TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $PF^2 = e^2 PM^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જ્યાં પરવલય માટે $e=1$ છે.
આપેલ સમીકરણ $4[(x-a)^2+(y-b)^2]=(\alpha x+\beta y+7)^2$ ને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$(x-a)^2+(y-b)^2 = \left(\frac{\alpha x+\beta y+7}{2}\right)^2$
$PF^2 = PM^2$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે,રેખાના સમીકરણને પ્રમાણિત કરતા:
$(x-a)^2+(y-b)^2 = \left(\frac{\alpha x+\beta y+7}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\right)^2 \cdot \frac{\alpha^2+\beta^2}{4}$
આ પરવલય દર્શાવે તે માટે ઉત્કેન્દ્રિયતા $e=1$ હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે સહગુણક $\frac{\alpha^2+\beta^2}{4} = 1^2$.
તેથી,$\alpha^2+\beta^2=4$.

(C) નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ છે,તેથી $b^2 = 2a$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 4\sqrt{2}$ છે,તેથી $ae = 2\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2e^2 = 8$.
સંબંધ $a^2e^2 = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^2 - b^2 = 8$.
$b^2 = 2a$ મૂકતા,$a^2 - 2a - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $(a - 4)(a + 2) = 0$ ઉકેલતા,$a = 4$ મળે છે (કારણ કે $a > 0$).
તેથી $b^2 = 2(4) = 8$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ એટલે કે $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ થાય.
$16$ વડે ગુણતા,$x^2 + 2y^2 = 16$ મળે છે.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(3 \sqrt{2}, \sqrt{10})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{18}{a^2} + \frac{10}{b^2} = 1$ $(i)$.
નાભિ $(\pm 4, 0)$ છે,તેથી $ae = 4$ એટલે કે $a^2 e^2 = 16$.
સંબંધ $b^2 = a^2 - a^2 e^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = a^2 - 16$.
સમીકરણ $(i)$ માં $b^2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{18}{a^2} + \frac{10}{a^2 - 16} = 1$.
સાદુરૂપ આપતા $a^4 - 44a^2 + 288 = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા $(a^2 - 36)(a^2 - 8) = 0$.
$b^2 > 0$ હોવાથી $a^2 = 36$.
તેથી,$e^2 = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$,એટલે કે $e = \frac{2}{3}$.

(A) આપેલ ઉપવલયની નાભિ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,તે શિરોલંબ ઉપવલય છે.
ધારો કે જરૂરી સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 > b^2$.
નાભિ $(0, \pm c) = (0, \pm 1)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 1$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = \sqrt{5}$ છે,તેથી $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$ અને $a^2 = \frac{5}{4}$.
સંબંધ $c^2 = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 = \frac{5}{4} - b^2$.
આમ,$b^2 = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4}$.
$a^2$ અને $b^2$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{5/4} = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $4x^2 + \frac{4y^2}{5} = 1$ અથવા $20x^2 + 4y^2 = 5$ મળે છે.

(B) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $(x, y)$ થી નાભિનું અંતર એ બિંદુથી નિયામિકાના અંતરના $e$ ગણું હોય છે: $\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} = \frac{1}{2} \frac{|3x+4y-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-1)^2+(y-2)^2 = \frac{1}{4} \frac{(3x+4y-5)^2}{25}$.
$100(x^2-2x+1+y^2-4y+4) = (3x+4y-5)^2$.
$100(x^2+y^2-2x-4y+5) = 9x^2+16y^2+25+24xy-30x-40y$.
$100x^2+100y^2-200x-400y+500 = 9x^2+16y^2+24xy-30x-40y+25$.
પદોને ગોઠવતા: $91x^2+84y^2-24xy-170x-360y+475=0$.

(D) ધારો કે જરૂરી ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad (a>b)$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,કેન્દ્રથી દરેક નાભિનું અંતર $ae$ છે,તેથી અંતરનો સરવાળો $2ae = 8\sqrt{6} \Rightarrow ae = 4\sqrt{6}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2e^2 = 96$ મળે.
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$a^2 - b^2 = 96 \quad (i)$ મળે.
ઉપવલય જે લઘુત્તમ લંબચોરસમાં અંતર્ગત છે તેની બાજુઓ $2a$ અને $2b$ છે. તેથી $4ab = 80$ $\Rightarrow ab = 20$ $\Rightarrow a^2b^2 = 400 \quad (ii)$ મળે.
નિત્યસમ $(a^2+b^2)^2 = (a^2-b^2)^2 + 4a^2b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a^2+b^2)^2 = (96)^2 + 4(400) = 10816$ મળે.
વર્ગમૂળ લેતા,$a^2+b^2 = 104 \quad (iii)$ મળે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$2a^2 = 200 \Rightarrow a^2 = 100$ મળે.
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$2b^2 = 8 \Rightarrow b^2 = 4$ મળે.
તેથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=12$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $b^2=a^2(1-e^2)$,તેથી $12=16(1-e^2)$,જે $1-e^2=\frac{3}{4}$ આપે છે,તેથી $e^2=\frac{1}{4}$ અને $e=\frac{1}{2}$.
નાભિસ્થ જીવા માટે ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણા $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તો શરત $\tan(\frac{\alpha}{2}) \tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{e-1}{e+1}$ છે.
અહીં $\alpha = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{6}$.
$\tan(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{1/2 - 1}{1/2 + 1} = \frac{-1/2}{3/2} = -\frac{1}{3}$.
$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} \tan(\frac{\theta}{2}) = -\frac{1}{3}$,તેથી $\tan(\frac{\theta}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\frac{\theta}{2} = -\frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = -\frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\tan \theta = \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+2y^2=2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2=2$ અને $b^2=1$ છે,તેથી $a=\sqrt{2}$ અને $b=1$ થાય.
બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ ઉપવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ મળે છે.
$x$-અંત:ખંડ $(A)$ માટે,$y=0$ લેતા: $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow x = \sqrt{2} \sec \theta$. તેથી,$A = (\sqrt{2} \sec \theta, 0)$.
$y$-અંત:ખંડ $(B)$ માટે,$x=0$ લેતા: $y \sin \theta = 1 \Rightarrow y = \operatorname{cosec} \theta$. તેથી,$B = (0, \operatorname{cosec} \theta)$.
ધારો કે $M(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો:
$h = \frac{\sqrt{2} \sec \theta + 0}{2} = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sec \theta = \sqrt{2}h$
$k = \frac{0 + \operatorname{cosec} \theta}{2} = \frac{\operatorname{cosec} \theta}{2} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = 2k$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sec^2 \theta} + \frac{1}{\operatorname{cosec}^2 \theta} = 1$.
$\sec \theta$ અને $\operatorname{cosec} \theta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{(\sqrt{2}h)^2} + \frac{1}{(2k)^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ મળે છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
ધારો કે $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ એ ઉપવલય પરનું બિંદુ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{4} = 1$ છે.
આ સ્પર્શક $X$-અક્ષને $A(5 \sec \theta, 0)$ બિંદુમાં છેદે છે.
રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે $A(5 \sec \theta, 0)$ નું પ્રતિબિંબ $A^{\prime} = (0, 5 \sec \theta)$ છે.
$AA^{\prime}$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 5 \sec \theta)(x - 0) + (y - 0)(y - 5 \sec \theta) = 0$ થાય.
જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 5 \sec \theta (x + y) = 0$ મળે છે.
આ વર્તુળ હંમેશા $(0, 0)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના કોઈપણ સ્પર્શક પર નાભિઓમાંથી દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $b^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે ગુણાકાર $9$ છે,તેથી $b^2 = 9$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = \frac{-3}{4}x + 3\sqrt{2}$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $m = \frac{-3}{4}$,આપણને $3\sqrt{2} = \sqrt{a^2(\frac{-3}{4})^2 + b^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$18 = a^2(\frac{9}{16}) + 9$.
બંને બાજુથી $9$ બાદ કરતા,$9 = \frac{9a^2}{16}$,જે આપણને $a^2 = 16$ આપે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $2x^2+y^2=2$,જેને $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=1$ અને $b^2=2$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x+2y+k=0$ છે,જેનો અર્થ છે $y=-\frac{1}{2}x-\frac{k}{2}$.
આને $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,$m=-\frac{1}{2}$ અને $c=-\frac{k}{2}$ મળે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(-\frac{k}{2})^2 = (1)(-\frac{1}{2})^2 + 2$.
$\frac{k^2}{4} = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$.
$k^2=9$,તેથી $k=\pm 3$. $k>0$ હોવાથી,$k=3$.
સ્પર્શબિંદુ $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{3}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1}-\frac{b^2y}{y_1}=a^2-b^2$ છે.
$a^2=1, b^2=2, x_1=\frac{1}{\sqrt{2}}, y_1=1$ મૂકતા:
$\frac{1 \cdot x}{1/\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot y}{1} = 1-2$.
$\sqrt{2}x - 2y = -1$,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{2}x-2y+1=0$ થાય છે.

(D) રેખા $y = mx + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ અને ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.
વર્તુળ માટે સ્પર્શકની શરત $c^2 = 16(1 + m^2)$ છે.
ઉપવલય માટે સ્પર્શકની શરત $c^2 = 25m^2 + 9$ છે.
બંનેને સરખાવતા:
$16(1 + m^2) = 25m^2 + 9$
$16 + 16m^2 = 25m^2 + 9$
$9m^2 = 7$
$m^2 = \frac{7}{9}$.
$m = \tan \theta$ હોવાથી,$\tan^2 \theta = \frac{7}{9}$.
સૂત્ર $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\theta = \frac{1 - \frac{7}{9}}{1 + \frac{7}{9}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

