TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है $a=5, b=6, c=9$. परित्रिज्या $R = SB = \frac{27}{4 \sqrt{2}}$.
हम जानते हैं कि $\sin 2C = 2 \sin C \cos C$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\sin C = \frac{c}{2R}$.
कोज्या नियम (Cosine Rule) का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 2C = 2 \times \left( \frac{c}{2R} \right) \times \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) = \frac{c}{R} \times \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\sin 2C = \frac{9}{\frac{27}{4 \sqrt{2}}} \times \frac{5^2 + 6^2 - 9^2}{2 \times 5 \times 6}$.
$\sin 2C = \left( 9 \times \frac{4 \sqrt{2}}{27} \right) \times \frac{25 + 36 - 81}{60}$.
$\sin 2C = \left( \frac{4 \sqrt{2}}{3} \right) \times \left( \frac{-20}{60} \right) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} \times \left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{4 \sqrt{2}}{9}$.

(D) सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $S$ की गणना करें:
$S = \frac{7+10+11}{2} = 14$
हीरोन के सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \sqrt{14(14-7)(14-10)(14-11)} = \sqrt{14 \times 7 \times 4 \times 3} = 14\sqrt{6}$
हमारे पास सूत्र हैं $R = \frac{abc}{4\Delta}$ और $r = \frac{\Delta}{S}$.
अतः,$\frac{R}{r} = \frac{abc \times S}{4\Delta^2}$.
मान रखने पर:
$\frac{R}{r} = \frac{7 \times 10 \times 11 \times 14}{4 \times 1176} = \frac{55}{24}$.

(B) समुच्चय $A$ के लिए,हमें $x^2-8x+15 \geq 0$ की आवश्यकता है।
$(x-3)(x-5) \geq 0$,जो $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$ देता है।
समुच्चय $B$ के लिए,हम $\frac{x-3}{2x-5} - \frac{x-6}{2x-11} < 0$ को हल करते हैं।
$\frac{(x-3)(2x-11) - (x-6)(2x-5)}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
$\frac{(2x^2-17x+33) - (2x^2-17x+30)}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
$\frac{3}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
यह दर्शाता है कि $(2x-5)(2x-11) < 0$,इसलिए $x \in \left(\frac{5}{2}, \frac{11}{2}\right)$.
अंत में,$A \cap B = ((-\infty, 3] \cup [5, \infty)) \cap \left(\frac{5}{2}, \frac{11}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 3\right] \cup \left[5, \frac{11}{2}\right)$.

(C) दिया गया है $\frac{3x+5}{(x+1)(2x^2+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{2x^2+3}$.
दोनों पक्षों को $(x+1)(2x^2+3)$ से गुणा करने पर,$3x+5 = A(2x^2+3) + (Bx+C)(x+1)$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर: $3(-1)+5 = A(2(-1)^2+3) + 0 \implies 2 = 5A \implies A = \frac{2}{5}$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = 2A + B \implies B = -2A = -2(\frac{2}{5}) = -\frac{4}{5}$.
अचर पदों की तुलना करने पर: $5 = 3A + C \implies C = 5 - 3(\frac{2}{5}) = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}$.
अतः,$f(x) = \frac{2}{5}x^3 - \frac{4}{5}x^2 + 7x + \frac{19}{5}$.
$f'(x) = \frac{6}{5}x^2 - \frac{8}{5}x + 7$.
$f'(-2) = \frac{6}{5}(4) - \frac{8}{5}(-2) + 7 = \frac{24}{5} + \frac{16}{5} + 7 = \frac{40}{5} + 7 = 8 + 7 = 15$.
अंत में,$5C - f'(-2) = 5(\frac{19}{5}) - 15 = 19 - 15 = 4$.

