TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $\angle B = \theta$. તો $\angle A = 3\theta$. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle C = 180^{\circ} - (A + B) = 180^{\circ} - 4\theta$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{AB}{\sin(180^{\circ} - 4\theta)} = \frac{16}{\sin 3\theta} = \frac{9}{\sin \theta}$.
$\frac{16}{\sin 3\theta} = \frac{9}{\sin \theta}$ પરથી,$16 \sin \theta = 9 \sin 3\theta = 9(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$.
$\sin \theta$ વડે ભાગતા (કારણ કે $\sin \theta \neq 0$),$16 = 27 - 36 \sin^2 \theta$,જે આપે છે $36 \sin^2 \theta = 11$,તેથી $\sin^2 \theta = \frac{11}{36}$.
તેથી $\cos^2 \theta = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$,એટલે કે $\cos \theta = \frac{5}{6}$.
હવે,$\sin 4\theta = 4 \sin \theta \cos \theta (1 - 2 \sin^2 \theta) = 4 \times \frac{\sqrt{11}}{6} \times \frac{5}{6} \times (1 - 2 \times \frac{11}{36}) = \frac{35\sqrt{11}}{162}$.
અંતે,$AB = \frac{9 \sin 4\theta}{\sin \theta} = 9 \times \frac{35\sqrt{11}}{162} \times \frac{6}{\sqrt{11}} = \frac{35}{3}$.

(B) $\triangle ABC$ માં,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ છે.
આ કિંમતોને $(b^2-c^2) \cot A + (c^2-a^2) \cot B$ માં મૂકતા:
$= 4R^2(\sin^2 B - \sin^2 C) \cot A + 4R^2(\sin^2 C - \sin^2 A) \cot B$
$= 4R^2[\sin(B+C)\sin(B-C) \frac{\cos A}{\sin A} + \sin(C+A)\sin(C-A) \frac{\cos B}{\sin B}]$
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin(B+C) = \sin A$ અને $\sin(C+A) = \sin B$ થાય.
$= 4R^2[\sin A \sin(B-C) \frac{\cos A}{\sin A} + \sin B \sin(C-A) \frac{\cos B}{\sin B}]$
$= 4R^2[\sin(B-C)\cos A + \sin(C-A)\cos B]$
$= 4R^2[\sin(B-C)(-\cos(B+C)) + \sin(C-A)(-\cos(C+A))]$
$= 2R^2[-(2\sin(B-C)\cos(B+C)) - (2\sin(C-A)\cos(C+A))]$
$= 2R^2[-(\sin 2B - \sin 2C) - (\sin 2C - \sin 2A)]$
$= 2R^2[\sin 2A - \sin 2B]$

(C) ધારો કે ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $a, b, c$ છે અને ક્ષેત્રફળ $\Delta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C$.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A$,$b^2 = a^2+c^2-2ac \cos B$,અને $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C$ છે.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $a^2+b^2+c^2 = 2(a^2+b^2+c^2) - 2(bc \cos A + ac \cos B + ab \cos C) \text{મળે છે}$.
ગોઠવતા,$a^2+b^2+c^2 = 2(bc \cos A + ac \cos B + ab \cos C) \text{મળે છે}$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ હોવાથી,$bc = \frac{2\Delta}{\sin A}$ થાય. તેવી જ રીતે,$ac = \frac{2\Delta}{\sin B}$ અને $ab = \frac{2\Delta}{\sin C}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2+b^2+c^2 = 2 \left( \frac{2\Delta}{\sin A} \cos A + \frac{2\Delta}{\sin B} \cos B + \frac{2\Delta}{\sin C} \cos C \right)$
$a^2+b^2+c^2 = 4\Delta (\cot A + \cot B + \cot C)$
તેથી,$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$.

(C) આપેલ છે કે,$\frac{a^3+b^3+c^3}{\sin^3 A+\sin^3 B+\sin^3 C}=8$ $(i)$
ત્રિકોણ $ABC$ માટે સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
તેથી,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{(2R \sin A)^3 + (2R \sin B)^3 + (2R \sin C)^3}{\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C} = 8$
$\frac{(2R)^3 (\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C)}{\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C} = 8$
$(2R)^3 = 8 \implies 2R = 2 \implies R = 1$.
કારણ કે $c = 2R \sin C = 2 \sin C$,અને $\sin C$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે (કારણ કે $C < 180^\circ$),તેથી $c$ ની મહત્તમ કિંમત $2 \times 1 = 2$ થાય.

(C) આપેલ છે: $a^2-c^2=b^2-bc \Rightarrow b^2+c^2-a^2=bc$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$A = 60^{\circ}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = 2R$ $\Rightarrow \frac{a}{\sin 60^{\circ}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow a = 1$.
આપેલ $\sqrt{2}a = 2b-c$ માં $a=1$ મૂકતા: $\sqrt{2} = 2b-c \Rightarrow c = 2b-\sqrt{2}$.
$c$ ની કિંમત $a^2-c^2=b^2-bc$ માં મૂકતા: $1^2 - (2b-\sqrt{2})^2 = b^2 - b(2b-\sqrt{2})$.
સાદુરૂપ આપતા $3b^2 - 3\sqrt{2}b + 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$b = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}}$.

