MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $x = \tan \theta$,जहाँ $\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
अतः दिया गया समीकरण इस प्रकार होगा:
$3 \sin ^{-1}(\sin 2\theta) - 4 \cos ^{-1}(\cos 2\theta) + 2 \tan ^{-1}(\tan 2\theta) = \frac{\pi}{3}$.
यदि $x \in (-1, 1)$ है,तो $2\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ होगा।
इसलिए,$3(2\theta) - 4(2\theta) + 2(2\theta) = \frac{\pi}{3}$.
$6\theta - 8\theta + 4\theta = \frac{\pi}{3}$.
$2\theta = \frac{\pi}{3} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$x = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) माना कि $\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{5}$.
सूत्र $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{1-1/25} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{24/25} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$.
अब,हमें $\tan \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \tan^{-1} \frac{5}{12}$ और $B = \frac{\pi}{4}$:
$\tan \left( \tan^{-1} \frac{5}{12} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\frac{5}{12} - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \frac{5}{12} \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{5}{12} - 1}{1 + \frac{5}{12}(1)} = \frac{\frac{5-12}{12}}{\frac{12+5}{12}} = \frac{-7}{17}$.

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \cot^{-1}(2n^2)$ है।
हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ होता है।
अतः,$T_n = \tan^{-1}(\frac{1}{2n^2})$।
हम तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{1}{2n^2} = \frac{2}{4n^2} = \frac{2}{1 + (2n^2 - 1)} = \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)}$।
सूत्र $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ का उपयोग करने पर:
$T_n = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$।
प्रथम $N$ पदों का योग $S_N = \sum_{n=1}^{N} [\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)]$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_N = (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(5) - \tan^{-1}(3)) + \ldots + (\tan^{-1}(2N+1) - \tan^{-1}(2N-1))$।
$S_N = \tan^{-1}(2N+1) - \tan^{-1}(1)$।
जब $N \to \infty$,तब $S_N = \tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{8^x-4^x-2^x+1}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(4^x-1)(2^x-1)}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{4^x-1}{x} \right) \left( \frac{2^x-1}{x} \right) = \log 4 \cdot \log 2$.
अब,बाईं सीमा $(LHL)$ और $f(0)$ ज्ञात करें:
$f(0) = e^0 \sin(0) + 0 + \lambda \log 4 = \lambda \log 4$.
दोनों सीमाओं की तुलना करने पर:
$\log 4 \cdot \log 2 = \lambda \log 4 \implies \lambda = \log 2$.
अब,$1000 e^\lambda$ का मान ज्ञात करें:
$1000 e^{\log 2} = 1000 \times 2 = 2000$.

(B) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$,और फलन का मान $f(0)$ बराबर होने चाहिए।
$LHL = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
$RHL = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}{\sqrt{x}}$.
संयुग्मी (conjugate) से गुणा करने पर: $\lim_{x \to 0^+} \frac{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{16+\sqrt{x}-16}{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{16+\sqrt{x}}+4} = \frac{1}{4+4} = \frac{1}{8}$.
चूंकि $LHL \neq RHL$,इसलिए $a$ के किसी भी मान के लिए फलन $x = 0$ पर सतत नहीं है। प्रश्न में विरोधाभास है क्योंकि सीमाएँ समान नहीं हैं।

(B) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = -1$ होना चाहिए।
सीमा का मूल्यांकन: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos ax - \cos bx}{\cos cx - \cos bx}$।
छोटे $\theta$ के लिए $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ विस्तार का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \frac{a^2x^2}{2}) - (1 - \frac{b^2x^2}{2})}{(1 - \frac{c^2x^2}{2}) - (1 - \frac{b^2x^2}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{b^2x^2}{2} - \frac{a^2x^2}{2}}{\frac{b^2x^2}{2} - \frac{c^2x^2}{2}} = \frac{b^2 - a^2}{b^2 - c^2}$।
इसे $-1$ के बराबर रखने पर: $\frac{b^2 - a^2}{b^2 - c^2} = -1$।
$b^2 - a^2 = -(b^2 - c^2) \implies b^2 - a^2 = c^2 - b^2$।
$2b^2 = a^2 + c^2$।
यह स्थिति दर्शाती है कि $a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी में हैं।

