TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) રેખાઓના સમીકરણો $L_1: x+y-1=0$ અને $L_2: x-y+1=0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને છેદબિંદુ $R(0,1)$ મળે છે.
ધારો કે $P$ એ બિંદુ $(1,1)$ છે.
$P(1,1)$ થી $L_1$ પરના લંબની લંબાઈ $PS = \frac{|1+1-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$P(1,1)$ થી $L_2$ પરના લંબની લંબાઈ $PQ = \frac{|1-1+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
અહીં $PS = PQ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે,અને ત્રિકોણ $\triangle PSR$ અને $\triangle PQR$ એ અનુક્રમે $S$ અને $Q$ આગળ કાટકોણ ધરાવે છે,તેથી તેઓ એકરૂપ છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle PSR$ અને $\triangle PQR$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $= PQ \times PS = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ ચોરસ એકમ.

(C) $a \alpha^2+b \beta^2+c \alpha \beta+d=0$ એ $4 x^2+\sqrt{3} x y+5 y^2-4=0$ નું રૂપાંતરિત સમીકરણ છે.
આપેલ રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{y}{2}$ અને $\beta=-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} y$.
$\alpha$ અને $\beta$ ના સંદર્ભમાં $x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$x=\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta$ અને $y=\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta$.
$4 x^2+\sqrt{3} x y+5 y^2-4=0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$4(\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta)^2+\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta)(\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta)+5(\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta)^2-4=0$.
વિસ્તરણ અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$5 \alpha^2+4 \beta^2+\sqrt{3} \alpha \beta-4=0$.
આને $a \alpha^2+b \beta^2+c \alpha \beta+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=5, b=4, c=\sqrt{3}, d=-4$ મળે છે.
તેથી,$c(a+b+d)=\sqrt{3}(5+4-4)=5 \sqrt{3}$.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $x + 2y + 1 = 0$.
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં ફેરવતા:
$2y = -x - 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.
તેથી,$m = -\frac{1}{2}$ અને $c = -\frac{1}{2}$.
અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ માં ફેરવતા:
$x + 2y = -1$ ને $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{5}}x + \frac{2}{\sqrt{5}}y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ મળે.
અભિલંબ સ્વરૂપમાં $p > 0$ હોવું જરૂરી હોવાથી,$-1$ વડે ગુણતા: $-\frac{1}{\sqrt{5}}x - \frac{2}{\sqrt{5}}y = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ અને $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-2/\sqrt{5}}{-1/\sqrt{5}} = 2$.
હવે,$\tan^{-1}(\tan \theta + m + c) = \tan^{-1}(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ છે $A=(-5,-4)$ અને રેખા $L$ નો ઢાળ $\tan \theta$ છે. રેખાનું પ્રાચલ સ્વરૂપ $x = -5 + r \cos \theta$ અને $y = -4 + r \sin \theta$ છે.
બિંદુ $B$ એ $x+3y+2=0$ પર આવેલું છે,તેથી $(-5+r_1 \cos \theta) + 3(-4+r_1 \sin \theta) + 2 = 0$.
$-5 + r_1 \cos \theta - 12 + 3r_1 \sin \theta + 2 = 0 \implies r_1(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15 \implies AB = r_1 = \frac{15}{\cos \theta + 3 \sin \theta}$.
બિંદુ $C$ એ $2x+y+4=0$ પર આવેલું છે,તેથી $2(-5+r_2 \cos \theta) + (-4+r_2 \sin \theta) + 4 = 0$.
$-10 + 2r_2 \cos \theta - 4 + r_2 \sin \theta + 4 = 0 \implies r_2(2 \cos \theta + \sin \theta) = 10 \implies AC = r_2 = \frac{10}{2 \cos \theta + \sin \theta}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{100}{AC^2} - \frac{225}{AB^2} = 4 \cos 2\theta + \sin 2\theta$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(2 \cos \theta + \sin \theta)^2 - (\cos \theta + 3 \sin \theta)^2 = 4 \cos 2\theta + \sin 2\theta$.
$(4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta) - (\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 6 \sin \theta \cos \theta) = 4(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + 2 \sin \theta \cos \theta$.
$3 \cos^2 \theta - 8 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = 4 \cos^2 \theta - 4 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta$.
$4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 0$.
$(2 \sin \theta + \cos \theta)^2 = 0 \implies 2 \sin \theta = -\cos \theta \implies \tan \theta = -\frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
બિંદુ $P(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y-2 = m(x-1)$ છે,જે $mx - y + (2-m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા અને $x+y=4$ નું છેદબિંદુ શોધતા:
$x + (mx + 2 - m) = 4$ $\Rightarrow x(1+m) = m+2$ $\Rightarrow x = \frac{m+2}{m+1}$.
તેથી $y = 4 - x = \frac{3m+2}{m+1}$.
બિંદુ $P(1, 2)$ અને છેદબિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\sqrt{6}}{3}$ આપેલ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(\frac{m+2}{m+1} - 1)^2 + (\frac{3m+2}{m+1} - 2)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
$\frac{\sqrt{1+m^2}}{|m+1|} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow \frac{1+m^2}{(m+1)^2} = \frac{2}{3}$.
$3+3m^2 = 2m^2+4m+2 \Rightarrow m^2-4m+1 = 0$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = 2 \pm \sqrt{3}$.
$m = 2+\sqrt{3} = \tan(\frac{5\pi}{12})$ અને $m = 2-\sqrt{3} = \tan(\frac{\pi}{12})$.
તેથી ખૂણાઓ $\frac{\pi}{12}$ અને $\frac{5\pi}{12}$ છે.

(A) આપેલ રેખા $x+y-3=0$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે. ધારો કે માંગેલ રેખાનો ઢાળ $m$ છે. બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $\frac{m+1}{1-m} = \sqrt{3}$ અથવા $\frac{m+1}{1-m} = -\sqrt{3}$.
કિસ્સો $1$: $m+1 = \sqrt{3} - \sqrt{3}m$ $\Rightarrow m(1+\sqrt{3}) = \sqrt{3}-1$ $\Rightarrow m = 2-\sqrt{3}$.
રેખાનું સમીકરણ $y-1 = (2-\sqrt{3})(x-1)$ છે.
કિસ્સો $2$: $m+1 = -\sqrt{3} + \sqrt{3}m$ $\Rightarrow m(1-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}-1$ $\Rightarrow m = 2+\sqrt{3}$.
રેખાનું સમીકરણ $y-1 = (2+\sqrt{3})(x-1)$ છે,જે વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(B) આપેલ છે કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{-2-1}{3-2} = -3 = m_1$.
$AB \perp BC$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{1}{3}$ થાય.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{b - (-2)}{a - 3} = \frac{b+2}{a-3} = \frac{1}{3}$.
$3(b+2) = a-3$ $\Rightarrow 3b + 6 = a - 3$ $\Rightarrow a - 3b = 9$ ... $(i)$.
$CD \parallel AB$ હોવાથી,$CD$ નો ઢાળ $m_3 = m_1 = -3$ થાય.
બિંદુઓ $C(a, b)$ અને $P(3, 4)$ એ રેખા $CD$ પર આવેલા છે.
$CP$ નો ઢાળ $= \frac{4-b}{3-a} = -3$.
$4-b = -3(3-a)$ $\Rightarrow 4-b = -9 + 3a$ $\Rightarrow 3a + b = 13$ ... $(ii)$.
$(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $9a + 3b = 39$ ... $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $(a - 3b) + (9a + 3b) = 9 + 39$ $\Rightarrow 10a = 48$ $\Rightarrow a = 4.8 = \frac{24}{5}$.
$a = 4.8$ ની કિંમત $(ii)$ માં મુકતા: $3(4.8) + b = 13$ $\Rightarrow 14.4 + b = 13$ $\Rightarrow b = -1.4 = -\frac{7}{5}$.
હવે,$5a + 10b = 5(\frac{24}{5}) + 10(-\frac{7}{5}) = 24 - 14 = 10$.

(D) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ છે. રેખાઓ $AB: 3x + y - 4 = 0$,$BC: x - ay - 10 = 0$,અને $CD: bx + 2y + 9 = 0$ છે.
$AB \parallel CD$ હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ. $AB$ નો ઢાળ $-3$ છે. $CD$ નો ઢાળ $-\frac{b}{2}$ છે. તેથી,$-\frac{b}{2} = -3 \Rightarrow b = 6$.
$AB \perp BC$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય. $BC$ નો ઢાળ $\frac{1}{a}$ છે. તેથી,$(-3) \times (\frac{1}{a}) = -1 \Rightarrow a = 3$.
હવે,$AB: 3x + y - 4 = 0$ અને $CD: 6x + 2y + 9 = 0$,જેને $3x + y + \frac{9}{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર $BC = \frac{|-4 - 9/2|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{17/2}{\sqrt{10}} = \frac{17}{2\sqrt{10}}$ છે.
રેખા $BC$ એ $x - 3y - 10 = 0$ છે. બાજુ $CD$ એ $AB$ ને સમાંતર રેખા છે અને $AD$ એ $BC$ ને સમાંતર રેખા છે. અંતર $CD$ એ સમાંતર રેખાઓ $AD$ અને $BC$ વચ્ચેનું અંતર છે. $AD$ એ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,અંતર $CD$ એ $(1, 2)$ થી રેખા $BC: x - 3y - 10 = 0$ નું લંબ અંતર છે.
$CD = \frac{|1 - 3(2) - 10|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|1 - 6 - 10|}{\sqrt{10}} = \frac{15}{\sqrt{10}}$.
લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= BC \times CD = \frac{17}{2\sqrt{10}} \times \frac{15}{\sqrt{10}} = \frac{17 \times 15}{2 \times 10} = \frac{255}{20} = \frac{51}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $x^2-3|x|+2=0$ અને $y^2-3y+2=0$ છે.
$x^2-3|x|+2=0$ ઉકેલતા: $(|x|-2)(|x|-1)=0$,તેથી $|x|=2$ અથવા $|x|=1$,જે $x=\pm 2, \pm 1$ આપે છે.
$y^2-3y+2=0$ ઉકેલતા: $(y-2)(y-1)=0$,તેથી $y=2, 1$.
આ રેખાઓ શિરોબિંદુઓ સાથે બે ચોરસ બનાવે છે:
ચોરસ $1$: $A(-1, 1), B(-1, 2), C(-2, 2), D(-2, 1)$.
ચોરસ $2$: $A'(2, 1), B'(2, 2), C'(1, 2), D'(1, 1)$.
આ ચોરસના વિકર્ણો $x+y=k$ અને $x-y=k$ જેવી રેખાઓ છે.
આ વિકર્ણો દ્વારા રચાયેલા ચોરસ $ABCD$ માટે,બાજુઓ અક્ષોને સમાંતર અથવા $45^\circ$ પર છે.
વિકલ્પો તપાસતા,સમીકરણો $x+y=3$ અને $x-y=-3$ એવી રેખાઓ દર્શાવે છે જે આવા ચોરસની બાજુઓ બનાવી શકે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4x + 3y + 2 = 0$ અથવા $4x + 3y = -2$.
અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ માં ફેરવવા માટે,$\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ વડે ભાગતા.
$p$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $-5$ વડે ભાગતા: $\frac{-4}{5}x - \frac{3}{5}y = \frac{2}{5}$.
આમ,$\cos \alpha = \frac{-4}{5}$,$\sin \alpha = \frac{-3}{5}$,અને $p = \frac{2}{5}$.
અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માટે,$4x + 3y = -2$ ને $\frac{x}{-2/4} + \frac{y}{-2/3} = 1$ તરીકે લખતા.
તેથી,$a = \frac{-1}{2}$ અને $b = \frac{-2}{3}$.
હવે,$\frac{p \sec \alpha}{ab} = \frac{p}{ab \cos \alpha} = \frac{2/5}{(-1/2 \times -2/3) \times (-4/5)} = \frac{2/5}{(1/3) \times (-4/5)} = \frac{2/5}{-4/15} = \frac{2}{5} \times \frac{-15}{4} = \frac{-3}{2}$.

(A) $A(3,4)$ માંથી પસાર થતી અને $1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L_1$ નું સમીકરણ:
$y - 4 = 1(x - 3) \implies x - y + 1 = 0$.
ધારો કે $AC$ નો ઢાળ $m$ છે. રેખા $BC$ નું સમીકરણ $2x - y + 4 = 0$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_{BC} = 2$ છે.
$AB = AC$ હોવાથી,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,પાયાના ખૂણા સમાન છે: $\angle B = \angle C$.
$AC$ (ઢાળ $m$) અને $BC$ (ઢાળ $2$) વચ્ચેનો ખૂણો એ $AB$ (ઢાળ $1$) અને $BC$ (ઢાળ $2$) વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ છે.
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right| = \left| \frac{1 - 2}{1 + (1)(2)} \right| = \frac{1}{3}$.
આના બે કિસ્સા મળે છે:
$1) \frac{m - 2}{1 + 2m} = \frac{1}{3} \implies m = 7$.
$2) \frac{m - 2}{1 + 2m} = -\frac{1}{3} \implies m = 1$.
$m = 1$ એ રેખા $L_1$ $(AB)$ દર્શાવે છે,તેથી $AC$ નો ઢાળ $m = 7$ છે.
$A(3,4)$ માંથી પસાર થતી અને $7$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ:
$y - 4 = 7(x - 3) \implies 7x - y - 17 = 0$.

