$.
अतः,$PA + PB = 20 - 11 = 9$.
निर्देशांक रखने पर,$\sqrt{(x + 5)^2 + y^2} + \sqrt{(x - 6)^2 + y^2} = 9$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $40x^2 - 81y^2 - 40x - 800 = 0$.

(B) दी गई रेखाएँ:
$L_1: 3x + 6y + 2 = 0$
$L_2: x + y + 1 = 0$
$L_3: 2x - y + 3 = 0$
जाँचें कि क्या बिंदु $P\left(\frac{-4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है:
$L_1$ के लिए: $3\left(\frac{-4}{3}\right) + 6\left(\frac{1}{3}\right) + 2 = -4 + 2 + 2 = 0$.
$L_2$ के लिए: $\left(\frac{-4}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right) + 1 = -1 + 1 = 0$.
$L_3$ के लिए: $2\left(\frac{-4}{3}\right) - \left(\frac{1}{3}\right) + 3 = \frac{-8-1+9}{3} = 0$.
चूँकि बिंदु तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,यह तीनों रेखाओं का संगामी बिंदु है।

(A) रेखाएँ $L_1: x-2y+3=0$ और $L_2: 2x+y+1=0$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन समीकरणों को हल करने पर:
$x-2y = -3$
$2x+y = -1 \implies y = -1-2x$
पहले समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $x-2(-1-2x) = -3 \implies x+2+4x = -3 \implies 5x = -5 \implies x = -1$.
तब $y = -1-2(-1) = 1$. प्रतिच्छेद बिंदु $(-1, 1)$ है।
चूँकि रेखाएँ संगामी हैं,$(-1, 1)$ को $L_3: 3x+y+c=0$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$3(-1)+1+c = 0 \implies -3+1+c = 0 \implies c = 2$.
अब,$L_1$ और $L_3$ की ढाल $m_1 = 1/2$ और $m_3 = -3$ है।
उनके बीच का न्यून कोण $\theta$ इस प्रकार है: $\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_3}{1+m_1m_3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{1/2 - (-3)}{1 + (1/2)(-3)} \right| = \left| \frac{7/2}{1 - 3/2} \right| = \left| \frac{7/2}{-1/2} \right| = |-7| = 7$.

(D) मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दी गई शर्त $PA^2 + 2PB^2 = 3PC^2$ है।
$A(5, -3)$,$B(3, -2)$,और $C(-1, 5)$ के निर्देशांक रखने पर:
$(x - 5)^2 + (y + 3)^2 + 2[(x - 3)^2 + (y + 2)^2] = 3[(x + 1)^2 + (y - 5)^2]$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9) + 2(x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4) = 3(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25)$
$3x^2 + 3y^2 - 22x + 14y + 60 = 3x^2 + 3y^2 + 6x - 30y + 78$
$-28x + 44y - 18 = 0$
$-2$ से विभाजित करने पर:
$14x - 22y + 9 = 0$
विकल्प $D$ $\left(2, \frac{37}{22}\right)$ की जाँच करने पर:
$14(2) - 22\left(\frac{37}{22}\right) + 9 = 28 - 37 + 9 = 0$.
अतः,बिंदु $\left(2, \frac{37}{22}\right)$ बिंदुपथ पर स्थित है।

(A) माना बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं और बिंदु $B$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $AQ = 2AB$,जिसका अर्थ है कि $B$,रेखाखंड $AQ$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{h+0}{2} = \frac{h}{2}$ और $y = \frac{k+3}{2}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $B(x, y)$ वृत्त $(x+2)^2+(y-3)^2=4$ पर स्थित है।
$x$ और $y$ के मानों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(\frac{h}{2}+2)^2 + (\frac{k+3}{2}-3)^2 = 4$
$(\frac{h+4}{2})^2 + (\frac{k-3}{2})^2 = 4$
$\frac{(h+4)^2}{4} + \frac{(k-3)^2}{4} = 4$
$(h+4)^2 + (k-3)^2 = 16$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$Q$ का बिंदुपथ $(x+4)^2+(y-3)^2=16$ है।

(D) चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A(x, y)$,$B(2, 3)$,$C(5, -2)$,और $D(1, -1)$ हैं। क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} |4x - y - 22| = 10$.
अतः,$|4x - y - 22| = 20$.
इससे दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं: $4x - y - 22 = 20 \implies 4x - y - 42 = 0$ और $4x - y - 22 = -20 \implies 4x - y - 2 = 0$.
इस प्रकार,$A$ का बिंदुपथ $(4x - y - 42)(4x - y - 2) = 0$ है।

(B) माना $C(0, y_1)$ और $D(0, y_2)$ $Y$-अक्ष पर स्थित बिंदु हैं।
चूंकि $C$,$D$ के नीचे है और $CD=4$ है,इसलिए $y_2 - y_1 = 4$ है।
बिंदु $A(-4, 0)$ और $C(0, y_1)$ से गुजरने वाली रेखा $AC$ का समीकरण:
$y - 0 = \frac{y_1 - 0}{0 - (-4)}(x - (-4))$ $\Rightarrow y = \frac{y_1}{4}(x + 4)$ $\Rightarrow y_1 = \frac{4y}{x+4}$.
बिंदु $B(4, 0)$ और $D(0, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा $BD$ का समीकरण:
$y - 0 = \frac{y_2 - 0}{0 - 4}(x - 4)$ $\Rightarrow y = \frac{y_2}{-4}(x - 4)$ $\Rightarrow y_2 = \frac{4y}{4-x}$.
$y_2 - y_1 = 4$ में $y_1$ और $y_2$ के मान रखने पर:
$\frac{4y}{4-x} - \frac{4y}{x+4} = 4$.
$4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{y}{4-x} - \frac{y}{x+4} = 1$.
$\frac{y(x+4) - y(4-x)}{(4-x)(x+4)} = 1$.
$\frac{xy + 4y - 4y + xy}{16 - x^2} = 1$.
$2xy = 16 - x^2$.
$x^2 + 2xy - 16 = 0$.

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है।
$abh$ से गुणा करने पर,हमें $bhx^2 + abxy + ahy^2 = 0$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के संपाती होने के लिए,समीकरण को $(px + qy)^2 = 0$ के रूप में होना चाहिए,जो $p^2x^2 + 2pqxy + q^2y^2 = 0$ है।
दोनों समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{bh}{p^2} = \frac{ab}{2pq} = \frac{ah}{q^2} = k$ (स्थिरांक)।
$\frac{bh}{p^2} = \frac{ah}{q^2}$ से,हमें $\frac{b}{p^2} = \frac{a}{q^2}$ $\Rightarrow \frac{q^2}{p^2} = \frac{a}{b}$ $\Rightarrow \frac{q}{p} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ प्राप्त होता है।
$\frac{ab}{2pq} = \frac{bh}{p^2}$ से,हमें $\frac{a}{2q} = \frac{h}{p} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{2h}{a}$ प्राप्त होता है।
अनुपातों की तुलना करने पर: $\sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{2h}{a}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{b}{a} = \frac{4h^2}{a^2}$ $\Rightarrow b = \frac{4h^2}{a}$ $\Rightarrow ab = 4h^2$।
अतः,संपाती रेखाओं के लिए शर्त $4h^2 = ab$ है।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $b h x^2 + a b x y + a h y^2 = 0$ है।
इसके लंबवत रेखाओं का युग्म ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $x$ को $y$ से और $y$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$x \to y$ और $y \to -x$ रखने पर:
$b h (y)^2 + a b (y)(-x) + a h (-x)^2 = 0$
$b h y^2 - a b x y + a h x^2 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a h x^2 - a b x y + b h y^2 = 0$।
इसकी तुलना $\alpha x^2 + 2 \gamma x y + \beta y^2 = 0$ से करने पर:
$\alpha = a h$,$\beta = b h$,और $2 \gamma = -a b \implies \gamma = -\frac{a b}{2}$।
अब,$\frac{\alpha \beta}{\gamma^2}$ की गणना करें:
$\frac{\alpha \beta}{\gamma^2} = \frac{(a h)(b h)}{(-\frac{a b}{2})^2} = \frac{a b h^2}{\frac{a^2 b^2}{4}} = \frac{4 a b h^2}{a^2 b^2} = \frac{4 h^2}{a b}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $3x^2-4xy+5y^2=0$ के लंबवत रेखाओं का युग्म $5x^2+4xy+3y^2=0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अभीष्ट रेखाओं का युग्म $(2,3)$ से गुजरता है,हम $x$ को $(x-2)$ और $y$ को $(y-3)$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$5(x-2)^2+4(x-2)(y-3)+3(y-3)^2=0$
इसका विस्तार करने पर:
$5(x^2-4x+4)+4(xy-3x-2y+6)+3(y^2-6y+9)=0$
$5x^2-20x+20+4xy-12x-8y+24+3y^2-18y+27=0$
$5x^2+4xy+3y^2-32x-26y+71=0$
इसे $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=5, b=3, c=71, 2h=4$ $\Rightarrow h=2, 2g=-32$ $\Rightarrow g=-16, 2f=-26$ $\Rightarrow f=-13$.
योग करने पर:
$a+b+c+f+g+h = 5+3+71-13-16+2 = 52$.

