TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+8y+6=0$ છે. કેન્દ્ર $(2, -4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{14}$ છે.
$(2, \alpha)$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તે વર્તુળની અંદર હોવું જોઈએ. તેથી,$\alpha^2+8\alpha+2 < 0$ મળે.
$\alpha$ ની કિંમતો $(-4-\sqrt{14}, -4+\sqrt{14})$ અંતરાલમાં છે.
જીવા $(2, \alpha)$ માંથી પસાર થાય છે અને ત્રિજ્યાને લંબ છે,તેથી જીવા $y=\alpha$ રેખા છે.
આમ,$y$-અંતઃખંડ $(-4-\sqrt{14}, -4+\sqrt{14})$ અંતરાલમાં છે.

(C) આપેલ વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(1, 3+\sqrt{7})$ અને $C_2(4, 3)$ છે.
તેમની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 3$ અને $r_2 = \sqrt{25-k^2}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = 4$ છે.
બે સામાન્ય સ્પર્શકો માટે,શરત $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ હોવી જોઈએ.
આ શરત ઉકેલતા $k^2 < 24$ મળે છે.
$k \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$k$ ના શક્ય મૂલ્યો $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ છે.
આમ,કુલ $9$ મૂલ્યો શક્ય છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને ધન યામ અક્ષોને સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$ છે.
આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2-12x-10y+52=0$.
આ વર્તુળને $(x-6)^2+(y-5)^2 = 9$ તરીકે લખી શકાય,તેથી કેન્દ્ર $C_2 = (6, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો $C_1(r, r)$ અને $C_2(6, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $d = r_1+r_2 = r+3$ થાય.
તેથી,$\sqrt{(r-6)^2+(r-5)^2} = r+3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(r-6)^2+(r-5)^2 = (r+3)^2$.
$r^2-12r+36+r^2-10r+25 = r^2+6r+9$.
$r^2-28r+52 = 0$.
$(r-2)(r-26) = 0$,તેથી $r=2$ અથવા $r=26$.
$r=2$ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r+3 = 2+3 = 5$ છે.
$r=26$ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r+3 = 26+3 = 29$ છે.
વિકલ્પોમાં $5$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $5$ છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2-a^2=0$ અને રેખા $x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $x^2+y^2-a^2+\lambda(x \cos \alpha+y \sin \alpha-p)=0$ છે.
આ સૌથી નાનું વર્તુળ હોવા માટે,તેનું કેન્દ્ર રેખા $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ પર હોવું જોઈએ.
વર્તુળ $x^2+y^2+\lambda x \cos \alpha+\lambda y \sin \alpha-(a^2+\lambda p)=0$ નું કેન્દ્ર $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ છે.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણ $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ માં મૂકતા:
$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = p$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} (1) = p$
$\lambda = -2p$.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $T^2=SS_1$ છે.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે અને વર્તુળ $S: x^2+y^2+2gx+2fy+g^2=0$ છે.
$(0,0)$ પર $S_1 = g^2$ છે.
$(0,0)$ પર સ્પર્શક $T = gx+fy+g^2$ છે.
$T^2=SS_1$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(gx+fy+g^2)^2 = (x^2+y^2+2gx+2fy+g^2)(g^2)$
$g^2x^2+f^2y^2+g^4+2gfxy+2g^3x+2g^2fy = g^2x^2+g^2y^2+2g^3x+2g^2fy+g^4$
સમાન પદો દૂર કરતા:
$f^2y^2+2gfxy = g^2y^2$
$y^2(g^2-f^2)-2gfxy = 0$
$y[(g^2-f^2)y-2gfx] = 0$
આમ,સમીકરણો $y=0$ અને $(g^2-f^2)y-2gfx=0$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2-2gx-2hy+h^2=0$.
કેન્દ્ર $C = (g, h)$,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+h^2-h^2} = |g|$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $OP = OQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{h^2} = |h|$.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \cdot OP \cdot OQ \cdot \sin(2\theta) = \frac{1}{2} h^2 \sin(2\theta)$.
$\triangle OPC$ માં,$\angle OPC = 90^{\circ}$,તેથી $\tan \theta = \frac{PC}{OP} = \frac{|g|}{|h|}$.
હવે,$\sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta} = \frac{2|g||h|}{h^2+g^2}$.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} h^2 \cdot \frac{2|g||h|}{h^2+g^2} = \frac{|g|h^3}{h^2+g^2}$ ચોરસ એકમ.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y+3=0$ છે.
કેન્દ્ર $O(1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
બિંદુ $P(6, -5)$ થી સ્પર્શકની લંબાઈ $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{36+25-12-20+3} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
$\triangle OAP$ માં,$\tan(\theta/2) = \frac{OA}{AP} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$.
$\tan \theta = \frac{2\tan(\theta/2)}{1-\tan^2(\theta/2)} = \frac{2(1/4)}{1-(1/4)^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$.

(C) આપેલ છે કે,બિંદુ $P(1,1)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+gx+gy-2=0$ પર સ્પર્શકો $PA$ અને $PB$ દોરેલા છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{1^2+1^2+g(1)+g(1)-2} = \sqrt{1+1+g+g-2} = \sqrt{2g}$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ એ $(-\frac{g}{2}, -\frac{g}{2})$ છે અને ત્રિજ્યા $r = AC = \sqrt{(-\frac{g}{2})^2 + (-\frac{g}{2})^2 - (-2)} = \sqrt{\frac{g^2}{4} + \frac{g^2}{4} + 2} = \sqrt{\frac{g^2+4}{2}} = \frac{\sqrt{g^2+4}}{\sqrt{2}}$.
$PA$ સ્પર્શક હોવાથી,$\angle PAC = 90^\circ$. $\triangle PAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PA \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2g} \times \frac{\sqrt{g^2+4}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{g^3+4g}$.
ચતુષ્કોણ $PACB$ એ બે એકરૂપ ત્રિકોણ $\triangle PAC$ અને $\triangle PBC$ થી બનેલો છે.
તેથી,ચતુષ્કોણ $PACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\triangle PAC) = 2 \times \frac{1}{2} \sqrt{g^3+4g} = \sqrt{g^3+4g}$.

(C) બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-4x-6y+9=0$ અને $x^2+y^2-4x-6y+12=0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C(2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{2^2+3^2-9} = \sqrt{4+9-9} = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C(2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+3^2-12} = \sqrt{4+9-12} = 1$ છે.
બિંદુ $P$ એ બહારના વર્તુળ પર છે,તેથી $PC = R = 2$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQC$ માં (જ્યાં $\angle PQC = 90^\circ$ છે કારણ કે $PQ$ સ્પર્શક છે),આપણી પાસે $\cos \theta = \frac{QC}{PC} = \frac{r}{R} = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle CQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times (CQ) \times (CR) \times \sin(2\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $CQ = CR = r = 1$,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 1^2 \times \sin(2 \times \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \times \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\angle APB = \pi / 4$. જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર $O(h, k)$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\angle AOB = 2 \angle APB = \pi / 2$ થાય.
$OA = OB$ હોવાથી,$\triangle OAB$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{-1+5}{2}, \frac{3+3}{2}) = (2, 3)$ છે. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $x = 2$ છે,તેથી $h = 2$.
$\angle AOB = 90^\circ$ હોવાથી,$O(2, k)$ થી $A(-1, 3)$ નું અંતર $R$ છે,અને $OA^2 + OB^2 = AB^2$.
$AB^2 = (5 - (-1))^2 + (3 - 3)^2 = 6^2 = 36$.
$OA^2 = (2 - (-1))^2 + (k - 3)^2 = 9 + (k - 3)^2$.
$OA = OB$ હોવાથી,$OA^2 = OB^2 = R^2$,તેથી $2R^2 = 36 \Rightarrow R^2 = 18$.
$9 + (k - 3)^2 = 18$ $\Rightarrow (k - 3)^2 = 9$ $\Rightarrow k - 3 = \pm 3$.
આમ,$k = 6$ અથવા $k = 0$.
કેન્દ્રો $(2, 6)$ અને $(2, 0)$ છે.
કેન્દ્ર $(2, 6)$ માટે,સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 - 12y + 36 = 18$ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 12y + 22 = 0$ થાય.
કેન્દ્ર $(2, 0)$ માટે,સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 14 = 0$ થાય.

(B) આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2-6x+2y-28=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-3, f=1, c=-28$ મળે.
કેન્દ્ર $O = (-g, -f) = (3, -1)$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+(1)^2-(-28)} = \sqrt{9+1+28} = \sqrt{38}$ એકમ.
ધારો કે $OD$ એ કેન્દ્ર $O(3, -1)$ થી રેખા $2x-5y+18=0$ પરનું લંબ અંતર છે.
$OD = \left|\frac{2(3)-5(-1)+18}{\sqrt{2^2+(-5)^2}}\right| = \left|\frac{6+5+18}{\sqrt{4+25}}\right| = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}$ એકમ.
$\triangle OAD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AD^2 = r^2 - OD^2 = (\sqrt{38})^2 - (\sqrt{29})^2 = 38 - 29 = 9$.
$AD = 3$ એકમ.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી જીવાની લંબાઈ $\lambda = AB = 2AD = 2 \times 3 = 6$ એકમ.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ છે. કેન્દ્ર $C$ $(3, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$(-1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{4}{3}$ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $4x-3y+7=0$ છે.
સમાંતર જીવાનું સમીકરણ $4x-3y+k=0$ છે. સ્પર્શક અને જીવા વચ્ચેનું અંતર $1$ હોવાથી,$|k-7|=5$,તેથી $k=12$ અથવા $k=2$.
કેન્દ્રથી અંતર તપાસતા,$k=2$ માટે જીવા મળે છે. જીવાનું સમીકરણ $4x-3y+2=0$ છે.
$CP$ રેખાનું સમીકરણ $3x+4y=1$ મળે છે.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા,મધ્યબિંદુ $\left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ મળે છે.

(D) વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2-2x-6y+3=0$ અને રેખા $L \equiv 2x+y=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
$x^2+y^2-2x-6y+3 + \lambda(2x+y) = 0$
$x^2+y^2 + x(2\lambda-2) + y(\lambda-6) + 3 = 0$.
આ જીવા $2x+y=0$ એ નવા વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $2x+y=0$ પર હોવું જોઈએ.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1-\lambda, \frac{6-\lambda}{2})$ છે.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(1-\lambda) + \frac{6-\lambda}{2} = 0$.
$4 - 4\lambda + 6 - \lambda = 0$ $\Rightarrow 5\lambda = 10$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+y^2 + x(4-2) + y(2-6) + 3 = 0$.
$x^2+y^2+2x-4y+3 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(-2, 1)$ માટે: $(-2)^2 + (1)^2 + 2(-2) - 4(1) + 3 = 4 + 1 - 4 - 4 + 3 = 0$.
આમ,વર્તુળ બિંદુ $(-2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x-6y+k=0$ અને $S_2: x^2+y^2+8x-4y+11=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{13-k}$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(-4, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{37}$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} \right|$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ હોવાથી,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \left| \frac{13-k + 9 - 37}{6\sqrt{13-k}} \right| \Rightarrow 3\sqrt{13-k} = |15+k|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9(13-k) = (15+k)^2$.
$k^2 + 39k + 108 = 0 \Rightarrow (k+36)(k+3) = 0$.
તેથી $k = -36$ અથવા $k = -3$. વિકલ્પ મુજબ જવાબ $-36$ છે.

(C) બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
$S$ અને $S'$ માટે,$2g(-2)+2f(-3)=c+11 \implies -4g-6f=c+11$ $(i)$.
$S$ અને $S''$ માટે,$2g(-5)+2f(-2)=c+21 \implies -10g-4f=c+21$ $(ii)$.
$S$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. તે ધન યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજક $(y=x)$ પર હોવાથી,$-f = -g$,એટલે કે $f=g$ $(iii)$.
$f=g$ ને $(i)$ અને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-10f = c+11$ $(iv)$
$-14f = c+21$ $(v)$
$(iv)$ માંથી $(v)$ બાદ કરતા: $4f = -10 \implies f = -2.5$.
તેથી $g = -2.5$.
$(iv)$ પરથી,$c = -10(-2.5) - 11 = 25 - 11 = 14$.
અંતે,$2g+2f+c = 2(-2.5)+2(-2.5)+14 = -5-5+14 = 4$.