(A) રેખાઓ $px + qy + r = 0$,$x \sin \alpha + y \cos \alpha = r$,અને $x \cos \alpha - y \sin \alpha = 0$ બિંદુ $A$ પર સંગામી છે.
સંગામી હોવાની શરત મુજબ નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} p & q & r \\ \sin \alpha & \cos \alpha & -r \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $p(0 - r \sin \alpha) - q(0 + r \cos \alpha) + r(-\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 0$
$-pr \sin \alpha - qr \cos \alpha - r = 0$
$r \neq 0$ હોવાથી,$-r$ વડે ભાગતા: $p \sin \alpha + q \cos \alpha + 1 = 0 \Rightarrow p \sin \alpha + q \cos \alpha = -1$ (સમીકરણ $1$).
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\pi / 3$ છે.
ઢાળ $m_1 = -p/q$ અને $m_2 = -\tan \alpha$ છે.
$\tan(\pi / 3) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \left| \frac{-p \cos \alpha + q \sin \alpha}{q \cos \alpha + p \sin \alpha} \right|$.
સમીકરણ $1$ નો ઉપયોગ કરતા,$q \cos \alpha + p \sin \alpha = -1$.
તેથી,$| q \sin \alpha - p \cos \alpha | = \sqrt{3}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$p^2 + q^2 = 1 + 3 = 4$.

(D) રેખાઓ $L_1: x-y-7=0$ અને $L_2: x+y-5=0$ નું છેદબિંદુ $P(6, -1)$ છે.
રેખા $L_1$ પરના બિંદુ $A(x_1, y_1)$ માટે $PA=3\sqrt{2}$ લેતા,સંમિત સ્વરૂપ મુજબ $A = (9, 2)$ મળે છે.
રેખા $L_2$ પરના બિંદુ $B(x_2, y_2)$ માટે $PB=\sqrt{2}$ લેતા,સંમિત સ્વરૂપ મુજબ $B = (5, 0)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ સાથેના સદિશો $\vec{OA} = (9, 2)$ અને $\vec{OB} = (5, 0)$ છે.
ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}| |\vec{OB}|} = \frac{45}{\sqrt{85} \cdot 5} = \frac{9}{\sqrt{85}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{9}{\sqrt{85}}\right)$.

(C) બિંદુ $P(3,4)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta = \frac{\pi}{6}$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ પ્રાચલ સ્વરૂપમાં: $\frac{x-3}{\cos(\pi/6)} = \frac{y-4}{\sin(\pi/6)} = r$ છે.
$\cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(\pi/6) = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે: $\frac{x-3}{\sqrt{3}/2} = \frac{y-4}{1/2} = r$.
આમ,આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}, 4 + \frac{r}{2})$ છે.
$Q$ એ રેખા $12x + 5y + 10 = 0$ પર હોવાથી,આપણે $Q$ ના યામ આ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$12(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$.
$36 + 6\sqrt{3}r + 20 + 2.5r + 10 = 0$.
$66 + (6\sqrt{3} + 2.5)r = 0$.
$66 + (\frac{12\sqrt{3} + 5}{2})r = 0$.
$r = -\frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$.
$PQ$ ની લંબાઈ $|r| = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$ છે.

(B) શિરોબિંદુઓ $O(0,0), A(-3,-1)$ અને $B(-1,-3)$ છે.
$OB$ નો ઢાળ = $\frac{-3-0}{-1-0} = 3$.
રેખા $OB$ નું સમીકરણ $y = 3x$ અથવા $3x - y = 0$ છે.
$AD \perp OB$ હોવાથી,$AD$ નો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ છે.
$A(-3,-1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AD$ નું સમીકરણ $y + 1 = -\frac{1}{3}(x + 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 3y + 6 = 0$ થાય છે.
$OB$ $(y=3x)$ અને $AD$ $(x+3y+6=0)$ નું છેદબિંદુ $D$ શોધવા માટે:
$x + 3(3x) + 6 = 0$ $\Rightarrow 10x = -6$ $\Rightarrow x = -\frac{3}{5}$.
$y = 3(-\frac{3}{5}) = -\frac{9}{5}$. તેથી,$D = (-\frac{3}{5}, -\frac{9}{5})$.
બિંદુ $P$ એ $AD$ નું $3:4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{3(-\frac{3}{5}) + 4(-3)}{3+4}, \frac{3(-\frac{9}{5}) + 4(-1)}{3+4} \right) = \left( \frac{-\frac{9}{5} - 12}{7}, \frac{-\frac{27}{5} - 4}{7} \right) = \left( \frac{-69}{35}, \frac{-47}{35} \right)$.
રેખા $L$ એ $OB$ $(y=3x)$ ને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = 3x + k$ છે.
રેખા $L$ એ $P(-\frac{69}{35}, -\frac{47}{35})$ માંથી પસાર થાય છે:
$-\frac{47}{35} = 3(-\frac{69}{35}) + k \Rightarrow k = \frac{-47 + 207}{35} = \frac{160}{35} = \frac{32}{7}$.
સમીકરણ $L: y = 3x + \frac{32}{7}$ $\Rightarrow 7y = 21x + 32$ $\Rightarrow 21x - 7y + 32 = 0$.

(C) બિંદુ $(4,1)$ નીચે મુજબના રૂપાંતરણોમાંથી પસાર થાય છે:
$(i)$ રેખા $x-y=0$ માં પરાવર્તન: રેખા $y=x$ (અથવા $x-y=0$) માં બિંદુ $(x,y)$ નું પરાવર્તન $(y,x)$ થાય છે. તેથી,બિંદુ $(4,1)$ એ $(1,4)$ બને છે.
(ii) ધન $X$-અક્ષની દિશામાં $2$ એકમનું સ્થાનાંતર: $x$-યામમાં $2$ ઉમેરતા,આપણને $(1+2, 4) = (3,4)$ મળે છે.
(iii) $X$-અક્ષ પર પ્રક્ષેપ: $X$-અક્ષ પર બિંદુ $(x,y)$ નો પ્રક્ષેપ $(x,0)$ થાય છે. તેથી,બિંદુ $(3,4)$ એ $(3,0)$ બને છે.
તેથી,અંતિમ યામ $(3,0)$ છે.

(D) $x+2y-19=0$ અને $x-2y-3=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિનું સમીકરણ $(x+2y-19) + \lambda(x-2y-3) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $(1+\lambda)x + (2-2\lambda)y - (19+3\lambda) = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(-2,4)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $5$ એકમ છે.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$5 = \frac{|(1+\lambda)(-2) + (2-2\lambda)(4) - (19+3\lambda)|}{\sqrt{(1+\lambda)^2 + (2-2\lambda)^2}}$.
$5 = \frac{|-13\lambda - 13|}{\sqrt{5\lambda^2-6\lambda+5}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25(5\lambda^2-6\lambda+5) = (-13\lambda-13)^2$.
$125\lambda^2 - 150\lambda + 125 = 169\lambda^2 + 338\lambda + 169$.
$44\lambda^2 + 488\lambda + 44 = 0 \Rightarrow 11\lambda^2 + 122\lambda + 11 = 0$.
$(11\lambda+1)(\lambda+11) = 0$,તેથી $\lambda = -1/11$ અથવા $\lambda = -11$.
$\lambda = -1/11$ માટે: $5x+12y-103=0$. અહીં $b=12, c=-103$,તેથી $5+b+c = -86$.
$\lambda = -11$ માટે: $5x-12y-7=0$. અહીં $b=-12, c=-7$,તેથી $5+b+c = -14$.

(B) આપેલ રેખાઓ $3x - 4y + 4 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$ છે.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $3x - 4y - 3.5 = 0$.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ $(d)$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
અહીં,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$.
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(3, -1)$ છે અને રેખા $L: 2x + y - 1 = 0$ છે. રેખા $L$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P$ નું પ્રતિબિંબ $P'(x', y')$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{x' - 3}{2} = \frac{y' - (-1)}{1} = -2 \frac{2(3) + 1(-1) - 1}{2^2 + 1^2}$
$\frac{x' - 3}{2} = \frac{y' + 1}{1} = -2 \frac{4}{5} = -\frac{8}{5}$
તેથી,$x' = 3 - \frac{16}{5} = -\frac{1}{5}$
અને $y' = -1 - \frac{8}{5} = -\frac{13}{5}$
પ્રતિબિંબ $P'(-\frac{1}{5}, -\frac{13}{5})$ છે.
$A(2, 1)$ અને $P'(-\frac{1}{5}, -\frac{13}{5})$ વચ્ચેનું અંતર:
$D = \sqrt{(\frac{11}{5})^2 + (\frac{18}{5})^2} = \sqrt{\frac{121 + 324}{25}} = \sqrt{\frac{445}{25}} = \sqrt{\frac{89}{5}}$

(B) ધારો કે $L_1(x, y) = x+2y-5$ અને $L_2(x, y) = 3x-y+1$. ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માટે $L_1(0,0) = -5 < 0$ અને $L_2(0,0) = 1 > 0$ મળે છે.
બિંદુ $P(K^2, K+1)$ ઉગમબિંદુની જેમ સમાન પ્રદેશમાં રહે તે માટે,તેણે $L_1(K^2, K+1) < 0$ અને $L_2(K^2, K+1) > 0$ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ.
$1$) $L_1(K^2, K+1) = K^2 + 2(K+1) - 5 = K^2 + 2K - 3 < 0$.
$(K+3)(K-1) < 0 \implies K \in (-3, 1)$.
$2$) $L_2(K^2, K+1) = 3K^2 - (K+1) + 1 = 3K^2 - K > 0$.
$K(3K-1) > 0 \implies K \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$.
બંને શરતોનો છેદ લેતા: $K \in (-3, 0) \cup (1/3, 1)$.
$K$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$K$ ની શક્ય કિંમતો $\{-2, -1\}$ છે.
આમ,આવા $2$ બિંદુઓ $P$ શક્ય છે.

(D) આપેલ રેખાઓના કુળનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
શરત $2a + 3b = 4c$ પરથી,આપણે તેને $a(\frac{1}{2}) + b(\frac{3}{4}) + c = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
આને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,સંગામી બિંદુ $P$ એ $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ મળે છે.
$P(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ માંથી રેખા $x + y + 1 = 0$ પરના લંબપાદ $(h, k)$ માટે:
$\frac{h - 1/2}{1} = \frac{k - 3/4}{1} = -\frac{1/2 + 3/4 + 1}{1^2 + 1^2} = -\frac{9/4}{2} = -\frac{9}{8}$.
$h = \frac{1}{2} - \frac{9}{8} = -\frac{5}{8}$ અને $k = \frac{3}{4} - \frac{9}{8} = -\frac{3}{8}$.
તેથી,લંબપાદ $(-\frac{5}{8}, -\frac{3}{8})$ છે.

(A) આપેલ છે કે રેખાઓ $x+3y-9=0$,$4x+5y-1=0$,અને $px+qy+10=0$ સંગામી છે,તેથી તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -9 \\ 4 & 5 & -1 \\ p & q & 10 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(50 + q) - 3(40 + p) - 9(4q - 5p) = 0$
$50 + q - 120 - 3p - 36q + 45p = 0$
$42p - 35q - 70 = 0$
$7$ વડે ભાગતા:
$6p - 5q - 10 = 0$
$\Rightarrow 6p - 5q = 10$
રેખા $5x + 6y + 10 = 0$ બિંદુ $(q, -p)$ માંથી પસાર થાય છે જો $5(q) + 6(-p) + 10 = 0$ થાય,જે $5q - 6p + 10 = 0$ અથવા $6p - 5q = 10$ માં પરિણમે છે.
આ આપણી મેળવેલી શરત સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,રેખા $(q, -p)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ એ બે સમાન બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકને લંબ હોય છે.
આપેલ રેખાઓ $7x-y+3=0$ અને $x+y-3=0$ છે.
તેમના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{7x-y+3}{\sqrt{50}} = \pm \frac{x+y-3}{\sqrt{2}}$ છે.
આને ઉકેલતા $x-3y+9=0$ અને $3x+y-3=0$ મળે છે.
ત્રીજી બાજુ આ દ્વિભાજકોને લંબ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $3x+y+k=0$ અથવા $x-3y+k=0$ સ્વરૂપમાં હશે.
બિંદુ $(2,-5)$ માંથી પસાર થતી રેખા માટે,$x-3y=17$ મળે છે.

