TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) रेखाएँ $x=0$ और $y=0$ रेखा $3x+4y-24=0$ के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।
माना अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(r, r)$ है।
केंद्र $(r, r)$ से रेखा $3x+4y-24=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर: $\left|\frac{3r+4r-24}{\sqrt{3^2+4^2}}\right| = r$.
$\left|\frac{7r-24}{5}\right| = r$.
स्थिति $1$: $7r-24 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 24$ $\Rightarrow r = 12$.
स्थिति $2$: $7r-24 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 24$ $\Rightarrow r = 2$.
चूंकि अंतःवृत्त को त्रिभुज के भीतर होना चाहिए,इसलिए त्रिज्या $r=12$ संभव नहीं है। अतः $r=2$.
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2^2$ है।
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4$.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया बिंदु $A(a, 0)$ और रेखा $x+y=0$ है।
माना बिंदु $P$ $(h, k)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$P$ से $A$ की दूरी,$P$ से रेखा $x+y=0$ की लंबवत दूरी के बराबर है:
$\sqrt{(h-a)^2+(k-0)^2} = \frac{|h+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(h-a)^2 + k^2 = \frac{(h+k)^2}{2}$.
$2(h^2 - 2ha + a^2 + k^2) = h^2 + k^2 + 2hk$.
$2h^2 - 4ha + 2a^2 + 2k^2 = h^2 + k^2 + 2hk$.
$h^2 + k^2 - 2hk - 4ha + 2a^2 = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ का समीकरण है:
$x^2 + y^2 - 2xy - 4ax + 2a^2 = 0$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) वक्र $y^2 = 4x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$। बिंदु $(2, -2)$ पर,$m_1 = \frac{2}{-2} = -1$।
वक्र $x^2 = -2y$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x = -2 \frac{dy}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = -x$। बिंदु $(2, -2)$ पर,$m_2 = -2$।
ढाल का गुणनफल $m_1 \times m_2 = (-1) \times (-2) = 2 \neq -1$। अतः,वक्र $(2, -2)$ पर लंबकोणीय प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
मूल बिंदु $(0,0)$ पर,स्पर्श रेखाएँ $x=0$ (ऊर्ध्वाधर) और $y=0$ (क्षैतिज) हैं,जो लंबवत हैं,लेकिन कथन में $(1,2)$ बिंदु का उल्लेख है जो गलत है क्योंकि $(1,2)$ बिंदु वक्रों पर स्थित नहीं है।
इसलिए,कथन $(A)$ असत्य है और कारण $(R)$ सत्य है।

(C) मान लीजिए बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक क्रमशः $(h, k)$ और $(p, q)$ हैं।
वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के सापेक्ष बिंदु $P(h, k)$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $xh+yk=a^2$ है।
चूंकि यह जीवा $Q(p, q)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $ph+qk=a^2$ है।
$P$ और $Q$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई $l_1 = \sqrt{h^2+k^2-a^2}$ और $l_2 = \sqrt{p^2+q^2-a^2}$ है।
इनका वर्ग करने पर,$l_1^2 = h^2+k^2-a^2$ और $l_2^2 = p^2+q^2-a^2$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(h-p)^2+(k-q)^2} = \sqrt{h^2+k^2+p^2+q^2-2(hp+kq)}$.
$hp+kq=a^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$PQ = \sqrt{(h^2+k^2)+(p^2+q^2)-2a^2}$ प्राप्त होता है।
$h^2+k^2 = l_1^2+a^2$ और $p^2+q^2 = l_2^2+a^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$PQ = \sqrt{(l_1^2+a^2)+(l_2^2+a^2)-2a^2} = \sqrt{l_1^2+l_2^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) रेखा $x+2y=1$ है। $X$-अंतःखंड $A(1,0)$ और $Y$-अंतःखंड $B(0, 1/2)$ है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-x-\frac{1}{2}y=0$ है।
मूलबिंदु पर स्पर्श रेखा $2x+y=0$ है।
$A(1,0)$ से लंबवत दूरी $d_1 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
$B(0, 1/2)$ से लंबवत दूरी $d_2 = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ है।
दूरियों का योग $d_1+d_2 = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{5}}{4}$ है।
अतः,योग $2r$ है,जो वृत्त $S$ के व्यास के बराबर है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-8x-10y+5=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-4)^2+(y-5)^2 = 36 = 6^2$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $C(4, 5)$ और त्रिज्या $r = 6$ है।
बिंदु $P(-2, -3)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{4+9+16+30+5} = 8$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle CAP$ में,$\angle CAP = 90^\circ$ है।
माना $\angle APC = \frac{\theta}{2}$ है। तब $\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{CA}{PA} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \frac{2 \tan(\frac{\theta}{2})}{1-\tan^2(\frac{\theta}{2})}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \theta = \frac{2(\frac{3}{4})}{1-(\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{24}{7}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण: $x^2+y^2-6x+4y+12=0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y+2)^2=1$.
यह एक वृत्त है जिसका केंद्र $(3, -2)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
माना बिंदु $(1, -3)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $y+3=m(x-1)$ है,जो $mx-y-m-3=0$ में सरल होता है।
केंद्र $(3, -2)$ से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=1$ के बराबर होनी चाहिए:
$\left|\frac{m(3)-(-2)-m-3}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}\right|=1$.
$\left|\frac{2m-1}{\sqrt{m^2+1}}\right|=1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2m-1)^2 = m^2+1$.
$4m^2-4m+1 = m^2+1$.
$3m^2-4m = 0$.
$m(3m-4) = 0$.
अतः,ढाल $m_1=0$ और $m_2=\frac{4}{3}$ हैं।
अंत में,$9(m_1^2+m_2^2) = 9(0^2 + (\frac{4}{3})^2) = 9(\frac{16}{9}) = 16$.

(A) $C_1$ और $C_2$ के केंद्र $O(0,0)$ और $A(1,0)$ हैं और त्रिज्या $r=1$ है।
$C_3$ एक इकाई वृत्त है जो $O(0,0)$ और $A(1,0)$ से गुजरता है। मान लीजिए केंद्र $(h, k)$ है।
$(0,0)$ से गुजरने पर,$h^2 + k^2 = 1$ और $(1,0)$ से गुजरने पर $(h-1)^2 + k^2 = 1$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $h = 1/2$ और $k = \sqrt{3}/2$ मिलता है।
$C_3$ का केंद्र $(1/2, \sqrt{3}/2)$ है।
रेखा $L: ax + by + c = 0$ $C_1$ की स्पर्श रेखा है यदि $|c|/\sqrt{a^2+b^2} = 1$ हो।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ $C_1$ और $C_3$ दोनों की स्पर्श रेखा है और यह $C_2$ को नहीं काटती है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ है।
इसे मानक रूप में लिखने पर: $(x-1)^2+(y-1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C=(1,1)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
बिंदु $A=(0,-2)$ और केंद्र $C=(1,1)$ के बीच की दूरी $AC = \sqrt{(1-0)^2+(1-(-2))^2} = \sqrt{10}$ है।
अधिकतम दूरी $AB = AC+r = \sqrt{10}+1$ होगी।
अतः,$(AB)^2$ का अधिकतम मान $(\sqrt{10}+1)^2 = 11+2\sqrt{10}$ है।

(A) वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-2x-1=0$ का केंद्र $C(1,0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2}$ है।
वृत्त $S_2 \equiv x^2+y^2-2x=0$ का केंद्र $C(1,0)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
चूंकि $P$,$S_1$ पर स्थित है,$PA$ और $PB$,$P$ से $S_2$ पर स्पर्श रेखाएं हैं। अतः $CA \perp PA$ और $CB \perp PB$.
$\triangle CAB$ में,$CA = CB = r_2 = 1$. स्पर्श जीवा $AB$,$CP$ के लंबवत है।
मान लीजिए $M$,$AB$ का मध्य बिंदु है। $\triangle CAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए इसका परिकेंद्र $O$,$CP$ रेखा पर स्थित है।
$CM = \frac{r_2^2}{CP} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
परित्रिज्या $R_{circum} = \frac{CA^2}{2CM} = \frac{1}{2(1/\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$O(h,k)$ की $C(1,0)$ से दूरी $1/\sqrt{2}$ है।
$(h-1)^2 + k^2 = 1/2 \Rightarrow 2h^2 + 2k^2 - 4h + 1 = 0$.
अतः,बिंदुपथ $2x^2 + 2y^2 - 4x + 1 = 0$ है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 8x - 10y + 25 = 0$ है। पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 16$ प्राप्त होता है। केंद्र $(4, 5)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
दो रेखाएं $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ और $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ वृत्त $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि $r^2(l_1l_2 + m_1m_2) = (l_1h + m_1k + n_1)(l_2h + m_2k + n_2)$ हो।
यहाँ,$l_1 = 5, m_1 = 6, n_1 = -34$ और $l_2 = 2, m_2 = 1, n_2 = c$ है।
मान रखने पर: $16(5 \times 2 + 6 \times 1) = (5(4) + 6(5) - 34)(2(4) + 1(5) + c)$।
$16(16) = (16)(13 + c)$।
$16 = 13 + c \implies c = 3$।
रेखा $2x + y + 3 = 0$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$(1, -5)$ के लिए: $2(1) + (-5) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$।
अतः,बिंदु $(1, -5)$ रेखा पर स्थित है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=3$ है। वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1+yy_1=r^2$ होता है।
बिंदु $(2,0)$ के लिए,$L_1: 2x+0y=3 \Rightarrow 2x-3=0$.
बिंदु $(1,-2)$ के लिए,$L_2: 1x-2y=3 \Rightarrow x-2y-3=0$.
बिंदु $(4,4)$ के लिए,$L_3: 4x+4y=3 \Rightarrow 4x+4y-3=0$.
संगामी होने की जांच के लिए,$L_1$ और $L_2$ को हल करने पर: $x=\frac{3}{2}$,$y=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}-3) = -\frac{3}{4}$.
बिंदु $(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4})$ को $L_3$ में रखने पर: $4(\frac{3}{2})+4(-\frac{3}{4})-3 = 6-3-3 = 0$.
चूंकि यह बिंदु $L_3$ को संतुष्ट करता है,इसलिए रेखाएं संगामी हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-3x-6y+3=0$ है। रेखा $x+2y=c$ है,या $\frac{x+2y}{c}=1$ है।
रेखा का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात बनाने पर:
$x^2+y^2-(3x+6y)(\frac{x+2y}{c}) + 3(\frac{x+2y}{c})^2 = 0$.
चूंकि $\angle POQ = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग $0$ होना चाहिए।
$x^2$ का गुणांक: $1 - \frac{3}{c} + \frac{3}{c^2}$.
$y^2$ का गुणांक: $1 - \frac{12}{c} + \frac{12}{c^2}$.
योग: $2 - \frac{15}{c} + \frac{15}{c^2} = 0$.
$c^2$ से गुणा करने पर: $2c^2 - 15c + 15 = 0$.
अतः,$2c^2 - 15c = -15$.