(C) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. કેન્દ્ર $(-g,-f)$ છે.
આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ અને $C_2: x^2+y^2-10x+12y+52=0$ છે.
$C_1$ માટે,$g_1=-1, f_1=-2, c_1=-4$. $C_2$ માટે,$g_2=-5, f_2=6, c_2=52$.
બે વર્તુળો લંબછેદી રીતે છેદે તેની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
$C_1$ માટે: $2g(-1)+2f(-2)=c-4 \Rightarrow 2g+4f=-c+4$ $(i)$.
$C_2$ માટે: $2g(-5)+2f(6)=c+52 \Rightarrow 10g-12f=-c-52$ (ii).
$(i)$ પરથી,$c = 4-2g-4f$. (ii) માં મૂકતા: $10g-12f = -(4-2g-4f)-52 = 2g+4f-56$.
$8g-16f = -56$ $\Rightarrow g-2f = -7$ $\Rightarrow g = 2f-7$ (iii).
$c = 18-8f$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{5f^2-20f+31} = \sqrt{5(f-2)^2+11}$.
ન્યૂનતમ માટે $f=2$ લેતા,$g = -3$ મળે.
તેથી કેન્દ્ર $(-g,-f) = (3,-2)$ થાય.

(B) જ્યારે બે વર્તુળોને માત્ર બે સામાન્ય સ્પર્શકો હોય અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = r_1 + r_2$ હોય,ત્યારે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
આ કિસ્સામાં,સ્પર્શબિંદુ પરનો સામાન્ય સ્પર્શક રેડિકલ અક્ષ તરીકે કાર્ય કરે છે.
સ્પર્શબિંદુ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

(B) આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2+y^2-8x-6y+21=0$
$S_2: x^2+y^2-2y-15=0$
વર્તુળ $S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(4,3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{4^2+3^2-21} = 2$ છે.
વર્તુળ $S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(0,1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{0^2+1^2-(-15)} = 4$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(4-0)^2+(3-1)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
અહીં $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$ હોવાથી,વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે છે,તેથી તેમની પાસે માત્ર એક બાહ્ય સામાન્ય સ્પર્શકનું છેદબિંદુ છે.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $P$ એ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું તેમની ત્રિજ્યાઓના ગુણોત્તર $r_1:r_2 = 1:2$ માં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
બાહ્ય વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{1(0) - 2(4)}{1-2}, \frac{1(1) - 2(3)}{1-2} \right) = (8,5)$.

(A) . $x^2+y^2+2x+8y-23=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(-1,-4)$,ત્રિજ્યા $r_1=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. $x^2+y^2-4x-10y+19=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(2,5)$,ત્રિજ્યા $r_2=\sqrt{10}$. અંતર $C_1C_2=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$. $C_1C_2=r_1+r_2$ હોવાથી,વર્તુળો બહારથી સ્પર્શે છે,તેથી $3$ સામાન્ય સ્પર્શકો છે.
$B$. $x^2+y^2=1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(0,0)$,ત્રિજ્યા $r_1=1$. $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(1,3)$,ત્રિજ્યા $r_2=2$. અંતર $C_1C_2=\sqrt{10}$. $C_1C_2 > r_1+r_2$ $(\sqrt{10} > 3)$ હોવાથી,વર્તુળો અલગ છે,તેથી $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો છે.
$C$. $x^2+y^2-8x+2y=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(4,-1)$,ત્રિજ્યા $r_1=\sqrt{17}$. $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(1,8)$,ત્રિજ્યા $r_2=2\sqrt{10}$. અંતર $C_1C_2=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$. $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$ હોવાથી,વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે છે,તેથી $2$ સામાન્ય સ્પર્શકો છે.
$D$. $x^2+y^2=4$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(0,0)$,ત્રિજ્યા $r_1=2$. $x^2+y^2-2x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(1,0)$,ત્રિજ્યા $r_2=1$. અંતર $C_1C_2=1$. $C_1C_2=|r_1-r_2|=1$ હોવાથી,વર્તુળો અંદરથી સ્પર્શે છે,તેથી $1$ સામાન્ય સ્પર્શક છે.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-V, C-III, D-II$ છે.

(B) આપેલ $S \equiv x^2+y^2-4=0$,તેથી $C_1(0,0)$ અને $r_1=2$.
ધારો કે $S^{\prime}=0$ નું કેન્દ્ર $C_2(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ છે.
$S^{\prime}=0$ નું સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{25}{2}$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2+y^2-2xh-2yk+h^2+k^2-\frac{25}{2}=0$ મળે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S-S^{\prime}=0$ છે,જે $2xh+2yk = h^2+k^2-\frac{17}{2}$ થાય.
સામાન્ય જીવાનો ઢાળ $-\frac{h}{k} = \frac{1}{4} \Rightarrow k = -4h$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ મહત્તમ હોય જ્યારે તે નાના વર્તુળના કેન્દ્ર $C_1(0,0)$ માંથી પસાર થાય.
$(0,0)$ ને જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા: $h^2+k^2 = \frac{17}{2}$.
$k=-4h$ ને $h^2+k^2=\frac{17}{2}$ માં મૂકતા,$h^2+(-4h)^2 = \frac{17}{2}$ $\Rightarrow 17h^2 = \frac{17}{2}$ $\Rightarrow h = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
જો $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$,તો $k = -2\sqrt{2}$.
જો $h = -\frac{\sqrt{2}}{2}$,તો $k = 2\sqrt{2}$.
તેથી,કેન્દ્ર $C_2$ એ $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -2\sqrt{2}\right)$ અથવા $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2}\right)$ છે.

(A) આપેલ છે $S_1: x^2+y^2=16$. કેન્દ્ર $B(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=4$ છે.
સામાન્ય જીવા મહત્તમ લંબાઈની હોવાથી,તે $S_1$ નો વ્યાસ હશે.
ધારો કે $PQ$ સામાન્ય જીવા છે. જીવાની લંબાઈ $2 \times 4 = 8$ છે.
ધારો કે $S_2$ નું કેન્દ્ર $A(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2=5$ છે.
કેન્દ્ર $A(h, k)$ થી સામાન્ય જીવા $PQ$ નું અંતર $d = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ છે.
સામાન્ય જીવા $PQ$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે.
રેખા $AB$ એ જીવા $PQ$ ને લંબ છે,તેથી $AB$ નો ઢાળ $-\frac{4}{3}$ થાય.
$AB$ નું અંતર $3$ છે.
પ્રચલિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્ર $\left(\mp \frac{9}{5}, \pm \frac{12}{5}\right)$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળો $C_1: (x-a)^2+y^2=a^2$ અને $C_2: x^2+(y-a)^2=a^2$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2+y^2-2ax=0$ અને $x^2+y^2-2ay=0$ મળે છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $C_1 - C_2 = 0$ લેતા,$-2ax + 2ay = 0 \Rightarrow x-y=0$ મળે છે.
$y=x$ ને $x^2+y^2-2ax=0$ માં મૂકતા,$2x^2-2ax=0 \Rightarrow 2x(x-a)=0$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(a,a)$ છે.
જીવાનું મધ્યબિંદુ $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ છે.
જીવાની લંબાઈ $\sqrt{2}a$ છે.
કેન્દ્ર $(a,0)$ થી રેખા $x-y=0$ નું અંતર $d = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચું નથી.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 + kx - 4y - 1 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - \frac{14}{3}x + \frac{23}{3}y - 5 = 0$ છે.
વર્તુળો લંબકોણીય હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ લાગુ પડે છે.
અહીં $g_1 = \frac{k}{2}, f_1 = -2, c_1 = -1$ અને $g_2 = -\frac{7}{3}, f_2 = \frac{23}{6}, c_2 = -5$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(\frac{k}{2})(-\frac{7}{3}) + 2(-2)(\frac{23}{6}) = -1 - 5$.
$-\frac{7k}{3} - \frac{46}{3} = -6$ $\Rightarrow -7k - 46 = -18$ $\Rightarrow k = -4$.
છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_2') = 0$ છે.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 1 + \lambda(x^2 + y^2 - \frac{14}{3}x + \frac{23}{3}y - 5) = 0$.
$(-1, -1)$ માંથી પસાર થતા,$9 - 6\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$.
સમીકરણમાં $\lambda = \frac{3}{2}$ મૂકતા,$5x^2 + 5y^2 - 22x + 15y - 17 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-2y-4=0$ છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2,1)$ છે.
વ્યાસ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ અને કેન્દ્ર $(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી વ્યાસનું સમીકરણ $x-2y=0$ છે.
વર્તુળ $S=0$ અને રેખા $L=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S+\lambda L=0$ છે.
તેથી,$x^2+y^2-4x-2y-4+\lambda(x-2y)=0$.
આ વર્તુળ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=2$ મૂકતા:
$1+4-4-4-4+\lambda(1-4)=0$
$-7-3\lambda=0 \implies \lambda = -\frac{7}{3}$.
કિંમત મૂકતા:
$x^2+y^2-4x-2y-4-\frac{7}{3}(x-2y)=0$
$3x^2+3y^2-19x+8y-12=0$.

(A) આપેલ વર્તુળોના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની સંહતિનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ લો.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\lambda = -\frac{21}{31}$ મળે છે.
આ કિંમતને કેન્દ્રના સૂત્ર $(-g, -f)$ માં મૂકતા,આપણને કેન્દ્ર $\left(-\frac{27}{2}, -\frac{25}{2}\right)$ મળે છે.

(A) વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(-1, -4)$ અને $C_2(2, -5)$ છે.
$S_2$ ની સાપેક્ષ $C_1(-1, -4)$ ની ધ્રુવીય રેખા $L_1: -3x + y + 1 = 0$ છે.
$S_1$ ની સાપેક્ષ $C_2(2, -5)$ ની ધ્રુવીય રેખા $L_2: 3x - y - 41 = 0$ છે.
આ રેખાઓ સમાંતર છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|1 - (-41)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{42}{\sqrt{10}} = 4.2\sqrt{10}$ છે.