(C) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए, $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
माना $L = \lim_{x \to 0} \frac{(27-2x)^{1/3}-3}{9-3(243+5x)^{1/5}}$.
अचर बाहर लेने पर: $L = \lim_{x \to 0} \frac{3((1 - \frac{2x}{27})^{1/3} - 1)}{9(1 - (1 + \frac{5x}{243})^{1/5})} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \frac{2x}{27})^{1/3} - 1}{1 - (1 + \frac{5x}{243})^{1/5}}$.
द्विपद प्रसार $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करने पर:
अंश: $(1 - \frac{2x}{27})^{1/3} - 1 \approx 1 - \frac{2x}{81} - 1 = -\frac{2x}{81}$.
हर: $1 - (1 + \frac{5x}{243})^{1/5} \approx 1 - (1 + \frac{x}{243}) = -\frac{x}{243}$.
अतः, $L = \frac{1}{3} \cdot \frac{-2x/81}{-x/243} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{81} \cdot 243 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 3 = 2$.

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
दाहिनी सीमा: $\lim_{x \to 0^+} \frac{8^x - 4^x - 2^x + 1}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(4^x - 1)(2^x - 1)}{x^2} = \log 4 \cdot \log 2$.
बाईं सीमा: $\lim_{x \to 0^-} (e^x \sin x + kx + \lambda \log 4) = \lambda \log 4$.
दोनों को बराबर करने पर: $\lambda \log 4 = \log 4 \cdot \log 2 \implies \lambda = \log 2$.
अतः $e^\lambda = e^{\log 2} = 2$.
इसलिए,$500 e^\lambda = 500 \times 2 = 1000$.

(B) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{10^x + 7^x - 14^x - 5^x}{1 - \cos x}$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $(2^x - 1)(5^x - 7^x)$.
अतः,$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(2^x - 1)(5^x - 7^x)}{1 - \cos x}$.
मानक सीमाओं का उपयोग करने पर: $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ और $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
$f(0) = \frac{(\ln 2)(\ln 5 - \ln 7)}{1/2} = 2 \ln 2 \ln(5/7) = \ln 4 \ln(5/7)$.

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया है $f(x) = \frac{\sin(\pi \cos^2 x)}{3x^2}$।
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\sin(\pi(1 - \sin^2 x))}{3x^2} = \frac{\sin(\pi - \pi \sin^2 x)}{3x^2}$।
चूँकि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{3x^2}$।
अब,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{\pi \sin^2 x} \times \frac{\pi \sin^2 x}{3x^2} \right)$।
चूँकि $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए:
$f(0) = 1 \times \frac{\pi}{3} \times (1)^2 = \frac{\pi}{3}$।

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,सीमा का मान ज्ञात करें: $\lim_{x \to 0} \frac{9^x - 2 \cdot 3^x + 1}{\log(1 + 3x) \cdot \tan 2x}$।
ध्यान दें कि $9^x - 2 \cdot 3^x + 1 = (3^x - 1)^2$ है।
अतः,सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{(3^x - 1)^2}{\log(1 + 3x) \cdot \tan 2x}$ है।
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{3^x - 1}{x} = \log 3$,$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + 3x)}{3x} = 1$,और $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} = 1$ का उपयोग करने पर:
सीमा $= \frac{(\log 3)^2}{6}$।
दिया गया है कि $f(0) = a(\log b)^c$,इसलिए $a(\log b)^c = \frac{1}{6}(\log 3)^2$।
तुलना करने पर,$a = \frac{1}{6}$,$b = 3$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b + c = \frac{1}{6} + 3 + 2 = \frac{31}{6}$।