(D) આપેલ છે,$\tan A : \tan B : \tan C = 1 : 2 : 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A : \tan B : \tan C = l : m : n$ હોય,તો બાજુઓનો ગુણોત્તર $a : b : c = \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} : \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{l}} : \sqrt{\frac{1}{l} + \frac{1}{m}}$ થાય.
અહીં $l=1, m=2, n=3$ મૂકતા:
$a : b : c = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} : \sqrt{\frac{1}{3} + 1} : \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{6}} : \sqrt{\frac{4}{3}} : \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{5} : 2\sqrt{2} : 3$.
$\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c$ હોવાથી,$k = 3$ મળે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = \sqrt{3}k$,$b = \sqrt{5}k$,અને $c = \sqrt{8+\sqrt{15}}k$ છે.
$c$ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,સૌથી મોટો ખૂણો $\theta$ એ બાજુ $c$ ની સામેનો ખૂણો છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{(\sqrt{3}k)^2 + (\sqrt{5}k)^2 - (\sqrt{8+\sqrt{15}}k)^2}{2(\sqrt{3}k)(\sqrt{5}k)}$.
$\cos \theta = \frac{3k^2 + 5k^2 - (8+\sqrt{15})k^2}{2\sqrt{15}k^2}$.
$\cos \theta = \frac{8k^2 - 8k^2 - \sqrt{15}k^2}{2\sqrt{15}k^2} = \frac{-\sqrt{15}k^2}{2\sqrt{15}k^2} = -\frac{1}{2}$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(A) $\triangle ABC$ ની પરિમિતિ $a+b+c$ છે. તેના ખૂણાઓના સાઈનનું સરેરાશ $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ છે.
આપેલ છે: $a+b+c = 6 \times \left(\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}\right) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
સાઈન નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ લેતા:
$2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
આથી $2R = 2$,એટલે કે $R = 1$.
આપેલ છે $BC = a = 1$,તેથી $a = 2R \sin A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = 2(1) \sin A \implies \sin A = \frac{1}{2}$.
ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$A = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$.

(A) બહિરવૃત્તોના વ્યાસ $d_1 = \frac{2\Delta}{s-a}$,$d_2 = \frac{2\Delta}{s-b}$,અને $d_3 = \frac{2\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $d_1 d_2 + d_2 d_3 + d_3 d_1 = \frac{4\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{4\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{4\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$4\Delta^2$ સામાન્ય લેતા,આપણને $4\Delta^2 \left[ \frac{(s-c) + (s-a) + (s-b)}{(s-a)(s-b)(s-c)} \right]$ મળે છે.
કારણ કે $a+b+c = 2s$,અંશ $3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$ થાય છે.
આમ,પદાવલિ $\frac{4\Delta^2 \cdot s}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ બને છે.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,તેથી $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{4\Delta^2 \cdot s}{\Delta^2 / s} = 4s^2 = (2s)^2 = (a+b+c)^2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = 15$.
$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a(1+\cos C)}{2} + \frac{c(1+\cos A)}{2} = 15$.
$\Rightarrow (a+c) + (a \cos C + c \cos A) = 30$.
$a \cos C + c \cos A = b$ હોવાથી,$a+c+b = 30$.
$b=10$ આપેલ છે,તેથી $a+c = 20$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 15\sqrt{3}$.
$15\sqrt{3} = \sqrt{15(15-a)(15-10)(15-c)} = \sqrt{75(15-a)(15-c)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $225 \times 3 = 75(15-a)(15-c) \Rightarrow 9 = (15-a)(15-c) = 225 - 15(a+c) + ac$.
$9 = 225 - 15(20) + ac$ $\Rightarrow 9 = 225 - 300 + ac$ $\Rightarrow ac = 84$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B = 15\sqrt{3}$ $\Rightarrow \frac{1}{2}(84) \sin B = 15\sqrt{3}$ $\Rightarrow 42 \sin B = 15\sqrt{3}$ $\Rightarrow \sin B = \frac{5\sqrt{3}}{14}$.
તેથી $\cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - \frac{75}{196} = \frac{121}{196} \Rightarrow \cos B = \frac{11}{14}$.
અંતે,$\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos B}{1-\cos B}} = \sqrt{\frac{1 + 11/14}{1 - 11/14}} = \sqrt{\frac{25/14}{3/14}} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(D) આપણે નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$\cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}+\cos ^2 \frac{C}{2} = \frac{1+\cos A}{2} + \frac{1+\cos B}{2} + \frac{1+\cos C}{2}$.
$= \frac{1}{2} \{3 + (\cos A + \cos B + \cos C)\}$.
નિત્યસમ $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે અને $R$ એ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા છે:
$= \frac{1}{2} \{3 + 1 + \frac{r}{R}\}$.
$= \frac{1}{2} \{4 + \frac{r}{R}\}$.
$= 2 + \frac{r}{2R}$.

(C) . $\because \tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$.
વળી,$\frac{r}{s-a} = \frac{\Delta}{s(s-a)} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$.
$\therefore \tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s-a} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$. તેથી,$A-V$.
$B$. આકૃતિ પરથી,$r = IF = (AI) \sin \frac{A}{2} = (AI) \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$. તેથી,$B-I$.
$C$. $SI$ એ પરિકેન્દ્ર અને અંતઃકેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે,જે $SI = \sqrt{R^2 - 2rR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્ગ કરતા $(SI)^2 = R^2 - 2rR$ મળે,તેથી $(SI)^2 + 2Rr = R^2$. તેથી,$C-II$.
$D$. આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 + r_2 + r_3 = 4R + r$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (4R + r)^2 - 2(r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1)$.
$r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1 = s^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (4R + r)^2 - 2s^2 = (4R + r + \sqrt{2}s)(4R + r - \sqrt{2}s)$ મળે છે. તેથી,$D-III$.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માટે આપેલ છે: $c=9, s=10, \Delta=10\sqrt{2}$.
નેપિયરના સામ્યનો ઉપયોગ કરતા: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b}\cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{s(s-c)}{\Delta} = \frac{10(10-9)}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b}$.
હવે,આ કિંમતને $b\left[1+\sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)\right]$ માં મૂકતા:
$= b\left[1 + \frac{a-b}{a+b}\right] = b\left[\frac{a+b+a-b}{a+b}\right] = b\left[\frac{2a}{a+b}\right]$.
પદોને ગોઠવતા: $a\left[\frac{2b}{a+b}\right] = a\left[\frac{(a+b)-(a-b)}{a+b}\right] = a\left[1 - \frac{a-b}{a+b}\right]$.
$\frac{a-b}{a+b} = \sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= a\left[1 - \sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)\right]$.