(A) दिया गया है,$\frac{42-13x}{x^2+x-6} = \frac{A}{lx+m} + \frac{B}{px+q}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$.
अतः,$\frac{42-13x}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $42-13x = A(x-2) + B(x+3)$.
$x=2$ के लिए: $42-26 = 5B \implies 16 = 5B \implies B = \frac{16}{5}$.
$x=-3$ के लिए: $42+39 = -5A \implies 81 = -5A \implies A = -\frac{81}{5}$.
$\frac{A}{lx+m} + \frac{B}{px+q}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $l=1, m=3, p=1, q=-2$ प्राप्त होता है (जो $lm=3>0$ और $pq=-2 < 0$ को संतुष्ट करता है)।
अतः,$\frac{Alp}{Bmq} = \frac{(-\frac{81}{5}) \times 1 \times 1}{(\frac{16}{5}) \times 3 \times (-2)} = \frac{-81/5}{-96/5} = \frac{81}{96} = \frac{27}{32}$.

(C) व्यंजक $2x^2 + 4x + 5 = 2(x^2 + 2x + 1) + 3 = 2(x+1)^2 + 3$. चूंकि $(x+1)^2 \geq 0$,न्यूनतम मान $3$ $(IV)$ है।
$(B)$ मान लीजिए $y = \frac{x^2 + 4x + 1}{x^2 + x + 1}$. तब $y(x^2 + x + 1) = x^2 + 4x + 1 \implies (y-1)x^2 + (y-4)x + (y-1) = 0$. $x$ के वास्तविक होने के लिए,$D \geq 0 \implies (y-4)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0 \implies (y+2)(y-2) \leq 0 \implies -2 \leq y \leq 2$. अधिकतम मान $2$ $(III)$ है।
$(C)$ और $(D)$ दिया गया है $1 \leq \frac{3x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} \leq 2$.
$x^2 + 1 \leq 3x^2 - 5x + 6 \implies 2x^2 - 5x + 5 \geq 0$ (हमेशा सत्य क्योंकि $D < 0$).
$3x^2 - 5x + 6 \leq 2x^2 + 2 \implies x^2 - 5x + 4 \leq 0 \implies 1 \leq x \leq 4$.
अतः $a = 1$ $(II)$ और $b = 4$ $(V)$.
मिलान: $(A)$ $\rightarrow IV, (B)$ $\rightarrow III, (C)$ $\rightarrow V, (D)$ $\rightarrow II$. सही विकल्प $(C)$ है।

(D) फलन $f(x) = \log_2(2^x - 2) + \sqrt{1 - x}$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक और वर्गमूल दोनों पदों का वास्तविक होना आवश्यक है।
$1$. वर्गमूल के लिए,$1 - x \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \leq 1$।
$2$. लघुगणक के लिए,उसका तर्क धनात्मक होना चाहिए: $2^x - 2 > 0$,जिसका अर्थ है $2^x > 2^1$,अतः $x > 1$।
इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $x \leq 1$ और $x > 1$ प्राप्त होता है।
ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जो $x \leq 1$ और $x > 1$ दोनों को संतुष्ट करती हो,इसलिए ऐसे मानों का समुच्चय रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) माना $y = \frac{x^2-x+2}{x^2+x-2}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $y(x^2+x-2) = x^2-x+2$.
$yx^2 + yx - 2y = x^2 - x + 2$.
$(y-1)x^2 + (y+1)x - (2y+2) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)(-2y-2) \ge 0$.
$(y+1)^2 + 8(y-1)(y+1) \ge 0$.
$(y+1)[(y+1) + 8(y-1)] \ge 0$.
$(y+1)(y+1+8y-8) \ge 0$.
$(y+1)(9y-7) \ge 0$.
क्रांतिक बिंदु $y = -1$ और $y = \frac{7}{9}$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,असमिका $y \in (-\infty, -1] \cup \left[\frac{7}{9}, \infty\right)$ के लिए सत्य है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए $h(x) = f(x) - g(x) = (A - L)x^2 + (B - M)x - N$ है।
दिया गया है:
$h(2) = 4(A - L) + 2(B - M) - N = 1$ ... $(i)$
$h(3) = 9(A - L) + 3(B - M) - N = 4$ ... $(ii)$
$h(4) = 16(A - L) + 4(B - M) - N = 9$ ... $(iii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$5(A - L) + (B - M) = 3$ ... $(iv)$
$(iii)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$7(A - L) + (B - M) = 5$ ... $(v)$
$(v)$ में से $(iv)$ घटाने पर:
$2(A - L) = 2 \Rightarrow A - L = 1$।
$A - L = 1$ को $(iv)$ में रखने पर:
$5(1) + (B - M) = 3 \Rightarrow B - M = -2$।
$A - L = 1$ और $B - M = -2$ को $(i)$ में रखने पर:
$4(1) + 2(-2) - N = 1$ $\Rightarrow 4 - 4 - N = 1$ $\Rightarrow N = -1$।
अतः,$h(x) = (1)x^2 + (-2)x - (-1) = x^2 - 2x + 1$।
$h(x) = 0$ रखने पर:
$x^2 - 2x + 1 = 0$ $\Rightarrow (x - 1)^2 = 0$ $\Rightarrow x = 1$।

