MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) सर्किट में समानांतर रूप से जुड़ी दो मुख्य शाखाएँ हैं।
$1$. ऊपरी शाखा में स्विच $S_1$ श्रेणी में $S_2$ और $S_3$ के समानांतर संयोजन के साथ है। इस शाखा के लिए प्रतीकात्मक रूप $p \wedge (q \vee r)$ है।
$2$. निचली शाखा में स्विच $S_3'$,$S_2'$,और $S_1$ श्रेणी में हैं। चूंकि $S_3'$,$S_3$ का पूरक है और $S_2'$,$S_2$ का पूरक है,इसलिए इस शाखा के लिए प्रतीकात्मक रूप $(\neg r \wedge \neg q \wedge p)$ है।
$3$. चूंकि दोनों शाखाएँ समानांतर हैं,इसलिए कुल प्रतीकात्मक रूप दोनों शाखाओं का वियोजन (disjunction) है: $p \wedge (q \vee r) \vee (\neg r \wedge \neg q \wedge p)$.

(A) तर्कशास्त्र में,एक सशर्त कथन $P \implies Q$ केवल तब असत्य होता है जब $P$ सत्य हो और $Q$ असत्य हो। अन्यथा,यह सत्य होता है।
$(A)$ $P: 3+2=7$ (असत्य),$Q: 4+3=8$ (असत्य)। चूँकि $P$ असत्य है,इसलिए $P \implies Q$ सत्य है।
$(B)$ $P: 5+2=7$ (सत्य),$Q: \text{पृथ्वी चपटी है}$ (असत्य)। चूँकि $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है,इसलिए $P \implies Q$ असत्य है।
$(C)$ $P: (A) \text{ सत्य है और } (B) \text{ सत्य है}$,$Q: 5+6=11$ (सत्य)। चूँकि $(A)$ सत्य है और $(B)$ असत्य है,इसलिए शर्त $P$ असत्य है। असत्य पूर्ववृत्त वाला सशर्त कथन सत्य होता है। अतः,$(C)$ सत्य है।
इसलिए,$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं,जबकि $(B)$ असत्य है।

(D) दिया गया सर्किट स्विच $S_3$ के साथ श्रृंखला में जुड़े दो मुख्य भागों से बना है। मान लें कि पहला भाग $C_1$ है और दूसरा भाग $C_2$ है। सर्किट $C_1 \wedge r \wedge C_2$ है।
$C_1$ के लिए: इसमें तीन समानांतर शाखाएं हैं: $(p' \wedge q')$,$p$,और $q$। इसलिए,$C_1 = (p' \wedge q') \vee p \vee q$।
अवशोषण के नियम और वितरण नियमों का उपयोग करते हुए:
$C_1 = (p' \wedge q') \vee (p \vee q) = (p' \vee (p \vee q)) \wedge (q' \vee (p \vee q)) = (T \vee q) \wedge (p \vee (q' \vee q)) = T \wedge (p \vee T) = T \wedge T = T$।
$C_2$ के लिए: इसमें दो समानांतर शाखाएं हैं: $(p \wedge q)$ और $(p' \wedge q)$। इसलिए,$C_2 = (p \wedge q) \vee (p' \wedge q)$।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$C_2 = (p \vee p') \wedge q = T \wedge q = q$।
इस प्रकार,कुल सर्किट अभिव्यक्ति $T \wedge r \wedge q = q \wedge r$ है।
सरलीकृत सर्किट स्विच $S_2$ और $S_3$ का एक श्रृंखला कनेक्शन है,जो तार्किक कथन $(q \wedge r)$ के अनुरूप है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) निहितार्थ $A \rightarrow B$ असत्य होता है यदि और केवल यदि $A$ सत्य है और $B$ असत्य है।
यहाँ,$A = [(p \vee q) \wedge (q \rightarrow r) \wedge (\sim r)]$ और $B = (p \wedge q)$ है।
$B = (p \wedge q)$ के असत्य होने के लिए,$p$ या $q$ में से कम से कम एक का असत्य होना आवश्यक है।
$A$ के सत्य होने के लिए,सभी घटक $(p \vee q)$,$(q \rightarrow r)$,और $(\sim r)$ सत्य होने चाहिए।
$(\sim r) = T$ से,हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
$r = F$ को $(q \rightarrow r) = T$ में रखने पर,हमें $(q \rightarrow F) = T$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $q = F$ है।
अब,$q = F$ को $(p \vee q) = T$ में रखने पर,हमें $(p \vee F) = T$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $p = T$ है।
$B = (p \wedge q) = (T \wedge F) = F$ की जाँच करने पर,यह शर्त को पूरा करता है।
अतः,सत्यता मान $p = T, q = F, r = F$ हैं।

(D) $1$. प्रत्येक कथन का सत्यता मान ज्ञात करें:
- $p$: आव्यूह $A$ और $B$ के लिए,$(A-B)(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2$. चूँकि $AB \neq BA$,इसलिए $A^2 - B^2 \neq (A-B)(A+B)$. अतः,$p$ असत्य $(F)$ है।
- $q$: $5 \leqslant 5$ सत्य है। अतः,$q$ सत्य $(T)$ है।
- $r$: हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} { }^n C_k = 2^n$. यहाँ,${ }^8 C_0 + { }^8 C_1 + \ldots + { }^8 C_8 = 2^8 = 256$. चूँकि ${ }^8 C_0 = 1$,इसलिए योग ${ }^8 C_1 + \ldots + { }^8 C_8 = 256 - 1 = 255$. अतः,$r$ असत्य $(F)$ है।
- $s$: ${ }^n C_r$ का अधिकतम मान ${ }^n C_{n/2}$ होता है। $n=8$ के लिए,यह ${ }^8 C_4 = 70$ है। अतः,$s$ सत्य $(T)$ है।
$2$. सत्यता मान: $p=F, q=T, r=F, s=T$.
$3$. विकल्पों की जाँच करें:
- $D: (T \vee \sim F) \leftrightarrow (\sim F \wedge \sim F) = (T \vee T) \leftrightarrow (T \wedge T) = T \leftrightarrow T = T$.
अतः,विकल्प $D$ सत्य है।

(D) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
हम विकल्प $D$ का मूल्यांकन करते हैं: $(\sim q \wedge p) \vee (p \vee \sim p)$।
हम जानते हैं कि $(p \vee \sim p)$ एक पुनरुक्ति है (हमेशा सत्य,जिसे $T$ के रूप में दर्शाया जाता है)।
इस प्रकार,व्यंजक $(\sim q \wedge p) \vee T$ बन जाता है।
चूंकि कोई भी कथन $X \vee T$ हमेशा $T$ होता है,इसलिए पूरा व्यंजक एक पुनरुक्ति है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है। पहली शाखा में स्विच $S_1$ और $S_2$ श्रेणी में हैं,जिसे तार्किक व्यंजक $(S_1 \land S_2)$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
दूसरी शाखा में $S_1$ और $S_3$ श्रेणी में हैं,जिसे तार्किक व्यंजक $(S_1 \land S_3)$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए कुल परिपथ को व्यंजक $(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करके,हम $S_1$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3) = S_1 \land (S_2 \lor S_3)$.
यह व्यंजक स्विच $S_1$ को $S_2$ और $S_3$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी में दर्शाता है।

(A) चरण $1$: कथन $p$ का मूल्यांकन करें।
$2$ एक सम अभाज्य संख्या है। अतः,$p$ सत्य $(T)$ है।
चरण $2$: कथन $q$ का मूल्यांकन करें।
$z_1 = 2 - i$ और $z_2 = -2 + i$ दिया गया है,तो $\bar{z}_2 = -2 - i$.
$z_1 \bar{z}_2 = (2 - i)(-2 - i) = -4 - 2i + 2i + i^2 = -4 - 1 = -5$.
तब $\frac{1}{z_1 \bar{z}_2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5} + 0i$.
काल्पनिक भाग $\operatorname{Im}\left[\frac{1}{z_1 \bar{z}_2}\right] = 0$.
चूंकि $0 \neq -\frac{1}{5}$,इसलिए कथन $q$ असत्य $(F)$ है।
चरण $3$: कथन $r$ का मूल्यांकन करें।
$\tan(-945^{\circ}) = -\tan(945^{\circ}) = -\tan(2 \times 360^{\circ} + 225^{\circ}) = -\tan(225^{\circ}) = -\tan(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\tan(45^{\circ}) = -1$.
अतः,$r$ सत्य $(T)$ है।
चरण $4$: विकल्पों की जाँच करें।
$p = T, q = F, r = T$.
$(A)$ $(T$ $\rightarrow F) \leftrightarrow (F \wedge T)$ $\Rightarrow F \leftrightarrow F = T$.
$(B)$ $F \leftrightarrow T = F$.
$(C)$ $T \rightarrow F = F$.
$(D)$ $(T$ $\rightarrow T) \leftrightarrow F$ $\Rightarrow T \leftrightarrow F = F$.
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) परिपथ में स्विच $s_1$,$s_1'$ और $s_2'$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,जो फिर $s_2$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
प्रतीकात्मक रूप से,इसे $p \wedge (\sim p \vee \sim q) \wedge q$ के रूप में दर्शाया गया है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $p \wedge ((\sim p \vee \sim q) \wedge q) = p \wedge ((\sim p \wedge q) \vee (\sim q \wedge q))$।
चूंकि $(\sim q \wedge q)$ एक व्याघात (contradiction,$F$) है,इसलिए हमें $p \wedge ((\sim p \wedge q) \vee F) = p \wedge (\sim p \wedge q)$ प्राप्त होता है।
साहचर्य नियम द्वारा: $(p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$।
चूंकि प्रतीकात्मक रूप एक व्याघात $(F)$ में सरल हो जाता है,इसलिए लैंप हमेशा बंद रहता है।