(C) ધારો કે $O$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. મધ્યગાઓ $AD$ અને $BE$ એ $O$ માં છેદે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યકેન્દ્ર મધ્યગાનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આપેલ છે કે $AD = \frac{7}{2}$,તેથી $AO = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times \frac{7}{2} = \frac{7}{3}$.
$\triangle AOB$ માં,$\angle OAB = \frac{\pi}{8}$ અને $\angle OBA = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\angle AOB = \pi - (\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}) = \pi - \frac{3\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$.
$\triangle AOB$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{AO}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{BO}{\sin(\frac{\pi}{8})}$.
$BO = \frac{AO \sin(\frac{\pi}{8})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{7/3 \times \sin(\frac{\pi}{8})}{1/\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{3} \sin(\frac{\pi}{8})$.
$\triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times AO \times BO \times \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{3} \times \frac{7\sqrt{2}}{3} \sin(\frac{\pi}{8}) \times \sin(\frac{5\pi}{8})$.
$\sin(\frac{5\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$ હોવાથી,$\triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{49\sqrt{2}}{18} \sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8}) = \frac{49\sqrt{2}}{18} \times \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{49\sqrt{2}}{36} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{49}{36}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $3 \times \triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ = $3 \times \frac{49}{36} = \frac{49}{12}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $x-1, x, x+1$ છે જ્યાં $x > 2$ છે. સૌથી નાની બાજુ $x-1$ છે અને સૌથી મોટી બાજુ $x+1$ છે. ધારો કે સૌથી નાનો ખૂણો $\theta$ (બાજુ $x-1$ ની સામે) છે અને સૌથી મોટો ખૂણો $2\theta$ (બાજુ $x+1$ ની સામે) છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ ખૂણા $2\theta$ માટે:
$\cos(2\theta) = \frac{x^2 + (x-1)^2 - (x+1)^2}{2x(x-1)} = \frac{x^2 + x^2 - 2x + 1 - (x^2 + 2x + 1)}{2x(x-1)} = \frac{x^2 - 4x}{2x(x-1)} = \frac{x-4}{2(x-1)}$
સાઇનના નિયમ મુજબ:
$\frac{x+1}{\sin(2\theta)} = \frac{x-1}{\sin(\theta)} \Rightarrow \frac{x+1}{2\sin(\theta)\cos(\theta)} = \frac{x-1}{\sin(\theta)} \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{x+1}{2(x-1)}$
કારણ કે $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{x-4}{2(x-1)} = 2\left(\frac{x+1}{2(x-1)}\right)^2 - 1 = \frac{(x+1)^2}{2(x-1)^2} - 1 = \frac{x^2+2x+1 - 2(x^2-2x+1)}{2(x-1)^2} = \frac{-x^2+6x-1}{2(x-1)^2}$
$\frac{x-4}{x-1} = \frac{-x^2+6x-1}{(x-1)^2}$ ઉકેલતા $x=5$ મળે છે.
બાજુઓ $4, 5, 6$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{4+5+6}{2} = \frac{15}{2}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{1575}{16}} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$.

(A) આપેલ છે $a=4k, b=5k, c=6k$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \times \frac{7k}{2} \times \frac{5k}{2} \times \frac{3k}{2}} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{4k \times 5k \times 6k}{4 \times \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}} = \frac{120k^3}{15k^2\sqrt{7}} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4} \times \frac{2}{15k} = \frac{k\sqrt{7}}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \times \frac{2}{k\sqrt{7}} = \frac{16}{7}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ $ABC$ માટે,
$r_1+r_2 = 2R(1+\cos C)$.
તેથી,$\frac{1+\cos C}{r_1+r_2} = \frac{1}{2R}$.
તે જ રીતે,$\frac{1+\cos A}{r_2+r_3} = \frac{1}{2R}$ અને $\frac{1+\cos B}{r_1+r_3} = \frac{1}{2R}$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,$\frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R}$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $r = \frac{\Delta}{s}$.
આપણે $r + r_3 + r_2 - r_1$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$r + r_3 + r_2 - r_1 = \frac{\Delta}{s} + \frac{\Delta}{s-c} + \frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-a}$
$= \Delta \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s-a} \right) + \Delta \left( \frac{1}{s-c} + \frac{1}{s-b} \right)$
$= \Delta \left( \frac{s-a-s}{s(s-a)} \right) + \Delta \left( \frac{s-b+s-c}{(s-c)(s-b)} \right)$
$= \Delta \left( \frac{-a}{s(s-a)} \right) + \Delta \left( \frac{2s-b-c}{(s-c)(s-b)} \right)$
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$2s-b-c = a$ મળે.
$= \Delta \left( \frac{-a}{s(s-a)} + \frac{a}{(s-c)(s-b)} \right)$
$= \Delta a \left( \frac{-(s-c)(s-b) + s(s-a)}{s(s-a)(s-b)(s-c)} \right)$
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\Delta a}{\Delta^2} (-(s^2 - (b+c)s + bc) + (s^2 - as)) = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $\cos A$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $r = \frac{\Delta}{s}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta^2}{a^2+b^2+c^2}\left(\frac{(s-a)^2}{\Delta^2}+\frac{(s-b)^2}{\Delta^2}+\frac{(s-c)^2}{\Delta^2}+\frac{s^2}{\Delta^2}\right)$
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left[(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2+s^2\right]$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left[\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2+\left(\frac{a+c-b}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b-c}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2\right]$
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2} \cdot \frac{1}{4} \left[(b+c-a)^2 + (a+c-b)^2 + (a+b-c)^2 + (a+b+c)^2\right]$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા,બધા વધારાના પદો ઉડી જશે:
$= \frac{1}{4(a^2+b^2+c^2)} \left[4(a^2+b^2+c^2)\right] = 1$.