(B) हम जानते हैं कि $\cosh(A \pm B) = \cosh A \cosh B \pm \sinh A \sinh B$ होता है।
इस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cosh(x + iy) = \cosh x \cosh(iy) + \sinh x \sinh(iy)$
$\cosh(x - iy) = \cosh x \cosh(iy) - \sinh x \sinh(iy)$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$\cosh(x + iy) - \cosh(x - iy) = (\cosh x \cosh(iy) + \sinh x \sinh(iy)) - (\cosh x \cosh(iy) - \sinh x \sinh(iy))$
$= 2 \sinh x \sinh(iy)$
चूंकि $\sinh(iy) = i \sin y$ होता है,इसलिए:
$= 2i \sinh x \sin y$.

(D) दिए गए दो वक्र परिवार $y^2=4ax$ और $x^2+\frac{y^2}{2}=c^2$ हैं।
प्रथम परिवार $y^2=4ax$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है। $4a = \frac{y^2}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x}$।
दूसरे परिवार $x^2+\frac{y^2}{2}=c^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$।
ढाल का गुणनफल $m_1 \times m_2 = \left(\frac{y}{2x}\right) \times \left(-\frac{2x}{y}\right) = -1$ है।
चूंकि ढाल का गुणनफल $-1$ है,इसलिए वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। अतः,वक्रों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) सबसे पहले,वक्रों $y^2=4x$ और $x^2+y^2=5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। $y^2=4x$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $x^2+4x-5=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x+5)(x-1)=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=1$ या $x=-5$ है। चूँकि $y^2=4x$ है,$x$ गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $x=1$ है।
$x=1$ के लिए,$y^2=4(1)=4$,जिससे $y=2$ या $y=-2$ प्राप्त होता है। हम बिंदु $(1, 2)$ पर विचार करते हैं।
वक्र $y^2=4x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ है। बिंदु $(1, 2)$ पर,$m_1 = \frac{2}{2} = 1$ है।
वक्र $x^2+y^2=5$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ है। बिंदु $(1, 2)$ पर,$m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\tan \theta| = 3$ है।

(C) दिया गया वक्र $4x^2 + 9y^2 = 36$ है। $36$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का दीर्घवृत्त है जहाँ $a^2 = 9$ $(a = 3)$ और $b^2 = 4$ $(b = 2)$ है।
दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ होते हैं।
बिंदु $\theta$ पर दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $ax \sec \theta - by \operatorname{cosec} \theta = a^2 - b^2$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 3$,$b = 2$,और $\theta = \frac{7\pi}{4}$ रखने पर:
$3x \sec(\frac{7\pi}{4}) - 2y \operatorname{cosec}(\frac{7\pi}{4}) = 9 - 4$
चूँकि $\sec(\frac{7\pi}{4}) = \sqrt{2}$ और $\operatorname{cosec}(\frac{7\pi}{4}) = -\sqrt{2}$:
$3x(\sqrt{2}) - 2y(-\sqrt{2}) = 5$
$3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y = 5$
अतः,अभिलंब का समीकरण $3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y - 5 = 0$ है।

