TS EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણો:
$y_1 = a \sin(\omega t - kx)$
$y_2 = b \cos(\omega t - kx + \frac{\pi}{3})$
કળા તફાવત શોધવા માટે,આપણે કોસાઇન વિધેયને સાઇન વિધેયમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ,નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને.
$y_2 = b \sin(\omega t - kx + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2})$
$y_2 = b \sin(\omega t - kx + \frac{2\pi + 3\pi}{6})$
$y_2 = b \sin(\omega t - kx + \frac{5\pi}{6})$
$y_1$ ની કળા $\phi_1 = \omega t - kx$ છે.
$y_2$ ની કળા $\phi_2 = \omega t - kx + \frac{5\pi}{6}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{5\pi}{6}$ થાય.

(D) ધારો કે મૂળ તકતીની ત્રિજ્યા $R = 2 \,cm$ અને દૂર કરેલા ભાગની ત્રિજ્યા $r = 1 \,cm$ છે.
મૂળ તકતીનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi R^2 = 4\pi \,cm^2$ અને દૂર કરેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r^2 = \pi \,cm^2$ છે.
ધારો કે $\sigma$ એ પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા છે. મૂળ તકતીનું દળ $M = \sigma A_1 = 4\sigma\pi$ અને દૂર કરેલા ભાગનું દળ $m = \sigma A_2 = \sigma\pi$ છે.
બાકી રહેલું દળ $M' = M - m = 3\sigma\pi = \frac{3}{4}M$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં સ્થાનાંતર મહત્તમ કરવા માટે, દૂર કરેલો ભાગ મૂળ તકતીની ધાર પર સ્પર્શક હોવો જોઈએ. $O$ થી દૂર કરેલા ભાગના કેન્દ્રનું અંતર $d = R - r = 2 - 1 = 1 \,cm$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં સ્થાનાંતર $x = \frac{m d}{M'} = \frac{(\sigma\pi)(1)}{3\sigma\pi} = \frac{1}{3} \,cm$ મળે છે.
જ્યારે તકતીને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x = \frac{1}{3} \,cm$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપ પર ગતિ કરે છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું સ્થાનાંતર $PQ = \frac{1}{\sqrt{3}} \,cm$ આપેલું છે.
કેન્દ્ર $O$ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના બે સ્થાનો દ્વારા બનતા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, $O$ પાસેનો ખૂણો $\theta$ છે. જીવાની લંબાઈના સૂત્ર $PQ = 2x \sin(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = 2(\frac{1}{3}) \sin(\frac{\theta}{2})$
$\sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\theta}{2} = 60^{\circ} \Rightarrow \theta = 120^{\circ}$.

(B) ધારો કે તકતીનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma$ છે.
મૂળ તકતીનું કુલ દળ,$M = \pi R^2 \sigma$,જ્યાં $R = 6 \text{ cm}$.
કાપેલા ભાગનું દળ,$M' = \pi r^2 \sigma$,જ્યાં $r = 3 \text{ cm}$.
આપણે મૂળ તકતીના કેન્દ્ર $O$ ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ તરીકે લઈએ છીએ.
મૂળ તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે.
કાણાનું કેન્દ્ર $(3,0)$ પર છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે:
$x_{CM} = \frac{M x_1 - M' x_2}{M - M'}$
કિંમતો મૂકતા:
$x_{CM} = \frac{(\pi R^2 \sigma)(0) - (\pi r^2 \sigma)(3)}{\pi R^2 \sigma - \pi r^2 \sigma}$
$x_{CM} = \frac{-3 \pi r^2 \sigma}{\pi \sigma (R^2 - r^2)} = \frac{-3 r^2}{R^2 - r^2}$
$x_{CM} = \frac{-3 \times 3^2}{6^2 - 3^2} = \frac{-3 \times 9}{36 - 9} = \frac{-27}{27} = -1 \text{ cm}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ કેન્દ્રથી ડાબી બાજુ $1 \text{ cm}$ ખસે છે. તેથી અંતર $1 \text{ cm}$ છે.

(B) આપેલ છે: બ્લોકનું દળ $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \ m \ s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = \frac{u}{2} = 1 \ m \ s^{-1}$,અને સ્પ્રિંગનું સંકોચન $x = 2 \ cm = 0.02 \ m$.
સિસ્ટમ પર કોઈ બિન-સંરક્ષી બળો કાર્ય કરતા ન હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
બ્લોકની ગતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો.
$\frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2$
$\frac{1}{2} m (u^2 - v^2) = \frac{1}{2} k x^2$
$k = \frac{m(u^2 - v^2)}{x^2}$
કિંમતો મૂકતા: $k = \frac{0.1 \times (2^2 - 1^2)}{(0.02)^2}$
$k = \frac{0.1 \times 3}{0.0004} = \frac{0.3}{0.0004} = 750 \ N \ m^{-1}$.

(A) ધારો કે $m_1$ નો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_1$ છે અને અંતિમ વેગ $\vec{v}_1$ અને $\vec{v}_2$ છે. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,ગતિ ઊર્જા અને વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
વેગમાનનું સંરક્ષણ: $m_1 \vec{u}_1 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m_1^2 u_1^2 = m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 + 2 m_1 m_2 \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2$.
કણો એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરતા હોવાથી,$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$,તેથી $m_1^2 u_1^2 = m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2$.
ગતિ ઊર્જાનું સંરક્ષણ: $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$,જે સૂચવે છે કે $m_1 u_1^2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2$.
ઊર્જા સંરક્ષણ પરથી,$m_1(u_1^2 - v_1^2) = m_2 v_2^2$.
વેગમાન સંરક્ષણ પરથી,$m_1^2(u_1^2 - v_1^2) = m_2^2 v_2^2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $m_1 = m_2$. આમ,ગુણોત્તર $\frac{m_2}{m_1} = 1$ થાય છે.

(C) ધારો કે બે બળો સદિશ સ્વરૂપે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે.
તેમનો સદિશ સરવાળો $(\vec{A} + \vec{B})$ છે અને તેમનો સદિશ તફાવત $(\vec{A} - \vec{B})$ છે.
જેમ કે સદિશ સરવાળો અને સદિશ તફાવત એકબીજાને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = 0$
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} = 0$
કારણ કે ડોટ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$,તેથી પદો રદ થાય છે:
$|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 = 0$
$|\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$
$|\vec{A}| = |\vec{B}|$
તેથી,બંને બળોના મૂલ્યો સમાન છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન $=$ અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન
$m_1 u + m_2(0) = m_1 \left(\frac{2u}{3}\right) + m_2 v$
$m_1 u - \frac{2}{3} m_1 u = m_2 v$
$\frac{1}{3} m_1 u = m_2 v$ --- $(i)$
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 1$:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$
$\frac{v - 2u/3}{u - 0} = 1$
$v - \frac{2u}{3} = u$
$v = u + \frac{2u}{3} = \frac{5u}{3}$
$v$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{3} m_1 u = m_2 \left(\frac{5u}{3}\right)$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{5u/3}{u/3} = 5$

(A) આપેલ પરિસ્થિતિમાં અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે ગોળી તેમાંથી પસાર થયા પછી તરત જ રેતીની થેલીનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$p_i = p_f$
$m_1 v_0 = m_2 v_2 + m_1 \left(\frac{v_0}{3}\right)$
$m_2 v_2 = m_1 v_0 - \frac{m_1 v_0}{3} = \frac{2 m_1 v_0}{3}$
$v_2 = \frac{2 m_1 v_0}{3 m_2}$
હવે,રેતીની થેલી $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે. યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,નીચેના ભાગે થેલીની ગતિ ઉર્જા મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$KE = PE$
$\frac{1}{2} m_2 v_2^2 = m_2 g h$
$h = \frac{v_2^2}{2 g}$
$v_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = \frac{1}{2 g} \left(\frac{2 m_1 v_0}{3 m_2}\right)^2$

(D) ધારો કે $m = 25 \,g = 0.025 \,kg$ એ ગોળીનું દળ છે અને $u = 250 \,m/s$ એ તેનો પ્રારંભિક વેગ છે।
ધારો કે $M = 1 \,kg$ એ લાકડાના બ્લોકનું દળ છે।
ધારો કે $v_1$ એ ગોળીનો અંતિમ વેગ છે અને $v_2$ એ ગોળી બહાર નીકળ્યા પછી તરત જ બ્લોકનો વેગ છે।
સૌ પ્રથમ, આપણે બ્લોક માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કારણ કે તે $h = 20 \,cm = 0.2 \,m$ ની ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે:
$\frac{1}{2} M v_2^2 = M g h$
$v_2 = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2 \,m/s$
ત્યારબાદ, અથડામણ દરમિયાન સિસ્ટમ (ગોળી + બ્લોક) માટે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$m u = m v_1 + M v_2$
$0.025 \times 250 = 0.025 \times v_1 + 1 \times 2$
$6.25 = 0.025 v_1 + 2$
$0.025 v_1 = 4.25$
$v_1 = \frac{4.25}{0.025} = 170 \,m/s$
આમ, બ્લોકમાંથી બહાર નીકળતી વખતે ગોળીની ઝડપ $170 \,m/s$ છે।

(C) આપેલ છે:
ગોળીનું વેગમાન $(p)$ $= 20 \,kg \cdot m/s$
ગોળીનો વેગ $(v)$ $= 1000 \,m/s$
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગમાનનું સૂત્ર $p = m \times v$ છે, જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
દળ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $m = \frac{p}{v}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{20}{1000} \,kg$.
$m = 0.02 \,kg$.
દળને ગ્રામમાં ફેરવવા માટે, $1000$ વડે ગુણાકાર કરો: $m = 0.02 \times 1000 \,g = 20 \,g$.
તેથી, ગોળીનું દળ $20 \,g$ છે.

(A) ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$ છે.
અથડામણ પછી,ગોળી બ્લોકમાં ખૂંપી જાય છે અને તેઓ સામાન્ય વેગ $v$ સાથે ગતિ કરે છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_0 = (m + M) v \implies v = \frac{m v_0}{m + M}$.
અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત તંત્રની ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (m + M) v^2$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$K_f = \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m v_0}{m + M} \right)^2 = \frac{1}{2} (m + M) \frac{m^2 v_0^2}{(m + M)^2} = \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M}$.
અથડામણમાં ગુમાવાયેલી ઊર્જા $\Delta K = K_i - K_f$ છે:
$\Delta K = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M} = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{m + M - m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.