(A) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ और $S_2: x^2+y^2-8x-12y+43=0$ हैं।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$S_1$ के लिए: $g_1 = -1, f_1 = -2, c_1 = -4$. त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1+4-(-4)} = 3$.
$S_2$ के लिए: $g_2 = -4, f_2 = -6, c_2 = 43$. त्रिज्या $r_2 = \sqrt{16+36-43} = 3$.
केंद्रों $C_1(1, 2)$ और $C_2(4, 6)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$.
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{5^2 - 3^2 - 3^2}{2(3)(3)} = \frac{25 - 9 - 9}{18} = \frac{7}{18}$.
अतः,$\sec \theta = \frac{18}{7}$.
अब,$|7 \sec \theta - 18 \cos \theta| = |7(\frac{18}{7}) - 18(\frac{7}{18})| = |18 - 7| = 11$.

(B) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2+2x+4y-20=0$ और $C_2: x^2+y^2+6x-8y+9=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $O_1 = (-1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $O_2 = (-3, 4)$ और त्रिज्या $r_2 = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{40}$ है।
चूंकि $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$,इसलिए $n = 2$ है।
समानता के केंद्र से स्पर्श रेखा की लंबाई $l = 4\sqrt{39}$ प्राप्त होती है।
अतः,$\frac{l}{n^2} = \frac{4\sqrt{39}}{4} = \sqrt{39}$।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण: $x^2+y^2+4x-6y-12=0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $O_1 = (-2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4+9+12} = 5$ है।
अभीष्ट वृत्त $C$ का केंद्र $O_1(-2, 3)$ और स्पर्श बिंदु $P(1, -1)$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित है।
रेखा $O_1P$ की ढाल $m = \frac{-1-3}{1-(-2)} = \frac{-4}{3}$ है।
बिंदु $P(1, -1)$ पर अभिलंब की ढाल $m' = \frac{-1}{-4/3} = \frac{3}{4}$ होगी।
इस अभिलंब का समीकरण $y+1 = \frac{3}{4}(x-1) \Rightarrow 3x-4y-7=0$ है।
माना वृत्त $C$ का केंद्र $(h, k)$ है,जो इस रेखा पर स्थित है,अतः $3h-4k=7$ है।
साथ ही,$(h, k)$ से $P(1, -1)$ की दूरी $R$ है और $(h, k)$ से $(4, 0)$ की दूरी भी $R$ है। अतः,$(h-1)^2 + (k+1)^2 = (h-4)^2 + k^2$ है।
इसे सरल करने पर: $h^2-2h+1 + k^2+2k+1 = h^2-8h+16 + k^2$ प्राप्त होता है।
जिससे $6h+2k=14 \Rightarrow 3h+k=7$ मिलता है।
समीकरणों $3h-4k=7$ और $3h+k=7$ को हल करने पर $5k=0 \Rightarrow k=0$ और $h=7/3$ प्राप्त होता है।
अतः त्रिज्या $R = \sqrt{(7/3-1)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{(4/3)^2 + 1^2} = \sqrt{16/9 + 1} = 5/3$ है।

(A) वृत्त $S_1: x^2+y^2-6x-8y+9=0$ के लिए,केंद्र $C_1(3, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = 4$ है।
वृत्त $S_2: x^2+y^2+2x-2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2(-1, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = 5$ है।
चूंकि $C_1C_2 = r_1 + r_2$ है,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2+y^2-6x-8y+9) - (x^2+y^2+2x-2y+1) = 0$.
$-8x - 6y + 8 = 0$.
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें $4x + 3y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्तों के दिए गए समीकरण $S_1: x^2+y^2-6x-4y-23=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x+2y+1=0$ हैं।
चूंकि दो वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) वह रेखा है जिस पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं या संपाती होती हैं,हम $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा मूलाक्ष ज्ञात करते हैं।
$(x^2+y^2-6x-4y-23) - (x^2+y^2+2x+2y+1) = 0$.
$-8x - 6y - 24 = 0$.
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें $4x + 3y + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $4x + 3y + 12 = 0$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) वृत्त $x^2+y^2+2x=0$ के लिए,केंद्र $C_1(-1,0)$ और त्रिज्या $r_1=1$ है।
वृत्त $x^2+y^2-2y-3=0$ के लिए,केंद्र $C_2(0,1)$ और त्रिज्या $r_2=2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{2}$ है।
बाह्य समानता का केंद्र $P$,$C_1C_2$ को $1:2$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है,जिससे $P(-2,-1)$ प्राप्त होता है।
$P(-2,-1)$ से गुजरने वाली रेखाएं $y+1 = m(x+2)$ हैं।
$C_1(-1,0)$ से रेखा की दूरी $1$ लेने पर,$m=0$ और अनंत ढाल प्राप्त होती है।
अतः स्पर्श रेखाएं $y+1=0$ और $x+2=0$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(y+1)(x+2) = 0 \Rightarrow xy+x+2y+2=0$ है।

(B) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+4y=0$ और $S_2: x^2+y^2-4x-5=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $(x^2+y^2+4y) - (x^2+y^2-4x-5) = 0$ अर्थात $4x+4y+5=0$ है।
माना वृत्त $S=0$ का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि उभयनिष्ठ जीवा वृत्त $S=0$ का व्यास है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ उभयनिष्ठ जीवा $4x+4y+5=0$ पर स्थित होगा। अतः,$4h+4k+5=0$ है।
वृत्त $S=0$ का केंद्र उभयनिष्ठ जीवा का मध्यबिंदु भी है। $S_1$ का केंद्र $C_1(0, -2)$ है और $S_2$ का केंद्र $C_2(2, 0)$ है।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = \frac{-2-0}{0-2}(x-2)$ अर्थात $y = x-2$ या $x-y-2=0$ है।
वृत्त $S=0$ का केंद्र $(h, k)$ उभयनिष्ठ जीवा $4x+4y+5=0$ और केंद्रों की रेखा $x-y-2=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
समीकरणों को हल करने पर:
$4x+4y = -5$
$x-y = 2 \Rightarrow y = x-2$
पहले समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $4x + 4(x-2) = -5$ $\Rightarrow 8x - 8 = -5$ $\Rightarrow 8x = 3$ $\Rightarrow x = \frac{3}{8}$।
अतः,केंद्र का भुज $\frac{3}{8}$ है।

(A) दिए गए वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2-4x-8y+4=0$ और $S_2: x^2+y^2-8x-12y+16=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ है।
$(x^2+y^2-4x-8y+4) - (x^2+y^2-8x-12y+16) = 0$
$4x+4y-12=0 \implies x+y-3=0$.
$S_1$ के लिए: $(x-2)^2+(y-4)^2 = 16$. केंद्र $O(2, 4)$,त्रिज्या $r_1 = 4$.
केंद्र $O(2, 4)$ से रेखा $x+y-3=0$ की लंबवत दूरी $d$:
$d = \frac{|2+4-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
जीवा की लंबाई $L = 2\sqrt{r_1^2-d^2}$.
$L = 2\sqrt{16 - \frac{9}{2}} = 2\sqrt{\frac{23}{2}} = \sqrt{46}$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) $S$ और $S^{\prime}$ की रेडिकल अक्ष $S-S^{\prime}=0$ द्वारा दी जाती है:
$\Rightarrow (x^2+y^2+\alpha x+6y) - (x^2+y^2+2\alpha x+\alpha y+6) = 0$
$\Rightarrow -\alpha x + (6-\alpha)y - 6 = 0$
चूंकि $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ इस अक्ष पर स्थित है:
$-\alpha(0) + (6-\alpha)(\frac{3}{4}) - 6 = 0$
$\Rightarrow \frac{18-3\alpha}{4} = 6$
$\Rightarrow 18-3\alpha = 24$
$\Rightarrow -3\alpha = 6$ $\Rightarrow \alpha = -2$.
अब,वृत्त $S^{\prime}$ का समीकरण $x^2+y^2-4x-2y+6 = 0$ है।
$S^{\prime}$ का केंद्र $C = (2, 1)$ है।
रेडिकल केंद्र $P = \left(0, \frac{3}{4}\right)$ है।
दूरी $PC = \sqrt{(2-0)^2 + (1-\frac{3}{4})^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{65}}{4}$.

(C) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
पहले दो वृत्तों के लिए:
$(x^2 + y^2 + 2gx - 4y + 4) - (x^2 + y^2 + 6x + 2fy + 12) = 0$
$(2g - 6)x - (4 + 2f)y - 8 = 0$
चूंकि $(-1, -1)$ रेडिकल केंद्र है,यह रेडिकल अक्ष के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2g - 6)(-1) - (4 + 2f)(-1) - 8 = 0$
$-2g + 6 + 4 + 2f - 8 = 0$
$-2g + 2f + 2 = 0$
$2f - 2g = -2$
$g - f = 1$.

(B) माना $C_1$ और $C_2$ की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
आंतरिक समानता केंद्र $A$,$PQ$ को $r_1 : r_2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{PA}{AQ} = \frac{3}{5+2} = \frac{3}{7}$।
बाह्य समानता केंद्र $B$,$PQ$ को $r_1 : r_2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
अतः,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{PB}{BQ} = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$।
दिए गए मानों में विरोधाभास है,लेकिन मानक गुणों के अनुसार सही उत्तर $3:2$ है।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। केंद्र रेखा $x+y-5=0$ पर स्थित है,इसलिए $h+k=5$ है।
वृत्त रेखाओं $x=2$ और $y=5$ को स्पर्श करता है,अतः त्रिज्या $r = |h-2| = |k-5|$ है।
प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण,$r = 2-h$ और $r = 5-k$ लेने पर,$h = 2-r$ और $k = 5-r$ प्राप्त होता है।
$h+k=5$ में मान रखने पर: $(2-r) + (5-r) = 5$ $\Rightarrow 7-2r = 5$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$.
अतः,वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi$ वर्ग इकाई।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले और वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ को लंबकोणीय काटने वाले वृत्त का समीकरण है:
$\left|\begin{array}{ccc} x^2+y^2 & x & y \\ c_1 & g_1 & f_1 \\ c_2 & g_2 & f_2 \end{array}\right| = 0$
यहाँ,$c_1=12, g_1=2, f_1=3$ और $c_2=9, g_2=2, f_2=-3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x^2+y^2 & x & y \\ 12 & 2 & 3 \\ 9 & 2 & -3 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x^2+y^2)(-6-6) - x(-36-27) + y(24-18) = 0$
$-12(x^2+y^2) + 63x + 6y = 0$
$x^2+y^2 - \frac{63}{12}x - \frac{6}{12}y = 0$
$x^2+y^2 - \frac{21}{4}x - \frac{1}{2}y = 0$
केंद्र $(h, k) = (\frac{21}{8}, \frac{1}{4})$ है।
अतः,$k-2h = \frac{1}{4} - 2(\frac{21}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{21}{4} = -\frac{20}{4} = -5$.