(A) दिए गए वक्र $x^2+y^2=4$ और $y^2=3x$ हैं। पहले समीकरण में $y^2=3x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+3x-4=0$
$(x+4)(x-1)=0$
चूंकि $y^2=3x$ के लिए $x$ का मान ऋणेतर होना चाहिए,इसलिए $x=1$.
$x=1$ के लिए,$y^2=3$,अतः $y=\sqrt{3}$ (प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु को ध्यान में रखते हुए)।
अब,दोनों वक्रों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x^2+y^2=4$ के लिए,$2x+2y\frac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. बिंदु $(1, \sqrt{3})$ पर,$m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$y^2=3x$ के लिए,$2y\frac{dy}{dx}=3 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2y}$. बिंदु $(1, \sqrt{3})$ पर,$m_2 = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left|\frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + (-\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{\sqrt{3}}{2})}\right| = \left|\frac{-\frac{2+3}{2\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{2}}\right| = \left|\frac{-\frac{5}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{2}}\right| = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(C) माना $f(x) = -2x^2 + 3x + 1$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = -4x + 3$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $-4x + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{3}{4}$।
चरम मान $k = f\left(\frac{3}{4}\right) = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 = -2\left(\frac{9}{16}\right) + \frac{9}{4} + 1 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = \frac{17}{8}$।
अब,हमें $x$ का वह समुच्चय ज्ञात करना है जिसके लिए $kx^2 + 2x + 1 > 0$ हो,जहाँ $k = \frac{17}{8}$ है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $\frac{17}{8}x^2 + 2x + 1 > 0$ प्राप्त होता है।
$8$ से गुणा करने पर,$17x^2 + 16x + 8 > 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (16)^2 - 4(17)(8) = 256 - 544 = -288$ है।
चूंकि $D < 0$ है और $x^2$ का गुणांक $(17)$ धनात्मक है,इसलिए द्विघात व्यंजक $17x^2 + 16x + 8$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक रहेगा।
अतः,हल समुच्चय $(-\infty, \infty)$ है।

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2+3}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2+1)(x^2+2)$ से गुणा करने पर: $x^2+3=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)$ प्राप्त होता है।
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2+3=Ax^3+2Ax+Bx^2+2B+Cx^3+Cx+Dx^2+D$ प्राप्त होता है।
$x$ की घातों के अनुसार पदों को समूहित करने पर: $x^2+3=(A+C)x^3+(B+D)x^2+(2A+C)x+(2B+D)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+C=0$ ($x^3$ का गुणांक)
$B+D=1$ ($x^2$ का गुणांक)
$2A+C=0$ ($x$ का गुणांक)
$2B+D=3$ (अचर पद)
$A+C=0$ और $2A+C=0$ से,समीकरणों को घटाने पर $A=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $C=0$ है।
$B+D=1$ और $2B+D=3$ से,समीकरणों को घटाने पर $B=2$ प्राप्त होता है। $B=2$ को $B+D=1$ में रखने पर $D=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A=0, B=2, C=0, D=-1$ है।
इसलिए,$A+B+C+D=0+2+0+(-1)=1$ है।

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2-3x+2}{(x-4)(x-3)^2} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{(x-3)^2}$.
दोनों पक्षों को $(x-4)(x-3)^2$ से गुणा करने पर: $x^2-3x+2 = A(x-3)^2 + B(x-3)(x-4) + C(x-4)$.
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=4$ रखने पर: $4^2 - 3(4) + 2 = A(4-3)^2 \Rightarrow 16 - 12 + 2 = A(1)^2 \Rightarrow A = 6$.
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=3$ रखने पर: $3^2 - 3(3) + 2 = C(3-4) \Rightarrow 9 - 9 + 2 = C(-1) \Rightarrow 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
$B$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों में $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $1 = A + B$. चूंकि $A=6$,इसलिए $1 = 6 + B \Rightarrow B = -5$.
अंत में,$A+B+C = 6 + (-5) + (-2) = 6 - 7 = -1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2-2}{(x^2+1)(x^2+3)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+3}$ है।
माना $y = x^2$ है। व्यंजक $\frac{y-2}{(y+1)(y+3)} = \frac{B}{y+1} + \frac{D}{y+3}$ हो जाता है (क्योंकि $Ax$ और $Cx$ पद $0$ होने चाहिए)।
$D$ ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $(y+3)$ से गुणा करके $y = -3$ रखने पर:
$D = \left[ \frac{y-2}{y+1} \right]_{y=-3} = \frac{-3-2}{-3+1} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}$.