(A) આપેલ છે કે $r = r_1 - r_2 - r_3$.
પ્રમાણિત સૂત્રો $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\Delta}{s} = \frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-c}$
$\frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} = \frac{1}{s-a} - \frac{1}{s}$
$\frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} = \frac{s-(s-a)}{s(s-a)}$
$\frac{2s-b-c}{(s-b)(s-c)} = \frac{a}{s(s-a)}$
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$2s-b-c = a$ મળે:
$\frac{a}{(s-b)(s-c)} = \frac{a}{s(s-a)}$
$s(s-a) = (s-b)(s-c)$
$s^2 - sa = s^2 - s(b+c) + bc$
$s(b+c-a) = bc$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા:
$\frac{a+b+c}{2} \times (b+c-a) = bc$
$(b+c)^2 - a^2 = 2bc$
$b^2 + c^2 + 2bc - a^2 = 2bc$
$b^2 + c^2 = a^2$
આ દર્શાવે છે કે $\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle A = 90^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2}$,તેથી $2R = a$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$ અને $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$.
આપેલ $rr_1 = 42$ પરથી,$\frac{\Delta^2}{s(s-a)} = 42$. $(i)$
આપેલ $r_1 - r = 6.5$ પરથી,$\frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s} = 6.5$.
$\frac{\Delta(s - (s-a))}{s(s-a)} = 6.5 \Rightarrow \frac{\Delta a}{s(s-a)} = 6.5$. (ii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા,$\frac{\Delta}{a} = \frac{42}{6.5} = \frac{84}{13}$.
ગણતરી કરતા $s(s-a) = 168$ મળે છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 5k, b = 5k, c = 6k$ છે.
અંતઃત્રિજ્યાના સૂત્ર $r = \frac{\Delta}{s}$ નો ઉપયોગ કરીને $k$ ની કિંમત શોધીએ.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{5k + 5k + 6k}{2} = 8k$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{8k(3k)(3k)(2k)} = \sqrt{144k^4} = 12k^2$.
આપેલ છે કે $r = 6$,તેથી $6 = \frac{12k^2}{8k}$ $\Rightarrow 6 = \frac{3k}{2}$ $\Rightarrow k = 4$.
બાજુઓ $20, 20, 24$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,પાયા $6k$ પરનો વેધ તેને $3k$ પાયા અને $5k$ કર્ણવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
વેધની લંબાઈ $\sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = 4k$ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુનો ખૂણો $2\theta$ છે. તો $\tan \theta = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$.
શિરોબિંદુનો ખૂણો $2\theta$ છે,જ્યાં $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2(3/4)}{1 - (9/16)} = \frac{24}{7}$.
આમ,સૌથી મોટો ખૂણો $\tan^{-1}\left(\frac{24}{7}\right)$ છે.

(D) શરત $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$ એ ત્રણ રેખાઓ $a_i x + b_i y + c_i = 0$ $(i = 1, 2, 3)$ ના સંગામી હોવા માટેની આવશ્યક શરત છે.
જો રેખાઓ સમાંતર ન હોય (એટલે કે,$i \neq j$ માટે $\frac{a_i}{a_j} \neq \frac{b_i}{b_j}$),તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થવાનો અર્થ એ છે કે ત્રણેય રેખાઓ એક સામાન્ય બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,જો $i \neq j$ માટે $\frac{a_i}{a_j} \neq \frac{b_i}{b_j} \neq \frac{c_i}{c_j}$ હોય,તો રેખાઓ સંગામી છે.

(A) આપણે પ્રતિ હાયપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sinh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$
$\operatorname{cosech}^{-1}(x) = \log\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)$
$\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
$x = -2$ મૂકતા:
$\sinh^{-1}(-2) = \log(-2 + \sqrt{5})$
$\operatorname{cosech}^{-1}(-2) = \log\left(-\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+1}\right) = \log\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)$
$\coth^{-1}(-2) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{-2+1}{-2-1}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{-1}{-3}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1}{3}\right) = \log\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
આનો સરવાળો કરતા:
$\log(-2 + \sqrt{5}) + \log\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \log\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \log\left[(-2 + \sqrt{5}) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\right]$
$= \log\left[\frac{-2\sqrt{5} + 2 + 5 - \sqrt{5}}{2\sqrt{3}}\right] = \log\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}\right)$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \log_e \left( \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} \right)$ અને $\operatorname{cosech}^{-1}(x) = \log_e \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+1} \right)$.
આપેલ સમીકરણ: $\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)=\log _e k$.
પ્રથમ,$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \log_e \left( \frac{1+\sqrt{1-(1/2)^2}}{1/2} \right) = \log_e \left( 2(1+\sqrt{3/4}) \right) = \log_e (2+\sqrt{3})$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \sqrt{\frac{16}{9}+1} \right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \sqrt{\frac{25}{9}} \right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \frac{5}{3} \right) = \log_e(3)$ મેળવો.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\log_e(2+\sqrt{3}) - \log_e(3) = \log_e k$.
$\log_e \left( \frac{2+\sqrt{3}}{3} \right) = \log_e k$.
તેથી,$k = \frac{2+\sqrt{3}}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $3k - 2 = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3k-2)^2 = 3$.
$9k^2 - 12k + 4 = 3$.
$9k^2 - 12k + 1 = 0$.