(B) ધારો કે $R(h, k)$ એ $OM$ નું મધ્યબિંદુ છે. ધારો કે $M$ ના યામ $(\alpha, \beta)$ છે.
$R$ એ $OM$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\left(\frac{0+\alpha}{2}, \frac{0+\beta}{2}\right) = (h, k)$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2h$ અને $\beta = 2k$.
આમ,$M$ ના યામ $(2h, 2k)$ છે.
$OM$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2k-0}{2h-0} = \frac{k}{h}$ છે.
રેખા $MQ$ (જે રેખા $L$ છે) નો ઢાળ $m_2 = \frac{2k-b}{2h-a}$ છે.
$OM \perp MQ$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\frac{k}{h} \times \frac{2k-b}{2h-a} = -1$
$k(2k-b) = -h(2h-a)$
$2k^2 - bk = -2h^2 + ah$
$2h^2 + 2k^2 - ah - bk = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $2x^2 + 2y^2 - ax - by = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે આપેલી રેખાઓ $L_1: 3x + 4y - 5 = 0$ અને $L_2: 4x - 3y - 15 = 0$ છે. તેમના ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ અને $m_2 = \frac{4}{3}$ છે.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
ધારો કે $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ છે. તેનું સમીકરણ $y - 2 = m(x - 1)$ અથવા $mx - y + (2 - m) = 0$ છે.
$AB = AC$ હોવાથી,રેખા $BC$ એ $L_1$ અને $L_2$ સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવી જોઈએ. $L_1 \perp L_2$ હોવાથી,રેખા $BC$ બંને રેખાઓ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવશે.
ઢાળ $m$ વાળી રેખા અને $L_1$ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan 45^\circ = |\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}| = 1$ દ્વારા મળે છે.
$|\frac{4m + 3}{4 - 3m}| = 1$.
કિસ્સો $1$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = 1$ $\Rightarrow 4m + 3 = 4 - 3m$ $\Rightarrow 7m = 1$ $\Rightarrow m = \frac{1}{7}$.
સમીકરણ $y - 2 = \frac{1}{7}(x - 1)$ $\Rightarrow 7y - 14 = x - 1$ $\Rightarrow x - 7y + 13 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = -1$ $\Rightarrow 4m + 3 = -4 + 3m$ $\Rightarrow m = -7$.
સમીકરણ $y - 2 = -7(x - 1)$ $\Rightarrow y - 2 = -7x + 7$ $\Rightarrow 7x + y = 9$ છે.
આમ,રેખાઓ $7x + y = 9$ અને $x - 7y + 13 = 0$ છે.

(B) આપેલ રેખા $L$ નું સમીકરણ $x-y=0$ છે.
ચલ બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ થી રેખા $x-y=0$ સુધીનું અંતર $b = \left|\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}}\right|$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = \frac{(\alpha-\beta)^2}{2}$,અથવા $(\alpha-\beta)^2 = 2b^2$ $\ldots(i)$.
$P(\alpha, \beta)$ અને $A(2,1)$ વચ્ચેનું અંતર $a^2 = (\alpha-2)^2 + (\beta-1)^2$ $\ldots(ii)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $A(2,1)$ નું અંતર $c = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$ છે,તેથી $c^2 = 5$.
આપેલ શરત $a = bc$ મુજબ,$a^2 = b^2c^2 = 5b^2$ $\ldots(iii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને $(iii)$ માં મૂકતા,$(\alpha-2)^2 + (\beta-1)^2 = 5 \times \frac{(\alpha-\beta)^2}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,$2(\alpha^2 - 4\alpha + 4 + \beta^2 - 2\beta + 1) = 5(\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta)$.
$2\alpha^2 - 8\alpha + 8 + 2\beta^2 - 4\beta + 2 = 5\alpha^2 + 5\beta^2 - 10\alpha\beta$.
પદોને ગોઠવતા,$3\alpha^2 + 3\beta^2 - 10\alpha\beta + 8\alpha + 4\beta - 10 = 0$.
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ સાથે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $3x^2 + 3y^2 - 10xy + 8x + 4y - 10 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ એવું છે કે બે બિંદુઓ $A(1, 2)$ અને $B(2, 1)$ માટે $PA+PB=3$ થાય છે.
$\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} + \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $32x^2+8xy+32y^2-108x-108y+135=0$ મળે છે. વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $C$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(C) ધારો કે રેખાના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $1/a$ છે,જ્યાં $a \neq 0$.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{1/a} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{a} + ay = 1$ થાય છે.
$a$ વડે ગુણતા,આપણને $x + a^2y = a$ અથવા $a^2y - a + x = 0$ મળે છે.
$a$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$a$ માંના દ્વિઘાત સમીકરણના વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
અહીં,$D = (-1)^2 - 4(y)(x) \geq 0$.
$1 - 4xy \geq 0 \Rightarrow 4xy \leq 1$.
ચલ રેખા માટે,રેખા પરનું બિંદુ $P(x, y)$ એ $4xy < 1$ સંતોષવું જોઈએ (સીમા રેખાના કિસ્સાને બાદ કરતાં).

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A=(2,3)$ અને $B=(3,-5)$ છે. ધારો કે $C=(x, y)$.
ધારો કે $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2+3+x}{3} = \frac{5+x}{3} \Rightarrow x = 3h - 5$
$k = \frac{3-5+y}{3} = \frac{y-2}{3} \Rightarrow y = 3k + 2$
કારણ કે $C(x, y)$ એ રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ પર છે,તેથી $x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$3(3h - 5) + 4(3k + 2) - 5 = 0$
$9h - 15 + 12k + 8 - 5 = 0$
$9h + 12k - 12 = 0$
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $3h + 4k - 4 = 0$ મળે છે.
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ નો બિંદુપથ $3x + 4y - 4 = 0$ છે.
આ રેખાને આપેલ રેખા $L \equiv 3x + 4y - 5 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,બિંદુપથ $L=0$ ને સમાંતર છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $2y^2-xy-6x^2=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2y^2-4xy+3xy-6x^2=0$
$2y(y-2x)+3x(y-2x)=0$
$(y-2x)(2y+3x)=0$
આમ,ત્રિકોણની બાજુઓ $x+y=1$,$y-2x=0$ અને $2y+3x=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે સમીકરણો ઉકેલતા:
$1$. $x+y=1$ અને $y-2x=0$: $y=2x$ ને $x+y=1$ માં મૂકતા $3x=1$,તેથી $x=1/3$ અને $y=2/3$. શિરોબિંદુ: $(1/3, 2/3)$.
$2$. $x+y=1$ અને $2y+3x=0$: $y=1-x$ ને $2y+3x=0$ માં મૂકતા $2(1-x)+3x=0$,તેથી $2+x=0$,$x=-2$ અને $y=3$. શિરોબિંદુ: $(-2, 3)$.
$3$. $y-2x=0$ અને $2y+3x=0$: ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છેદબિંદુ છે. શિરોબિંદુ: $(0,0)$.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$.
$G = \left(\frac{1/3+0-2}{3}, \frac{2/3+0+3}{3}\right) = \left(\frac{-5/3}{3}, \frac{11/3}{3}\right) = \left(\frac{-5}{9}, \frac{11}{9}\right)$.

(D) આપેલ સમીકરણ $(7 x^2-4 x y+8 y^2)^2+(4 x-8 y-32)(7 x^2-4 x y+8 y^2)=0$ છે.
$(7 x^2-4 x y+8 y^2)$ સામાન્ય લેતા,આપણને $(7 x^2-4 x y+8 y^2)(7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32)=0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $7 x^2-4 x y+8 y^2=0$ અથવા $7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32=0$.
પ્રથમ ભાગ $7 x^2-4 x y+8 y^2=0$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. વિવેચક $B^2-4AC = (-4)^2 - 4(7)(8) = 16 - 224 = -208 < 0$ હોવાથી,આ રેખાઓ કાલ્પનિક છે.
બીજો ભાગ $7 x^2-4 x y+8 y^2+4 x-8 y-32=0$ પણ કાલ્પનિક રેખાઓ દર્શાવે છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવતી રેખાઓ વાસ્તવિક ન હોવાથી,પ્રશ્ન મુજબ વાસ્તવિક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનતો નથી. તેથી,આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(A) ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ ને છેદબિંદુઓ $A$ અને $B$ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડનું સમીકરણ વક્રના સમીકરણને રેખા $x + y = \lambda$ વડે હોમોજીનાઇઝ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
સમીકરણ: $(\lambda^2 - 2\lambda + 2)x^2 + (-6\lambda + 4)xy + (\lambda^2 - 4\lambda + 2)y^2 = 0$
$\angle AOB = 90^{\circ}$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(\lambda^2 - 2\lambda + 2) + (\lambda^2 - 4\lambda + 2) = 0$
$2\lambda^2 - 6\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = 1, 2$.
રેખાઓ $x + y - 1 = 0$ અને $x + y - 2 = 0$ છે.
આ સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|-1 - (-2)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.

(C) $\triangle ABC$ માટે,બાજુઓ $2x^2-y^2=0$ અને $x+y-1=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(\sqrt{2}-1, 2-\sqrt{2})$,અને $(-\sqrt{2}-1, 2+\sqrt{2})$ મળે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = (-\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$ છે.
$\triangle PQR$ માટે,બાજુઓ $2x^2-5xy+2y^2=0$ અને $7x-2y-12=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(4,8)$,અને $(2,1)$ મળે છે.
લંબકેન્દ્ર $H$ અને $G$ વચ્ચેનું અંતર $2\sqrt{29}$ મળે છે.

(B) બાજુઓ $OA$ અને $OC$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $2x^2-y^2=0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y^2=2x^2$,અથવા $y=\pm\sqrt{2}x$.
$A$ અને $C$ એ રેખા $x+y-1=0$ પર આવેલા હોવાથી,આપણે $y=\sqrt{2}x$ અને $y=-\sqrt{2}x$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકીને તેમના યામ મેળવીએ છીએ.
$A$ માટે: $x+\sqrt{2}x=1 \implies x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$. તેથી $A=(\sqrt{2}-1, 2-\sqrt{2})$.
$C$ માટે: $x-\sqrt{2}x=1 \implies x=\frac{1}{1-\sqrt{2}}=-(1+\sqrt{2})$. તેથી $C=(-1-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})$.
$D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $D=\left(\frac{\sqrt{2}-1-1-\sqrt{2}}{2}, \frac{2-\sqrt{2}+2+\sqrt{2}}{2}\right) = (-1, 2)$.
$OABC$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,વિકર્ણો $OB$ અને $AC$ એકબીજાને $D$ પર દુભાગે છે. તેથી $D$ એ $OB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $O=(0,0)$ હોવાથી,$B=2D=(-2, 4)$.
$\triangle OAC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{0+(\sqrt{2}-1)+(-1-\sqrt{2})}{3}, \frac{0+(2-\sqrt{2})+(2+\sqrt{2})}{3}\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
અંતર $BG = \sqrt{(-2 - (-2/3))^2 + (4 - 4/3)^2} = \sqrt{(-4/3)^2 + (8/3)^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$.

(D) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $y = m(x-1)$ છે,જે સૂચવે છે કે $\frac{mx-y}{m} = 1$.
આપેલ વક્રનું સમીકરણ $2x^2 + 5y^2 - 7x = 0$ ... $(i)$.
ઉગમબિંદુ અને બિંદુઓ $A$ તથા $B$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી મેળવવા માટે હોમોજેનાઇઝેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$2x^2 + 5y^2 - 7x(1) = 0$
$1 = \frac{mx-y}{m}$ મૂકતા:
$2x^2 + 5y^2 - 7x\left(\frac{mx-y}{m}\right) = 0$
$m$ વડે ગુણતા:
$2mx^2 + 5my^2 - 7mx^2 + 7xy = 0$
$-5mx^2 + 7xy + 5my^2 = 0$.
આ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a = -5m$,$2h = 7$,અને $b = 5m$.
રેખાઓ લંબ હોય તે માટેની શરત $a + b = 0$ છે.
અહીં,$a + b = -5m + 5m = 0$.
આમ,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,ઉગમબિંદુ આગળ રેખાખંડ $AB$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(\tan ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha) x^2 - (2 \tan \alpha) xy + (\sin ^2 \alpha) y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $(\sin ^2 \alpha) m^2 - (2 \tan \alpha) m + (\tan ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) = 0$ મળે છે,જ્યાં $m = y/x$.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
તેથી $m_1 + m_2 = \frac{2 \tan \alpha}{\sin ^2 \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha \cos \alpha}$ અને $m_1 m_2 = \frac{\tan ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha} = \sec^2 \alpha + \cot^2 \alpha$.
ઢાળનો તફાવત $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2}$ છે.
ગણતરી કરતા,$|m_1 - m_2| = \sqrt{4} = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $4x^2+6xy+ky^2=0$ $(i)$ અને $3x^2-5xy+2y^2=0$ (ii) છે.
(ii) દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ $3x^2-3xy-2xy+2y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-y)-2y(x-y)=0$ $\Rightarrow (3x-2y)(x-y)=0$ છે.
આમ,રેખાઓ $y=x$ અને $y=\frac{3}{2}x$ છે.
જો રેખા $y=mx$ એ રેખા $y=m_1x$ ને લંબ હોય,તો $m = -\frac{1}{m_1}$.
કિસ્સો $1$: રેખા $y=x$ એ $(i)$ ની એક રેખાને લંબ છે. તો રેખા $y=-x$ એ $(i)$ નું સમાધાન કરે.
$(i)$ માં $y=-x$ મૂકતા: $4x^2+6x(-x)+k(-x)^2=0$ $\Rightarrow 4-6+k=0$ $\Rightarrow k=2$.
કિસ્સો $2$: રેખા $y=\frac{3}{2}x$ એ $(i)$ ની એક રેખાને લંબ છે. તો રેખા $y=-\frac{2}{3}x$ એ $(i)$ નું સમાધાન કરે.
$(i)$ માં $y=-\frac{2}{3}x$ મૂકતા: $4x^2+6x(-\frac{2}{3}x)+k(-\frac{2}{3}x)^2=0$ $\Rightarrow 4-4+\frac{4k}{9}=0$ $\Rightarrow k=0$.
$k$ ના શક્ય મૂલ્યો $2$ અને $0$ છે.
તફાવતનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|2-0|=2$ છે.
તફાવતનું બમણું મૂલ્ય $2 \times 2 = 4$ થાય.