(B) ધારો કે સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=4$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c^2 = r^2(1+m^2)$ છે,જ્યાં $r^2=4$. તેથી,$c^2 = 4(1+m^2)$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{2} = 1$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે,જ્યાં $a^2=25$ અને $b^2=2$. તેથી,$c^2 = 25m^2 + 2$.
$c^2$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$4(1+m^2) = 25m^2 + 2$
$4 + 4m^2 = 25m^2 + 2$
$21m^2 = 2$ $\Rightarrow m^2 = \frac{2}{21}$ $\Rightarrow m = \pm \sqrt{\frac{2}{21}}$.
$m^2$ ની કિંમત $c^2 = 4(1+m^2)$ માં મૂકતા:
$c^2 = 4(1 + \frac{2}{21}) = 4(\frac{23}{21}) = \frac{92}{21}$.
આમ,$c = \pm \sqrt{\frac{92}{21}} = \pm \frac{2\sqrt{23}}{\sqrt{21}}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = \pm \sqrt{\frac{2}{21}}x \pm \frac{2\sqrt{23}}{\sqrt{21}}$ છે.
$\sqrt{21}$ વડે ગુણતા: $\sqrt{21}y = \pm \sqrt{2}x \pm 2\sqrt{23}$.
ગોઠવતા $\sqrt{2}x - \sqrt{21}y + 2\sqrt{23} = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ છે. અહીં $a^2=16$ અને $b^2=12$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1-\frac{12}{16}} = \frac{1}{2}$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a}) = (\pm 2, \pm 3)$ છે.
$(2, 3)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{2x}{16}+\frac{3y}{12}=1$ એટલે કે $\frac{x}{8}+\frac{y}{4}=1$ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $(8, 0)$ અને $y$-અક્ષને $(0, 4)$ માં છેદે છે.
સંમિતિને કારણે,ચાર સ્પર્શકો દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(\pm 8, 0)$ અને $(0, \pm 4)$ છે.
આ સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $4 \times (\frac{1}{2} \times 8 \times 4) = 64$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+2y^2=2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉપવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(\sqrt{2}\cos\theta, \sin\theta)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x\cos\theta}{\sqrt{2}} + y\sin\theta = 1$ છે.
સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડો $A\left(\frac{\sqrt{2}}{\cos\theta}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{1}{\sin\theta}\right)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{\sqrt{2}}{2\cos\theta}$ અને $k = \frac{1}{2\sin\theta}$.
આથી $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ અને $\sin\theta = \frac{1}{2k}$.
નિત્યસમ $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\left(\frac{1}{\sqrt{2}h}\right)^2 + \left(\frac{1}{2k}\right)^2 = 1$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $9x^2+4y^2-18x+16y-11=0$.
બિંદુ $P(1, k)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$x=1$ મૂકતા:
$9(1)^2+4k^2-18(1)+16k-11=0$
$4k^2+16k-20=0$
$k^2+4k-5=0$
$(k+5)(k-1)=0$.
$k>0$ હોવાથી,$k=1$ મળે. તેથી,$P(1, 1)$ છે.
ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:
$9(x-1)^2+4(y+2)^2 = 36$
$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1$.
અહીં $a^2=4$ અને $b^2=9$,તેથી $b>a$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
નિયામિકાઓ: $y+2 = \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$.
$P(1, 1)$ થી નિયામિકાઓનું અંતર:
$d_1 = |1 - (-2 + \frac{9}{\sqrt{5}})| = |3 - \frac{9}{\sqrt{5}}| = \frac{9}{\sqrt{5}} - 3$.
$d_2 = |3 + \frac{9}{\sqrt{5}}|$.
લઘુત્તમ અંતર $\frac{9}{\sqrt{5}} - 3$ છે.

(C) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ છે,જેને $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a_1^2 = \frac{144}{25}$ અને $b_1^2 = \frac{81}{25}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b_1^2}{a_1^2}} = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિઓ $(\pm a_2 e_2, 0) = (\pm 4 e_2, 0)$ છે.
નાભિઓ એકરૂપ હોવાથી,$4 e_2 = 3$,તેથી $e_2 = \frac{3}{4}$.
ઉપવલય માટે,$e_2^2 = 1 - \frac{b^2}{a_2^2} = 1 - \frac{b^2}{16}$.
$e_2 = \frac{3}{4}$ મૂકતા,$\frac{9}{16} = 1 - \frac{b^2}{16}$ મળે.
તેથી,$\frac{b^2}{16} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 7$.

(D) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ છે કે ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 16$ છે.
$2ae = 16$ માં $e = \sqrt{2}$ મૂકતા,આપણને $2a(\sqrt{2}) = 16$ મળે છે.
તેથી,$a = \frac{16}{2\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$,તેથી $a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 32((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - y^2 = 32$ થાય છે.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a = 12$ આપેલ છે,તેથી $a = 6$.
બિંદુ $(8, 2)$ અતિવલય પર હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$\frac{8^2}{a^2} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$a = 6$ મૂકતા:
$\frac{64}{36} - \frac{4}{b^2} = 1$
$\frac{16}{9} - 1 = \frac{4}{b^2}$
$\frac{7}{9} = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = \frac{36}{7}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$e = \sqrt{1 + \frac{36/7}{36}} = \sqrt{1 + \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{8}{7}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2-y^2-4x+2y+c=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-2)^2 - (y-1)^2 = 3-c$ મળે.
ધારો કે $a^2 = 3-c$. સમીકરણ $\frac{(x-2)^2}{a^2} - \frac{(y-1)^2}{a^2} = 1$ બને છે.
આ લંબ અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ છે.
નાભિ $x = 2 \pm ae = 2 \pm \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2} = 2 \pm \sqrt{2a^2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ નાભિ $S(2+2\sqrt{2}, k)$ પરથી,$\sqrt{2a^2} = 2\sqrt{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4$ મળે.
$a^2 = 3-c$ હોવાથી,$4 = 3-c$,જે $c = -1$ આપે છે.
નિયામિકા $x = 2 \pm \frac{a}{e} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 \pm \sqrt{2}$ છે.
નાભિ $x = 2+2\sqrt{2}$ ની નજીકની નિયામિકા $x = 2+\sqrt{2}$ છે,જે આપેલ શરત સાથે સુસંગત છે.
આમ,$c = -1$.

(A) આપેલ છે કે $p$ અને $q$ એ અનુક્રમે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ અને તેના સંયુગ્મી અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2}$ અને $q^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2+b^2}{b^2}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{p^2} + \frac{y^2}{q^2} = 1$ છે.
$p^2$ અને $q^2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2 a^2}{a^2+b^2} + \frac{y^2 b^2}{a^2+b^2} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 x^2 + b^2 y^2 = a^2 + b^2$ થાય છે.
રેખાઓની જોડી $x^2 - y^2 = 0$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે $y^2 = x^2$.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $y^2 = x^2$ મૂકતા: $a^2 x^2 + b^2 x^2 = a^2 + b^2$.
$(a^2 + b^2) x^2 = a^2 + b^2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
$y^2 = x^2$ હોવાથી,$y = \pm 1$ મળે છે.
છેદબિંદુઓ $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$ છે.
આ બિંદુઓ $s = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = 2$ બાજુવાળો ચોરસ બનાવે છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $s^2 = 2^2 = 4$ ચોરસ એકમ.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
બિંદુ $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ છે.
તે જ રીતે,બિંદુ $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2+b^2$ છે.
આપેલ છે કે $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$. આથી,$\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$.
બે સમીકરણો:
$(1) \quad ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$
$(2) \quad ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,$(1)$ ને $\sin \theta$ વડે અને $(2)$ ને $\cos \theta$ વડે ગુણતા:
$by(\cos \theta - \sin \theta) = (a^2+b^2)(\sin \theta - \cos \theta)$
$by = -(a^2+b^2)$
$y = -\frac{a^2+b^2}{b}$
તેથી,$k = -\frac{a^2+b^2}{b}$.

(D) લંબચોરસ અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો યામ અક્ષોને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $(x - h)(y - k) = c$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
બે લંબ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ એ અતિવલયનું કેન્દ્ર હોવાથી,$(h, k) = (1, 1)$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $(x - 1)(y - 1) = c$ થાય.
અતિવલય $(3, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,યામ મૂકતા: $(3 - 1)(2 - 1) = c$ $\Rightarrow 2 \times 1 = c$ $\Rightarrow c = 2$.
$c = 2$ સમીકરણમાં મૂકતા,$(x - 1)(y - 1) = 2$ મળે છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$xy - x - y + 1 = 2$,જેનું સાદું રૂપ $xy = x + y + 1$ થાય છે.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(\alpha, \beta)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $\frac{\alpha x}{a^2} - \frac{\beta y}{b^2} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ અતિવલય $9x^2 - 16y^2 = 144$ છે,જેને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$(\alpha, \beta)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $\frac{\alpha x}{16} - \frac{\beta y}{9} = 1$ અથવા $9\alpha x - 16\beta y - 144 = 0$ છે.
આને આપેલ રેખા $3x - 16y + 48 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{9\alpha}{3} = \frac{-16\beta}{-16} = \frac{-144}{48}$.
$3\alpha = \beta = -3$.
આમ,$\alpha = -1$ અને $\beta = -3$.
તેથી,$\alpha - \beta = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$.

(C) આપણી પાસે સમીકરણો છે:
$x^2+y^2=a^2$ $\dots(i)$
$xy=b^2$ $\dots(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$x = \frac{b^2}{y}$ મળે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{b^2}{y}\right)^2 + y^2 = a^2$
$\frac{b^4}{y^2} + y^2 = a^2$
$y^2$ વડે ગુણતા:
$b^4 + y^4 = a^2 y^2$
$y^4 - a^2 y^2 + b^4 = 0$
આ $y$ માં ચતુર્થ ઘાતનું સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $y_1, y_2, y_3, y_4$ છે.
બહુપદી સમીકરણના બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $y_1 y_2 y_3 y_4$ એ અચળ પદ અને મુખ્ય સહગુણકના ગુણોત્તર જેટલો થાય.
તેથી,$y_1 y_2 y_3 y_4 = \frac{b^4}{1} = b^4$.

(C) આપણી પાસે છે,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \left(x^2+\pi x+2\pi\right)}{x^2}$
$\cos(2\pi + \theta) = \cos \theta$ હોવાથી,પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos \left(x^2+\pi x\right)}{x^2}$ બને છે.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \left(\frac{x^2+\pi x}{2}\right)}{x^2}$
$= 2 \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left[ \frac{\sin \left(\frac{x^2+\pi x}{2}\right)}{\frac{x^2+\pi x}{2}} \right]^2 \times \left( \frac{x^2+\pi x}{2} \right)^2 \times \frac{1}{x^2}$
$= 2 \times 1^2 \times \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(x+\pi)^2}{4x^2}$
$= 2 \times \frac{1}{4} \times \pi^2 = \frac{\pi^2}{2}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે નાના $x$ માટે,$\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \tan^{-1} x$ થાય છે.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^4+x^3+x^2}{(\tan^{-1} x)(\tan^{-1} x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2(x^2+x+1)}{(\tan^{-1} x)^2}$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = 1$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે જ્યારે $x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $(\tan^{-1} x)^2 \approx x^2$.
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2(x^2+x+1)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} (x^2+x+1) = 0^2+0+1 = 1$.

