मान लीजिए A = (a_{ij}) एक n times n आव्यूह है | vedclass

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Question

(A) आव्यूह $A$ एक विकर्ण आव्यूह है जहाँ विकर्ण के अवयव $a_{ii} = k^i$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है।$A$ का ट्रेस (trace),जिसे $m$ द्वारा दर्शाया गय

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$18$

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(A) आव्यूह $A$ एक विकर्ण आव्यूह है जहाँ विकर्ण के अवयव $a_{ii} = k^i$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है।$A$ का ट्रेस (trace),जिसे $m$ द्वारा दर्शाया गया है,इसके विकर्ण अवयवों का योग है:$m = \sum_{i=1}^{n} k^i = k + k^2 + \dots + k^n = \frac{k(1-k^n)}{1-k}$.हमें सीमा (limit) दी गई है: $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n-m}{1-k} = 171$.$m$ का मान रखने पर: $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n - \frac{k(1-k^n)}{1-k}}{1-k} = \lim_{k \rightarrow 1} \frac{n(1-k) - (k - k^{n+1})}{(1-k)^2} = 171$.$L$'Hospital नियम का उपयोग करते हुए ($k$ के सापेक्ष अंश और हर का अवकलन):अंश का अवकलन: $\frac{d}{dk} [n - nk - k + k^{n+1}] = -n - 1 + (n+1)k^n$.हर का अवकलन: $\frac{d}{dk} [(1-k)^2] = 2(1-k)(-1) = -2(1-k)$.पुनः $L$'Hospital नियम लागू करने पर:$\lim_{k \rightarrow 1} \frac{-n - 1 + (n+1)k^n}{-2(1-k)} = \lim_{k \rightarrow 1} \frac{(n+1)n k^{n-1}}{2} = 171$.$\frac{n(n+1)}{2} = 171 \Rightarrow n^2 + n - 342 = 0$.द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n+19)(n-18) = 0$.चूँकि $n > 0$ है,इसलिए $n = 18$ प्राप्त होता है।

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