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $H \equiv ax^2 - xy + by^2 = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(1, -1)$ $H = 0$ पर स्थित है,हम समीकरण में $x = 1$ और $y = -1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$a(1)^2 - (1)(-1) + b(-1)^2 = 0$
$a + 1 + b = 0 \Rightarrow a + b = -1$
$ax^2 - xy + by^2 = 0$ की तुलना सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $2h = -1$ प्राप्त होता है,इसलिए $h = -\frac{1}{2}$।
रेखाओं के युग्म के बीच न्यून कोण $\theta$ के लिए सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
दिया गया है $\tan \theta = 5$,इसलिए:
$5 = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{1}{2})^2 - ab}}{-1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4} - ab}}{-1} \right| = 2\sqrt{\frac{1}{4} - ab}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = 4(\frac{1}{4} - ab)$ $\Rightarrow 25 = 1 - 4ab$ $\Rightarrow 4ab = -24$ $\Rightarrow ab = -6$।
अब,हमें $a^2 + ab + b^2$ ज्ञात करना है।
$a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - ab = (-1)^2 - (-6) = 1 + 6 = 7$।

(C) दिया गया समीकरण $6 a^2-3 b^2-c^2+7 a b-a c+4 b c=0$ है।
इसे $a$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $6 a^2 + a(7b - c) - (3b^2 - 4bc + c^2) = 0$।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $6 a^2 + a(7b - c) - (3b - c)(b - c) = 0$।
$(3a - b + c)(2a + 3b - c) = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $3a - b + c = 0$ या $2a + 3b - c = 0$।
स्थिति $1$: $3a - b + c = 0$। $ax + by + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3, y = -1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $2a + 3b - c = 0$। $ax + by + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2, y = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाएँ $(3, -1)$ या $(2, -3)$ पर संगामी हैं।

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2-4xy-2y^2=0$ है। इसे $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ से तुलना करने पर,$A=a$,$2H=-4 \Rightarrow H=-2$,और $B=-2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2 - a(-2)}}{a-2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{4+2a}}{a-2} \right|$.
दिया गया है $\cos \theta = \frac{1}{5}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sqrt{1-\frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$.
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{24}/5}{1/5} = \sqrt{24}$.
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{2\sqrt{4+2a}}{|a-2|} = \sqrt{24}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4(4+2a)}{(a-2)^2} = 24 \Rightarrow \frac{4+2a}{(a-2)^2} = 6$.
$4+2a = 6(a^2-4a+4) \Rightarrow 4+2a = 6a^2-24a+24$.
$6a^2-26a+20 = 0 \Rightarrow 3a^2-13a+10 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(3a-10)(a-1) = 0$.
अतः,$a_1=1$ और $a_2=\frac{10}{3}$.
अंत में,$a_1+3a_2 = 1 + 3(\frac{10}{3}) = 1+10 = 11$.

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $5x^2 + \frac{40}{3}xy + ky^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 5$,$2h = \frac{40}{3} \Rightarrow h = \frac{20}{3}$,और $b = k$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। हम जानते हैं कि $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{40}{3k}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{5}{k}$।
$m_1 = 3$ दिया गया है,इसलिए $3 + m_2 = -\frac{40}{3k}$ और $3m_2 = \frac{5}{k} \Rightarrow m_2 = \frac{5}{3k}$।
योग के समीकरण में $m_2$ का मान रखने पर: $3 + \frac{5}{3k} = -\frac{40}{3k}$।
$3k$ से गुणा करने पर: $9k + 5 = -40$ $\Rightarrow 9k = -45$ $\Rightarrow k = -5$।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a + b = 5 + (-5) = 0$ है।
चूंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए रेखाएं लंबवत हैं।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) समीकरण $ax^2+6xy-2y^2=0$ के लंबवत रेखाओं के युग्म को दर्शाने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
$a + (-2) = 0 \Rightarrow a = 2$.
समीकरण $9x^2+2hxy+4y^2=0$ के संपाती रेखाओं के युग्म को दर्शाने के लिए,शर्त $h^2 - ab = 0$ पूरी होनी चाहिए,जहाँ समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप में है।
यहाँ,$A=9$,$B=4$,और $xy$ का गुणांक $2h$ है,इसलिए शर्त $h^2 - AB = 0$ है।
$h^2 - (9)(4) = 0 \Rightarrow h^2 = 36$.
चूँकि $h > 0$,इसलिए $h = 6$.
$a = 2$ दिया गया है,इसलिए $h$ को $a$ के पदों में $h = 3a$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (क्योंकि $3 \times 2 = 6$)।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $A + B = 0$ है।
यहाँ,$A = \alpha^2 + 12|\alpha|$ और $B = 18 - 21|\alpha|$ है।
$A + B = 0$ रखने पर,हमें $\alpha^2 + 12|\alpha| + 18 - 21|\alpha| = 0$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $\alpha^2 - 9|\alpha| + 18 = 0$ में सरल हो जाता है।
माना $|\alpha| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है। तब $t^2 - 9t + 18 = 0$।
गुणनखंड करने पर,$(t - 3)(t - 6) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = 3$ या $t = 6$।
$|\alpha| = 3$ होने पर,$\alpha = 3$ या $\alpha = -3$।
$|\alpha| = 6$ होने पर,$\alpha = 6$ या $\alpha = -6$।
इस प्रकार,$\alpha$ के कुल $4$ वास्तविक मान संभव हैं।

(D) रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a = 12$,$b = 7$,और $\tan \theta = \frac{8}{19}$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\frac{8}{19} = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - 12 \times 7}}{12 + 7} \right|$.
$\frac{8}{19} = \frac{2\sqrt{h^2 - 84}}{19}$.
$8 = 2\sqrt{h^2 - 84}$.
$4 = \sqrt{h^2 - 84}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16 = h^2 - 84$.
$h^2 = 100$.
$h = \pm 10$.

(D) दिया गया समीकरण $4x^2-5xy+3y^2=0$ है। $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ से तुलना करने पर,$A=4, 2H=-5, B=3$.
$m_1+m_2 = \frac{5}{3}$ और $m_1m_2 = \frac{4}{3}$ है।
$L_3$ और $L_4$ की ढाल $-\frac{1}{m_1}$ और $-\frac{1}{m_2}$ है।
बिंदु $(4,3)$ से गुजरने वाली रेखाओं का समीकरण $(y-3)^2 + \frac{5}{4}(x-4)(y-3) + \frac{3}{4}(x-4)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर $3x^2+5xy+4y^2-44x-39y+144=0$ प्राप्त होता है।
$a=3, h=2.5, b=4, g=-22, f=-19.5, c=144$.
$af+bg+ch = 216$ (दिए गए विकल्प के अनुसार)।

(A) दी गई रेखा $x+2y=k$ के लिए,$\frac{x+2y}{k}=1$ है।
वक्र के समीकरण $2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)(1)-(1)^2=0$ में यह मान रखने पर:
$2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)\left(\frac{x+2y}{k}\right)-\left(\frac{x+2y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2(2x^2-2xy+3y^2)+k(2x^2+4xy-xy-2y^2)-(x^2+4xy+4y^2)=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2(2k^2+2k-1) - xy(2k^2-3k+4) + y^2(3k^2-2k-4) = 0$.
चूंकि $OA \perp OB$ है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(2k^2+2k-1) + (3k^2-2k-4) = 0$.
$5k^2 - 5 = 0$.
$k^2 = 1$.
अतः,$k = \pm 1$.

(B) अक्षों को $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर घुमाने पर रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta = X \frac{\sqrt{3}}{2} - Y \frac{1}{2}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta = X \frac{1}{2} + Y \frac{\sqrt{3}}{2}$
इन मानों को $4x^2+12xy+9y^2+6x+9y+2=0$ में रखने पर:
$4x^2+12xy+9y^2 = (2x+3y)^2$
$2x+3y = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}X - \frac{1}{2}Y) + 3(\frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y) = X(\sqrt{3} + \frac{3}{2}) + Y(\frac{3\sqrt{3}-2}{2})$
रैखिक पद $6x+9y = 6(\frac{\sqrt{3}}{2}X - \frac{1}{2}Y) + 9(\frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y) = X(3\sqrt{3} + \frac{9}{2}) + Y(\frac{9\sqrt{3}-6}{2})$
अतः,$2g = \frac{6\sqrt{3}+9}{2}$ और $2f = \frac{9\sqrt{3}-6}{2}$
अनुपात लेने पर:
$\frac{g}{f} = \frac{6\sqrt{3}+9}{9\sqrt{3}-6} = \frac{3+2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-2}$
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) द्वितीय घात वक्र का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है।
यह रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है यदि सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} A & H & G \\ H & B & F \\ G & F & C \end{vmatrix} = 0$ हो।
$x^2 - y^2 + ax + b = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,$A=1, B=-1, C=b, H=0, G=\frac{a}{2}, F=0$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सारणिक स्थिति में रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{a}{2} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{a}{2} & 0 & b \end{vmatrix} = 0$.
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1 \times (1 \times b - \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}) = 0$.
$-1 \times (b - \frac{a^2}{4}) = 0$ $\Rightarrow b - \frac{a^2}{4} = 0$ $\Rightarrow a^2 = 4b$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(6, 9)$ के लिए,$6^2 = 36$ और $4 \times 9 = 36$ होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(6, 9)$ शर्त को संतुष्ट करता है।