(B) અમે $\tan \theta = \theta + \frac{\theta^3}{3} + \frac{2\theta^5}{15} + \dots$ અને $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2}) \approx \frac{\theta^2}{2}$ માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
છેદ $(1 - \cos 4x)^2 \approx (\frac{(4x)^2}{2})^2 = 64x^4$ છે.
અંશ $x(4x + \frac{(4x)^3}{3} + \dots) - 2x(2x + \frac{(2x)^3}{3} + \dots) = 16x^4$ છે.
આમ,લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{16x^4}{64x^4} = \frac{1}{4}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (1-\cos x)}{\sin ^4 x}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{1-\cos (1-\cos x)}{(1-\cos x)^2} \times \left(\frac{1-\cos x}{x^2}\right)^2 \times \left(\frac{x}{\sin x}\right)^4$
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $(1-\cos x) \rightarrow 0$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times (1)^4$
$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{8}$

(C) ધારો કે $f(x) = \sin \left(2 \pi\left([x]-\left[\frac{x}{k}\right]\right)-x\right) + \sin k$.
જ્યારે $x \rightarrow k$,ત્યારે પદ $[x] - [x/k]$ પૂર્ણાંક મૂલ્યો લે છે.
ચોક્કસ રીતે,$k$ ની નજીકના $x$ માટે,$[x] = k$ અને $[x/k] = 1$ (કારણ કે $k \geq 2$).
આમ,પદ $2 \pi ([x] - [x/k])$ એ $\pi$ નો બેકી ગુણક છે,ધારો કે $2 \pi m$.
તેથી,$\sin(2 \pi m - x) = \sin(-x) = -\sin x$.
લક્ષ્ય $\lim_{x \rightarrow k} \frac{-\sin x + \sin k}{x - k}$ બને છે.
$L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\lim_{x \rightarrow k} \frac{-\cos x}{1} = -\cos k$.

(C) આપેલ લક્ષનું પદ: $\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{\log (1+x)^{1+x}}{x^2} - \frac{1}{x} \right] = k$
ગુણધર્મ $\log(a^b) = b \log a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{(1+x) \log (1+x) - x}{x^2} \right] = k$
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે $L$' Hospital નો નિયમ વાપરીએ:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} [(1+x) \log (1+x) - x]}{\frac{d}{dx} [x^2]} = k$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[1 \cdot \log (1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x}] - 1}{2x} = k$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x) + 1 - 1}{2x} = k$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{2x} = k$
$\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{x} = k$
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{x} = 1$,તેથી $k = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$12k = 12 \times \frac{1}{2} = 6$.

(A) આપેલ છે કે $f$ એ વધતું વિધેય છે અને તમામ $x \in R^{+}$ માટે $f(x) > 0$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(9 x)}{f(3 x)}=1$.
$f$ એ વધતું વિધેય હોવાથી,કોઈપણ $x > 0$ માટે,આપણી પાસે અસમતા છે:
$3x < 6x < 9x$
$\Rightarrow f(3x) < f(6x) < f(9x)$
આખી અસમતાને $f(3x)$ (જે ધન છે) વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{f(3x)}{f(3x)} < \frac{f(6x)}{f(3x)} < \frac{f(9x)}{f(3x)}$
$1 < \frac{f(6x)}{f(3x)} < \frac{f(9x)}{f(3x)}$
હવે,બધી બાજુઓ પર $x \rightarrow \infty$ લેતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty} 1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(9x)}{f(3x)}$
$1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} \leq 1$
સેન્ડવિચ પ્રમેય (Sandwich Theorem) દ્વારા,આપણે નિષ્કર્ષ કાઢી શકીએ છીએ કે:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(6x)}{f(3x)} = 1$.

(A) ચલનાંક $(CV)$ ની વ્યાખ્યા $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે.
સમૂહ $A$ એ સમૂહ $B$ કરતા વધુ સુસંગત હોવા માટે,$A$ નો ચલનાંક એ $B$ ના ચલનાંક કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
તેથી,$CV_A < CV_B$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sigma_A}{\bar{x}} < \frac{\sigma_B}{\bar{y}}$.
અહીં $\sigma_A = 2$ અને $\sigma_B = 3$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2}{\bar{x}} < \frac{3}{\bar{y}}$.
અસમતાને $\frac{\bar{y}}{\bar{x}}$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{\bar{y}}{\bar{x}} < \frac{3}{2}$ મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધીએ છીએ અને મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
મધ્યક $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{60}{10} = 6$
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન = $\frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{32}{10} = 3.2$

(B) આપણી પાસે છે,$\text{મધ્યક} = 6$.
$\frac{8+9+6+5+x+4+6+5}{8} = 6$
$\Rightarrow 43+x = 48$ $\Rightarrow x = 5$.
તેથી,ડેટા સેટ $8, 9, 6, 5, 5, 4, 6, 5$ છે.
અવલોકનોનો સરવાળો $\Sigma x_i = 48$ અને વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma x_i^2 = 64 + 81 + 36 + 25 + 25 + 16 + 36 + 25 = 308$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{308}{8} - (6)^2 = 38.5 - 36 = 2.5$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.58$.

(C) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે મધ્યબિંદુ $x_i$ શોધીએ છીએ અને પછી જરૂરી સરવાળા ગણીએ છીએ:

વર્ગ અંતરાલ	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$0$-$5$	$4$	$2.5$	$10$	$25$
$5$-$10$	$1$	$7.5$	$7.5$	$56.25$
$10$-$15$	$10$	$12.5$	$125$	$1562.5$
$15$-$20$	$3$	$17.5$	$52.5$	$918.75$
$20$-$25$	$2$	$22.5$	$45$	$1012.5$
કુલ	$N=20$		$\Sigma f_i x_i = 240$	$\Sigma f_i x_i^2 = 3575$

વિચરણ $\sigma^2$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - \left(\frac{1}{N} \Sigma f_i x_i\right)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{3575}{20} - \left(\frac{240}{20}\right)^2$
$\sigma^2 = 178.75 - (12)^2$
$\sigma^2 = 178.75 - 144 = 34.75$

(C) પ્રથમ પાંચ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
મધ્યક $(\bar{x}) = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $(\alpha) = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|2-5.6| + |3-5.6| + |5-5.6| + |7-5.6| + |11-5.6|}{5} = \frac{3.6 + 2.6 + 0.6 + 1.4 + 5.4}{5} = \frac{13.6}{5} = 2.72$.
વિચરણ $(\beta) = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2}{5} - (5.6)^2 = \frac{4 + 9 + 25 + 49 + 121}{5} - 31.36 = \frac{208}{5} - 31.36 = 41.6 - 31.36 = 10.24$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta) = (2.72, 10.24)$ છે.

(C) ધારો કે $x_1, x_2, \ldots, x_n$ નું વિચરણ $\sigma^2$ છે.
વિચરણના ગુણધર્મ મુજબ,$\text{Var}(ax + b) = a^2 \text{Var}(x)$ થાય.
વિધાન $(A)$ માટે,$a = 4$ અને $b = 0$ લેતા,$\text{Var}(4x) = 4^2 \text{Var}(x) = 16 \sigma^2$ મળે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે,સાચો ગુણધર્મ $\text{Var}(ax + b) = a^2 \text{Var}(x)$ છે. આપેલ વિધાન $\text{Var}(y) = a \text{Var}(x) + b$ ખોટું છે. તેથી,$(R)$ ખોટું છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે આપેલ ડેટાનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધીએ:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f x}{\Sigma f} = \frac{336}{42} = 8$
હવે,મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર વાપરીએ: $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\Sigma f|x - \bar{x}|}{N}$
$\Sigma f|x - \bar{x}| = (3 \times 7) + (3 \times 5) + (4 \times 3) + (14 \times 1) + (7 \times 1) + (4 \times 3) + (3 \times 5) + (4 \times 7) = 124$
$\therefore \text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{124}{42} \approx 2.95$

(A) પ્રથમ $5$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$.
વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma x_i^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 = 4 + 9 + 25 + 49 + 121 = 208$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{208}{5} - (\frac{28}{5})^2} = \sqrt{\frac{1040 - 784}{25}} = \sqrt{\frac{256}{25}} = \frac{16}{5} = 3.2$.
વિચલન ગુણાંક $C.V. = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{16/5}{28/5} \times 100 = \frac{16}{28} \times 100 = \frac{4}{7} \times 100 = \frac{400}{7}$.

(B) આપેલ છે,$n = 100$,$\bar{x} = 40$,અને $\sigma = 5.1$.
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(5.1)^2 = \frac{\sum x_i^2}{100} - (40)^2$.
$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$.
$\sum x_i^2 = (26.01 + 1600) \times 100 = 162601$.
આ સરવાળામાં ખોટું અવલોકન $50$ સામેલ છે. સાચો સરવાળો મેળવવા માટે,આપણે ખોટા અવલોકનનો વર્ગ બાદ કરીશું અને સાચા અવલોકનનો વર્ગ ઉમેરીશું:
સાચું $\sum x_i^2 = 162601 - (50)^2 + (40)^2$.
સાચું $\sum x_i^2 = 162601 - 2500 + 1600 = 161701$.

(B) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક વર્ગ માટે મધ્ય કિંમત $(x_i)$ શોધીશું અને પછી $\Sigma f_i x_i$ અને $\Sigma f_i x_i^2$ ની ગણતરી કરીશું.
અહીં,$N = \Sigma f_i = 70$ અને $\Sigma f_i x_i = 1470$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{1470}{70} = 21$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - (\bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{42150}{70} - (21)^2$.
$\sigma^2 = 602.14 - 441 = 161.14$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,વિચરણ $161.1$ મળે છે.

(A) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે મધ્યબિંદુ $(x_i)$ ગણીએ છીએ અને ત્યારબાદ જરૂરી સરવાળા મેળવીએ છીએ:

વર્ગ અંતરાલ	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$0-6$	$10$	$3$	$30$	$90$
$6-12$	$8$	$9$	$72$	$648$
$12-18$	$6$	$15$	$90$	$1350$
$18-24$	$4$	$21$	$84$	$1764$
$24-30$	$2$	$27$	$54$	$1458$
કુલ	$N = 30$	-	$\Sigma f_i x_i = 330$	$\Sigma f_i x_i^2 = 5310$

વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{N} \Sigma f_i x_i^2 - \left(\frac{\Sigma f_i x_i}{N}\right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{5310}{30} - \left(\frac{330}{30}\right)^2$
$\sigma^2 = 177 - (11)^2$
$\sigma^2 = 177 - 121 = 56$.