(C) माना कि दिया गया कथन $S = (p \wedge \sim q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ है।
याद रखें कि निहितार्थ $A \rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ होता है।
यहाँ,$A = (p \wedge \sim q)$ और $B = (p \vee \sim q)$ है।
अतः,$\sim S = (p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \vee \sim q)$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee \sim q) = (\sim p \wedge \sim (\sim q)) = (\sim p \wedge q)$।
इस प्रकार,$\sim S = (p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$।
साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों द्वारा,$\sim S = (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$।
चूंकि $(p \wedge \sim p) = F$ (एक व्याघात) और $(\sim q \wedge q) = F$,इसलिए $\sim S = F \wedge F = F$।
जो कथन हमेशा गलत होता है उसे व्याघात कहा जाता है।

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$b(y/x)^2 + 2h(y/x) + a = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = y/x$,अतः $bm^2 + 2hm + a = 0$।
मूल $m_1$ और $m_2$ हैं,इसलिए $m_1 + m_2 = -2h/b$ और $m_1m_2 = a/b$।
$m_1 = 4m_2$ लेने पर,$m_1 + m_2 = 5m_2 = -2h/b$ और $m_1m_2 = 4m_2^2 = a/b$।
ये मान $16h^2 = 25ab$ शर्त को संतुष्ट करते हैं,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) दूसरा समीकरण $6x^2 - xy - 5y^2 = 0$ है। इसके गुणनखंड करने पर,हमें $(6x + 5y)(x - y) = 0$ प्राप्त होता है। अतः रेखाएँ $y = -\frac{6}{5}x$ और $y = x$ हैं।
यदि $y = x$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो यह $3x^2 - 5x(x) + p(x)^2 = 0$ को संतुष्ट करेगी,जिससे $3x^2 - 5x^2 + px^2 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $p = 2$।
यदि $y = -\frac{6}{5}x$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो यह $3x^2 - 5x(-\frac{6}{5}x) + p(-\frac{6}{5}x)^2 = 0$ को संतुष्ट करेगी।
इसका सरलीकरण $3x^2 + 6x^2 + p(\frac{36}{25})x^2 = 0$ है,जो $9x^2 + \frac{36p}{25}x^2 = 0$ देता है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $9 + \frac{36p}{25} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{36p}{25} = -9$,जिसका अर्थ है $p = -9 \times \frac{25}{36} = -\frac{25}{4}$।
अतः,$p = 2$ या $p = -\frac{25}{4}$।

(A) निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण के समद्विभाजक $y = x$ और $y = -x$ हैं,जिन्हें $x - y = 0$ और $x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि अभीष्ट रेखाएं इन समद्विभाजकों के समानांतर हैं और $(-2, 3)$ से गुजरती हैं,इसलिए उनके समीकरण हैं:
$1) (x - y) - (-2 - 3) = 0 \implies x - y + 5 = 0$
$2) (x + y) - (-2 + 3) = 0 \implies x + y - 1 = 0$
संयुक्त समीकरण $(x - y + 5)(x + y - 1) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - y^2 + 4x + 6y - 5 = 0$।

(C) समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(2, -1), B(0, 2), C(2, 3)$ और $D(4, 0)$ हैं।
विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
विकर्ण $AC$ की ढाल $(m_1)$ = $\frac{3 - (-1)}{2 - 2} = \frac{4}{0}$,जो अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर रेखा)।
विकर्ण $BD$ की ढाल $(m_2)$ = $\frac{0 - 2}{4 - 0} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि एक विकर्ण ऊर्ध्वाधर है,विकर्णों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = 2$ होगा।
अतः,$\theta = \tan^{-1} 2$।

(C) मान लीजिए कि रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है। दिया गया है कि $m_1 : m_2 = 2 : 3$,इसलिए $m_1 = 2k$ और $m_2 = 3k$ मान लें।
समीकरण $y^2 + 2hxy + 6x^2 = 0$ के लिए,ढाल का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{1} = -2h$ और ढाल का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{6}{1} = 6$ होता है।
मान रखने पर: $2k + 3k = -2h \implies 5k = -2h \implies k = -\frac{2h}{5}$.
साथ ही,$(2k)(3k) = 6 \implies 6k^2 = 6 \implies k^2 = 1 \implies k = \pm 1$.
$k = \pm 1$ को $5k = -2h$ में रखने पर: $5(\pm 1) = -2h \implies h = \mp \frac{5}{2}$.
अतः,$h = \pm \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है,जहाँ $a = 2$,$2h = 11$,और $b = 3$ है।
रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजकों का संयुक्त समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$
मान रखने पर:
$\frac{x^2 - y^2}{2 - 3} = \frac{xy}{11/2}$
$\frac{x^2 - y^2}{-1} = \frac{2xy}{11}$
$11(x^2 - y^2) = -2xy$
$11x^2 - 11y^2 + 2xy = 0$
$11x^2 + 2xy - 11y^2 = 0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया समीकरण $4x^2 + 4xy + y^2 - 6x - 3y - 4 = 0$ है।
द्विघात भाग को $(2x + y)^2 - 3(2x + y) - 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $t = 2x + y$ है। तब समीकरण $t^2 - 3t - 4 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(t - 4)(t + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे दो रेखाएँ मिलती हैं: $2x + y - 4 = 0$ और $2x + y + 1 = 0$।
ये रेखाएँ समांतर हैं क्योंकि इनके ढाल समान हैं $(m = -2)$।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 2, B = 1, C_1 = -4, C_2 = 1$ है।
$d = \frac{|-4 - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ इकाई।

(C) द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इसके रेखाओं का युग्म होने के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
दिए गए समीकरण $kxy + 10x + 8y + 16 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$a = 0, b = 0, c = 16, h = k/2, g = 5, f = 4$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(0)(0)(16) + 2(4)(5)(k/2) - (0)(4^2) - (0)(5^2) - (16)(k/2)^2 = 0$.
$0 + 20k - 0 - 0 - 16(k^2/4) = 0$.
$20k - 4k^2 = 0$.
$4k(5 - k) = 0$.
अतः,$k = 0$ या $k = 5$.

(A) दिया गया समीकरण $16x^2 - 24xy + 9y^2 + 48x - 36y + 35 = 0$ है।
हम पहले तीन पदों को $(4x - 3y)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,समीकरण $(4x - 3y)^2 + 12(4x - 3y) + 35 = 0$ हो जाता है।
माना $t = 4x - 3y$ है। तो $t^2 + 12t + 35 = 0$।
गुणनखंड करने पर,हमें $(t + 7)(t + 5) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,दो रेखाएँ $4x - 3y + 7 = 0$ और $4x - 3y + 5 = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 4$,$b = -3$,$c_1 = 7$,और $c_2 = 5$ है।
$d = \frac{|7 - 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{2}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$ इकाई।

(A) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $xy-x+y-1=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $x(y-1)+1(y-1)=0$,जो $(x+1)(y-1)=0$ देता है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $L_1: x+1=0$ और $L_2: y-1=0$।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ है।
चूंकि रेखा $x+ky-3=0$ इन रेखाओं के साथ संगामी है,इसलिए इसे बिंदु $(-1, 1)$ से होकर गुजरना चाहिए।
$(-1, 1)$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $-1 + k(1) - 3 = 0$।
$k - 4 = 0$,जिसका अर्थ है कि $k = 4$।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं का युग्म निरूपित करता है यदि $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
तुलना करने पर $a=1, h=-3/2, b=\lambda, g=3/2, f=-5/2, c=2$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $(1)(\lambda)(2) + 2(-5/2)(3/2)(-3/2) - (1)(-5/2)^2 - (\lambda)(3/2)^2 - (2)(-3/2)^2 = 0$.
$2\lambda + 45/4 - 25/4 - 9\lambda/4 - 9/2 = 0$.
$2\lambda - 9\lambda/4 + 5 - 4.5 = 0 \implies -\lambda/4 + 0.5 = 0 \implies \lambda = 2$.
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ होता है।
यहाँ $a=1, b=2, h=-3/2$ है।
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{9/4 - 2}}{1+2} \right| = \frac{2\sqrt{1/4}}{3} = \frac{1}{3}$.
अतः $\cot \theta = 3$।
$\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + 3^2 = 10$।
इस प्रकार,$\frac{\operatorname{cosec}^2 \theta}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$।

(B) माना दिया गया समीकरण $f(x, y) = 2x^2 + 4xy + 5y^2 - 4x - 22y + 29 = 0$ है। \\ मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित करने के लिए,हम $x = X + h$ और $y = Y + k$ प्रतिस्थापित करते हैं। \\ समीकरण के समघातीय होने के लिए $X$ और $Y$ के रैखिक पद शून्य होने चाहिए। \\ $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर: \\ $f_x = 4x + 4y - 4 = 0 \implies x + y = 1$ \\ $f_y = 4x + 10y - 22 = 0 \implies 2x + 5y = 11$ \\ इन समीकरणों को हल करने पर: \\ पहले समीकरण से $x = 1 - y$. दूसरे में रखने पर: $2(1 - y) + 5y = 11 \implies 3y = 9 \implies y = 3$. \\ अतः $x = -2$. \\ इस प्रकार,मूल बिंदु को $(-2, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(B) दिया गया समीकरण $x^2-3xy+2y^2+3x-5y+2=0$ है।
इसे सीधी रेखाओं के युग्म के व्यापक समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=1$,$2h=-3 \implies h=-\frac{3}{2}$,$b=2$.
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(2)}}{1+2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-2}}{3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{3} \right| = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{3}$,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $1$ और आसन्न भुजा $3$ है।
कर्ण $\sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$ है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