(D) આપેલ અસમતા $\sqrt{x+2} > \sqrt{8-x^2}$ છે.
પ્રથમ,વિધેયનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ:
$x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ $(i)$
$8-x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq 8$ $\Rightarrow x \in [-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}]$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને જોડતા,પ્રદેશ $x \in [-2, 2\sqrt{2}]$ મળે છે.
હવે,અસમતાની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x+2 > 8-x^2$
$x^2 + x - 6 > 0$
$(x+3)(x-2) > 0$
આ અસમતા $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$ $(iii)$ માટે સાચી છે.
પ્રદેશ $[-2, 2\sqrt{2}]$ અને ઉકેલ $(iii)$ નો છેદગણ લેતા:
$x \in (2, 2\sqrt{2}]$.
આ અંતરાલમાં $x$ ની મહત્તમ કિંમત $2\sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos(3x + 5) + 7$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $\cos(ax + b) + c$ નો આવર્તમાન શોધવાનું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi}{|a|}$ છે.
અહીં આપેલ પદમાં,$a = 3$ છે.
તેથી,આવર્તમાન $T = \frac{2 \pi}{|3|} = \frac{2 \pi}{3}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a_1, a_2, \ldots, a_n$ એ $x^n-2=0$ ના $n$ ભિન્ન બીજ છે.
તેથી,આપણે બહુપદીને $x^n-2 = (x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n)$ તરીકે લખી શકીએ.
સમીકરણમાં $x=1$ મૂકતા,આપણને મળે:
$1^n - 2 = (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)$
$-1 = (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,આપણને $1 + (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n) = 0$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે,જો $\alpha_i$ એ $f(x)=0$ ના બીજ હોય,તો $f(\alpha_i)=0$ થાય. જો આપણે $f(g(x))=0$ લઈએ,તો $g(x)$ એ બીજ $\alpha_i$ માંથી એક હોવું જોઈએ. તેથી,$x = g^{-1}(\alpha_i)$.
તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે અને તે $(A)$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{H(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)}=f(x)+\frac{g(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)}$
બંને બાજુ $(x-1)(x+1)(x-2)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$H(x)=(x-1)(x+1)(x-2)f(x)+g(x)$
હવે,$x=-1, 2, 1$ માટે $H(x)$ ની કિંમત મેળવીએ:
$x=-1$ માટે: $H(-1)=( -1-1)( -1+1)( -1-2)f(-1)+g(-1) = 0+g(-1) = g(-1)$
$x=2$ માટે: $H(2)=(2-1)(2+1)(2-2)f(2)+g(2) = 0+g(2) = g(2)$
$x=1$ માટે: $H(1)=(1-1)(1+1)(1-2)f(1)+g(1) = 0+g(1) = g(1)$
આ કિંમતોને $H(-1)+2H(2)-3H(1)$ માં મૂકતા:
$H(-1)+2H(2)-3H(1) = g(-1)+2g(2)-3g(1)$

(C) આપેલ છે કે $f(1)=3$ અને $f(n+1)-f(n)=3(4^n-1)$.
આપણે આ પદાવલિને ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળા તરીકે લખી શકીએ:
$f(n) = f(1) + \sum_{k=1}^{n-1} (f(k+1)-f(k))$
$f(n) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 3(4^k-1)$
$f(n) = 3 + 3 \left( \sum_{k=1}^{n-1} 4^k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 \right)$
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n-1} 4^k = \frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1} = \frac{4^n-4}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(n) = 3 + 3 \left( \frac{4^n-4}{3} - (n-1) \right)$
$f(n) = 3 + (4^n-4) - 3(n-1)$
$f(n) = 3 + 4^n - 4 - 3n + 3$
$f(n) = 4^n - 3n + 2$

(D) આપેલ છે કે $f(n) = A(-2)^n + B(-3)^n$.
$f(n) + a f(n-1) + b f(n-2) = 0$ સમીકરણમાં $f(n)$ ની કિંમત મૂકતા:
$A(-2)^n + B(-3)^n + a(A(-2)^{n-1} + B(-3)^{n-1}) + b(A(-2)^{n-2} + B(-3)^{n-2}) = 0$.
$A$ અને $B$ વાળા પદોને જૂથમાં લેતા:
$A(-2)^{n-2} [(-2)^2 + a(-2) + b] + B(-3)^{n-2} [(-3)^2 + a(-3) + b] = 0$.
$A(-2)^{n-2} [4 - 2a + b] + B(-3)^{n-2} [9 - 3a + b] = 0$.
આ સમીકરણ બધા $A, B$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$4 - 2a + b = 0 \implies b - 2a = -4$.
$9 - 3a + b = 0 \implies b - 3a = -9$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(b - 2a) - (b - 3a) = -4 - (-9) \implies a = 5$.
$a=5$ ને $b - 2a = -4$ માં મૂકતા:
$b - 10 = -4 \implies b = 6$.
અંતે,$(a+b)(b-a) = (5+6)(6-5) = 11 \times 1 = 11$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^4-8x^3+11x^2+32x-60=0$ છે.
અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બીજ શોધતા,આપણને $x = -2, 2, 3, 5$ મળે છે.
બહુપદીના અવયવો પાડતા,$(x+2)(x-2)(x-3)(x-5)=0$ મળે છે.
અહીં $\alpha < \beta < \gamma < \delta$ હોવાથી,$\alpha = -2, \beta = 2, \gamma = 3, \delta = 5$ થાય.
હવે,$4\alpha+3\beta+2\gamma+\delta$ ની કિંમત શોધતા:
$4(-2) + 3(2) + 2(3) + 5 = -8 + 6 + 6 + 5 = 9$.

(A) $\frac{x^5-5}{x^3+x^2}$ નો બહુપદી ભાગાકાર કરતા:
$\frac{x^5-5}{x^3+x^2} = x^2 - x + 1 + \frac{-x^2-5}{x^3+x^2}$
આમ,$f(x) = x^2 - x + 1$ અને $\frac{-x^2-5}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$.
$x^2(x+1)$ વડે ગુણતા:
$-x^2-5 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$
$-x^2-5 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$B = -5$,$A+B = 0 \Rightarrow A = 5$,$A+C = -1 \Rightarrow C = -6$.
આપેલ છે કે $f(K) + A + B + C = 1$:
$(K^2 - K + 1) + 5 - 5 - 6 = 1$
$K^2 - K - 6 = 0$
$(K-3)(K+2) = 0$
$K = 3$ અથવા $K = -2$.
$K$ ની મોટી કિંમત $3$ છે.