(B) આપેલ અવલોકનો $2, 7, 5, 6, 4, 3, 11, 17, 8$ છે.
પ્રથમ,સમાંતર મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{2 + 7 + 5 + 6 + 4 + 3 + 11 + 17 + 8}{9} = \frac{63}{9} = 7$.
હવે,દરેક અવલોકન માટે નિરપેક્ષ વિચલન $d_i = |x_i - \bar{x}|$ શોધો:
$|2 - 7| = 5, |7 - 7| = 0, |5 - 7| = 2, |6 - 7| = 1, |4 - 7| = 3, |3 - 7| = 4, |11 - 7| = 4, |17 - 7| = 10, |8 - 7| = 1$.
વિચલનોનો સરવાળો $\Sigma d_i = 5 + 0 + 2 + 1 + 3 + 4 + 4 + 10 + 1 = 30$.
સરેરાશ વિચલન ($M$.$D$.) = $\frac{\Sigma d_i}{N} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$.

(C) આપેલ પ્રમાણિત વિચલનો $\sigma_x = 5$ અને $\sigma_y = 6$ છે,જ્યાં $n = 100$ અવલોકનો છે.
$\sum_{i=1}^{100}(x_i-\bar{x})^2 = n \sigma_x^2 = 100 \times 25 = 2500$.
$\sum_{i=1}^{100}(y_i-\bar{y})^2 = n \sigma_y^2 = 100 \times 36 = 3600$.
આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^{100}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 600$.
ધારો કે $z_i = x_i - y_i$. તો $\bar{z} = \bar{x} - \bar{y}$.
$Z$ નું વિચરણ $\sigma_z^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{100}(z_i - \bar{z})^2$ છે.
$\sigma_z^2 = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100}((x_i - y_i) - (\bar{x} - \bar{y}))^2 = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100}((x_i - \bar{x}) - (y_i - \bar{y}))^2$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $\sigma_z^2 = \frac{1}{100} [\sum(x_i - \bar{x})^2 + \sum(y_i - \bar{y})^2 - 2 \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})]$.
$\sigma_z^2 = \frac{1}{100} [2500 + 3600 - 2(600)] = \frac{1}{100} [6100 - 1200] = \frac{4900}{100} = 49$.
તેથી,$\sigma_z = \sqrt{49} = 7$.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $2k$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે,$S_1 = \frac{(2k)^2 - 1}{12} = \frac{4k^2 - 1}{12}$.
પ્રથમ $k$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે,$S_2 = \frac{k^2 - 1}{12}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4k^2 - 1}{k^2 - 1} = \frac{4(k^2 - 1) + 3}{k^2 - 1} = 4 + \frac{3}{k^2 - 1}$.
કારણ કે $k > 1$,$k^2 - 1 > 0$. જેમ $k \to 1^+$,$\frac{3}{k^2 - 1} \to \infty$,અને જેમ $k \to \infty$,$\frac{3}{k^2 - 1} \to 0$.
આમ,$4 + \frac{3}{k^2 - 1} \in (4, \infty)$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ અને કુલ આવૃત્તિ $(N)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:

$x_i$	$f_i$	$cf$
$6$	$4$	$4$
$12$	$7$	$11$
$18$	$9$	$20$
$24$	$18$	$38$
$30$	$15$	$53$
$36$	$10$	$63$
$42$	$5$	$68$

અહીં,$N = 68$,જે બેકી સંખ્યા છે. મધ્યસ્થ એ $(\frac{N}{2})^{th}$ અને $(\frac{N}{2} + 1)^{th}$ અવલોકનોની સરેરાશ છે,એટલે કે $34^{th}$ અને $35^{th}$ અવલોકન.
સંચયી આવૃત્તિ જોતા,$34^{th}$ અને $35^{th}$ બંને અવલોકનો $x_i = 24$ વાળા વર્ગમાં આવે છે.
તેથી,$\text{Median} = 24$.
હવે,આપણે મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\text{MD}(\text{Median}) = \frac{\sum f_i |x_i - \text{Median}|}{N}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ:
$\sum f_i |x_i - 24| = 4|6-24| + 7|12-24| + 9|18-24| + 18|24-24| + 15|30-24| + 10|36-24| + 5|42-24|$
$= 4(18) + 7(12) + 9(6) + 18(0) + 15(6) + 10(12) + 5(18)$
$= 72 + 84 + 54 + 0 + 90 + 120 + 90 = 510$
$\text{MD}(\text{Median}) = \frac{510}{68} = 7.5$.

(C) ધારો કે કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{n}{4}$ અવલોકનો $a$ છે,$\frac{n}{4}$ અવલોકનો $-a$ છે,$\frac{n}{4}$ અવલોકનો $b$ છે અને $\frac{n}{4}$ અવલોકનો $-b$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\frac{n}{4}(a - a + b - b)}{n} = 0$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $ab = \frac{\frac{n}{4}(a^2 + (-a)^2 + b^2 + (-b)^2)}{n} - 0$.
$ab = \frac{a^2 + a^2 + b^2 + b^2}{4} = \frac{2a^2 + 2b^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{2}$.
$2ab = a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 - 2ab = 0$.
$(a - b)^2 = 0 \Rightarrow a = b$.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$\angle C = 90^{\circ}$.
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$ થાય.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = k \sin A$ અને $b = k \sin B$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin(A-B) = \frac{k^2 \sin^2 A + k^2 \sin^2 B}{k^2 \sin^2 A - k^2 \sin^2 B} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A - \sin^2 B} \sin(A-B)$.
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B) \sin(A-B)} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B)}$.
$\angle A+B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\sin(A+B) = 1$ અને $B = 90^{\circ}-A$,તેથી $\sin B = \cos A$.
$= \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{1} = 1$.

(A) આપેલ છે,$\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$.
આને $\cos A \cos B + \sin A \sin B - \sin A \sin B + \sin A \sin B \sin C = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\cos(A - B) - \sin A \sin B(1 - \sin C) = 1$ માં પરિણમે છે.
પુનઃગોઠવણી કરતા $1 - \cos(A - B) + \sin A \sin B(1 - \sin C) = 0$ મળે.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \sin^2(\frac{A - B}{2}) + \sin A \sin B(1 - \sin C) = 0$ મળે.
બે બિન-ઋણ પદોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\sin(\frac{A - B}{2}) = 0$ અને $\sin A \sin B(1 - \sin C) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $A = B$ અને $\sin C = 1$ (કારણ કે ત્રિકોણમાં $\sin A, \sin B \neq 0$).
આમ,$C = 90^{\circ}$ અને $A = B = 45^{\circ}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$\frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b}{\sin 45^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$.
$a : b : c = \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{1}{\sqrt{2}} : 1 = 1 : 1 : \sqrt{2}$.

(C) $A_1 = \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $B_1 = 4 \hat{i}-3 \hat{k}$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $r = A_1 + \lambda(B_1 - A_1)$ છે.
$B_1 - A_1 = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
તેથી,$L_1: r = (\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}) + \lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})$.
$A_2 = \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $B_2 = 2 \hat{i}-4 \hat{j}-5 \hat{k}$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_2$ નું સમીકરણ $r = A_2 + \mu(B_2 - A_2)$ છે.
$B_2 - A_2 = \hat{i} - 6\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેથી,$L_2: r = (\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) + \mu(\hat{i}-6 \hat{j}-4 \hat{k})$.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $D = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ છે.
$a_2 - a_1 = 4\hat{j}$.
$b_1 \times b_2 = -20\hat{i} + 10\hat{j} - 20\hat{k}$.
$|b_1 \times b_2| = 30$.
$(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = 40$.
$D = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$.

(B) બે વિષમતલિય રેખાઓ $r = a_1 + t b_1$ અને $r = a_2 + s b_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a_1 = -\hat{i} + 3\hat{k}$,$b_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$,$a_2 = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,અને $b_2 = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$a_2 - a_1 = (3 - (-1))\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (-1 - 3)\hat{k} = 4\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-6)) - \hat{j}(4 - 12) + \hat{k}(-2 - 6) = 12\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|b_1 \times b_2| = \sqrt{12^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{144 + 64 + 64} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}$ થાય.
અદિશ ગુણાકાર $(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = (4\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (12\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}) = 48 + 8 + 32 = 88$ થાય.
તેથી,$d = \frac{88}{4\sqrt{17}} = \frac{22}{\sqrt{17}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $S = 2 x^2 - 6 y^2 - 12 z^2 + 18 y z + 2 z x + x y = 0$ છે.
દ્વિઘાત સ્વરૂપના અવયવ પાડતા,આપણને $S = (x + 2 y - 2 z)(2 x - 3 y + 6 z) = 0$ મળે છે.
આમ,બે સમતલો $P_1: x + 2 y - 2 z = 0$ અને $P_2: 2 x - 3 y + 6 z = 0$ છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ અને $\vec{n_2} = (2, -3, 6)$ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-3) + (-2)(6) = 2 - 6 - 12 = -16$.
માનની ગણતરી કરતા: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ અને $|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{|-16|}{3 \times 7} = \frac{16}{21}$.
આમ,લઘુકોણ $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{16}{21}\right)$ છે.

(A) બિંદુઓ $A(0,0,2)$,$B(1,0,1)$ અને $C(3,1,1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-2 \\ 1-0 & 0-0 & 1-2 \\ 3-0 & 1-0 & 1-2 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x & y & z-2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $x(0 - (-1)) - y(-1 - (-3)) + (z-2)(1 - 0) = 0$
$x(1) - y(2) + (z-2)(1) = 0$
$x - 2y + z - 2 = 0$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ છે.
$XY$-સમતલનો અભિલંબ $\vec{n}_1 = \langle 0, 0, 1 \rangle$ છે. સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{n}| |\vec{n}_1|} = \frac{|1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
તેથી,$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
$XZ$-સમતલનો અભિલંબ $\vec{n}_2 = \langle 0, 1, 0 \rangle$ છે. સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ માટે $\cos \beta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}| |\vec{n}_2|} = \frac{|-2|}{\sqrt{6} \sqrt{1^2}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
તેથી,$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \frac{4}{6} = \frac{2}{6}$.
આમ,$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$.

(C) આપેલી બંને રેખાઓ $a=\hat{i}+\hat{j}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને અનુક્રમે $b_1=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $b_2=-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ સદિશોને સમાંતર છે. આ રેખાઓ ધરાવતું સમતલ $a=\hat{i}+\hat{j}$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $n = b_1 \times b_2$ સદિશને લંબ છે.
અભિલંબ સદિશ $n$ ની ગણતરી:
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(1+2) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
સમતલનું સદિશ સમીકરણ $r \cdot n = a \cdot n$ છે.
$r \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = (\hat{i} + \hat{j}) \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = -3 + 3 + 0 = 0$.
$-3$ વડે ભાગતા,આપણને $r \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 0$ મળે છે.