(D) परवलय का समीकरण $x^2 = 20y$ है। इसे $x^2 = 4ay$ से तुलना करने पर,$4a = 20$,अतः $a = 5$ प्राप्त होता है।
परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ पर है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(2a, a)$ और $(-2a, a)$ हैं,जो $(10, 5)$ और $(-10, 5)$ हैं।
त्रिभुज $(0, 0)$,$(10, 5)$ और $(-10, 5)$ बिंदुओं द्वारा बनता है।
त्रिभुज का आधार नाभिलंब की लंबाई है,जो $4a = 20$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई शीर्ष से नाभिलंब तक की दूरी है,जो $a = 5$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 20 \times 5 = 50 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(D) दिया गया परवलय का समीकरण: $y^2+4y+4x+2=0$.
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2+4y = -4x-2$.
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$y^2+4y+4 = -4x-2+4$.
$(y+2)^2 = -4x+2$.
$(y+2)^2 = -4(x-\frac{1}{2})$.
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h = \frac{1}{2}$,$k = -2$,और $4a = 4 \implies a = 1$.
बाईं ओर खुलने वाले परवलय के लिए नियता का समीकरण $x = h+a$ होता है।
मान रखने पर: $x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) परवलय के नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है,जहाँ $a$ नाभि से नियता की लंबवत दूरी है।
दी गई नाभि $S = (3,3)$ और नियता $L: 3x - 4y - 2 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी का सूत्र $a = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$a = \frac{|3(3) - 4(3) - 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$a = \frac{|9 - 12 - 2|}{\sqrt{9 + 16}}$
$a = \frac{|-5|}{\sqrt{25}}$
$a = \frac{5}{5} = 1$.
अतः,नाभिलंब की लंबाई $4a = 4 \times 1 = 4$ इकाई है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $a = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 4)$ है।
परवलय $y^2 = 4x$ की नियता (directrix) का समीकरण $x = -1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से परवलय $y^2 = 4ax$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{y_1^2 - 4ax_1}}{x_1 + a} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = 1, x_1 = 1, y_1 = 4$।
$\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{4^2 - 4(1)(1)}}{1 + 1} \right| = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(B) दिए गए परवलय $y^2 = 32x$ $(4a = 32 \implies a = 8)$ और $x^2 = 108y$ $(4b = 108 \implies b = 27)$ हैं।
$y^2 = 32x$ की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{8}{m}$ के रूप में होती है।
यह रेखा $x^2 = 108y$ की भी स्पर्श रेखा है। $y = mx + \frac{8}{m}$ को $x^2 = 108y$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 = 108(mx + \frac{8}{m}) \implies x^2 - 108mx - \frac{864}{m} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह स्पर्श रेखा है,विविक्तकर $D = 0$:
$(-108m)^2 - 4(1)(-\frac{864}{m}) = 0 \implies 11664m^2 + \frac{3456}{m} = 0$.
$11664m^3 = -3456 \implies m^3 = -\frac{8}{27}$.
अतः,$m = -\frac{2}{3}$.
$Y$-अंतःखंड $c = \frac{8}{m} = \frac{8}{-2/3} = -12$.

(A) परवलय $y^2 = 4(x-1)$ के लिए,शीर्ष $(1, 0)$ है और $a = 1$ है। नाभिलंब $x = 2$ है। नाभिलंब के अंत्य बिंदु $(2, 2)$ और $(2, -2)$ हैं।
परवलय $x^2 = -4(y-3)$ के लिए,शीर्ष $(0, 3)$ है और $a = 1$ है। नाभिलंब $y = 2$ है। नाभिलंब के अंत्य बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, 2)$ हैं।
उभयनिष्ठ बिंदु $(2, 2)$ है।
$y^2 = 4(x-1)$ के लिए,अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. बिंदु $(2, 2)$ पर,$m_1 = 1$.
$x^2 = -4(y-3)$ के लिए,अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$. बिंदु $(2, 2)$ पर,$m_2 = -1$.
चूंकि $m_1 \times m_2 = -1$,स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं।
अतः,कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = a/m$ है।
दी गई रेखा $y = mx + 3$ के लिए,$c = 3$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $3 = 1/m$।
अतः,$m = 1/3$ है।

(C) '$UNIVERSITY$' शब्द में $10$ अक्षर हैं: $U, N, I, V, E, R, S, I, T, Y$। '$I$' अक्षर $2$ बार आता है।
कुल विन्यासों की संख्या = $\frac{10!}{2!}$।
दोनों '$I$' के एक साथ आने वाले विन्यासों की संख्या ज्ञात करने के लिए,दो '$I$' को एक इकाई $(II)$ मान लें।
अब हमारे पास $9$ इकाइयाँ हैं: $(II), U, N, V, E, R, S, T, Y$।
'$I$' के एक साथ आने वाले विन्यासों की संख्या = $9!$।
'$I$' के एक साथ आने की प्रायिकता = $\frac{9!}{\frac{10!}{2!}} = \frac{9! \times 2}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$।
'$I$' के एक साथ न आने की प्रायिकता = $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।

(B) प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सभी संभावित युग्मों पर विचार करते हैं:
$1$. $8$ रेखाओं का आपस में प्रतिच्छेदन: बिंदुओं की अधिकतम संख्या $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ है।
$2$. $4$ वृत्तों का आपस में प्रतिच्छेदन: वृत्तों का प्रत्येक युग्म $2$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। युग्मों की संख्या $^4C_2 = 6$ है। अतः,$6 \times 2 = 12$ बिंदु।
$3$. $8$ रेखाओं और $4$ वृत्तों का प्रतिच्छेदन: प्रत्येक रेखा प्रत्येक वृत्त को $2$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती है। अतः,$8 \times 4 \times 2 = 64$ बिंदु।
कुल बिंदु = $28 + 12 + 64 = 104$।

(B) एक संख्या $25$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंक $25, 50,$ या $75$ हों।
दिए गए अंकों $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ में से,$25$ से विभाज्य अंतिम दो अंकों के संभावित जोड़े $25$ और $75$ हैं (क्योंकि $0$ सेट में नहीं है)।
स्थिति $1$: संख्या $25$ पर समाप्त होती है।
अंतिम दो अंक $2$ और $5$ निश्चित हैं।
शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों $\{1, 3, 4, 6, 7\}$ द्वारा $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: संख्या $75$ पर समाप्त होती है।
अंतिम दो अंक $7$ और $5$ निश्चित हैं।
शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ द्वारा $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$25$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $= 20 + 20 = 40$।

(D) $m$ के लिए: $5$ लड़कों और $5$ लड़कियों को एक पंक्ति में एकांतर क्रम में दो तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है: ($B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$) या ($G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$)। प्रत्येक स्थिति में,$5$ लड़कों को $5!$ तरीकों से और $5$ लड़कियों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः,$m = 2 \times 5! \times 5! = 28800$।
$n$ के लिए: $5$ लड़कों और $5$ लड़कियों को एक वृत्त में इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के साथ न हों,हम पहले $5$ लड़कियों को एक वृत्त में $(5-1)! = 4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं। यह उनके बीच $5$ रिक्त स्थान बनाता है। $5$ लड़कों को इन $5$ रिक्त स्थानों में $5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः,$n = 4! \times 5! = 2880$।
चूंकि $m = kn$ दिया गया है,हमारे पास $28800 = k \times 2880$ है,जिससे $k = 10$ प्राप्त होता है।

(B) $20$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनकर त्रिभुज बनाने के कुल तरीके $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ हैं।
बहुभुज की किसी भी भुजा का उपयोग न करने वाले त्रिभुजों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल त्रिभुजों में से $1$ भुजा और $2$ भुजाओं का उपयोग करने वाले त्रिभुजों को घटाते हैं।
ठीक $2$ भुजाओं का उपयोग करने वाले त्रिभुजों की संख्या शीर्षों की संख्या के बराबर यानी $20$ है।
ठीक $1$ भुजा का उपयोग करने वाले त्रिभुजों की संख्या $20$ भुजाओं में से $1$ भुजा चुनकर ($20$ तरीके) और शेष शीर्षों में से ऐसा शीर्ष चुनकर मिलती है जो चुनी गई भुजा के आसन्न न हो। ऐसे $16$ शीर्ष हैं।
अतः,$1$ भुजा वाले त्रिभुज = $20 \times 16 = 320$.
किसी भी भुजा का उपयोग न करने वाले कुल त्रिभुज = $1140 - 320 - 20 = 800$.

(A) $n$ गेंदों में से $4$ लाल गेंदें चुनने के तरीके ${}^{n}C_4$ हैं।
$n$ गेंदों में से $5$ हरी गेंदें चुनने के तरीके ${}^{n}C_5$ हैं।
दोनों चयनों का योग ${}^{n}C_4 + {}^{n}C_5$ है।
पास्कल के नियम ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर,हमें ${}^{n}C_4 + {}^{n}C_5 = {}^{n+1}C_5$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि योग ${}^{n+1}C_4$ से अधिक है,इसलिए ${}^{n+1}C_5 > {}^{n+1}C_4$।
सूत्र ${}^{m}C_r = \frac{m!}{r!(m-r)!}$ का उपयोग करने पर,$\frac{(n+1)!}{5!(n-4)!} > \frac{(n+1)!}{4!(n-3)!}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\frac{1}{5} > \frac{1}{n-3}$ प्राप्त होता है।
अतः $n-3 > 5$,जिसका अर्थ है $n > 8$।

(D) दिया गया समीकरण: ${ }^{n+4} C_{n+1}-{ }^{n+3} C_n=15(n+2)$.
गुणधर्म ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,${ }^{n+4} C_{n+1} = { }^{n+4} C_3$ और ${ }^{n+3} C_n = { }^{n+3} C_3$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर: $\frac{(n+4)(n+3)(n+2)}{6} - \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6} = 15(n+2)$.
दोनों पक्षों को $(n+2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{(n+4)(n+3)}{6} - \frac{(n+3)(n+1)}{6} = 15$.
$6$ से गुणा करने पर: $(n^2+7n+12) - (n^2+4n+3) = 90$.
$3n + 9 = 90$.
$3n = 81$.
$n = 27$.