(D) પ્રશ્ન મુજબ,આપેલ છે કે $29$ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(MSD) = 30$ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ $(VSD)$.
કારણ કે $1$ $MSD = 0.5^{\circ}$,તેથી:
$1$ $VSD = \frac{29}{30} \times 1$ $MSD = \frac{29}{30} \times 0.5^{\circ} = \left(\frac{29}{60}\right)^{\circ}$.
સાધનનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$LC = 1$ $MSD - 1$ $VSD$
$LC = 0.5^{\circ} - \left(\frac{29}{60}\right)^{\circ} = \left(\frac{30-29}{60}\right)^{\circ} = \left(\frac{1}{60}\right)^{\circ}$.
કારણ કે $1^{\circ} = 60$ મિનિટ,તેથી $\left(\frac{1}{60}\right)^{\circ} = 1$ મિનિટ.
તેથી,સાધનનું લઘુત્તમ માપ $1$ મિનિટ છે.

(D) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $g_h$ એ કેન્દ્રથી અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ વધતા $g_h$ ઘટે છે.
સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જે પૃથ્વીના દળ $M$ પર આધાર રાખે છે.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ પૃથ્વીની સાપેક્ષ સ્થિર રહેવા માટે ચોક્કસ $24 \ h$ હોવો જોઈએ.
$d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R}) = g(\frac{R-d}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ ઊંડાઈ $d$ વધે છે,તેમ $(\frac{R-d}{R})$ પદ ઘટે છે,તેથી ઊંડાઈ વધવાની સાથે $g_d$ ઘટે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચું વિધાન છે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $(r)$ સાથે ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ માં થતો ફેરફાર નીચે મુજબ છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(r < R_e)$: ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM r}{R_e^3}$ છે. અહીં $G, M, R_e$ અચળ હોવાથી,$g' \propto r$ થાય. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. પૃથ્વીની બહાર $(r \geq R_e)$: ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM}{r^2}$ છે. તેથી,$g' \propto \frac{1}{r^2}$ થાય. આ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(r = R_e)$,$g$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે. આ બંનેને જોડતા,આલેખ $r = R_e$ સુધી રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે. તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે $R_e$ પર ટોચ સુધી રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ વક્ર દર્શાવે છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
અહીં દળ $M$ અચળ હોવાથી,$g \propto \frac{1}{R^2}$ થાય.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$ મળે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $1 \%$ ઘટે છે,તેથી $\frac{\Delta R}{R} = -0.01$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-0.01) = 0.02$ મળે.
તેથી,$g$ માં થતો ટકાવારી ફેરફાર $0.02 \times 100 = 2 \%$ છે.
આમ,ગુરુત્વપ્રવેગમાં $2 \%$ નો વધારો થશે.

(C) અંતરે રહેલા $m_0$ અને $M-m_0$ દળો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{G m_0 (M - m_0)}{D^2}$
મહત્તમ બળ માટેની શરત શોધવા માટે,આપણે $F$ નું $m_0$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dF}{dm_0} = \frac{d}{dm_0} \left[ \frac{G}{D^2} (M m_0 - m_0^2) \right] = 0$
$\frac{G}{D^2} (M - 2m_0) = 0$
અહીં $\frac{G}{D^2} \neq 0$ હોવાથી:
$M - 2m_0 = 0$
$M = 2m_0$
$\frac{m_0}{M} = \frac{1}{2} = 0.5$

(A) કોઈ ગ્રહ પર પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
આના પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$.
ધારો કે $M_1$ અને $R_1$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે, અને $M_2$ અને $R_2$ એ બીજા ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_2 = 8M_1$ અને $R_2 = 2R_1$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{(v_e)_1}{(v_e)_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2} \times \frac{R_2}{R_1}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{11.2}{(v_e)_2} = \sqrt{\frac{M_1}{8M_1} \times \frac{2R_1}{R_1}}$
$\frac{11.2}{(v_e)_2} = \sqrt{\frac{1}{8} \times 2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
$(v_e)_2 = 2 \times 11.2 = 22.4 \text{ km/s}$.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ આ મુજબ મળે છે: $v_{cm} = \frac{M \cdot v_1 + m \cdot v_2}{M + m} = \frac{M(2) + 1(1)}{M + 1} = \frac{2M + 1}{M + 1}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિઊર્જાનું સૂત્ર: $K.E._{cm} = \frac{1}{2} (M + m) v_{cm}^2$.
આપેલ છે કે $K.E._{cm} = \frac{4}{3} \ J$,કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{3} = \frac{1}{2} (M + 1) \left( \frac{2M + 1}{M + 1} \right)^2$.
$\frac{4}{3} = \frac{1}{2} \frac{(2M + 1)^2}{M + 1}$.
$8(M + 1) = 3(4M^2 + 4M + 1)$.
$8M + 8 = 12M^2 + 12M + 3$.
$12M^2 + 4M - 5 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $M = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$M = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(12)(-5)}}{2(12)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{24} = \frac{-4 \pm 16}{24}$.
દળ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $M = \frac{12}{24} = 0.5 \ kg$.

(A) આપેલ છે:
દરેક ગેલેક્સીનું દળ,$m = 8 \times 10^{11} \text{ સૌર દળ} = 8 \times 10^{11} \times 2.0 \times 10^{30} \text{ kg} = 16 \times 10^{41} \text{ kg}$.
ગેલેક્સીઓ વચ્ચેનું અંતર,$d = 2 \times 10^6 \text{ પ્રકાશવર્ષ} = 2 \times 10^6 \times 10^{16} \text{ m} = 2 \times 10^{22} \text{ m}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,$F = \frac{G m^2}{d^2}$.
ગેલેક્સીનો પ્રવેગ,$a = \frac{F}{m} = \frac{G m}{d^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{10^{-10} \times (16 \times 10^{41})}{(2 \times 10^{22})^2} = \frac{16 \times 10^{31}}{4 \times 10^{44}} = 4 \times 10^{-13} \text{ m/s}^2$.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંરક્ષી બળ છે. કોઈપણ સંરક્ષી બળ માટે,સંપૂર્ણ બંધ માર્ગમાં (એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ) થયેલું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
આમ,વિધાન (iii) સાચું છે.
થયેલું કાર્ય ડોટ પ્રોડક્ટ $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\vec{F} = m\vec{a}$,તેથી $W = \int m\vec{a} \cdot d\vec{r}$.
જો પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ (જે સૂર્ય તરફ નિર્દેશિત છે) એ સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{r}$ (જે કક્ષાને સ્પર્શક છે) ને લંબ હોય,તો થયેલું કાર્ય શૂન્ય થાય છે.
લંબગોળ કક્ષામાં,એવા ચોક્કસ બિંદુઓ (પેરિહેલિયન અને એફેલિયન પર) હોય છે જ્યાં વેગ ત્રિજ્યા સદિશને લંબ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે ક્ષણિક બિંદુઓ પર બળ સ્થાનાંતરને લંબ હોય છે.
તેથી,આ ચોક્કસ બિંદુઓ પર થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે,જે વિધાન (ii) ને સાચું બનાવે છે.
વિધાન $(i)$ ખોટું છે કારણ કે કાર્ય ચોક્કસ બિંદુઓ પર શૂન્ય છે.
વિધાન (iv) ખોટું છે કારણ કે કક્ષાના કોઈપણ નાના ભાગ માટે કાર્ય શૂન્ય નથી.
તેથી,(ii) અને (iii) સાચા છે.

(A) $n$ સ્વતંત્રતાના અંશો ધરાવતા વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{n}{2}R$ છે.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_V + R = \frac{n}{2}R + R = \left(\frac{n}{2} + 1\right)R = \left(\frac{n+2}{2}\right)R$ થાય.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\gamma = \frac{(\frac{n+2}{2})R}{(\frac{n}{2})R} = \frac{n+2}{n}$.

(D) આપેલ છે,$C_V = 12.6 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$ અને $R = 8.314 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.
આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $C_p - C_V = R$ છે.
તેથી,$C_p = C_V + R$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$C_p = 12.6 + 8.314 = 20.914 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $C_p \approx 20.9 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$ મળે છે.

(C) એક દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુ બે પરમાણુઓનો બનેલો હોય છે જે એક દ્રઢ બંધ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે,જેને ડમ્બેલ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આવો અણુ આંતર-પરમાણ્વીય અક્ષ (બે પરમાણુઓમાંથી પસાર થતી અક્ષ) ને લંબ એવી બે અક્ષો પર ભ્રમણ કરી શકે છે.
આંતર-પરમાણ્વીય અક્ષ (આકૃતિમાં $X$-અક્ષ) ની આસપાસનું ભ્રમણ ભ્રમણીય ગતિઊર્જામાં ફાળો આપતું નથી કારણ કે આ અક્ષની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા નગણ્ય હોય છે.
તેથી,અણુ પાસે માત્ર $2$ ભ્રમણીય મુક્તિની માત્રાઓ હોય છે.

(D) આપેલ છે: બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા $L_v = 22.6 \times 10^5 \ J \ kg^{-1}$.
પાણીનું દળ,$m = 100 \ kg$.
અચળ તાપમાને પાણીને વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $(Q)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Q = m \times L_v$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$Q = 100 \ kg \times (22.6 \times 10^5 \ J \ kg^{-1})$
$Q = 10^2 \times 22.6 \times 10^5 \ J$
$Q = 22.6 \times 10^7 \ J$
તેથી,જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો $22.6 \times 10^7 \ J$ છે.

(B) આદર્શ વાયુનો નિયમ એવી ધારણા પર આધારિત છે કે વાયુના અણુઓ નહિવત કદ ધરાવે છે અને તેમની વચ્ચે કોઈ આંતરઆણ્વીય બળો હોતા નથી.
વધારે દબાણે,વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ કુલ કદની સાપેક્ષમાં નોંધપાત્ર બને છે,તેથી તે શૂન્યની નજીક પહોંચતું નથી.
નીચા તાપમાને,અણુઓની ગતિ ઊર્જા ઘટે છે,જેના કારણે આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો નોંધપાત્ર બને છે.
તેથી,વધારે દબાણ અને નીચા તાપમાને,બધા જ વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વાયુના નિયમોથી વિચલિત થાય છે.

(A) તાપમાનમાં વધારા $(\Delta T)$ ને કારણે કદમાં થતો ફેરફાર $(\Delta V)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\Delta V = \alpha_V V \Delta T$ ... $(i)$
જ્યાં $\alpha_V$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $V$ એ વાયુનું પ્રારંભિક કદ છે.
આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ છે:
$pV = nRT$ ... $(ii)$
અચળ દબાણ $p$ પર,આદર્શ વાયુના સમીકરણનું વિકલન કરતા:
$p \Delta V = nR \Delta T$
$\Delta V = \frac{nR \Delta T}{p}$ ... $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ ની સરખામણી કરતા:
$\alpha_V V \Delta T = \frac{nR \Delta T}{p}$
$\alpha_V = \frac{nR}{pV}$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $pV = nRT$ મૂકતા:
$\alpha_V = \frac{nR}{nRT} = \frac{1}{T}$
આમ,$\alpha_V = \frac{1}{T}$.