(B) સમતલ $OAB$ નું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપ દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-0 \\ 1-0 & 2-0 & 1-0 \\ 2-0 & 1-0 & 3-0 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $x(6-1) - y(3-2) + z(1-4) = 0 \Rightarrow 5x - y - 3z = 0$ ... $(i)$
સમતલ $ABC$ નું સમીકરણ:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 2-1 & 1-2 & 3-1 \\ -1-1 & 1-2 & 2-1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(x-1)(-1+2) - (y-2)(1+4) + (z-1)(-1-2) = 0$
$(x-1)(1) - (y-2)(5) + (z-1)(-3) = 0 \Rightarrow x - 1 - 5y + 10 - 3z + 3 = 0 \Rightarrow x - 5y - 3z + 12 = 0$ ... $(ii)$
સમતલો $5x - y - 3z = 0$ અને $x - 5y - 3z + 12 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \frac{|(5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3)|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|5 + 5 + 9|}{\sqrt{25 + 1 + 9} \sqrt{1 + 25 + 9}} = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$

(A) સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ એ બિંદુ $(1, 1, 1)$ અને લંબપાદ $(1, 3, 5)$ ને જોડતો સદિશ છે.
$\vec{n_1} = (1-1, 3-1, 5-1) = (0, 2, 4)$.
આને આપણે $\vec{n_1} = (0, 1, 2)$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ.
બિંદુ $(1, 3, 5)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\pi_1$ નું સમીકરણ $0(x-1) + 1(y-3) + 2(z-5) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y + 2z - 13 = 0$ થાય છે.
સમતલ $\pi_2$ માટે,તે બિંદુઓ $A(2, 2, -1), B(3, 4, 2), C(3, 3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
સદિશો $\vec{AB} = (1, 2, 3)$ અને $\vec{AC} = (1, 1, 1)$ સમતલ $\pi_2$ પર આવેલા છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-3) - \hat{j}(1-3) + \hat{k}(1-2) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
તેથી,$\vec{n_2} = (-1, 2, -1)$.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(-1) + (1)(2) + (2)(-1) = 0 + 2 - 2 = 0$.
અહીં ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.

(C) સમતલો $\pi_1 = 0$ અને $\pi_2 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $\pi_1 + \lambda \pi_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલોની કિંમતો મૂકતા:
$(2x + 6y + 4z - 7) + \lambda(x - y - 2z - 2) = 0$
$(2 + \lambda)x + (6 - \lambda)y + (4 - 2\lambda)z - (7 + 2\lambda) = 0 \quad \dots(i)$
આ સમતલ,સમતલ $x + y + 2z - 5 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2 + \lambda, 6 - \lambda, 4 - 2\lambda)$ અને $\vec{n_2} = (1, 1, 2)$ છે.
$(2 + \lambda)(1) + (6 - \lambda)(1) + (4 - 2\lambda)(2) = 0$
$2 + \lambda + 6 - \lambda + 8 - 4\lambda = 0$
$16 - 4\lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
સમીકરણ $(i)$ માં $\lambda = 4$ મૂકતા:
$(2 + 4)x + (6 - 4)y + (4 - 8)z - (7 + 8) = 0$
$6x + 2y - 4z - 15 = 0$.

(C) સમતલ બિંદુ $A$ (સ્થાન સદિશ $\vec{a}$) માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{b}$ તથા $\vec{c}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ છે.
એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ છે.
સમતલનું અભિલંબ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = \vec{a} \cdot \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\hat{n}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\vec{r} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ હોવાથી,સમીકરણ $\vec{r} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ બને છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને બે સમતલો જેના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1}$ અને $\vec{n_2}$ છે તેને લંબ સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x+1 & y-6 & z-2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+1)(4-6) - (y-6)(2-6) + (z-2)(3-6) = 0$
$-2(x+1) + 4(y-6) - 3(z-2) = 0$
$-2x - 2 + 4y - 24 - 3z + 6 = 0$
$-2x + 4y - 3z - 20 = 0$ અથવા $2x - 4y + 3z + 20 = 0$
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ થી સમતલ $Ax+By+Cz+D=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(1, -1, 1)$ અને સમતલ $2x - 4y + 3z + 20 = 0$ માટે:
$d = \frac{|2(1) - 4(-1) + 3(1) + 20|}{\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2}}$
$d = \frac{|2 + 4 + 3 + 20|}{\sqrt{4 + 16 + 9}} = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}$

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે $x, y, z$ અંતઃખંડો છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(2, 3, 5)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6$
$\frac{b}{3} = 3 \implies b = 9$
$\frac{c}{3} = 5 \implies c = 15$
આ કિંમતોને સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{6} + \frac{y}{9} + \frac{z}{15} = 1$
સાદું રૂપ આપવા માટે,સમીકરણને $6, 9, 15$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $90$ વડે ગુણતા:
$15x + 10y + 6z = 90$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે. લંબચોરસ સમાંતરબાજુ ફલકના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0, 0)$,$A(a, 0, 0)$,$E(0, b, 0)$,$D(0, 0, c)$ વગેરે છે.
$d_1$ એ $XY$-સમતલની એવી બાજુનો વિકર્ણ છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી. આ બાજુના શિરોબિંદુઓ $(0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0), (a, b, 0)$ છે. ઉગમબિંદુમાંથી પસાર ન થતો વિકર્ણ એ $(a, 0, 0)$ અને $(0, b, 0)$ ને જોડતો રેખાખંડ છે,એટલે કે $AE$.
$d_1$ ની દિશાનો સદિશ $\vec{v_1} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$ છે.
$d_2$ એ સમતલ $\Pi_2$ (જે $b$ અંતરે $ZX$ સમતલને સમાંતર છે) નો વિકર્ણ છે જે $d_1$ સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે. સમતલ $\Pi_2$ માં બિંદુઓ $(0, b, 0), (a, b, 0), (0, b, c), (a, b, c)$ નો સમાવેશ થાય છે. $d_1$ (જે $A(a, 0, 0)$ થી શરૂ થાય છે) સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવતો વિકર્ણ $AD$ છે,જ્યાં $D$ એ $(0, 0, c)$ છે.
આપેલ આકૃતિ મુજબ,$d_1$ એ $AE$ છે અને $d_2$ એ $AD$ છે.
સદિશ $\vec{AE} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$.
સદિશ $\vec{AD} = (0-a)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (c-0)\hat{k} = -a\hat{i} + c\hat{k}$.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AE}| |\vec{AD}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AE} \cdot \vec{AD} = (-a)(-a) + (b)(0) + (0)(c) = a^2$.
$|\vec{AE}| = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2+b^2}$.
$|\vec{AD}| = \sqrt{(-a)^2 + c^2} = \sqrt{a^2+c^2}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}\right)$.

(C) રેખા $r = a + \lambda b$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $b = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલ $r \cdot n = d$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n = \hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ અને $d = 5$ છે.
પ્રથમ,રેખા અને સમતલ સમાંતર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે $b \cdot n$ ની ગણતરી કરો: $b \cdot n = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$.
$b \cdot n = 0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $D = \frac{|a \cdot n - d|}{|n|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a \cdot n = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$ મેળવો.
$|n| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ મેળવો.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $D = \frac{|-5 - 5|}{3\sqrt{3}} = \frac{|-10|}{3\sqrt{3}} = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ છે કે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = 2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ છે.
સમતલ $\pi$ સદિશો $\vec{a} = -\hat{i}-2 \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ છે.
રેખા સમતલ પર આવેલી છે અને $\vec{b}$ ને લંબ છે,તેથી તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{v} = \vec{n} \times \vec{b} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (0)(1) + (-2)(2) = -1 - 4 = -5$.
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
તેથી,$\vec{v} = -5(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - 6(-\hat{i}-2 \hat{k}) = -5\hat{i}-5\hat{j}-10\hat{k} + 6\hat{i} + 12\hat{k} = \hat{i}-5\hat{j}+2\hat{k}$.
નોંધ: દિશા સદિશને $-1$ વડે ગુણતા $-\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{p} + \lambda \vec{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k} + \lambda(-\hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k})$ છે.

(C) સમતલનું સમીકરણ $r = b + c + x(a - b) + y(c + a) = (x + y)a + (1 - x)b + (1 + y)c$ છે $\ldots(i)$.
રેખાનું સમીકરણ $r = a + t(b - c) = a + tb - tc$ છે $\ldots(ii)$.
છેદબિંદુ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી $a, b, c$ અસમતલીય હોવાથી આપણે તેમના સહગુણકોને સરખાવીએ:
$x + y = 1$ $\ldots(iii)$
$1 - x = t$ $\ldots(iv)$
$1 + y = -t$ $\ldots(v)$
સમીકરણ $(iv)$ અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા,$2 - x + y = 0$,એટલે કે $x - y = 2$ $\ldots(vi)$.
$(iii)$ અને $(vi)$ નો સરવાળો કરતા,$2x = 3$,તેથી $x = \frac{3}{2}$.
$x = \frac{3}{2}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા,$y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
$x = \frac{3}{2}$ ને $(iv)$ માં મૂકતા,$t = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
હવે,છેદબિંદુ $r = a + t(b - c) = a - \frac{1}{2}(b - c) = a - \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c$.
આને $la + mb + nc$ સાથે સરખાવતા,$l = 1, m = -\frac{1}{2}, n = \frac{1}{2}$.
અંતે,$3l + 4m + 2n = 3(1) + 4(-\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2}) = 3 - 2 + 1 = 2$.

(B) બિંદુઓ $A(0,-5,-1), B(1,-2,5), C(-3,5,0)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\Pi$ નું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-0 & y+5 & z+1 \\ 1-0 & -2+5 & 5+1 \\ -3-0 & 5+5 & 0+1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x & y+5 & z+1 \\ 1 & 3 & 6 \\ -3 & 10 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$x(3-60) - (y+5)(1+18) + (z+1)(10+9) = 0$
$-57x - 19(y+5) + 19(z+1) = 0$
$-19$ વડે ભાગતા:
$3x + y + 5 - z - 1 = 0 \Rightarrow 3x + y - z + 4 = 0$
સમતલનો લંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
એકમ લંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}}$ છે.
રેખા $L$ એ સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
રેખા $L$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 5^2 + (-6)^2}} = \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{62}}$ છે.
રેખા $L$ પર $\hat{n}$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $|\hat{n} \cdot \hat{u}|$ છે:
$|\hat{n} \cdot \hat{u}| = \left| \left( \frac{3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}} \right) \cdot \left( \frac{\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{62}} \right) \right|$
$= \left| \frac{3(1) + 1(5) + (-1)(-6)}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{62}} \right| = \left| \frac{3 + 5 + 6}{\sqrt{682}} \right| = \frac{14}{\sqrt{682}}$.