(A) चतुर्भुज बनाने के लिए,हमें $11$ में से $4$ बिंदु इस प्रकार चुनने होंगे कि कोई भी $3$ बिंदु संरेख न हों।
$11$ में से $4$ बिंदु चुनने के कुल तरीके $^{11}C_4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330$ हैं।
हालाँकि,यदि हम $5$ संरेख बिंदुओं में से $3$ या $4$ बिंदु चुनते हैं,तो वे चतुर्भुज नहीं बनाएंगे।
$5$ संरेख बिंदुओं में से $4$ बिंदु चुनने के तरीके $^{5}C_4 = 5$ हैं।
$5$ संरेख बिंदुओं में से $3$ और शेष $6$ बिंदुओं में से $1$ बिंदु चुनने के तरीके $^{5}C_3 \times ^{6}C_1 = 10 \times 6 = 60$ हैं।
कुल अमान्य चयन = $5 + 60 = 65$।
चतुर्भुजों की संख्या = $330 - 65 = 265$।

(D) कुल खिलाड़ी = $25$.
आवश्यक टीम का आकार = $11$.
हमेशा शामिल किए जाने वाले खिलाड़ी = $6$.
हमेशा बाहर रखे जाने वाले खिलाड़ी = $5$.
चयन के लिए उपलब्ध शेष खिलाड़ी = $25 - 6 - 5 = 14$.
टीम में शेष स्थान = $11 - 6 = 5$.
अतः,टीम बनाने के तरीकों की संख्या $14$ खिलाड़ियों में से $5$ खिलाड़ियों को चुनने के तरीके हैं,जो $^{14}C_{5}$ है।
विकल्पों को देखते हुए,यदि प्रश्न में कोई त्रुटि है और $^{14}C_{6}$ को सही उत्तर माना गया है,तो विकल्प $D$ सही है।

(C) $6$ लड़कों और $5$ लड़कियों को एक गोल मेज पर इस प्रकार बैठाने के लिए कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें,हम पहले $6$ लड़कों को एक वृत्त में बैठाते हैं।
$6$ लड़कों को वृत्त में बैठाने के तरीके $(6-1)! = 5! = 120$ हैं।
लड़कों को बैठाने के बाद,उनके बीच $6$ स्थान (gaps) बनते हैं।
हमें $5$ लड़कियों को इन $6$ स्थानों में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों।
$6$ में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीके $^6C_5 = 6$ हैं।
$5$ लड़कियों को चुने गए स्थानों में बैठाने के तरीके $5! = 120$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $120 \times 6 \times 120 = 86400$ है।

(C) $10$ लोगों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाने के कुल तरीके $(10-1)! = 9! = 362880$ हैं।
मान लीजिए $2$ विशेष लड़के $B_1, B_2$ और एक विशेष लड़की $G_1$ हैं।
हम उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं जहाँ $B_1, B_2, G_1$ एक साथ न बैठें।
पूरक विधि का उपयोग करते हुए,हम कुल तरीकों में से उन मामलों को घटाते हैं जहाँ वे एक साथ बैठते हैं।
$(B_1, B_2, G_1)$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $8$ इकाइयाँ हैं: $(8-1)! = 7! = 5040$।
इकाई के भीतर,$B_1, B_2, G_1$ को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
वे मामले जहाँ वे एक साथ बैठते हैं = $5040 \times 6 = 30240$।
वे तरीके जहाँ वे एक साथ नहीं बैठते = $362880 - 30240 = 332640$।

(D) चरण $1$: पहली मेज पर बैठने के लिए $21$ में से $12$ दोस्तों का चयन करें। तरीकों की संख्या $\binom{21}{12}$ है।
चरण $2$: एक गोल मेज पर $12$ दोस्तों को बैठाने के तरीकों की संख्या $(12-1)! = 11!$ है।
चरण $3$: शेष $9$ दोस्तों को दूसरी गोल मेज पर बैठाया जाना है। उन्हें बैठाने के तरीकों की संख्या $(9-1)! = 8!$ है।
चरण $4$: कुल तरीकों की संख्या $\binom{21}{12} \times 11! \times 8! = \frac{21!}{12!9!} \times 11! \times 8! = \frac{21!}{12 \times 9} = \frac{21!}{108}$ है।

(A) परिवार में कुल $10$ सदस्य हैं: $1$ माता,$1$ पिता,$4$ लड़के और $4$ लड़कियाँ।
कुल पुरुष = $1$ (पिता) + $4$ (लड़के) = $5$।
कुल महिलाएँ = $1$ (माता) + $4$ (लड़कियाँ) = $5$।
चूँकि पुरुष और महिलाएँ एकांतर क्रम में बैठते हैं,$5$ पुरुषों को गोल मेज पर $(5-1)! = 4! = 24$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
इससे पुरुषों के बीच $5$ स्थान बनते हैं।
माता और पिता को साथ बैठना है।
यदि पिता $F_1$ स्थान पर हैं,तो माता को पिता के बगल वाले दो स्थानों में से एक में होना चाहिए।
माता के लिए $2$ विकल्प हैं।
शेष $4$ महिलाओं को बाकी $4$ स्थानों में $4! = 24$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
कुल तरीके = $24 \times 2 \times 24 = 576$।

(B) माना कि $3$-अंकों की संख्या $n$ है। दिया गया है कि $\text{gcd}(n, 36) = 2$ है।
चूंकि $36 = 2^2 \times 3^2$,शर्त $\text{gcd}(n, 36) = 2$ का अर्थ है कि $n$ को $2$ से विभाज्य होना चाहिए लेकिन $4$ से नहीं,और $n$ को $3$ से विभाज्य नहीं होना चाहिए।
माना $n = 2k$ है। तब $\text{gcd}(2k, 36) = 2 \implies \text{gcd}(k, 18) = 1$ है।
इसका अर्थ है कि $k$,$2$ या $3$ से विभाज्य नहीं है।
$3$-अंकों की संख्याएँ $[100, 999]$ की सीमा में हैं।
अतः,$100 \le 2k \le 999 \implies 50 \le k \le 499.5$ है।
इस प्रकार,$k \in \{50, 51, \dots, 499\}$ है।
$k$ के कुल मानों की संख्या $450$ है।
हमें $k$ के उन मानों को घटाना होगा जो $2$ या $3$ से विभाज्य हैं।
$S = \{50, 51, \dots, 499\}$ लें।
$S$ में $2$ के गुणज: $225$ हैं।
$S$ में $3$ के गुणज: $150$ हैं।
$S$ में $6$ के गुणज: $75$ हैं।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत द्वारा,$2$ या $3$ से विभाज्य $k$ की संख्या $225 + 150 - 75 = 300$ है।
अतः,$\text{gcd}(k, 6) = 1$ होने वाले $k$ की संख्या $450 - 300 = 150$ है।

(A) एक निष्पक्ष पासे को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें संख्या $4$ या $5$ आती है। अतः $E = \{4, 5\}$ और $n(E) = 2$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
पूरक घटना $E^c$ (अर्थात $4$ या $5$ न आने की घटना) की प्रायिकता $P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
किसी घटना $E$ के प्रतिकूल संयोगानुपात (odds against) का मान $P(E^c) : P(E)$ अनुपात द्वारा दिया जाता है।
अतः,$E$ के प्रतिकूल संयोगानुपात $\frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1$ हैं।

(A) कुल गेंदों की संख्या = $8 + x$ है।
$8 + x$ में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके $\binom{8+x}{3}$ हैं।
$8$ लाल गेंदों में से $3$ लाल गेंदें चुनने के तरीके $\binom{8}{3}$ हैं।
प्रायिकता:
$P = \frac{\binom{8}{3}}{\binom{8+x}{3}} = \frac{7}{15}$.
$\binom{8}{3} = 56$.
$\frac{56}{\binom{8+x}{3}} = \frac{7}{15} \implies \binom{8+x}{3} = 120$.
$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 120 \implies n(n-1)(n-2) = 720$.
$10 \times 9 \times 8 = 720$,इसलिए $n = 10$.
$8 + x = 10 \implies x = 2$.

(C) एक गैर-लीप वर्ष में $365$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन है।
यह अतिरिक्त दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी हो सकता है।
$53$ शनिवार होने की प्रायिकता $P(A) = \frac{1}{7}$ है और $53$ रविवार होने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{7}$ है।
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $53$ शनिवार या $53$ रविवार होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$ है।

(B) $9$ सीटों पर $6$ लड़कों और $3$ लड़कियों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $9!$ हैं।
इस शर्त के लिए कि अंतिम सीटों पर लड़कियाँ हों,हम $3$ में से $2$ लड़कियों को सिरों के लिए $^3P_2 = 3 \times 2 = 6$ तरीकों से चुनते हैं।
शेष $7$ सीटों को $6$ लड़कों और $1$ लड़की द्वारा भरा जाना है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों,हम पहले $6$ लड़कों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं।
यह $7$ अंतराल (गैप) बनाता है। चूँकि $2$ अंतिम सीटें पहले से ही लड़कियों द्वारा भरी हुई हैं,हमारे पास शेष $1$ लड़की के लिए $5$ आंतरिक अंतराल उपलब्ध हैं।
अंतिम लड़की को बैठाने के तरीकों की संख्या $5$ है।
कुल अनुकूल तरीके = $6 \times 6! \times 5 = 30 \times 720 = 21600$.
कुल संभावित व्यवस्थाएँ = $9! = 362880$.
प्रायिकता = $\frac{21600}{362880} = \frac{5}{84}$.