(A) આદર્શ વાયુનું દબાણ ગતિવાદના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$p = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v^2$
જ્યાં $m$ એ અણુનું દળ છે,$N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે,$V$ એ કદ છે,અને $v$ એ સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $p = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v^2$ છે.
જ્યારે દરેક અણુનું દળ બમણું કરવામાં આવે $(m' = 2m)$ અને ઝડપ અડધી કરવામાં આવે $(v' = v/2)$,ત્યારે નવું દબાણ $p'$ નીચે મુજબ મળે:
$p' = \frac{1}{3} \frac{N (2m)}{V} \left(\frac{v}{2}\right)^2$
$p' = \frac{1}{3} \frac{N (2m)}{V} \left(\frac{v^2}{4}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v^2 \right) = \frac{1}{2} p$
તેથી,પ્રારંભિક દબાણ અને અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર:
$\frac{p}{p'} = \frac{p}{p/2} = \frac{2}{1}$
આમ,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(D) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n_V}$.
અહીં,$d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n_V$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા) છે.
$1$. સરેરાશ મુક્ત પથ એ સંખ્યા ઘનતા $(n_V)$ પર આધાર રાખે છે.
$2$. સરેરાશ મુક્ત પથ એ અણુના કદ (વ્યાસ $d$) પર આધાર રાખે છે.
$3$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $P = n_V k_B T$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $n_V = \frac{P}{k_B T}$ લખી શકીએ છીએ. તેથી,$\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$. આ દર્શાવે છે કે સરેરાશ મુક્ત પથ વાયુના તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે.
$4$. વાયુ અચળાંક $R$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને તે વાયુના અણુઓના સરેરાશ મુક્ત પથના સમીકરણમાં આવતો નથી.
તેથી,સરેરાશ મુક્ત પથ એ વાયુ અચળાંક $R$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ છે અને દડાનું દળ $m = 1.2M$ છે। ધારો કે સળિયા સાથે જોડાયેલી દોરીમાં તણાવ $T$ છે। ગતિશીલ ગરગડી બે દોરીના ભાગો દ્વારા આધારિત છે,દરેક $T$ તણાવ સાથે,તેથી ગતિશીલ ગરગડી પરનું ઉપરની તરફનું બળ $2T$ છે। આ બળ દડા પર સ્થાનાંતરિત થાય છે,તેથી દડા સાથે જોડાયેલી દોરીમાં તણાવ $2T$ છે.
દડા (દળ $m$) માટે,ગતિનું સમીકરણ: $m a_1 = 2T - mg$ $(i)$
સળિયા (દળ $M$) માટે,ગતિનું સમીકરણ: $M a_2 = Mg - T$ (ii)
દોરીની લંબાઈ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ $a_2 = 2a_1$ છે,અથવા $a_1 = a_2/2$.
$a_1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $m(a_2/2) = 2T - mg \Rightarrow T = \frac{m a_2}{4} + \frac{mg}{2}$.
$T$ ને (ii) માં મૂકતા: $M a_2 = Mg - (\frac{m a_2}{4} + \frac{mg}{2})$.
$a_2$ માટે ગોઠવતા: $a_2(M + m/4) = g(M - m/2)$.
$a_2 = g \frac{M - m/2}{M + m/4} = g \frac{1 - (m/M)/2}{1 + (m/M)/4}$.
$m/M = 1.2$ આપેલ છે,તેથી $a_2 = 10 \times \frac{1 - 0.6}{1 + 0.3} = 10 \times \frac{0.4}{1.3} = \frac{4}{1.3} \approx 3.07 \,m/s^2$. નજીકનો વિકલ્પ $3 \,m/s^2$ છે।

(A) બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N = F \cos 30^{\circ} = F \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે।
$2$. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \sqrt{3} \times (F \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} F$ છે।
$3$. બ્લોક પર લાગતા ઉર્ધ્વ બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું વજન $mg$ અને લાગુ પાડેલા બળનો ઉર્ધ્વ ઘટક $F \sin 30^{\circ}$ છે।
$4$. બ્લોક સંતુલનમાં રહે અને નીચે ન પડે તે માટે, ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગતા કુલ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$f = mg + F \sin 30^{\circ}$
$\frac{3}{2} F = (3 \times 10) + F \times \frac{1}{2}$
$\frac{3}{2} F - \frac{1}{2} F = 30$
$F = 30 \,N$.

(A) $1$. સૌ પ્રથમ,આપણે બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $F_N$ નક્કી કરીએ. શિરોલંબ દિશામાં લાગતા બળો ઉપરની તરફનું બળ $F_2$,લંબબળ $F_N$ અને નીચેની તરફનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે. બ્લોક શિરોલંબ દિશામાં ગતિ કરતો ન હોવાથી,શિરોલંબ દિશામાં કુલ બળ શૂન્ય થાય:
$F_2 + F_N - mg = 0$
$10 \ N + F_N - (2 \ kg)(10 \ m/s^2) = 0$
$10 \ N + F_N - 20 \ N = 0$
$F_N = 10 \ N$
$2$. ત્યારબાદ,આપણે સીમાંત સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max}$ ની ગણતરી કરીએ:
$f_{s,max} = \mu_s F_N = 0.4 \times 10 \ N = 4.0 \ N$
$3$. લગાડવામાં આવેલું આડું બળ $F_1 = 6 \ N$ છે. અહીં લગાડવામાં આવેલું આડું બળ $F_1$ એ સીમાંત સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max}$ કરતા વધારે હોવાથી $(6 \ N > 4.0 \ N)$,બ્લોક ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે.
$4$. જ્યારે બ્લોક ગતિમાં હોય,ત્યારે તેના પર લાગતું ઘર્ષણ બળ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ છે:
$f_k = \mu_k F_N = 0.25 \times 10 \ N = 2.5 \ N$
તેથી,બ્લોક પર લાગતા ઘર્ષણ બળનું મૂલ્ય $2.5 \ N$ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = 0.5$,અને ઘર્ષણ બળ $f = 14.14 \ N = 10\sqrt{2} \ N$.
બ્લોક ઢળતા સમતલ પર સ્થિર હોવાથી,ઘર્ષણ બળ એ ઢળતા સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
$f = mg \sin \theta$
$10\sqrt{2} = 4 \times 10 \times \sin \theta$
$10\sqrt{2} = 40 \sin \theta$
$\sin \theta = \frac{10\sqrt{2}}{40} = \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.3535$.
જો આપણે માની લઈએ કે આપેલ ઘર્ષણ બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(f_L = \mu_s N)$ છે:
લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N = mg \cos \theta = 40 \cos \theta$.
$f_L = \mu_s N = 0.5 \times 40 \cos \theta = 20 \cos \theta$.
$f_L = 10\sqrt{2}$ ને સરખાવતા:
$20 \cos \theta = 10\sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{10\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.

(A) બ્લોક સ્થિર રહે તે માટેનો મહત્તમ ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,$m$ દળ ધરાવતા બ્લોક પર લાગતા બળોને ધ્યાનમાં લો:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ ઢળતી સપાટીને લંબ રૂપે લાગે છે.
$3$. સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ ગતિના વિરોધમાં ઢાળની ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
વજન $mg$ ના ઘટકો પાડતા:
- ઢાળને લંબ ઘટક: $mg \cos \theta$
- ઢાળને સમાંતર ઘટક: $mg \sin \theta$
ઢાળને લંબ સંતુલન માટે:
$N = mg \cos \theta$
બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,ગતિ કરાવતું બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$mg \sin \theta \leq f_{s, \text{max}}$
કારણ કે $f_{s, \text{max}} = \mu N = \mu mg \cos \theta$,તેથી:
$mg \sin \theta \leq \mu mg \cos \theta$
બંને બાજુ $mg \cos \theta$ વડે ભાગતા ($\cos \theta \neq 0$ ધારીને):
$\tan \theta \leq \mu$
આમ,$\theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\tan \theta = \mu$ દ્વારા મળે છે.

(A) બ્લોક સંતુલનમાં છે. આપણે તેના પર લાગતા બળોના ઘટકો પાડીએ.
આપેલ છે: $\tan \theta = \frac{3}{4}$,તેથી $\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
$12 \ N$ ના લાગુ પડેલા બળના ઘટકો:
સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = 12 \cos \theta = 12 \times \frac{4}{5} = 9.6 \ N$.
શિરોલંબ ઘટક $F_y = 12 \sin \theta = 12 \times \frac{3}{5} = 7.2 \ N$.
સમક્ષિતિજ સંતુલન માટે,દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N_2$ એ લાગુ પડેલા બળના સમક્ષિતિજ ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$N_2 = F_x = 9.6 \ N$.
શિરોલંબ સંતુલન માટે,જમીન દ્વારા ઉપરની તરફ લાગતું લંબબળ $N_1$ એ નીચેની તરફ લાગતા બળો (બ્લોકનું વજન,$10 \ N$ નું નીચેની તરફનું બળ,અને $12 \ N$ બળનો શિરોલંબ ઘટક) ને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
બ્લોકનું વજન $W = mg = 2 \times 10 = 20 \ N$.
$N_1 = W + 10 + F_y = 20 + 10 + 7.2 = 37.2 \ N$.
આમ,$N_1 = 37.2 \ N$ અને $N_2 = 9.6 \ N$.

(C) ઘર્ષણરહિત ટેબલ પર મૂકવામાં આવેલ તંત્રનું કુલ દળ $M$ એ અનંત શ્રેણીનો સરવાળો છે:
$M = m + \frac{m}{2!} + \frac{m}{3!} + \ldots + \frac{m}{n!} + \ldots$
$M = m \left( 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots + \frac{1}{n!} + \ldots \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $e$ નું વિસ્તરણ $e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots$ છે.
તેથી,$1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots = e - 1$.
આમ,ટેબલ પરનું કુલ દળ $M = m(e - 1)$ છે.
ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. લટકતું દળ $m$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને દોરીમાં રહેલા તણાવ $T$ દ્વારા ખેંચાય છે,જ્યારે ટેબલ પરનું દળ $M$ એ સમાન તણાવ $T$ દ્વારા ખેંચાય છે.
લટકતા દળ માટે: $mg - T = ma$
ટેબલ પરના દળ માટે: $T = Ma = m(e - 1)a$
બીજા સમીકરણમાંથી $T$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$mg - m(e - 1)a = ma$
$g - (e - 1)a = a$
$g = a + (e - 1)a = a(1 + e - 1) = ae$
$a = \frac{g}{e}$

(A) સીમિત દળ ધરાવતા તટસ્થ કણ દ્વારા અનુભવાતું લાંબા અંતરનું બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
આ બ્રહ્માંડમાં દરેક પદાર્થ બીજા પદાર્થને એવા બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકાર ($m_1$ અને $m_2$) ના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતર $(r)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આ બળનું સૂત્ર $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અનંત અંતર સુધી કાર્ય કરે છે અને તે માત્ર દળ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે તટસ્થ કણો પર લાંબા અંતરે કાર્ય કરતું એકમાત્ર મૂળભૂત બળ છે.

