ધારો કે $A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -3 & 7 & -6 \end{bmatrix}$ અને $B=[b_{ij}]_{3 \times 3}$ જ્યાં $b_{11}=2, b_{13}=-2, b_{12}=0$ છે,જેથી $AB=\begin{bmatrix} 2 & 14 & -4 \\ 4 & 1 & -8 \\ -6 & 15 & 12 \end{bmatrix}$ થાય. તો $|B|+\operatorname{trace}(B)=$

જો $A=\begin{bmatrix} x & y & y \\ y & x & y \\ y & y & x \end{bmatrix}$ એક એવો શ્રેણિક હોય કે જેથી $5 A^{-1}=\begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ થાય,તો $A^2-4 A=$

$\theta \in (0, 4\pi)$ ની એવી કેટલી કિંમતો છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $3(\sin 3\theta)x - y + z = 2$,$3(\cos 2\theta)x + 4y + 3z = 3$,અને $6x + 7y + 7z = 9$ ને કોઈ ઉકેલ નથી?

જો સમીકરણોની સંહતિ $2x + py + 6z = 8$,$x + 2y + qz = 5$ અને $x + y + 3z = 4$ ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $p=$

ધારો કે $M = (a_{ij})$,$i, j \in \{1, 2, 3\}$,એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં જો $j+1$ એ $i$ વડે વિભાજ્ય હોય તો $a_{ij} = 1$,અન્યથા $a_{ij} = 0$. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું છે?
$(A)$ $M$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે
$(B)$ એવો શૂન્યતર સ્તંભ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $M \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \end{bmatrix}$
$(C)$ ગણ $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ ખાલી નથી,જ્યાં $0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$(D)$ શ્રેણિક $(M - 2I)$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે

ધારો કે $x = \alpha, y = \beta, z = \gamma$ એ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $2x + 3y - 2z + 4 = 0$,$3x - 4y + 3z + 5 = 0$,અને $kx - 2y + z + 3 = 0$ નો અનન્ય ઉકેલ છે. જો $\alpha = -2$ હોય,તો $k =$