(B) વિધાન $I$ માટે: $x_1+x_2+x_3+x_4=n$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n=10$ અને $r=4$ છે,તેથી ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{10-1}{4-1} = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
$84 \neq 286$ હોવાથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$ માટે: $m!$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક લેજેન્ડ્રના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{m}{p^k}]$ દ્વારા મળે છે.
$25!$ માં $5$ નો ઘાતાંક $[\frac{25}{5}] + [\frac{25}{25}] = 5 + 1 = 6$ છે.
$25!$ માં $2$ નો ઘાતાંક $[\frac{25}{2}] + [\frac{25}{4}] + [\frac{25}{8}] + [\frac{25}{16}] = 12 + 6 + 3 + 1 = 22$ છે.
$5$ નો ઘાતાંક $6$ અને $2$ નો ઘાતાંક $22$ હોવાથી,$25!$ ને ભાગતી $10$ ની મહત્તમ ઘાત $10^6$ છે.
આમ,$25! = 10^6 \times k$,જ્યાં $k$ એ $10$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે: $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{4}$,અને $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$.
પ્રથમ,$P(A)$ શોધો:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B) = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
આપણે $P(\bar{A} \cap B)$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(\bar{A} \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2+ax-b=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta = -a$ અને $\alpha\beta = -b$.
વક્ર $(\frac{x}{\alpha})^n + (\frac{y}{\beta})^n = 2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n}{\alpha}(\frac{x}{\alpha})^{n-1} + \frac{n}{\beta}(\frac{y}{\beta})^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{\beta}{\alpha}$ થાય.
રેખા $x \cos \theta + y \sin \theta = c$ નો ઢાળ $-\cot \theta$ છે.
ઢાળ સરખાવતા: $-\cot \theta = -\frac{\beta}{\alpha} \implies \cot \theta = \frac{\beta}{\alpha}$.
રેખા બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta = c$.
$\cot \theta = \frac{\beta}{\alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$ અને $\sin \theta = \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$ મળે.
આ કિંમતો રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha(\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}) + \beta(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}) = c \implies \frac{2\alpha\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = c$.
આપણે $(\frac{a}{b})^2 + \frac{2}{b} = (\frac{-(\alpha+\beta)}{-\alpha\beta})^2 + \frac{2}{-\alpha\beta} = \frac{(\alpha+\beta)^2}{(\alpha\beta)^2} - \frac{2}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta-2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\beta)^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{2\alpha\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = c$ પરથી,$\alpha^2+\beta^2 = \frac{4\alpha^2\beta^2}{c^2}$ મળે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{4\alpha^2\beta^2/c^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{4}{c^2}$.

(A) ધારો કે વક્રો $ax^2+by^2=1$ $(i)$ અને $cx^2+dy^2=1$ (ii) છે.
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા,આપણને $(a-c)x^2 + (b-d)y^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = -\frac{b-d}{a-c} y^2 = \frac{d-b}{a-c} y^2$.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2ax + 2byy' = 0$ મળે,તેથી $y'_1 = -\frac{ax}{by}$.
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2cx + 2dyy' = 0$ મળે,તેથી $y'_2 = -\frac{cx}{dy}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,છેદબિંદુ $(x, y)$ આગળ તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$y'_1 \cdot y'_2 = -1 \Rightarrow \left(-\frac{ax}{by}\right) \left(-\frac{cx}{dy}\right) = -1 \Rightarrow \frac{acx^2}{bdy^2} = -1$.
$x^2 = \frac{d-b}{a-c} y^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{ac}{bd} \left(\frac{d-b}{a-c}\right) = -1 \Rightarrow ac(d-b) = -bd(a-c) \Rightarrow acd - abc = -abd + bcd$.
પદોને ગોઠવતા: $abd - abc = bcd - acd \Rightarrow ab(d-c) = cd(b-a)$.
તેથી,$\frac{b-a}{d-c} = \frac{ab}{cd}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{x^4+3 x+1}{(x+1)^2(x-1)}=A x+B+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{E}{x-1}$.
પ્રથમ,$x^4+3x+1$ ને $(x+1)^2(x-1) = x^3+x^2-x-1$ વડે ભાગતા,ભાગફળ $(x-1)$ અને શેષ $3x^2+3x$ મળે છે. તેથી,$Ax+B = x-1$,જેનો અર્થ છે $A=1$ અને $B=-1$.
હવે,$\frac{3x^2+3x}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2} + \frac{E}{x-1}$.
બંને બાજુ $(x+1)^2(x-1)$ વડે ગુણતા: $3x^2+3x = C(x+1)(x-1) + D(x-1) + E(x+1)^2$.
$x=1$ લેતા: $3(1)^2+3(1) = E(1+1)^2 \Rightarrow 6 = 4E \Rightarrow E = 3/2$.
$x=-1$ લેતા: $3(-1)^2+3(-1) = D(-1-1) \Rightarrow 0 = -2D \Rightarrow D = 0$.
$x^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $3 = C + E \Rightarrow 3 = C + 3/2 \Rightarrow C = 3/2$.
આમ,$A=1, B=-1, C=3/2, D=0, E=3/2$.
તેથી,$A+B+C+D+E = 1 - 1 + 3/2 + 0 + 3/2 = 6/2 = 3$.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિભાજન:
$\frac{5x^4+4x^2+7}{(x^2+1)(x^4+x^2+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx^3+Dx^2+Ex+F}{x^4+x^2+1}$
બંને બાજુ છેદ $(x^2+1)(x^4+x^2+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$5x^4+4x^2+7 = (Ax+B)(x^4+x^2+1) + (Cx^3+Dx^2+Ex+F)(x^2+1)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$5x^4+4x^2+7 = Ax^5+Ax^3+Ax + Bx^4+Bx^2+B + Cx^5+Cx^3+Dx^4+Dx^2+Ex^3+Ex+Fx^2+F$
$x$ ના સમાન ઘાતાંકોના સહગુણકોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$5x^4+4x^2+7 = (A+C)x^5 + (B+D)x^4 + (A+C+E)x^3 + (B+D+F)x^2 + (A+E)x + (B+F)$
બંને બાજુના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) A+C = 0$
$2) B+D = 5$
$3) A+C+E = 0$
$4) B+D+F = 4$
$5) A+E = 0$
$6) B+F = 7$
$(1)$ અને $(3)$ પરથી,$A+C=0$ હોવાથી,આપણને $E=0$ મળે છે.
$(5)$ પરથી,$A+E=0 \implies A=0$,જેનો અર્થ છે કે $C=0$.
$(2)$ પરથી,$B+D=5$. $(4)$ પરથી,$(B+D)+F=4 \implies 5+F=4 \implies F=-1$.
$(6)$ પરથી,$B+F=7 \implies B-1=7 \implies B=8$.
તેથી $D = 5-B = 5-8 = -3$.
આમ,$A=0, B=8, C=0, D=-3, E=0, F=-1$.
પદાવલિની ગણતરી કરતા:
$B+2(D+F+E)-C \cdot A = 8 + 2(-3-1+0) - 0 \cdot 0 = 8 + 2(-4) - 0 = 8-8 = 0$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{2x+1}{(x-1)^2(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$.
બંને બાજુ $(x-1)^2(x^2+1)$ વડે ગુણતા:
$2x+1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$2x+1 = A(x^3-x^2+x-1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x^2-2x+1)$.
$2x+1 = x^3(A+C) + x^2(-A+B-2C+D) + x(A+C-2D) + (-A+B+D)$.
બંને બાજુના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) A+C = 0$
$2) -A+B-2C+D = 0$
$3) A+C-2D = 2$
$4) -A+B+D = 1$
$(1)$ પરથી,$C = -A$. $(3)$ માં મૂકતા: $A-A-2D = 2 \Rightarrow -2D = 2 \Rightarrow D = -1$.
$D = -1$ ને $(4)$ માં મૂકતા: $-A+B-1 = 1 \Rightarrow -A+B = 2 \Rightarrow B = A+2$.
$C = -A, D = -1, B = A+2$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $-A+(A+2)-2(-A)+(-1) = 0 \Rightarrow 2A+1 = 0 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$.
તેથી $B = -\frac{1}{2}+2 = \frac{3}{2}$ અને $C = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
આમ,$A+B+C+D = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(B) અમારી પાસે અસમતા છે: $9 x-2 < (x+2)^2 < 12 x-3$
આને બે ભાગમાં વહેંચી શકાય છે:
ભાગ $I$: $9 x-2 < (x+2)^2$
$9 x-2 < x^2+4 x+4$
$x^2-5 x+6 > 0$
$(x-3)(x-2) > 0$
તેથી,$x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ ... $(i)$
ભાગ $II$: $(x+2)^2 < 12 x-3$
$x^2+4 x+4 < 12 x-3$
$x^2-8 x+7 < 0$
$(x-7)(x-1) < 0$
તેથી,$x \in (1, 7)$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો છેદ લેતા,આપણને મળે છે:
$x \in (1, 2) \cup (3, 7)$
આ અંતરાલમાં $x$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{4, 5, 6\}$ છે.
આમ,પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(4,7,8)$,$B(2,3,4)$ અને $C(2,5,7)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (7-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = \sqrt{(4-2)^2 + (7-5)^2 + (8-7)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,ખૂણા $A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને $AB:AC = 6:3 = 2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
ધારો કે $D$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે જે તેને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$D = \left( \frac{2(2) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(7) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{13}{3}, \frac{18}{3} \right) = \left( 2, \frac{13}{3}, 6 \right)$.
આંતરિક દ્વિભાજકની લંબાઈ એ અંતર $AD$ છે:
$AD = \sqrt{(4-2)^2 + (7 - \frac{13}{3})^2 + (8-6)^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{4 \times 34}}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{34}$.