(C) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તમામ બળોને બે લંબ અક્ષો ($X$ અને $Y$) પર વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે $m$ દળનો બ્લોક સંતુલનમાં છે,તેથી $x$ અને $y$ બંને દિશામાં ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$x$-દિશામાં બળોનું વિભાજન કરતા:
$|F_2| \cos(60^{\circ}) = |F_1| \cos(30^{\circ})$
$|F_2| \times \frac{1}{2} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (\because |F_1| = 10 \ N \text{ આપેલ છે})$
$|F_2| = 10\sqrt{3} \ N$
$y$-દિશામાં બળોનું વિભાજન કરતા:
$|F_3| = |F_1| \sin(30^{\circ}) + |F_2| \sin(60^{\circ})$
$|F_3| = 10 \times \frac{1}{2} + 10\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$|F_3| = 5 + 15 = 20 \ N$
આમ,$F_3$ નું મૂલ્ય $20 \ N$ છે.

(D) આપેલ છે,પદાર્થનું દળ,$m = 2 \ kg$.
વેગ,$v = (8t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ m/s$.
પદાર્થનો પ્રવેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) = (8 \hat{i} + 6t \hat{j}) \ m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ:
$F = ma = 2(8 \hat{i} + 6t \hat{j}) = (16 \hat{i} + 12t \hat{j}) \ N$.
બળનું મૂલ્ય $|F| = 20 \ N$ આપેલ છે.
$|F| = \sqrt{16^2 + (12t)^2} = 20$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$256 + 144t^2 = 400$.
$144t^2 = 144 \implies t^2 = 1 \implies t = 1 \ s$.
$t = 1 \ s$ સમયે,બળ સદિશ:
$F = 16 \hat{i} + 12(1) \hat{j} = (16 \hat{i} + 12 \hat{j}) \ N$.
બળ સદિશ દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $\theta$:
$\tan \theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(D) જ્યારે સાયકલ સવાર વર્તુળાકાર વળાંક લે છે, ત્યારે તે શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે નમે છે। સાયકલ સવાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે: વજન બળ $mg$ નીચેની તરફ અને જમીન દ્વારા લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા $N$।
લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ ના બે ઘટકો પાડતા:
$N \cos \theta = mg$ (વજન બળને સંતુલિત કરતો શિરોલંબ ઘટક) ... $(i)$
$N \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$ (કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડતો સમક્ષિતિજ ઘટક) ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ એ સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો છે, તેથી શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ થશે। અથવા સીધું સૂત્ર $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$ માં $\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો છે।
જો ખૂણો સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ હોય, તો $\tan 60^{\circ} = \frac{v^2}{Rg}$ લેવું પડે।
$v^2 = Rg \tan 60^{\circ} = (20 \sqrt{3}) \times 10 \times \sqrt{3} = 600$.
$v = \sqrt{600} = 10 \sqrt{6} \,m/s$.

(B) આપેલ છે,$v_1 = 14 \ m/s$ અને $v_2 = 28 \ m/s$.
બેંકિંગવાળા રસ્તા માટે,બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$,વેગ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
ત્રિજ્યા માટે સૂત્ર બનાવતા,$r = \frac{v^2}{g \tan \theta}$.
રેમ્પ સમાન હોવાથી,બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ અચળ રહે છે.
તેથી,$r \propto v^2$.
આમ,$\frac{r_2}{r_1} = \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2 = \left( \frac{28}{14} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
આ સૂચવે છે કે $r_2 = 4r_1$.
તેથી,ત્રિજ્યામાં $4$ ના ગુણાંકનો વધારો કરવો જોઈએ.

(B) આકૃતિમાં દર્શાવેલ સદિશ સરવાળાના નિયમ (ત્રિકોણનો નિયમ) મુજબ:
$\triangle PQR$ માં,સદિશ $B$ અને $E$ ક્રમમાં છે,અને $A$ એ ત્રિકોણને પૂર્ણ કરતો પરિણામી સદિશ છે. તેથી,$A = B + E$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $E = A - B$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $-E = -(A - B) = -A + B$.
$\triangle PSR$ માં,સદિશ $A$ અને $D$ ક્રમમાં છે,અને $C$ એ પરિણામી સદિશ છે. તેથી,$C = A + D$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $A = C - D$ મળે છે,જેને $A = -D + C$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ પરિણામોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$A_1+A_2=5 A_3$ ---$(i)$
$A_1-A_2=3 A_3$ ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2 A_1 = 8 A_3 \Rightarrow A_1 = 4 A_3$
કારણ કે $A_3 = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$,તેથી $A_1 = 4(2 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 8 \hat{i} + 16 \hat{j}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$2 A_2 = 2 A_3 \Rightarrow A_2 = A_3 = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$.
હવે,મૂલ્યોનો ગુણોત્તર શોધતા:
$\frac{|A_1|}{|A_2|} = \frac{|8 \hat{i} + 16 \hat{j}|}{|2 \hat{i} + 4 \hat{j}|} = \frac{\sqrt{8^2 + 16^2}}{\sqrt{2^2 + 4^2}}$
$= \frac{\sqrt{64 + 256}}{\sqrt{4 + 16}} = \frac{\sqrt{320}}{\sqrt{20}} = \sqrt{\frac{320}{20}} = \sqrt{16} = 4$.

(A) આપેલ સદિશો $r_1 = 2 \hat{x}$ અને $r_2 = 2 \hat{y}$ છે.
તેમનો સરવાળો $r_1 + r_2 = 2 \hat{x} + 2 \hat{y}$ થાય.
કોઈ સદિશ $A = a \hat{x} + b \hat{y}$ નું મૂલ્ય $|A| = \sqrt{a^2 + b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$|r_1 + r_2| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
$\sqrt{8}$ નું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\sqrt{4 \times 2} = 2 \sqrt{2}$ મળે છે.

(A) માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta x = 0.05 \ m$ છે.
માપેલ લંબાઈ $x = 5 \ m$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ એ નિરપેક્ષ ત્રુટિ અને માપેલ મૂલ્યનો ગુણોત્તર છે: $\frac{\Delta x}{x} = \frac{0.05}{5} = 0.01$.
પ્રતિશત ત્રુટિ સાપેક્ષ ત્રુટિને $100$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે: $\text{Percentage Error} = \frac{\Delta x}{x} \times 100 \% = 0.01 \times 100 \% = 1 \%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) દડાનું સરેરાશ દળ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\bar{M} = \frac{2.61 + 2.58 + 2.40 + 2.73 + 2.80}{5} = \frac{13.12}{5} = 2.624 \,g \approx 2.62 \,g$.
દરેક માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ નીચે મુજબ છે:
$|\Delta M_1| = |2.62 - 2.61| = 0.01 \,g$
$|\Delta M_2| = |2.62 - 2.58| = 0.04 \,g$
$|\Delta M_3| = |2.62 - 2.40| = 0.22 \,g$
$|\Delta M_4| = |2.62 - 2.73| = 0.11 \,g$
$|\Delta M_5| = |2.62 - 2.80| = 0.18 \,g$
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ એ આ નિરપેક્ષ ત્રુટિઓની સરેરાશ છે:
$\Delta \bar{M} = \frac{0.01 + 0.04 + 0.22 + 0.11 + 0.18}{5} = \frac{0.56}{5} = 0.112 \,g \approx 0.11 \,g$.

(D) સદિશ $\vec{A} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}$ એક એકમ સદિશ છે જો તેનું મૂલ્ય $1$ હોય,એટલે કે $|\vec{A}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = 1$.
અહીં આપેલ સદિશ $0.5 \hat{i} + 0.8 \hat{j} + c \hat{k}$ છે.
તેથી,$\sqrt{(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2 = 1^2$.
$0.25 + 0.64 + c^2 = 1$.
$0.89 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 0.89 = 0.11$.
આમ,$c = \sqrt{0.11}$.

(C) પ્રકૃતિમાં રહેલા ચાર મૂળભૂત બળો,તેમની સાપેક્ષ શક્તિના ઘટતા ક્રમમાં નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ $(S)$: સૌથી પ્રબળ બળ,જે ન્યુક્લિયોન્સ વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ $(E)$: વીજભારિત કણો વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
$3$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ $(W)$: રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયાઓ માટે જવાબદાર છે.
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(G)$: સૌથી નિર્બળ બળ,જે તમામ દ્રવ્યમાન ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
તેમની સાપેક્ષ તીવ્રતાની સરખામણી કરતા,આપણને $S > E > W > G$ મળે છે.
તેથી,સાચું વિધાન $S > E > W > G$ છે.

(B) ધારો કે જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ છે. તેથી $H = \frac{1}{2} g T^2$.
છેલ્લા $1.0 \ s$ માં,દડો $\frac{H}{2}$ અંતર કાપે છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ $(T - 1) \ s$ માં,દડો $\frac{H}{2}$ અંતર કાપે છે.
તેથી,$\frac{H}{2} = \frac{1}{2} g (T - 1)^2$.
$H = \frac{1}{2} g T^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} g T^2) = \frac{1}{2} g (T - 1)^2$
$\frac{T^2}{4} = (T - 1)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T}{2} = T - 1$ (ધન મૂળ લેતા કારણ કે $T > 1$)
$T^2 - 4T + 2 = 0$ સમીકરણ ઉકેલતા:
$T = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.
$T > 1$ હોવાથી,$T = 2 + 1.414 = 3.414 \ s$.

(B) લાકડાના બ્લોકનું કદ $V_w = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{160}{0.8 \times 1} = 200 \,cm^3$.
ધારો કે ધાતુના ટુકડાનું દળ $x \,g$ છે।
ધાતુના ટુકડાનું કદ $V_m = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{x}{10 \times 1} = \frac{x}{10} \,cm^3$.
સિસ્ટમ પાણીમાં તરે તે માટે, સિસ્ટમનું કુલ વજન પાણી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) જેટલું હોવું જોઈએ જ્યારે આખી સિસ્ટમ ડૂબેલી હોય।
કુલ વજન $W = (m_w + m_m)g = (160 + x)g$.
સિસ્ટમનું કુલ કદ $V_{total} = V_w + V_m = (200 + \frac{x}{10}) \,cm^3$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{total} \times \rho_{water} \times g = (200 + \frac{x}{10}) \times 1 \times g$.
વજન અને ઉત્પ્લાવક બળને સરખાવતા: $(160 + x)g = (200 + \frac{x}{10})g$.
$160 + x = 200 + 0.1x$.
$0.9x = 40$.
$x = \frac{400}{9} \approx 44.4 \,g$.