(C) माना $y = \frac{2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$ है। आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,हम लिखते हैं: $\frac{2x+1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{(x+1)^2}$.
अचरों के लिए हल करने पर: $2x+1 = a(x+1)^2 + b(x+1)(x-2) + c(x-2)$.
$x=2$ के लिए: $5 = a(3)^2 \Rightarrow a = \frac{5}{9}$.
$x=-1$ के लिए: $-1 = c(-3) \Rightarrow c = \frac{1}{3}$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = a + b \Rightarrow b = -a = -\frac{5}{9}$.
अतः,$y = \frac{5/9}{x-2} - \frac{5/9}{x+1} + \frac{1/3}{(x+1)^2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{5/9}{(x-2)^2} + \frac{5/9}{(x+1)^2} - \frac{2/3}{(x+1)^3}$.
इसकी तुलना $\frac{A}{(x-2)^2} + \frac{B}{(x+1)^3} + \frac{C}{(x+1)^2}$ से करने पर,हमें $A = -\frac{5}{9}$,$B = -\frac{2}{3}$,और $C = \frac{5}{9}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$A+B+C = -\frac{5}{9} - \frac{2}{3} + \frac{5}{9} = -\frac{2}{3}$.

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3 x^2+ax+3}{(2 x+3)(x^2+2)}=\frac{3}{2 x+3}+\frac{Bx+C}{x^2+2}$
हर को समान करके अंशों की तुलना करने पर:
$3 x^2+ax+3 = 3(x^2+2) + (Bx+C)(2x+3)$
$3 x^2+ax+3 = 3x^2 + 6 + 2Bx^2 + 3Bx + 2Cx + 3C$
$3 x^2+ax+3 = (3+2B)x^2 + (3B+2C)x + (6+3C)$
$x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) \ 3+2B = 3 \implies 2B = 0 \implies B = 0$
$2) \ 3B+2C = a \implies 3(0)+2C = a \implies 2C = a \implies C = \frac{a}{2}$
$3) \ 6+3C = 3 \implies 3C = -3 \implies C = -1$
$C = -1$ को $C = \frac{a}{2}$ में रखने पर:
$-1 = \frac{a}{2} \implies a = -2$
अंत में,$a(B+C)$ की गणना करने पर:
$a(B+C) = -2(0 + (-1)) = -2(-1) = 2$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है $\frac{2x^2-3x+5}{(x-7)^3}=\frac{A}{x-7}+\frac{B}{(x-7)^2}+\frac{C}{(x-7)^3}$।
दोनों पक्षों को $(x-7)^3$ से गुणा करने पर:
$2x^2-3x+5 = A(x-7)^2 + B(x-7) + C$
$2x^2-3x+5 = A(x^2-14x+49) + Bx - 7B + C$
$2x^2-3x+5 = Ax^2 + (B-14A)x + (49A-7B+C)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = 2$
$B-14A = -3$ $\Rightarrow B-14(2) = -3$ $\Rightarrow B-28 = -3$ $\Rightarrow B = 25$
$49A-7B+C = 5$ $\Rightarrow 49(2)-7(25)+C = 5$ $\Rightarrow 98-175+C = 5$ $\Rightarrow C-77 = 5$ $\Rightarrow C = 82$
अब,$2A-3B+C$ का मान ज्ञात करने पर:
$2(2)-3(25)+82 = 4-75+82 = 11$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2-x+1}{(x^2+1)(x^2+x+1)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}$
दोनों पक्षों को $(x^2+1)(x^2+x+1)$ से गुणा करने पर:
$x^2-x+1 = (Ax+B)(x^2+x+1) + (Cx+D)(x^2+1)$
$x^2-x+1 = (A+C)x^3 + (A+B+D)x^2 + (A+B+C)x + (B+D)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+C = 0$
$2) A+B+D = 1$
$3) A+B+C = -1$
$4) B+D = 1$
$(1)$ से,$C = -A$. $(3)$ में रखने पर: $A+B-A = -1 \Rightarrow B = -1$.
$(4)$ में $B = -1$ रखने पर: $-1+D = 1 \Rightarrow D = 2$.
$(2)$ में $B = -1$ और $D = 2$ रखने पर: $A-1+2 = 1 \Rightarrow A = 0$.
अतः $C = -A = 0$.
इस प्रकार,$A=0, B=-1, C=0, D=2$.
$A+2B+C+2D = 0 + 2(-1) + 0 + 2(2) = -2 + 4 = 2$.