(C) આપેલ રેખાયુગ્મનું સમીકરણ $k x^2+8 x y-3 y^2+2 x-4 y-1=0$ છે.
તે રેખાયુગ્મ દર્શાવે તે માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} k & 4 & 1 \\ 4 & -3 & -2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
$k(3-4) - 4(-4+2) + 1(-8+3) = 0$
$-k + 8 - 5 = 0 \Rightarrow k = 3$.
હવે,$x+y=1$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$3 x^2+8 x y-3 y^2+(2 x-4 y)(x+y) - (x+y)^2 = 0$
$4 x^2+4 x y-8 y^2 = 0 \Rightarrow x^2+x y-2 y^2 = 0$.
અહીં $A=1, H=1/2, B=-2$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{A+B} \right|$:
$\tan \theta = 3$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ અથવા $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

(D) વક્રોના સમીકરણો:
$x^2+y^2+gx+c=0$ $(i)$
$x^2+y^2+2fy-c=0$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,રેખાઓ કાટખૂણે હોવાની શરત $g^2+4f^2=8c$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 - 5xy + 2y^2 + 6x - 3y = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(2y - x - 3)(y - 2x) = 0$ મળે છે.
આમ,રેખાઓ $2y - x - 3 = 0$ અને $y - 2x = 0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $y = 2x$,તેથી $2(2x) - x - 3 = 0 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(1, 2)$ છે,તેથી $\alpha = 1$.
વિધાન (ii) માટે,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $y - 2x = 0$ છે,જેનો ઢાળ $m = 2$ છે. તેથી $\beta = 2$.
વિધાન (iii) માટે,કોણીય દ્વિભાજકો $\frac{2y - x - 3}{\sqrt{5}} = \pm \frac{y - 2x}{\sqrt{5}}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2y - x - 3 = \pm(y - 2x)$ થાય છે.
કિસ્સો $1$: $x + y - 3 = 0$.
કિસ્સો $2$: $x - y + 1 = 0$.
અચળ પદો $-3$ અને $1$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપ લેતા,$\gamma = -3$.
કિંમતો સરખાવતા: $\gamma = -3, \alpha = 1, \beta = 2$.
તેથી,$\gamma < \alpha < \beta$.

(D) રેખાઓની જોડી $S = 3x^2 - 2kxy + y^2 = 0$ છે. રેખા $L = 2x - y - 6 = 0$ એટલે કે $y = 2x - 6$.
$S=0$ માં $y$ ની કિંમત મૂકતા,$3x^2 - 2kx(2x - 6) + (2x - 6)^2 = 0$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $(7 - 4k)x^2 + 12(k - 2)x + 36 = 0$ થાય.
ધારો કે છેદબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ છે. ઉગમબિંદુ $C(0, 0)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1| = 36$,જેનો અર્થ છે કે $|x_1x_2| |m_1 - m_2| = 72$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$x_1x_2 = \frac{36}{7 - 4k}$.
વળી,$S = ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,$|m_1 - m_2| = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|b|} = 2\sqrt{k^2 - 3}$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $|\frac{36}{7 - 4k}| \cdot 2\sqrt{k^2 - 3} = 72 \Rightarrow |\sqrt{k^2 - 3}| = |7 - 4k|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $k^2 - 3 = (7 - 4k)^2 = 49 + 16k^2 - 56k$.
$15k^2 - 56k + 52 = 0 \Rightarrow (k - 2)(15k - 26) = 0$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k = 2$.
$k = 2$ માટે,$\tan \theta = \frac{2\sqrt{k^2 - 3}}{a + b} = \frac{2\sqrt{4 - 3}}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$\tan \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2-y^2-x+3y-2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x-y+1)(x+y-2)=0$ મળે છે.
આમ,રેખાઓ $L_1: x-y+1=0$ અને $L_2: x+y-2=0$ છે.
છેદબિંદુ $P$ શોધવા માટે:
સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x-y+1) + (x+y-2) = 2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2}$.
$x=\frac{1}{2}$ ને $x+y-2=0$ માં મૂકતા,$y=\frac{3}{2}$ મળે છે.
તેથી,$P = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.
$\alpha$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $P$ સુધીના અંતરનો વર્ગ છે:
$\alpha = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
$\beta$ એ ઉગમબિંદુથી $L_1$ અને $L_2$ પરના લંબ અંતરનો ગુણાકાર છે:
$d_1 = \frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$d_2 = \frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$\beta = d_1 \times d_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1$.
તેથી,$\alpha \beta = \frac{5}{2} \times 1 = \frac{5}{2}$.

(B) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $h^2 - ab \geq 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $(2l-3)x^2 + 2lxy - y^2 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = (2l-3)$,$h = l$,અને $b = -1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટેની શરત $h^2 - ab \geq 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $l^2 - (2l-3)(-1) \geq 0$ મળે છે.
$l^2 + (2l-3) \geq 0$
$l^2 + 2l - 3 \geq 0$
$(l+3)(l-1) \geq 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને મળે છે કે પદાવલિ $l \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$ માટે અ-ઋણ છે,જેને $l \in R - (-3, 1)$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડ $8x^2 - 14xy + 5y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(2x - y)(4x - 5y) = 0$.
તેથી,બે રેખાઓ $L_2: 2x - y = 0$ અને $L_3: 4x - 5y = 0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_1: x - 2y + 3 = 0$ છે.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $A(0, 0)$ છે.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ $C(5, 4)$ છે અને $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $B(1, 2)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(p, q) = (\frac{0+1+5}{3}, \frac{0+2+4}{3}) = (2, 2)$ છે.
તેથી $p = q$.

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-2x-2y+k=0$ અને $C_2: x^2+y^2+4x+6y+4=0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $c_1(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2-k}$ છે.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $c_2(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = c_1c_2 = r_1+r_2$ થાય.
$d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = 5$.
તેથી,$5 = \sqrt{2-k} + 3 \Rightarrow k = -2$.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ કેન્દ્રો $c_1$ અને $c_2$ ને જોડતી રેખાનું $r_1:r_2 = 2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left(\frac{2(-2) + 3(1)}{5}, \frac{2(-3) + 3(1)}{5}\right) = \left(-\frac{1}{5}, -\frac{3}{5}\right)$.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-4x+6y+13-a^2=0$ અને $x^2+y^2-10x-2y+17=0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = |a|$.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (5, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = 5$.
બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવા માટેની શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$||a| - 3| < 5 < |a| + 3$.
$5 < |a| + 3$ પરથી $|a| > 2$ મળે,એટલે કે $a \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
$||a| - 3| < 5$ પરથી $-2 < |a| < 8$ મળે,એટલે કે $a \in (-8, 8)$.
બંને શરતોને જોડતા,$a \in (-8, -2) \cup (2, 8)$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. આપેલ $Q(0,2)$ અને $R(-1,0)$ માટે,શરત $PQ = \frac{1}{\sqrt{2}} PR$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2(PQ)^2 = (PR)^2$.
યામ મૂકતા,$2(x^2 + (y-2)^2) = (x+1)^2 + y^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $2(x^2 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 8 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$.
આ વર્તુળનું સમીકરણ છે.
કેન્દ્ર $(-\frac{-2}{2}, -\frac{-8}{2}) = (1, 4)$ છે.
ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{1^2 + 4^2 - 7} = \sqrt{1 + 16 - 7} = \sqrt{10}$ છે.
આમ,બિંદુપથ એ $(1, 4)$ કેન્દ્ર અને $\sqrt{10}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(B) વર્તુળ બિંદુઓ $A(3,4)$,$B(3,2)$ અને $C(1,4)$ માંથી પસાર થાય છે.
અહીં $AB$ એ શિરોલંબ રેખાખંડ $(x=3)$ છે અને $AC$ એ સમક્ષિતિજ રેખાખંડ $(y=4)$ છે,તેથી $A(3,4)$ આગળનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
આમ,$BC$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ એ કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(2, 3)$ થી $(3, 4)$ સુધીનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(3-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
પ્રાચલ સમીકરણો $x = 2 + \sqrt{2} \cos \theta$ અને $y = 3 + \sqrt{2} \sin \theta$ છે.
$x = a + r \cos \theta$ અને $y = b + r \sin \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = 3$ અને $r = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,$b^a \cdot r^a = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

(B) $(1,1), (2,-1),$ અને $(3,2)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -1 & 1 \\ 13 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2+y^2-5x-y+4 = 0$
વિકલ્પ $B$ માં આપેલા બિંદુઓ ચકાસતા,તે વર્તુળના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(C) ત્રિકોણની બાજુઓના સમીકરણો $2x+3y=10$,$y=x$ અને $y=0$ ($X$-અક્ષ) છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$1$. $y=x$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ: $x=0, y=0$. તેથી,$B(0,0)$.
$2$. $2x+3y=10$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ: $2x=10 \Rightarrow x=5$. તેથી,$C(5,0)$.
$3$. $2x+3y=10$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ: $2x+3x=10$ $\Rightarrow 5x=10$ $\Rightarrow x=2, y=2$. તેથી,$A(2,2)$.
ધારો કે પરિવર્તનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c=0$.
તે $(5,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $25+10g=0 \Rightarrow g=\frac{-5}{2}$.
તે $(2,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $8+4g+4f=0$.
$g=\frac{-5}{2}$ મૂકતા: $8+4(\frac{-5}{2})+4f=0$ $\Rightarrow 8-10+4f=0$ $\Rightarrow 4f=2$ $\Rightarrow f=\frac{1}{2}$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (\frac{5}{2}, \frac{-1}{2})$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(\frac{-5}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-0} = \sqrt{\frac{25}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{2}}$.

(D) અમે ખંડશઃ સંકલનની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$. ધારો કે $u = (\log x)^2$ અને $v = x^3$.
તેથી $u' = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$ અને $\int v dx = \frac{x^4}{4}$.
$\int x^3(\log x)^2 dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \int (2 \log x \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4}) dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} \int x^3 \log x dx$.
હવે,$\int x^3 \log x dx$ નું ફરીથી ખંડશઃ સંકલન કરતા:
$\int x^3 \log x dx = \log x \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$\int x^3(\log x)^2 dx = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} [\frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}] + K = x^4 [\frac{1}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{8} \log x + \frac{1}{32}] + K$.
$x^4[A(\log x)^2 + B(\log x) + C]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{1}{4}$,$B = -\frac{1}{8}$,અને $C = \frac{1}{32}$ મળે છે.
તેથી,$A + B + C = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} = \frac{8 - 4 + 1}{32} = \frac{5}{32}$.

(A) ધારો કે $I = \int x^2 \cdot \frac{x \sec^2 x+\tan x}{(x \tan x+1)^2} dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = x^2$ અને $dv = \frac{x \sec^2 x+\tan x}{(x \tan x+1)^2} dx$ લો.
તેથી $du = 2x dx$ અને $v = \int \frac{d(x \tan x)}{(x \tan x+1)^2} = -\frac{1}{x \tan x+1}$.
તેથી,$I = x^2 \left(-\frac{1}{x \tan x+1}\right) - \int 2x \left(-\frac{1}{x \tan x+1}\right) dx$.
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{x}{x \tan x+1} dx$.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ગુણતા:
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$.
ધારો કે $t = x \sin x + \cos x$,તો $dt = (x \cos x + \sin x - \sin x) dx = x \cos x dx$.
$I = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \int \frac{dt}{t} = -\frac{x^2}{x \tan x+1} + 2 \log|x \sin x + \cos x| + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A = 2$,$B = -1$,અને $f(x) = x^2$.
આમ,$f(A+B) = f(2-1) = f(1) = (1)^2 = 1$.