(B) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,સંતુલન માટે બંને પિસ્ટન પર લાગતું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
$P_1 = P_2$
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
અહીં,$F_1 = M_1 g = 1000 \times g$ અને $F_2 = M_2 g$ છે.
આપેલ છે કે $A_1 = 1 \ m^2$ અને $A_2 = 0.01 \ m^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1000 \times g}{1} = \frac{M_2 \times g}{0.01}$
$1000 = \frac{M_2}{0.01}$
$M_2 = 1000 \times 0.01 = 10 \ kg$.
આમ,$1000 \ kg$ ના દળને ઊંચકવા માટે પિસ્ટન $(P_2)$ પર $10 \ kg$ દળ મૂકવાની જરૂર છે.

(D) ઓપ્ટિકલ સાધનની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(R.P.)$ એ વપરાતી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $R.P. \propto \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,$\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટે રિઝોલ્વિંગ પાવરનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{(R.P.)_1}{(R.P.)_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(R.P.)_1}{(R.P.)_2} = \frac{5000 \; \mathring{A}}{4000 \; \mathring{A}} = \frac{5}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $5:4$ છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં,બે સ્વીચો $LED$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. જ્યારે તેમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે ત્યારે $LED$ પ્રકાશિત થાય છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછી એક સ્વીચ બંધ $(1)$ હોય. જો બંને સ્વીચો ખુલ્લી $(0)$ હોય,તો પરિપથ પૂર્ણ થતો નથી અને $LED$ પ્રકાશિત થતો નથી $(0)$.

$A$	$B$	$LED$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

આ સત્યાર્થતા કોષ્ટક $OR$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(B) $AC$ સર્કિટમાં,ઉર્જાના વ્યયનો દર અથવા પાવર નીચે મુજબ છે:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$
જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
આદર્શ ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ માટે,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$L$ અથવા $C$ દ્વારા વ્યય થતો પાવર:
$P_{L \text{ or } C} = V I \cos 90^{\circ} = 0$ (કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$).
અવરોધ $(R)$ માટે,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે,તેથી કળા તફાવત $\phi = 0^{\circ}$ છે.
આમ,અવરોધ દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P_R = V I \cos 0^{\circ} = V I$ છે.
તેથી,$L-C-R$ સર્કિટમાં માત્ર અવરોધ $(R)$ જ ઉર્જાનો વ્યય કરે છે.

(A) $CR$ સર્કિટમાં કેપેસિટર પર ચાર્જ $Q$ ની વૃદ્ધિ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = Q_0(1 - e^{-t/RC})$.
અહીં, $RC$ પદને સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $(\tau)$ કહેવામાં આવે છે.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ એ નક્કી કરે છે કે કેપેસિટર કેટલી ઝડપથી ચાર્જ થશે.
જો $CR$ નો ગુણાકાર નાનો હોય, તો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ નાનો હોય છે, જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર તેના મહત્તમ ચાર્જ સુધી વધુ ઝડપથી પહોંચે છે.
તેથી, જો $CR$ નું મૂલ્ય નાનું હોય તો ચાર્જની વૃદ્ધિ વધુ ઝડપી થાય છે.

(A) આપેલ છે કે,લાગુ પાડેલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $E = 30 \sin 200 t$ છે.
આને $E = E_{\max} \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણને $E_{\max} = 30 \text{ V}$ અને $\omega = 200 \text{ rad s}^{-1}$ મળે છે.
સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી,અવરોધ $R = 10 \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.05 \text{ H}$,અને કેપેસિટન્સ $C = 500 \mu\text{F} = 500 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સની ગણતરી કરો: $X_L = L \omega = 0.05 \times 200 = 10 \Omega$.
ત્યારબાદ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સની ગણતરી કરો: $X_C = \frac{1}{C \omega} = \frac{1}{500 \times 10^{-6} \times 200} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદમાં,સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = R = 10 \Omega$ થાય છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_{\max} = \frac{E_{\max}}{Z} = \frac{30}{10} = 3 \text{ A}$ દ્વારા મળે છે.

(A) આ સર્કિટમાં એક અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં ઇન્ડક્ટર $L$ અને કેપેસિટર $C$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે જોડાયેલ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$ પર,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = \frac{1}{\sqrt{L C}}$ થાય છે.
આ $L-C$ સમાંતર સર્કિટની અનુનાદિત આવૃત્તિ છે.
આ આવૃત્તિ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ સમાન હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
સમાંતર $L-C$ સર્કિટ માટે,સમાંતર જોડાણનો કુલ રિએક્ટન્સ અનંત બને છે $(Z_{LC} \to \infty)$.
તેથી,સમાંતર $L-C$ જોડાણ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
પરિણામે,અવરોધ $R$ સહિત સમગ્ર સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી અવરોધકોમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. સમગ્ર કેપેસિટર નેટવર્ક ($C$ થી $D$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો હોય છે,$V_{CD} = 100 \text{ V}$.
પરિપથ જોતા,શાખા $E-F-G$ એ $C-D$ શાખા સાથે સમાંતરમાં છે. જોકે,$F$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $C$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલી કેપેસિટીવ વોલ્ટેજ ડિવાઈડર શાખાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.
ડાબી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ (શ્રેણીમાં કેપેસિટર) $C_1 = \frac{5 \times 5}{5 + 5} = 2.5 \text{ } \mu\text{F}$ છે.
જમણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ (શ્રેણીમાં કેપેસિટર) $C_2 = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \text{ } \mu\text{F}$ છે.
આ શાખાઓ $100 \text{ V}$ ની આસપાસ સમાંતરમાં હોવાથી,$C$ અને $D$ ની સાપેક્ષમાં $F$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન શ્રેણી જોડાણ દ્વારા નક્કી થાય છે. વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{CF} = 100 \times \frac{C_2}{C_1 + C_2} = 100 \times \frac{1}{2.5 + 1} = 100 \times \frac{1}{3.5} \approx 28.57 \text{ V}$ છે.
આમ,$V_{AF} = V_{AC} + V_{CF} = 0 + 28.57 \text{ V} = 28.57 \text{ V}$.
અને $V_{FB} = V_{FD} + V_{DB} = (100 - 28.57) + 0 = 71.43 \text{ V}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $V_{AF} = 28.5 \text{ V}$ અને $V_{FB} = 71.4 \text{ V}$ મળે છે.

(D) $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથમાં,પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ છે.
અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલો હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં $X_L = X_C$ મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ મળે છે.
હવે,કળા તફાવતના સૂત્રમાં $Z = R$ મૂકતા,આપણને $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\cos \phi = 1$,તેથી $\phi = 0^{\circ}$ થાય.
આમ,અનુનાદ સમયે,લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે.

(C) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $(Z)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$X_L = 2\pi fL$ અને $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + \left(2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC}\right)^2}$
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું થાય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આ આવૃત્તિ પર,પદ $(X_L - X_C)$ શૂન્ય થઈ જાય છે,અને ઈમ્પીડન્સ તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $Z_{\min} = R$ પ્રાપ્ત કરે છે.
$f_0$ કરતા ઓછી આવૃત્તિઓ માટે,$X_C > X_L$ હોય છે,અને $f_0$ કરતા ઊંચી આવૃત્તિઓ માટે,$X_L > X_C$ હોય છે.
આમ,$Z$ વિરુદ્ધ $f$ નો આલેખ ઊંચા મૂલ્યથી શરૂ થાય છે,$f_0$ પર ન્યૂનતમ સુધી ઘટે છે,અને ત્યારબાદ ફરી વધે છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) $R-L-C$ શ્રેણી સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ એ અનુનાદ સમયે ઇન્ડક્ટર (અથવા કેપેસિટર) પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપ અને રઝિસ્ટર પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$Q = \frac{V_L}{V_R} = \frac{I X_L}{I R} = \frac{\omega_0 L}{R}$.
અનુનાદ સમયે,અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sqrt{LC} = \frac{1}{\omega_0}$ મૂકતા,આપણે $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ પણ લખી શકીએ છીએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,ક્વોલિટી ફેક્ટર માટેનું સૂત્ર $\frac{\omega_0 L}{R}$ છે.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I = \frac{ml^2}{12}$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M = m_p l$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,જ્યાં $m_p$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{ml^2}{12 m_p l B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{ml}{12 m_p B}}$.
દળ $m$ એ લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$m \propto l$,તેથી $T \propto \sqrt{\frac{l^2}{m_p}} \propto \frac{l}{\sqrt{m_p}}$.
જ્યારે ચુંબકને ત્રણ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $l' = l/3$ થાય છે અને ધ્રુવ પ્રબળતા $m_p$ સમાન રહે છે.
જ્યારે આ ત્રણ ભાગોને સમાન ધ્રુવો સાથે એકબીજા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l' = l/3$ અને નવી ધ્રુવ પ્રબળતા $M'_{p} = 3m_p$ થાય છે.
સંયોજન માટે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = 3 \times \frac{(m/3)(l/3)^2}{12} = \frac{ml^2}{108}$ થાય છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = 3m_p \times (l/3) = m_p l = M$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{ml^2/108}{M B}} = \frac{1}{\sqrt{9}} T = \frac{T}{3}$ થાય છે.
આપેલ $T = 2 \ s$ માટે,નવો આવર્તકાળ $T' = 2/3 \ s$ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. ટૂંકામાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ ત્યારે મળે છે જ્યારે $n_2 = \infty$ હોય.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda = \frac{4}{R} \quad \dots (i)$
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_1 = 4$. ટૂંકામાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ ત્યારે મળે છે જ્યારે $n_2 = \infty$ હોય.
$\frac{1}{\lambda_{\text{Brackett}}} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{16}$
$\lambda_{\text{Brackett}} = \frac{16}{R}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $\frac{1}{R} = \frac{\lambda}{4}$ મૂકતા:
$\lambda_{\text{Brackett}} = 16 \times \left( \frac{\lambda}{4} \right) = 4 \lambda$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ રીડબર્ગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3, 4, 5, \ldots$ છે.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ (શ્રેણીની સીમા) માટે,$n_2 = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$
$\lambda_{\min} = \frac{4}{R}$
મહત્તમ તરંગલંબાઇ માટે,$n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$
$\lambda_{\max} = \frac{36}{5R}$
હવે,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{36 / 5R}{4 / R} = \frac{36}{5R} \times \frac{R}{4} = \frac{9}{5}$

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
બામર શ્રેણી માટે,અંતિમ અવસ્થા $n_f = 2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
આપેલ છે કે $\lambda = \frac{16}{3 R}$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{(16 / 3 R)} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2} \right) \Rightarrow \frac{3 R}{16} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{3}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2}$.
$n_i^2$ માટે પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{n_i^2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{16} = \frac{4 - 3}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$n_i^2 = 16$,જેનો અર્થ છે કે $n_i = 4$.