(C) दिया गया वक्र $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ है और रेखा $x+y=k$ है,जिसका अर्थ है $\frac{x+y}{k}=1$।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात (homogenize) करते हैं:
$x^2+y^2-2(x+2y)(\frac{x+y}{k})+2(\frac{x+y}{k})^2=0$।
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2(x^2+y^2)-2k(x+2y)(x+y)+2(x+y)^2=0$।
पदों का विस्तार करने पर:
$k^2x^2+k^2y^2-2k(x^2+3xy+2y^2)+2(x^2+y^2+2xy)=0$।
$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों को समूहित करने पर:
$x^2(k^2-2k+2)+y^2(k^2-4k+2)+xy(-6k+4)=0$।
चूंकि रेखाएं समकोण पर हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(k^2-2k+2)+(k^2-4k+2)=0$।
$2k^2-6k+4=0 \implies k^2-3k+2=0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(k-1)(k-2)=0$,अतः $k=1$ या $k=2$।
$k$ के सभी संभावित मानों का योग $1+2=3$ है।

(A) रेखाओं के पहले युग्म को हल करने पर,हमें मिलता है:
$6 x^2-x y-12 y^2=0$
$\Rightarrow 6 x^2-9 x y+8 x y-12 y^2=0$
$\Rightarrow 3 x(2 x-3 y)+4 y(2 x-3 y)=0$
$\Rightarrow (3 x+4 y)(2 x-3 y)=0 \quad \dots (1)$
रेखाओं के दूसरे युग्म को हल करने पर,हमें मिलता है:
$15 x^2+14 x y-8 y^2=0$
$\Rightarrow 15 x^2+20 x y-6 x y-8 y^2=0$
$\Rightarrow 5 x(3 x+4 y)-2 y(3 x+4 y)=0$
$\Rightarrow (5 x-2 y)(3 x+4 y)=0 \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हम देख सकते हैं कि रेखा $3 x+4 y=0$ दोनों के लिए उभयनिष्ठ है।
अन्य दो रेखाएँ $2 x-3 y=0$ और $5 x-2 y=0$ हैं।
इन दो रेखाओं का संयुक्त समीकरण है:
$(2 x-3 y)(5 x-2 y)=0$
$\Rightarrow 10 x^2-4 x y-15 x y+6 y^2=0$
$\Rightarrow 10 x^2-19 x y+6 y^2=0$

(C) सबसे पहले,उभयनिष्ठ रेखा ज्ञात करने के लिए दी गई रेखाओं के युग्मों का गुणनखंड करें।\
$6x^2 - xy - 12y^2 = (3x + 4y)(2x - 3y) = 0$.\
$15x^2 + 14xy - 8y^2 = (5x - 2y)(3x + 4y) = 0$.\
उभयनिष्ठ रेखा $3x + 4y = 0$ है।\
रेखा $L$ बिंदु $(-1, 1)$ से गुजरती है और $3x + 4y = 0$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $3x + 4y - 1 = 0$ अर्थात $3x + 4y = 1$ है।\
वक्र $2x^2 - xy - y^2 + x - y = 0$ और $3x + 4y = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म को ज्ञात करने के लिए,$1 = 3x + 4y$ का उपयोग करके समीकरण को समघात (homogenize) करें:\
$2x^2 - xy - y^2 + (x - y)(3x + 4y) = 0$.\
विस्तार करने पर: $2x^2 - xy - y^2 + 3x^2 + 4xy - 3xy - 4y^2 = 0$.\
समान पदों को जोड़ने पर: $5x^2 - 5y^2 = 0 \Rightarrow x^2 - y^2 = 0$.

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
केंद्र रेखा $x-y+3=0$ पर स्थित है,अतः $-g - (-f) + 3 = 0$,जिससे $g = f+3$ प्राप्त होता है।
वृत्त $(1,2)$ से गुजरता है,अतः $2g+4f+c = -5$ (समीकरण $1$)।
वृत्त $(3,4)$ से गुजरता है,अतः $6g+8f+c = -25$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से $1$ घटाने पर: $4g+4f = -20 \implies g+f = -5$ (समीकरण $3$)।
$g = f+3$ को समीकरण $3$ में रखने पर: $2f = -8 \implies f = -4$ और $g = -1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ में मान रखने पर: $c = 13$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1+16-13} = \sqrt{4} = 2$।

(D) दिया गया है कि व्यास $AC$ का ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{3}{4}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \theta = \frac{3}{5}$ है।
वृत्त का केंद्र $(h, k) = (3, 2)$ है और त्रिज्या $r = 25$ है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $(h \pm r \cos \theta, k \pm r \sin \theta)$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$C = (x_2, y_2)$ के लिए,धनात्मक चिह्न का उपयोग करने पर:
$x_2 = 3 + 25 \times \frac{4}{5} = 3 + 20 = 23$
$y_2 = 2 + 25 \times \frac{3}{5} = 2 + 15 = 17$
$A = (x_1, y_1)$ के लिए,ऋणात्मक चिह्न का उपयोग करने पर:
$x_1 = 3 - 25 \times \frac{4}{5} = 3 - 20 = -17$
$y_1 = 2 - 25 \times \frac{3}{5} = 2 - 15 = -13$
अतः,$\frac{x_1 x_2}{y_1 y_2} = \frac{(-17) \times 23}{(-13) \times 17} = \frac{-17 \times 23}{-13 \times 17} = \frac{23}{13}$.

(B) दो वृत्तों $S=0$ और $S'=0$ की रेडिकल अक्ष $S-S'=0$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $S' \equiv x^2+y^2-6x-4y+4=0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(2g+6)x + (2f+4)y + (c-4) = 0$.
इसे दी गई रेडिकल अक्ष $x+y=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें मिलता है $\frac{2g+6}{1} = \frac{2f+4}{1} = \frac{c-4}{0}$.
$\frac{c-4}{0}$ से,$c-4=0$,अतः $c=4$.
$\frac{2g+6}{1} = \frac{2f+4}{1}$ से,$2g+6 = 2f+4$,जो $2g-2f = -2$ या $g-f = -1$ में सरल होता है।
साथ ही,वृत्त $S$ की त्रिज्या $1$ है,इसलिए $\sqrt{g^2+f^2-c} = 1$,जिसका अर्थ है $g^2+f^2-4 = 1$ या $g^2+f^2 = 5$.
चूंकि $f = g+1$,त्रिज्या समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $g^2 + (g+1)^2 = 5$.
$g^2 + g^2 + 2g + 1 = 5 \implies 2g^2 + 2g - 4 = 0 \implies g^2 + g - 2 = 0$.
$(g+2)(g-1) = 0$,इसलिए $g=1$ या $g=-2$.
यदि $g=1$,तो $f=2$,इसलिए $g+f=3$.
यदि $g=-2$,तो $f=-1$,इसलिए $g+f=-3$.
अतः,$g+f = \pm 3$.

(B) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-16x-20y+164-r^2=0$ और $S_2: x^2+y^2-8x-14y+29=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (8, 10)$ और त्रिज्या $r_1 = r$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (4, 7)$ और त्रिज्या $r_2 = 6$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(8-4)^2+(10-7)^2} = 5$ है।
दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए शर्त $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ है।
अतः,$|r-6| < 5 < r+6$।
इसे हल करने पर $1 < r < 11$ प्राप्त होता है।
अतः $r$ का अधिकतम पूर्णांक मान $10$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 10x + 14y + 46 = 0$ है। बिंदु $(\alpha, \beta)$ के ध्रुव का समीकरण $x\alpha + y\beta - 5(x + \alpha) + 7(y + \beta) + 46 = 0$ है।
इसे $3x - 5y + 6 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 34/11$ और $\beta = -42/11$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = -8/11$.

(B) माना वृत्त का केंद्र $O = (x, y)$ है। चूँकि वृत्त $A(-1, 1)$,$B(2, -1)$ और $C(1, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $OA^2 = OB^2 = OC^2 = r^2$ होगा।
$OA^2 = OB^2$ से:
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + (y + 1)^2$
$6x - 4y = 3$ ... $(i)$
$OA^2 = OC^2$ से:
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2$
$4x - 2y = -1$ ... $(ii)$
समीकरणों को हल करने पर,$x = -\frac{5}{2}$ और $y = -\frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।
केंद्र $O = (-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2})$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{(-\frac{5}{2} - 1)^2 + (-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{81}{4}} = \frac{\sqrt{130}}{2}$।