(D) दिया गया समीकरण $x^2-4x+4y-8=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को फिर से लिखने पर:
$x^2-4x+4 = -4y+8+4$
$(x-2)^2 = -4(y-3)$
इसे $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ से तुलना करने पर,$h=2, k=3$ और $4a = -4 \Rightarrow a = -1$ प्राप्त होता है।
$(B)$ शीर्ष $(h, k) = (2, 3)$ है।
$(A)$ नाभि $(h, k+a) = (2, 3-1) = (2, 2)$ है।
$(C)$ नाभिलंब का एक सिरा $(h+2a, k+a) = (2-2, 3-1) = (0, 2)$ या $(h-2a, k+a) = (2+2, 3-1) = (4, 2)$ है। विकल्पों के अनुसार,$(4, 2)$ सही है।
$(D)$ अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k-a) = (2, 3-(-1)) = (2, 4)$ है।
अतः,सही मिलान $A-V, B-III, C-I, D-IV$ है।

(A) परवलय का अक्ष $y=x$ है। शीर्ष $A$ और नाभि $S$ प्रथम चतुर्थांश में इस रेखा पर स्थित हैं।
चूंकि $A$ की $(0,0)$ से दूरी $\sqrt{2}$ है,$A$ के निर्देशांक $(1,1)$ हैं।
चूंकि $S$ की $(0,0)$ से दूरी $2\sqrt{2}$ है,$S$ के निर्देशांक $(2,2)$ हैं।
दूरी $AS = a = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
नियता रेखा $y=x$ के लंबवत है और बिंदु $Z$ से गुजरती है जहाँ $A$,$SZ$ का मध्यबिंदु है। $S=(2,2)$ और $A=(1,1)$ होने के कारण,$Z=(0,0)$ है।
नियता का समीकरण $x+y=0$ है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,किसी भी बिंदु $(x,y)$ की नाभि $(2,2)$ से दूरी,नियता $x+y=0$ से दूरी के बराबर होती है:
$(x-2)^2 + (y-2)^2 = \frac{(x+y)^2}{2}$.
$2(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + y^2 + 2xy$.
$x^2 + y^2 - 2xy - 8x - 8y + 16 = 0$,जो $(x-y)^2 = 8(x+y-2)$ है।
$x=(t+1)^2$ और $y=(t-1)^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$((t+1)^2 - (t-1)^2)^2 = (4t)^2 = 16t^2$.
$8((t+1)^2 + (t-1)^2 - 2) = 8(t^2 + 2t + 1 + t^2 - 2t + 1 - 2) = 8(2t^2) = 16t^2$.
दोनों पक्ष समान हैं,इसलिए प्राचलिक रूप $x=(t+1)^2, y=(t-1)^2$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $2x^2 + 5y - 6x + 1 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $x^2 - 3x + \frac{5}{2}y + \frac{1}{2} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 3x = -\frac{5}{2}y - \frac{1}{2}$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}y - \frac{1}{2} + \frac{9}{4}$
$(x - \frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}y + \frac{7}{4}$
$(x - \frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}(y - \frac{7}{10})$
$(x - h)^2 = -4a(y - k)$ से तुलना करने पर,$h = \frac{3}{2}$,$k = \frac{7}{10}$,और $4a = \frac{5}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{8}$।
शीर्ष $(h, k) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{10})$ है।
नाभि $(h, k - a) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{10} - \frac{5}{8}) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{40})$ है।

(D) दिया गया परवलय $y^2=16x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है,इसलिए $a=4$.
परवलय की नाभि $S$ $(4, 0)$ है।
नाभिलंब $LL^{\prime}$ के अंतिम बिंदु $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं,इसलिए $L=(4, 8)$ और $L^{\prime}=(4, -8)$.
चूंकि $PQ$ एक नाभिय जीवा है जो $P(1, 4)$ और $S(4, 0)$ से गुजरती है,$PQ$ की ढाल $m = \frac{0-4}{4-1} = -\frac{4}{3}$ है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $4x + 3y - 16 = 0$ है।
$Q$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y^2}{16}$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $y^2 + 12y - 64 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(y+16)(y-4) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=4$ (बिंदु $P$) या $y=-16$ (बिंदु $Q$)।
$y=-16$ के लिए,$x = 16$,इसलिए $Q=(16, -16)$.
अब,दूरी $LQ = \sqrt{(16-4)^2 + (-16-8)^2} = \sqrt{12^2 + (-24)^2} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$.

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x-12y+1=0$ है। इसे $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ से तुलना करने पर,$g_1=-3, f_1=-6, c_1=1$ प्राप्त होता है।
माना वृत्त $C$ का समीकरण $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ है। केंद्र $(-4, 2)$ दिया गया है,अतः $-g_2=-4 \Rightarrow g_2=4$ और $-f_2=2 \Rightarrow f_2=-2$ है।
दो वृत्त लंबकोणीय काटते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
मान रखने पर: $2(-3)(4) + 2(-6)(-2) = 1 + c_2$.
$-24 + 24 = 1 + c_2 \Rightarrow c_2 = -1$.
वृत्त $C$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}$ द्वारा दी जाती है।
$r = \sqrt{4^2+(-2)^2-(-1)} = \sqrt{16+4+1} = \sqrt{21}$.

(D) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 = 8x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है। तुलना करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है।
परवलय की नाभि $(a, 0) = (2, 0)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरी $|x_1 + a|$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया बिंदु $(2t^2, 4t)$ है और नाभीय दूरी $3$ है,इसलिए:
$|2t^2 + 2| = 3$
वास्तविक $t$ के लिए $2t^2 + 2$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए:
$2t^2 + 2 = 3$
$2t^2 = 1$
$t^2 = \frac{1}{2}$
$t = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है। इसे $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=4$ प्राप्त होता है।
परवलय पर किसी भी बिंदु को $(at^2, 2at) = (4t^2, 8t)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
बिंदु $P(4,8)$ के लिए,$4t_1^2=4 \implies t_1=1$ (चूंकि $8t_1=8$)।
बिंदु $R(16,16)$ के लिए,$4t_2^2=16 \implies t_2=2$ (चूंकि $8t_2=16$)।
चूंकि $PQ$ और $RT$ नाभिलंब जीवाएँ हैं,इसलिए एक नाभिलंब जीवा के अंत बिंदुओं के प्राचलों का गुणनफल $-1$ होता है।
जीवा $PQ$ के लिए,$t_P \cdot t_Q = -1 \implies 1 \cdot t_Q = -1 \implies t_Q = -1$. अतः,$Q = (4(-1)^2, 8(-1)) = (4, -8)$।
जीवा $RT$ के लिए,$t_R \cdot t_T = -1 \implies 2 \cdot t_T = -1 \implies t_T = -1/2$. अतः,$T = (4(-1/2)^2, 8(-1/2)) = (1, -4)$।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर $QT = \sqrt{(4-1)^2 + (-8 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$।

(B) दिया गया परवलय $y^2=16x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=4$ प्राप्त होता है। अतः,नाभि $(4,0)$ है।
नाभीय जीवा $(2,2)$ और $(4,0)$ से गुजरती है। ढाल $m = \frac{0-2}{4-2} = -1$ है।
नाभीय जीवा का समीकरण $y-0 = -1(x-4)$ अर्थात $x+y=4$ है।
दोहरे कोटि की लंबाई $24$ है। अतः $2|y|=24$,जिससे $y=12$ या $y=-12$ प्राप्त होता है।
$y^2=16x$ में $y=12$ रखने पर,$144=16x$,जिससे $x=9$ प्राप्त होता है।
नाभीय जीवा $x+y=4$ में $x=9$ रखने पर,$9+y=4$,जिससे $y=-5$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(9,-5)$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है,इसलिए $a=2$ है। नाभि $(a, 0) = (2, 0)$ है।
माना परवलय पर बिंदु $(x_1, y_1) = (at_1^2, 2at_1)$ और $(x_2, y_2) = (at_2^2, 2at_2)$ हैं।
चूंकि जीवा एक नाभीय जीवा है,यह नाभि $(2, 0)$ से गुजरती है,जिसका अर्थ है $t_1 t_2 = -1$।
जीवा बिंदु $(1, 2)$ से भी गुजरती है। $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $y(t_1+t_2) = 2x + 2at_1 t_2$ है।
$a=2$ और $t_1 t_2 = -1$ रखने पर,हमें $y(t_1+t_2) = 2x - 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि जीवा $(1, 2)$ से गुजरती है,हमारे पास $2(t_1+t_2) = 2(1) - 4 = -2$ है,इसलिए $t_1+t_2 = -1$ है।
हमें $x_1+x_2 = at_1^2 + at_2^2 = a(t_1^2 + t_2^2) = a((t_1+t_2)^2 - 2t_1 t_2)$ ज्ञात करना है।
$a=2$,$t_1+t_2 = -1$,और $t_1 t_2 = -1$ के मान रखने पर:
$x_1+x_2 = 2((-1)^2 - 2(-1)) = 2(1+2) = 2(3) = 6$।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = \frac{8}{a} x$ है।
बिंदु $(1, 4)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $x = 1$ और $y = 4$ रखने पर:
$4^2 = \frac{8}{a} (1)$ $\Rightarrow 16 = \frac{8}{a}$ $\Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
समीकरण $y^2 = 16x$ प्राप्त होता है,जहाँ $4A = 16 \Rightarrow A = 4$.
नाभिलंब जीवा की लंबाई का सूत्र $A(t + 1/t)^2$ है।
बिंदु $(1, 4)$ के लिए $2At = 4$ $\Rightarrow 8t = 4$ $\Rightarrow t = 1/2$.
लंबाई $L = 4(1/2 + 2)^2 = 4(5/2)^2 = 4(25/4) = 25$.