(C) ધારો કે $P$ એ $(x_1, y_1)$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ જે યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે અને પ્રથમ ચરણમાં છે તે $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2xr - 2yr + r^2 = 0$ થાય છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2xr - 2yr + r^2 = 0$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $P(x_1, y_1)$ ની પોલર રેખા $xx_1 + yy_1 - r(x+x_1) - r(y+y_1) + r^2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(x_1-r)x + (y_1-r)y = r(x_1+y_1-r)$ મળે છે.
આપેલ છે કે પોલર રેખા $x+2y=4r$ છે,તેથી સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{y_1-r}{2} = \frac{x_1+y_1-r}{4}$.
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{y_1-r}{2}$ પરથી,$2x_1 - 2r = y_1 - r$,એટલે કે $y_1 = 2x_1 - r$.
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{x_1+y_1-r}{4}$ પરથી,$4x_1 - 4r = x_1 + y_1 - r$,એટલે કે $3x_1 - 3r = y_1$.
$y_1$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2x_1 - r = 3x_1 - 3r$,જે $x_1 = 2r$ આપે છે.
$x_1 = 2r$ ને $y_1 = 2x_1 - r$ માં મૂકતા,$y_1 = 2(2r) - r = 3r$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $P$ એ $(2r, 3r)$ છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=18$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $R=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$ અને વ્યાસ $D=6 \sqrt{2}$ છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a=6 \sqrt{2}$ હોવાથી,$a=3 \sqrt{2}$ અને $a^2=18$ મળે.
$e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{8}{9}=1-\frac{b^2}{18}$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $\frac{b^2}{18}=\frac{1}{9}$ એટલે કે $b^2=2$ મળે.
તેથી ઉપવલય $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{2}=1$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ સ્પર્શકનો ધ્રુવ છે. ઉપવલયની સાપેક્ષમાં ધ્રુવીય રેખા $\frac{xh}{18}+\frac{yk}{2}=1$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=18$ નો સ્પર્શક છે. રેખા $lx+my=1$ એ $x^2+y^2=R^2$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $R^2(l^2+m^2)=1$ છે.
અહીં $l=\frac{h}{18}$ અને $m=\frac{k}{2}$ છે,તેથી $18(\frac{h^2}{18^2}+\frac{k^2}{4})=1$.
સાદુંરૂપ આપતા,$\frac{h^2}{18}+\frac{18k^2}{4}=1$,એટલે કે $\frac{h^2}{18}+\frac{9k^2}{2}=1$.
આમ,બિંદુપથ $\frac{x^2}{18}+\frac{9y^2}{2}=1$ છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2-2g_ix+c_i^2=0$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(\alpha_i, \beta_i)$ ના ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $\alpha_ix + \beta_iy - g_i(x+\alpha_i) + c_i^2 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(\alpha_i - g_i)x + \beta_iy + (c_i^2 - \alpha_ig_i) = 0$ મળે.
આને આપેલી રેખા $x - y = 0$ સાથે સરખાવતા,સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન મળે:
$\frac{\alpha_i - g_i}{1} = \frac{\beta_i}{-1} = \frac{c_i^2 - \alpha_ig_i}{0}$.
ત્રીજા ભાગ પરથી,$c_i^2 - \alpha_ig_i = 0$,જેનો અર્થ છે કે $c_i^2 = \alpha_ig_i$.
પ્રથમ બે ભાગ પરથી,$\alpha_i - g_i = -\beta_i$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha_i + \beta_i = g_i$.
તેથી,$\frac{\alpha_i + \beta_i}{g_i} = \frac{g_i}{g_i} = 1$.
$i=1, 2, 3$ માટે આનો સરવાળો કરતા,$\sum_{i=1}^3 \frac{\alpha_i + \beta_i}{g_i} = 1 + 1 + 1 = 3$ મળે.

(B) $S=0$ અને $S^{\prime}=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $S-S^{\prime}=0$ દ્વારા મળે છે.
$ (x^2+y^2-6x-6y+4) - (x^2+y^2-2x-4y+3) = 0 $
$ -4x-2y+1=0 \Rightarrow 4x+2y-1=0 $.
$S$ અને $S^{\prime}$ ની કોએક્સિયલ સિસ્ટમનું કોઈપણ વર્તુળ $S+\lambda(S-S^{\prime})=0$ દ્વારા મળે છે.
$ (x^2+y^2-6x-6y+4) + \lambda(4x+2y-1) = 0 $
$ x^2+y^2 + x(4\lambda-6) + y(2\lambda-6) + (4-\lambda) = 0 $.
કેન્દ્ર $C = (3-2\lambda, 3-\lambda)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(3-2\lambda)^2 + (3-\lambda)^2 - (4-\lambda)} = \sqrt{14}$.
$ (9-12\lambda+4\lambda^2) + (9-6\lambda+\lambda^2) - 4 + \lambda = 14 $.
$ 5\lambda^2 - 17\lambda + 14 = 14 \Rightarrow 5\lambda^2 - 17\lambda = 0 $.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\lambda = \frac{17}{5}$.
કેન્દ્ર $C = (3-2(\frac{17}{5}), 3-\frac{17}{5}) = (-\frac{19}{5}, -\frac{2}{5})$ છે.

(C) બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ તેમના તમામ સામાન્ય સ્પર્શકોને દુભાગે છે.
પ્રથમ,$A(1, 1)$ અને $B(0, 1)$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો:
$M = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
ત્યારબાદ,$C\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ અને $D\left(-\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)$ નું મધ્યબિંદુ $N$ શોધો:
$N = \left(\frac{1}{5}, \frac{11}{10}\right)$.
રેડિકલ અક્ષ $M$ અને $N$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $MN$ નો ઢાળ $m$:
$m = -\frac{1}{3}$.
રેખા $MN$ નું સમીકરણ:
$y - 1 = -\frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right)$
$2x + 6y = 7$.

(A) રેડિકલ કેન્દ્ર એ રેડિકલ અક્ષોનું છેદબિંદુ છે. $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ એ રેડિકલ કેન્દ્ર હોવાથી,તે રેડિકલ અક્ષો $S_1-S_2=0$ અને $S_2-S_3=0$ ના સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
પ્રથમ,રેડિકલ અક્ષ $S_1-S_2=0$ લો:
$(x^2+y^2-2x+6y) - (x^2+y^2+2gx-2y+6) = 0$
$(-2-2g)x + 8y - 6 = 0$.
આ સમીકરણમાં $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ મૂકતા:
$(-2-2g)(0) + 8\left(\frac{3}{4}\right) - 6 = 0 \Rightarrow 6 - 6 = 0$. આ સુસંગત છે.
હવે,રેડિકલ અક્ષ $S_2-S_3=0$ લો:
$(x^2+y^2+2gx-2y+6) - (x^2+y^2-12x+2fy+3) = 0$
$(2g+12)x + (-2-2f)y + 3 = 0$.
આ સમીકરણમાં $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ મૂકતા:
$(2g+12)(0) + (-2-2f)\left(\frac{3}{4}\right) + 3 = 0$
$(-2-2f)\left(\frac{3}{4}\right) = -3
$ $\Rightarrow -2-2f = -4$ $\Rightarrow 2f = 2$ $\Rightarrow f = 1$.
$S_2$ અને $S_3$ લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ લાગુ પડે છે:
$2(g)(-6) + 2(-1)(f) = 6 + 3$
$-12g - 2f = 9$.
$f=1$ મૂકતા:
$-12g - 2(1) = 9$ $\Rightarrow -12g = 11$ $\Rightarrow g = \frac{-11}{12}$.
આમ,$(g, f) = \left(\frac{-11}{12}, 1\right)$.

(C) વર્તુળો $x^2+y^2+2 \alpha x+2 \beta y+c=0$ અને $x^2+y^2+\frac{3}{2} x+4 y+c=0$ ની રેડિકલ ધરી સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મળે છે:
$(2 \alpha - \frac{3}{2})x + (2 \beta - 4)y = 0$
$(4 \alpha - 3)x + 4(\beta - 2)y = 0$
$(4 \alpha - 3)x + (4 \beta - 8)y = 0$.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2+1^2-1} = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી રેખા $(4 \alpha - 3)x + (4 \beta - 8)y = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $1$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$1 = \frac{|(4 \alpha - 3)(-1) + (4 \beta - 8)(-1)|}{\sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}}$
$|-(4 \alpha - 3 + 4 \beta - 8)| = \sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}$
$|-(4 \alpha + 4 \beta - 11)| = \sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(4 \alpha + 4 \beta - 11)^2 = (4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2$
$16 \alpha^2 + 16 \beta^2 + 121 + 32 \alpha \beta - 88 \alpha - 88 \beta = 16 \alpha^2 - 24 \alpha + 9 + 16 \beta^2 - 64 \beta + 64$
$32 \alpha \beta - 64 \alpha - 24 \beta = -48$
$8$ વડે ભાગતા:
$4 \alpha \beta - 8 \alpha - 3 \beta = -6$
બંને બાજુ $10$ ઉમેરતા:
$4 \alpha \beta - 8 \alpha - 3 \beta + 10 = -6 + 10 = 4$.

(B) ધારો કે વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $S$ એ $C_1$ અને $C_2$ ને લંબચ્છેદી હોવાથી:
$2g(-4) + 2f(-1) = c + 16 \implies -8g - 2f = c + 16 \quad (i)$
$2g(-2) + 2f(-2) = c - 1 \implies -4g - 4f = c - 1 \quad (ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $-4g + 2f = 17 \implies 2f = 4g + 17 \implies f = 2g + 8.5$.
$S=0$ અને $C_1=0$ ની સામાન્ય જીવા $S - C_1 = 0$ છે:
$(2g+8)x + (2f+2)y + (c-16) = 0$.
આપેલ જીવા $2x + 13y - 15 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{2g+8}{2} = \frac{2f+2}{13} = \frac{c-16}{-15} = k$.
$2g+8 = 2k \implies g = k-4$.
$2f+2 = 13k \implies f = \frac{13k-2}{2}$.
$2f = 4g + 17$ માં કિંમત મૂકતા: $13k-2 = 4(k-4) + 17 \implies 13k-2 = 4k-16+17 \implies 9k = 3 \implies k = \frac{1}{3}$.
તેથી $g = \frac{1}{3} - 4 = \frac{-11}{3}$ અને $f = \frac{13(1/3)-2}{2} = \frac{7/3}{2} = \frac{7}{6}$.
$S$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = \left(\frac{11}{3}, \frac{-7}{6}\right)$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2+2x+2y-3=0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવીને સમીકરણ ફરીથી લખતા:
$(y^2+2y+1)-1+2x-3=0$
$(y+1)^2+2x-4=0$
$(y+1)^2 = -2(x-2)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
શિરોબિંદુ $(h, k) = (2, -1)$
$-4a = -2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
અક્ષ: $y-k=0 \Rightarrow y+1=0$
નાભિ: $(h-a, k) = (2-\frac{1}{2}, -1) = (\frac{3}{2}, -1)$
નિયામિકા: $x = h+a$ $\Rightarrow x = 2+\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2x-5=0$
આમ,જોડ આ મુજબ છે:
$A \rightarrow III$ (નિયામિકાનું સમીકરણ $2x-5=0$ છે)
$B \rightarrow II$ (નાભિ $(\frac{3}{2}, -1)$ છે)
$C \rightarrow IV$ (અક્ષનું સમીકરણ $y+1=0$ છે)
$D \rightarrow I$ (શિરોબિંદુ $(2, -1)$ છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-II, C-IV, D-I$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = \frac{h^3}{3} x^2 + \frac{h^2}{2} x - h + \frac{3}{4 h^3}$.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણને $(x - h_0)^2 = 4a(y - k_0)$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા.
નિયામિકાનું સમીકરણ $y = k_0 - a$ છે.
ગણતરી કરતા,$k = -\frac{19h}{16}$ મળે છે.
તેથી,$k : h = -19 : 16$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 2px$ છે. નાભિ $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ છે અને નિયામિકા $x = -\frac{p}{2}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર નાભિ પર છે અને તે નિયામિકાને સ્પર્શે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = p$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = p^2$ છે.
$y^2 = 2px$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x - \frac{p}{2})^2 + 2px = p^2$
$x^2 + px - \frac{3p^2}{4} = 0$
$(x + \frac{3p}{2})(x - \frac{p}{2}) = 0$.
તેથી $x = \frac{p}{2}$ મળે છે.
$x = \frac{p}{2}$ ને $y^2 = 2px$ માં મૂકતા $y = \pm p$ મળે છે.
છેદબિંદુઓ $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ અને $\left(\frac{p}{2}, -p\right)$ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16x$ છે. પરવલયનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે. ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(4t^2, 8t)$,અને $B(4t^2, -8t)$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,$\angle AOM = 30^{\circ}$ થાય,જ્યાં $M$ એ $A$ નો $X$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ છે.
$\triangle AOM$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{AM}{OM} = \frac{8t}{4t^2} = \frac{2}{t}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{t}$,જે આપણને $t = 2\sqrt{3}$ આપે છે.
બિંદુ $A$ ના યામ $(4(2\sqrt{3})^2, 8(2\sqrt{3})) = (48, 16\sqrt{3})$ છે.
ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $OA = \sqrt{(48-0)^2 + (16\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{2304 + 768} = \sqrt{3072} = 32\sqrt{3}$ થાય.
આમ,સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $32\sqrt{3}$ છે.