(B) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(-1,0,7), B(3,2, t)$ અને $C(5, k,-2)$ સમરેખ છે,તેથી $AB$ અને $BC$ ના દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
$\frac{3-(-1)}{5-3} = \frac{2-0}{k-2} = \frac{t-7}{-2-t}$
$\frac{4}{2} = \frac{2}{k-2} = \frac{t-7}{-2-t}$
$2 = \frac{2}{k-2} \Rightarrow k-2 = 1 \Rightarrow k = 3$
$2 = \frac{t-7}{-2-t} \Rightarrow -4-2t = t-7 \Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1$
આમ,બિંદુઓ $B(3,2,1)$ અને $C(5,3,-2)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $P(t, k-2t, t+k) = P(1, 3-2(1), 1+3) = P(1, 1, 4)$ છે.
ધારો કે $P$ એ રેખાખંડ $BC$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$x$-યામ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$1 = \frac{\lambda(5) + 1(3)}{\lambda + 1}$
$\lambda + 1 = 5\lambda + 3$
$-2 = 4\lambda$
$\lambda = -\frac{1}{2}$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $-1: 2$ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(4,3,2), B(5,4,6)$ અને $C(-1,-1,5)$ છે.
પ્રથમ,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(5-4)^2 + (4-3)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$AC = \sqrt{(-1-4)^2 + (-1-3)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,ખૂણા $A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને $AB : AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જે $3\sqrt{2} : 5\sqrt{2} = 3 : 5$ છે.
ધારો કે $D$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે જ્યાં દ્વિભાજક તેને મળે છે. $D$ એ $BC$ ને $3:5$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર $D = \left(\frac{mx_C + nx_B}{m+n}, \frac{my_C + ny_B}{m+n}, \frac{mz_C + nz_B}{m+n}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_D = \frac{3(-1) + 5(5)}{3+5} = \frac{22}{8}$.
$y_D = \frac{3(-1) + 5(4)}{3+5} = \frac{17}{8}$.
$z_D = \frac{3(5) + 5(6)}{3+5} = \frac{45}{8}$.
આમ,બિંદુ $D$ ના યામ $\left(\frac{22}{8}, \frac{17}{8}, \frac{45}{8}\right)$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1,2,5), B(-1,6,1), C(3,4,-3)$ અને $D(5,0,1)$ છે.
પ્રથમ,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(-1-1)^2 + (6-2)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$BC = \sqrt{(3-(-1))^2 + (4-6)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$CD = \sqrt{(5-3)^2 + (0-4)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$DA = \sqrt{(1-5)^2 + (2-0)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(AB = BC = CD = DA = 6)$,આ ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,આપણે વિકર્ણો તપાસીએ:
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
$BD = \sqrt{(5-(-1))^2 + (0-6)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 36 + 0} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી $(AC = BD = 6\sqrt{2})$,આ ચતુષ્કોણ એક ચોરસ છે.