(A) આપેલ છે,$I_{m, n} = \int x^m (\log x)^n \, dx$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = (\log x)^n$ અને $dv = x^m \, dx$.
તેથી $du = n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ અને $v = \frac{x^{m+1}}{m+1}$ મળે.
સૂત્ર $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_{m, n} = (\log x)^n \cdot \frac{x^{m+1}}{m+1} - \int \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
$I_{m, n} = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} \int x^m (\log x)^{n-1} \, dx$.
કારણ કે $I_{m, n-1} = \int x^m (\log x)^{n-1} \, dx$,તેથી આપણને મળે:
$I_{m, n} = \frac{x^{m+1}}{m+1} (\log x)^n - \frac{n}{m+1} I_{m, n-1}$.

(D) ધારો કે $I = \int x[\log (1+x)]^3 dx$.
$\log (1+x) = t$ લેતા,$1+x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
$I = \int (e^t - 1) t^3 e^t dt = \int (e^{2t} t^3 - e^t t^3) dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int e^{at} t^n dt = \frac{e^{at}}{a} [t^n - \frac{n t^{n-1}}{a} + \frac{n(n-1) t^{n-2}}{a^2} - \dots]$.
$I = \frac{e^{2t}}{2} [t^3 - \frac{3t^2}{2} + \frac{6t}{4} - \frac{6}{8}] - e^t [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$.
$e^t = 1+x$ અને $t = \log (1+x)$ મુકતા:
$I = \frac{(1+x)^2}{16} [8t^3 - 12t^2 + 12t - 6] - (1+x) [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$.
$\frac{(1+x)^2}{16} f(x) + (1+x) g(x)$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = 8t^3 - 12t^2 + 12t - 6$ અને $g(x) = -t^3 + 3t^2 - 6t + 6$ મળે.
તેથી,$f(x) + g(x) = 7t^3 - 9t^2 + 6t + C = 7(\log (1+x))^3 - 9(\log (1+x))^2 + 6 \log (1+x) + C$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x-4}{(x-1)^4}$.
તેથી $f'(x) = \frac{(x-1)^4(1) - (x-4) \cdot 4(x-1)^3}{(x-1)^8} = \frac{(x-1) - 4(x-4)}{(x-1)^5} = \frac{x-1-4x+16}{(x-1)^5} = \frac{-3x+15}{(x-1)^5} = \frac{-3(x-5)}{(x-1)^5}$.
હવે,સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{x^2-8x+19}{(x-1)^5} \right) dx$ ધ્યાનમાં લો.
આપણે અંશને $x^2-8x+19 = (x-4)(x-1) - 3(x-5)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \int e^x \left( \frac{x-4}{(x-1)^4} - \frac{3(x-5)}{(x-1)^5} \right) dx = \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C = \frac{e^x(x-4)}{(x-1)^4} + C$.
આને $\frac{e^x(lx+m)}{(x-1)^4} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $l=1$ અને $m=-4$ મળે છે.
તેથી,$4l+m = 4(1) + (-4) = 4-4 = 0$.

(A) આપણી પાસે છે,$\int \frac{9x+15}{x^3-6x-9} dx = A \log |g(x)| + B \log |f(x)| + C$.
પ્રથમ,છેદના અવયવ પાડો: $x^3-6x-9 = (x-3)(x^2+3x+3)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{9x+15}{(x-3)(x^2+3x+3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{Bx+D}{x^2+3x+3}$.
$9x+15 = A(x^2+3x+3) + (Bx+D)(x-3)$.
$x=3$ માટે: $9(3)+15 = A(9+9+3) \Rightarrow 42 = 21A \Rightarrow A=2$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B=0 \Rightarrow B=-2$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $3A-3D=15 \Rightarrow 3(2)-3D=15 \Rightarrow 6-3D=15 \Rightarrow -3D=9 \Rightarrow D=-3$.
આમ,$\int \frac{2}{x-3} dx - \int \frac{2x+3}{x^2+3x+3} dx = 2 \log |x-3| - \log |x^2+3x+3| + C$.
$A \log |g(x)| + B \log |f(x)| + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=2, g(x)=x-3, B=-1, f(x)=x^2+3x+3$ મળે છે.
તેથી,$\frac{(A-B)g(4)}{f(-1)} = \frac{(2 - (-1))(4-3)}{(-1)^2 + 3(-1) + 3} = \frac{3(1)}{1-3+3} = \frac{3}{1} = 3$.

(D) આપેલ છે કે $f\left(\frac{2 x+3}{3 x+5}\right)=x+4$. ધારો કે $y = \frac{2 x+3}{3 x+5}$.
તેથી $y(3x+5) = 2x+3 \Rightarrow 3xy + 5y = 2x+3 \Rightarrow x(3y-2) = 3-5y \Rightarrow x = \frac{3-5y}{3y-2}$.
$f(y) = x+4$ માં $x$ ની કિંમત મૂકતા,$f(y) = \frac{3-5y}{3y-2} + 4 = \frac{3-5y + 12y - 8}{3y-2} = \frac{7y-5}{3y-2}$.
આમ,$f(x) = \frac{7x-5}{3x-2}$.
હવે,$\int f(x) dx = \int \frac{7x-5}{3x-2} dx = \int \frac{\frac{7}{3}(3x-2) - 5 + \frac{14}{3}}{3x-2} dx = \int \left( \frac{7}{3} - \frac{1/3}{3x-2} \right) dx$.
$= \frac{7}{3}x - \frac{1}{9} \ln |3x-2| + C$.
$Ax + B \ln |3x-2| + C$ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{7}{3}$ અને $B = -\frac{1}{9}$ મળે.
તેથી,$3B - A = 3(-\frac{1}{9}) - \frac{7}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{8}{3}$.

(A) આપણે $I = \int e^{-3x}(x^2 + \sin 4x) dx = \int x^2 e^{-3x} dx + \int e^{-3x} \sin 4x dx$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,$u = x^2$ અને $dv = e^{-3x} dx$ લઈને ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int x^2 e^{-3x} dx = x^2 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) - \int 2x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) dx = -\frac{x^2}{3} e^{-3x} + \frac{2}{3} \int x e^{-3x} dx$.
ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int x e^{-3x} dx = x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) - \int 1 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) dx = -\frac{x}{3} e^{-3x} - \frac{1}{9} e^{-3x}$.
તેથી,$\int x^2 e^{-3x} dx = -\frac{x^2}{3} e^{-3x} - \frac{2}{9} x e^{-3x} - \frac{2}{27} e^{-3x}$.
બીજા ભાગ માટે,$\int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin bx - b \cos bx)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\int e^{-3x} \sin 4x dx = \frac{e^{-3x}}{(-3)^2 + 4^2} (-3 \sin 4x - 4 \cos 4x) = -\frac{e^{-3x}}{25} (3 \sin 4x + 4 \cos 4x)$.
બંને ભાગોને જોડતા:
$I = -e^{-3x} \left( \frac{x^2}{3} + \frac{2x}{9} + \frac{2}{27} + \frac{3}{25} \sin 4x + \frac{4}{25} \cos 4x \right) + C$.

(B) આપેલ છે કે $I_n = \int \sec^n x \, dx$.
$f(x) = 5 I_6 - 4 I_4 = 5 \int \sec^6 x \, dx - 4 \int \sec^4 x \, dx$.
$f(x) = \int (5 \sec^4 x \cdot \sec^2 x - 4 \sec^2 x \cdot \sec^2 x) \, dx$.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \int \{5(1 + \tan^2 x)^2 - 4(1 + \tan^2 x)\} \sec^2 x \, dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^2 x \, dx$.
$f(x) = \int \{5(1 + u^2)^2 - 4(1 + u^2)\} \, du$.
$f(x) = \int \{5(1 + u^4 + 2u^2) - 4 - 4u^2\} \, du$.
$f(x) = \int (5 + 5u^4 + 10u^2 - 4 - 4u^2) \, du = \int (5u^4 + 6u^2 + 1) \, du$.
$f(x) = u^5 + 2u^3 + u = \tan^5 x + 2 \tan^3 x + \tan x$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = (1)^5 + 2(1)^3 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$.

(B) ધારો કે $I = \int(3x+2) \sqrt{2x^2+3x+4} dx$.
આપણે $3x+2 = \lambda(4x+3) + \mu$ તરીકે દર્શાવીએ.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $3 = 4\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{3}{4}$ અને $2 = 3\lambda + \mu \Rightarrow \mu = 2 - \frac{9}{4} = -\frac{1}{4}$.
આમ,$I = \frac{3}{4} \int(4x+3) \sqrt{2x^2+3x+4} dx - \frac{1}{4} \int \sqrt{2x^2+3x+4} dx$.
પ્રથમ ભાગ $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} (2x^2+3x+4)^{3/2} = \frac{1}{2} (2x^2+3x+4)^{3/2}$ છે.
બીજો ભાગ $-\frac{\sqrt{2}}{4} \int \sqrt{x^2 + \frac{3}{2}x + 2} dx = -\frac{\sqrt{2}}{4} \int \sqrt{(x+\frac{3}{4})^2 + \frac{23}{16}} dx$ છે.
સૂત્ર $\int \sqrt{t^2+a^2} dt = \frac{t}{2}\sqrt{t^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \sinh^{-1}(\frac{t}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2}(2x^2+3x+4)^{3/2} - \frac{\sqrt{2}}{4} [\frac{x+3/4}{2}\sqrt{x^2+\frac{3}{2}x+2} + \frac{23/16}{2} \sinh^{-1}(\frac{x+3/4}{\sqrt{23}/4})] + C$.
સાદું રૂપ આપતા,$I = \frac{1}{2}(2x^2+3x+4)^{3/2} - \frac{1}{32}(4x+3)\sqrt{2x^2+3x+4} - \frac{23}{64\sqrt{2}} \sinh^{-1}(\frac{4x+3}{\sqrt{23}}) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \frac{1}{2}(2x^2+3x+4) - \frac{1}{32}(4x+3)$ અને $A = -\frac{23}{64\sqrt{2}}$.
$f(1) = \frac{1}{2}(2+3+4) - \frac{1}{32}(4+3) = \frac{9}{2} - \frac{7}{32} = \frac{144-7}{32} = \frac{137}{32}$.
આમ,$(f(1), A) = (\frac{137}{32}, -\frac{23}{64\sqrt{2}})$. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{1}{1+k \cos x} d x$. નિત્યસમ $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{1}{1+k\left(\frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}\right)} d x = \int \frac{\sec^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)+k-k\tan^2(x/2)} d x = \int \frac{\sec^2(x/2)}{(k+1)-(k-1)\tan^2(x/2)} d x$.
$t = \tan(x/2)$ આદેશ લેતા,$dt = \frac{1}{2}\sec^2(x/2) d x$,તેથી $\sec^2(x/2) d x = 2 dt$.
$I = 2 \int \frac{dt}{(k+1)-(k-1)t^2} = \frac{2}{k-1} \int \frac{dt}{\left(\sqrt{\frac{k+1}{k-1}}\right)^2 - t^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{2}{k-1} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\frac{k+1}{k-1}}} \log \left| \frac{\sqrt{\frac{k+1}{k-1}} + t}{\sqrt{\frac{k+1}{k-1}} - t} \right| + C = \frac{1}{\sqrt{k^2-1}} \log \left| \frac{\sqrt{k+1} + \sqrt{k-1} \tan(x/2)}{\sqrt{k+1} - \sqrt{k-1} \tan(x/2)} \right| + C$.

(D) આપણને આપેલ છે કે $I_m = \int x^m \cos n x \, dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = x^m$ અને $dv = \cos n x \, dx$ લેતા,આપણને $du = m x^{m-1} \, dx$ અને $v = \frac{\sin n x}{n}$ મળે છે.
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} - \int \frac{m x^{m-1} \sin n x}{n} \, dx = \frac{x^m \sin n x}{n} - \frac{m}{n} \int x^{m-1} \sin n x \, dx$.
હવે,$\int x^{m-1} \sin n x \, dx$ નું ફરીથી ખંડશઃ સંકલન કરતા,$u = x^{m-1}$ અને $dv = \sin n x \, dx$ લેતા,$du = (m-1) x^{m-2} \, dx$ અને $v = -\frac{\cos n x}{n}$ મળે છે.
$\int x^{m-1} \sin n x \, dx = -\frac{x^{m-1} \cos n x}{n} + \int \frac{(m-1) x^{m-2} \cos n x}{n} \, dx$.
આ કિંમતને $I_m$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} - \frac{m}{n} \left( -\frac{x^{m-1} \cos n x}{n} + \frac{m-1}{n} \int x^{m-2} \cos n x \, dx \right)$.
$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m x^{m-1} \cos n x}{n^2} - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$.
આપેલ સમીકરણ $I_m = g(x) - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g(x) = \frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m x^{m-1} \cos n x}{n^2}$ મળે છે.