(C) गेंदों की कुल संख्या = $6 + x$ है।
$6 + x$ गेंदों में से $2$ गेंदें निकालने के तरीके $\binom{6+x}{2} = \frac{(6+x)(5+x)}{2}$ हैं।
$6$ पीली गेंदों में से $2$ पीली गेंदें निकालने के तरीके $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ हैं।
$2$ पीली गेंदें निकालने की प्रायिकता $\frac{15}{\frac{(6+x)(5+x)}{2}} = \frac{30}{(6+x)(5+x)}$ है।
दिया गया है कि प्रायिकता $\frac{5}{26}$ है,इसलिए $\frac{30}{(6+x)(5+x)} = \frac{5}{26}$।
सरल करने पर,$(6+x)(5+x) = \frac{30 \times 26}{5} = 156$।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 + 11x + 30 = 156$,जिससे $x^2 + 11x - 126 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 18)(x - 7) = 0$।
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = 7$।

(C) $20$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ हैं।
क्रमागत त्रिक $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (18, 19, 20)$ हैं।
ऐसे त्रिकों की संख्या $18$ है।
प्रायिकता $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ है।

(A) माना $I = \int_1^3 \frac{\log x^2}{\log \left(16 x^2-8 x^3+x^4\right)} dx$.
ध्यान दें कि $16x^2 - 8x^3 + x^4 = x^2(16 - 8x + x^2) = x^2(4-x)^2$.
अतः,हर $\log(x^2(4-x)^2) = \log x^2 + \log(4-x)^2$ है।
इसलिए,$I = \int_1^3 \frac{\log x^2}{\log x^2 + \log(4-x)^2} dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $a+b = 1+3 = 4$ है।
$x$ को $(4-x)$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int_1^3 \frac{\log(4-x)^2}{\log(4-x)^2 + \log x^2} dx$ प्राप्त होता है।
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_1^3 \frac{\log x^2 + \log(4-x)^2}{\log x^2 + \log(4-x)^2} dx = \int_1^3 1 dx = [x]_1^3 = 3-1 = 2$.
अतः,$I = 1$.

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4 x \, dx$ है। चूँकि $f(x) = \sin^4 x$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4 x \, dx$ होगा।
सर्वसमिका $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^4 x = (\frac{1 - \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)$ प्राप्त होता है।
आगे,$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin^4 x = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x) \, dx = 2 [\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$।
सीमाओं का मान रखने पर: $I = 2 [(\frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{32}\sin \pi) - (0)] = 2 [\frac{3\pi}{32} - \frac{1}{4} + 0] = \frac{3\pi}{16} - \frac{1}{2} = \frac{3\pi - 8}{16}$।

(A) माना $I = \int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right) d x$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि सीमाएँ $a = \log \frac{1}{2} = -\log 2$ और $b = \log 2$ हैं।
अतः,$a+b = 0$.
इसलिए,$I = \int_{-\log 2}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\right) d x$.
साइन फलन के तर्क को सरल बनाने पर: $\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} = \frac{\frac{1}{e^x}-1}{\frac{1}{e^x}+1} = \frac{1-e^x}{1+e^x} = -\left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)$.
चूंकि $\sin(- \theta) = -\sin(\theta)$,समाकल्य एक विषम फलन है।
इसलिए,$I = \int_{-\log 2}^{\log 2} -\sin \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right) d x = -I$.
यह दर्शाता है कि $2I = 0$,अतः $I = 0$.

(A) माना $I = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \operatorname{cosec}^{101}\left(x-\frac{1}{x}\right) d x$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f\left(\frac{ab}{x}\right) \frac{ab}{x^2} dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{1}{2}$ और $b = 2$,इसलिए $ab = 1$.
तब $I = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{1/x} \operatorname{cosec}^{101}\left(\frac{1}{x}-x\right) \frac{1}{x^2} dx$.
$I = \int_{\frac{1}{2}}^2 x \operatorname{cosec}^{101}\left(-(x-\frac{1}{x})\right) \frac{1}{x^2} dx$.
चूँकि $\operatorname{cosec}(- \theta) = -\operatorname{cosec}(\theta)$ और घात $101$ विषम है,इसलिए $\operatorname{cosec}^{101}(- \theta) = -\operatorname{cosec}^{101}(\theta)$.
अतः,$I = - \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \operatorname{cosec}^{101}\left(x-\frac{1}{x}\right) dx = -I$.
$2I = 0 \implies I = 0$.

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \sin x + 100 \cos x}{\sin x + \cos x} dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \sin(\frac{\pi}{2}-x) + 100 \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x) + \cos(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \cos x + 100 \sin x}{\cos x + \sin x} dx$ प्राप्त होता है।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(300 \sin x + 100 \cos x) + (300 \cos x + 100 \sin x)}{\sin x + \cos x} dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{400 \sin x + 400 \cos x}{\sin x + \cos x} dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 400 dx$
$2I = 400 [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 400 \times \frac{\pi}{2} = 200 \pi$
अतः, $I = 100 \pi$।

(C) निश्चित समाकलन $I = \int_0^1 x \left|x - \frac{1}{2}\right| dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन को उस बिंदु पर विभाजित करते हैं जहाँ मापांक के अंदर का मान अपना चिह्न बदलता है,जो $x = \frac{1}{2}$ है।
$0 \le x < \frac{1}{2}$ के लिए,$\left|x - \frac{1}{2}\right| = -\left(x - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - x$.
$\frac{1}{2} \le x \le 1$ के लिए,$\left|x - \frac{1}{2}\right| = x - \frac{1}{2}$.
अतः,$I = \int_0^{1/2} x \left(\frac{1}{2} - x\right) dx + \int_{1/2}^1 x \left(x - \frac{1}{2}\right) dx$.
प्रथम भाग का समाकलन:
$\int_0^{1/2} \left(\frac{1}{2}x - x^2\right) dx = \left[\frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{3}\right]_0^{1/2} = \left(\frac{1/4}{4} - \frac{1/8}{3}\right) = \frac{1}{16} - \frac{1}{24} = \frac{3 - 2}{48} = \frac{1}{48}$.
द्वितीय भाग का समाकलन:
$\int_{1/2}^1 \left(x^2 - \frac{1}{2}x\right) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{4}\right]_{1/2}^1 = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) - \left(\frac{1/8}{3} - \frac{1/4}{4}\right) = \frac{1}{12} - \left(\frac{1}{24} - \frac{1}{16}\right) = \frac{1}{12} - \left(\frac{2 - 3}{48}\right) = \frac{1}{12} + \frac{1}{48} = \frac{4 + 1}{48} = \frac{5}{48}$.
दोनों भागों का योग:
$I = \frac{1}{48} + \frac{5}{48} = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$.

(D) माना $I = \int_2^3 x f(x) dx$ है।
गुणधर्म $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_2^3 (2+3-x) f(2+3-x) dx = \int_2^3 (5-x) f(5-x) dx$।
दिया गया है कि $f(5-x) = f(x)$,अतः इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_2^3 (5-x) f(x) dx = 5 \int_2^3 f(x) dx - \int_2^3 x f(x) dx$।
चूंकि $\int_2^3 f(x) dx = 2$,इसलिए:
$I = 5(2) - I$।
$2I = 10$।
$I = 5$।

(C) हमें समाकलन $I = \int_0^\pi |\sin^3 x| dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin^3 x| = \sin^3 x$ होगा।
अतः,$I = \int_0^\pi \sin^3 x dx$।
सर्वसमिका $\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4} dx$
$I = \frac{1}{4} [ -3 \cos x + \frac{\cos 3x}{3} ]_0^\pi$
$I = \frac{1}{4} [ (-3 \cos \pi + \frac{\cos 3\pi}{3}) - (-3 \cos 0 + \frac{\cos 0}{3}) ]$
$I = \frac{1}{4} [ (3 - \frac{1}{3}) - (-3 + \frac{1}{3}) ]$
$I = \frac{1}{4} [ \frac{8}{3} - (-\frac{8}{3}) ] = \frac{1}{4} [ \frac{16}{3} ] = \frac{4}{3}$।

(D) समाकल $\int_1^2 \frac{x}{(x+2)(x+3)} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं।
माना $\frac{x}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}$।
$(x+2)(x+3)$ से गुणा करने पर,हमें $x = A(x+3) + B(x+2)$ प्राप्त होता है।
$x = -2$ रखने पर,$-2 = A(1)$,अतः $A = -2$।
$x = -3$ रखने पर,$-3 = B(-1)$,अतः $B = 3$।
इस प्रकार,$\int_1^2 \left( \frac{-2}{x+2} + \frac{3}{x+3} \right) \, dx = [-2 \log|x+2| + 3 \log|x+3|]_1^2$।
सीमाओं पर मान रखने पर:
$(-2 \log 4 + 3 \log 5) - (-2 \log 3 + 3 \log 4) = -5 \log 4 + 3 \log 5 + 2 \log 3 = \log(5^3 \cdot 3^2 / 4^5) = \log(125 \cdot 9 / 1024) = \log(\frac{1125}{1024})$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $g(x)$ के $x=3$ पर सतत होने के लिए,$K = \lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} \int_3^{f(x)} \frac{3t^2}{x-3} dt$ होना चाहिए।
चूंकि $x \to 3$ होने पर समाकलन $\frac{0}{0}$ रूप में है (क्योंकि $f(3)=3$),हम ला-हॉस्पिटल नियम और लेबनीज नियम का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $I(x) = \int_3^{f(x)} 3t^2 dt$. तब $g(x) = \frac{I(x)}{x-3}$.
ला-हॉस्पिटल नियम के अनुसार,$K = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{dx} \int_3^{f(x)} 3t^2 dt}{\frac{d}{dx} (x-3)}$.
लेबनीज नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \int_3^{f(x)} 3t^2 dt = 3(f(x))^2 \cdot f^{\prime}(x)$.
अतः,$K = \lim_{x \to 3} \frac{3(f(x))^2 \cdot f^{\prime}(x)}{1} = 3(f(3))^2 \cdot f^{\prime}(3)$.
दिए गए मान $f(3)=3$ और $f^{\prime}(3)=\frac{1}{27}$ रखने पर:
$K = 3 \cdot (3)^2 \cdot \frac{1}{27} = 3 \cdot 9 \cdot \frac{1}{27} = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1$.