(D) सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम दी गई बाधाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $2x + 3y \geqslant 12$: क्षेत्र रेखा $2x + 3y = 12$ पर या उसके ऊपर है।
$2$. $-x + y \leqslant 3$: क्षेत्र रेखा $-x + y = 3$ पर या उसके नीचे है।
$3$. $x \leqslant 4$: क्षेत्र रेखा $x = 4$ के बाईं ओर है।
$4$. $y \geqslant 3$: क्षेत्र रेखा $y = 3$ पर या उसके ऊपर है।
ग्राफ का अवलोकन करके और बाधाओं का परीक्षण करके:
- क्षेत्र $S_4$,$y=3$,$x=4$,$-x+y=3$ और $2x+3y=12$ द्वारा घिरा हुआ है। $S_4$ में एक बिंदु $(1, 4)$ की जाँच करने पर:
- $2(1) + 3(4) = 14 \geqslant 12$ (सत्य)
- $-(1) + 4 = 3 \leqslant 3$ (सत्य)
- $1 \leqslant 4$ (सत्य)
- $4 \geqslant 3$ (सत्य)
सभी बाधाएं क्षेत्र $S_4$ में संतुष्ट होती हैं।

(B) दी गई असमिकाएं हैं:
$1$) $x - 2 \leqslant y \implies y \geqslant x - 2$
$2$) $x \geqslant y - 1 \implies y \leqslant x + 1$
$3$) $x \geqslant 2$
$4$) $y \leqslant 4$
$5$) $x, y \geqslant 0$
इन असमिकाओं का विश्लेषण करने पर:
- रेखा $y = x - 2$,$(2, 0)$ और $(4, 2)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र $y \geqslant x - 2$ इस रेखा के ऊपर है।
- रेखा $y = x + 1$,$(0, 1)$ और $(3, 4)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र $y \leqslant x + 1$ इस रेखा के नीचे है।
- असमिका $x \geqslant 2$ क्षेत्र को ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ के दाईं ओर सीमित करती है।
- असमिका $y \leqslant 4$ क्षेत्र को क्षैतिज रेखा $y = 4$ के नीचे सीमित करती है।
इन सबको मिलाने पर,सुसंगत क्षेत्र $x = 2$,$y = x - 2$,$y = x + 1$ और $y = 4$ द्वारा घिरा हुआ है। यह विकल्प $B$ में दर्शाए गए छायांकित क्षेत्र के अनुरूप है।

(A) सुसंगत क्षेत्र शीर्षों $A, B, C$ द्वारा परिबद्ध है।
ग्राफ से,रेखाएं $x = 5$,$y = 4$,$x + y = 15$ और $x - y = 10$ हैं।
छायांकित क्षेत्र के शीर्ष $A(5, 5)$,$B(5, 10)$ और $C(11, 4)$ हैं।
- $A(5, 5)$ पर: $z = 550(5) + 300(5) = 2750 + 1500 = 4250$.
- $B(5, 10)$ पर: $z = 550(5) + 300(10) = 2750 + 3000 = 5750$.
- $C(11, 4)$ पर: $z = 550(11) + 300(4) = 6050 + 1200 = 7250$.
अधिकतम मान $7250$ है।

(B) $L$.$P$.$P$. को हल करने के लिए,हम शर्तों द्वारा परिभाषित संभव क्षेत्र की पहचान करते हैं:
$1$. $x + y \leqslant 8$
$2$. $x + 2y \geqslant 4$
$3$. $6x + 4y \geqslant 12$ (या $3x + 2y \geqslant 6$)
$4$. $x \geqslant 0, y \geqslant 0$
संभव क्षेत्र के कोणीय बिंदु इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित होते हैं:
- $x + 2y = 4$ और $3x + 2y = 6$ का प्रतिच्छेदन: घटाने पर $2x = 2$ मिलता है,इसलिए $x = 1$. फिर $1 + 2y = 4 \implies y = 1.5$. बिंदु: $(1, 1.5)$.
- $x + y = 8$ और $x + 2y = 4$ का प्रतिच्छेदन: $y = -4$,जो प्रथम चतुर्थांश के बाहर है।
- $x + y = 8$ और $3x + 2y = 6$ का प्रतिच्छेदन: $y = -18$,प्रथम चतुर्थांश के बाहर है।
- अक्षों पर बिंदु: $3x + 2y = 6$ से $(0, 3)$,$x + 2y = 4$ से $(0, 2)$,$x + y = 8$ से $(8, 0)$,$3x + 2y = 6$ से $(2, 0)$.
कोणीय बिंदुओं पर $z = 30x + 20y$ का मान:
- $(0, 3)$ पर,$z = 30(0) + 20(3) = 60$.
- $(1, 1.5)$ पर,$z = 30(1) + 20(1.5) = 30 + 30 = 60$.
- $(8, 0)$ पर,$z = 30(8) + 20(0) = 240$.
- $(2, 0)$ पर,$z = 30(2) + 20(0) = 60$.
चूंकि उद्देश्य फलन $z$ $(0, 3)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर कई बिंदुओं पर समान न्यूनतम मान $60$ लेता है,इसलिए $L$.$P$.$P$. के अनंत समाधान हैं।