(D) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{d x}{x \ln (x) \ln ^2(x) \ldots \ln ^m(x)}$
ધારો કે $u = \ln(x)$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
સંકલન આ મુજબ બને છે: $I = \int \frac{du}{u^1 \cdot u^2 \cdot u^3 \cdot \ldots \cdot u^m} = \int \frac{du}{u^{1+2+3+\ldots+m}}$.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{i=1}^{m} i = \frac{m(m+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int u^{-\frac{m(m+1)}{2}} du$.
ઘાતનો નિયમ $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ લાગુ પાડતા:
$I = \frac{u^{-\frac{m(m+1)}{2} + 1}}{-\frac{m(m+1)}{2} + 1} + C = \frac{u^{\frac{2 - m^2 - m}{2}}}{\frac{2 - m^2 - m}{2}} + C$.
ઘાતાંકનું અવયવીકરણ કરતા: $2 - m^2 - m = -(m^2 + m - 2) = -(m+2)(m-1) = (m+2)(1-m)$.
તેથી,$I = \frac{u^{\frac{(m+2)(1-m)}{2}}}{\frac{(m+2)(1-m)}{2}} + C$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\frac{(\ln x)^K}{K} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = \frac{(m+2)(1-m)}{2}$ મળે છે.
તેથી,$2K = (m+2)(1-m)$.

(C) ધારો કે $I_n = \int_0^1 e^x(x-1)^n dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u dv = uv - \int v du$. ધારો કે $u = (x-1)^n$ અને $dv = e^x dx$. તેથી $du = n(x-1)^{n-1} dx$ અને $v = e^x$.
$I_n = [e^x(x-1)^n]_0^1 - n \int_0^1 e^x(x-1)^{n-1} dx = (0 - (-1)^n) - n I_{n-1} = (-1)^{n+1} - n I_{n-1}$.
$n=1$ માટે: $I_1 = (-1)^2 - 1 I_0 = 1 - \int_0^1 e^x dx = 1 - (e-1) = 2-e$.
$n=2$ માટે: $I_2 = (-1)^3 - 2 I_1 = -1 - 2(2-e) = -1 - 4 + 2e = 2e-5$.
$n=3$ માટે: $I_3 = (-1)^4 - 3 I_2 = 1 - 3(2e-5) = 1 - 6e + 15 = 16-6e$.
આ કિંમતને આપેલ કિંમત $16-6e$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n=3$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{4+5 \sin x}$.
આદેશ $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{dx}{4 + 5 \left( \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} \right)} = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2(x/2) dx}{4(1+\tan^2(x/2)) + 10 \tan(x/2)} = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2(x/2) dx}{4 \tan^2(x/2) + 10 \tan(x/2) + 4}$.
ધારો કે $t = \tan(x/2)$,તેથી $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,એટલે કે $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$.
જ્યારે $x=0, t=0$; અને જ્યારે $x=\pi/2, t=1$.
$I = \int_0^1 \frac{2 dt}{4t^2 + 10t + 4} = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{t^2 + \frac{5}{2}t + 1}$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $t^2 + \frac{5}{2}t + 1 = (t + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16} + 1 = (t + \frac{5}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2$.
$I = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{(t + \frac{5}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2(3/4)} \ln \left| \frac{t + 5/4 - 3/4}{t + 5/4 + 3/4} \right|_0^1$.
$I = \frac{1}{3} \left[ \ln \left| \frac{t + 1/2}{t + 2} \right| \right]_0^1 = \frac{1}{3} \left[ \ln \left( \frac{3/2}{3} \right) - \ln \left( \frac{1/2}{2} \right) \right]$.
$I = \frac{1}{3} [ \ln(1/2) - \ln(1/4) ] = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{1/2}{1/4} \right) = \frac{1}{3} \ln 2$.

(A) ધારો કે $I = \int_3^5 (x-3)^3 (5-x)^5 dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int_3^5 (5-x)^3 (x-3)^5 dx$ મળે.
અથવા,$x-3 = 2t$ આદેશ લેતા,$x=3+2t$ અને $dx=2dt$ મળે.
જ્યારે $x=3, t=0$ અને જ્યારે $x=5, t=1$.
$I = \int_0^1 (2t)^3 (5-(3+2t))^5 (2dt) = \int_0^1 8t^3 (2-2t)^5 (2dt) = 16 \times 2^5 \int_0^1 t^3 (1-t)^5 dt$.
$I = 512 \int_0^1 t^3 (1-t)^5 dt$.
બીટા વિધેય $\int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} dx = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $m-1=3 \implies m=4$ અને $n-1=5 \implies n=6$.
$I = 512 \times \frac{3! \times 5!}{9!} = 512 \times \frac{6 \times 120}{362880} = 512 \times \frac{720}{362880} = 512 \times \frac{1}{504} = \frac{512}{504} = \frac{64}{63}$.

(B) આપેલ છે કે,$f(x)=\sin ^6 x+\cos ^6 x+2 \sin ^3 x \cos ^3 x = (\sin ^3 x+\cos ^3 x)^2$.
આપણે $I=\int_0^{\pi / 4} \frac{\sin ^2 2 x}{f(x)} d x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin ^2 2x = 4 \sin ^2 x \cos ^2 x$ મળે.
તેથી,$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{4 \sin ^2 x \cos ^2 x}{(\sin ^3 x+\cos ^3 x)^2} d x$.
અંશ અને છેદને $\cos ^6 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{4 \tan ^2 x \sec ^2 x}{(\tan ^3 x+1)^2} d x$.
ધારો કે $t = \tan ^3 x$,તો $dt = 3 \tan ^2 x \sec ^2 x dx$,જેનો અર્થ છે કે $\tan ^2 x \sec ^2 x dx = \frac{dt}{3}$.
જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{4}, t=1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^1 \frac{4 \cdot (dt/3)}{(t+1)^2} = \frac{4}{3} \int_0^1 (t+1)^{-2} dt$.
$I = \frac{4}{3} \left[ \frac{-1}{t+1} \right]_0^1 = \frac{4}{3} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right) = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-5}^5 x^4(25-x^2)^{5/2} dx$. કારણ કે વિધેય $f(x) = x^4(25-x^2)^{5/2}$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $I = 2 \int_0^5 x^4(25-x^2)^{5/2} dx$.
આદેશ $x = 5 \sin \theta$ લેતા,$dx = 5 \cos \theta d\theta$. જ્યારે $x=0, \theta=0$ અને જ્યારે $x=5, \theta=\pi/2$.
$I = 2 \int_0^{\pi/2} (5 \sin \theta)^4 (25 - 25 \sin^2 \theta)^{5/2} (5 \cos \theta) d\theta$
$I = 2 \int_0^{\pi/2} 5^4 \sin^4 \theta (25 \cos^2 \theta)^{5/2} (5 \cos \theta) d\theta$
$I = 2 \int_0^{\pi/2} 5^4 \sin^4 \theta (5^5 \cos^5 \theta) (5 \cos \theta) d\theta = 2 \times 5^{10} \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^6 \theta d\theta$
વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^m \theta \cos^n \theta d\theta = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \times \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \times 5^{10} \times \frac{(3 \times 1) \times (5 \times 3 \times 1)}{(10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2)} \times \frac{\pi}{2}$
$I = 2 \times 5^{10} \times \frac{3 \times 15}{3840} \times \frac{\pi}{2} = 5^{10} \times \frac{45}{3840} \pi = 5^{10} \times \frac{3}{256} \pi = \frac{3(5^{10}) \pi}{256}$.

(B) આપેલ છે કે,$I_n = \int_0^a \frac{x^n}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$.
$x = a \sin \theta$ આદેશ લેતા,$dx = a \cos \theta d\theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = 0$ અને જ્યારે $x = a$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{a^n \sin^n \theta}{a \cos \theta} \cdot a \cos \theta d\theta = a^n \int_0^{\pi/2} \sin^n \theta d\theta$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,યુગ્મ $n$ માટે $\int_0^{\pi/2} \sin^n \theta d\theta = \frac{(n-1)(n-3)\dots(1)}{n(n-2)\dots(2)} \cdot \frac{\pi}{2}$.
$I_8 = a^8 \int_0^{\pi/2} \sin^8 \theta d\theta = a^8 \left( \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right)$.
$I_4 = a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta d\theta = a^4 \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right)$.
તેથી,$\frac{I_8}{I_4} = \frac{a^8 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}{a^4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}} = a^4 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{35}{48} a^4$.

(D) ધારો કે $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)}} \quad \dots (i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{\pi}{4}$ અને $b = \frac{\pi}{2}$,આપણને $a+b-x = \frac{3\pi}{4} - x$ મળે છે.
$I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{\sqrt{8} \sin \left(\frac{3 \pi}{4} - x - \frac{3 \pi}{8}\right)}}$
$I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{\sqrt{8} \sin \left(\frac{3 \pi}{8} - x\right)}}$
કારણ કે $\sin(\theta) = -\sin(-\theta)$,તેથી $\sin(\frac{3\pi}{8} - x) = -\sin(x - \frac{3\pi}{8})$.
$I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{-\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)}} = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)} \, dx}{e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)} + 1} \quad \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3(1 + e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)})}{1 + e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)}} \, dx$
$2I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} 3 \, dx = 3[x]_{\pi / 4}^{\pi / 2} = 3(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = 3(\frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4}$
$I = \frac{3\pi}{8}$

(C) વિધાન $(A)$ માટે: આપણે જાણીએ છીએ કે $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$.
પ્રથમ સંકલનમાં,$x = -t$ લેતા,$dx = -dt$ મળે. જ્યારે $x = -a, t = a$ અને જ્યારે $x = 0, t = 0$.
તેથી,$\int_{-a}^0 f(x) dx = \int_a^0 f(-t) (-dt) = \int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx$.
આમ,$\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx = \int_0^a (f(x) + f(-x)) dx$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે: નિશ્ચિત સંકલન માટે આદેશની રીત મુજબ જો $x = g(u)$ હોય,તો $dx = g'(u) du$ થાય. સીમાઓ $a$ થી $b$ બદલાઈને $g^{-1}(a)$ થી $g^{-1}(b)$ થાય છે.
$(R)$ માં આપેલ સૂત્ર $\int_a^b f(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g(u)) g'(u) du$ ખોટું છે કારણ કે જમણી બાજુની સંકલન સીમાઓ $g^{-1}(a)$ અને $g^{-1}(b)$ હોવી જોઈએ,$g(a)$ અને $g(b)$ નહીં. તેથી,$(R)$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln y = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{2 r}{n^2} \ln \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)$.
આ એક રીમાન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે લખી શકાય:
$\ln y = \int_0^1 2x \ln(1+x^2) dx$.
ધારો કે $t = 1+x^2$,તો $dt = 2x dx$. જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=1, t=2$.
$\ln y = \int_1^2 \ln(t) dt$.
સંકલન સૂત્ર $\int \ln(t) dt = t \ln(t) - t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln y = [t \ln(t) - t]_1^2 = (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1) = 2 \ln 2 - 2 + 1 = \ln(4) - 1 = \ln(4) - \ln(e) = \ln \left(\frac{4}{e}\right)$.
તેથી,$y = \frac{4}{e}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{n \pi}{2 n}\right]$ છે.
આને $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n} \sum_{r=1}^n \sin \left(\frac{r \pi}{2 n}\right)$ તરીકે લખી શકાય છે.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$.
અહીં,$x = \frac{r\pi}{2n}$ લેતા,જ્યાં $dx = \frac{\pi}{2n}$,પદાવલિ $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$ બને છે.
સંકલનની સીમાઓ $r=0$ માટે $x = 0$ અને $r=n$ માટે $x = \frac{\pi}{2}$ છે.
આમ,સંકલન $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$ થાય છે.
સંકલનનું મૂલ્ય: $[-\cos(x)]_0^{\pi/2} = -(\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0)) = -(0 - 1) = 1$.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n+3r}{n^2+r^2}$ છે.
અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા,આપણને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{\frac{1}{n} + 3\frac{r}{n^2}}{1 + (\frac{r}{n})^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1 + 3(\frac{r}{n})}{1 + (\frac{r}{n})^2}$ મળે છે.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int_0^1 \frac{1+3x}{1+x^2} dx$ મળે છે.
આને $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx + 3 \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$ માં વિભાજિત કરી શકાય છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $[\tan^{-1} x]_0^1 + \frac{3}{2} [\ln(1+x^2)]_0^1$ મળે છે.
$= (\frac{\pi}{4} - 0) + \frac{3}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2} \ln 2$.