(B) પરવલય $y^2=4x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=1$. નાભિ $S(a,0) = (1,0)$ છે.
$PQ$ એ નાભિ જીવા હોવાથી,$PS$ અને $SQ$ નો હરાત્મક મધ્યક એ અર્ધ-નાભિલંબ $l=2a=2$ સાથે સંબંધિત છે: $\frac{1}{PS} + \frac{1}{SQ} = \frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1$.
$P=(4,4)$ અને $S=(1,0)$ આપેલ છે,તેથી અંતર $PS = \sqrt{(4-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
સંબંધમાં $PS=5$ મૂકતા: $\frac{1}{5} + \frac{1}{SQ} = 1$.
$\frac{1}{SQ} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$SQ = \frac{5}{4}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $(y + 2)^2 = -4(x - 1)$ છે.
અહીં $A = -1$ છે. પ્રાચલિત યામ $x - 1 = -t^2$ અને $y + 2 = -2t$ છે.
બિંદુ $P(-3, 2)$ માટે $t = -2$ મળે છે.
નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ માટે $t_1 t_2 = -1$ હોવાથી,$t_2 = \frac{1}{2}$ મળે.
બિંદુ $Q$ ના યામ $(\frac{3}{4}, -3)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{y + 2}$ છે.
$Q$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = 2$ મળે છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_N = \frac{-1}{m_T} = \frac{-1}{2}$ થાય.

(A) રેખા $y=1+2x$ ને $2x-y+1=0$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે રેખા પરવલયને $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. $P(0,1)$ માંથી પસાર થતી અને $m=2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું પ્રાચલ સ્વરૂપ $\frac{x-0}{\cos \theta} = \frac{y-1}{\sin \theta} = r$ છે,જ્યાં $\tan \theta = 2$. તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ અને $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$x = \frac{r}{\sqrt{5}}$ અને $y = 1 + \frac{2r}{\sqrt{5}}$ ને પરવલયના સમીકરણ $x^2=4ay$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{r}{\sqrt{5}}\right)^2 = 4a\left(1 + \frac{2r}{\sqrt{5}}\right)$
$\frac{r^2}{5} = 4a + \frac{8ar}{\sqrt{5}}$
$r^2 - 8\sqrt{5}ar - 20a = 0$
ધારો કે $r_1$ અને $r_2$ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે. અંતઃખંડની લંબાઈ $|r_1 - r_2| = \sqrt{40}$ છે.
$(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$40 = (8\sqrt{5}a)^2 - 4(-20a)$
$40 = 320a^2 + 80a$
$32a^2 + 8a - 4 = 0$
$8a^2 + 2a - 1 = 0$
$(4a-1)(2a+1) = 0$
$a>0$ હોવાથી,આપણને $4a=1$ મળે છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^2-4y-4x+8=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(y-2)^2 = 4(x-1)$ મળે છે.
પરવલય $(y-k_0)^2 = 4a(x-h_0)$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y-k_0) = m(x-h_0) + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં $h_0=1, k_0=2, a=1$ છે. તેથી,$y = mx - m + \frac{1}{m} + 2$.
આપેલ સ્પર્શક $y = \frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ છે.
ઢાળ સરખાવતા,$m = \frac{1}{2}$ મળે છે.
અંતઃખંડ સરખાવતા,$\frac{k}{2} = -\frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{7}{2}$,તેથી $k=7$.
પરવલય પરનું બિંદુ $(1, 7)$ છે.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y-2}$ મળે છે.
$(1, 7)$ બિંદુએ ઢાળ $\frac{2}{7-2} = \frac{2}{5}$ થાય.

(C) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\alpha = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. \\ બિંદુઓ $A(1, 2), B(4, -4), C(2, 2\sqrt{2})$ મૂકતા: \\ $\alpha = \frac{1}{2} |1(-4 - 2\sqrt{2}) + 4(2\sqrt{2} - 2) + 2(2 - (-4))| = 3\sqrt{2}$. \\ પરવલય માટે,બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું હોય છે. \\ તેથી,$\alpha = 2\beta$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. \\ આમ,$\alpha \beta = (3\sqrt{2}) \times \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) = 9$.

(C) પરવલય $y^2=4\sqrt{k}x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{\sqrt{k}}{m}$ છે,જ્યાં $m$ એ સ્પર્શકનો ઢાળ છે.
જો તે વર્તુળ $x^2+y^2=\frac{k}{2}$ ને સ્પર્શે,તો કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx-y+\frac{\sqrt{k}}{m}=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{\frac{k}{2}}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\left|\frac{\sqrt{k}/m}{\sqrt{m^2+1}}\right| = \sqrt{\frac{k}{2}}$
$\frac{k}{m^2(m^2+1)} = \frac{k}{2}$
$m^2(m^2+1) = 2$
$m^4+m^2-2 = 0$
$(m^2+2)(m^2-1) = 0$
$m$ વાસ્તવિક હોવાથી,$m^2=1$,જે $m=1$ અથવા $m=-1$ આપે છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$ થાય.

(A) આપેલ પરવલયો $x^2=108y$ અને $y^2=32x$ છે.
$x^2=4ay$ માટે,$4a=108 \Rightarrow a=27$. સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx-27m^2$ છે $... (i)$.
$y^2=4ax$ માટે,$4a=32 \Rightarrow a=8$. સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{8}{m}$ છે $... (ii)$.
બંને સમીકરણો સમાન હોવાથી,$-27m^2 = \frac{8}{m}$.
$m^3 = -\frac{8}{27} \Rightarrow m = -\frac{2}{3}$.
$m$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$y = -\frac{2}{3}x - 27(-\frac{2}{3})^2$
$y = -\frac{2}{3}x - 12$
$3y = -2x - 36$
$2x + 3y + 36 = 0$.

(B) પરવલય $y^2=16x$ ના બિંદુ $P(4,8)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $8y = 8(x+4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x+4$ $\dots(i)$ થાય છે.
સ્પર્શક $(i)$ એ પરવલય $y^2 = 16x+80$ ને $A$ અને $B$ માં છેદે છે,તેથી $y = x+4$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+4)^2 = 16x + 80$
$x^2 + 8x + 16 = 16x + 80$
$x^2 - 8x - 64 = 0$.
ધારો કે $A$ ના યામ $(x_1, y_1)$ અને $B$ ના યામ $(x_2, y_2)$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 8x - 64 = 0$ ના બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે. બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 = 8$ થાય.
$AB$ ના મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ ના યામ $h = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ છે.
મધ્યબિંદુ રેખા $y = x+4$ પર હોવાથી,$k = h+4 = 4+4 = 8$ મળે.
આમ,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $(4,8)$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી $4a=1$ અથવા $a=\frac{1}{4}$.
પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુને $(at^2, 2at) = (\frac{t^2}{4}, \frac{t}{2})$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1/2}{t/2} = \frac{1}{t}$ છે.
આ બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = -t$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અભિલંબનો ઢાળ તે બિંદુના $x$-યામ જેટલો છે:
$-t = \frac{t^2}{4}$.
તેથી $t^2 + 4t = 0$,જેનો અર્થ છે $t(t+4) = 0$.
આમ,$t=0$ અથવા $t=-4$.
$t$ ના આ બે મૂલ્યો પરવલય પરના બે અલગ-અલગ બિંદુઓ દર્શાવે છે.
તેથી,આવા $2$ બિંદુઓ શક્ય છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=12x$ છે.
$y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=3$ મળે.
કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y_1} = \frac{6}{y_1}$ છે.
$A(3,-6)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{6}{-6} = -1$ છે.
તેથી,$A(3,-6)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -1/(-1) = 1$ છે.
$A(3,-6)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - (-6) = 1(x - 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x - 9$ થાય છે.
છેદબિંદુ $P$ શોધવા માટે,$y = x - 9$ ને $y^2 = 12x$ માં મૂકતા:
$(x-9)^2 = 12x$ $\Rightarrow x^2 - 18x + 81 = 12x$ $\Rightarrow x^2 - 30x + 81 = 0$.
$(x-3)(x-27) = 0$.
$x=3$ એ બિંદુ $A$ હોવાથી,બિંદુ $P$ માટે $x=27$ મળે.
તેથી $y = 27 - 9 = 18$. આમ,$P(27, 18)$ મળે.
$P(27, 18)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x+x_1)$ મુજબ:
$y(18) = 2(3)(x+27)$ $\Rightarrow 18y = 6(x+27)$ $\Rightarrow 3y = x+27$ $\Rightarrow x-3y+27=0$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે,જ્યાં $a=1$.
બિંદુ $(h,k)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ $my^3 + (2a-h)m^2 + k^2m - k = 0$ છે.
બિંદુ $(5,0)$ માટે,$h=5$ અને $k=0$ છે.
સમીકરણ $m(y^2-3)=0$ બને છે.
ત્રણ અભિલંબના લંબપાદો $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે,ત્રણ અભિલંબના લંબપાદો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{2}{3}(h-2a), 0\right)$ છે.
$h=5$ અને $a=1$ મુકતા,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{2}{3}(5-2(1)), 0\right) = (2,0)$ મળે છે.

(B) આપેલ છે,અભિલંબનું સમીકરણ $mx - y + c = 0$.
પરવલય $y^2 = 16x$.
$y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$ મળે.
બિંદુ $P$ ના યામ $(at^2, 2at) = (4t^2, 8t)$ ધારો.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{1}{t}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -t$ છે,તેથી $t = -m$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $(4m^2, -8m)$ છે.
બિંદુ $(at^2, 2at)$ નું નાભિ અંતર $a(1 + t^2)$ છે.
નાભિ અંતર $= 40$ આપેલ છે,તેથી $4(1 + t^2) = 40$ $\Rightarrow 1 + t^2 = 10$ $\Rightarrow t^2 = 9$ $\Rightarrow t = \pm 3$.
$t = -m$ હોવાથી,$m = \mp 3$,તેથી $m^2 = 9$.
બિંદુ $P$ એ $(4(9), 8(\mp 3)) = (36, \mp 24)$ છે.
$P$ એ અભિલંબ $mx - y + c = 0$ પર હોવાથી,$m(36) - (\mp 24) + c = 0$ મળે.
$m = \mp 3$ મૂકતા: $(\mp 3)(36) \pm 24 + c = 0 \Rightarrow \mp 108 \pm 24 + c = 0$.
જો $m = -3$ હોય,તો $t = 3$,$P = (36, 24)$,અભિલંબ $-3x - y + c = 0$ $\Rightarrow -3(36) - 24 + c = 0$ $\Rightarrow -108 - 24 + c = 0$ $\Rightarrow c = 132$.
જો $m = 3$ હોય,તો $t = -3$,$P = (36, -24)$,અભિલંબ $3x - y + c = 0$ $\Rightarrow 3(36) - (-24) + c = 0$ $\Rightarrow 108 + 24 + c = 0$ $\Rightarrow c = -132$.
બંને કિસ્સામાં,$|c| = 132$ મળે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ax + 4y + 7}$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} = ax + 4y + 7$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} - ax = 4y + 7$.
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -a$ અને $Q = 4y + 7$.
આમ,સમીકરણ $x$ માં સુરેખ છે.
કારણ કે સમીકરણ $x$ માં સુરેખ છે,તેથી તે $y$ માં સુરેખ નથી.
આથી,વિધાન $A$ સાચું છે અને વિધાન $B$ સાચું છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int -a dy} = e^{-ay}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે અને વિધાન $C$ ખોટું છે.
આમ,માત્ર $A$ અને $B$ સાચા છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y-x+1) dy - (y+x+2) dx = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $y dy - x dy + dy - y dx - x dx + 2 dx = 0$.
પદોને જૂથમાં લેતા: $y dy + dy - (x dy + y dx) - x dx + 2 dx = 0$.
ચોક્કસ વિકલન $d(xy) = x dy + y dx$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $y dy + dy - d(xy) - x dx + 2 dx = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int y dy + \int dy - \int d(xy) - \int x dx + \int 2 dx = \int 0$.
આથી મળે છે: $\frac{y^2}{2} + y - xy - \frac{x^2}{2} + 2x = C$.
તેથી,$f(x, y, c) = \frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} - xy + 2x + y - C = 0$.
આપેલ છે કે $f(1, 1, c) = 0$,તેથી $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$\frac{1^2}{2} - \frac{1^2}{2} - (1)(1) + 2(1) + 1 - C = 0$.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 + 2 + 1 - C = 0$.
$2 - C = 0$,જેનો અર્થ છે કે $C = 2$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d y}{d x} - y = x^2 \sin x$.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{x \frac{d y}{d x} - y}{x^2} = \sin x$.
આ $\frac{y}{x}$ નું વિકલન છે,તેથી $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x} \right) = \sin x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{y}{x} = -\cos x + c$.
આપેલ છે કે $y(\pi) = 0$,તેથી $\frac{0}{\pi} = -\cos(\pi) + c \Rightarrow 0 = 1 + c \Rightarrow c = -1$.
આમ,$y = -x \cos x - x$.
$x = \alpha$ આગળ અંતિમ મૂલ્ય માટે,આપણે $\frac{d y}{d x} = 0$ લઈએ.
$\frac{d y}{d x} = -(\cos x - x \sin x) - 1 = -\cos x + x \sin x - 1 = 0$.
$x = \alpha$ આગળ,$\alpha \sin \alpha - \cos \alpha - 1 = 0$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\alpha (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) - (2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 0$.
$2 \cos \frac{\alpha}{2} (\alpha \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}) = 0$.
$\cos \frac{\alpha}{2} \neq 0$ હોવાથી,$\alpha \sin \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\alpha}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \cot \frac{\alpha}{2}$.