(B) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटता है,इसलिए प्रत्येक के लिए $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ शर्त संतुष्ट होनी चाहिए।
$x^2+y^2-4x-4y+3=0$ के लिए: $2g(-2) + 2f(-2) = c + 3 \implies -4g - 4f = c + 3$.
$x^2+y^2+4x-4y+3=0$ के लिए: $2g(2) + 2f(-2) = c + 3 \implies 4g - 4f = c + 3$.
$x^2+y^2+4x+4y+3=0$ के लिए: $2g(2) + 2f(2) = c + 3 \implies 4g + 4f = c + 3$.
पहले दो समीकरणों को घटाने पर: $8g = 0 \implies g = 0$.
अंतिम दो समीकरणों को घटाने पर: $8f = 0 \implies f = 0$.
$g=0$ और $f=0$ को किसी भी समीकरण में रखने पर: $0 = c + 3 \implies c = -3$.
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-3=0$ अर्थात $x^2+y^2=3$ है।
अतः त्रिज्या $\sqrt{3}$ है।

(A) दिया गया वक्र $x^2 + y - 7 = 4x$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 10)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम रूपांतरण नियमों का उपयोग करते हैं: $x^2 \to x x_1$,$y \to \frac{y + y_1}{2}$ और $x \to \frac{x + x_1}{2}$।
समीकरण में मान रखने पर:
$x(1) + \frac{y + 10}{2} - 7 = 4 \left( \frac{x + 1}{2} \right)$
$x + \frac{y + 10}{2} - 7 = 2(x + 1)$
पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$2x + y + 10 - 14 = 4x + 4$
$2x + y - 4 = 4x + 4$
$y = 4x - 2x + 4 + 4$
$y = 2x + 8$

(A) कथन $I$ के लिए: परवलय की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P(x,y)$ की नाभि $S(2,3)$ से दूरी और नियता $x+2y+5=0$ से दूरी समान होती है।
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = \frac{(x+2y+5)^2}{1^2+2^2}$
हल करने पर $4x^2+y^2-4xy-30x-50y+40=0$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: समीकरण $x^2-4x+16y+52=0$ को $(x-2)^2 = -16(y+3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $4a=16$,इसलिए $a=4$ है। शीर्ष $(2,-3)$ है।
नियता $y = k+a = -3+4 = 1$ अर्थात $y-1=0$ है। अतः,कथन $II$ असत्य है।

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = -2 + 2t^2$ और $y = 2 + 4t$ हैं।
$y = 2 + 4t$ से,हमें $t = \frac{y - 2}{4}$ प्राप्त होता है।
$t$ के इस मान को समीकरण $x = -2 + 2t^2$ में रखने पर:
$x = -2 + 2 \left( \frac{y - 2}{4} \right)^2$
$x = -2 + 2 \left( \frac{(y - 2)^2}{16} \right)$
$x = -2 + \frac{(y - 2)^2}{8}$
$8$ से गुणा करने पर:
$8x = -16 + (y - 2)^2$
$8x = -16 + y^2 - 4y + 4$
$8x = y^2 - 4y - 12$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2 - 8x - 4y - 12 = 0$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) नाभियाँ $F_1(-3, 0)$ और $F_2(9, 0)$ दी गई हैं।
केंद्र $(h, k)$ नाभियों का मध्यबिंदु है: $h = \frac{-3+9}{2} = 3$ और $k = 0$.
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 12$,इसलिए $ae = 6$.
उत्केन्द्रता $e = \frac{1}{3}$ है,अतः $a(\frac{1}{3}) = 6$,जिससे $a = 18$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(1-e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 18^2(1 - \frac{1}{9}) = 288$,इसलिए $b = 12\sqrt{2}$.
प्राचलिक समीकरण $x = h + a \cos \theta$ और $y = k + b \sin \theta$ के अनुसार,$x = 3 + 18 \cos \theta$ और $y = 12\sqrt{2} \sin \theta$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है जहाँ $a > b$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और नाभिलंब की लंबाई $L = \frac{2b^2}{a} = 1$ है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
$e^2 = \frac{3}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,$b^2 = a^2(1 - \frac{3}{4}) = \frac{a^2}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$ या $b^2 = \frac{a^2}{4}$।
$b^2 = \frac{a^2}{4}$ को नाभिलंब के समीकरण में रखने पर: $\frac{2(a^2/4)}{a} = 1$।
यह सरल होकर $\frac{a}{2} = 1$ देता है,इसलिए $a = 2$।
तब $b^2 = \frac{2^2}{4} = 1$,इसलिए $b = 1$।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2(2) = 4$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2(1) = 2$ है।
दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लंबाइयों का योग $4 + 2 = 6$ है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ है।
बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $Q\left(a \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right), b \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right)$ $S^{\prime}$ पर स्थित हैं।
$Q$ को सरल करने पर,$Q \equiv (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P$,$S^{\prime}$ पर स्थित है:
$\frac{a^2 \cos^2 \theta}{\alpha^2} + \frac{b^2 \sin^2 \theta}{\beta^2} = 1$ $(i)$
चूंकि $Q$,$S^{\prime}$ पर स्थित है:
$\frac{a^2 \sin^2 \theta}{\alpha^2} + \frac{b^2 \cos^2 \theta}{\beta^2} = 1$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$\frac{a^2}{\alpha^2}(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + \frac{b^2}{\beta^2}(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2$
$\frac{a^2}{\alpha^2} + \frac{b^2}{\beta^2} = 2$
$\frac{a^2 \beta^2 + b^2 \alpha^2}{\alpha^2 \beta^2} = 2$
अतः,$\frac{1}{2}(a^2 \beta^2 + b^2 \alpha^2) = \alpha^2 \beta^2$.

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है जिसका केंद्र $(0,0)$ है।
रेखा $x+y-10=0$ में दीर्घवृत्त का प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम केंद्र $(0,0)$ का प्रतिबिंब ज्ञात करते हैं।
माना प्रतिबिंब $(h,k)$ है। $(0,0)$ और $(h,k)$ को जोड़ने वाली रेखा $x+y-10=0$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $1$ है। अतः,$\frac{k-0}{h-0} = 1 \implies k=h$.
मध्यबिंदु $(\frac{h}{2}, \frac{k}{2})$ रेखा $x+y-10=0$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{h}{2}+\frac{k}{2}=10 \implies h+k=20$.
$k=h$ प्रतिस्थापित करने पर,$2h=20 \implies h=10, k=10$.
केंद्र का प्रतिबिंब $(10,10)$ है।
दीर्घवृत्त का आकार और माप नहीं बदलते हैं,इसलिए नया समीकरण $\frac{(x-10)^2}{25}+\frac{(y-10)^2}{16}=1$ है।
दिए गए समीकरण $\frac{(x-10)^2}{16}+\frac{(y-10)^2}{25}=1$ के साथ तुलना करने पर,हर (denominators) आपस में बदल गए हैं।
अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$ वक्र के प्रतिबिंब की मानक परिभाषा है,जो सत्य है।
इसलिए,$(A)$ असत्य है लेकिन $(R)$ सत्य है।

(C) दिया गया समीकरण $ax^2 + by^2 = 15$ है,जिसे $\frac{x^2}{15/a} + \frac{y^2}{15/b} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $a'^2 = \frac{15}{a}$ और $b'^2 = \frac{15}{b}$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,नाभियों के बीच की दूरी $2a'e = 2 \Rightarrow a'e = 1$ है।
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a'}{e} = 5 \Rightarrow \frac{a'}{e} = \frac{5}{2}$ है।
इन दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(a'e) \times (a'/e) = 1 \times \frac{5}{2} \Rightarrow a'^2 = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a'^2 = \frac{15}{a}$,इसलिए $\frac{15}{a} = \frac{5}{2} \Rightarrow a = 6$ है।
$a'e = 1$ का उपयोग करने पर,$e^2 = \frac{1}{a'^2} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त के लिए,$b'^2 = a'^2(1 - e^2) = \frac{5}{2}(1 - \frac{2}{5}) = \frac{5}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि $b'^2 = \frac{15}{b}$,इसलिए $\frac{15}{b} = \frac{3}{2} \Rightarrow b = 10$ है।
अतः,$a + b = 6 + 10 = 16$ है।

(A) कथन $I$ के लिए: समीकरण $4x^2+y^2-8x-4y+4=0$ को $\frac{(x-1)^2}{1} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $b > a$ है,इसलिए उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
नियता $y = 2 \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$ है,अर्थात $3y = 6 \pm 4\sqrt{3}$। अतः कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: समीकरण $x^2+4y^2-4x-8y+4=0$ को $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ नाभिलंब $x = 2 \pm \sqrt{3}$ है। अतः कथन $II$ असत्य है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 32x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 32$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 8$ है। नाभि $S$ $(8, 0)$ है।
परवलय पर स्थित बिंदु $P(x_1, y_1)$ के लिए,नाभिलंब जीवा के दूसरे सिरे $Q(x_2, y_2)$ के निर्देशांक $x_2 = \frac{a^2}{x_1}$ और $y_2 = \frac{-4a^2}{y_1}$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिए गए $P = (\frac{1}{2}, 4)$ के लिए,$x_2 = \frac{8^2}{1/2} = 128$ और $y_2 = \frac{-4(8^2)}{4} = -64$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q = (128, -64)$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करके $SQ$ की गणना करने पर:
$SQ = \sqrt{(128 - 8)^2 + (-64 - 0)^2} = \sqrt{120^2 + (-64)^2} = \sqrt{14400 + 4096} = \sqrt{18496} = 136$.