(B) ધારો કે $l, m, n$ એ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ છે.
બિંદુઓ $A(p, 7, -6), B(2, 5, -4), C(1, 4, -3)$ છે.
$A, B, C$ સમરેખ હોવાથી,સદિશ $\vec{AB}$ એ $\vec{BC}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{AB} = (2-p)\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = (1-2)\hat{i} + (4-5)\hat{j} + (-3+4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AB} = k\vec{BC}$ હોવાથી,$\frac{2-p}{-1} = \frac{-2}{-1} = \frac{2}{1} = 2$.
તેથી,$2-p = -2 \implies p = 4$.
બિંદુ $(-p, p, p+1) = (-4, 4, 5)$ છે.
રેખા $L$ એ $B(2, 5, -4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{v} = (-1, -1, 1)$ છે.
સમતલ રેખા $L$ અને બિંદુ $P(-4, 4, 5)$ ને સમાવે છે.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{PB} \times \vec{v}$ છે.
$\vec{PB} = (2 - (-4))\hat{i} + (5 - 4)\hat{j} + (-4 - 5)\hat{k} = 6\hat{i} + \hat{j} - 9\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 1 & -9 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -8\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-8(x-2) + 3(y-5) - 5(z+4) = 0$ છે.
$-8x + 3y - 5z = 19$.
$19$ વડે ભાગતા,$-\frac{8}{19}x + \frac{3}{19}y - \frac{5}{19}z = 1$.
અહીં $a = -\frac{8}{19}, b = \frac{3}{19}, c = -\frac{5}{19}$.
$p(a+b+c) = 4 \times (\frac{-8+3-5}{19}) = 4 \times (\frac{-10}{19}) = -\frac{40}{19}$.

(A) આપેલ રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-7}{2}$ છે.
આ રેખા બિંદુ $P(4, 2, 7)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તર $(1, 1, 2)$ છે.
રેખા સમતલ $ax+by+z=7$ માં આવેલી હોવાથી,બિંદુ $P(4, 2, 7)$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$a(4) + b(2) + 7 = 7$
$4a + 2b = 0$
$2a + b = 0 \quad \dots(i)$
વળી,રેખાનો દિક સદિશ $\vec{v} = (1, 1, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, 1)$ ને લંબ હશે.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(1)(a) + (1)(b) + (2)(1) = 0$
$a + b + 2 = 0$
$a + b = -2$.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $A(1, 2, 0)$ અને $B(2, 1, 1)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $x+y+z=3$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (\hat{i}+2\hat{j}) + \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1+\lambda, 2+\lambda, \lambda)$ છે. આ બિંદુ સમતલ $x+y+z=3$ પર હોવાથી,$(1+\lambda) + (2+\lambda) + \lambda = 3$,જે $3\lambda + 3 = 3$ આપે છે,તેથી $\lambda = 0$. આમ,$P = (1, 2, 0)$.
$B$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \mu(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2+\mu, 1+\mu, 1+\mu)$ છે. આ બિંદુ સમતલ $x+y+z=3$ પર હોવાથી,$(2+\mu) + (1+\mu) + (1+\mu) = 3$,જે $3\mu + 4 = 3$ આપે છે,તેથી $\mu = -\frac{1}{3}$.
આમ,$Q = (2-\frac{1}{3}, 1-\frac{1}{3}, 1-\frac{1}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(\frac{5}{3}-1)^2 + (\frac{2}{3}-2)^2 + (\frac{2}{3}-0)^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \frac{\sqrt{24}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો વધુમાં વધુ $7$ હોય તેવા પરિણામો:
સરવાળો $= 2: (1,1)$ ($1$ પરિણામ)
સરવાળો $= 3: (1,2), (2,1)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 4: (1,3), (2,2), (3,1)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ ($6$ પરિણામો)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1+2+3+4+5+6 = 21$.
તેથી,$x = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.
$y$ માટે,એક વાર પાસા ફેંકતા $7$ નો સરવાળો મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે. $7$ નો સરવાળો ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
જ્યારે $n$ વખત ફેંકવામાં આવે,ત્યારે ઓછામાં ઓછી એક વાર $7$ નો સરવાળો મેળવવાની સંભાવના $y = 1 - q^n = 1 - (\frac{5}{6})^n$ છે.
આપણે $y > x$ જોઈએ છે,તેથી $1 - (\frac{5}{6})^n > \frac{7}{12} \Rightarrow (\frac{5}{6})^n < \frac{5}{12}$.
$n=1$ માટે: $\frac{5}{6} \approx 0.833 > 0.416$
$n=2$ માટે: $\frac{25}{36} \approx 0.694 > 0.416$
$n=3$ માટે: $\frac{125}{216} \approx 0.578 > 0.416$
$n=4$ માટે: $\frac{625}{1296} \approx 0.482 > 0.416$
$n=5$ માટે: $\frac{3125}{7776} \approx 0.401 < 0.416$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.

(C) ધારો કે બોમ્બ લક્ષ્યને અથડાય તેની સંભાવના $p = \frac{3}{4}$ છે.
તેથી,બોમ્બ લક્ષ્યને ન અથડાય તેની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ છે.
ધારો કે $n$ બોમ્બ ફેંકવામાં આવે છે. જો ઓછામાં ઓછા $2$ હિટ મળે તો લક્ષ્યનો નાશ થાય છે.
ધારો કે $X$ એ હિટની સંખ્યા છે. આપણે $P(X \geq 2) \geq 0.99$ ઇચ્છીએ છીએ.
આ $1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] \geq 0.99$ ને સમકક્ષ છે.
$P(X = 0) + P(X = 1) \leq 0.01 = \frac{1}{100}$.
દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ કરતા: $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$.
${}^{n}C_{0} (\frac{3}{4})^{0} (\frac{1}{4})^{n} + {}^{n}C_{1} (\frac{3}{4})^{1} (\frac{1}{4})^{n-1} \leq \frac{1}{100}$.
$\frac{1 + 3n}{4^{n}} \leq \frac{1}{100} \Rightarrow 4^{n} \geq 300n + 100$.
$n = 5$ માટે: $4^{5} = 1024$ અને $300(5) + 100 = 1600$. ($1024 < 1600$,ખોટું).
$n = 6$ માટે: $4^{6} = 4096$ અને $300(6) + 100 = 1900$. ($4096 \geq 1900$,સાચું).
આમ,બોમ્બની ન્યૂનતમ સંખ્યા $6$ છે.

(B) ધારો કે $S = \{1, 2, \ldots, 100\}$. કુલ ઘટકોની સંખ્યા $100$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $2$ વડે વિભાજ્ય છે. $A$ ના ઘટકો $\{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ છે. $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 50$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $3$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય છે. આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ શોધવી છે.
$A \cap B$ એ $\{1, 2, \ldots, 100\}$ માં એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જે $2$ વડે વિભાજ્ય છે અને ($3$ વડે વિભાજ્ય છે અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય છે).
આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાઓ $6$ અથવા $10$ વડે વિભાજ્ય છે.
$100$ સુધી $6$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ: $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$.
$100$ સુધી $10$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ: $\lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 10$.
$6$ અને $10$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ (એટલે કે $30$ વડે વિભાજ્ય): $\lfloor \frac{100}{30} \rfloor = 3$.
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા,$n(A \cap B) = 16 + 10 - 3 = 23$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{23}{50}$ છે.

(C) પ્રથમ એક્કો આવે તે પહેલાં બરાબર $5$ પત્તા ખેંચાય તેની સંભાવનાનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ $5$ પત્તા એક્કા નથી અને $6$ઠ્ઠું પત્તું એક્કો છે.
$P = \frac{48}{52} \times \frac{47}{51} \times \frac{46}{50} \times \frac{45}{49} \times \frac{44}{48} \times \frac{4}{47}$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$P = \frac{4}{49} \times \left( \frac{46 \times 45 \times 44}{52 \times 51 \times 50} \right) = \frac{4}{49} \times \left( \frac{23 \times 3 \times 11}{13 \times 17 \times 5} \right)$
અહીં,અવિભાજ્ય અવયવો $p_1=23, p_2=11, p_3=3$ અને $p_4=13, p_5=17, p_6=5$ છે.
આમ,$\max \{p_i\} = 23$ અને $\min \{p_i\} = 3$.
તેથી,$\max \{p_i\} - \min \{p_i\} = 23 - 3 = 20$.

(B) આપેલ છે કે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને $K$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે,$X$ છાપ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને $q = \frac{1}{2}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
આપેલ છે $P(X=4) = P(X=6)$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=r) = {}^K C_r p^r q^{K-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^K C_4 (\frac{1}{2})^K = {}^K C_6 (\frac{1}{2})^K$
${}^K C_4 = {}^K C_6$
કારણ કે ${}^n C_x = {}^n C_y$ નો અર્થ $n = x + y$ થાય છે (જ્યારે $x \neq y$),તેથી $K = 4 + 6 = 10$ મળે છે.
$p = q = \frac{1}{2}$ સાથેના દ્વિપદી વિતરણ માટે,સંભાવના $P(X=r)$ મધ્યક કિંમત પર મહત્તમ હોય છે.
$n = 10$ માટે,મહત્તમ સંભાવના $r = \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5$ પર મળે છે.