(B) આપેલ લક્ષને સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \left[ \frac{n^{3/2}}{(n+2r)^{5/2}} - \frac{n^{1/2}}{(n+3r)^{3/2}} \right]$
અંશ અને છેદને અનુક્રમે $n^{5/2}$ અને $n^{3/2}$ વડે ભાગતા:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \left[ \frac{1}{(1+2r/n)^{5/2}} - \frac{1}{(1+3r/n)^{3/2}} \right]$
આ રીમાન સરવાળો છે જે નિશ્ચિત સંકલનમાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\int_0^1 \left( \frac{1}{(1+2x)^{5/2}} - \frac{1}{(1+3x)^{3/2}} \right) dx$
પદવાર સંકલન કરતા:
$= \left[ \frac{(1+2x)^{-3/2}}{-3/2 \times 2} - \frac{(1+3x)^{-1/2}}{-1/2 \times 3} \right]_0^1$
$= \left[ -\frac{1}{3(1+2x)^{3/2}} + \frac{2}{3(1+3x)^{1/2}} \right]_0^1$
$0$ અને $1$ સીમાઓ પર મૂલ્યાંકન કરતા:
$= \left( -\frac{1}{3(3)^{3/2}} + \frac{2}{3(4)^{1/2}} \right) - \left( -\frac{1}{3(1)^{3/2}} + \frac{2}{3(1)^{1/2}} \right)$
$= \left( -\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{2}{6} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right)$
$= -\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{9\sqrt{3}}$

(B) આપેલ છે કે,$\cos x + \cos 2x + \ldots + \cos nx = \frac{A(x)}{2 \sin(x/2)}$.
કોસાઇન શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^n \cos(kx) = \frac{\sin(nx/2) \cos((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}$.
તેથી,$A(x) = 2 \sin(nx/2) \cos((n+1)x/2)$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$A(x) = \sin(\frac{2n+1}{2}x) - \sin(x/2)$.
હવે,$\int_0^\pi A(x) dx = \int_0^\pi (\sin(\frac{2n+1}{2}x) - \sin(x/2)) dx$.
$= [-\frac{2}{2n+1} \cos(\frac{2n+1}{2}x) + 2 \cos(x/2)]_0^\pi$.
$= (-\frac{2}{2n+1} \cos(\frac{2n+1}{2}\pi) + 2 \cos(\pi/2)) - (-\frac{2}{2n+1} \cos(0) + 2 \cos(0))$.
કારણ કે $\cos(\frac{2n+1}{2}\pi) = 0$ અને $\cos(\pi/2) = 0$:
$= 0 - (-\frac{2}{2n+1} + 2) = \frac{2}{2n+1} - 2 = \frac{2 - 4n - 2}{2n+1} = \frac{-4n}{2n+1}$.

(B) આપેલ છે કે,$f(x) = \begin{vmatrix} 1 + \sin x + \sin 2x + \sin 3x & \frac{3 + \sin 2x}{2} & \frac{-2 + \sin 3x}{3} \\ 3 + 4 \sin x & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} \sin x \\ 1 + \sin x & \frac{1}{2} \sin x & \frac{1}{3} \end{vmatrix}$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 - 2C_2 - 3C_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = \begin{vmatrix} \sin x & \frac{3 + \sin 2x}{2} & \frac{-2 + \sin 3x}{3} \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} \sin x \\ 0 & \frac{1}{2} \sin x & \frac{1}{3} \end{vmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = \sin x \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{4}{3} \sin x \cdot \frac{1}{2} \sin x \right) = \sin x \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \sin^2 x \right) = \frac{1}{6} (3 \sin x - 4 \sin^3 x) = \frac{\sin 3x}{6}$.
હવે,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin 3x}{6} \right) = \frac{3 \cos 3x}{6} = \frac{\cos 3x}{2}$.
આપણે $I = \int_0^{\pi / 2} (f(x) + f^{\prime}(x)) dx = \int_0^{\pi / 2} \left( \frac{\sin 3x}{6} + \frac{\cos 3x}{2} \right) dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$I = \left[ \frac{-\cos 3x}{18} + \frac{\sin 3x}{6} \right]_0^{\pi / 2}$.
$I = \left( \frac{-\cos(3\pi/2)}{18} + \frac{\sin(3\pi/2)}{6} \right) - \left( \frac{-\cos(0)}{18} + \frac{\sin(0)}{6} \right)$.
$I = \left( 0 - \frac{1}{6} \right) - \left( -\frac{1}{18} + 0 \right) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{-3 + 1}{18} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

(B) આપેલ વક્રોનો પરિવાર: $(x-2)^2+(y-a)^2=b^2$ $(i)$
અહીં બે પ્રાચલો $a$ અને $b$ હોવાથી,આપણે બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x-2) + 2(y-a)y' = 0$
$(x-2) + (y-a)y' = 0$ (ii)
(ii) પરથી,$(y-a) = -\frac{x-2}{y'}$
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$(x-2)^2 + \left(-\frac{x-2}{y'}\right)^2 = b^2$
$(x-2)^2 \left(1 + \frac{1}{(y')^2}\right) = b^2$
$(x-2)^2 \left(\frac{(y')^2+1}{(y')^2}\right) = b^2$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x-2) \left(\frac{(y')^2+1}{(y')^2}\right) + (x-2)^2 \left(\frac{2y'y'' \cdot (y')^2 - ((y')^2+1) \cdot 2y'y''}{(y')^4}\right) = 0$
આ વિકલ સમીકરણમાં દ્વિતીય વિકલિત $y''$ નો સમાવેશ થાય છે,તેથી ક્રમ $m = 2$.
સૌથી મોટા વિકલિત $y''$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $n = 1$.
તેથી,$m^2+n = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y+\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}=0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2} = -\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)$.
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)^2$.
સમીકરણમાં હાજર સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $3$ છે.
સમીકરણને રેડિકલ અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત કર્યા પછી સૌથી વધુ ક્રમના વિકલનની ઘાત $3$ છે.
તેથી,ક્રમ $3$ છે અને ઘાત $3$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{1+y^2}=C x e^{\tan ^{-1} x}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{2\sqrt{1+y^2}} \cdot 2y \frac{dy}{dx} = C \left( e^{\tan ^{-1} x} + x e^{\tan ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \right)$
$\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = C e^{\tan ^{-1} x} \left( 1 + \frac{x}{1+x^2} \right)$
કારણ કે $C e^{\tan ^{-1} x} = \frac{\sqrt{1+y^2}}{x}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1+y^2}}{x} \left( \frac{1+x^2+x}{1+x^2} \right)$
$\frac{xy}{\sqrt{1+y^2}} \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1+y^2}(1+x+x^2)}{1+x^2}$
$xy(1+x^2) dy = (1+y^2)(1+x+x^2) dx$
$xy(1+x^2) dy - (1+y^2)(1+x+x^2) dx = 0$

(D) આપેલ સમીકરણ $xy = ae^x + be^{-x} + x^2$ છે $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y + xy' = ae^x - be^{-x} + 2x$ (ii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y' + y' + xy'' = ae^x + be^{-x} + 2$
$2y' + xy'' = ae^x + be^{-x} + 2$ (iii)
$(i)$ પરથી,$ae^x + be^{-x} = xy - x^2$ છે.
આ કિંમત (iii) માં મૂકતા:
$xy'' + 2y' = (xy - x^2) + 2$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$xy'' + 2y' - xy + x^2 - 2 = 0$

(B) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y = ae^{4x} + be^{-x}$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 4ae^{4x} - be^{-x}$ ... (ii)
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 16ae^{4x} + be^{-x}$ ... (iii)
અચળાંકો $a$ અને $b$ ને દૂર કરવા માટે,સમીકરણો $(i)$,(ii) અને (iii) નો ઉપયોગ કરતા:
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$y + \frac{dy}{dx} = 5ae^{4x} \implies ae^{4x} = \frac{1}{5}(y + \frac{dy}{dx})$
$(i)$ ને $4$ વડે ગુણીને તેમાંથી (ii) બાદ કરતા:
$4y - \frac{dy}{dx} = 5be^{-x} \implies be^{-x} = \frac{1}{5}(4y - \frac{dy}{dx})$
આ કિંમતો (iii) માં મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 16[\frac{1}{5}(y + \frac{dy}{dx})] + \frac{1}{5}(4y - \frac{dy}{dx})$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{16y}{5} + \frac{16}{5}\frac{dy}{dx} + \frac{4y}{5} - \frac{1}{5}\frac{dy}{dx} = 4y + 3\frac{dy}{dx}$
તેથી,વિકલ સમીકરણ $f = \frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} - 4y = 0$ છે.
$\frac{df}{dx}$ શોધવા માટે,$f$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} - 4y) = \frac{d^3y}{dx^3} - 3\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = ax^2 + bx + c$.
અહીં,સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા $3$ $(a, b, c)$ છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વારંવાર વિકલન કરીશું.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2a$.
તૃતીય વિકલન: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
તેથી,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $y=e^{ax}(\cos bx+\sin bx)$.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx}=ae^{ax}(\cos bx+\sin bx)+e^{ax}(-b\sin bx+b\cos bx) = ay+be^{ax}(\cos bx-\sin bx)$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $be^{ax}(\cos bx-\sin bx) = \frac{dy}{dx}-ay$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + b[ae^{ax}(\cos bx-\sin bx) + e^{ax}(-b\sin bx-b\cos bx)]$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + a[be^{ax}(\cos bx-\sin bx)] - b^2e^{ax}(\sin bx+\cos bx)$.
$be^{ax}(\cos bx-\sin bx) = \frac{dy}{dx}-ay$ અને $e^{ax}(\cos bx+\sin bx) = y$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + a(\frac{dy}{dx}-ay) - b^2y$.
$\frac{d^2y}{dx^2} - 2a\frac{dy}{dx} + (a^2+b^2)y = 0$.
$\frac{d^2y}{dx^2}-K\frac{dy}{dx}+Ly=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K=2a$ અને $L=a^2+b^2$ મળે છે.
તેથી,$L+bK = a^2+b^2+b(2a) = a^2+b^2+2ab = (a+b)^2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $l x^2 + m y^2 - (x + y) = 0 \ldots (i)$ છે.
બે સ્વૈર અચળાંકો $l$ અને $m$ ને દૂર કરવા માટે,આપણે સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરીએ છીએ.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2lx + 2myy^{\prime} - (1 + y^{\prime}) = 0 \ldots (ii)$
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2l + 2m(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2) - y^{\prime \prime} = 0 \ldots (iii)$
આપણી પાસે $l, m, -1$ માં ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$l(x^2) + m(y^2) + (-1)(x+y) = 0$
$l(2x) + m(2yy^{\prime}) + (-1)(1+y^{\prime}) = 0$
$l(2) + m(2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime})) + (-1)(y^{\prime \prime}) = 0$
$l, m, -1$ માટે બિન-તુચ્છ ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & -(x+y) \\ 2x & 2yy^{\prime} & -(1+y^{\prime}) \\ 2 & 2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime}) & -y^{\prime \prime}\end{array}\right| = 0$
ત્રીજા સ્તંભને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & x+y \\ 2x & 2yy^{\prime} & 1+y^{\prime} \\ 2 & 2(y^{\prime 2} + yy^{\prime \prime}) & y^{\prime \prime}\end{array}\right| = 0$