(D) अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) को $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अदिश त्रिक गुणन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए:
$[\vec{p}-\vec{r}, \vec{q}, \vec{s}] = [\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}] - [\vec{r}, \vec{q}, \vec{s}] = [\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]$.
$[\vec{p}+\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}] = [\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]$.
इन दो व्यंजकों को जोड़ने पर:
$([\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]) + ([\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]) = [\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + 2[\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}] + [\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}]$.
इसकी तुलना $m[\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + n[\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}] + t[\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}]$ से करने पर,हमें $m=1$,$n=2$,$t=1$ प्राप्त होता है।

(A) सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग सारणिक $|A|$ के मान के बराबर होता है।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
व्यंजक $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ दूसरी पंक्ति के अनुदिश सारणिक $|A|$ का विस्तार दर्शाता है।
तीसरे स्तंभ के अनुदिश सारणिक $|A|$ की गणना करने पर (क्योंकि इसमें दो शून्य हैं):
$|A| = 1 \times \begin{vmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} - 0 + 0$
$|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (\sin \theta)(-\sin \theta)$
$|A| = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
अतः,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = |A| = 1$.

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 15 \\ 13 \end{bmatrix}$
यह रैखिक समीकरणों के निकाय को दर्शाता है:
$1) x + 3y + 3z = 12$
$2) x + 4y + 4z = 15$
$3) x + 3y + 4z = 13$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(x + 3y + 4z) - (x + 3y + 3z) = 13 - 12$
$z = 1$
$z = 1$ का मान समीकरण $(1)$ और $(2)$ में रखने पर:
$x + 3y + 3(1) = 12 \implies x + 3y = 9$
$x + 4y + 4(1) = 15 \implies x + 4y = 11$
दूसरे सरल समीकरण में से पहले को घटाने पर:
$(x + 4y) - (x + 3y) = 11 - 9$
$y = 2$
$y = 2$ का मान $x + 3y = 9$ में रखने पर:
$x + 3(2) = 9 \implies x + 6 = 9 \implies x = 3$
अब,$x^2 + y^2 + z^2$ की गणना करने पर:
$x^2 + y^2 + z^2 = 3^2 + 2^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) परवलय $x^2 = 4y$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx - am^2$ होता है। यहाँ $a = 1$ है,इसलिए समीकरण $y = mx - m^2$ है।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = m$.
$m = \frac{dy}{dx}$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = x(\frac{dy}{dx}) - (\frac{dy}{dx})^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(\frac{dy}{dx})^2 - x(\frac{dy}{dx}) + y = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि (order) $1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात (degree) $2$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[5]{\frac{dy}{d x}-5}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों की घात $10$ (जो $2$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य है) लेकर मूलों को हटाते हैं:
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^{1/2} = (\frac{dy}{d x}-5)^{1/5}$
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^{10/2} = (\frac{dy}{d x}-5)^{10/5}$
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^5 = (\frac{dy}{d x}-5)^2$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो $2$ है।
अवकल समीकरण की घात समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद उच्चतम अवकलज की घात है,जो $5$ है।
अतः,घात और कोटि का योग $2 + 5 = 7$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}+3\left(\frac{d y}{d x}\right)^2=x^2 \log \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)$ है।
एक अवकल समीकरण को उसके अवकलजों (derivatives) में बहुपद समीकरण कहा जाता है यदि इसे उसके अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सके।
दिए गए समीकरण में,$\log \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)$ पद में द्वितीय कोटि का अवकलज एक लघुगणकीय फलन के अंदर है,जिसका अर्थ है कि समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4\frac{dy}{dx} - 7x = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4\frac{dy}{dx} + 7x$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = (4\frac{dy}{dx} + 7x)^2$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 56x\frac{dy}{dx} + 49x^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
अवकल समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद,उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $2$ है।
अतः,कोटि $1$ और घात $2$ है।

(A) दिया गया समीकरण $Ax^2 + By^2 = 1$ है।
चूँकि इसमें $2$ स्वेच्छ अचर ($A$ और $B$) हैं,हम समीकरण का दो बार अवकलन करेंगे।
$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन: $2Ax + 2Byy' = 0$,जो सरल होकर $Ax + Byy' = 0$ हो जाता है।
$x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलन: $A + B(y')^2 + Byy'' = 0$।
प्रथम अवकलन से,$A = -Byy'/x$।
$A$ का मान द्वितीय अवकलन में रखने पर: $-Byy'/x + B(y')^2 + Byy'' = 0$।
$B$ से भाग देने पर (मान लें $B \neq 0$): $-yy'/x + (y')^2 + yy'' = 0$।
$x$ से गुणा करने पर: $-yy' + x(y')^2 + xyy'' = 0$।
उच्चतम कोटि का अवकलज $y''$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज $y''$ की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।

(D) दिया गया व्यापक हल $y = (C_1 + C_2) \sin (x + C_3) - C_4 e^{x + C_5}$ है।
हम अचरों को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
माना $A = (C_1 + C_2)$। चूँकि $C_1$ और $C_2$ स्वेच्छ अचर हैं,उनका योग $A$ भी एक स्वेच्छ अचर है।
माना $B = C_4 e^{C_5}$। चूँकि $C_4$ और $C_5$ स्वेच्छ अचर हैं,$B$ भी एक स्वेच्छ अचर है।
अब,समीकरण $y = A \sin (x + C_3) - B e^x$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin (x + C_3) = \sin x \cos C_3 + \cos x \sin C_3$ का उपयोग करने पर:
$y = A (\sin x \cos C_3 + \cos x \sin C_3) - B e^x$
$y = (A \cos C_3) \sin x + (A \sin C_3) \cos x - B e^x$।
माना $K_1 = A \cos C_3$,$K_2 = A \sin C_3$,और $K_3 = -B$।
ये $K_1, K_2, K_3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं।
इस प्रकार,समीकरण $y = K_1 \sin x + K_2 \cos x + K_3 e^x$ में सरल हो जाता है।
चूँकि व्यापक हल में $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए संबंधित अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $3 - (\frac{d^3 y}{d x^3})^{\frac{7}{3}} = (\frac{dy}{d x})^5$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3 - (\frac{dy}{d x})^5 = (\frac{d^3 y}{d x^3})^{\frac{7}{3}}$।
दोनों पक्षों की घात $3$ करने पर: $(3 - (\frac{dy}{d x})^5)^3 = (\frac{d^3 y}{d x^3})^7$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
समीकरण को भिन्नात्मक घातों से मुक्त करने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $7$ है,इसलिए घात $7$ है।

(C) बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली सीधी रेखा का समीकरण बिंदु-ढाल रूप में इस प्रकार है:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
बिंदु $(1, -1)$ का मान रखने पर:
$y - (-1) = m(x - 1)$
$y + 1 = m(x - 1)$
चूंकि $m = \frac{dy}{dx}$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$y + 1 = \frac{dy}{dx}(x - 1)$
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $y + 1 = (x - 1) \frac{dy}{dx}$ है।

(B) दिया गया वक्रों का परिवार: $x^2 y = 4e^x + c$.
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(x^2 y) = \frac{d}{dx}(4e^x + c)$.
बाएँ पक्ष पर गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$x^2 \frac{dy}{dx} + y \frac{d}{dx}(x^2) = 4e^x$.
$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = 4e^x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 \frac{dy}{dx} + (2xy - 4e^x) = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) वृत्त का केंद्र $(h, 5)$ है और यह $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r$ केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर है,जो कि $r = 5$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-5)^2 = 5^2$ है।
$(x-h)^2 + (y-5)^2 = 25$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2(x-h) + 2(y-5) \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x-h) = -(y-5) \frac{dy}{dx}$.
इस मान को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $[-(y-5) \frac{dy}{dx}]^2 + (y-5)^2 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (y-5)^2 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 - 10y + 25 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 - 10y = 0$.