(A) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 6$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 3a$।
नाभि $(ae, 0)$ और निकटतम शीर्ष $(a, 0)$ के बीच की दूरी $a - ae = a(1 - e) = \frac{5}{3}$ है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$।
$b^2 = 3a$ प्रतिस्थापित करने पर,$3a = a^2(1 - e^2)$,अतः $3 = a(1 - e^2) = a(1 - e)(1 + e)$।
चूँकि $a(1 - e) = \frac{5}{3}$,इसलिए $3 = \frac{5}{3}(1 + e)$।
इससे $1 + e = \frac{9}{5}$ प्राप्त होता है,अतः $e = \frac{4}{5}$।
अब,हम जाँचते हैं कि $e = \frac{4}{5}$ किस समीकरण को संतुष्ट करता है।
विकल्प $A$ के लिए: $25(\frac{4}{5})^2 - 40(\frac{4}{5}) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0$।
अतः,$e$ समीकरण $25e^2 - 40e + 16 = 0$ को संतुष्ट करता है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $25x^2+16y^2-150x-64y-111=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$25(x-3)^2 + 16(y-2)^2 = 400$
$400$ से भाग देने पर:
$\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-2)^2}{25} = 1$
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 25$,इसलिए $a = 4$ और $b = 5$ है।
नाभिलंब की लंबाई $m = \frac{2a^2}{b} = \frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$ है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $n = 2b = 2 \times 5 = 10$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(m, n) = \left(\frac{32}{5}, 10\right)$ है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए नाभि $S(ae, 0)$ से गुजरने वाली जीवा के लिए,$\tan \left(\frac{\theta_1}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_2}{2}\right) = \frac{e-1}{e+1}$ संबंध होता है।
दिया गया है कि $\tan \left(\frac{\theta_1}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_2}{2}\right) = -(2\sqrt{2}+3)$.
अतः,$\frac{e-1}{e+1} = -(2\sqrt{2}+3)$.
हल करने पर,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$S = \left(\pm \frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ है।

(B) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$,और $D(x_4, y_4, z_4)$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का केंद्रक $G$,$\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्षों $A(1, 2, 3)$,$B(-1, 4, 6)$,$C(0, -6, 4)$,और $D(1, 1, 1)$ के लिए,केंद्रक $G = \left(\frac{1-1+0+1}{4}, \frac{2+4-6+1}{4}, \frac{3+6+4+1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{14}{4}\right)$ है।
फलक $BCD$ का केंद्रक $G_1 = \left(\frac{x_2+x_3+x_4}{3}, \frac{y_2+y_3+y_4}{3}, \frac{z_2+z_3+z_4}{3}\right) = \left(\frac{-1+0+1}{3}, \frac{4-6+1}{3}, \frac{6+4+1}{3}\right) = \left(0, -\frac{1}{3}, \frac{11}{3}\right)$ है।
एक चतुष्फलक में,केंद्रक $G$ एक शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्रक से जोड़ने वाले रेखाखंड को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विशेष रूप से,$G$ माध्यिका $AG_1$ पर स्थित है ताकि $AG : GG_1 = 3 : 1$ हो।
इसका अर्थ है कि $AG = \frac{3}{4} AG_1$,या $\frac{AG_1}{AG} = \frac{4}{3}$।

(C) त्रिभुज के दिए गए शीर्ष $A(2,3,-1), B(4,1,0)$ और $C(-1,-1,11)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (1-3)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-1-2)^2 + (-1-3)^2 + (11+1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BAC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को कोण बनाने वाली भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{13}$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$D$ के निर्देशांक हैं:
$D = \left( \frac{3(-1) + 13(4)}{3+13}, \frac{3(-1) + 13(1)}{3+13}, \frac{3(11) + 13(0)}{3+13} \right) = \left( \frac{-3+52}{16}, \frac{-3+13}{16}, \frac{33+0}{16} \right) = \left( \frac{49}{16}, \frac{10}{16}, \frac{33}{16} \right)$.
$AD$ के दिक अनुपात सदिश $\vec{AD} = D - A$ द्वारा दिए जाते हैं:
$\vec{AD} = \left( \frac{49}{16} - 2, \frac{10}{16} - 3, \frac{33}{16} - (-1) \right) = \left( \frac{49-32}{16}, \frac{10-48}{16}, \frac{33+16}{16} \right) = \left( \frac{17}{16}, \frac{-38}{16}, \frac{49}{16} \right)$.
चूँकि दिक अनुपातों को एक स्थिरांक से गुणा किया जा सकता है,$16$ से गुणा करने पर $(17, -38, 49)$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G_1 = \left(\frac{1+2+0}{3}, \frac{2+0-2}{3}, \frac{0-1+3}{3}\right) = \left(1, 0, \frac{2}{3}\right)$ है।
चतुष्फलक $ABCD$ का केंद्रक $G_2 = \left(\frac{1+2+0-1}{4}, \frac{2+0-2+2}{4}, \frac{0-1+3-3}{4}\right) = \left(\frac{2}{4}, \frac{2}{4}, \frac{-1}{4}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ है।
बिंदु $P$,$G_1G_2$ को $4:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र $\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}, \frac{mz_2+nz_1}{m+n}\right)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m=4, n=3$:
$x = \frac{4(1/2) + 3(1)}{4+3} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$.
$y = \frac{4(1/2) + 3(0)}{4+3} = \frac{2+0}{7} = \frac{2}{7}$.
$z = \frac{4(-1/4) + 3(2/3)}{4+3} = \frac{-1+2}{7} = \frac{1}{7}$.
अतः,$P = \left(\frac{5}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7}\right)$.

(A) रेखा $L$ दो समतलों $x-y+z+2=0$ और $2x+y-2z+5=0$ का प्रतिच्छेदन है।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$ दोनों अभिलंबों के लंबवत होता है,इसलिए $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-2-2) + \hat{k}(1+2) = \hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$।
रेखा के दिक्-अनुपात $(1, 4, 3)$ हैं।
दिशा सदिश का परिमाण $\sqrt{1^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$ है।
अतः दिक्-कोसाइन $\left(\frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{4}{\sqrt{26}}, \frac{3}{\sqrt{26}}\right)$ प्राप्त होते हैं।

(D) मान लीजिए $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
चूंकि $\vec{a}$ उस समतल में स्थित है जिसमें $\vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं,इसलिए $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ समतलीय हैं। अतः,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
अतः,$(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}) = 0 \Rightarrow 3a_1 + a_2 - 5a_3 = 0 \dots (i)$.
चूंकि $\vec{a}$ सदिश $\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) = 0 \Rightarrow a_1 + a_2 + 3a_3 = 0 \dots (ii)$.
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $3\sqrt{6}$ है,इसलिए $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = 3\sqrt{6}$.
$\frac{a_1 + 2a_2 + a_3}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6} \Rightarrow a_1 + 2a_2 + a_3 = 18 \dots (iii)$.
समीकरणों $(i), (ii),$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$a_1 = -8, a_2 = 14, a_3 = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{a} = -8\hat{i} + 14\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\vec{a}|^2 = (-8)^2 + 14^2 + (-2)^2 = 64 + 196 + 4 = 264$.

(B) सदिश $\overrightarrow{AB} = B - A = (4-3, 4-4, 4-0) = (1, 0, 4)$ है।
सदिश $\overrightarrow{CD} = D - C = (1 - (-6), 1 - 2, 2 - 3) = (7, -1, -1)$ है।
उनका अदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(7) + (0)(-1) + (4)(-1) = 7 + 0 - 4 = 3$ है।
$\overrightarrow{AB}$ का परिमाण $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 0 + 16} = \sqrt{17}$ है।
$\overrightarrow{CD}$ का परिमाण $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1 + 1} = \sqrt{51}$ है।
चूंकि $\sqrt{51} = \sqrt{17 \times 3} = \sqrt{17} \sqrt{3}$,इसलिए $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{17} \sqrt{3}$ है।
कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{3}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17} \sqrt{3}} = \frac{3}{17 \sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(B) चूंकि $A(2,5,7)$ समतल $\pi$ के सापेक्ष $B(1,-2,3)$ का प्रतिबिंब है,इसलिए बिंदु $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
$C = \left( \frac{2+1}{2}, \frac{5-2}{2}, \frac{7+3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 5 \right)$.
दिया है $D = (2,1,6)$,रेखाखंड $CD$ के दिक्-अनुपात $(2 - \frac{3}{2}, 1 - \frac{3}{2}, 6 - 5) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$ हैं।
दिक्-कोज्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम परिमाण $\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ से भाग देते हैं।
अतः दिक्-कोज्याएँ $\left( \frac{1/2}{\sqrt{6}/2}, \frac{-1/2}{\sqrt{6}/2}, \frac{1}{\sqrt{6}/2} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} \right)$ हैं।

(A) दो रेखाओं के दिक्-अनुपातों $(a, b, c)$ के बीच संबंध दिए गए हैं:
$a - b + c = 0$ $(i)$
$a^2 - b^2 + 2c^2 = 0$ $(ii)$
$(i)$ से,हमारे पास $c = b - a$ है।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 - b^2 + 2(b - a)^2 = 0$
$a^2 - b^2 + 2(b^2 - 2ab + a^2) = 0$
$a^2 - b^2 + 2b^2 - 4ab + 2a^2 = 0$
$3a^2 - 4ab + b^2 = 0$
$(3a - b)(a - b) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $b = 3a \implies a:b = 1:3$. तब $c = b - a = 3a - a = 2a$. अतः,दिक्-अनुपात $(1, 3, 2)$ हैं।
स्थिति $2$: $b = a \implies a:b = 1:1$. तब $c = b - a = a - a = 0$. अतः,दिक्-अनुपात $(1, 1, 0)$ हैं।
दिक्-अनुपातों $(a_1, b_1, c_1) = (1, 3, 2)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (1, 1, 0)$ वाली रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (3)(1) + (2)(0)|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$
$\cos \theta = \frac{|1 + 3 + 0|}{\sqrt{1 + 9 + 4} \sqrt{1 + 1 + 0}} = \frac{4}{\sqrt{14} \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{28}} = \frac{4}{2\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.

(C) रेखा बिंदु $A$ से गुजरती है जिसका स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ है और यह सदिश $\vec{b} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ के समानांतर है।
रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} = (1 + 2\lambda) \hat{i} + (2 - 3\lambda) \hat{j} + (-2 - 6\lambda) \hat{k}$ है।
माना $P$ का स्थिति सदिश $\vec{r}$ है। तब $\vec{AP} = \vec{r} - \vec{a} = \lambda(2 \hat{i} - 3 \hat{j} - 6 \hat{k})$।
दिया है $|\vec{AP}| = 21$,इसलिए $|\lambda| \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = 21$।
$|\lambda| \sqrt{4 + 9 + 36} = 21 \Rightarrow |\lambda| \sqrt{49} = 21 \Rightarrow 7|\lambda| = 21 \Rightarrow |\lambda| = 3$।
अतः,$\lambda = 3$ या $\lambda = -3$।
$\lambda = 3$ के लिए,$P = (1 + 6) \hat{i} + (2 - 9) \hat{j} + (-2 - 18) \hat{k} = 7 \hat{i} - 7 \hat{j} - 20 \hat{k}$।
$\lambda = -3$ के लिए,$P = (1 - 6) \hat{i} + (2 + 9) \hat{j} + (-2 + 18) \hat{k} = -5 \hat{i} + 11 \hat{j} + 16 \hat{k}$।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(B) मान लीजिए $Q = (1, 2, 3)$ बिंदु है और $R = (-1, 3, -2)$ समतल पर लंब का पाद है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{QR}$ है।
$\vec{n} = \vec{R} - \vec{Q} = (-1 - 1, 3 - 2, -2 - 3) = (-2, 1, -5)$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (2, -1, 5)$ के रूप में भी ले सकते हैं।
बिंदु $R(-1, 3, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, 5)$ वाले समतल का समीकरण इस प्रकार है:
$a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$
$2(x - (-1)) - 1(y - 3) + 5(z - (-2)) = 0$
$2(x + 1) - (y - 3) + 5(z + 2) = 0$
$2x + 2 - y + 3 + 5z + 10 = 0$
$2x - y + 5z + 15 = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 2, B = -1, C = 5, D = 15$.
$d = \frac{|15|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2}} = \frac{15}{\sqrt{4 + 1 + 25}} = \frac{15}{\sqrt{30}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$d = \frac{15}{\sqrt{30}} \times \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}} = \frac{15\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{2} = \sqrt{\frac{30}{4}} = \sqrt{\frac{15}{2}}$.