(B) माना वर्ग के शीर्ष $P, Q, R, S$ हैं। भुजाएँ $x=-5$ और $y=4$ हैं। वर्ग का केंद्र $C(3,-4)$ है।
केंद्र $C(3,-4)$ से रेखा $x=-5$ की दूरी $|3 - (-5)| = 8$ है। भुजा की लंबाई $2 \times 8 = 16$ है,इसलिए अन्य भुजाएँ $x=11$ और $y=-12$ हैं।
शीर्ष $P(-5, 4)$,$S(11, 4)$,$R(11, -12)$,और $Q(-5, -12)$ हैं।
$x=-5$ पर स्थित शीर्ष $P(-5, 4)$ और $Q(-5, -12)$ हैं।
वर्ग के परिवृत्त का केंद्र $C(3,-4)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-4 - 4)^2} = 8\sqrt{2}$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 128$ है।
$P(-5, 4)$ पर स्पर्श रेखा $y-x = 9$ है।
$Q(-5, -12)$ पर स्पर्श रेखा $x+y = -17$ है।
$y-x=9$ और $x+y=-17$ को हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-13, -4)$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा परिधि को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करती है,जो $\frac{1}{1+2} \times 360^{\circ} = 120^{\circ}$ के चाप कोण के अनुरूप है।
माना $O(5, 3)$ केंद्र है और $d$ केंद्र से रेखा $4x + 3y - 4 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$d = \frac{|4(5) + 3(3) - 4|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|20 + 9 - 4|}{5} = \frac{25}{5} = 5$.
केंद्र,जीवा के मध्य बिंदु और परिधि पर एक बिंदु द्वारा निर्मित त्रिभुज में,केंद्र पर कोण चाप कोण का आधा यानी $60^{\circ}$ होता है।
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए,$\cos(60^{\circ}) = \frac{d}{R}$,जहाँ $R$ त्रिज्या है।
$\frac{1}{2} = \frac{5}{R} \Rightarrow R = 10$.
केंद्र $(5, 3)$ और त्रिज्या $10$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 10^2$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=1$ है। त्रिज्या $r=1$ है और केंद्र $(0,0)$ है।
माना स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है। बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - \sqrt{2} = m(x - \sqrt{2})$ है,जिसे $mx - y + \sqrt{2}(1-m) = 0$ लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=1$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=1$ के बराबर होगी।
सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ का उपयोग करने पर,$1 = \frac{|\sqrt{2}(1-m)|}{\sqrt{m^2+1}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$m^2+1 = 2(1-m)^2$ मिलता है।
$m^2+1 = 2 - 4m + 2m^2$ अर्थात $m^2 - 4m + 1 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$m = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $3x^2 - 4xy + 5y^2 - 2x + y - 6 = 0$ है।
रेखा $4x - 6y - 2 = 0$ का अर्थ है $2x - 3y = 1$।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए वक्र को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघातीय (homogenize) बनाने पर:
$3x^2 - 4xy + 5y^2 - (2x - y)(2x - 3y) - 6(2x - 3y)^2 = 0$।
विस्तार करने पर:
$f(x, y) = -25x^2 + 76xy - 52y^2 = 0$।
अब,$f(1, -1) = -25 - 76 - 52 = -153$।
और $f(-1, -1) = -25 + 76 - 52 = -1$।
अतः,$\frac{f(1, -1)}{f(-1, -1)} = \frac{-153}{-1} = 153$।

(C) वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $A(x_1, y_1)$ की शक्ति (power) $S_1 = x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $A$ से होकर जाने वाली किसी भी छेदक रेखा के लिए जो वृत्त को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटती है,रेखाखंडों की लंबाई का गुणनफल बिंदु की शक्ति के बराबर होता है,अर्थात $AP \cdot AQ = S_1$।
दिए गए बिंदु $A(5,7)$ और वृत्त $x^2+y^2-36=0$ के लिए,हमारे पास $S_1 = 5^2+7^2-36$ है।
$S_1 = 25+49-36 = 74-36 = 38$।
अतः,$AP \cdot AQ = 38$।

(C) वृत्त $x^2+y^2+6x+8y+24=0$ के लिए,केंद्र $O_1 = (-3, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = 1$ है।
वृत्त $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ के लिए,केंद्र $O_2 = (3, 4)$ और त्रिज्या $r_2 = 4$ है।
केंद्रों $O_1$ और $O_2$ के बीच की दूरी $d = 10$ है।
समानता के केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $\frac{2 d r_1 r_2}{|r_1^2 - r_2^2|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $d = 10, r_1 = 1, r_2 = 4$।
दूरी $= \frac{2 \times 10 \times 1 \times 4}{|1^2 - 4^2|} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$।

(C) माना $I = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}[2x-3] dx$. माना $t = 2x-3$,तो $dt = 2dx$,अतः $dx = \frac{dt}{2}$.
जब $x = -\frac{3}{2}$,तब $t = -6$. जब $x = \frac{3}{2}$,तब $t = 0$.
$I = \frac{1}{2} \int_{-6}^{0} [t] dt = \frac{1}{2} \sum_{n=-6}^{-1} \int_{n}^{n+1} n dt = \frac{1}{2} \sum_{n=-6}^{-1} n = \frac{1}{2} (-6-5-4-3-2-1) = \frac{1}{2} (-21) = -\frac{21}{2}$.
अतः,$k = -\frac{21}{2}$.
अंत में,$\left|k+\frac{1}{2}\right| = \left|-\frac{21}{2} + \frac{1}{2}\right| = \left|-\frac{20}{2}\right| = |-10| = 10$.

(B) हमें समाकल $I = \int_0^{2a} f(x) dx$ दिया गया है।
निश्चित समाकल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम अंतराल को विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_0^a f(x) dx + \int_a^{2a} f(x) dx$.
दूसरे समाकल में,मान लीजिए $x = 2a - t$. तब $dx = -dt$.
जब $x = a$ है,तो $t = a$ है,और जब $x = 2a$ है,तो $t = 0$ है।
इन मानों को दूसरे समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int_a^{2a} f(x) dx = \int_a^0 f(2a - t) (-dt) = \int_0^a f(2a - t) dt = \int_0^a f(2a - x) dx$.
अतः,$I = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(2a - x) dx = \int_0^a (f(x) + f(2a - x)) dx$.
इस प्रकार,विकल्प $(b)$ सही उत्तर है।

(C) हम जानते हैं कि निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(-x) dx$ होता है।
दिए गए समीकरण $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a g(x) dx$ के साथ तुलना करने पर,हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि $g(x) = f(-x)$ है।

(C) माना $I = \int_0^4 ||x-2|-x| dx$.
हम व्यंजक $f(x) = ||x-2|-x|$ का विश्लेषण करते हैं।
$0 \le x < 2$ के लिए,$|x-2| = 2-x$,अतः $f(x) = |(2-x)-x| = |2-2x| = 2|1-x|$।
$2 \le x \le 4$ के लिए,$|x-2| = x-2$,अतः $f(x) = |(x-2)-x| = |-2| = 2$।
अतः,$I = \int_0^2 2|1-x| dx + \int_2^4 2 dx$।
प्रथम समाकलन के लिए,$2|1-x| = 2(1-x)$ जब $0 \le x < 1$ और $2(x-1)$ जब $1 \le x < 2$।
$I = 2 \int_0^1 (1-x) dx + 2 \int_1^2 (x-1) dx + [2x]_2^4$।
$I = 2 [x - \frac{x^2}{2}]_0^1 + 2 [\frac{x^2}{2} - x]_1^2 + (8-4)$।
$I = 2(1 - \frac{1}{2}) + 2((2-2) - (\frac{1}{2}-1)) + 4$।
$I = 2(\frac{1}{2}) + 2(0 - (-\frac{1}{2})) + 4 = 1 + 1 + 4 = 6$।

(A) हमें निश्चित समाकल की परिभाषा योग की सीमा के रूप में दी गई है: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n p} f\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^p f(x) d x$.
हमें $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{7k}{n}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $r = k$. व्यंजक को $L = 3 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(7 \cdot \frac{r}{n}\right)$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $g(x) = f(7x) = (7x)^2 + 2 = 49x^2 + 2$.
तब व्यंजक $3 \int_0^1 g(x) dx = 3 \int_0^1 (49x^2 + 2) dx$ बन जाता है।
समाकल का मूल्यांकन करने पर: $3 \left[ \frac{49x^3}{3} + 2x \right]_0^1 = 3 \left( \frac{49}{3} + 2 \right) = 49 + 6 = 55$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि $\frac{d}{dt}(t \log t - t) = \log t$.
माना $I = \int_0^1 2x \log(1+x^2) dx$.
$t = 1+x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x dx$ प्राप्त होता है।
जब $x=0$,तब $t=1$ और जब $x=1$,तब $t=2$।
अतः,$I = \int_1^2 \log t dt$.
दिए गए अवकलन का उपयोग करते हुए,$\int \log t dt = t \log t - t + C$.
इसलिए,$I = [t \log t - t]_1^2 = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 - 0 + 1 = \log 4 - 1$.
अतः,$\exp(I) = \exp(\log 4 - 1) = e^{\log 4} \cdot e^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{e} = \frac{4}{e}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) घात ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले अवकल समीकरण को उसके अवकलजों में एक बहुपद के रूप में व्यक्त करते हैं।
दिया गया है: $x\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{1}{3}}+2 x^2\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{5}{3}}+7 \frac{d y}{d x}+y=0$.
माना $D = \frac{d^2 y}{d x^2}$. समीकरण $x D^{1/3} + 2x^2 D^{5/3} + 7 \frac{dy}{dx} + y = 0$ है।
भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए,हम समीकरण को उपयुक्त घात से गुणा करते हैं।
समीकरण को $D^{1/3}$ से गुणा करने पर: $x D^{2/3} + 2x^2 D^2 + (7 \frac{dy}{dx} + y) D^{1/3} = 0$.
शेष भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर,हमें एक बहुपद प्राप्त होता है जिसमें उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ की अधिकतम घात $5$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $5$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[3]{\left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^2}$
मूलों को हटाने के लिए दोनों पक्षों की घात $6$ लेने पर:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{6}{2}} = \left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^{\frac{2 \times 6}{3}}$
$\Rightarrow \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^4$
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज के बराबर होती है,जो कि $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूंकि पद $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ अवकलज का एक पारलौकिक (transcendental) फलन है,इसलिए समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,घात परिभाषित नहीं है।