(B) ધારો કે $G_1$ એ $\triangle ABD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. તેના યામ $\left(\frac{1+3-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3-2-1}{3}\right) = (1, 3, 0)$ છે.
ધારો કે $G_2$ એ $\triangle ACD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. તેના યામ $\left(\frac{1+6-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3+7-1}{3}\right) = (2, 3, 3)$ છે.
સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ છે.
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{k}$.
તેથી,$\vec{r} = (\hat{i} + 3\hat{j}) + t(\hat{i} + 3\hat{k}) = (1+t)\hat{i} + 3\hat{j} + 3t\hat{k}$.

(B) આપેલ છે કે $A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}), D(\vec{d})$ એ ચાર એકવર્તુળીય બિંદુઓ છે જેથી $x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}+t\vec{d}=\vec{0}$ અને $x+y+z+t=0$.
જ્યારે $A, B, C, D$ એકવર્તુળીય હોય અને જીવાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $P$ પર છેદે,ત્યારે બિંદુના પાવર પ્રમેય મુજબ,$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ થાય.
જીવા $AB$ અને $CD$ ના છેદબિંદુ $P$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $P$ ને સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ.
જીવા $AB$ માટે,$P$ એ $AB$ નું $k_1 : k_2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $\vec{p} = \frac{k_2\vec{a} + k_1\vec{b}}{k_1+k_2}$.
જીવા $CD$ માટે,$P$ એ $CD$ નું $k_3 : k_4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $\vec{p} = \frac{k_4\vec{c} + k_3\vec{d}}{k_3+k_4}$.
આ બંનેને સરખાવતા અને આપેલ સુરેખ સંયોજન $x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}+t\vec{d}=\vec{0}$ સાથે સરખાવતા,આપણે સહગુણકો ઓળખી શકીએ છીએ.
વર્તુળમાં છેદતી જીવાઓની ભૂમિતિ પરથી,જીવાઓના ખંડોનો ગુણાકાર $|xy||\vec{a}-\vec{b}|^2 = |zt||\vec{c}-\vec{d}|^2$ સંબંધનું પાલન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે $AD$ એ શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા છે. $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$D = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = \left(3, \frac{5}{2}, 3\right)$
$A(1, 1, 2)$ અને $D(3, 5/2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{d} - \vec{a})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{d} = 3\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + t((3-1)\hat{i} + (\frac{5}{2}-1)\hat{j} + (3-2)\hat{k})$
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k})$
$\vec{r} = (1+2t)\hat{i} + (1+\frac{3}{2}t)\hat{j} + (2+t)\hat{k}$

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
બિંદુ $P$ એ $DC$ નું $1:3$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતું હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{3\vec{d} + 1\vec{c}}{1+3} = \frac{3\vec{d} + \vec{c}}{4}$ થાય.
$Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ થાય.
હવે,$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \frac{3\vec{d} + \vec{c}}{4} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{c} - 3\vec{d} - \vec{c}}{4} = \frac{2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}}{4}$.
આપેલ પદાવલિ: $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{BC} - 2\vec{DC} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{b}) - 2(\vec{c} - \vec{d})$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\vec{b} - \vec{a} + \vec{d} - \vec{a} + \vec{c} - \vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d} = -2\vec{a} - \vec{c} + 3\vec{d} = -(2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d})$.
$\lambda \vec{PQ}$ સાથે સરખાવતા:
$-(2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}) = \lambda \left( \frac{2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}}{4} \right)$.
આમ,$\lambda = -4$.

(A) આપેલ છે કે $OA = a, OB = b$. $A^{\prime}O = OA \implies OA^{\prime} = -a$. $B^{\prime}O = OB \implies OB^{\prime} = -b$.
બિંદુ $P$ માટે,$OP = -\frac{3}{4}a + \frac{7}{4}b = \frac{7b - 3a}{4}$. અહીં સહગુણકો $x_1 = -\frac{3}{4}$ અને $y_1 = \frac{7}{4}$ છે,અને $x_1 + y_1 = 1$ હોવાથી,$P$ એ રેખા $AB$ પર આવેલું છે. ખાસ કરીને,$P$ એ $AB$ નું $7:3$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે. સદિશો $a$ અને $b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત યામ પદ્ધતિમાં,$P$ એ એવા પ્રદેશમાં છે જ્યાં $x < 0$ અને $y > 0$ છે,જે $\triangle A^{\prime}OB$ ના અંદરના ભાગને અનુરૂપ છે.
બિંદુ $Q$ માટે,$OQ = \frac{1}{3}a + \frac{5}{3}b = 2(\frac{1}{6}a + \frac{5}{6}b)$. સહગુણકોનો સરવાળો $\frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2 > 1$ હોવાથી,$Q$ એ $\triangle AOB$ ની બહાર આવેલું છે.

(D) $\triangle ABC$ ના પ્રકાર અથવા બિંદુઓ $A, B, C$ ની સમરેખતા નક્કી કરવા માટે,આપણે સ્થાન સદિશો વચ્ચેના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ ગણીએ છીએ: $d = |\vec{P_2} - \vec{P_1}|$.
$A$. આપેલ છે $a = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}, b = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}, c = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$|AB| = |(3-2)\hat{i} + (4-3)\hat{j} + (2-4)\hat{k}| = |\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$|BC| = |(4-3)\hat{i} + (2-4)\hat{j} + (3-2)\hat{k}| = |\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$|CA| = |(2-4)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k}| = |-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
કારણ કે $|AB| = |BC| = |CA| = \sqrt{6}$,$\triangle ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,$A-I$.
$B$. આપેલ છે $a = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}, b = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}, c = -3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|AB| = |2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}| = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$|BC| = |-6\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}| = \sqrt{36+36+144} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$.
$|CA| = |-4\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}| = \sqrt{16+16+64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.
કારણ કે $|AB| + |CA| = 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} = 6\sqrt{6} = |BC|$,બિંદુઓ સમરેખ છે. તેથી,$B-IV$.
$C$. આપેલ છે $a = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}, b = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}, c = -3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|AB| = |-\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$.
$|BC| = |-4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{16+1+1} = \sqrt{18}$.
$|CA| = |-5\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}| = \sqrt{25+9+25} = \sqrt{59}$.
$|AB|^2 + |BC|^2 = 41 + 18 = 59 = |CA|^2$. તેથી,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. તેથી,$C-III$.
$D$. આપેલ છે $a = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, b = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}, c = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$|AB| = |0\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{0+1+4} = \sqrt{5}$.
$|BC| = |\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
$|CA| = |\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}| = \sqrt{1+4+0} = \sqrt{5}$.
કારણ કે $|AB| = |CA| = \sqrt{5}$,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,$D-II$.

(D) આપેલ સમતલનું સદિશ સમીકરણ $r=(2+3 \lambda-\mu) \hat{i}+(1-2 \lambda+3 \mu) \hat{j}+(-2+2 \lambda+\mu) \hat{k}$ છે $\ldots$ $(i)$
ધારો કે $r=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ $\ldots$ (ii)
$(i)$ અને (ii) ના ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x = 2+3 \lambda-\mu$ $\ldots$ (iii)
$y = 1-2 \lambda+3 \mu$ $\ldots$ (iv)
$z = -2+2 \lambda+\mu$ $\ldots$ $(v)$
(iii) અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા: $x+z = 2-2+3 \lambda+2 \lambda-\mu+\mu = 5 \lambda \Rightarrow \lambda = \frac{x+z}{5}$ $\ldots$ (vi)
$(v)$ પરથી,$\mu = z+2-2 \lambda = z+2-2(\frac{x+z}{5}) = \frac{5z+10-2x-2z}{5} = \frac{-2x+3z+10}{5}$
(iv) માં $\lambda$ અને $\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $y = 1-2(\frac{x+z}{5})+3(\frac{-2x+3z+10}{5})$
$5y = 5-2x-2z-6x+9z+30$
$5y = -8x+7z+35$
$8x+5y-7z-35=0$

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે,તેથી $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$.
ધારો કે $|a| = k$. તો $|b| = \frac{1}{2}k$ અને $|c| = \frac{\sqrt{3}}{2}k$.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $a+b+c$ નું માન શોધીએ:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = k^2 + \left(\frac{1}{2}k\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k\right)^2 = k^2 + \frac{1}{4}k^2 + \frac{3}{4}k^2 = 2k^2$.
તેથી,$|a+b+c| = \sqrt{2}k$.
હવે,ધારો કે $(a+b+c)$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{(a+b+c) \cdot b}{|a+b+c| |b|}$.
કારણ કે $a \cdot b = 0$ અને $c \cdot b = 0$,તેથી $(a+b+c) \cdot b = a \cdot b + b \cdot b + c \cdot b = 0 + |b|^2 + 0 = |b|^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|b|^2}{|a+b+c| |b|} = \frac{|b|}{|a+b+c|} = \frac{\frac{1}{2}k}{\sqrt{2}k} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$.

(A) આપેલ છે કે,$|b|=2|a|$ અને $|c|=3|a|$.
દરેક સદિશની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2|a||b| \cos(\frac{\pi}{3}) + 2|b||c| \cos(\frac{\pi}{3}) + 2|a||c| \cos(\frac{\pi}{3})$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + (2|a|)^2 + (3|a|)^2 + 2|a|(2|a|)(\frac{1}{2}) + 2(2|a|)(3|a|)(\frac{1}{2}) + 2|a|(3|a|)(\frac{1}{2})$.
$25 = |a|^2 + 4|a|^2 + 9|a|^2 + 2|a|^2 + 6|a|^2 + 3|a|^2$.
$25 = 25|a|^2$.
$|a|^2 = 1 \Rightarrow |a| = 1$.
આમ,$|b| = 2(1) = 2$ અને $|c| = 3(1) = 3$.
તેથી,$|c| + |a| + |b| = 3 + 1 + 2 = 6$.