(B) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
दिया गया बिंदु $(1, -2, 3)$ है और अभिलंब सदिश $\vec{n} = -\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
मान रखने पर:
$-1(x - 1) + 2(y - (-2)) - 3(z - 3) = 0$
$-1(x - 1) + 2(y + 2) - 3(z - 3) = 0$
$-x + 1 + 2y + 4 - 3z + 9 = 0$
$-x + 2y - 3z + 14 = 0$
$x - 2y + 3z = 14$.

(D) समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n}_1 = a\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\cos \theta = -\sqrt{\frac{3}{7}}$,इसलिए $\cos^2 \theta = \frac{3}{7}$।
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (a)(1) + (2)(-2) + (-3)(1) = a - 4 - 3 = a - 7$।
$||\vec{n}_1|| = \sqrt{a^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{a^2 + 13}$।
$||\vec{n}_2|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$।
अतः,$\frac{(a-7)^2}{(a^2+13)(6)} = \frac{3}{7}$।
$7(a^2 - 14a + 49) = 18(a^2 + 13)$।
$7a^2 - 98a + 343 = 18a^2 + 234$।
$11a^2 + 98a - 109 = 0$।
$(a-1)(11a+109) = 0$।
चूंकि $a$ एक पूर्णांक है,इसलिए $a = 1$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदुओं $B(0,4,1)$ और $C(-2,0,4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{-2-0} = \frac{y-4}{0-4} = \frac{z-1}{4-1} = \lambda$ है।
यह $\frac{x}{-2} = \frac{y-4}{-4} = \frac{z-1}{3} = \lambda$ के रूप में सरल होता है।
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $D(-2\lambda, 4-4\lambda, 3\lambda+1)$ है।
सदिश $\vec{AD} = (-2\lambda-2, 4-4\lambda, 3\lambda-2)$ है।
रेखा $BC$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (-2, -4, 3)$ है।
चूंकि $AD \perp BC$,उनका डॉट गुणनफल शून्य है: $(-2)(-2\lambda-2) + (-4)(4-4\lambda) + (3)(3\lambda-2) = 0$.
$4\lambda + 4 - 16 + 16\lambda + 9\lambda - 6 = 0$.
$29\lambda - 18 = 0$,इसलिए $\lambda = \frac{18}{29}$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,यदि $D$,$BC$ को $m:n$ अनुपात में विभाजित करता है,तो $x_D = \frac{m(-2) + n(0)}{m+n} = -2\lambda$.
$\frac{-2m}{m+n} = -2(\frac{18}{29})$.
$\frac{m}{m+n} = \frac{18}{29}$.
$29m = 18m + 18n \implies 11m = 18n$.
अतः,$\frac{m}{n} = \frac{18}{11}$.

(D) माना कि समतल रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left(\frac{2k+1}{k+1}, \frac{2k+1}{k+1}, \frac{2k+1}{k+1}\right)$ हैं।
चूंकि $P$ समतल $x+y+z-5=0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{2k+1}{k+1} + \frac{2k+1}{k+1} + \frac{2k+1}{k+1} - 5 = 0$
$3\left(\frac{2k+1}{k+1}\right) = 5$
$6k + 3 = 5k + 5$
$k = 2$.
अतः,अनुपात $AP: PB$,$2:1$ है।

(D) बिंदु $A$ के निर्देशांक $(x, y, z) = (27, -243, 81)$ हैं।
$XY$-समतल के सापेक्ष बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब $(x, y, -z)$ होता है। अतः,$B = (27, -243, -81)$ है।
$YZ$-समतल के सापेक्ष बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब $(-x, y, z)$ होता है। अतः,$C = (-27, -243, 81)$ है।
$ZX$-समतल के सापेक्ष बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब $(x, -y, z)$ होता है। अतः,$D = (27, 243, 81)$ है।
त्रिभुज $BCD$ का केंद्रक $(\alpha, \beta, \gamma)$ इसके शीर्षों के निर्देशांकों का औसत होता है:
$\alpha = \frac{27 - 27 + 27}{3} = \frac{27}{3} = 9$
$\beta = \frac{-243 - 243 + 243}{3} = \frac{-243}{3} = -81$
$\gamma = \frac{-81 + 81 + 81}{3} = \frac{81}{3} = 27$
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 9 - 81 + 27 = -45$.

(B) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि समतल बिंदुओं $(2,3,0), (0,-5,2)$ और $(-2,0,3)$ से गुजरता है,हमारे पास है:
$1) \frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$
$2) -\frac{5}{b} + \frac{2}{c} = 1$
$3) -\frac{2}{a} + \frac{3}{c} = 1$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$\frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 2 \Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{2}{3} - \frac{1}{c} = \frac{2c-3}{3c}$.
$\frac{1}{b}$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$-5\left(\frac{2c-3}{3c}\right) + \frac{2}{c} = 1
\Rightarrow \frac{-10c + 15 + 6}{3c} = 1
\Rightarrow -10c + 21 = 3c
\Rightarrow 13c = 21 \Rightarrow c = \frac{21}{13}$.
अब,समीकरण $(3)$ से:
$-\frac{2}{a} + 3\left(\frac{13}{21}\right) = 1
\Rightarrow -\frac{2}{a} + \frac{13}{7} = 1
\Rightarrow \frac{2}{a} = \frac{13}{7} - 1 = \frac{6}{7}
\Rightarrow a = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
अतः,$X$-अक्ष पर अंतःखंड $A = \left(\frac{7}{3}, 0, 0\right)$ है।

(B) दो समतलों $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ और $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा,सदिश $\bar{v} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2$ के समांतर होती है।
यहाँ,$\bar{n}_1 = 2 \bar{i} + 3 \bar{j} + 4 \bar{k}$ और $\bar{n}_2 = \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$\bar{v} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \bar{i}(-3-4) - \bar{j}(-2-4) + \bar{k}(2-3) = -7 \bar{i} + 6 \bar{j} - \bar{k}$.
रेखा बिंदु $(16, -9, 0)$ से होकर गुजरती है,जिसका स्थिति सदिश $\bar{a} = 16 \bar{i} - 9 \bar{j}$ है।
रेखा का सदिश समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{v}$ होता है।
मान रखने पर: $\bar{r} = (16 \bar{i} - 9 \bar{j}) + \lambda(-7 \bar{i} + 6 \bar{j} - \bar{k}) = (16 - 7 \lambda) \bar{i} + (6 \lambda - 9) \bar{j} - \lambda \bar{k}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(D) माना बिंदु $A(0, 1, 2)$,$B(3, 0, 2)$ और $C(4, 5, 0)$ हैं।
समतल में सदिश $\vec{AB} = 3\hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{AC} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 16\hat{k}$ प्राप्त होता है।
इसे $2$ से विभाजित करने पर,$\vec{n} = \hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ मिलता है।
इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 8^2} = \sqrt{74}$ है।
दिक्-कोज्याएँ $l = \frac{1}{\sqrt{74}}$,$m = \frac{3}{\sqrt{74}}$,$n = \frac{8}{\sqrt{74}}$ हैं।
अतः,$|l| + |m| + |n| = \frac{1+3+8}{\sqrt{74}} = \frac{12}{\sqrt{74}}$।

(A) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
रेखा $L$ बिंदुओं $A(3, -2, 1)$ और $B(-1, 3, 1)$ से होकर गुजरती है। रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (-1-3)\hat{i} + (3-(-2))\hat{j} + (1-1)\hat{k} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
चूंकि रेखा $L$ समतल $\pi_2$ के लंबवत है,इसलिए समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (0)(-4) + (-1)(5) + (2)(0) = -5$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
$\cos \theta = \frac{|-5|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{205}} = \sqrt{\frac{5}{41}}$.

(A) समतल का दिया गया सदिश समीकरण: $\bar{r}=(2-\lambda+\mu) \hat{i}+(1-\mu) \hat{j}+(2-3 \lambda+2 \mu) \hat{k}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\bar{r}=(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})+\lambda(-\hat{i}-3 \hat{k})+\mu(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})$.
यह एक समतल है जो बिंदु $(2, 1, 2)$ से गुजरता है और सदिशों $\bar{a} = -\hat{i}-3 \hat{k}$ और $\bar{b} = \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ के समानांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\bar{n}$,क्रॉस प्रोडक्ट $\bar{a} \times \bar{b}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\bar{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 0 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -3 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
अभिलंब सदिश को $3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ के रूप में भी लिया जा सकता है।
समतल का समीकरण $(\bar{r} - \bar{r}_0) \cdot \bar{n} = 0$ है,जहाँ $\bar{r}_0 = 2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$.
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} - (2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$.
$3(x-2) + 1(y-1) - 1(z-2) = 0$.
$3x - 6 + y - 1 - z + 2 = 0$.
$3x + y - z = 5$.

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दो रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (-1, 2, 1)$ और $\vec{v_2} = (1, 3, 2)$ का क्रॉस गुणनफल है।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(-3-2) = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
चूँकि समतल बिंदु $(2, 1, k)$ से होकर गुजरता है,इसका समीकरण $1(x-2) + 3(y-1) - 5(z-k) = 0$ है।
बिंदु $(3, -1, 4)$ को समीकरण में रखने पर:
$1(3-2) + 3(-1-1) - 5(4-k) = 0$.
$1(1) + 3(-2) - 20 + 5k = 0$.
$1 - 6 - 20 + 5k = 0$.
$-25 + 5k = 0$.
$5k = 25 \Rightarrow k = 5$.