(C) प्रतिबंधों के अधीन $z = x + y$ को न्यूनतम करने के लिए:
$1$) $x + y \geqslant 2$
$2$) $x + 2y \leqslant 8$
$3$) $y \leqslant 3$
$4$) $x, y \geqslant 0$
सबसे पहले,हम रेखाओं को आलेखित करके सुसंगत क्षेत्र (feasible region) निर्धारित करते हैं:
- $x + y = 2$,$(2, 0)$ और $(0, 2)$ से गुजरती है।
- $x + 2y = 8$,$(8, 0)$ और $(0, 4)$ से गुजरती है।
- $y = 3$ एक क्षैतिज रेखा है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं:
- $x + y = 2$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 2)$ है।
- $x + y = 2$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन $(2, 0)$ है।
- $x + 2y = 8$ और $y = 3$ का प्रतिच्छेदन $x + 6 = 8 \implies x = 2$,यानी $(2, 3)$ है।
- $x = 0$ और $y = 3$ का प्रतिच्छेदन $(0, 3)$ है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 2), (2, 0), (2, 3), (0, 3)$ हैं।
इन बिंदुओं पर $z = x + y$ का मान ज्ञात करने पर:
- $(0, 2)$ पर,$z = 0 + 2 = 2$.
- $(2, 0)$ पर,$z = 2 + 0 = 2$.
- $(2, 3)$ पर,$z = 2 + 3 = 5$.
- $(0, 3)$ पर,$z = 0 + 3 = 3$.
न्यूनतम मान $2$ है,जो $(0, 2)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित सभी बिंदुओं पर प्राप्त होता है। चूंकि एक रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए समाधान समुच्चय में अनंत बिंदु शामिल हैं।

(C) बाधाएं $x + y \leqslant 20$,$y \geqslant 5$ और $x \geqslant 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष निम्नलिखित हैं:
$1$. $y = 5$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $(0, 5)$।
$2$. $x + y = 20$ और $y = 5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $(15, 5)$।
$3$. $x + y = 20$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $(0, 20)$।
अब,इन शीर्षों पर $z = 7x - 8y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(0, 5)$ पर: $z = 7(0) - 8(5) = -40$।
$(15, 5)$ पर: $z = 7(15) - 8(5) = 105 - 40 = 65$।
$(0, 20)$ पर: $z = 7(0) - 8(20) = -160$।
अधिकतम मान $65$ है और न्यूनतम मान $-160$ है।
अंतर $65 - (-160) = 65 + 160 = 225$ है।
चूंकि अंतर $5k + 200$ दिया गया है,इसलिए $5k + 200 = 225$।
$5k = 25$,अतः $k = 5$।