(B) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $r = ta + (1-t)b$ છે,જ્યાં $t$ એક અદિશ પ્રાચલ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $r - b = t(a - b)$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે સદિશ $(r - b)$ એ સદિશ $(a - b)$ સાથે સમરેખ છે.
આમ,$r$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા બિંદુનો બિંદુપથ એ $a$ અને $b$ સદિશો દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
જ્યારે $0 \leq t \leq 1$ હોય,ત્યારે બિંદુ $r$ એ $a$ અને $b$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પર આવેલું હોય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $l(3a + 2b + c) + m(2a + 2b + 3c) + n(a + 2b + 5c) = 0$
સદિશો $a, b, c$ ના આધારે પદોને ગોઠવતા:
$a(3l + 2m + n) + b(2l + 2m + 2n) + c(l + 3m + 5n) = 0$
કારણ કે $a, b, c$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે,તેથી સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$3l + 2m + n = 0$ $(i)$
$2l + 2m + 2n = 0 \Rightarrow l + m + n = 0$ $(ii)$
$l + 3m + 5n = 0$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(3l + 2m + n) - (l + m + n) = 0 \Rightarrow 2l + m = 0 \Rightarrow m = -2l$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(l + 3m + 5n) - (l + m + n) = 0 \Rightarrow 2m + 4n = 0 \Rightarrow m = -2n$
$m$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-2l = -2n \Rightarrow l = n$
$l = n$ ને $m = -2n$ માં મૂકતા:
$m = -2n \Rightarrow m + 2n = 0$
આમ,શરત $l = n$ અને $m + 2n = 0$ છે.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$.
માનનો વર્ગ શોધો: $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 9$ અને $|\vec{b}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9$.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{x} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} = \frac{4}{9} \vec{b}$ છે.
$\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{y} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \vec{a} = \frac{4}{9} \vec{a}$ છે.
હવે,$|\vec{x} - \vec{y}| = |\frac{4}{9} \vec{b} - \frac{4}{9} \vec{a}| = \frac{4}{9} |\vec{b} - \vec{a}|$.
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-2 - (-2))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j}$ મળે.
તેથી,$|\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$.
આમ,$|\vec{x} - \vec{y}| = \frac{4}{9} \sqrt{10}$.

(B) આપેલ છે: $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=3(\vec{b} \times \vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}=2(\vec{b} \times \vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})=2(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(i)$
વળી,$\vec{a}+l \vec{b}+l^2 \vec{c}=0$
બંને બાજુ $(\vec{b}-\vec{c})$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})+l(\vec{b} \times(\vec{b}-\vec{c}))+l^2(\vec{c} \times(\vec{b}-\vec{c}))=0$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})+l(\vec{b} \times \vec{b}-\vec{b} \times \vec{c})+l^2(\vec{c} \times \vec{b}-\vec{c} \times \vec{c})=0$
કારણ કે $\vec{b} \times \vec{b}=0$ અને $\vec{c} \times \vec{c}=0$,તેથી:
$\vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})-l(\vec{b} \times \vec{c})-l^2(\vec{b} \times \vec{c})=0$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})=(l+l^2)(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,$l^2+l=2$
$l^2+l-2=0$
$(l+2)(l-1)=0$
આમ,$l=-2$ અથવા $l=1$.
$l$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ કારણ કે તેઓ લંબ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-\tan \theta) + (\tan \theta)(\tan \theta) + \left(\frac{3}{\sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}}\right)(-2 \sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}) = 0$
$-\tan \theta + \tan^2 \theta - 6 = 0$
ધારો કે $x = \tan \theta$,તો $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0$
તેથી,$\tan \theta = 3$ અથવા $\tan \theta = -2$.
સદિશ $\vec{c} = (\sin 2 \theta) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ એ $X$-અક્ષ સાથે ગુરુકોણ બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે $X$-અક્ષ પર $\vec{c}$ નો પ્રક્ષેપ ઋણ હોવો જોઈએ.
$\vec{c} \cdot \hat{i} < 0 \Rightarrow \sin 2 \theta < 0$.
જો $\tan \theta = 3$,તો $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{6}{10} > 0$ (અસ્વીકાર્ય).
જો $\tan \theta = -2$,તો $\sin 2 \theta = \frac{2(-2)}{1 + (-2)^2} = \frac{-4}{5} < 0$ (સ્વીકાર્ય).
આમ,$\tan \theta = -2 \Rightarrow \theta = n \pi - \tan^{-1} 2, n \in Z$.

(B) આપેલ સદિશો $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,$b=7 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$,અને $c=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
કારણ કે $x$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ છે,તેથી $x$ એ $a \times b$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,$x = \lambda(a \times b)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $a \times b$ ની ગણતરી કરતા:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 4 \\ 7 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-8) - \hat{j}(-6-28) + \hat{k}(4+21) = \hat{i} + 34 \hat{j} + 25 \hat{k}$.
તેથી,$x = \lambda(\hat{i} + 34 \hat{j} + 25 \hat{k})$.
આપેલ છે કે $x \cdot c = 60$,આપણે $x$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકીએ:
$(\lambda \hat{i} + 34 \lambda \hat{j} + 25 \lambda \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 60$.
$\lambda + 34 \lambda + 25 \lambda = 60$.
$60 \lambda = 60$,જે આપે છે $\lambda = 1$.
તેથી,$x = \hat{i} + 34 \hat{j} + 25 \hat{k}$.

(C) આપેલ છે કે $p=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $q=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $p \cdot q = (2)(1) + (-3)(1) + (1)(-1) = 2 - 3 - 1 = -2$ શોધો.
માનાંકનો વર્ગ શોધો: $|p|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 1^2 = 14$ અને $|q|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3$.
સદિશ $a$ ($q$ પર $p$ નો પ્રક્ષેપ) $a = \frac{p \cdot q}{|q|^2} q = \frac{-2}{3}(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ છે.
સદિશ $b$ ($p$ પર $q$ નો પ્રક્ષેપ) $b = \frac{q \cdot p}{|p|^2} p = \frac{-2}{14}(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) = \frac{-1}{7}(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$ છે.
હવે,$a \times b = \left(\frac{-2}{3}\right) \left(\frac{-1}{7}\right) [(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \times (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})] = \frac{2}{21} (-2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})$.
તેમજ,$a \cdot b = \left(\frac{-2}{3}\right) \left(\frac{-1}{7}\right) [(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})] = \frac{2}{21} (-2) = \frac{-4}{21}$.
અંતે,$\frac{a \times b}{a \cdot b} = \frac{\frac{2}{21} (-2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})}{\frac{-4}{21}} = \frac{2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,$\vec{AB} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$,$\vec{AC} = s \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,અને $\vec{CB} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{CA} = -\vec{AC} = -s \hat{i} - 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ હોવાથી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{CA} \times \vec{CB}| = 5 \sqrt{6}$ થાય.
સદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{CA} \times \vec{CB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -s & -3 & -4 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 10 \hat{i} - (2s+12) \hat{j} + (9-s) \hat{k}$.
તેથી,$\frac{1}{2} \sqrt{100 + (2s+12)^2 + (9-s)^2} = 5 \sqrt{6} \implies \sqrt{100 + 4s^2 + 144 + 48s + 81 - 18s + s^2} = 10 \sqrt{6}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $5s^2 + 30s + 325 = 600 \implies 5s^2 + 30s - 275 = 0 \implies s^2 + 6s - 55 = 0$.
અવયવ પાડતા $(s+11)(s-5) = 0$ મળે,તેથી $s=5$.
ત્રિકોણના નિયમ $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$ મુજબ,$\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$.
$p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k} = (s+3) \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$s=5$ મૂકતા,$p = 8, q = 4, r = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b} = 13 \hat{i}-4 \hat{j}+9 \hat{k}$.
અંતર $AB = |\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{(13-3)^2 + (-4-1)^2 + (9-(-1))^2} = \sqrt{10^2 + (-5)^2 + 10^2} = \sqrt{100+25+100} = \sqrt{225} = 15$.
કારણ કે $C$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે $A$ થી $9$ ના અંતરે છે,તેથી $C$ એ $AB$ નું $AC:CB = 9:(15-9) = 9:6 = 3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2(3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + 3(13 \hat{i}-4 \hat{j}+9 \hat{k})}{5} = \frac{(6+39) \hat{i} + (2-12) \hat{j} + (-2+27) \hat{k}}{5} = \frac{45 \hat{i} - 10 \hat{j} + 25 \hat{k}}{5} = 9 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$.
$D$ એ રેખા $L$ પર $A$ ની બીજી બાજુએ $6$ એકમના અંતરે છે. આમ,$A$ એ $DC$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં આંતરિક વિભાજન કરે છે.
$\vec{a} = \frac{3\vec{d} + 2\vec{c}}{3+2} \Rightarrow 5\vec{a} = 3\vec{d} + 2\vec{c} \Rightarrow 3\vec{d} = 5\vec{a} - 2\vec{c}$.
$3\vec{d} = 5(3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - 2(9 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = (15-18) \hat{i} + (5+4) \hat{j} + (-5-10) \hat{k} = -3 \hat{i} + 9 \hat{j} - 15 \hat{k}$.
$\vec{d} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$.

(B) ધારો કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ છે. કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય છે,તેથી $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$.
આપેલ છે કે $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$.
આપણે $S = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c}+\vec{a}) \cdot \vec{r}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પદોને મૂકતા:
$S = \frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{(\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{(\vec{c}+\vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$.
ગુણધર્મ $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ અને $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{[\vec{b} \vec{c} \vec{a}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{[\vec{c} \vec{a} \vec{b}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$.
કારણ કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{c} \vec{a} \vec{b}]$,તેથી:
$S = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) આપેલ સદિશો $a = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $b = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a \ b \ c]$ ને $(a \times b) \cdot c$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધો:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 3) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 4) = -5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
તેનું માન $|a \times b| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ છે.
કારણ કે $[a \ b \ c] = (a \times b) \cdot c = |a \times b| |c| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $(a \times b)$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર મહત્તમ થવા માટે,$\cos \theta = 1$ હોવું જોઈએ (એટલે કે $\theta = 0^\circ$),જેનો અર્થ છે કે $c$ એ $(a \times b)$ ની દિશામાં હોવો જોઈએ.
કારણ કે $c$ એક એકમ સદિશ છે,$c = \frac{a \times b}{|a \times b|} = \frac{-5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.

(D) ત્રણ અસમતલીય સદિશો $p, q, r$ માટે,સદિશોની વ્યસ્ત પ્રણાલી $a, b, c$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$a = \frac{q \times r}{[p \ q \ r]}$,$b = \frac{r \times p}{[p \ q \ r]}$,$c = \frac{p \times q}{[p \ q \ r]}$
આપેલ છે કે $b = p \times q$,તેથી $c = \frac{b}{[p \ q \ r]}$ થાય.
$a, b, c$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V = [a \ b \ c] = \frac{1}{[p \ q \ r]}$ છે.
$a$ અને $c$ સદિશો દ્વારા બનતા આધારવાળા સમાંતરફલકની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર:
$h = \frac{[a \ b \ c]}{|a \times c|}$
$a, b, c$ એ $p, q, r$ ની વ્યસ્ત પ્રણાલી હોવાથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $a \times c = \frac{q}{[p \ q \ r]}$.
આ કિંમતો ઊંચાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$h = \frac{1/[p \ q \ r]}{|q / [p \ q \ r]|} = \frac{1}{|q|}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) નો $b$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ $x = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$b$ નો $a$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ $y = \frac{a \cdot b}{|a|^2} a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $b = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $a \cdot b = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$.
માનના વર્ગની ગણતરી કરો: $|a|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ અને $|b|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$.
આમ,$x - y = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b - \frac{a \cdot b}{|a|^2} a = \frac{4}{9} b - \frac{4}{9} a = \frac{4}{9} (b - a)$.
$b - a = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j}$ ની ગણતરી કરો.
તેથી $x - y = \frac{4}{9} (\hat{i} - 3\hat{j})$.
અંતે,$|x - y| = \frac{4}{9} \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \frac{4}{9} \sqrt{1 + 9} = \frac{4}{9} \sqrt{10}$.