(C) $H$-પરમાણુ માટે, Lyman શ્રેણીનું Rydberg સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે, $n_2 = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{\text{min}}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R(1 - 0) = R$
આપેલ છે કે $\lambda_{\text{min}} = 912 \ \text{Å}$, તેથી $R = \frac{1}{912} \ \text{Å}^{-1}$.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ માટે, સંક્રમણ નજીકના ઉર્જા સ્તરથી થાય છે, એટલે કે $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_{\text{max}}} = \frac{1}{912} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{3648} = \frac{1}{1216}$
તેથી, $\lambda_{\text{max}} = 1216 \ \text{Å}$.

(A) લાયમન શ્રેણી માટે તરંગલંબાઈ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,સંક્રમણ $n = 2$ થી $n = 1$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
આમ,$R = \frac{4}{3\lambda}$ (સમીકરણ $i$).
બામર શ્રેણી માટે તરંગલંબાઈનું સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda^{\prime}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,સંક્રમણ $n = 3$ થી $n = 2$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda^{\prime}} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
સમીકરણ $i$ માંથી $R$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{\lambda^{\prime}} = \left( \frac{4}{3\lambda} \right) \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{20}{108\lambda} = \frac{5}{27\lambda}$.
તેથી,$\lambda^{\prime} = \frac{27}{5} \lambda$.

(C) પરમાણુ સ્તરે,પ્રકૃતિમાં રહેલા મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ પ્રબળતાનો ક્રમ નીચે મુજબ છે:
સ્ટ્રોંગ ન્યુક્લિયર બળ $>$ વિદ્યુતચુંબકીય બળ $>$ વીક ન્યુક્લિયર બળ $>$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ.
તેથી,પરમાણુ સ્તરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પ્રકૃતિમાં સૌથી નિર્બળ બળ છે.

(C) ધારો કે $R$ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે. ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = i \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ $i = \frac{e}{T} = e f$ હોવાથી,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે,આપણને $M = (e f) \times (\pi R^2)$ મળે છે.
$f = \frac{v}{2 \pi R}$ નો ઉપયોગ કરતા,$M = e \times \left(\frac{v}{2 \pi R}\right) \times (\pi R^2) = \frac{e v R}{2}$ $\ldots$ $(i)$.
બોહરના અધિતર્ક મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = m v R = \frac{n h}{2 \pi}$ છે.
તેથી,$v R = \frac{n h}{2 \pi m}$ $\ldots$ $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$M = \frac{e}{2} \times \left(\frac{n h}{2 \pi m}\right) = \left(\frac{e}{2 m}\right) \left(\frac{n h}{2 \pi}\right)$ મળે છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર તેલના ટીપાની કેપેસીટન્સ $C = 4 \pi \varepsilon_0 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n$ નાના ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કુલ કદ સચવાય છે.
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = n r^3$,અથવા $R = n^{1/3} r$ મળે છે.
મોટા ટીપાની કેપેસીટન્સ $C^{\prime} = 4 \pi \varepsilon_0 R$ છે.
$R = n^{1/3} r$ મૂકતા,આપણને $C^{\prime} = 4 \pi \varepsilon_0 (n^{1/3} r) = n^{1/3} (4 \pi \varepsilon_0 r) = n^{1/3} C$ મળે છે.

(A) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ નું સૂત્ર $I_d = \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ છે,જ્યાં $\Phi_E$ એ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલી સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ફક્ત પ્લેટની ત્રિજ્યા $(R = 10 \ cm)$ ની અંદર જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $r = 20 \ cm$ ત્રિજ્યાના લૂપમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_E = E \cdot A_{plate} = E \cdot \pi R^2$ થશે.
તેથી,$I_d = \varepsilon_0 \frac{d}{dt}(E \cdot \pi R^2) = \varepsilon_0 \pi R^2 \frac{dE}{dt}$.
આપેલ છે: $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$\frac{dE}{dt} = 3.6 \times 10^{12} \ V/(m \cdot s)$,અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2 \Rightarrow \varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \ F/m$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I_d = \left( \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \right) \cdot \pi \cdot (0.1)^2 \cdot (3.6 \times 10^{12})$
$I_d = \frac{1}{36 \times 10^9} \cdot 0.01 \cdot 3.6 \times 10^{12}$
$I_d = \frac{3.6 \times 10^{10}}{36 \times 10^9} = \frac{36 \times 10^9}{36 \times 10^9} = 1 \ A$.

(C) જ્યારે કેપેસિટરને સંપૂર્ણ ચાર્જ કરવામાં આવે છે અને પછી બેટરીથી ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્લેટો પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
જ્યારે પ્લેટોની વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસિટરની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયઇલેક્ટ્રિકના ધ્રુવીભવનનું કારણ બને છે.
આ ધ્રુવીભવનને કારણે ડાયઇલેક્ટ્રિકની સપાટી પર પ્રેરિત વિદ્યુતભારો $(q')$ ઉત્પન્ન થાય છે. જેમ ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ દાખલ કરવામાં આવે છે, તેમ આ પ્રેરિત વિદ્યુતભારો દેખાય છે, જેનો અર્થ છે કે ડાયઇલેક્ટ્રિકની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર શૂન્યથી વધે છે.
કેપેસિટર અલગ હોવાથી, ધાતુની પ્લેટોની બહારની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે $(Q = \text{અચળ})$।
તેથી, ડાયઇલેક્ટ્રિકની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર વધે છે અને પ્લેટોની બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) આપેલ છે: એકવર્ણી પ્રકાશના બે કિરણોની તીવ્રતા $I_1 = 64 \ mW$ અને $I_2 = 4 \ mW$ છે.
બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
જ્યારે તીવ્રતા ઘટીને $84 \ mW$ થાય છે,ત્યારે આપણે સમીકરણમાં જાણીતી કિંમતો મૂકીએ છીએ:
$84 = 64 + 4 + 2 \sqrt{64 \times 4} \cos \phi$
$84 = 68 + 2 \times 8 \times 2 \cos \phi$
$84 - 68 = 32 \cos \phi$
$16 = 32 \cos \phi$
$\cos \phi = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\phi = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ$.

(D) ટેલિવિઝન સિગ્નલો સામાન્ય રીતે $40 MHz$ થી $900 MHz$ ની આવૃત્તિ રેન્જમાં કાર્ય કરે છે.
આકાશ-તરંગ પ્રસરણ એ આયનોસ્ફિયર દ્વારા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના પરાવર્તન પર આધાર રાખે છે,જે ફક્ત $3 MHz$ થી $30 MHz$ ની આવૃત્તિ માટે જ અસરકારક છે.
ટેલિવિઝન સિગ્નલની આવૃત્તિ $30 MHz$ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી,તે આયનોસ્ફિયરમાંથી પસાર થઈ જાય છે અને પૃથ્વી પર પાછા પરાવર્તિત થતા નથી.
તેથી,ટેલિવિઝન સિગ્નલો આકાશ-તરંગ પ્રસરણ દ્વારા મેળવી શકાતા નથી; તેના માટે લાઇન-ઓફ-સાઇટ કોમ્યુનિકેશન અથવા સેટેલાઇટ કોમ્યુનિકેશનની જરૂર પડે છે.
આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે,જ્યારે કારણ $(R)$ એ આયનોસ્ફિયરના પરાવર્તન વિસ્તાર વિશેનું સાચું વિધાન છે.

(C) $6 GHz$ આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માઇક્રોવેવ્સની શ્રેણીમાં આવે છે ($1 GHz$ થી $300 GHz$).
તેમની ઊંચી આવૃત્તિ અને આયનોસ્ફિયરમાંથી પસાર થવાની ક્ષમતાને કારણે,આ તરંગોનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે લાંબા અંતરના અને લાઇન-ઓફ-સાઇટ કોમ્યુનિકેશન માટે થાય છે.
ચોક્કસપણે,$6 GHz$ એ સેટેલાઇટ કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમમાં ટ્રાન્સપોન્ડર કામગીરી માટે ઉપયોગમાં લેવાતી પ્રમાણભૂત આવૃત્તિ બેન્ડ છે.

(C) $1$. તાપમાનમાં વધારો થતાં આંતરિક અર્ધવાહકોનો અવરોધ ઘટે છે કારણ કે તાપીય ઉર્જા વધવાથી વધુ વિદ્યુતભારો મુક્ત થાય છે.
$2$. શુદ્ધ $Si$ (સમૂહ $14$) માં ત્રિસંયોજક અશુદ્ધિ (સમૂહ $13$) ઉમેરવાથી ઇલેક્ટ્રોનની ઉણપ સર્જાય છે,જેના પરિણામે $p$-પ્રકારના અર્ધવાહકો બને છે.
$3$. $n$-પ્રકારના અર્ધવાહકોમાં મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે,હોલ્સ નહીં,કારણ કે પંચસંયોજક અશુદ્ધિ (સમૂહ $15$) વધારાના ઇલેક્ટ્રોન પૂરા પાડે છે.
$4$. $p-n$ જંકશન એ ડાયોડ અને ટ્રાન્ઝિસ્ટર જેવા ઘણા અર્ધવાહક ઉપકરણોનો પાયાનો એકમ છે.
તેથી,$n$-પ્રકારના અર્ધવાહકોમાં મેજોરિટી કેરિયર્સ હોલ્સ હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) શરૂઆતમાં, મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu_1 = 0.5$ અને મેસેજ સિગ્નલનો એમ્પ્લિટ્યુડ $A_m = 10 \,V$ છે.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સના સૂત્ર $\mu = \frac{A_m}{A_c}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને પ્રારંભિક કેરિયર એમ્પ્લિટ્યુડ $A_{c_1} = \frac{A_m}{\mu_1} = \frac{10}{0.5} = 20 \,V$ મળે છે.
જ્યારે મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ બદલીને $\mu_2 = 0.8$ કરવામાં આવે અને $A_m = 10 \,V$ અચળ રાખવામાં આવે, ત્યારે નવો કેરિયર એમ્પ્લિટ્યુડ $A_{c_2} = \frac{A_m}{\mu_2} = \frac{10}{0.8} = 12.5 \,V$ થાય છે.
કેરિયર એમ્પ્લિટ્યુડમાં થતો ફેરફાર $\Delta A_c = A_{c_1} - A_{c_2} = 20 \,V - 12.5 \,V = 7.5 \,V$ છે.
કેરિયર એમ્પ્લિટ્યુડ $20 \,V$ થી ઘટીને $12.5 \,V$ થયો હોવાથી, કેરિયર સિગ્નલના પીક વોલ્ટેજમાં $7.5 \,V$ નો ઘટાડો કરવો જોઈએ.