(C) दिया गया समीकरण: $y = X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)$.
सबसे पहले,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = X \cdot \cos(6t + 5) \cdot 6 - Y \cdot \sin(6t + 5) \cdot 6 = 6[X \cos(6t + 5) - Y \sin(6t + 5)]$.
अब,पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dt^2} = 6[X \cdot (-\sin(6t + 5)) \cdot 6 - Y \cdot \cos(6t + 5) \cdot 6]$
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -36[X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)]$.
चूंकि $y = X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)$,इसलिए $y$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -36y$.
अतः,$\frac{d^2 y}{dt^2} + 36y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) मूल बिंदु $(0,0)$ पर $Y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2ax$ हो जाता है।
स्वेच्छ अचर $a$ को हटाने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(2ax)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$.
अब $2a = \frac{x^2+y^2}{x}$ का मान अवकलित समीकरण में रखने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{x}$.
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 - y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया हल $y = e^x (A \cos x + B \sin x)$ है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^x (A \cos x + B \sin x) + e^x (-A \sin x + B \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x)$
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x) + e^x (-(A + B) \sin x + (B - A) \cos x)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x ((A + B + B - A) \cos x + (B - A - A - B) \sin x)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x (2B \cos x - 2A \sin x)$
अब,$\frac{dy}{dx}$ और $y$ के मानों को $\frac{d^2 y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + 2y = 0$ में रखने पर:
$e^x (2B \cos x - 2A \sin x) - 2e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x) + 2e^x (A \cos x + B \sin x)$
$= e^x [ (2B - 2A - 2B + 2A) \cos x + (-2A - 2B + 2A + 2B) \sin x ]$
$= e^x [ 0 \cos x + 0 \sin x ] = 0$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया वक्रों का परिवार $y = C_1 e^{C_2 x}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = C_1 C_2 e^{C_2 x}$
चूंकि $y = C_1 e^{C_2 x}$,हम इसे अवकलज में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$y^{\prime} = y C_2$
$C_2 = \frac{y^{\prime}}{y}$
अब,$y^{\prime} = C_1 C_2 e^{C_2 x}$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime} = C_1 C_2^2 e^{C_2 x}$
$y = C_1 e^{C_2 x}$ को द्वितीय अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{\prime \prime} = (C_1 e^{C_2 x}) C_2^2 = y C_2^2$
$C_2 = \frac{y^{\prime}}{y}$ को समीकरण में रखने पर:
$y^{\prime \prime} = y \left( \frac{y^{\prime}}{y} \right)^2$
$y^{\prime \prime} = y \frac{(y^{\prime})^2}{y^2}$
$y^{\prime \prime} = \frac{(y^{\prime})^2}{y}$
$y y^{\prime \prime} = (y^{\prime})^2$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मूलबिंदु पर शीर्ष और धनात्मक $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलय का समीकरण $x^2 = 4ay$ है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(4ay)$
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$x = 2a \frac{dy}{dx}$
इससे,हमें $2a = \frac{x}{dy/dx}$ प्राप्त होता है।
अब $2a$ का मान मूल समीकरण $x^2 = 2a(2y)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = \left( \frac{x}{dy/dx} \right) (2y)$
$x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$
$x \frac{dy}{dx} = 2y$
$x \frac{dy}{dx} - 2y = 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना वक्र पर स्थित बिंदु $(x, y)$ है। स्पर्श रेखा का ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।
प्रश्न के अनुसार,कोटि $(y)$ और भुज $(x)$ का योग ढाल से $5$ अधिक है,अतः:
$y + x = \frac{dy}{dx} + 5$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - y = x - 5$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = x - 5$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है:
$y e^{-x} = \int (x - 5) e^{-x} dx + C$
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$= (x - 5)(-e^{-x}) - \int (1)(-e^{-x}) dx$
$= -(x - 5)e^{-x} - e^{-x} + C$
$= (-x + 5 - 1)e^{-x} + C = (4 - x)e^{-x} + C$
अतः,$y e^{-x} = (4 - x)e^{-x} + C$,जिसका अर्थ है $y = 4 - x + C e^x$।
चूंकि वक्र $(0, 2)$ से गुजरता है:
$2 = 4 - 0 + C e^0 \implies 2 = 4 + C \implies C = -2$।
$C = -2$ रखने पर:
$y = 4 - x - 2 e^x$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d^2 y}{d x^2} = 1$.
$x$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{1}{x}$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \int \frac{1}{x} dx = \log x + C_1$.
दिया है कि $x = 1$ पर $\frac{dy}{dx} = 0$: $0 = \log(1) + C_1 \implies C_1 = 0$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \log x$.
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y = \int \log x dx = x \log x - x + C_2$.
दिया है कि $x = 1$ पर $y = 1$: $1 = 1 \log(1) - 1 + C_2 \implies 1 = 0 - 1 + C_2 \implies C_2 = 2$.
अतः,हल $y = x \log x - x + 2$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{2+\sin x}{1+y}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$ है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{1+y} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1+y} dy = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$।
इससे हमें मिलता है: $\ln|1+y| = -\ln|2+\sin x| + C$।
प्रारंभिक शर्त $y(0)=2$ का उपयोग करने पर: $\ln|1+2| = -\ln|2+\sin 0| + C \implies \ln 3 = -\ln 2 + C \implies C = \ln 3 + \ln 2 = \ln 6$।
अतः,$\ln(1+y) = -\ln(2+\sin x) + \ln 6 = \ln\left(\frac{6}{2+\sin x}\right)$।
इसलिए,$1+y = \frac{6}{2+\sin x} \implies y = \frac{6}{2+\sin x} - 1$।
अब,$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात करें: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{6}{2+\sin(\pi/2)} - 1 = \frac{6}{2+1} - 1 = \frac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1$।

(A) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (x+y)^2$ को हल करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $v = x+y$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$।
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{dv}{dx} - 1 = v^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dv}{dx} = 1 + v^2$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dv}{1+v^2} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{dv}{1+v^2} = \int dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\tan^{-1}(v) = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = x+y$ का मान वापस रखने पर,हमें $\tan^{-1}(x+y) = x + c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos \left(\frac{dy}{dx}\right) = 0.5$ है।
दोनों पक्षों का प्रतिलोम कोज्या (inverse cosine) लेने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1}(0.5)$।
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{3}$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dy = \int \frac{\pi}{3} dx$।
इससे $y = \frac{\pi}{3}x + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $x = 0$ पर $y = 1$ का उपयोग करने पर: $1 = \frac{\pi}{3}(0) + C$,जिसका अर्थ है $C = 1$।
अतः,विशिष्ट हल $y = \frac{\pi}{3}x + 1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} = \frac{a}{y}$.
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर: $y \frac{dy}{dx} + x = a$.
यह चर पृथक्करणीय रूप है: $y dy = (a - x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int y dy = \int (a - x) dx$.
$\frac{y^2}{2} = ax - \frac{x^2}{2} + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$2$ से गुणा करने पर: $y^2 = 2ax - x^2 + 2C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 2ax + y^2 = 2C$.
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 = 2C + a^2$.
$(x - a)^2 + y^2 = a^2 + 2C$.
यह एक वृत्त को निरूपित करता है जिसका केंद्र $(a, 0)$ है और त्रिज्या का वर्ग $r^2 = a^2 + 2C$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \sqrt{a^2 + 2C}$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 2xye^{x^2}$ है।
चर $x$ और $y$ को अलग करने पर:
$\frac{dy}{y} = 2x e^{x^2} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{y} = \int 2x e^{x^2} dx$ है।
माना $u = x^2$,तब $du = 2x dx$ है।
समाकलन इस प्रकार होगा:
$\ln|y| = \int e^u du = e^u + C = e^{x^2} + C$ है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर:
$|y| = e^{e^{x^2} + C} = e^C \cdot e^{e^{x^2}}$ है।
माना $c = \pm e^C$,तब व्यापक हल:
$y = c e^{e^{x^2}}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (x + 9y)^2$ है।
माना $v = x + 9y$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + 9\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{9} \left(\frac{dv}{dx} - 1\right)$।
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{9} \left(\frac{dv}{dx} - 1\right) = v^2$।
$\frac{dv}{dx} - 1 = 9v^2 \implies \frac{dv}{dx} = 1 + 9v^2$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{1 + 9v^2} = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{1 + (3v)^2} = \int dx$।
$\frac{1}{3} \tan^{-1}(3v) = x + C$।
$\tan^{-1}(3v) = 3x + 3C$।
$3v = \tan(3x + C_1)$,जहाँ $C_1 = 3C$ है।
$v = x + 9y$ रखने पर: $3(x + 9y) = \tan(3x + C_1) \implies 3x + 27y = \tan(3x + C_1)$।
$x = 0, y = \frac{1}{27}$ दिया गया है: $3(0) + 27(\frac{1}{27}) = \tan(3(0) + C_1) \implies 1 = \tan(C_1)$।
अतः,$C_1 = \frac{\pi}{4}$।
विशिष्ट हल $3x + 27y = \tan(3x + \frac{\pi}{4})$ है।
ध्यान दें कि $\tan(3x + \frac{\pi}{4}) = \tan[3(x + \frac{\pi}{12})]$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $3 e^x \tan y \, dx + (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = 0$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = -\frac{3 e^x}{1 - e^x} \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = \int \frac{3 e^x}{e^x - 1} \, dx$।
मान लीजिए $u = \tan y$,तो $du = \sec^2 y \, dy$। बायां पक्ष $\ln|\tan y|$ हो जाता है।
दाएं पक्ष के लिए,$v = e^x - 1$ लेने पर,$dv = e^x \, dx$। दायां पक्ष $3 \ln|e^x - 1| + C$ हो जाता है।
अतः,$\ln|\tan y| = 3 \ln|e^x - 1| + C = \ln|e^x - 1|^3 + C$।
इसका अर्थ है $\tan y = K(e^x - 1)^3$।
चूंकि $y(1) = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है,$\tan(\frac{\pi}{4}) = K(e^1 - 1)^3$,इसलिए $1 = K(e - 1)^3$,जिससे $K = \frac{1}{(e - 1)^3}$ प्राप्त होता है।
$K$ का मान रखने पर: $\tan y = \frac{(e^x - 1)^3}{(e - 1)^3} = \left(\frac{e^x - 1}{e - 1}\right)^3$।
चूंकि $(e^x - 1)^3 = -(1 - e^x)^3$ और $(e - 1)^3 = -(1 - e)^3$,हमें प्राप्त होता है $\tan y = \left(\frac{1 - e^x}{1 - e}\right)^3$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
माना $u = 2+\sin x$,तब $du = \cos x dx$.
अतः,$\ln|y+1| = -\ln|2+\sin x| + C$.
इसे सरल करने पर $\ln|y+1| + \ln|2+\sin x| = C$,या $\ln|(y+1)(2+\sin x)| = C$ प्राप्त होता है।
अतः,$(y+1)(2+\sin x) = K$ (जहाँ $K = e^C$)।
प्रारंभिक शर्त $y(0)=1$ का उपयोग करने पर: $(1+1)(2+\sin 0) = K \implies 2(2+0) = K \implies K = 4$.
अतः,$(y+1)(2+\sin x) = 4$.
अब,$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ज्ञात कीजिए:
$(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+\sin(\frac{\pi}{2})) = 4$.
$(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+1) = 4$.
$3(y(\frac{\pi}{2})+1) = 4$.
$y(\frac{\pi}{2})+1 = \frac{4}{3}$.
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(B) दिया गया है कि वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dy = \int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx$
$y = x + \frac{1}{x} + C$
चूंकि वक्र $\left(2, \frac{9}{2}\right)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 2$ और $y = \frac{9}{2}$ रखने पर:
$\frac{9}{2} = 2 + \frac{1}{2} + C$
$\frac{9}{2} = \frac{5}{2} + C$
$C = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2$
अतः,समीकरण $y = x + \frac{1}{x} + 2$ है।
$x$ से गुणा करने पर,हमें $xy = x^2 + 1 + 2x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $xy = x^2 + 2x + 1$ मिलता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\sin \left(\frac{x+y}{2}\right) - \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \sin \left(\frac{y}{2}\right)$.
अतः,समीकरण $\frac{dy}{dx} = -2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \sin \left(\frac{y}{2}\right)$ हो जाता है।
चरों को पृथक करने पर,हमें $\frac{dy}{\sin(y/2)} = -2 \cos(x/2) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \csc(y/2) dy = -2 \int \cos(x/2) dx$.
$2 \log |\tan(y/4)| = -2(2 \sin(x/2)) + c_1$.
$2$ से भाग देने पर: $\log |\tan(y/4)| = -2 \sin(x/2) + c$,जहाँ $c = c_1/2$.
अतः,व्यापक हल $\log \tan \left(\frac{y}{4}\right) = c - 2 \sin \left(\frac{x}{2}\right)$ है।