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x-2}{x^2(2x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{2x-3}$ है।
दोनों पक्षों को $x^2(2x-3)$ से गुणा करने पर: $x-2 = Ax(2x-3) + B(2x-3) + Cx^2$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ रखने पर: $-2 = B(-3) \Rightarrow B = \frac{2}{3}$।
$x = \frac{3}{2}$ रखने पर: $\frac{3}{2} - 2 = C(\frac{3}{2})^2$ $\Rightarrow -\frac{1}{2} = C(\frac{9}{4})$ $\Rightarrow C = -\frac{2}{9}$।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = 2A + C$ $\Rightarrow 2A = -C = \frac{2}{9}$ $\Rightarrow A = \frac{1}{9}$।
अब,$2(A-C) = 2(\frac{1}{9} - (-\frac{2}{9})) = 2(\frac{1+2}{9}) = 2(\frac{3}{9}) = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$।
चूंकि $B = \frac{2}{3}$,इसलिए $2(A-C) = B$।

(B) $I \rightarrow |x|^2 - 4|x| + 3 < 0$
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। असमिका $t^2 - 4t + 3 < 0$ हो जाती है।
$(t - 1)(t - 3) < 0$,जिसका अर्थ है $1 < t < 3$ है।
चूँकि $t = |x|$,इसलिए $1 < |x| < 3$ है।
इसका अर्थ है $x \in (-3, -1) \cup (1, 3)$ है।
अतः,कथन $I$ असत्य है।
$II \rightarrow x^2 - 8x + 15 > 0$
$(x - 3)(x - 5) > 0$ है।
मूल $x = 3$ और $x = 5$ हैं। असमिका $x < 3$ या $x > 5$ के लिए सत्य है।
अतः,कथन $II$ सत्य है।

(A) दिए गए बिंदु $A(1, 3, 5)$,$B(2, 4, 6)$ और $C(4, 5, k)$ हैं।
सबसे पहले,बिंदुओं के बीच की दूरी का वर्ग ज्ञात करें:
$AB^2 = (2-1)^2 + (4-3)^2 + (6-5)^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$
$BC^2 = (4-2)^2 + (5-4)^2 + (k-6)^2 = 4 + 1 + (k-6)^2 = k^2 - 12k + 41$
$AC^2 = (4-1)^2 + (5-3)^2 + (k-5)^2 = 9 + 4 + (k-5)^2 = k^2 - 10k + 38$
स्थिति $1$: $A$ पर समकोण $(AB^2 + AC^2 = BC^2)$
$3 + k^2 - 10k + 38 = k^2 - 12k + 41$
$41 - 10k = 41 - 12k$
$2k = 0 \Rightarrow k = 0$
स्थिति $2$: $B$ पर समकोण $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$
$3 + k^2 - 12k + 41 = k^2 - 10k + 38$
$44 - 12k = 38 - 10k$
$6 = 2k \Rightarrow k = 3$
स्थिति $3$: $C$ पर समकोण $(AC^2 + BC^2 = AB^2)$
$k^2 - 10k + 38 + k^2 - 12k + 41 = 3$
$2k^2 - 22k + 76 = 0$
$k^2 - 11k + 38 = 0$
यहाँ विविक्तकर $D = (-11)^2 - 4(1)(38) = 121 - 152 = -31 < 0$ है। अतः $k$ का कोई वास्तविक मान नहीं है।
इस प्रकार,$k$ के संभावित मान $0$ और $3$ हैं। अतः संभावित मानों की कुल संख्या $2$ है।

