$A, P, B$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं। यदि $|-B|=5, |BA^T|=15, |P^T AP|=-27$ है,तो $|P|$ का एक मान है

माना कि $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,और $P = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix}$ एक लंबकोणीय आव्यूह है ताकि $B = PAP^{-1}$ हो। तो:

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix}$ है। यदि किसी $\theta \in (0, \pi)$ के लिए,$A^2 = A^T$ है,तो आव्यूह $(A + I)^3 + (A - I)^3 - 6A$ के विकर्ण तत्वों का योग . . . . . . के बराबर है।

मान लीजिए $x, y, z > 1$ और $A = \begin{bmatrix} 1 & \log_x y & \log_x z \\ \log_y x & 2 & \log_y z \\ \log_z x & \log_z y & 3 \end{bmatrix}$ है। तो $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)|$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित गणितीय कथनों को ध्यानपूर्वक पढ़ें:
$I$. ऐसे दो त्रिभुज हो सकते हैं कि एक त्रिभुज की सभी भुजाएँ $1 \text{ cm}$ से कम हों जबकि दूसरे त्रिभुज की सभी भुजाएँ $10 \text{ m}$ से बड़ी हों,लेकिन पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल दूसरे त्रिभुज के क्षेत्रफल से अधिक हो।
$II$. यदि $x, y, z$ सभी अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ केवल $x$ के एक वास्तविक मान के लिए सत्य है।
$IV$. एक आव्यूह में $12$ अवयव हैं। इसकी संभावित कोटियों की संख्या $6$ है। अब सही विकल्प इंगित करें।

मान लीजिए कि $A$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक तत्वों का एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इस प्रकार कि $A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$। तो $\operatorname{det}(A)$ का अधिकतम मान क्या है?