(C) मान लीजिए $M(t)$ समय $t$ पर नमी की मात्रा है। परिवर्तन की दर $\frac{dM}{dt} = -kM$ द्वारा दी गई है,जहाँ $k > 0$ है।
इस अवकल समीकरण को हल करने पर,हमें $M(t) = M_0 e^{-kt}$ प्राप्त होता है,जहाँ $M_0$ प्रारंभिक नमी है।
दिया गया है कि $t = 1$ घंटे पर,$50 \%$ नमी खो जाती है,इसलिए $M(1) = 0.5 M_0$ है।
$0.5 M_0 = M_0 e^{-k} \implies e^{-k} = 0.5 = \frac{1}{2}$।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$-k = \ln(1/2) = -\ln 2$,इसलिए $k = \ln 2$ है।
हमें वह $t$ ज्ञात करना है जिस पर $90 \%$ नमी खो जाए,जिसका अर्थ है कि $10 \%$ शेष रहे।
$M(t) = 0.1 M_0 = M_0 e^{-kt}$।
$0.1 = e^{-kt} \implies \ln(0.1) = -kt$।
$-\ln 10 = -(\ln 2)t$।
$t = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10$ घंटे।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(2y - x) \frac{dy}{dx} = 1$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = 2y - x$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = 1$ और $Q(y) = 2y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int 1 dy} = e^y$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $e^y \frac{dx}{dy} + x e^y = 2y e^y$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dy}(x e^y) = 2y e^y$.
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $x e^y = \int 2y e^y dy$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int 2y e^y dy = 2(y e^y - e^y) + c = 2e^y(y - 1) + c$.
अतः,$x e^y = 2e^y(y - 1) + c$.
$e^y$ से भाग देने पर,हमें $x = 2(y - 1) + ce^{-y}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x^2 y^3} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$.
माना $v = y^{-3}$,तब $\frac{dv}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $-\frac{1}{3} \frac{dv}{dx} = y^{-4} \frac{dy}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} + \frac{3}{x} v = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int \frac{3}{x} dx} = x^3$.
हल: $v \cdot x^3 = \int x^3 \cdot \frac{3 \cos x}{x^3} dx = 3 \sin x + C$.
अतः,$x^3 y^{-3} = 3 \sin x + C$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = 2y$ है।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$।
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = 2 \ln|x| + C$।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $\ln|y| = \ln|x^2| + C$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = e^{\ln|x^2| + C} = e^C \cdot x^2$।
माना $e^C = k$,जहाँ $k$ एक स्वेच्छ अचर है।
अतः,$y = kx^2$।
यह समीकरण मूलबिंदु $(0,0)$ पर शीर्ष और $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलयों के एक परिवार को निरूपित करता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1+x^2\right) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ है।
$(1+x^2)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ और $Q(x) = \frac{4x^2}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ है।
हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है।
$y(1+x^2) = \int \frac{4x^2}{1+x^2} \cdot (1+x^2) dx + C$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + C = \frac{4x^3}{3} + C$.
चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0, y=0$ रखने पर: $0(1+0) = 0 + C \implies C = 0$.
अतः,$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3}$,जिसे सरल करने पर $3y(1+x^2) = 4x^3$ प्राप्त होता है।

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y-1}{x^2+x}$ दी गई है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y-1} = \frac{dx}{x(x+1)}$ प्राप्त होता है।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y-1} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) dx$।
$\ln|y-1| = \ln|x| - \ln|x+1| + C$।
$\ln|y-1| = \ln|\frac{x}{x+1}| + C$।
चूंकि वक्र $(1,0)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=0$ रखने पर:
$\ln|0-1| = \ln|\frac{1}{1+1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$।
अतः,$\ln|y-1| = \ln|\frac{x}{x+1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x+1}|$।
$y-1 = \frac{2x}{x+1} \implies (y-1)(x+1) = 2x$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $2x - (y-1)(x+1) = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \cot x \cdot \cot y$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{\cot y} = \cot x \cdot dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\tan y \cdot dy = \cot x \cdot dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \tan y \cdot dy = \int \cot x \cdot dx$.
मानक समाकलन सूत्रों $\int \tan y \cdot dy = \ln|\sec y|$ और $\int \cot x \cdot dx = \ln|\sin x|$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\ln|\sec y| = \ln|\sin x| + \ln|c|$.
गुणधर्म $\ln|a| + \ln|b| = \ln|ab|$ का उपयोग करने पर: $\ln|\sec y| = \ln|c \sin x|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\sec y = c \sin x$.
चूंकि $\sec y = \frac{1}{\cos y}$,इसलिए $\frac{1}{\cos y} = c \sin x$,जिसका अर्थ है $\sin x = \frac{1}{c} \cos y$.
माना $k = \frac{1}{c}$,तो हमें प्राप्त होता है $\sin x = k \cos y$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 2x - 5y$ है।
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = e^{2x - 5y} = e^{2x} \cdot e^{-5y}$।
चरों को अलग करने पर,$e^{5y} \, dy = e^{2x} \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{5y} \, dy = \int e^{2x} \, dx$।
इससे $\frac{e^{5y}}{5} = \frac{e^{2x}}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$10$ से गुणा करने पर,$2e^{5y} = 5e^{2x} + 10C$,या $2e^{5y} - 5e^{2x} = K$।
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$2e^{5(0)} - 5e^{2(0)} = K \implies 2(1) - 5(1) = K \implies K = -3$।
अतः,$2e^{5y} - 5e^{2x} = -3$,जिसे $5e^{2x} - 2e^{5y} = 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$ है।
माना $v = x+y+1$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{1}{v}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{1}{v} = \frac{v+1}{v}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{v}{v+1} dv = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v+1-1}{v+1} dv = \int dx$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\int (1 - \frac{1}{v+1}) dv = \int dx$ मिलता है।
समाकलन करने पर $v - \log|v+1| = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = x+y+1$ का मान वापस रखने पर: $(x+y+1) - \log|x+y+2| = x + c$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $y+1 - \log|x+y+2| = c$ मिलता है,या $y = \log|x+y+2| + C'$,जहाँ $C' = c-1$ एक स्थिरांक है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dp}{dt} = \frac{p - 200}{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dp}{p - 200} = \frac{1}{2} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dp}{p - 200} = \int \frac{1}{2} dt$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|p - 200| = \frac{t}{2} + C$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $p - 200 = e^{t/2 + C} = Ae^{t/2}$,जहाँ $A = \pm e^C$.
अतः,$p = 200 + Ae^{t/2}$.
प्रारंभिक स्थिति $p(0) = 100$ दी गई है:
$100 = 200 + Ae^0 \implies 100 = 200 + A \implies A = -100$.
$A$ का मान समीकरण में रखने पर: $p = 200 - 100 e^{t/2}$.