(A) समतल $P$ बिंदुओं $A_1(1, 0, 0)$,$A_2(0, 1, 0)$ और $A_3(1, 1, 1)$ से होकर गुजरता है।
समतल में स्थित दो सदिश $\vec{v_1} = A_2 - A_1 = (-1, 1, 0)$ और $\vec{v_2} = A_3 - A_1 = (0, 1, 1)$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(-1-0) = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
अभिलंब के दिक अनुपात $(1, 1, -1)$ हैं।
रेखा बिंदु $A(3, 0, -5)$ से गुजरती है और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, -1)$ के समानांतर है।
अतः रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-(-5)}{-1}$ अर्थात $\frac{x-3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+5}{-1}$ है।

(C) समतल का समीकरण $6x - 3y + 2z = 6$ है। $6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{1} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3} = 1$ प्राप्त होता है। अतः,अंतःखंड $a = 1, b = -2, c = 3$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ है। इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
दिक्-कोसाइन $l = \frac{6}{7}, m = -\frac{3}{7}, n = \frac{2}{7}$ हैं।
मूल बिंदु से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है। यहाँ $p = \frac{|-6|}{7} = \frac{6}{7}$ है।
अब,$|al + bm + cn| = |(1)(\frac{6}{7}) + (-2)(-\frac{3}{7}) + (3)(\frac{2}{7})| = |\frac{6}{7} + \frac{6}{7} + \frac{6}{7}| = |\frac{18}{7}|$ की गणना करें।
चूँकि $p = \frac{6}{7}$,इसलिए $|al + bm + cn| = 3 \times \frac{6}{7} = 3p$ है।

(B) रेखा $L$ बिंदुओं $A_1(2, 3, 8)$ और $A_2(1, 6, 4)$ से होकर गुजरती है। रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (1-2)\hat{i} + (6-3)\hat{j} + (4-8)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) + t(-\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = (2-t)\hat{i} + (3+3t)\hat{j} + (8-4t)\hat{k}$ है।
समतल $P$,$\vec{a} = -5\hat{i} + 19\hat{j} - 14\hat{k}$ से होकर गुजरता है और $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ तथा $\vec{v} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के समानांतर है।
समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = -\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जो $(x+5)(-1) + (y-19)(-2) + (z+14)(-1) = 0$ यानी $x+2y+z = 19$ के रूप में सरल होता है।
रेखा $L$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर: $(2-t) + 2(3+3t) + (8-4t) = 19$.
$2-t+6+6t+8-4t = 19 \implies t+16 = 19 \implies t = 3$.
$t=3$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $\vec{r} = (2-3)\hat{i} + (3+3(3))\hat{j} + (8-4(3))\hat{k} = -\hat{i} + 12\hat{j} - 4\hat{k}$.

(C) दिया गया है कि $A, B, C$ युग्मवार स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,$P(B \cap C) = P(B)P(C)$,और $P(C \cap A) = P(C)P(A)$ है।
हमें $P(\bar{B} \cup \bar{C}) = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\bar{B} \cup \bar{C}) = 1 - P(B \cap C) = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $P(B \cap C) = \frac{1}{2}$।
चूँकि $B$ और $C$ स्वतंत्र हैं,$P(B)P(C) = bc = \frac{1}{2}$।
हमें $P((\bar{B} \cap \bar{C}) \mid A) = \frac{P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A)}{P(A)}$ ज्ञात करना है।
समुच्चय के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A) = P(A) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C) = P(A)(1 - b - c + bc)$।
$bc = \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A) = P(A)(1 - b - c + \frac{1}{2}) = P(A)(\frac{3}{2} - b - c)$।
अतः,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \mid A) = \frac{3}{2} - b - c$।

(D) माना $X$ नमूने $n = 8$ में इंजीनियरिंग छात्रों की संख्या है। यह द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $p = \frac{1}{5}$ और $q = \frac{4}{5}$ है।
हमें $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{1}{5})^0 (\frac{4}{5})^8 = (\frac{4}{5})^8 = \frac{4^8}{5^8}$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{5})^1 (\frac{4}{5})^7 = 8 \times \frac{1}{5} \times \frac{4^7}{5^7} = 2 \times \frac{4^8}{5^8}$.
$P(X=2) = \binom{8}{2} (\frac{1}{5})^2 (\frac{4}{5})^6 = 28 \times \frac{4^6}{5^8}$.
योग करने पर: $P(X \le 2) = \frac{4^8 + 2 \times 4^8 + 28 \times 4^6}{5^8} = \frac{76 \times 4^6}{5^8} = 19 \times \frac{4^7}{5^8}$.

(D) मान लीजिए $X$ दो पासों पर आने वाली संख्याओं का योग है। $X$ के लिए संभावित मान $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ हैं।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$P(X=2) = \frac{1}{36}, P(X=3) = \frac{2}{36}, P(X=4) = \frac{3}{36}, P(X=5) = \frac{4}{36}, P(X=6) = \frac{5}{36}, P(X=7) = \frac{6}{36}, P(X=8) = \frac{5}{36}, P(X=9) = \frac{4}{36}, P(X=10) = \frac{3}{36}, P(X=11) = \frac{2}{36}, P(X=12) = \frac{1}{36}$.
माध्य $E(X)$,$\sum X_i P(X_i)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = 2(\frac{1}{36}) + 3(\frac{2}{36}) + 4(\frac{3}{36}) + 5(\frac{4}{36}) + 6(\frac{5}{36}) + 7(\frac{6}{36}) + 8(\frac{5}{36}) + 9(\frac{4}{36}) + 10(\frac{3}{36}) + 11(\frac{2}{36}) + 12(\frac{1}{36})$
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36} = \frac{252}{36} = 7$.

(B) मान लीजिए कि एक उछाल में चित और $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p$ है। चित प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है और $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है। चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएं हैं,$p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$. एक उछाल में न जीतने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{11}{12}$ है।
$A$ खेल शुरू करता है। $B$ तब जीतता है यदि $A$ विफल हो जाए,फिर $B$ सफल हो जाए,या $A$ विफल हो जाए,$B$ विफल हो जाए,$A$ विफल हो जाए,$B$ सफल हो जाए,आदि।
$B$ के जीतने की प्रायिकता है:
$P(B) = qp + q^3p + q^5p + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{11}{12} \times \frac{1}{12} = \frac{11}{144}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$ है।
$P(B) = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{11}{144}}{1 - \frac{121}{144}} = \frac{\frac{11}{144}}{\frac{23}{144}} = \frac{11}{23}$.

(B) मान लीजिए कि $5 \ cm$ किनारे वाले बड़े घन को काटने के बाद $1 \ cm$ किनारे वाले $n$ छोटे घन प्राप्त होते हैं।
बड़े घन का आयतन $= n \times$ छोटे घन का आयतन
$\Rightarrow 5^3 = n \times 1^3$
$\Rightarrow n = 125$.
जब रंगे हुए घन को $125$ छोटे समान घनों में काटा जाता है:
$1$. $3$ फलक रंगे हुए घनों की संख्या (कोनों पर) $= 8$.
$2$. $2$ फलक रंगे हुए घनों की संख्या (किनारों पर) $= (5-2) \times 12 = 3 \times 12 = 36$.
$3$. $1$ फलक रंगे हुए घनों की संख्या (फलकों पर) $= (5-2)^2 \times 6 = 9 \times 6 = 54$.
कम से कम एक फलक रंगे हुए घनों की कुल संख्या $= 8 + 36 + 54 = 98$.
हमें दिया गया है कि चुने गए घन का कम से कम एक फलक रंगा हुआ है। हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि $2$ और फलक रंगे हुए हैं,जिसका अर्थ है कि घन के कुल $3$ फलक रंगे हुए हैं।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि घन का कम से कम एक फलक रंगा हुआ है,इसलिए $n(E) = 98$.
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि घन के $3$ फलक रंगे हुए हैं,इसलिए $n(F) = 8$.
अभीष्ट प्रायिकता $P(F|E) = \frac{n(F)}{n(E)} = \frac{8}{98} = \frac{4}{49}$.

(B) एकल प्रयास में सफलता की प्रायिकता $p = \frac{\alpha}{\beta}$ है।
एकल प्रयास में विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{\beta - \alpha}{\beta}$ है।
हमें $n$ प्रयासों में कम से कम $(n-1)$ बार विफल होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है $(n-1)$ बार विफलता या $n$ बार विफलता।
यह अधिकतम $1$ बार सफलता के बराबर है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = {}^{n}C_{0} p^0 q^n = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{\beta - \alpha}{\beta}\right)^n = \frac{(\beta - \alpha)^n}{\beta^n}$
$P(X = 1) = {}^{n}C_{1} p^1 q^{n-1} = n \cdot \left(\frac{\alpha}{\beta}\right) \cdot \left(\frac{\beta - \alpha}{\beta}\right)^{n-1} = \frac{n \alpha (\beta - \alpha)^{n-1}}{\beta^n}$
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर:
$P = \frac{(\beta - \alpha)^n + n \alpha (\beta - \alpha)^{n-1}}{\beta^n}$
$P = \frac{(\beta - \alpha)^{n-1} [(\beta - \alpha) + n \alpha]}{\beta^n}$
$P = \frac{(\beta - \alpha)^{n-1} (n \alpha + \beta - \alpha)}{\beta^n}$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) मान लीजिए $F$ वह घटना है कि $3$ पासों पर संख्याओं का योग $15$ है। योग $15$ प्राप्त करने के लिए संभावित परिणाम $(6, 6, 3)$,$(6, 5, 4)$ और $(5, 5, 5)$ के क्रमपरिवर्तन हैं।
$(6, 6, 3)$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है।
$(6, 5, 4)$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $3! = 6$ है।
$(5, 5, 5)$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $1$ है।
घटना $F$ के लिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $3 + 6 + 1 = 10$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि $3$ पासों में से किसी पर भी संख्या $5$ दिखाई नहीं देती है।
हमें सशर्त प्रायिकता $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)}$ ज्ञात करनी है।
$E \cap F$ उन परिणामों को दर्शाता है जहाँ योग $15$ है और संख्या $5$ दिखाई नहीं देती है।
उपरोक्त संयोजनों में से,केवल $(6, 6, 3)$ सेट में संख्या $5$ नहीं है।
$(6, 6, 3)$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $3$ है।
अतः,$n(E \cap F) = 3$ है।
इसलिए,$P(E|F) = \frac{3}{10}$।

(C) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः थैली $A$,थैली $B$ और थैली $C$ चुनने की घटनाएँ हैं। चूंकि थैली यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $B$ काली गेंद निकालने की घटना है।
थैली $A$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
थैली $B$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
थैली $C$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_3) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$
$P(B) = \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}\right)$
$P(B) = \frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(A) स्थिति $1$: प्रतिस्थापन के साथ।
$p_1 = P(\text{पहला रानी}) \times P(\text{दूसरा ईंट}) = \frac{4}{52} \times \frac{13}{52} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{52}$.
स्थिति $2$: प्रतिस्थापन के बिना।
माना $Q_1$ पहली बार रानी आने की घटना है और $D_2$ दूसरी बार ईंट का पत्ता आने की घटना है।
यदि पहला पत्ता ईंट की रानी है,तो $P(Q_1 \cap D_2) = \frac{1}{52} \times \frac{12}{51}$.
यदि पहला पत्ता ईंट की रानी के अलावा कोई अन्य रानी है,तो $P(Q_1 \cap D_2) = \frac{3}{52} \times \frac{13}{51}$.
$p_2 = \frac{1 \times 12 + 3 \times 13}{52 \times 51} = \frac{12 + 39}{52 \times 51} = \frac{51}{52 \times 51} = \frac{1}{52}$.
अतः,$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1/52}{1/52} = 1$.