(D) मान लीजिए चतुष्फलक के शीर्ष $A(1,2,3), B(2,-3,1), C(3,2,-1)$ और $D(a, b, c)$ हैं।
चूंकि $G\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ चतुष्फलक $ABCD$ का केंद्रक है,हमारे पास है:
$G = \frac{A+B+C+D}{4}$
$\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) = \frac{(1+2+3+a, 2-3+2+b, 3+1-1+c)}{4}$
$\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) = \frac{(6+a, 1+b, 3+c)}{4}$
$4$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(10, 6, 9) = (6+a, 1+b, 3+c)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$6+a = 10 \Rightarrow a = 4$
$1+b = 6 \Rightarrow b = 5$
$3+c = 9 \Rightarrow c = 6$
अतः,$D = (4, 5, 6)$ है।
अब,विभाजन सूत्र का उपयोग करके $GD$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु $P$ ज्ञात करते हैं:
$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$
यहाँ $m=1, n=2$,$G = \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ और $D = (4, 5, 6)$ है।
$x = \frac{1(4) + 2(5/2)}{1+2} = \frac{4+5}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{1(5) + 2(3/2)}{1+2} = \frac{5+3}{3} = \frac{8}{3}$
$z = \frac{1(6) + 2(9/4)}{1+2} = \frac{6+9/2}{3} = \frac{21/2}{3} = \frac{7}{2}$
इसलिए,अभीष्ट बिंदु $\left(3, \frac{8}{3}, \frac{7}{2}\right)$ है।

(B) गेंदों की कुल संख्या $= 4 + 5 + 6 = 15$ है।
हमें $3$ अलग-अलग रंगों की गेंदें निकालनी हैं,जिसका अर्थ है एक लाल,एक नीली और एक पीली गेंद।
$1$ लाल,$1$ नीली और $1$ पीली गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{4}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{6}{1} = 4 \times 5 \times 6 = 120$ है।
$15$ में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $\binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{120}{455} = \frac{24}{91}$ है।

(C) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
पासे पर अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5\}$ हैं। वे परिणाम जिनमें दोनों पासों पर अभाज्य संख्याएँ आती हैं,वे $\{(2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), (5,2), (5,3), (5,5)\}$ हैं। ऐसे $9$ परिणाम हैं।
पहली बार फेंकने पर दोनों पासों पर अभाज्य संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(A) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है।
पासे पर भाज्य संख्याएँ $\{4, 6\}$ हैं (ध्यान दें: $1$ न तो अभाज्य है और न ही भाज्य)। वे परिणाम जिनमें दोनों पासों पर भाज्य संख्याएँ आती हैं,वे $\{(4,4), (4,6), (6,4), (6,6)\}$ हैं। ऐसे $4$ परिणाम हैं।
दूसरी बार फेंकने पर दोनों पासों पर भाज्य संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
चूँकि दोनों फेंक स्वतंत्र हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{36}$ है।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
एक पासे पर,अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5\}$ हैं और भाज्य संख्याएँ $\{4, 6\}$ हैं। ध्यान दें कि $1$ न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।
हमें एक पासे पर अभाज्य और दूसरे पर भाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
संभावित परिणाम हैं:
$(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)$ (पहले पर अभाज्य,दूसरे पर भाज्य)
$(4, 2), (6, 2), (4, 3), (6, 3), (4, 5), (6, 5)$ (पहले पर भाज्य,दूसरे पर अभाज्य)
कुल अनुकूल परिणाम = $6 + 6 = 12$।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$।

(C) कुल गेंदें = $3 + 6 = 9$. हम $4$ गेंदें निकालते हैं। कुल तरीके = $^9C_4 = 126$.
कम से कम $2$ लाल गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता = $1 - [P(0 \text{ लाल}) + P(1 \text{ लाल})]$.
$P(0 \text{ लाल}) = 0$.
$P(1 \text{ लाल}) = \frac{^6C_1 \times ^3C_3}{126} = \frac{6}{126}$.
कम से कम $2$ लाल गेंदों की प्रायिकता = $1 - \frac{6}{126} = \frac{120}{126} = \frac{20}{21}$.