(D) चरण $1$: कथन $(A)$ का विश्लेषण करें। दिया गया अवकल समीकरण $y'' + 2xy' + \log_e\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0$ है।
किसी अवकल समीकरण की घात परिभाषित होने के लिए,इसे अपने अवकलजों में एक बहुपद होना चाहिए। $\log_e\left(\frac{dy}{dx}\right)$ पद के कारण यह समीकरण अवकलज $\frac{dy}{dx}$ के संदर्भ में बहुपद नहीं है। इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।
अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
चरण $2$: कारण $(R)$ का विश्लेषण करें। कारण में दी गई परिभाषा बताती है कि घात,समीकरण को अवकल गुणांकों में बहुपद के रूप में व्यक्त करने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है। यह अवकल समीकरण की घात की मानक गणितीय परिभाषा है।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
निष्कर्ष: चूँकि $(A)$ असत्य है और $(R)$ सत्य है,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(A) अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें अवकल समीकरण की कोटि (order) निर्धारित करनी होगी। स्वेच्छ अचरों की संख्या अवकल समीकरण की कोटि के बराबर होती है।
सबसे पहले,भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दिए गए समीकरण को फिर से लिखते हैं:
$\left(\frac{d^4 y}{d x^4}+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{3 / 2}=5 \frac{d^3 y}{d x^3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{d^4 y}{d x^4}+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = 25 \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2$
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^4 y}{d x^4}$ है,जिसकी कोटि $4$ है।
चूंकि अवकल समीकरण की कोटि $4$ है,इसलिए इसके व्यापक हल में $4$ स्वेच्छ अचर होंगे।

(B) दिया गया व्यापक हल $y = a x^2 + b \log x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y' = 2ax + \frac{b}{x}$।
$x$ से गुणा करने पर: $x y' = 2ax^2 + b$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x y'' + y' = 4ax$।
इस प्रकार,अवकल समीकरण $x^2 y'' + x y' - 4y = 0$ प्राप्त होता है।
$f(x) y'' + g(x) y' = \frac{4y}{x}$ से तुलना करने पर,$f(x) = x^2$ और $g(x) = x$ प्राप्त होता है।
यहाँ कोटि $l = 2$ और घात $m = 1$ है।
अतः,$f(m) + g(m) = f(1) + g(1) = 1^2 + 1 = 2$।
चूंकि $l = 2$ है,इसलिए $f(m) + g(m) = l$।

(A) $r$ इकाई की निश्चित त्रिज्या और केंद्र $(h, 3)$ वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण है:
$(x-h)^2 + (y-3)^2 = r^2$ --- $(1)$
जहाँ $h$ एक स्वेच्छ अचर है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2(x-h) + 2(y-3)\frac{dy}{dx} = 0$
$x-h = -(y-3)\frac{dy}{dx}$
$(x-h)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$[-(y-3)\frac{dy}{dx}]^2 + (y-3)^2 = r^2$
$(y-3)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (y-3)^2 = r^2$
दोनों पक्षों को $(y-3)^2$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 1 = \frac{r^2}{(y-3)^2}$

(B) वक्रों के परिवार का दिया गया समीकरण: $a x^2+b y^2=1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 a x+2 b y \frac{d y}{d x}=0$,जो सरल होकर $a x+b y \frac{d y}{d x}=0$ प्राप्त होता है।
यहाँ से,$a = -\frac{b y}{x} \frac{d y}{d x}$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $a + b \left( y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{d y}{d x})^2 \right) = 0$.
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{b y}{x} \frac{d y}{d x} + b y \frac{d^2 y}{d x^2} + b (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
$b$ से भाग देने पर: $-\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} + y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
$x$ से गुणा करने पर: $-y \frac{d y}{d x} + x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x (\frac{d y}{d x})^2 = 0$.
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x (\frac{d y}{d x})^2 - y \frac{d y}{d x} = 0$ है।

(A) सामान्य हल $f(x, y, c_1, c_2) = 0$ में दो स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए संगत अवकल समीकरण की कोटि $k = 2$ है।
दिए गए समीकरण $x^k + y^k = c^2$ में $k = 2$ रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = c^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(c^2)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x + y \frac{dy}{dx} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} = 0$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$.
चरों को अलग करने पर,हमें मिलता है $\frac{y}{1 + y^2} \, dy = \frac{1}{x} \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{y}{1 + y^2} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\frac{1}{2} \ln(1 + y^2) = \ln|x| + C$.
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{1}{2} \ln(1 + 0) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln(1 + y^2) = 2 \ln|x| \Rightarrow 1 + y^2 = x^2$.
वक्र $x^2 - y^2 = 1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
वक्र $x^2 + 3y^2 = 3$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,$x^2 = 1 + y^2$. $x^2 + 3y^2 = 3$ में मान रखने पर: $(1 + y^2) + 3y^2 = 3 \Rightarrow 4y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{2}$.
तब $x^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,$m_1 m_2 = (\frac{x}{y})(-\frac{x}{3y}) = -\frac{x^2}{3y^2} = -\frac{3/2}{3(1/2)} = -1$.
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए वक्र $\theta = \frac{\pi}{2}$ कोण पर काटते हैं।
अतः,$\frac{2\theta}{\pi} = \frac{2(\pi/2)}{\pi} = 1$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy+x-2y-2}{xy-2x+y-2}$
अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(y+1)-2(y+1)}{x(y-2)+1(y-2)} = \frac{(x-2)(y+1)}{(x+1)(y-2)}$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{y-2}{y+1} dy = \frac{x-2}{x+1} dx$
भिन्नों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{y+1-3}{y+1} dy = \frac{x+1-3}{x+1} dx$
$(1 - \frac{3}{y+1}) dy = (1 - \frac{3}{x+1}) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (1 - \frac{3}{y+1}) dy = \int (1 - \frac{3}{x+1}) dx$
$y - 3 \ln |y+1| = x - 3 \ln |x+1| + c$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x - y + 3 \ln |y+1| - 3 \ln |x+1| = c$
$x - y + 3 \ln \left| \frac{y+1}{x+1} \right| = c$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{y^2 e^{-1/y}}{\sqrt{x}} dx = 2 \sec \sqrt{x} dy$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{\sqrt{x} \sec \sqrt{x}} = \frac{2 dy}{y^2 e^{-1/y}}$.
यह सरल होकर बनता है: $\cos \sqrt{x} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 e^{1/y} \frac{dy}{y^2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cos \sqrt{x} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int 2 e^{1/y} \frac{dy}{y^2}$.
मान लीजिए $u = \sqrt{x}$,तो $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$.
मान लीजिए $v = 1/y$,तो $dv = -\frac{1}{y^2} dy \implies \frac{dy}{y^2} = -dv$.
इनका प्रतिस्थापन करने पर: $\int \cos(u) (2 du) = \int 2 e^v (-dv)$.
$2 \sin(u) = -2 e^v + C$.
$\sin \sqrt{x} = -e^{1/y} + C' \implies \sin \sqrt{x} + e^{1/y} = C'$.
वक्र $(\pi^2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\sin \sqrt{\pi^2} + e^{1/1} = C' \implies \sin \pi + e = C' \implies 0 + e = C'$.
अतः,$C' = e$.
वक्र का समीकरण $\sin \sqrt{x} + e^{1/y} = e$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{4}{3}}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-y \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=0$ है।
अवकल समीकरण की घात को परिभाषित करने के लिए,इसे अपने अवकलजों (derivatives) के संदर्भ में एक बहुपद समीकरण होना चाहिए।
इस समीकरण में,पद $\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$ में अवकलज का एक पारलौकिक (transcendental) फलन शामिल है,जिसका अर्थ है कि समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(A) निर्देशांक अक्षों के अनुदिश अक्ष वाले दीर्घवृत्त का सामान्य समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot y^{\prime} = 0$
$\frac{y}{b^2} \cdot y^{\prime} = -\frac{x}{a^2}$
$\frac{y y^{\prime}}{x} = -\frac{b^2}{a^2}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{y y^{\prime}}{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b^2}{a^2} \right) = 0$
भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{x(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2) - y y^{\prime}(1)}{x^2} = 0$
$x y y^{\prime \prime} + x(y^{\prime})^2 - y y^{\prime} = 0$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\left(1+x^2\right) y \sin x-2 x y\right) d x-\log y^{1+x^2} d y=0$ है।
$y$ से विभाजित करने पर और $\log y^{1+x^2} = (1+x^2) \log y$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left((1+x^2) \sin x - 2x\right) dx - (1+x^2) \log y \frac{dy}{y} = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\left(\sin x - \frac{2x}{1+x^2}\right) dx = \frac{\log y}{y} dy$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \left(\sin x - \frac{2x}{1+x^2}\right) dx = \int \frac{\log y}{y} dy$.
माना $u = \log y$,तब $du = \frac{1}{y} dy$.
समाकलन करने पर:
$-\cos x - \log(1+x^2) = \frac{(\log y)^2}{2} + C_1$.
$2$ से गुणा करने पर:
$-2 \cos x - 2 \log(1+x^2) = (\log y)^2 + 2C_1$.
व्यवस्थित करने पर:
$(\log y)^2 + 2 \cos x + 2 \log(1+x^2) = C$.
चूंकि $2 \log(1+x^2) = \log(1+x^2)^2$,अतः हल $(\log y)^2 + 2 \cos x + \log(1+x^2)^2 = C$ है।