(A) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ એ મેસેજ સિગ્નલના કંપનવિસ્તાર $(A_m)$ અને કેરિયર તરંગના કંપનવિસ્તાર $(A_c)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
મેસેજ સિગ્નલનો કંપનવિસ્તાર,$A_m = 15 V$
કેરિયર તરંગનો કંપનવિસ્તાર,$A_c = 30 V$
સૂત્ર:
$\mu = \frac{A_m}{A_c}$
ગણતરી:
$\mu = \frac{15 V}{30 V} = 0.5$
તેથી,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $0.5$ છે.

(D) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
$C_m(t) = A_c \sin(\omega_c t) + \frac{\mu A_c}{2} \sin((\omega_c + \omega_m)t) - \frac{\mu A_c}{2} \sin((\omega_c - \omega_m)t)$.
આને આપેલા સમીકરણ $C_m(t) = A_1 \sin(\omega_1 t) + A_2 \sin(\omega_2 t) - A_2 \sin(\omega_3 t)$ સાથે સરખાવતા:
આપણે કેરિયર એમ્પ્લિટ્યુડ $A_c = A_1$ અને કેરિયર આવૃત્તિ $\omega_c = \omega_1$ મેળવીએ છીએ.
સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ $\omega_c + \omega_m = \omega_3$ અને $\omega_c - \omega_m = \omega_2$ છે.
આ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\omega_c + \omega_m) - (\omega_c - \omega_m) = \omega_3 - \omega_2$,જે $2\omega_m = \omega_3 - \omega_2$ આપે છે,તેથી $\omega_m = \frac{\omega_3 - \omega_2}{2}$.
સાઇડબેન્ડ્સના એમ્પ્લિટ્યુડની સરખામણી કરતા: $\frac{\mu A_c}{2} = A_2$.
$A_c = A_1$ મૂકતા,આપણને $\frac{\mu A_1}{2} = A_2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \frac{2 A_2}{A_1}$.
આમ,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\frac{2 A_2}{A_1}$ છે અને મેસેજ સિગ્નલની કોણીય આવૃત્તિ $\frac{\omega_3 - \omega_2}{2}$ છે.

(C) ડિમોડ્યુલેશન પ્રક્રિયામાં,ડિટેક્ટર નીચેના કાર્યો કરે છે:
$(a)$ રેક્ટિફિકેશન: આ પ્રક્રિયા તમામ નકારાત્મક શિખરોને હકારાત્મક શિખરોમાં રૂપાંતરિત કરે છે,જે અસરકારક રીતે મોડ્યુલેટેડ તરંગના એન્વલપને બહાર કાઢવાની મંજૂરી આપે છે.
$(b)$ ફિલ્ટરિંગ: આ પગલામાં લો-પાસ ફિલ્ટરનો ઉપયોગ કરીને ઉચ્ચ-આવર્તન કેરિયર ઘટકોને લો-આવર્તન સંદેશ સિગ્નલથી અલગ કરવામાં આવે છે,જેથી માત્ર મૂળ માહિતી સિગ્નલ જ બાકી રહે છે.

(D) મેસેજ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ (કંપવિસ્તાર) $A_m = 5 \text{ V}$ છે.
કેરિયર તરંગનો પીક વોલ્ટેજ (કંપવિસ્તાર) $A_c = 20 \text{ V}$ છે.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m_a$ એ મેસેજ સિગ્નલના કંપવિસ્તાર અને કેરિયર તરંગના કંપવિસ્તારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$m_a = \frac{A_m}{A_c} = \frac{5 \text{ V}}{20 \text{ V}} = \frac{1}{4} = 0.25$.
તેથી,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $0.25$ છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં બે બેટરી અને ચાર અવરોધો છે।
પ્રથમ, પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો। બે $100 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે। તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{100 \times 100}{100 + 100} = 50 \, \Omega$ થાય।
આ અવરોધ બાકીના બે $100 \, \Omega$ ના અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે। તેથી, કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 50 \, \Omega + 100 \, \Omega + 100 \, \Omega = 250 \, \Omega$ થાય।
$20 \, V$ અને $10 \, V$ ની બે બેટરીઓ વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલી છે (ધન ટર્મિનલ એકબીજાની સામે છે)। તેથી, ચોખ્ખું ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $E_{net} = 20 \, V - 10 \, V = 10 \, V$ થાય।
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{eq}} = \frac{10 \, V}{250 \, \Omega} = 0.04 \, A$ મળે।

(A) આપેલ સર્કિટ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે। ધારો કે નોડ્સ $A, B, C, D$ છે.
આકૃતિ પરથી, $6 \, \Omega$ અને $3 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે। તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = 2 \, \Omega$ છે.
આ $2 \, \Omega$ અવરોધ $1.5 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે। તેથી, $R_{CD} = 2 + 1.5 = 3.5 \, \Omega$ થાય.
આ $3.5 \, \Omega$ અવરોધ $2 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે। સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{3.5 \times 2}{3.5 + 2} = \frac{7}{5.5} \approx 1.27 \, \Omega$ થાય.
જો આપણે આપેલ ઉકેલની પદ્ધતિને અનુસરીએ, તો $R = 1.5 \, \Omega$ મળે છે.
તેથી, બેટરી દ્વારા સર્કિટને આપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{6}{1.5} = 4 \, A$ થાય.

(A) અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને તબક્કાવાર સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. ડાબી બાજુની શાખામાં રહેલા બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R + R = 2R$ થાય.
$2$. આ $2R$ એ શિરોલંબ અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર છે. સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{2R \times R}{2R + R} = \frac{2}{3}R$ થાય.
$3$. હવે,પરિપથ $\frac{2}{3}R$ અને બાજુના આડા અવરોધ $R$ ના શ્રેણી જોડાણમાં ફેરવાય છે,જે $\frac{2}{3}R + R = \frac{5}{3}R$ થાય.
$4$. આ $\frac{5}{3}R$ એ વિકર્ણ અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર છે. સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{(5/3)R \times R}{(5/3)R + R} = \frac{(5/3)R^2}{(8/3)R} = \frac{5}{8}R$ થાય.
$5$. અંતે,આ $\frac{5}{8}R$ એ ઉપરના આડા અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે $\frac{5}{8}R + R = \frac{13}{8}R$ આપે છે. આ જમણી બાજુના શિરોલંબ અવરોધ $R$ અને નીચેના આડા અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર છે. સંપૂર્ણ ઘટાડા પછી,સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{34}{55}R$ મળે છે.

(B) પરિપથને જોતા, આપણે બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી ત્રણ સમાંતર શાખાઓ ઓળખી શકીએ છીએ.
$1$. ડાબી શાખામાં શ્રેણીમાં $2 C$ ના બે કેપેસિટર છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{left} = \frac{2 C \times 2 C}{2 C + 2 C} = C$ છે.
$2$. મધ્ય શાખામાં $C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતું એક કેપેસિટર છે. તેથી, $C_{middle} = C$.
$3$. જમણી શાખામાં $2 C$ ના કેપેસિટરની શ્રેણીમાં $C$ ના બે કેપેસિટરનું સમાંતર જોડાણ છે. સમાંતર જોડાણ $C_{parallel} = C + C = 2 C$ આપે છે. આ $2 C$ એ $2 C$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે, તેથી $C_{right} = \frac{2 C \times 2 C}{2 C + 2 C} = C$.
ત્રણેય શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી, કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_{left} + C_{middle} + C_{right} = C + C + C = 3 C$ થાય છે.

(A) પ્રવાહ ઘનતા $J$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $J = \frac{E}{\rho}$ છે, જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની અવરોધકતા છે。
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{I}{A}$ છે。
તેથી, $E = J \cdot \rho = \frac{I \cdot \rho}{A}$.
આપેલ કિંમતો $I = 5 \, A$, $A = 1 \, mm^2 = 1 \times 10^{-6} \, m^2$ અને $\rho = 3.0 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m$ છે。
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{5 \times 3.0 \times 10^{-8}}{1 \times 10^{-6}} = 15 \times 10^{-2} = 0.15 \, V/m$.

(C) આપેલ છે, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ, $A = 1 \,cm^2 = 10^{-4} \,m^2$.
વિદ્યુતભાર ઘનતા, $n = 3 \times 10^{23} \,m^{-3}$.
તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ, $I = 24 \,mA = 24 \times 10^{-3} \,A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વાહકો માટે, પ્રવાહ અને ડ્રિફ્ટ વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $I = n A e v_d$ છે, જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
ડ્રિફ્ટ વેગ માટે સૂત્ર બનાવતા, $v_d = \frac{I}{n A e}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_d = \frac{24 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{23} \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$v_d = \frac{24 \times 10^{-3}}{4.8 \times 10^{0}} = \frac{24}{4.8} \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-3} \,m/s$.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2r B_H}{\mu_0 N} \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે, $N$ આંટાની સંખ્યા છે અને $\theta$ કોણાવર્તન છે。
ગેલ્વેનોમીટર $V$ emf ધરાવતા સેલ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી, દરેક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે $(V_A = V_B = V)$。
$V = IR$ હોવાથી, $I = V/R$ મળે. બંને માટે $R$ સમાન $(8 \Omega)$ હોવાથી, પ્રવાહ $I_A$ અને $I_B$ સમાન છે。
તેથી, $\frac{2 r_A B_H}{\mu_0 N_A} \tan \theta_A = \frac{2 r_B B_H}{\mu_0 N_B} \tan \theta_B$.
સાદુરૂપ આપતા, $\frac{r_A \tan \theta_A}{N_A} = \frac{r_B \tan \theta_B}{N_B}$ મળે。
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r_A = 8 \text{ cm}$, $r_B = 16 \text{ cm}$, $N_A = 2$, $\theta_A = 30^{\circ}$, $\theta_B = 60^{\circ}$.
$\frac{8 \tan 30^{\circ}}{2} = \frac{16 \tan 60^{\circ}}{N_B}$.
$4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16 \times \sqrt{3}}{N_B}$.
$N_B = \frac{16 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \times 3}{4} = 12$ આંટા.