(C) बाधाओं को खोजने के लिए,हम ग्राफ से रेखाओं $L_1, L_2, L_3$ के समीकरण निर्धारित करते हैं।
$1$. रेखा $L_1$ बिंदु $(-1, 0)$ और $(0, 1)$ से गुजरती है। समीकरण $\frac{x}{-1} + \frac{y}{1} = 1 \Rightarrow y-x = 1$ है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है,इसलिए बाधा $y-x \geqslant 1$ है।
$2$. रेखा $L_2$ बिंदु $(0, 2)$ और $(5, 0)$ से गुजरती है। समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1 \Rightarrow 2x+5y = 10$ है। चूंकि क्षेत्र इस रेखा के नीचे है,इसलिए बाधा $2x+5y \leqslant 10$ है।
$3$. रेखा $L_3$ बिंदु $(0, 1)$ और $(1, 0)$ से गुजरती है। समीकरण $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} = 1 \Rightarrow x+y = 1$ है। चूंकि क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है,इसलिए बाधा $x+y \geqslant 1$ है।
इन्हें गैर-ऋणात्मक बाधाओं $x, y \geqslant 0$ के साथ जोड़ने पर,हमें प्रणाली मिलती है: $y-x \geqslant 1, 2x+5y \leqslant 10, x+y \geqslant 1, x, y \geqslant 0$। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए प्रतिबंधों का विश्लेषण करते हैं:
$1. 2x + y \leqslant 10$: रेखा $(0, 10)$ और $(5, 0)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
$2. y \leqslant x$: रेखा $(0, 0)$ और $(2, 2)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र रेखा के नीचे है।
$3. y \leqslant 2$: क्षेत्र क्षैतिज रेखा $y = 2$ के नीचे है।
$4. x, y \geqslant 0$: क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।
प्रतिच्छेदन बिंदु:
- $y = 2$ और $y = x$ के लिए,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है। बिंदु $(2, 2)$ है।
- $y = 2$ और $2x + y = 10$ के लिए,हमें $2x + 2 = 10 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$ प्राप्त होता है। बिंदु $(4, 2)$ है।
- $y = x$ और $2x + y = 10$ के लिए,हमें $2x + x = 10 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = 10/3$ प्राप्त होता है। बिंदु $(10/3, 10/3)$ है।
सुसंगत क्षेत्र शीर्षों $(0, 0)$,$(2, 2)$,$(4, 2)$ और $x$-अक्ष के खंड द्वारा घिरा हुआ है। दिए गए विकल्पों को देखने पर,जो ग्राफ इन रेखाओं द्वारा घिरे क्षेत्र को सही ढंग से दर्शाता है,वह विकल्प $C$ में है।

(D) बाधाएं $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x = y$,और $x, y \geqslant 0$ हैं।
बाधाओं में $x = y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1$) $x + 3x \leqslant 60 \implies 4x \leqslant 60 \implies x \leqslant 15$.
$2$) $x + x \geqslant 10 \implies 2x \geqslant 10 \implies x \geqslant 5$.
चूंकि $x = y$,सुसंगत क्षेत्र $(5, 5)$ से $(15, 15)$ तक का रेखाखंड है।
उद्देश्य फलन $z = 3x + 5y$ है।
$z$ में $y = x$ रखने पर,हमें $z = 3x + 5x = 8x$ प्राप्त होता है।
$(5, 5)$ पर,$z = 8(5) = 40$.
$(15, 15)$ पर,$z = 8(15) = 120$.
अधिकतम मान $120$ है और न्यूनतम मान $40$ है।
अंतर $120 - 40 = 80$ है।

(B) $Z = 6x + 3y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) के शीर्ष बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1) x + y = 5$
$2) x + 2y = 4$
$3) 4x + y = 12$
$4) x \geq 0, y \geq 0$
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु:
- $x + y = 5$ और $4x + y = 12$ का प्रतिच्छेदन: घटाने पर $3x = 7 \implies x = 7/3$. तब $y = 5 - 7/3 = 8/3$. बिंदु: $(7/3, 8/3)$.
- $x + 2y = 4$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन: $y = -1$ प्राप्त होता है,जो प्रथम चतुर्थांश में नहीं है।
- $x + 2y = 4$ और $4x + y = 12$ का प्रतिच्छेदन: $x = 4 - 2y$. प्रतिस्थापित करने पर: $4(4 - 2y) + y = 12 \implies 16 - 8y + y = 12 \implies 7y = 4 \implies y = 4/7$. तब $x = 4 - 8/7 = 20/7$. बिंदु: $(20/7, 4/7)$.
- अक्षों पर बिंदु: $(3, 0), (4, 0), (0, 2), (0, 5)$.
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदुओं पर $Z = 6x + 3y$ का मान:
- $(3, 0)$ पर: $Z = 6(3) + 3(0) = 18$
- $(7/3, 8/3)$ पर: $Z = 6(7/3) + 3(8/3) = 14 + 8 = 22$
- $(20/7, 4/7)$ पर: $Z = 6(20/7) + 3(4/7) = 132/7$
- $(0, 2)$ पर: $Z = 6(0) + 3(2) = 6$
अतः,अधिकतम मान $22$ है।

