વિધાન I: Y-અક્ષ પર કેન્દ્ર અને k જેટલી નિશ્ચિ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) વિધાન $I$: $(0, \alpha)$ કેન્દ્ર અને $k$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + (y - \alpha)^2 = k^2$ ... $(i)$ છે.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $I$ અને વિધાન $II$ બંને સાચા છે

Vedclass · Answer

(C) વિધાન $I$: $(0, \alpha)$ કેન્દ્ર અને $k$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + (y - \alpha)^2 = k^2$ ... $(i)$ છે.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2(y - \alpha)\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow y - \alpha = -x\frac{dx}{dy}$.તેથી,$\alpha = y + x\frac{dx}{dy}$.$(i)$ માં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $x^2 + (-x\frac{dx}{dy})^2 = k^2 \Rightarrow x^2 + x^2(\frac{dx}{dy})^2 = k^2$.$x^2(1 + (\frac{dx}{dy})^2) = k^2 \Rightarrow x^2(1 + \frac{1}{(dy/dx)^2}) = k^2 \Rightarrow x^2(\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2}) = k^2$.$x^2(dy/dx)^2 + x^2 = k^2(dy/dx)^2 \Rightarrow (x^2 - k^2)(dy/dx)^2 + x^2 = 0$. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.વિધાન $II$: વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $X$-અક્ષ પર છે,તેથી કેન્દ્ર $(\alpha, 0)$ અને ત્રિજ્યા $|\alpha|$ છે.સમીકરણ $(x - \alpha)^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 - 2x\alpha + \alpha^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 2x\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{x^2 + y^2}{2x}$ છે.$x^2 + y^2 = 2x\alpha$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 2\alpha$.$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $x + y\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2x} \Rightarrow 2x^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$. આમ,વિધાન $II$ પણ સાચું છે.

Similar Questions

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y=ae^{x}+be^{-x}+x^{2}$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{d^{2} y}{dx^{2}}+2 \frac{dy}{dx}-xy+x^{2}-2=0$ નો ઉકેલ છે.

$y=A e^x+B e^{2 x}+C e^{3 x}$ એ કયા વિકલ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે?

જો $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ હોય,તો:

જેના અક્ષો $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય તેવા તમામ પરવલયોનું વિકલ સમીકરણ શું છે?

બિંદુ $(1, -1)$ માંથી પસાર થતી તમામ સીધી રેખાઓનું વિકલ સમીકરણ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module