(B) અહીં $n = 2000$ અને $p = 0.001$ છે.
પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરતા,પ્રાચલ $\lambda = np = 2000 \times 0.001 = 2$.
$X$ વ્યક્તિઓને પ્રતિક્રિયા થાય તેની સંભાવના $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $P(X > 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ શોધવાનું છે.
વ્યક્તિગત સંભાવનાઓની ગણતરી કરતા:
$P(X=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2}$
$P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2}$
$P(X=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = 2e^{-2}$
તેમનો સરવાળો: $P(X \le 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}$.
તેથી,$P(X > 2) = 1 - 5e^{-2} = 1 - \frac{5}{e^2}$.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ $P_1, P_2, P_3$ સંભાવનાઓ ધરાવતી ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
કોઈપણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2 \cap \bar{E}_3) = (1 - P_1)(1 - P_2)(1 - P_3)$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ પણ ન બને}) = 1 - [(1 - P_1)(1 - P_2)(1 - P_3)]$ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A, B, C$ માટે,તેમના યોગની સંભાવના સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત દ્વારા મળે છે: $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(B \cap C)] + P(A \cap B \cap C)$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ વગેરે. તેથી,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)$. આમ,$(R)$ સાચું છે.
કારણ કે $(R)$ માં આપેલ સૂત્રનો ઉપયોગ $(A)$ માં પરિણામ મેળવવા માટે થાય છે,તેથી $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધારો કે $E$ એ પાસા પર $3$ કરતા મોટી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે. પરિણામો $\{4, 5, 6\}$ છે.
$P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $F$ એ $5$ મેળવવાની ઘટના છે. $P(F) = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $S$ એ $3$ કે તેથી નાની સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે. $P(S) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
છેલ્લી ફેંક $5$ હોય તેવી શક્યતાઓ:
$1$. પ્રથમ ફેંક $5$ હોય: સંભાવના $= \frac{1}{6}$.
$2$. પ્રથમ ફેંક $\leq 3$ અને બીજી ફેંક $5$ હોય: સંભાવના $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$.
$3$. પ્રથમ બે ફેંક $\leq 3$ અને ત્રીજી ફેંક $5$ હોય: સંભાવના $= (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{6}$.
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6}(\frac{1}{2}) + \frac{1}{6}(\frac{1}{2})^2 + \dots$
સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/6}{1-1/2} = \frac{1}{3}$.

(C) ગણ $S = \{1, 2, 3, \ldots, 13\}$ છે. જેમાં $7$ એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$ અને $6$ બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી છે. આ ત્યારે જ શક્ય છે જો બંને સંખ્યાઓ એકી હોય અથવા બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય.
બે એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો = $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
બે બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો = $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.
સરવાળો બેકી હોય તેવા કુલ પરિણામો = $21 + 15 = 36$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બંને સંખ્યાઓ એકી છે. આપણે $P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
અહીં $A \cap E$ એ ઘટના છે કે બંને સંખ્યાઓ એકી છે,તેથી $n(A \cap E) = 21$.
તેથી,$P(A|E) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.

(C) આપણી પાસે છે,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2 | E_1)$.
$\therefore P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$.
હવે,$P(E_1 | E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1/12}{P(E_2)}$.
$\Rightarrow P(E_2) = \frac{1}{12} \times 2 = \frac{1}{6}$.
$\therefore P(\bar{E}_2) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
હવે,$P(E_1 | \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{P(\bar{E}_2)}$.
$= \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{3-1}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{2}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{1}{5}$.

(B) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{4}{9}$ અને $P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{7}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
તેથી,$P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \bar{B})$.
કિંમતો મૂકતા,$P(A \cap B) = \frac{4}{9} - \frac{3}{7} = \frac{28 - 27}{63} = \frac{1}{63}$.
હવે,શરતી સંભાવના $P\left(\frac{B}{A}\right)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કિંમતો મૂકતા,$P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{\frac{1}{63}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{63} \times \frac{9}{4} = \frac{1}{7 \times 4} = \frac{1}{28}$.

(C) આપેલ છે: $P(X)=\frac{1}{3}$,$P(X|Y)=\frac{1}{2}$,અને $P(Y|X)=\frac{2}{5}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$P(Y|X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)}$.
તેથી,$P(X \cap Y) = P(Y|X) \times P(X) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.
હવે,$P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{2} = \frac{2/15}{P(Y)}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $P(Y) = 2 \times \frac{2}{15} = \frac{4}{15}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ રોગથી પીડાય છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ રોગથી પીડાતી નથી. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે નિદાન કસોટી હકારાત્મક છે.
આપેલ છે:
$P(E_1) = 0.5 \% = 0.005$
$P(E_2) = 99.5 \% = 0.995$
$P(A|E_1) = 0.95$
$P(A|E_2) = 0.10$
આપણે $P(E_1|A)$ શોધવાની જરૂર છે. બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \times P(A|E_1)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.005 \times 0.95}{(0.005 \times 0.95) + (0.995 \times 0.10)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.00475}{0.00475 + 0.0995}$
$P(E_1|A) = \frac{0.00475}{0.10425} = \frac{475}{10425} \approx 0.0455$

(A) આપેલ છે: $P(E_1) = \frac{1}{2}$ અને $P(E_1 \cup E_2) = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $E_1$ અને $E_2$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$.
ધારો કે $P(E_2) = x$. તો $P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{2}x$.
$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + x - \frac{x}{2}$
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$
$\frac{x}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$
$x = \frac{1}{3}$. આમ,$P(E_2) = \frac{1}{3}$. $(A \rightarrow III)$
હવે,$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
$P(E_1 | E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{2}$. $(B \rightarrow IV)$
$P(\bar{E}_2 | E_1) = 1 - P(E_2 | E_1) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. $(C \rightarrow I)$
$P(\bar{E}_1 \cup \bar{E}_2) = P(\overline{E_1 \cap E_2}) = 1 - P(E_1 \cap E_2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. $(D \rightarrow II)$
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(C) આપેલ છે કે $E_1, E_2, \ldots, E_n$ એ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(E_r) = \frac{1}{1+r}$ છે.
પ્રથમ,આપણે દરેક $r$ માટે પૂરક ઘટના $\bar{E}_r$ ની સંભાવના શોધીએ:
$P(\bar{E}_r) = 1 - P(E_r) = 1 - \frac{1}{1+r} = \frac{r}{1+r}$.
ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના $1 - P(\text{એક પણ ઘટના ન બને})$ દ્વારા મળે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના તેમની પૂરક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે:
$P(\text{એક પણ નહીં}) = P(\bar{E}_1) \times P(\bar{E}_2) \times \cdots \times P(\bar{E}_n)$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(\text{એક પણ નહીં}) = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) \times \cdots \times \left(\frac{n}{n+1}\right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ ગુણાકાર છે જ્યાં દરેક પદનો અંશ અગાઉના પદના છેદ સાથે ઉડી જાય છે:
$P(\text{એક પણ નહીં}) = \frac{1}{n+1}$.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના:
$1 - P(\text{એક પણ નહીં}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

(D) ધારો કે $E_1, E_2, E_3, E_4$ એ અનુક્રમે બોક્સ $A, B, C, D$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. ધારો કે $F$ એ પસંદ કરેલ ફ્યુઝ ખામીયુક્ત હોવાની ઘટના છે.
$P(E_1) = \frac{5000}{11000} = \frac{5}{11}, P(E_2) = \frac{3000}{11000} = \frac{3}{11}, P(E_3) = \frac{2000}{11000} = \frac{2}{11}, P(E_4) = \frac{1000}{11000} = \frac{1}{11}$.
ખામીયુક્ત ફ્યુઝ પસંદ કરવાની શરતી સંભાવનાઓ છે:
$P(F|E_1) = \frac{3}{100}, P(F|E_2) = \frac{2}{100}, P(F|E_3) = \frac{1}{100}, P(F|E_4) = \frac{0.5}{100} = \frac{1}{200}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત ફ્યુઝ બોક્સ $D$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના $P(E_4|F) = \frac{P(E_4)P(F|E_4)}{\sum_{i=1}^{4} P(E_i)P(F|E_i)}$ છે.
$P(E_4|F) = \frac{\frac{1}{11} \times \frac{1}{200}}{\frac{5}{11} \times \frac{3}{100} + \frac{3}{11} \times \frac{2}{100} + \frac{2}{11} \times \frac{1}{100} + \frac{1}{11} \times \frac{1}{200}}$.
$P(E_4|F) = \frac{\frac{1}{2200}}{\frac{15}{1100} + \frac{6}{1100} + \frac{2}{1100} + \frac{1}{2200}} = \frac{\frac{1}{2200}}{\frac{30+12+4+1}{2200}} = \frac{1}{47}$.

(C) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવ્યા વગર જવાબ આપે છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવીને જવાબ આપે છે. આપેલ છે કે $P(E_2) = 3/7$,તેથી $P(E_1) = 1 - 3/7 = 4/7$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા $3$ પ્રશ્નોના સાચા જવાબ આપ્યા છે.
$E_1$ માટે (અનુમાન લગાવ્યા વગર),સફળતાની સંભાવના $p = 2/3$ છે. દ્વિપદી વિતરણ $B(4, 2/3)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A|E_1) = \binom{4}{3} (2/3)^3 (1/3)^1 + \binom{4}{4} (2/3)^4 = 4 \cdot (8/27) \cdot (1/3) + 16/81 = 32/81 + 16/81 = 48/81 = 16/27$.
$E_2$ માટે (અનુમાન લગાવીને),સફળતાની સંભાવના $p = 1/2$ છે. દ્વિપદી વિતરણ $B(4, 1/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A|E_2) = \binom{4}{3} (1/2)^4 + \binom{4}{4} (1/2)^4 = 5/16$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણે $P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$ શોધવાનું છે.
$P(E_1|A) = \frac{(4/7) \cdot (16/27)}{(4/7) \cdot (16/27) + (3/7) \cdot (5/16)} = \frac{64/189}{64/189 + 15/112} = \frac{1024}{1429}$.

(A) સરેરાશ આગમન દર,$\lambda$,$240 \text{ વાહનો/કલાક} = \frac{240}{3600} \text{ વાહનો/સેકન્ડ} = \frac{1}{15} \text{ વાહનો/સેકન્ડ}$ છે.
$t = 30 \text{ સેકન્ડ}$ ના સમયગાળા માટે,અપેક્ષિત આગમન સંખ્યા $\mu = \lambda t = \frac{1}{15} \times 30 = 2$ છે.
પોઈસન વિતરણ મુજબ,$n$ આગમનની સંભાવના $P(n) = \frac{\mu^n e^{-\mu}}{n!}$ છે.
આપણે બે કરતા વધુ વાહનો આવે તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(n > 2) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]$.
વ્યક્તિગત સંભાવનાઓની ગણતરી:
$P(0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2}$
$P(1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2}$
$P(2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $P(n \leq 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}$.
તેથી,$P(n > 2) = 1 - 5e^{-2} = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2 - 5}{e^2}$.

(A) આપેલ સંભાવના વિધેય $P(X=n) = \frac{k(n+1)}{3^n}$ છે,જ્યાં $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sum_{n=0}^{\infty} P(X=n) = 1$.
$k \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{3^n} = k \left( \frac{1}{3^0} + \frac{2}{3^1} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots \right) = 1$.
આ એક અંકગણિત-ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં $a=1$,$d=1$,અને $r=\frac{1}{3}$ છે.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2} = \frac{1}{1-1/3} + \frac{1 \cdot (1/3)}{(1-1/3)^2} = \frac{3}{2} + \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.
તેથી,$k \cdot \frac{9}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{9}$.
આપણે $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = k \cdot \frac{0+1}{3^0} = k \cdot 1 = \frac{4}{9}$.
$P(X=1) = k \cdot \frac{1+1}{3^1} = k \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$.
$P(X < 2) = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12+8}{27} = \frac{20}{27}$.