(C) $1$. बाधाओं द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें:
$x + y \geqslant 2$,$x + 2y \leqslant 8$,$y \leqslant 3$,$x, y \geqslant 0$.
$2$. सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु रेखाओं के प्रतिच्छेदन को हल करके प्राप्त किए जाते हैं:
- $x + y = 2$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 2)$ देता है।
- $x + y = 2$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन $(2, 0)$ देता है।
- $x + 2y = 8$ और $y = 3$ का प्रतिच्छेदन $(2, 3)$ देता है।
- $x + 2y = 8$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 4)$ देता है,लेकिन $y \leqslant 3$ इसे $(0, 3)$ तक सीमित करता है।
$3$. कोणीय बिंदुओं पर $z = x + y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 2)$ पर,$z = 0 + 2 = 2$.
- $(2, 0)$ पर,$z = 2 + 0 = 2$.
- $(2, 3)$ पर,$z = 2 + 3 = 5$.
- $(0, 3)$ पर,$z = 0 + 3 = 3$.
$4$. $z$ का न्यूनतम मान $2$ है,जो $(0, 2)$ और $(2, 0)$ दोनों पर प्राप्त होता है।
$5$. चूंकि उद्देश्य फलन $z = x + y$ बाधा $x + y = 2$ के समानांतर है,इसलिए न्यूनतम मान $(0, 2)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $x$ वस्तु $A$ की संख्या है और $y$ वस्तु $B$ की संख्या है।
अधिकतम करने के लिए लाभ फलन $z = 25x + 18y$ है।
मशीन $I$ की बाधा: $20x + 15y \leqslant 640$ (क्योंकि $10$ घंटे $40$ मिनट $= 640$ मिनट)।
मशीन $II$ की बाधा: $5x + 8y \leqslant 500$ (क्योंकि $8$ घंटे $20$ मिनट $= 500$ मिनट)।
ऋणेतर बाधाएं: $x \geqslant 0, y \geqslant 0$।
अतः,सही सूत्रीकरण है: Maximize $z = 25x + 18y$ subject to $20x + 15y \leqslant 640, 5x + 8y \leqslant 500, x, y \geqslant 0$.

(A) सुसंगत क्षेत्र बाधाओं $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x - y \leqslant 0$,$x \geqslant 0$,और $y \geqslant 0$ द्वारा निर्धारित होता है।
सबसे पहले,हम सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को हल करके सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष ज्ञात करते हैं:
$1$. $x - y = 0$ और $x + y = 10$ का प्रतिच्छेदन: $2x = 10 \implies x = 5, y = 5$. शीर्ष: $(5, 5)$.
$2$. $x - y = 0$ और $x + 3y = 60$ का प्रतिच्छेदन: $4y = 60 \implies y = 15, x = 15$. शीर्ष: $(15, 15)$.
$3$. $x + y = 10$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन: $y = 10$. शीर्ष: $(0, 10)$.
$4$. $x + 3y = 60$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन: $3y = 60 \implies y = 20$. शीर्ष: $(0, 20)$.
अब,प्रत्येक शीर्ष पर $Z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 5(5) = 15 + 25 = 40$.
- $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 5(15) = 45 + 75 = 120$.
- $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$.
- $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$.
अधिकतम मान $120$ है और न्यूनतम मान $40$ है।
अतः अंतर $120 - 40 = 80$ है।