(C) આપેલ સમીકરણ: $(3y - 7x + 7)dx + (7y - 3x + 3)dy = 0$
ગોઠવતા: $(7x - 3y - 7)dx + (3x - 7y - 3)dy = 0$ $\ldots(i)$
સમીકરણો $7x - 3y - 7 = 0$ અને $3x - 7y - 3 = 0$ ઉકેલતા,આપણને છેદબિંદુ $(1, 0)$ મળે છે.
$x = 1 + u$ અને $y = 0 + v = v$ લેતા,$dx = du$ અને $dy = dv$ થાય.
સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $(7u - 3v)du + (3u - 7v)dv = 0$ $\ldots(ii)$
આ એક સુરેખ સમઘાત સમીકરણ છે. $u = tv$ લેતા,$du = t dv + v dt$ થાય.
સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા: $(7tv - 3v)(t dv + v dt) + (3tv - 7v)dv = 0$
$(7t - 3)(t dv + v dt) + (3t - 7)dv = 0$
$(7t^2 - 7)dv + v(7t - 3)dt = 0$
$\int \frac{dv}{v} + \int \frac{7t - 3}{7(t^2 - 1)} dt = 0$
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{7t - 3}{t^2 - 1} = \frac{2}{t - 1} + \frac{5}{t + 1}$.
$\ln |v| + \frac{1}{7} [2 \ln |t - 1| + 5 \ln |t + 1|] = C_1$
$7 \ln |v| + 2 \ln |t - 1| + 5 \ln |t + 1| = C_2$
$\ln |v^7 (t - 1)^2 (t + 1)^5| = C_2$
$t = u/v$ મૂકતા: $v^7 (u/v - 1)^2 (u/v + 1)^5 = C$
$(u - v)^2 (u + v)^5 = C$
$u = x - 1$ અને $v = y$ મૂકતા: $(x - y - 1)^2 (x + y - 1)^5 = C$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x-2y+1)dy - (3x-6y+2)dx = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x-6y+2}{x-2y+1} = \frac{3(x-2y)+2}{(x-2y)+1}$
ધારો કે $v = x-2y$. તો $\frac{dv}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dv}{dx})$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2}(1 - \frac{dv}{dx}) = \frac{3v+2}{v+1}$
$1 - \frac{dv}{dx} = \frac{6v+4}{v+1} \Rightarrow \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{6v+4}{v+1} = \frac{v+1-6v-4}{v+1} = \frac{-5v-3}{v+1}$
$\int \frac{v+1}{-5v-3} dv = \int dx$
$-\frac{1}{5} \int \frac{5v+5}{5v+3} dv = x + C_1$
$-\frac{1}{5} \int \frac{(5v+3)+2}{5v+3} dv = x + C_1$
$-\frac{1}{5} [v + \frac{2}{5} \ln|5v+3|] = x + C_1$
$v = x-2y$ મૂકતા: $-\frac{1}{5}(x-2y) - \frac{2}{25} \ln|5(x-2y)+3| = x + C_1$
$-\frac{2}{25} \ln|5x-10y+3| = x + \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}y + C_1 = \frac{6}{5}x - \frac{2}{5}y + C_1$
$\ln|5x-10y+3|^{-2/25} = \frac{6x-2y}{5} + C_1$
$|5x-10y+3|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot e^{C_1}$
$|5(x-2y+\frac{3}{5})|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot C_2$
$|x-2y+\frac{3}{5}|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot C_3$
$\left|x-2y+\frac{3}{5}\right|^{2/25} \cdot e^{\frac{1}{5}(6x-2y)} = C$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{y-x+1}$ છે.
ગુણાકાર કરતા,$(y-x+1) dy = (x+y+1) dx$ મળે.
પદોને ગોઠવતા: $y dy - x dy + dy = x dx + y dx + dx$.
પદોને જૂથમાં લેતા: $(y+1) dy - x dy = (x+1) dx + y dx$.
બંને બાજુ $x dy$ ઉમેરતા: $(y+1) dy = (x+1) dx + (y dx + x dy)$.
ગુણાકારના નિયમ $d(xy) = y dx + x dy$ નો ઉપયોગ કરતા,$(y+1) dy = (x+1) dx + d(xy)$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (y+1) dy = \int (x+1) dx + \int d(xy)$.
આથી $\frac{(y+1)^2}{2} = \frac{(x+1)^2}{2} + xy + C_1$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા: $(y+1)^2 = (x+1)^2 + 2xy + 2C_1$.
ગોઠવતા: $2xy + (x+1)^2 - (y+1)^2 = -2C_1$.
ધારો કે $C = -2C_1$,તેથી $2xy + (x+1)^2 - (y+1)^2 = C$ મળે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+4}{3x+2y-7}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(3x+2y-7)dy = (2x-3y+4)dx$
પદોને ગોઠવતા: $(3x+2y-7)dy - (2x-3y+4)dx = 0$
$(3xdy + 3ydx) + (2ydy - 2xdx) - 7dy - 4dx = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $3d(xy) + d(y^2) - d(x^2) - 7dy - 4dx = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int 3d(xy) + \int d(y^2) - \int d(x^2) - \int 7dy - \int 4dx = \int 0$
$3xy + y^2 - x^2 - 7y - 4x = C$
$-1$ વડે ગુણતા: $x^2 - y^2 - 3xy + 4x + 7y + C = 0$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-3}{x+y-7}$.
ધારો કે $v = x+y$. તેથી $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v-3}{v-7}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{v-3}{v-7} + 1 = \frac{v-3+v-7}{v-7} = \frac{2v-10}{v-7} = \frac{2(v-5)}{v-7}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{v-7}{v-5} dv = \int 2 dx$.
$\int \frac{(v-5)-2}{v-5} dv = 2x + C$.
$\int (1 - \frac{2}{v-5}) dv = 2x + C$.
$v - 2 \ln |v-5| = 2x + C$.
$v = x+y$ મૂકતા: $(x+y) - 2 \ln |x+y-5| = 2x + C$.
$y-x-C = 2 \ln |x+y-5|$.
$\ln |x+y-5|^2 = y-x-C$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $(x+y-5)^2 = e^{y-x-C} = C' e^{y-x}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x \cos \left(\frac{y}{x}\right)(y d x+x d y)=y \sin \frac{y}{x}(x d y-y d x)$
પદોને ગોઠવતા: $x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) d x + x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right) d y = x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) d y - y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right) d x$
$dx$ અને $dy$ ના પદોને અલગ કરતા: $[x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)] d x = [x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right)] d y$
$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + y^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x^2 \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right) + (\frac{y}{x})^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) - \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
$y=vx$ આદેશ લેતા,$\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v}$
$x \frac{d v}{d x} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v(v \sin v - \cos v)}{v \sin v - \cos v} = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v \sin v - \cos v}{v \cos v} d v = 2 \frac{d x}{x}$
$\int (\tan v - \frac{1}{v}) d v = 2 \int \frac{d x}{x}$
$\log |\sec v| - \log |v| = 2 \log |x| + \log |C_1|$
$\log |\frac{\sec v}{v}| = \log |C_1 x^2| \Rightarrow \frac{\sec v}{v} = C_1 x^2$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{\sec(y/x)}{y/x} = C_1 x^2 \Rightarrow \frac{\sec(y/x)}{y} = C_1 x \Rightarrow \sec(y/x) = C_1 x y$
આમ,$\frac{1}{\cos(y/x)} = C_1 x y \Rightarrow \cos(y/x) = \frac{1}{C_1 x y} = \frac{C}{x y}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ $\ldots$ $(i)$
$x dx$ વડે ભાગતા: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2+y^2}$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $x(v + x \frac{dv}{dx}) - vx = \sqrt{x^2 + (vx)^2}$.
$vx + x^2 \frac{dv}{dx} - vx = x \sqrt{1+v^2}$.
$x^2 \frac{dv}{dx} = x \sqrt{1+v^2} \Rightarrow \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(v + \sqrt{1+v^2}) = \ln x + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}) = \ln x + C$.
$\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x}) = \ln x + C \Rightarrow \ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = C$.
આપેલ છે કે $x=\sqrt{3}$ ત્યારે $y=1$: $\ln(\frac{1 + \sqrt{3+1}}{3}) = C \Rightarrow \ln(\frac{1+2}{3}) = C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = 0 \Rightarrow \frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2} = 1$.
$y + \sqrt{x^2+y^2} = x^2 \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2} = x^2 - y$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 + y^2 = (x^2 - y)^2$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$
$x$ વડે ભાગતા $(x > 0)$: $\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x$
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{3}{x}$ અને $Q(x) = x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3}{x} dx} = e^{-3 \ln x} = e^{\ln x^{-3}} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.
વ્યાપક ઉકેલ: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$
$y \cdot \frac{1}{x^3} = \int x \cdot \frac{1}{x^3} dx + C$
$\frac{y}{x^3} = \int x^{-2} dx + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$
$y(2) = 4$ આપેલ છે,તેથી $x = 2$ અને $y = 4$ મૂકતા:
$\frac{4}{2^3} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{4}{8} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ: $\frac{y}{x^3} = -\frac{1}{x} + 1 \Rightarrow y = x^3 - x^2$.
$f(4)$ શોધવા માટે,$x = 4$ મૂકતા:
$f(4) = 4^3 - 4^2 = 64 - 16 = 48$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{x+7 y+3}{3 x+5 y+9}$ છે.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. તેથી $\frac{d y}{d x} = \frac{d Y}{d X}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{d Y}{d X} = \frac{X+7 Y + (h+7k+3)}{3X+5Y + (3h+5k+9)}$.
સમીકરણને સમપરિમાણીય બનાવવા માટે,$h+7k+3=0$ અને $3h+5k+9=0$ લેતા.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$h=-3$ અને $k=0$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $\frac{d Y}{d X} = \frac{X+7 Y}{3X+5Y}$ બને છે.
ધારો કે $Y = vX$,તેથી $\frac{d Y}{d X} = v + X \frac{d v}{d X}$.
$v + X \frac{d v}{d X} = \frac{1+7v}{3+5v} \Rightarrow X \frac{d v}{d X} = \frac{1+7v - 3v - 5v^2}{3+5v} = \frac{-5v^2+4v+1}{3+5v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{5v+3}{5v^2-4v-1} dv = -\int \frac{1}{X} dX$.
સંકલન કરતા,આપણને $v$ અને $X$ વચ્ચેનો સંબંધ મળે છે.
છેલ્લે $v = \frac{Y}{X} = \frac{y}{x+3}$ અને $X = x+3$ મૂકતા,વ્યાપક ઉકેલ $(y-x+3)^4 = c|5y+x-3|$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈ $\frac{y}{dy/dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\frac{y}{dy/dx} = x + 7y^2$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + 7y^2}$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dx}{dy} = \frac{x + 7y^2}{y} = \frac{x}{y} + 7y$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 7y$.
ઇન્ટિગ્રેટિંગ ફેક્ટર $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int 7y \cdot \frac{1}{y} dy + C$.
$\frac{x}{y} = \int 7 dy + C = 7y + C$.
$x = 7y^2 + Cy$.
આમ,$7y^2 + Cy - x = 0$,જે $f(x, y) = 7y^2 + cy - x$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ શરત $x f^{\prime}(x) = 2 f(x) - 2 x^3$ છે,જ્યાં $x \in (2, 5)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = -2 x^2$,જ્યાં $y = f(x)$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{2}{x} d x} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x^2} \right) = -2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\frac{y}{x^2} = -2 x + C$,જેથી $f(x) = -2 x^3 + C x^2$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{f(5)}{f(2)} = 1$,તેથી $f(5) = f(2)$.
$x = 5$ અને $x = 2$ મુકતા: $-2(125) + C(25) = -2(8) + C(4)$.
$-250 + 25 C = -16 + 4 C$.
$21 C = 234 \Rightarrow C = \frac{234}{21} = \frac{78}{7}$.
આમ,$f(x) = -2 x^3 + \frac{78}{7} x^2$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ છે.
$(1+y^2) dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ દ્વારા મળે છે.
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + C$.
ધારો કે $t = \tan^{-1} y$,તો $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int t e^t dt = t e^t - e^t$.
$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = e^t(t - 1) + C$.
$t = \tan^{-1} y$ મૂકતા,$x \cdot e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y}(\tan^{-1} y - 1) + C$.
$e^{\tan^{-1} y}$ વડે ભાગતા,$x = \tan^{-1} y - 1 + C e^{-\tan^{-1} y}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}$ છે.
$\sin x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \cot x$ અને $Q(x) = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$ છે.
સમીકરણને $I$.$F$. વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx}(y \sin x) = e^{2x}$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા,$y \sin x = \int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C$ મળે છે.
તેથી,$y = \frac{e^{2x}}{2 \sin x} + \frac{C}{\sin x}$.
શરત $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = \frac{e^\pi}{2(1)} + \frac{C}{1}$,જે આપણને $C = -\frac{e^\pi}{2}$ આપે છે.
$C$ ની કિંમત મૂકતા,$y = \frac{e^{2x} - e^\pi}{2 \sin x}$ મળે છે.
હવે,$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{e^{\pi/3} - e^\pi}{2(1/2)} = e^{\pi/3} - e^\pi$.

(A) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $a x^2+b y^2=1$ $\ldots$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 a x+2 b y \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow a x+b y y'=0$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $a+b(y')^2+b y y''=0$.
પ્રથમ વિકલન પરથી,$a = -b y y' / x$. આ કિંમતને બીજા વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-b y y' / x + b(y')^2 + b y y'' = 0$.
$b$ વડે ભાગતા ($b \neq 0$ ધારતા): $-y y' / x + (y')^2 + y y'' = 0$.
$x$ વડે ગુણતા: $x y y'' + x (y')^2 - y y' = 0$.
આ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $\alpha = 2$ અને ઘાત $\beta = 1$ છે.
આ કિંમતોને ઉપવલયના સમીકરણ $\alpha x^2+\beta y^2=1$ માં મૂકતા,આપણને $2 x^2+y^2=1$ મળે છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1} = 1$.
અહીં,$a^2 = 1/2$ અને $b^2 = 1$. કારણ કે $b^2 > a^2$,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \cos x \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$.
$x \cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + (\tan x + \frac{1}{x}) y = \frac{\sec x}{x}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x + \frac{1}{x}$ અને $Q = \frac{\sec x}{x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ છે: $IF = e^{\int P dx} = e^{\int (\tan x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sec x) + \ln(x)} = e^{\ln(x \sec x)} = x \sec x$.
ઉકેલ આ મુજબ છે: $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$.
કિંમતો મૂકતા: $y(x \sec x) = \int \frac{\sec x}{x} \cdot (x \sec x) dx + C$.
$x y \sec x = \int \sec^2 x dx + C$.
$x y \sec x = \tan x + C$.
આમ,$x y \sec x - \tan x = C$.