પરવલય y^2=6ax દ્વારા વર્તુળ x^2+y^2=16a^2 ના | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) છેદબિંદુ માટે,$y^2=6ax$ ને $x^2+y^2=16a^2$ માં મૂકતા: $x^2+6ax-16a^2=0$ $(x+8a)(x-2a)=0$ પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,$x=2a$ મળે. નાના પ્રદેશનું ક્

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4a^2}{3}(8\pi-\sqrt{3})$

Vedclass · Answer

(A) છેદબિંદુ માટે,$y^2=6ax$ ને $x^2+y^2=16a^2$ માં મૂકતા: $x^2+6ax-16a^2=0$ $(x+8a)(x-2a)=0$ પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,$x=2a$ મળે. નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 2 \left[ \int_0^{2a} \sqrt{6ax} \, dx + \int_{2a}^{4a} \sqrt{16a^2-x^2} \, dx \right]$ છે. સંકલન ગણતા: $2 \int_0^{2a} \sqrt{6a} \sqrt{x} \, dx = 2 \sqrt{6a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^{2a} = 2 \sqrt{6a} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2a \sqrt{2a} = \frac{8a^2 \sqrt{12}}{3} = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3}$. $2 \int_{2a}^{4a} \sqrt{(4a)^2-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16a^2-x^2} + \frac{16a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{4a} \right) \right]_{2a}^{4a}$ $= 2 \left[ (0 + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (a \sqrt{12a^2} + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right] = 2 \left[ 4\pi a^2 - 2a^2 \sqrt{3} - \frac{4\pi a^2}{3} \right] = 2 \left[ \frac{8\pi a^2}{3} - 2a^2 \sqrt{3} \right] = \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3}$. કુલ નાનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3} = \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(4\pi + \sqrt{3})$. મોટું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી નાનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે: $A_2 = \pi(4a)^2 - A_1 = 16\pi a^2 - \left( \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} \right) = \frac{32\pi a^2}{3} - \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(8\pi - \sqrt{3})$ ચોરસ એકમ.

Similar Questions

પરવલયો $y=4x^{2}$,$y=\frac{x^{2}}{9}$ અને રેખા $y=2$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

પરવલય $y^2 = 4x$ અને રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

પ્રદેશ $\{(x, y): x^2 \leq y \leq |x^2-4|, y \geq 1\}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

પ્રદેશ $\{(x, y): |x-1| \leq y \leq \sqrt{5-x^{2}}\}$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલયો $x^{2} + 2y^{2} = a^{2}$ અને $2x^{2} + y^{2} = a^{2}$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module