(C) આપેલ છે,$V = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $W = \hat{i} + 3\hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[U V W]$ ને $U \cdot (V \times W)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $V \times W$ ની ગણતરી કરો:
$V \times W = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|V \times W| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ છે.
કારણ કે $U$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|U| = 1$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $U \cdot (V \times W) = |U| |V \times W| \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $U$ અને $(V \times W)$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos \theta = 1$ હોય,જે $|U| |V \times W| = 1 \times \sqrt{59} = \sqrt{59}$ આપે છે.

(D) આપેલ સદિશો $a=2u+3v+7w$,$b=u+v-2w$ અને $c=-u-2v-3w$ છે.
પ્રથમ,સરવાળો $a+b+c$ શોધો:
$a+b+c = (2+1-1)u + (3+1-2)v + (7-2-3)w = 2u+2v+2w = 2(u+v+w)$.
ત્યારબાદ,અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $[a, b, c]$ શોધો:
$[a, b, c] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix}$
$= 2(-3 - 4) - 3(-3 - 2) + 7(-2 + 1)$
$= 2(-7) - 3(-5) + 7(-1)$
$= -14 + 15 - 7 = -6$.
તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|[a, b, c]| = |-6| = 6$ થાય.
પદાવલિ $\left|\frac{[u, v, w]}{[a, b, c]}\right|(a+b+c) = \frac{1}{|[a, b, c]|} (a+b+c)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} \times 2(u+v+w) = \frac{1}{3}(u+v+w)$.

(B) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a}) = (\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a}$
$|\vec{a}|^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})}{|\vec{a}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = \vec{b} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \right) \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
અહીં,$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ એ $\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે,અને $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$ એ $\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ છે. આમ,$\vec{b} - \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ $\vec{b}$ નો ઘટક દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b$ અને $c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
આપેલ છે કે $a \times (b \times c) = \frac{1}{\sqrt{2}}(b + c)$,તેથી $(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{\sqrt{2}}b + \frac{1}{\sqrt{2}}c$.
કારણ કે $b$ અને $c$ સમાંતર નથી,આપણે $b$ અને $c$ ના સહગુણકોને સરખાવી શકીએ:
$a \cdot c = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $-(a \cdot b) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow a \cdot b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
ડોટ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મુજબ,$a \cdot c = |a||c| \cos \beta = \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \beta = \frac{\pi}{4}$.
તે જ રીતે,$a \cdot b = |a||b| \cos \alpha = \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = \frac{3 \pi}{4}$.
તેથી,$\alpha - \beta = \frac{3 \pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $b$ અને $c$ અસમરેખ સદિશો છે અને $|c| \neq 0$.
$(c \cdot c) a=c$ પરથી,બંને બાજુ $c$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા,$(c \cdot c)(a \cdot c) = (c \cdot c)$ મળે. $|c| \neq 0$ હોવાથી,$c \cdot c \neq 0$,તેથી $a \cdot c = 1$ $(i)$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $a \times(b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપેલ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$(a \cdot c) b - (a \cdot b) c + (a \cdot b) b = (4-2 \beta-\sin \alpha) b + (\beta^2-1) c$.
બંને બાજુ $b$ અને $c$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$b$ નો સહગુણક: $a \cdot c + a \cdot b = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$ $(ii)$.
$c$ નો સહગુણક: $-a \cdot b = \beta^2 - 1$ $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$1 + (1 - \beta^2) = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$.
$2 - \beta^2 = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$.
$\sin \alpha = \beta^2 - 2 \beta + 2 = (\beta - 1)^2 + 1$.
$\sin \alpha \leq 1$ અને $(\beta - 1)^2 + 1 \geq 1$ હોવાથી,માત્ર ઉકેલ $(\beta - 1)^2 = 0$ અને $\sin \alpha = 1$ મળે છે.
આમ,$\beta = 1$ અને $\alpha = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ જ્યાં $n \in Z$.

(C) આપેલ છે કે $a=2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,તેથી $|a|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{4+4+1}=3$.
આપેલ છે કે $|c-a|=2 \sqrt{2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|c-a|^2=8$.
$|c|^2+|a|^2-2(a \cdot c)=8$.
$|a|=3$ અને $a \cdot c=|c|$ મૂકતા,આપણને મળે $|c|^2+9-2|c|=8$.
$|c|^2-2|c|+1=0 \Rightarrow (|c|-1)^2=0 \Rightarrow |c|=1$.
હવે,$a \times b$ શોધીએ:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2+1) - \hat{j}(2-0) + \hat{k}(-2-0) = -\hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$.
તેથી $|a \times b| = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = 3$.
સદિશ ગુણાકારનું માન $|(a \times b) \times c| = |a \times b| |c| \sin \theta$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{3}$.
$|(a \times b) \times c| = 3 \times 1 \times \sin \frac{\pi}{3} = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

(A) આપેલ છે કે,$|x|=|y|=|z|=\sqrt{2}$ અને $\theta=60^{\circ}$.
તેથી,$x \cdot y = |x||y| \cos 60^{\circ} = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) \times \frac{1}{2} = 1$.
તે જ રીતે,$y \cdot z = z \cdot x = 1$ અને $x \cdot x = y \cdot y = z \cdot z = |x|^2 = 2$.
હવે,$a = x \times (y \times z) = (x \cdot z)y - (x \cdot y)z = 1 \cdot y - 1 \cdot z = y - z$ $\dots(i)$.
વળી,$b = y \times (z \times x) = (y \cdot x)z - (y \cdot z)x = 1 \cdot z - 1 \cdot x = z - x$ $\dots(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$a + b = y - x$,તેથી $y - x = a + b$ $\dots(iii)$.
આપેલ છે $c = x \times y$. અનુક્રમે $x$ અને $y$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા:
$x \times c = x \times (x \times y) = (x \cdot y)x - (x \cdot x)y = x - 2y$ $\dots(iv)$.
$y \times c = y \times (x \times y) = (y \cdot y)x - (y \cdot x)y = 2x - y$ $\dots(v)$.
$(iv)$ માંથી $(v)$ બાદ કરતા,$(x - y) \times c = (x - 2y) - (2x - y) = -x - y$,જે સૂચવે છે કે $x + y = (y - x) \times c$.
$(iii)$ માંથી $y - x = a + b$ મૂકતા,$x + y = (a + b) \times c$ $\dots(vi)$.
$(vi)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા,$(x + y) - (y - x) = (a + b) \times c - (a + b)$.
$2x = (a + b) \times c - (a + b)$.
તેથી,$x = \frac{1}{2}[(a + b) \times c - (a + b)]$.

(C) બિંદુ $E$ એ બાજુ $ABC$ (જે ત્રિકોણ છે) નું મધ્યકેન્દ્ર છે.
$\text{મધ્યકેન્દ્ર} = \left[\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right]$
$E = \left[\frac{2+(-3)+(-1)}{3}, \frac{3+3+4}{3}, \frac{-4+(-2)+2}{3}\right] = \left[\frac{-2}{3}, \frac{10}{3}, \frac{-4}{3}\right]$
બિંદુ $F$ એ બાજુ $ACD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે.
$F = \left[\frac{2+(-1)+3}{3}, \frac{3+4+5}{3}, \frac{-4+2+1}{3}\right] = \left[\frac{4}{3}, \frac{12}{3}, \frac{-1}{3}\right] = \left[\frac{4}{3}, 4, \frac{-1}{3}\right]$
બિંદુ $G$ એ બાજુ $ABD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે.
$G = \left[\frac{2+(-3)+3}{3}, \frac{3+3+5}{3}, \frac{-4+(-2)+1}{3}\right] = \left[\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, \frac{-5}{3}\right]$
હવે,$E, F, G$ એક ત્રિકોણ બનાવે છે. $\triangle EFG$ નું મધ્યકેન્દ્ર $E, F$ અને $G$ ના યામોની સરેરાશ દ્વારા મળે છે.
$\triangle EFG \text{ નું મધ્યકેન્દ્ર} = \left[\frac{\frac{-2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}{3}, \frac{\frac{10}{3}+4+\frac{11}{3}}{3}, \frac{\frac{-4}{3}+\left(\frac{-1}{3}\right)+\left(\frac{-5}{3}\right)}{3}\right]$
$= \left[\frac{\frac{4}{3}}{3}, \frac{\frac{10+12+11}{3}}{3}, \frac{\frac{-10}{3}}{3}\right] = \left[\frac{4}{9}, \frac{33}{9}, \frac{-10}{9}\right] = \left[\frac{4}{9}, \frac{11}{3}, \frac{-10}{9}\right]$

(C) ધારો કે બિંદુ $P(\vec{r}) = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ છે. નિશ્ચિત બિંદુઓ $A(1, 0, 0)$ અને $B(0, 1, 0)$ છે.
સદિશ $\vec{AP} = (x-1)\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ અને સદિશ $\vec{AB} = -\hat{i} + \hat{j}$ છે.
$\triangle ABP$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AP} \times \vec{AB}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી:
$\vec{AP} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x-1 & y & z \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-z) - \hat{j}(0 - (-z)) + \hat{k}((x-1) - (-y)) = -z\hat{i} - z\hat{j} + (x+y-1)\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AP} \times \vec{AB}| = \sqrt{(-z)^2 + (-z)^2 + (x+y-1)^2} = \sqrt{2z^2 + (x+y-1)^2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $1$ આપેલ હોવાથી,$1 = \frac{1}{2} \sqrt{2z^2 + (x+y-1)^2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2 = \sqrt{2z^2 + (x+y-1)^2} \Rightarrow 4 = 2z^2 + (x+y-1)^2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દિક્કોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,દિક્કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય છે.
આપણે $S = lm + mn + nl$ પદાવલિને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
નિત્યસમ $(l + m + n)^2 = l^2 + m^2 + n^2 + 2(lm + mn + nl)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $2(lm + mn + nl) = (l + m + n)^2 - (l^2 + m^2 + n^2) = (l + m + n)^2 - 1$.
$lm + mn + nl$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $(l + m + n)^2$ ને મહત્તમ કરવું પડશે.
કોશી-શ્વાર્ટ્ઝ અસમતા મુજબ,$(l + m + n)^2 \leq (1^2 + 1^2 + 1^2)(l^2 + m^2 + n^2) = 3(1) = 3$.
સમાનતા ત્યારે જ મળે જ્યારે $l = m = n$ હોય.
કારણ કે $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$,આનો અર્થ એ છે કે $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \beta = \gamma$ (ખૂણા $0$ અને $\pi$ ની વચ્ચે છે).
આમ,મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $\alpha = \beta = \gamma$ હોય.

(B) દિશા ગુણોત્તરો $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2=m^2+n^2$ છે.
$l+m+n=0$ પરથી,આપણને $l=-(m+n)$ મળે છે.
આ કિંમતને $l^2=m^2+n^2$ માં મૂકતા,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ મળે છે.
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,જેનો અર્થ છે કે $2mn=0$,તેથી $mn=0$.
આનાથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $I$: $m=0$. તો $l=-n$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, 0, -k)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કિસ્સો $II$: $n=0$. તો $l=-m$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, -k, 0)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $3l + m + 5n = 0$ અને $6mn - 2nl + 5lm = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$m = -3l - 5n$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$6n(-3l - 5n) - 2nl + 5l(-3l - 5n) = 0$
$-18nl - 30n^2 - 2nl - 15l^2 - 25nl = 0$
$-15l^2 - 45nl - 30n^2 = 0$
$-15$ વડે ભાગતા:
$l^2 + 3nl + 2n^2 = 0$
$(l + n)(l + 2n) = 0$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $l = -n$. $m = -3l - 5n$ માં મૂકતા,$m = -3(-n) - 5n = 3n - 5n = -2n$ મળે છે.
દિક્ગુણોત્તર $(-n, -2n, n)$ છે,જે $(1, 2, -1)$ તરીકે સરળ બને છે.
કિસ્સો $2$: $l = -2n$. $m = -3l - 5n$ માં મૂકતા,$m = -3(-2n) - 5n = 6n - 5n = n$ મળે છે.
દિક્ગુણોત્તર $(-2n, n, n)$ છે,જે $(-2, 1, 1)$ તરીકે સરળ બને છે.
ધારો કે દિક્ગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 2, -1)$ અને $\vec{b} = (-2, 1, 1)$ છે.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(-2) + (2)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 2 - 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-1|}{6} = \frac{1}{6}$.