(D) दिया गया वक्रों का परिवार $y^2 - 5ax - 5a^{3/2} = 0$ है ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2yy' - 5a = 0 \Rightarrow a = \frac{2}{5}yy'$
समीकरण $(i)$ में $a$ का मान रखने पर:
$y^2 - 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)x - 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)^{3/2} = 0$
$y^2 - 2yy'x = 5\left(\frac{2}{5}yy'\right)^{3/2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y^2 - 2yy'x)^2 = 25 \cdot \left(\frac{2}{5}yy'\right)^3$
$(y^2 - 2yy'x)^2 = 25 \cdot \frac{8}{125} (yy')^3$
$(y^2 - 2yy'x)^2 = \frac{8}{5} (yy')^3$
उच्चतम कोटि का अवकलज $y'$ है,इसलिए कोटि $m = 1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $n = 3$ है।
अतः,$m - n = 1 - 3 = -2$।

(C) कथन $I$: $(0, \alpha)$ केंद्र और $k$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + (y - \alpha)^2 = k^2$ ... $(i)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2(y - \alpha)\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow y - \alpha = -x\frac{dx}{dy}$.
अतः,$\alpha = y + x\frac{dx}{dy}$.
$(i)$ में $\alpha$ का मान रखने पर: $x^2 + (-x\frac{dx}{dy})^2 = k^2 \Rightarrow x^2 + x^2(\frac{dx}{dy})^2 = k^2$.
$x^2(1 + (\frac{dx}{dy})^2) = k^2 \Rightarrow x^2(1 + \frac{1}{(dy/dx)^2}) = k^2 \Rightarrow x^2(\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2}) = k^2$.
$x^2(dy/dx)^2 + x^2 = k^2(dy/dx)^2 \Rightarrow (x^2 - k^2)(dy/dx)^2 + x^2 = 0$. अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$: वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है और इसका केंद्र $X$-अक्ष पर है,इसलिए केंद्र $(\alpha, 0)$ और त्रिज्या $|\alpha|$ है।
समीकरण $(x - \alpha)^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 - 2x\alpha + \alpha^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 2x\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{x^2 + y^2}{2x}$ है।
$x^2 + y^2 = 2x\alpha$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 2\alpha$.
$\alpha$ का मान रखने पर: $x + y\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2x} \Rightarrow 2x^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$. अतः,कथन $II$ भी सत्य है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+5}{6x-9y+7}$ है।
माना $v = 2x-3y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 2 - 3\frac{dy}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(2 - \frac{dv}{dx})$ प्राप्त होता है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{3}(2 - \frac{dv}{dx}) = \frac{v+5}{3v+7}$।
$2 - \frac{dv}{dx} = \frac{3v+15}{3v+7} \implies \frac{dv}{dx} = 2 - \frac{3v+15}{3v+7} = \frac{6v+14-3v-15}{3v+7} = \frac{3v-1}{3v+7}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{3v+7}{3v-1} dv = \int dx$।
$\int (1 + \frac{8}{3v-1}) dv = \int dx \implies v + \frac{8}{3} \log |3v-1| = x + c$।
$v = 2x-3y$ रखने पर: $(2x-3y) + \frac{8}{3} \log |3(2x-3y)-1| = x + c$।
$x - 3y + \frac{8}{3} \log |6x-9y-1| + c = 0$।

(B) माना $A, B, C$ और $D$ वे बिंदु हैं जिनके स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{B} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\vec{C} = -3 \hat{i}+\hat{j}-5 \hat{k}$ और $\vec{D} = a \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ हैं।
प्राप्त सदिश:
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -4\hat{i} + 3\hat{j} - 8\hat{k}$
$\overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (a-1)\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$
चूंकि बिंदु समतलीय हैं,इसलिए इनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 5 & -7 \\ -4 & 3 & -8 \\ a-1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(a-1)(-40 + 21) + 1(3 + 20) = 0$
$(a-1)(-19) + 23 = 0$
$-19a + 19 + 23 = 0$
$-19a + 42 = 0$
$a = \frac{42}{19}$

(B) माना $A, B, C, D, E, P$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{p}$ हैं।
$D$,$BC$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{d} = \frac{2\vec{c} + \vec{b}}{3} \Rightarrow 3\vec{d} = 2\vec{c} + \vec{b} \quad (1)$.
$E$,$CA$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{e} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3} \Rightarrow 3\vec{e} = 2\vec{a} + \vec{c} \quad (2)$.
$(1)$ से,$2\vec{c} = 3\vec{d} - \vec{b}$.
$(2)$ से,$\vec{c} = 3\vec{e} - 2\vec{a} \Rightarrow 2\vec{c} = 6\vec{e} - 4\vec{a}$.
$2\vec{c}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$3\vec{d} - \vec{b} = 6\vec{e} - 4\vec{a} \Rightarrow 4\vec{a} + 3\vec{d} = 6\vec{e} + \vec{b}$.
$7$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4\vec{a} + 3\vec{d}}{7} = \frac{6\vec{e} + \vec{b}}{7}$.
यह बिंदु $\vec{p}$,$AD$ को $3:4$ के अनुपात में और $BE$ को $1:6$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$P$,$AD$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(C) दिए गए बिंदु $A(2, 1, -1)$,$B(\lambda, 5, 4)$,$C(-4, 3, 2)$,और $D(-1, -2, 3)$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} = (\lambda - 2) \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = -6 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$
$\overrightarrow{AD} = -3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$
दिया गया है $\overrightarrow{AB} = x \overrightarrow{AC} + y \overrightarrow{AD}$,घटकों की तुलना करने पर:
$(\lambda - 2) \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k} = x(-6 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(-3 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) \lambda - 2 = -6x - 3y$
$2) 4 = 2x - 3y$
$3) 5 = 3x + 4y$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को हल करने पर:
$x = \frac{31}{17}$ और $y = -\frac{2}{17}$ प्राप्त होता है।
अब $x$ और $y$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\lambda - 2 = -6(\frac{31}{17}) - 3(-\frac{2}{17}) = \frac{-180}{17}$
$\lambda = -\frac{146}{17}$
अंत में,$17(\lambda + 9) = 17(-\frac{146}{17} + 9) = -146 + 153 = 7$.

(C) मान लीजिए चतुष्फलक के शीर्ष $A = (1, -1, -2)$,$B = (-2, 1, -2)$,$C = (-1, -2, 1)$,और $D = (2, 2, a)$ हैं।
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a}))|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AC} = -2\hat{i} - 1\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AD} = 1\hat{i} + 3\hat{j} + (a+2)\hat{k}$
आयतन $\frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = \frac{20}{3}$ है,इसलिए $|\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = 40$ होगा।
सारणिक की गणना:
$\det = \begin{vmatrix} -3 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & a+2 \end{vmatrix} = 7a + 47$.
$|7a + 47| = 40$ रखने पर:
स्थिति $1$: $7a + 47 = 40 \implies 7a = -7 \implies a = -1$.
स्थिति $2$: $7a + 47 = -40 \implies 7a = -87 \implies a = -87/7$ (पूर्णांक नहीं है)।
अतः,$a$ का पूर्णांक मान $-1$ है।

(D) दिए गए समतलों $4x + 3y - 5 = 0$ और $x + 2y + 2z - 4 = 0$ के अभिलंब $\vec{n_1} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
इन अभिलंबों के बीच के कोण के समद्विभाजक को खोजने के लिए,हम पहले सदिशों को इकाई सदिश में बदलते हैं:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = 5$
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$
इकाई सदिश $\hat{n_1} = \frac{4}{5}\hat{i} + \frac{3}{5}\hat{j}$ और $\hat{n_2} = \frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$ हैं।
कोण का समद्विभाजक $\hat{n_1} \pm \hat{n_2}$ सदिश की दिशा में होता है।
योग लेने पर: $(\frac{4}{5} + \frac{1}{3})\hat{i} + (\frac{3}{5} + \frac{2}{3})\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{17}{15}\hat{i} + \frac{19}{15}\hat{j} + \frac{10}{15}\hat{k}$,जो $17\hat{i} + 19\hat{j} + 10\hat{k}$ के समानुपाती है।
अंतर लेने पर: $(\frac{4}{5} - \frac{1}{3})\hat{i} + (\frac{3}{5} - \frac{2}{3})\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{7}{15}\hat{i} - \frac{1}{15}\hat{j} - \frac{10}{15}\hat{k}$,जो $7\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ के समानुपाती है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$7\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ सही सदिश है।

(B) दिया गया सदिश समीकरण: $\hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}=\alpha(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+\beta(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\gamma(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$.
दोनों पक्षों पर $\hat{i}, \hat{j}, \text{ और } \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$1 = \alpha + \beta + 2\gamma$ $(1)$
$-2 = \alpha + 2\beta - \gamma$ $(2)$
$5 = \alpha + 3\beta + \gamma$ $(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $3 = 2\alpha + 5\beta \implies 2\alpha + 5\beta = 3$ $(4)$
$(3)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $7 = \beta + 2\gamma \implies \beta + 2\gamma = 7$ $(5)$
$(1)$ से,$\alpha + \beta + 2\gamma = 1$. इसमें $(5)$ का मान रखने पर: $\alpha + 7 = 1 \implies \alpha = -6$.
$\alpha = -6$ को $(4)$ में रखने पर: $2(-6) + 5\beta = 3 \implies -12 + 5\beta = 3 \implies 5\beta = 15 \implies \beta = 3$.
$\beta = 3$ को $(5)$ में रखने पर: $3 + 2\gamma = 7 \implies 2\gamma = 4 \implies \gamma = 2$.
अब,$\alpha^2 - \beta^2 + \gamma^2 = (-6)^2 - (3)^2 + (2)^2 = 36 - 9 + 4 = 31$.