(A) ધારો કે $A_i$ $(i=1, 2, 3, 4)$ એ ઘટના છે કે પાત્રમાં $i+1$ સફેદ દડા છે. ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે બે સફેદ દડા કાઢવામાં આવે છે.
આપણે $P(A_4 | B)$ શોધવાનું છે.
ચાર ઘટનાઓ $A_1, A_2, A_3, A_4$ સમાન રીતે સંભવિત હોવાથી,$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = P(A_4) = \frac{1}{4}$ છે.
$P(B | A_i)$ એ પાત્રમાં $i+1$ સફેદ દડા હોય ત્યારે બે સફેદ દડા નીકળવાની સંભાવના છે.
$P(B | A_1) = \frac{^2C_2}{^5C_2} = \frac{1}{10}$.
$P(B | A_2) = \frac{^3C_2}{^5C_2} = \frac{3}{10}$.
$P(B | A_3) = \frac{^4C_2}{^5C_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$P(B | A_4) = \frac{^5C_2}{^5C_2} = 1$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(A_4 | B) = \frac{P(A_4) P(B | A_4)}{\sum_{i=1}^4 P(A_i) P(B | A_i)} = \frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{1}{4} \left( \frac{1}{10} + \frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{10}{10} \right)} = \frac{1}{\frac{20}{10}} = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે થેલી $B_1, B_2, B_3$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
થેલીઓ પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(E_1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (પરિણામો $2, 3, 5$ માટે)
$P(E_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (પરિણામો $4, 6$ માટે)
$P(E_3) = \frac{1}{6}$ (પરિણામ $1$ માટે)
ધારો કે $G$ એ લીલો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે. શરતી સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(G|E_1) = \frac{3}{2+3+2} = \frac{3}{7}$
$P(G|E_2) = \frac{2}{3+2+2} = \frac{2}{7}$
$P(G|E_3) = \frac{2}{2+2+3} = \frac{2}{7}$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(G) = P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)$
$P(G) = \left(\frac{3}{6} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{2}{6} \times \frac{2}{7}\right) + \left(\frac{1}{6} \times \frac{2}{7}\right)$
$P(G) = \frac{9}{42} + \frac{4}{42} + \frac{2}{42} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14}$

(B) જ્યારે $2n$ નિષ્પક્ષ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^{2n}$ છે.
$2n$ ઉછાળમાં $r$ છાપ મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P(r) = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{r}$.
જ્યારે છાપની સંખ્યા $n$ હોય ત્યારે છાપની સંખ્યા અને કાંટાની સંખ્યા સમાન થાય છે.
બરાબર $n$ છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(n) = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n} = \frac{1}{2^{2n}} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ છે.
છાપની સંખ્યા અને કાંટાની સંખ્યા સમાન ન હોય તેની સંભાવના $1 - P(n)$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{2^{2n}}$ છે.

(C) ધારો કે $n=4$ ના નમૂનામાં ખામીયુક્ત બોલ્ટની સંખ્યા $X$ છે. બોલ્ટ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = 20\% = 0.2 = \frac{1}{5}$ છે.
તેથી,બોલ્ટ ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
પસંદગી યાદચ્છિક હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n=4$ અને $p=\frac{1}{5}$.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $2$ કરતા ઓછા બોલ્ટ ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$.
$P(X=0) = {}^4C_0 \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{256}{625} = \frac{256}{625}$.
$P(X=1) = {}^4C_1 \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{4}{5}\right)^3 = 4 \times \frac{1}{5} \times \frac{64}{125} = \frac{256}{625}$.
તેથી,$P(X < 2) = \frac{256}{625} + \frac{256}{625} = \frac{512}{625} = 0.8192$.

(C) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 3$ છે.
પાસા પર $1$ અથવા $6$ મળે તેને સફળતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
એક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,વિચરણનું સૂત્ર $Var(X) = npq$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$Var(X) = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

(D) ધારો કે છાપ મેળવવાની સંભાવના $p$ છે.
તેથી છાપ ન મેળવવાની સંભાવના $1-p$ છે.
વ્યક્તિ એકી સંખ્યાના ઉછાળમાં રમત જીતે છે જો પ્રથમ છાપ $1, 3, 5, \dots$ માં ઉછાળે મળે.
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી બનાવે છે: $p + (1-p)^2 p + (1-p)^4 p + \dots = 3/4$.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = p$ અને $r = (1-p)^2$:
$\frac{p}{1-(1-p)^2} = \frac{3}{4}$
$\frac{p}{1-(1-2p+p^2)} = \frac{3}{4}$
$\frac{p}{2p-p^2} = \frac{3}{4}$
$\frac{1}{2-p} = \frac{3}{4}$
$4 = 6 - 3p \implies 3p = 2 \implies p = 2/3$.
જો $5$ સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે,તો બધા $5$ સિક્કા પર છાપ આવે તેની સંભાવના $p^5 = (2/3)^5 = 32/243$ છે.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\Sigma P(X = x) = 0.15 + 0.23 + k + 0.10 + 0.20 + 0.08 + 0.07 + 0.05 = 1$
$0.88 + k = 1$
$k = 0.12$
ઘટના $E$ એ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ માં રહેલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી $E = \{2, 3, 5, 7\}$.
ઘટના $F$ માં $4$ થી નાની કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે,તેથી $F = \{1, 2, 3\}$.
તેથી $E \cup F = \{1, 2, 3, 5, 7\}$.
સંભાવના $P(E \cup F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7)$
$P(E \cup F) = 0.15 + 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.77$.

(B) પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $p(x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ છે,જ્યાં $x = 0, 1, 2, \dots$.
$x$ ની જે કિંમત માટે $p(x)$ મહત્તમ હોય તે શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{p(x)}{p(x-1)}$ તપાસીએ.
$\frac{p(x)}{p(x-1)} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x / x!}{e^{-\lambda} \lambda^{x-1} / (x-1)!} = \frac{\lambda}{x}$.
$p(x)$ મહત્તમ થવા માટે,આપણે $\frac{p(x)}{p(x-1)} \geq 1$ અને $\frac{p(x+1)}{p(x)} \leq 1$ ની જરૂર છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{\lambda}{x} \geq 1 \implies x \leq \lambda$ અને $\frac{\lambda}{x+1} \leq 1 \implies x+1 \geq \lambda$.
આમ,મોડ $x$ એ $\lambda - 1 \leq x \leq \lambda$ નું પાલન કરે છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 3.725$,તેથી $3.725 - 1 \leq x \leq 3.725$,જેનો અર્થ છે કે $2.725 \leq x \leq 3.725$.
કારણ કે $x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $x$ ની કિંમત જે $p(x)$ ને મહત્તમ કરે છે તે $3$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $\sum P(X=x_i) = 1$.
$0.1 + 0.15 + 0.3 + 0.25 + k + k = 1$
$0.8 + 2k = 1 \implies 2k = 0.2 \implies k = 0.1$.
હવે,આપણે મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ અને $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ ની ગણતરી કરીએ:

$x_i$	$P(x_i)$	$x_i P(x_i)$	$x_i^2 P(x_i)$
$1$	$0.1$	$0.1$	$0.1$
$2$	$0.15$	$0.3$	$0.6$
$3$	$0.3$	$0.9$	$2.7$
$4$	$0.25$	$1.0$	$4.0$
$5$	$0.1$	$0.5$	$2.5$
$6$	$0.1$	$0.6$	$3.6$
કુલ	$1.0$	$3.4$	$13.5$

વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Var(X) = 13.5 - (3.4)^2 = 13.5 - 11.56 = 1.94$.

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,વિચરણ એ પ્રાચલ $\lambda$ જેટલું હોય છે. આપેલ છે કે વિચરણ $3$ છે,તેથી $\lambda = 3$.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોઈસન વિતરણ માટે,જો $\lambda$ પૂર્ણાંક ન હોય તો $P(X=r)$ એ $r = \lfloor \lambda \rfloor$ પર મહત્તમ હોય છે,અને જો $\lambda$ પૂર્ણાંક હોય તો તે $r = \lambda$ અને $r = \lambda - 1$ પર બે મહત્તમ મૂલ્યો લે છે.
અહીં,$\lambda = 3$ છે,જે એક પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$P(X=r)$ એ $r = 3$ અને $r = 3 - 1 = 2$ પર મહત્તમ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$r=2$ અને $r=3$ બંને માન્ય છે,પરંતુ વિકલ્પોમાં $r=2$ આપેલ હોવાથી તે સાચું મૂલ્ય છે.

(A) આપેલ છે કે પ્રયોગ $n = 5$ વખત કરવામાં આવે છે. ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે. દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $np$ છે અને વિચરણ $npq$ છે.
આપેલ છે કે $np - npq = \frac{5}{9}$.
$n = 5$ મૂકતા: $5p - 5pq = \frac{5}{9} \implies p - pq = \frac{1}{9}$.
$1 - q = p$ હોવાથી,આપણને $p(1 - q) = p^2 = \frac{1}{9}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{1}{3}$.
તેથી,$q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
વધુમાં વધુ બે સફળતાઓ મેળવવાની સંભાવના $P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ છે.
સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^5 = 1 \times 1 \times \frac{32}{243} = \frac{32}{243}$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^4 = 5 \times \frac{1}{3} \times \frac{16}{81} = \frac{80}{243}$.
$P(X = 2) = {}^5C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \leq 2) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} + \frac{80}{243} = \frac{192}{243} = \frac{64}{81}$.

(B) પ્રતિ પાના ભૂલોની સંખ્યા પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે,જ્યાં પેરામીટર $\lambda = \frac{60}{600} = 0.1$ છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} = \frac{e^{-0.1} (0.1)^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે જેમાં પાના પર વધુમાં વધુ બે ભૂલો હોય,એટલે કે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.
$P(X=0) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^0}{0!} = e^{-0.1}$.
$P(X=1) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^1}{1!} = 0.1 e^{-0.1}$.
$P(X=2) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^2}{2!} = \frac{0.01}{2} e^{-0.1} = 0.005 e^{-0.1}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \le 2) = e^{-0.1} (1 + 0.1 + 0.005) = e^{-0.1} (1.105) = e^{-0.1} \left(\frac{1105}{1000}\right) = e^{-0.1} \left(\frac{221}{200}\right) = \frac{1}{e^{0.1}} \left(\frac{221}{200}\right)$.