(A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
આ રેખાઓને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 5) - \hat{j}(-3 - 4) + \hat{k}(5 - 8) = -11\hat{i} + 7\hat{j} - 3\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-11)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{121 + 49 + 9} = \sqrt{179}$ છે.
દિકકોસાઇન $\frac{a}{|\vec{n}|}, \frac{b}{|\vec{n}|}, \frac{c}{|\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અભિલંબ સદિશના ઘટકો છે.
આમ,દિકકોસાઇન $\frac{-11}{\sqrt{179}}, \frac{7}{\sqrt{179}}, \frac{-3}{\sqrt{179}}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$ab + bc + ca = 0$ --- $(1)$
$6ab + 9bc + 8ca = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $6$ વડે ગુણતા:
$6ab + 6bc + 6ca = 0$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(6ab + 9bc + 8ca) - (6ab + 6bc + 6ca) = 0$
$3bc + 2ca = 0 \Rightarrow c(3b + 2a) = 0$.
અહીં $c \neq 0$ હોવાથી,$2a = -3b$ મળે,એટલે કે $a/(-3) = b/2$.
$a = -3k$ અને $b = 2k$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(-3k)(2k) + (2k)c + c(-3k) = 0$
$-6k^2 - kc = 0 \Rightarrow c = -6k$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $(-3k, 2k, -6k)$ ના પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $(-3, 2, -6)$.
તેનું મૂલ્ય $\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{-3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{-6}{7}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
આપેલ છે કે $E, F, G$ એ અનુક્રમે $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે:
$\frac{x_1+x_2}{2}=1, \frac{y_1+y_2}{2}=0, \frac{z_1+z_2}{2}=0$ $(1)$
$\frac{x_2+x_3}{2}=0, \frac{y_2+y_3}{2}=2, \frac{z_2+z_3}{2}=0$ $(2)$
$\frac{x_3+x_1}{2}=0, \frac{y_3+y_1}{2}=0, \frac{z_3+z_1}{2}=3$ $(3)$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $A(1, -2, 3), B(1, 2, -3), C(-1, 2, 3)$ મળે છે.
$AF$ ના દિકગુણોત્તરો (જ્યાં $F$ એ $(0, 2, 0)$ છે): $a_1 = 0-1 = -1, b_1 = 2-(-2) = 4, c_1 = 0-3 = -3$. તેથી $a_1^2+b_1^2+c_1^2 = (-1)^2+4^2+(-3)^2 = 1+16+9 = 26$.
$BG$ ના દિકગુણોત્તરો (જ્યાં $G$ એ $(0, 0, 3)$ છે): $a_2 = 0-1 = -1, b_2 = 0-2 = -2, c_2 = 3-(-3) = 6$. તેથી $a_2^2+b_2^2+c_2^2 = (-1)^2+(-2)^2+6^2 = 1+4+36 = 41$.
તેથી,$\frac{a_1^2+b_1^2+c_1^2}{a_2^2+b_2^2+c_2^2} = \frac{26}{41}$.

(C) બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે સમાંતર ત્યારે જ કહેવાય જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ થાય.
અહીં $L_1$ માટે દિકગુણોત્તર $(2, 5, 7)$ અને $L_2$ માટે $(\frac{4}{\sqrt{19}}, \frac{10}{\sqrt{19}}, \frac{14}{\sqrt{19}})$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{2}{4/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,$\frac{5}{10/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,અને $\frac{7}{14/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$.
બધા ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ સમાંતર છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
શરત $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ એ બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત છે,સમાંતર હોવાની નહીં. તેથી,$(R)$ ખોટું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે પણ $(R)$ ખોટું છે.

(B) $(0, -1, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિક-ગુણોત્તર ધરાવતી રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{1} = \lambda$ છે.
તેથી,બિંદુ $A$ ના યામ $(\lambda, \lambda-1, \lambda)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ એ $A(\lambda, \lambda-1, \lambda)$ અને $B(1, 1, 1)$ ને જોડે છે.
રેખા $AB$ ના દિક-ગુણોત્તર $(\lambda-1, \lambda-2, \lambda-1)$ છે.
આ રેખાના દિક-ગુણોત્તર $2, 1, 2$ ના પ્રમાણમાં આપેલા હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{\lambda-1}{2} = \frac{\lambda-2}{1} = \frac{\lambda-1}{2}$.
$\frac{\lambda-1}{2} = \lambda-2$ પરથી,$\lambda-1 = 2\lambda-4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 3$.
$A$ ના યામમાં $\lambda = 3$ મૂકતા,આપણને $x = 3$,$y = 3-1 = 2$,અને $z = 3$ મળે છે.
તેથી,$x+y+z = 3+2+3 = 8$.

(B) આપેલ સમીકરણો $a+b+c=0$ અને $2ab+2ac-bc=0$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $a=-(b+c)$ મુકતા:
$-2(b+c)b - 2(b+c)c - bc = 0$
$-2b^2 - 2bc - 2bc - 2c^2 - bc = 0$
$-2b^2 - 5bc - 2c^2 = 0$
$2b^2 + 5bc + 2c^2 = 0$
$(2b+c)(b+2c) = 0$.
કિસ્સો $1$: $b = -2c$. તો $a = -(-2c+c) = c$. દિક્-ગુણોત્તરો $(1, -2, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $b = -c/2$. તો $a = -(-c/2+c) = -c/2$. દિક્-ગુણોત્તરો $(-1/2, -1/2, 1)$ મળે છે,જે $(1, 1, -2)$ ને સમાન છે.
ધારો કે દિક્-ગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1) = (1, -2, 1)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (1, 1, -2)$ છે.
સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1+4+1} \sqrt{1+1+4}} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
આપણે ગુરુકોણ શોધવાનો હોવાથી,$\cos \theta = -1/2$ લેતા,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$ મળે છે.

(C) દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,$n = -(l+m)$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$. ધારો કે $m=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(0, 1, -1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$. ધારો કે $l=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(1, 0, -1)$ મળે છે.
ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) દિકકોસાઇન $l, m, n$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ ની કિંમત $l^2-5m^2+n^2=0$ માં મૂકતા:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
કિસ્સો $1$: $l=m$. તો $n = -(l+m) = -2l$. દિકગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ એટલે કે $(1, 1, -2)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
કિસ્સો $2$: $l=-2m$. તો $n = -(-2m+m) = m$. દિકગુણોત્તર $(-2m, m, m)$ એટલે કે $(-2, 1, 1)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2+m^2-n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $m=0$. તો $l = -n$. દિક્ગુણોત્તર $(-1, 0, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -n$. તો $l = 0$. દિક્ગુણોત્તર $(0, -1, 1)$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓ સદિશ $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) બે વિષમતલીય રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \frac{|(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| } = \frac{|\det \begin{bmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix}|}{\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2 + (c_1a_2-c_2a_1)^2 + (a_1b_2-a_2b_1)^2}}$
આપેલ રેખાઓ માટે:
$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, -5)$ અને $(a_1, b_1, c_1) = (1, -2, 1)$
$(x_2, y_2, z_2) = (1, -2, 4)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (-1, 3, 2)$
સદિશ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-3) - \hat{j}(2+1) + \hat{k}(3-2) = -7\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$
માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{49+9+1} = \sqrt{59}$
સદિશ $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (1-2, -2-3, 4-(-5)) = (-1, -5, 9)$
અદિશ ગુણાકાર $= |(-1)(-7) + (-5)(-3) + (9)(1)| = |7 + 15 + 9| = 31$
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{31}{\sqrt{59}}$

(C) બે રેખાઓ $r=a_1+t b_1$ અને $r=a_2+s b_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(a_2-a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a_1 = 3 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$,$a_2 = \hat{i}-7 \hat{j}-2 \hat{k}$,$b_1 = -\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$b_2 = \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$.
$a_2-a_1 = -2 \hat{i}-11 \hat{j}$.
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$.
$|b_1 \times b_2| = \sqrt{35}$.
$d = \frac{|(-2 \hat{i}-11 \hat{j}) \cdot (\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k})|}{\sqrt{35}} = \frac{35}{\sqrt{35}} = \sqrt{35}$.
$P$ નો $Q$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{|P \cdot Q|}{|Q|} = \sqrt{35}$ છે.
વિકલ્પ $(C)$ ચકાસતા,$Q = \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$ માટે,તે આપેલ શરત સંતોષે છે.

(D) બિંદુઓ $(a, 2, -4)$ અને $(5, 3, b)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-a}{5-a} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z+4}{b+4}$ છે.
આને $\frac{x-a}{5-a} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+4}{b+4} = k$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $ZX$-સમતલને મળે છે,તેથી $y$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$y-2 = 1 \times k$ લેતા,$0-2 = k$,એટલે કે $k = -2$.
હવે,$k = -2$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ અને $z$ યામ મેળવીએ:
$x = a + k(5-a) = a - 2(5-a) = a - 10 + 2a = 3a - 10$.
$z = -4 + k(b+4) = -4 - 2(b+4) = -4 - 2b - 8 = -2b - 12$.
આપણને આપેલ છે કે છેદબિંદુ $(-a+2b, 0, a+b)$ છે.
યામોની સરખામણી કરતા:
$3a - 10 = -a + 2b \Rightarrow 4a - 2b = 10 \Rightarrow 2a - b = 5$ (સમીકરણ $1$).
$-2b - 12 = a + b \Rightarrow a + 3b = -12$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$b = 2a - 5$. તેને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$a + 3(2a - 5) = -12 \Rightarrow a + 6a - 15 = -12 \Rightarrow 7a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{7}$.
તેથી $b = 2(\frac{3}{7}) - 5 = \frac{6}{7} - \frac{35}{7} = -\frac{29}{7}$.
અંતે,$14a + 7b = 14(\frac{3}{7}) + 7(-\frac{29}{7}) = 6 - 29 = -23$.

(B) રેખાઓ $8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ બિંદુએ છેદે છે.
પ્રથમ રેખા માટે: $r = (1+t)\hat{i} + (-6+2t)\hat{j} + (p \sec \alpha + t)\hat{k}$.
$8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ સાથે ઘટકો સરખાવતા:
$1+t = 8 \Rightarrow t = 7$.
$-6+2t = 8 \Rightarrow -6+14 = 8$ (સુસંગત છે).
$p \sec \alpha + t = 9 \Rightarrow p \sec \alpha + 7 = 9 \Rightarrow p \sec \alpha = 2$ ... $(i)$.
બીજી રેખા માટે: $r = (2\lambda)\hat{i} + (4 + \lambda p \tan \alpha)\hat{j} + (1 + 2\lambda)\hat{k}$.
$8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ સાથે ઘટકો સરખાવતા:
$2\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 4$.
$1 + 2\lambda = 9 \Rightarrow 1 + 8 = 9$ (સુસંગત છે).
$4 + \lambda p \tan \alpha = 8 \Rightarrow 4 + 4p \tan \alpha = 8 \Rightarrow 4p \tan \alpha = 4 \Rightarrow p \tan \alpha = 1$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો ઉપયોગ કરીને:
$(p \sec \alpha)^2 - (p \tan \alpha)^2 = 2^2 - 1^2$.
$p^2(\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha) = 4 - 1$.
કારણ કે $\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha = 1$,તેથી $p^2 = 3$.
$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$p$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $p = \sqrt{3}$.