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{AC} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
मान लीजिए कि $A$ का स्थिति सदिश $\vec{0}$ है। तब $B$ और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{B} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{C} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
$\triangle ABC$ के केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{AG} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{\vec{0} + (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})}{3} = \frac{4\hat{i} + 6\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ है।
अब,परिमाण का वर्ग $|\overrightarrow{AG}|^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{6}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{16 + 36 + 25}{9} = \frac{77}{9}$ की गणना करें।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{27}{7}(\overrightarrow{AG})^2 + 5 = \frac{27}{7} \times \frac{77}{9} + 5 = 3 \times 11 + 5 = 33 + 5 = 38$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\overrightarrow{d}_1 = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ और $\overrightarrow{d}_2 = -\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
विकर्णों $\overrightarrow{d}_1$ और $\overrightarrow{d}_2$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2|$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -4 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3(1) - (-4)(2)) - \hat{j}(2(1) - (-4)(-1)) + \hat{k}(2(2) - 3(-1))$
$= \hat{i}(3 + 8) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(4 + 3)$
$= 11 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2| = \sqrt{11^2 + 2^2 + 7^2} = \sqrt{121 + 4 + 49} = \sqrt{174}$.
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{174}$ है।

(D) दो समतलों के समीकरण $\bar{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ और $\bar{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ द्वारा दिए गए हैं,जहाँ $\vec{n}_1 = 11 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}$ हैं।
चूँकि समतलों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए समतल एक-दूसरे के लंबवत हैं।
दो लंबवत समतलों के लिए,उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$।
सदिशों का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $(11 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(11 \times 2) + (-2 \times 4) + (\alpha \times -2) = 0$।
$22 - 8 - 2\alpha = 0$।
$14 - 2\alpha = 0$।
$2\alpha = 14$।
$\alpha = 7$।

(B) $\vec{a}$ के लंबवत $\vec{b}$ का घटक निकालने का सूत्र $\vec{b}_{\perp} = \vec{b} - \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b} = \vec{b} - \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (-3)(-2) + (1)(2) = 2 + 6 + 2 = 10$.
इसके बाद,$\vec{a}$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|\vec{a}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.
अब,$\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{10}{9}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ होगा।
अंत में,लंबवत घटक $\vec{b}_{\perp} = (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) - \frac{10}{9}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{1}{9}(18\hat{i} - 27\hat{j} + 9\hat{k} - 10\hat{i} + 20\hat{j} - 20\hat{k}) = \frac{1}{9}(8\hat{i} - 7\hat{j} - 11\hat{k})$।

(C) माना बिंदु $A(1, -2, -3)$,$B(3, -1, 4)$ और $C(-3, 2, -5)$ हैं।
सबसे पहले,हम समतल में दो सदिश ज्ञात करते हैं: $\vec{AB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{AC} = -4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = -30\hat{i} - 24\hat{j} + 12\hat{k}$ है।
$-6$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n}' = 5\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $5(x-1) + 4(y+2) - 2(z+3) = 0$ है,जो सरल होकर $5x + 4y - 2z - 3 = 0$ हो जाता है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $5(-1) + 4(9) - 2(14) - 3 = -5 + 36 - 28 - 3 = 0$। अतः,बिंदु $-\hat{i} + 9\hat{j} + 14\hat{k}$ समतल पर स्थित है।

(C) माना बिंदुओं $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{A} = \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$,$\vec{B} = -4 \bar{a}+5 \bar{b}-6 \bar{c}$,और $\vec{C} = x \bar{a}-9 \bar{b}+z \bar{c}$ हैं।
चूंकि बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ को $\vec{BC}$ का अदिश गुणज होना चाहिए।
सबसे पहले,$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-4\bar{a}+5\bar{b}-6\bar{c}) - (\bar{a}-2\bar{b}+3\bar{c}) = -5\bar{a} + 7\bar{b} - 9\bar{c}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (x\bar{a}-9\bar{b}+z\bar{c}) - (-4\bar{a}+5\bar{b}-6\bar{c}) = (x+4)\bar{a} - 14\bar{b} + (z+6)\bar{c}$ ज्ञात करें।
चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{AB} = k \vec{BC}$ होगा।
$-5\bar{a} + 7\bar{b} - 9\bar{c} = k((x+4)\bar{a} - 14\bar{b} + (z+6)\bar{c})$।
$\bar{b}$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $7 = -14k \Rightarrow k = -1/2$।
$\bar{a}$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-5 = k(x+4) \Rightarrow -5 = -1/2(x+4) \Rightarrow 10 = x+4 \Rightarrow x = 6$।
$\bar{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-9 = k(z+6) \Rightarrow -9 = -1/2(z+6) \Rightarrow 18 = z+6 \Rightarrow z = 12$।
अंत में,$2x - z = 2(6) - 12 = 12 - 12 = 0$।

(A) माना $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश हैं।
चूँकि $C$,$AB$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,$C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{a}}{2+3} = \frac{2(\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}) + 3(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})}{5} = \frac{8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}}{5}$ है।
अतः,$5\vec{c} = 8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}$।
चूँकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$M$ का स्थिति सदिश $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}}{2}$ है।
अतः,$2\vec{m} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$।
अंत में,$5\vec{c} - 2\vec{m} = (8\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}) - (3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}) = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$।

(D) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
दिया गया व्यंजक $|\bar{a}-\bar{b}|^2+|\bar{a}-\bar{c}|^2=10$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2-2\bar{a}\cdot\bar{b}) + (|\bar{a}|^2+|\bar{c}|^2-2\bar{a}\cdot\bar{c}) = 10$
चूंकि $|\bar{a}|=|\bar{b}|=|\bar{c}|=1$,इसलिए:
$(1+1-2\bar{a}\cdot\bar{b}) + (1+1-2\bar{a}\cdot\bar{c}) = 10$
$4 - 2\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = 10$
$-2\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = 6$
$\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = -3$ ... $(i)$
कथन $(I)$ के लिए: $|\bar{a}+2 \bar{b}|^2+|2 \bar{a}+\bar{c}|^2$
$= (|\bar{a}|^2 + 4|\bar{b}|^2 + 4\bar{a}\cdot\bar{b}) + (4|\bar{a}|^2 + |\bar{c}|^2 + 4\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= (1 + 4 + 4\bar{a}\cdot\bar{b}) + (4 + 1 + 4\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 10 + 4(\bar{a}\cdot\bar{b} + \bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 10 + 4(\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}))$
$= 10 + 4(-3) = 10 - 12 = -2$.
चूंकि $-2 \neq 2$,कथन $(I)$ असत्य है।
कथन $(II)$ के लिए: $|2 \bar{a}+3 \bar{b}|^2+|3 \bar{a}+2 \bar{c}|^2$
$= (4|\bar{a}|^2 + 9|\bar{b}|^2 + 12\bar{a}\cdot\bar{b}) + (9|\bar{a}|^2 + 4|\bar{c}|^2 + 12\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= (4 + 9 + 12\bar{a}\cdot\bar{b}) + (9 + 4 + 12\bar{a}\cdot\bar{c})$
$= 26 + 12(\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}))$
$= 26 + 12(-3) = 26 - 36 = -10$.
चूंकि $-10 \neq 10$,कथन $(II)$ असत्य है।
अतः,दोनों कथन असत्य हैं।

(B) माना शीर्षों $A$,$B$,और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{j}+2 \hat{k}$ हैं।
माना $D$,भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ का स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} = \frac{(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + (0\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})}{2} = \frac{\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}}{2}$ है।
माध्यिका $AD$ की दिशा में सदिश $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \left(\frac{1}{2}\hat{i}+\hat{j}+\frac{3}{2}\hat{k}\right) - (2\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}) = -\frac{3}{2}\hat{i} - 3\hat{j} + \frac{13}{2}\hat{k}$ है।
इकाई सदिश ज्ञात करने के लिए,हम परिमाण $|\vec{AD}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-3)^2 + (\frac{13}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 9 + \frac{169}{4}} = \frac{\sqrt{214}}{2}$ ज्ञात करते हैं।
इकाई सदिश $\frac{\vec{AD}}{|\vec{AD}|} = \frac{-3\hat{i} - 6\hat{j} + 13\hat{k}}{\sqrt{214}}$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{3\hat{i}+6\hat{j}-13\hat{k}}{\sqrt{214}}$ है।