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A)=\frac{2}{5}$ और $P(B)=\frac{1}{3}$.
अतः,$P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ और $P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
चूंकि वे स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.
$(A) P(\overline{A} \cup B) = P(\overline{A}) + P(B) - P(\overline{A} \cap B)$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$\overline{A}$ और $B$ भी स्वतंत्र हैं।
$P(\overline{A} \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{3} - (\frac{3}{5} \times \frac{1}{3}) = \frac{9+5-3}{15} = \frac{11}{15}$. यह $(II)$ से मेल खाता है।
$(B) P(\frac{A}{\overline{B}}) = P(A) = \frac{2}{5}$ (क्योंकि $A$ और $\overline{B}$ स्वतंत्र हैं)।
$(C) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{5} + \frac{1}{3} - \frac{2}{15} = \frac{6+5-2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$. यह $(III)$ से मेल खाता है।
इस प्रकार,$(A)-(II)$ और $(C)-(III)$ सही है,जो विकल्प $(D)$ में दिया गया है।

(A) हम जानते हैं कि द्विपद बंटन के लिए:
माध्य $= np = 4$
प्रसरण $= npq = \frac{4}{3}$
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{npq}{np} = \frac{4/3}{4} \Rightarrow q = \frac{1}{3}$
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$p$ का मान माध्य के समीकरण में रखने पर:
$n \times \frac{2}{3} = 4 \Rightarrow n = 6$
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है
$X=2$ के लिए:
$P(X=2) = {}^6C_2 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^4$
$P(X=2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{81}$
$P(X=2) = 15 \times \frac{4}{729} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

(B) माना सफलता की प्रायिकता $p$ है और विफलता की प्रायिकता $q$ है। दिया गया है कि $p = 5q$। हम जानते हैं कि $p + q = 1$,इसलिए $5q + q = 1$,जिसका अर्थ है कि $6q = 1$,अतः $q = \frac{1}{6}$ और $p = \frac{5}{6}$।
$n = 5$ परीक्षणों के लिए,अधिकतम एक सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ द्वारा दी जाती है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = ^5C_0 \left(\frac{5}{6}\right)^0 \left(\frac{1}{6}\right)^5 = 1 \times 1 \times \frac{1}{6^5} = \frac{1}{6^5}$।
$P(X = 1) = ^5C_1 \left(\frac{5}{6}\right)^1 \left(\frac{1}{6}\right)^4 = 5 \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6^4} = \frac{25}{6^5}$।
अतः,$P(X \le 1) = \frac{1}{6^5} + \frac{25}{6^5} = \frac{26}{6^5}$।
इस प्रकार,विकल्प $(b)$ सही है।

(C) कुल गेंदों की संख्या $5 + 3 = 8$ है। दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। $2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके ${}^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ हैं।
माना $X$ निकाली गई सफेद गेंदों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
$P(X = 0) = \frac{{}^5C_2}{{}^8C_2} = \frac{10}{28}$.
$P(X = 1) = \frac{{}^5C_1 \times {}^3C_1}{{}^8C_2} = \frac{5 \times 3}{28} = \frac{15}{28}$.
$P(X = 2) = \frac{{}^3C_2}{{}^8C_2} = \frac{3}{28}$.
$X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times P(X = 0) + 1 \times P(X = 1) + 2 \times P(X = 2)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = 0 \times \frac{10}{28} + 1 \times \frac{15}{28} + 2 \times \frac{3}{28} = 0 + \frac{15}{28} + \frac{6}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.

(D) $5$ सिक्कों को उछालने के यादृच्छिक प्रयोग में,चितों की संख्या $X$ एक द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करती है,जहाँ $n = 5$ और $p = \frac{1}{2}$ (चित आने की प्रायिकता) है।
द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $E(X) = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,प्रायिकता वितरण तालिका का उपयोग करते हुए:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X)$	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{32}$

माध्य की गणना $\sum X P(X) = (0 \times \frac{1}{32}) + (1 \times \frac{5}{32}) + (2 \times \frac{10}{32}) + (3 \times \frac{10}{32}) + (4 \times \frac{5}{32}) + (5 \times \frac{1}{32})$ के रूप में की जाती है।
$= 0 + \frac{5}{32} + \frac{20}{32} + \frac{30}{32} + \frac{20}{32} + \frac{5}{32} = \frac{80}{32} = \frac{5}{2}$.

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि दो पासों पर संख्याओं का योग $4$ का गुणज है। संभावित योग $4, 8, 12$ हैं।
घटना $A$ के लिए परिणाम हैं: $(1, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4), (6, 6)$।
घटना $A$ में परिणामों की कुल संख्या $n(A) = 9$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि संख्या $4$ पासों पर कम से कम एक बार आती है।
हमें सशर्त प्रायिकता $p = P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ ज्ञात करनी है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे परिणाम शामिल हैं जहाँ योग $4$ का गुणज है और संख्या $4$ कम से कम एक बार आती है।
समुच्चय $A$ से,कम से कम एक बार $4$ आने वाले परिणाम हैं: $(4, 4)$।
अतः,$n(A \cap B) = 1$ है।
इसलिए,$p = P(B|A) = \frac{1}{9}$ है।
अंत में,हम $3p + 2 = 3 \times \frac{1}{9} + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$ की गणना करते हैं।

(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। इसलिए,$\sum_{r=0}^{\infty} P(X=r) = 1$.
दिया गया है $P(X=r) = k(1+r) 3^{-r}$,अतः $k \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) \left(\frac{1}{3}\right)^r = 1$.
माना $S = \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) x^r$ जहाँ $x = \frac{1}{3}$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है: $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots$.
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर: $xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots$.
दोनों को घटाने पर: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \frac{1}{1-x}$.
अतः,$S = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x = \frac{1}{3}$ के लिए,$S = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{9}{4}$.
इसलिए,$k \times \frac{9}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{9}$.
अब,$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k \left[ (1+0)3^0 + (1+1)3^{-1} + (1+2)3^{-2} \right]$.
$= \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} \right] = \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right] = \frac{4}{9} \times 2 = \frac{8}{9}$.

(B) दिया गया है $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$,अतः $P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
दिया गया है $P(A \cap \bar{B}) = \frac{1}{5}$. चूँकि $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$,इसलिए $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
अतः,$P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \bar{B}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5-3}{15} = \frac{2}{15}$.
अब,$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$,इसलिए $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{4}{15} - \frac{2}{15} = \frac{2}{15}$.
हमें $P(B \mid (A \cup \bar{B})) = \frac{P(B \cap (A \cup \bar{B}))}{P(A \cup \bar{B})}$ ज्ञात करना है।
$B \cap (A \cup \bar{B}) = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{B}) = (A \cap B) \cup \emptyset = A \cap B$,इसलिए $P(B \cap (A \cup \bar{B})) = \frac{2}{15}$.
$P(A \cup \bar{B}) = P(A) + P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = \frac{1}{3} + (1 - \frac{4}{15}) - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{11}{15} - \frac{3}{15} = \frac{13}{15}$.
अतः,$P(B \mid (A \cup \bar{B})) = \frac{2/15}{13/15} = \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{4}{15} - \frac{2}{15} = \frac{5+4-2}{15} = \frac{7}{15}$.
अंत में,$\sqrt{195[\frac{2}{13} + \frac{7}{15}]} = \sqrt{195[\frac{30+91}{195}]} = \sqrt{121} = 11$.

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\sum P(X=x) = 0 + k + 2k + 5k^2 + 2k^2 + 3k = 1$
$7k^2 + 6k - 1 = 0$
$7k^2 + 7k - k - 1 = 0$
$7k(k + 1) - 1(k + 1) = 0$
$(k + 1)(7k - 1) = 0$
चूंकि प्रायिकता के लिए $k$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $k = \frac{1}{7}$।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = (0 \times 0) + (2 \times k) + (4 \times 2k) + (6 \times 5k^2) + (8 \times 2k^2) + (10 \times 3k)$
$E(X) = 0 + 2k + 8k + 30k^2 + 16k^2 + 30k$
$E(X) = 46k^2 + 40k$
$k = \frac{1}{7}$ रखने पर:
$E(X) = 46(\frac{1}{7})^2 + 40(\frac{1}{7})$
$E(X) = \frac{46}{49} + \frac{40}{7} = \frac{46 + 280}{49} = \frac{326}{49}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X=2) = P(X=3)$,इसलिए:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{6} \implies \lambda = 3$.
अब,हमें दिया गया है कि $\frac{5}{3} k = P(X=2) = \frac{e^{-3} 3^2}{2!} = \frac{9 e^{-3}}{2}$.
अतः,$\frac{5}{3} k = \frac{9 e^{-3}}{2} \implies e^{-3} = \frac{10}{27} k$.
हमें $P(X=5) = \frac{e^{-3} 3^5}{5!} = \frac{e^{-3} \times 243}{120} = \frac{81}{40} e^{-3}$ ज्ञात करना है।
$e^{-3} = \frac{10}{27} k$ का मान रखने पर:
$P(X=5) = \frac{81}{40} \times \frac{10}{27} k = \frac{3}{4} k$.

(A) किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x_i) = 10k + 9k + 8k + 8k + 6k + 5k + 4k + 3k + k = 54k = 1$.
इसलिए,$k = \frac{1}{54}$.
घटना $A$ में $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में से अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं,जो $\{2, 3, 5, 7\}$ हैं।
$P(A) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 9k + 8k + 6k + 4k = 27k$.
घटना $B$ में $x_i > 5$ वाले मान शामिल हैं,जो $\{6, 7, 8, 9\}$ हैं।
$P(B) = P(6) + P(7) + P(8) + P(9) = 5k + 4k + 3k + k = 13k$.
प्रतिच्छेदन $A \cap B$ में वे मान शामिल हैं जो अभाज्य भी हैं और $5$ से बड़े भी हैं,जो $\{7\}$ है।
$P(A \cap B) = P(7) = 4k$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 27k + 13k - 4k = 36k$.
$k = \frac{1}{54}$ रखने पर,हमें $P(A \cup B) = 36 \times \frac{1}{54} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।