(A) આપેલ છે: કણનું દળ $m = 2 \times 10^{-6} \ kg$,કણ પરનો વીજભાર $q = 5 \times 10^{-6} \ C$.
વીજભારિત વાહક સપાટીને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સપાટીની વીજભાર ઘનતા છે.
કણ હવામાં સ્થિર રહે તે માટે,વિદ્યુત બળ તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_e = F_g \Rightarrow qE = mg$
$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$q \left( \frac{\sigma}{\epsilon_0} \right) = mg$
$\sigma = \frac{mg \epsilon_0}{q}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = \frac{(2 \times 10^{-6} \ kg) \times (10 \ m \ s^{-2}) \times (8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2})}{5 \times 10^{-6} \ C}$
$\sigma = \frac{20 \times 8.85 \times 10^{-18}}{5 \times 10^{-6}}$
$\sigma = 4 \times 8.85 \times 10^{-12} \ C \ m^{-2}$
$\sigma = 35.4 \times 10^{-12} \ C \ m^{-2}$

(A) બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P$ એ સૂત્ર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ ફિલામેન્ટનો અવરોધ છે.
બધા બલ્બ માટે વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સમાન હોવાથી, $V$ અચળ છે.
તેથી, પાવર અને અવરોધ વચ્ચેનો સંબંધ $R = \frac{V^2}{P}$ છે, જેનો અર્થ છે કે $R \propto \frac{1}{P}$.
આનો અર્થ એ છે કે અવરોધ એ બલ્બના પાવર રેટિંગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
સૌથી વધુ અવરોધ મેળવવા માટે, બલ્બનું પાવર રેટિંગ સૌથી ઓછું હોવું જોઈએ.
આપેલા પાવર $(100 \,W, 200 \,W, 500 \,W, 1000 \,W)$ ની સરખામણી કરતા, $100 \,W$ ના બલ્બનો પાવર સૌથી ઓછો છે.
આમ, $100 \,W$ ના બલ્બના ફિલામેન્ટનો અવરોધ સૌથી વધુ છે.

(C) આ સર્કિટમાં ચાર $4 \Omega$ ના અવરોધો છે જે ચોરસ બનાવે છે। જ્યારે બેટરીને વિકર્ણની વિરુદ્ધ ખૂણાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેમાં દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે $4 \Omega$ ના અવરોધો હોય છે।
દરેક શાખાનો અવરોધ = $4 \Omega + 4 \Omega = 8 \Omega$.
બે સમાંતર શાખાઓ હોવાથી,સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R_{\text{ext}}$:
$R_{\text{ext}} = \frac{8 \Omega \times 8 \Omega}{8 \Omega + 8 \Omega} = 4 \Omega$.
આંતરિક અવરોધ $r = 2 \Omega$ સહિત સર્કિટનો કુલ અવરોધ:
$R_{\text{total}} = R_{\text{ext}} + r = 4 \Omega + 2 \Omega = 6 \Omega$.
સર્કિટમાં વપરાતો કુલ પાવર $P = \frac{E^2}{R_{\text{total}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = 12 \text{ V}$.
$P = \frac{(12)^2}{6} = \frac{144}{6} = 24 \text{ W}$.

(D) વાહકોનો અવરોધ તાપમાન પર આધાર રાખે છે. તાંબા જેવા વાહક માટે,તાપમાન ઘટતા અવરોધ ઘટે છે.
જર્મેનિયમ જેવા અર્ધવાહક માટે,તાપમાન ઘટતા અવરોધ વધે છે કારણ કે નીચા તાપમાને વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ) ની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે.
તેથી,જ્યારે ઓરડાના તાપમાનેથી $77 \ K$ સુધી ઠંડુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તાંબાનો અવરોધ ઘટે છે અને જર્મેનિયમનો અવરોધ વધે છે.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. કારણ કે $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$,આપણે લખી શકીએ $R = \frac{4 \rho l}{\pi d^2}$.
તાર $P$ માટે: $R_P = 10 \ \Omega$,લંબાઈ $= l$,વ્યાસ $= d$.
તાર $Q$ માટે: લંબાઈ $l_Q = l/2$,વ્યાસ $d_Q = d/2$.
બંને તારનું દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$\rho_P = \rho_Q = \rho$.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{R_Q}{R_P} = \frac{l_Q}{l_P} \times \left(\frac{d_P}{d_Q}\right)^2 = \left(\frac{l/2}{l}\right) \times \left(\frac{d}{d/2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
તેથી,$R_Q = 2 \times R_P = 2 \times 10 \ \Omega = 20 \ \Omega$.

(D) પ્રારંભિક અવરોધ,$R_1 = 20 \Omega \Rightarrow \frac{\rho l_1}{A_1} = 20 \quad \dots (i)$
હવે,લંબાઈ $l_2 = 3 l_1$ થાય છે.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$V_1 = V_2 \Rightarrow A_1 l_1 = A_2 l_2$
$A_1 l_1 = A_2 \times 3 l_1 \Rightarrow A_2 = \frac{A_1}{3}$
તેથી,અંતિમ અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ મળે:
$R_2 = \frac{\rho l_2}{A_2} = \frac{\rho \times 3 l_1}{(A_1 / 3)} = 9 \times \frac{\rho l_1}{A_1}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી કિંમત મૂકતા:
$R_2 = 9 \times 20 \Omega = 180 \Omega$

(C) ધારો કે શરૂઆતની બેલેન્સિંગ લંબાઈ ડાબી બાજુથી $l_1$ છે. ગેપમાં રહેલા અવરોધો $R_1 = 3 \Omega$ અને $R_2 = 9 \Omega$ છે.
શરૂઆતની સંતુલિત સ્થિતિમાં: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{3}{9} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
$100 - l_1 = 3l_1 \Rightarrow 4l_1 = 100 \Rightarrow l_1 = 25 \text{ cm}$.
જ્યારે $9 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં $S$ શંટ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે જમણી ગેપમાં નવો અવરોધ $R_2' = \frac{9S}{9+S}$ થાય છે.
બેલેન્સિંગ પોઈન્ટ $25 \text{ cm}$ જેટલો ખસે છે. $R_2' < R_2$ હોવાથી,બેલેન્સિંગ પોઈન્ટ જમણી તરફ ખસશે,તેથી નવી બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_2 = 25 + 25 = 50 \text{ cm}$ થશે.
નવી સંતુલિત સ્થિતિ માટે: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \Rightarrow \frac{3}{R_2'} = \frac{50}{100 - 50} = 1$.
તેથી,$R_2' = 3 \Omega$.
$R_2' = \frac{9S}{9+S} = 3$ મૂકતા $\Rightarrow 9S = 27 + 3S \Rightarrow 6S = 27 \Rightarrow S = 4.5 \Omega$.

(A) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત સ્થિતિમાં હોય ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,એટલે કે ગેલ્વેનોમીટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે.
આપેલ પરિપથ આકૃતિ મુજબ,અવરોધો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે સંતુલન સ્થિતિમાં પાસ-પાસેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન થાય છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની સંતુલન સ્થિતિ માટેનું સૂત્ર $\frac{R_2}{R_1} = \frac{R_4}{R_3}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ એ સાચું સમીકરણ છે.

(A) કિસ્સો $I$: સંતુલિત મીટર બ્રિજ માટે,અવરોધોનો ગુણોત્તર વાયરના ભાગોની લંબાઈના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
$\frac{R}{S} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$S = \frac{3R}{2} \quad \dots (i)$
કિસ્સો $II$: જ્યારે $10 \Omega$ નો અવરોધ $S$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $S'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S' = \frac{10S}{10+S}$
નવું તટસ્થ બિંદુ $90 \text{ cm}$ પર છે.
$\frac{R}{S'} = \frac{90}{100-90} = \frac{90}{10} = 9$
$\frac{R(10+S)}{10S} = 9 \Rightarrow R(10+S) = 90S \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $S = \frac{3R}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$R(10 + \frac{3R}{2}) = 90(\frac{3R}{2})$
$10 + \frac{3R}{2} = 135$
$\frac{3R}{2} = 125$
$R = \frac{250}{3} \approx 83.33 \Omega$
હવે,સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરીને $S$ શોધો:
$S = \frac{3}{2} \times \frac{250}{3} = 125 \Omega$
આમ,$R = 83.33 \Omega$ અને $S = 125 \Omega$.

(B) મીટર બ્રિજમાં,અજ્ઞાત અવરોધ $S$ ને ડાબી ગેપમાં અને જાણીતો અવરોધ $R$ ને જમણી ગેપમાં જોડવામાં આવે છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,સંતુલિત સ્થિતિમાં:
$\frac{S}{R} = \frac{l_1}{l_2}$
જ્યાં $l_1$ એ ડાબા છેડાથી સંતુલન લંબાઈ છે અને $l_2 = (100 - l_1)$ એ બાકીની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $l_1 = 25 \ cm$,$R = 1 \ \Omega$.
તેથી,$l_2 = 100 - 25 = 75 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{S}{1} = \frac{25}{75}$
$S = \frac{1}{3} \ \Omega \approx 0.33 \ \Omega$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતો ઇલેક્ટ્રોન તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે.
સ્થાયી વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,જે નીચે મુજબની શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$2 \pi r_n = n \lambda$
જ્યાં $r_n$ એ $n$મી કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $\lambda$ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ છે.
પ્રથમ બોહર કક્ષા માટે,$n = 1$ લેતા.
સમીકરણમાં $n = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2 \pi r_1 = 1 \cdot \lambda$
$\lambda = 2 \pi r_1$
આમ,હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ એ પ્રથમ કક્ષાના પરિઘ જેટલી હોય છે.

(B) $E$ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનનું વેગમાન $p = E/c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
જ્યારે ફોટોન એક સંપૂર્ણ પરાવર્તક સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે તે સમાન ઉર્જા $E$ અને તેથી સમાન વેગમાન $p = E/c$ સાથે વિરુદ્ધ દિશામાં પરાવર્તિત થાય છે.
ફોટોનનું પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = E/c$ છે (સપાટી તરફની દિશાને ધન લેતા).
પરાવર્તન પછી ફોટોનનું અંતિમ વેગમાન $p_f = -E/c$ છે (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
ફોટોનના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = p_f - p_i = -E/c - E/c = -2E/c$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટીને સ્થાનાંતરિત થતું વેગમાન એ ફોટોનના વેગમાનમાં થયેલા ફેરફારના મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
તેથી,સપાટીને સ્થાનાંતરિત થતું વેગમાન $|\Delta p| = 2E/c$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રાઈમરી વોલ્ટેજ $V_p = 220 V$, પ્રાઈમરી પ્રવાહ $I_p = 6 A$, સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_s = 1100 V$, અને પાવરનો વ્યય $= 40 \%$.
ટ્રાન્સફોર્મરની કાર્યક્ષમતા $\eta = 100 \% - 40 \% = 60 \%$. પરંતુ વિકલ્પો મુજબ, જો કાર્યક્ષમતા $40 \%$ લેવામાં આવે તો:
ઇનપુટ પાવર $P_{in} = V_p \times I_p = 220 \times 6 = 1320 W$.
આઉટપુટ પાવર $P_{out} = P_{in} \times 0.40 = 1320 \times 0.40 = 528 W$.
સેકન્ડરી પ્રવાહ $I_s = \frac{P_{out}}{V_s} = \frac{528}{1100} = 0.48 A$.