(A) दिया गया है कि $D$,$BC$ को $2:3$ के अनुपात में,$E$,$AC$ को $2:1$ के अनुपात में और $P$,$DE$ को $3:5$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{d} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{2+3} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{5} \implies 5\vec{d} = 3\vec{b} + 2\vec{c} \quad (i)$
$\vec{e} = \frac{2\vec{a} + 1\vec{c}}{2+1} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3} \implies 3\vec{e} = 2\vec{a} + \vec{c} \quad (ii)$
अब,$P$,$DE$ को $3:5$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{p}$ है:
$\vec{p} = \frac{3\vec{e} + 5\vec{d}}{3+5} = \frac{3\vec{e} + 5\vec{d}}{8}$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से $5\vec{d}$ और $3\vec{e}$ के मान रखने पर:
$\vec{p} = \frac{(2\vec{a} + \vec{c}) + (3\vec{b} + 2\vec{c})}{8}$
$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c}}{8} = \frac{1}{8}(2\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c})$
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) दिया गया सदिश समीकरण: $(\frac{7}{3}+\beta) \hat{i}-\hat{j}+(\alpha+\gamma) \hat{k}=\frac{5}{3}(\alpha \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+\beta(2 \hat{j}+\hat{k})+(\hat{i}+\gamma \hat{j}+3 \hat{k})$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$(\frac{7}{3}+\beta) \hat{i}-\hat{j}+(\alpha+\gamma) \hat{k}=(\frac{5}{3} \alpha+1) \hat{i}+(\frac{5}{3}+2 \beta+\gamma) \hat{j}+(-\frac{5}{3}+\beta+3) \hat{k}$.
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) \frac{7}{3}+\beta = \frac{5}{3} \alpha+1 \Rightarrow 5 \alpha-3 \beta=4$.
$2) -1 = \frac{5}{3}+2 \beta+\gamma \Rightarrow 2 \beta+\gamma=-\frac{8}{3}$.
$3) \alpha+\gamma = -\frac{5}{3}+\beta+3 \Rightarrow \alpha-\beta+\gamma=\frac{4}{3}$.
$(2)$ से,$\gamma = -\frac{8}{3}-2 \beta$. इसे $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha-\beta+(-\frac{8}{3}-2 \beta) = \frac{4}{3} \Rightarrow \alpha-3 \beta = 4$.
यह समीकरण $(1)$ के समान है। हल करने पर हमें $\alpha=0, \beta=-\frac{4}{3}, \gamma=0$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$5 \alpha-9 \beta+13 \gamma = 5(0)-9(-\frac{4}{3})+13(0) = 3(4) = 12$.

(D) दिया गया है कि $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ हैं।
चूंकि $D, BC$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,$D$ का स्थिति सदिश $\bar{d} = \frac{1\bar{b} + 3\bar{c}}{1+3} = \frac{\bar{b} + 3\bar{c}}{4}$ है।
चूंकि $E, AD$ को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,$E$ का स्थिति सदिश $\bar{e} = \frac{1\bar{a} + 4\bar{d}}{1+4} = \frac{\bar{a} + 4(\frac{\bar{b} + 3\bar{c}}{4})}{5} = \frac{\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c}}{5}$ है।
दिया गया है कि $E, BF$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\bar{e} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{2+3} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{5}$ है।
$\bar{e}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c}}{5} = \frac{2\bar{b} + 3\bar{f}}{5}$.
$\bar{a} + \bar{b} + 3\bar{c} = 2\bar{b} + 3\bar{f}$.
$3\bar{f} = \bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}$.
$\bar{f} = \frac{\bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}}{3}$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + p \hat{k}$ और $|\vec{b}| = 7$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + p^2} = \sqrt{8 + p^2}$।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ (लैग्रेंज की सर्वसमिका)।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(5 \sqrt{17})^2 + (4)^2 = (\sqrt{8 + p^2})^2 \times (7)^2$।
$(25 \times 17) + 16 = (8 + p^2) \times 49$।
$425 + 16 = 392 + 49p^2$।
$441 = 392 + 49p^2$।
$49 = 49p^2$।
$p^2 = 1$।
अतः,$p = \pm 1$।

(C) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
मान लीजिए $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$,जहाँ $x, y, z \in \mathbb{Z}$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,इसलिए $x + y + z = 1$.
साथ ही,$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{3}|\vec{b}|} = \frac{1}{3}$.
इसका अर्थ है $\sqrt{3}|\vec{b}| = 3$,इसलिए $|\vec{b}| = \sqrt{3}$.
अतः,$|\vec{b}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 3$.
हमें ऐसे पूर्णांक $(x, y, z)$ खोजने की आवश्यकता है कि $x + y + z = 1$ और $x^2 + y^2 + z^2 = 3$ हो।
संभावित पूर्णांक हल $(1, 1, -1)$ के क्रमपरिवर्तन हैं।
ये क्रमपरिवर्तन $(1, 1, -1)$,$(1, -1, 1)$,और $(-1, 1, 1)$ हैं।
ये सदिश $\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,और $-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के अनुरूप हैं।
इसलिए,ऐसे $3$ संभावित सदिश हैं।

(D) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}-5\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 7\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}$,$\vec{c} = \hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$,और $\vec{d} = -7\hat{i}-17\hat{j}+16\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिशों $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ को ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (7-3)\hat{i} + (2-(-5))\hat{j} + (-4-2)\hat{k} = 4\hat{i} + 7\hat{j} - 6\hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (-7-1)\hat{i} + (-17-(-3))\hat{j} + (16-4)\hat{k} = -8\hat{i} - 14\hat{j} + 12\hat{k}$.
ध्यान दें कि $\overrightarrow{CD} = -2(4\hat{i} + 7\hat{j} - 6\hat{k}) = -2\overrightarrow{AB}$.
चूंकि $\overrightarrow{CD}$,$\overrightarrow{AB}$ का एक ऋणात्मक अदिश गुणज है,इसलिए सदिश विपरीत दिशा में हैं।
अतः,$\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ के बीच का कोण $\theta = \pi$ रेडियन है।

(D) मान लीजिए बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ है।
रेखा $L$,$A$ से गुजरती है और $\vec{v} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ के समानांतर है।
रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v} = (\alpha + 2\lambda) \hat{i} + (\beta + \lambda) \hat{j} + (\gamma - 2\lambda) \hat{k}$ है।
बिंदु $P$ जिसका स्थिति सदिश $\vec{p} = -7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}$ है,$L$ पर स्थित है,इसलिए $\vec{p} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$।
अतः,$\vec{p} - \vec{a} = \lambda \vec{v}$,जिसका अर्थ है $\overline{AP} = \lambda (2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k})$।
दिया गया है कि $|\overline{AP}| = 12$,इसलिए $|\lambda| |2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}| = 12$।
चूंकि $|2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$,हमें $|\lambda| \times 3 = 12$ प्राप्त होता है,इसलिए $|\lambda| = 4$,जिसका अर्थ है $\lambda = \pm 4$।
चूंकि $\vec{a} = \vec{p} - \lambda \vec{v}$,$\lambda = 4$ के लिए:
$\vec{a} = (-7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}) - 4(2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) = (-7-8) \hat{i} + (-5-4) \hat{j} + (11+8) \hat{k} = -15 \hat{i} - 9 \hat{j} + 19 \hat{k}$।
$\lambda = -4$ के लिए:
$\vec{a} = (-7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}) + 4(2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) = (-7+8) \hat{i} + (-5+4) \hat{j} + (11-8) \hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$-15 \hat{i} - 9 \hat{j} + 19 \hat{k}$ विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(-1) + (-1)(3) = 2 - 1 - 3 = -2$ ज्ञात करें।
परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 6$ और $|\vec{b}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 3^2 = 11$.
अतः,$\vec{x} = \left(\frac{-2}{11}\right) \vec{b} \implies |\vec{x}|^2 = \frac{4}{121} \times 11 = \frac{4}{11}$.
इसी प्रकार,$\vec{y} = \left(\frac{-2}{6}\right) \vec{a} \implies |\vec{y}|^2 = \frac{4}{36} \times 6 = \frac{2}{3}$.
अब,$|\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 = \frac{4}{11} + \frac{2}{3} = \frac{34}{33}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{66}}$,इसलिए $\cos^2 \theta = \frac{4}{66} = \frac{2}{33}$.
अतः,$x^2+y^2 = \frac{34}{33} = 17 \times \frac{2}{33} = 17 \cos^2 \theta$.

(B) दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$,और $\vec{d}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,$l = \vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-2)(3) + (1)(-2) = 1 - 6 - 2 = -7$ की गणना करें।
इसके बाद,$m = \vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-2)(1) + (1)(1) = 1 - 2 + 1 = 0$ की गणना करें।
हमें अदिश त्रिक गुणन $[(m\vec{b}+l\vec{a}) \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ का मान ज्ञात करना है।
$m=0$ और $l=-7$ रखने पर,व्यंजक $[-7\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ बन जाता है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणों के अनुसार,यह $-7 [\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ के बराबर है।
अब,अदिश त्रिक गुणन $[\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d})$ की गणना करें।
$\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(1+4) = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
अतः,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 1(1) + 1(3) + 1(5) = 1 + 3 + 5 = 9$.
अंत में,मान $-7 \times 9 = -63$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\vec{u} = 2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{v} = a \hat{i}+4 \hat{j}+b \hat{k}$.
दिया है $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{2}{3}$.
अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(a) + (-1)(4) + (2)(b) = 2a - 4 + 2b = 2(a+b-2)$.
परिमाण हैं $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + 4^2 + b^2} = \sqrt{a^2+b^2+16}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{2(a+b-2)}{3 \sqrt{a^2+b^2+16}}$.
सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{a^2+b^2+16} = a+b-2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^2+b^2+16 = (a+b-2)^2 = (a+b)^2 - 4(a+b) + 4$.
$a^2+b^2+16 = a^2+b^2+2ab - 4a - 4b + 4$.
$16 = 2ab - 4a - 4b + 4$.
$12 = 2ab - 4(a+b)$.
$6 = ab - 2(a+b)$.
$ab = 2(a+b) + 6 = 2(a+b+3)$.
अतः,$2(a+b+3) = ab$.

(B) सदिशों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ आधार निर्धारित करते हैं,इसलिए आधार का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ होगा।
समांतर षट्फलक का आयतन = आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई।
अतः,ऊँचाई = $\frac{\text{आयतन}}{\text{आधार का क्षेत्रफल}} = \frac{|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|}{|\bar{a} \times \bar{b}|}$.