(D) दी गई बाधाएं इस प्रकार हैं:
$1) x - y \leqslant -1 \implies y \geqslant x + 1$
$2) -x + y \leqslant 0 \implies y \leqslant x$
$3) x, y \geqslant 0$
बाधा $(1)$ से,$y \geqslant x + 1$। चूंकि $x \geqslant 0$,$y$ का न्यूनतम मान $1$ है।
बाधा $(2)$ से,$y \leqslant x$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x + 1 \leqslant y \leqslant x$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x + 1 \leqslant x$,जो सरल करने पर $1 \leqslant 0$ हो जाता है।
यह एक विरोधाभास है,जिसका अर्थ है कि ऐसा कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं है जो सभी बाधाओं को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,सुसंगत क्षेत्र खाली है और $z$ का अधिकतम मान अस्तित्व में नहीं है।

(B) सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x - y \geqslant 0 \implies y \leqslant x$. यह रेखा $y = x$ पर या उसके नीचे के क्षेत्र को दर्शाता है।
$2$. $x - 5y \leqslant -5 \implies 5y \geqslant x + 5 \implies y \geqslant \frac{1}{5}x + 1$. यह रेखा $y = \frac{1}{5}x + 1$ पर या उसके ऊपर के क्षेत्र को दर्शाता है।
$3$. $x \geqslant 0$ और $y \geqslant 0$ क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश में सीमित करते हैं।
इन सबको मिलाने पर,हम वह क्षेत्र देखते हैं जो $y = x$ के नीचे,$y = \frac{1}{5}x + 1$ के ऊपर और प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए हल करने पर: $x = \frac{1}{5}x + 1 \implies \frac{4}{5}x = 1 \implies x = 1.25$. अतः $y = 1.25$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(1.25, 1.25)$ है।
प्रथम चतुर्थांश में इन रेखाओं द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र एक त्रिभुजाकार क्षेत्र है। दिए गए विकल्पों को देखने पर,इन असमिकाओं द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र विकल्प $B$ में दर्शाया गया है।

(C) दिया गया आव्यूह $A = [a_{ij}]_{3 \times 3}$ जहाँ $a_{ij} = 2i + j$ है।
$A$ के अवयवों की गणना करने पर:
$a_{11} = 2(1) + 1 = 3$,$a_{12} = 2(1) + 2 = 4$,$a_{13} = 2(1) + 3 = 5$
$a_{21} = 2(2) + 1 = 5$,$a_{22} = 2(2) + 2 = 6$,$a_{23} = 2(2) + 3 = 7$
$a_{31} = 2(3) + 1 = 7$,$a_{32} = 2(3) + 2 = 8$,$a_{33} = 2(3) + 3 = 9$
अतः,$A = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 7 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह $A$ का एड्जॉइंट,$adj(A)$,सहखंड आव्यूह $C = [C_{ij}]_{3 \times 3}$ का परिवर्त (transpose) होता है।
$adj(A)$ की दूसरी पंक्ति का तीसरा अवयव,आव्यूह $A$ के अवयव $a_{32}$ का सहखंड $C_{32}$ है।
$C_{32} = (-1)^{3+2} \times M_{32}$,जहाँ $M_{32}$ अवयव $a_{32}$ का उपसारणिक (minor) है।
$M_{32} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = (3 \times 7) - (5 \times 5) = 21 - 25 = -4$.
$C_{32} = (-1)^5 \times (-4) = -1 \times (-4) = 4$.
अतः,अभीष्ट अवयव $4$ है।

(A) हम जानते हैं कि कोटि $n$ के एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए, $(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{|A|}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि $|A| = k$ है।
अतः, सूत्र में मान रखने पर, $(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{k}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, सही विकल्प $A$ है।

(C) सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = 1(0 - (-3)) - (-1)(0 - (-6)) + 1(0 - 4) = 1(3) + 1(-6) + 1(-4) = 3 - 6 - 4 = -7$.
चूंकि $B = \operatorname{adj} A$,हमारे पास $|B| = |A|^{n-1} = (-7)^{3-1} = (-7)^2 = 49$ है।
हमें $|\operatorname{adj} B|$ ज्ञात करना है। गुणधर्म $|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,हमें $|\operatorname{adj} B| = (49)^{3-1} = 49^2 = 2401$ प्राप्त होता है।
आगे,$|C| = |5A|$ ज्ञात करें। चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$|5A| = 5^3 |A| = 125 \times (-7) = -875$।
प्रश्न में अनुपात $\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|}$ पूछा गया है।
गुणधर्म का पुनर्मूल्यांकन करने पर: $|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1} = (|A|^{n-1})^{n-1} = |A|^{(n-1)^2}$।
$n=3$ के लिए,$|\operatorname{adj} B| = |A|^{(3-1)^2} = |A|^4 = (-7)^4 = 2401$।
$|C| = 5^3 |A| = 125 \times (-7) = -875$।
प्रश्न के विकल्पों में त्रुटि हो सकती है। मानक गुणों के अनुसार,परिणाम $\frac{2401}{-875} = -2.744$ है। यदि प्रश्न का उद्देश्य $|\operatorname{adj} B| / |A|^4$ था,तो उत्तर $1$ होगा। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$1$ सबसे तार्किक विकल्प है।