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 9 + 4 = 13$ है।
$13$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $= ^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$।
कम से कम एक सफेद गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{कोई सफेद गेंद नहीं})$ है।
यदि कोई सफेद गेंद नहीं निकाली जाती है,तो सभी $3$ गेंदें काली होनी चाहिए।
$3$ काली गेंदें निकालने के तरीके $= ^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$।
$P(\text{कोई सफेद गेंद नहीं}) = \frac{84}{286} = \frac{42}{143}$।
$P(\text{कम से कम एक सफेद गेंद}) = 1 - \frac{42}{143} = \frac{101}{143}$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $n(S) = ^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ हैं।
हमें एक राजा और एक हुकुम का पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
केवल एक ही पत्ता ऐसा है जो राजा और हुकुम दोनों है (हुकुम का राजा)।
दूसरा पत्ता शेष $51$ पत्तों में से कोई भी हो सकता है।
अनुकूल परिणाम: (हुकुम का राजा,कोई अन्य राजा) या (हुकुम का राजा,कोई अन्य हुकुम का पत्ता)।
अन्य राजाओं की संख्या = $3$। अन्य हुकुम के पत्तों की संख्या = $12$।
कुल अनुकूल परिणाम = $3 + 12 = 15$।
प्रायिकता = $\frac{15}{1326} = \frac{5}{442}$।

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $x^2 + y^2 \leq 25$ हो,जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
प्रत्येक $x$ के मान के लिए अनुकूल परिणामों की सूची इस प्रकार है:
यदि $x = 1$,तो $1^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 24$. $y$ के संभावित मान $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं ($4$ परिणाम)।
यदि $x = 2$,तो $2^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 21$. $y$ के संभावित मान $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं ($4$ परिणाम)।
यदि $x = 3$,तो $3^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 16$. $y$ के संभावित मान $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं ($4$ परिणाम)।
यदि $x = 4$,तो $4^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 9$. $y$ के संभावित मान $\{1, 2, 3\}$ हैं ($3$ परिणाम)।
यदि $x = 5$,तो $5^2 + y^2 \leq 25 \implies y^2 \leq 0$. $y$ का कोई संभावित मान नहीं है क्योंकि $y \geq 1$ है।
यदि $x = 6$,तो $6^2 + y^2 \leq 25$. $y$ का कोई संभावित मान नहीं है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 4 + 4 + 4 + 3 = 15$ हैं।
प्रायिकता $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) माना $P(A)$ पहले व्यक्ति द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता है और $P(B)$ दूसरे व्यक्ति द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता है।
दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P(B) = \frac{1}{5}$।
लक्ष्य तब भेद दिया जाता है यदि उनमें से कम से कम एक व्यक्ति लक्ष्य को भेद दे।
उस प्रायिकता की गणना करना आसान है कि लक्ष्य बिल्कुल भी न भेदा जाए।
पहले व्यक्ति द्वारा लक्ष्य चूकने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
दूसरे व्यक्ति द्वारा लक्ष्य चूकने की प्रायिकता $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
चूंकि वे स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं,इसलिए दोनों के लक्ष्य चूकने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$ है।
अतः,लक्ष्य के भेदने की प्रायिकता $1 - P(A' \cap B') = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ हैं।
प्रत्येक सूट में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7$ हैं (कुल $16$ पत्ते)।
प्रत्येक सूट में $5$ के गुणज $5$ और $10$ हैं (कुल $8$ पत्ते)।
यहाँ $5$ अभाज्य और $5$ का गुणज दोनों है।
अनुकूल परिणाम = $(16 \times 8) - 4 = 128 - 4 = 124$।
प्रायिकता = $\frac{124}{1326} = \frac{62}{663}$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।