(B) બોનફેરોનીની અસમતા મુજબ,કોઈપણ ઘટનાઓ $A_1, A_2, \ldots, A_n$ માટે,આપણી પાસે છે:
$P\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right) \geq \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - (n-1)$.
$n = 15$ માટે,અસમતા આ મુજબ બને છે:
$P\left(\bigcap_{i=1}^{15} A_i\right) \geq \sum_{i=1}^{15} P(A_i) - (15-1) = \sum_{i=1}^{15} P(A_i) - 14$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) સમીકરણ $2x^2+x-1=0$ માટે,$2x^2+2x-x-1=0 \Rightarrow 2x(x+1)-1(x+1)=0$,તેથી $x = \frac{1}{2}, -1$. સંભાવના $P \in [0, 1]$ હોવાથી,આપણે $P_1 = \frac{1}{2}$ લઈએ છીએ.
સમીકરણ $3x^2-10x+3=0$ માટે,$3x^2-9x-x+3=0 \Rightarrow 3x(x-3)-1(x-3)=0$,તેથી $x = \frac{1}{3}, 3$. સંભાવના $P \in [0, 1]$ હોવાથી,આપણે $P_2 = \frac{1}{3}$ લઈએ છીએ.
સમીકરણ $6x^2+11x-2=0$ માટે,$6x^2+12x-x-2=0 \Rightarrow 6x(x+2)-1(x+2)=0$,તેથી $x = \frac{1}{6}, -2$. સંભાવના $P \in [0, 1]$ હોવાથી,આપણે $P_3 = \frac{1}{6}$ લઈએ છીએ.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1$.
ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી,ઘટનાઓ નિઃશેષ છે.

(D) અંકો ${4, 5, 6, 7, 8, 9}$ નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન સાથે બનતી $4$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $6^4 = 1296$ છે.
સંખ્યા $N = d_1 d_2 d_3 d_4$ માટે,અંકોનો સરવાળો $S = d_1 + d_2 + d_3 + d_4$ થાય.
સંખ્યા $3$ વડે ત્યારે જ વિભાજ્ય હોય જો તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
દરેક શેષ $0, 1, 2$ માટે બે અંકો ઉપલબ્ધ છે.
કોઈપણ $d_1, d_2, d_3$ માટે,$d_4$ ની પસંદગી એવી રીતે કરવી પડે કે જેથી સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય.
કુલ $6$ વિકલ્પોમાંથી $2$ વિકલ્પો અનુકૂળ હોવાથી,સંભાવના $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ થાય.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય જો વિવેચક $D = a^2 - 4b \geq 0$ હોય,જેનો અર્થ છે $a^2 \geq 4b$.
અહીં $a \in \{3, 4, 5\}$ અને $b \in \{1, 2, 3, 4\}$ હોવાથી,કુલ શક્ય જોડીઓ $(a, b)$ ની સંખ્યા $3 \times 4 = 12$ છે.
દરેક જોડી માટે $a^2 \geq 4b$ ની શરત તપાસતા:
જો $a=3$,$a^2=9$: $9 \geq 4b \implies b \leq 2.25$. $b$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2$ છે ($2$ જોડી).
જો $a=4$,$a^2=16$: $16 \geq 4b \implies b \leq 4$. $b$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4$ છે ($4$ જોડી).
જો $a=5$,$a^2=25$: $25 \geq 4b \implies b \leq 6.25$. $b$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4$ છે ($4$ જોડી).
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $2 + 4 + 4 = 10$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ છે.

(A) ધારો કે $P(B)=x$. તો,$P(A)=\frac{2}{3} x$ અને $P(C)=\frac{1}{2} x$.
જો $A, B, C$ નિઃશેષ અને પરસ્પર નિવારક હોય,તો $P(A \cup B \cup C)=1$.
તેઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} x + x + \frac{1}{2} x = 1$.
$\frac{4x + 6x + 3x}{6} = 1 \Rightarrow \frac{13x}{6} = 1 \Rightarrow x = \frac{6}{13}$.
આમ,$P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{6}{13} = \frac{4}{13}$,$P(B) = \frac{6}{13}$,અને $P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{13} = \frac{3}{13}$.
હવે,$P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે,એક અઠવાડિયામાં સરેરાશ જન્મ $35$ છે.
એક અઠવાડિયામાં $7$ દિવસ હોવાથી,એક દિવસમાં સરેરાશ જન્મ $\lambda = \frac{35}{7} = 5$ થાય.
આપણે પોઈસન વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એક દિવસમાં $3$ થી ઓછા જન્મ થવાની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.
$P(X = 0) = \frac{5^0 e^{-5}}{0!} = e^{-5}$.
$P(X = 1) = \frac{5^1 e^{-5}}{1!} = 5e^{-5}$.
$P(X = 2) = \frac{5^2 e^{-5}}{2!} = \frac{25}{2}e^{-5}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X < 3) = e^{-5} + 5e^{-5} + \frac{25}{2}e^{-5} = e^{-5}(1 + 5 + 12.5) = 18.5e^{-5} = \frac{37}{2e^5}$.

(B) આપેલ સંભાવના વિધેય $P(X=r) = r/k$ છે,જ્યાં $r = 1, 2, 3, 4, 5$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી:
$\sum_{r=1}^{5} P(X=r) = 1 \Rightarrow \frac{1}{k} + \frac{2}{k} + \frac{3}{k} + \frac{4}{k} + \frac{5}{k} = 1$
$\frac{1+2+3+4+5}{k} = 1 \Rightarrow \frac{15}{k} = 1 \Rightarrow k = 15$.
આપણે $P(X=2 \text{ અથવા } X=k/3)$ શોધવાનું છે.
$k=15$ હોવાથી,$k/3 = 15/3 = 5$.
તેથી,$P(X=2 \text{ અથવા } X=5) = P(X=2) + P(X=5) = \frac{2}{15} + \frac{5}{15} = \frac{7}{15}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $B$: $P(X=4 \text{ અથવા } X=k/5) = P(X=4 \text{ અથવા } X=15/5) = P(X=4 \text{ અથવા } X=3) = \frac{4}{15} + \frac{3}{15} = \frac{7}{15}$.
આમ,$P(X=2 \text{ અથવા } X=k/3) = P(X=4 \text{ અથવા } X=k/5)$.