(D) हम जानते हैं कि $A \cdot \text{adj}(A) = |A|I$,जहाँ $I$ एक $2 \times 2$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$,अतः सारणिक $|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$ है।
अतः,$A \cdot \text{adj}(A) = (10a + 3b) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$।
साथ ही,$A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$ है।
तब $AA^T = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 9 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 13 \end{bmatrix}$।
$A \cdot \text{adj}(A) = AA^T$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$10a + 3b = 13$ (निचले दाएं अवयव से)।
साथ ही,$15a - 2b = 0$,जिसका अर्थ है $b = \frac{15a}{2}$।
$b$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13 \implies 20a + 45a = 26 \implies 65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$।
तब $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$।
अंत में,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = 1(8 - 6) - (-2)(0 - (-9)) + 2(0 - 6) = 1(2) + 2(9) + 2(-6) = 2 + 18 - 12 = 8$ की गणना करें।
इसके बाद,$\operatorname{adj} A$ ज्ञात करें। सहखंडज आव्यूह:
$C_{11} = 2, C_{12} = -9, C_{13} = -6$
$C_{21} = 4, C_{22} = -2, C_{23} = -4$
$C_{31} = 2, C_{32} = 3, C_{33} = 2$
अतः,$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 2 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -4 & 2 \end{bmatrix}$.
अब $A(I + \operatorname{adj} A) = A + A(\operatorname{adj} A) = A + |A|I$.
$A + 8I = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -2 & 2 \\ 0 & 10 & -3 \\ 3 & -2 & 12 \end{bmatrix}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $|A - \lambda I| = 0$ का उपयोग करके $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करते हैं।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ -1 & 4 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - (-2) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$.
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^2 - 5A + 6I = 0$.
$A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $A - 5I + 6A^{-1} = 0$.
$6A^{-1} = 5I - A$.
$A^{-1} = \frac{5}{6}I - \frac{1}{6}A$.
इसकी तुलना $A^{-1} = \alpha I + \beta A$ से करने पर,हमें $\alpha = \frac{5}{6}$ और $\beta = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
इसलिए,$4(\alpha + \beta) = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan x \\ -\tan x & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,परिवर्त आव्यूह $A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सारणिक $|A| = (1)(1) - (\tan x)(-\tan x) = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ ज्ञात करें।
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{\sec^2 x} \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix} = \cos^2 x \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$।
अब,$A^{T} A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix} \cdot \cos^2 x \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$= \cos^2 x \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 x & -2\tan x \\ 2\tan x & 1 - \tan^2 x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 x - \sin^2 x & -2\sin x \cos x \\ 2\sin x \cos x & \cos^2 x - \sin^2 x \end{bmatrix}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ और $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$A^{T} A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos 2x & -\sin 2x \\ \sin 2x & \cos 2x \end{bmatrix}$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & \cot \frac{\theta}{2} \\ -\cot \frac{\theta}{2} & 1 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (1)(1) - (\cot \frac{\theta}{2})(-\cot \frac{\theta}{2}) = 1 + \cot^2 \frac{\theta}{2} = \csc^2 \frac{\theta}{2}$ की गणना करें।
$A$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\cot \frac{\theta}{2} \\ \cot \frac{\theta}{2} & 1 \end{bmatrix} = A^T$ है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{\csc^2 \frac{\theta}{2}} A^T = \sin^2 \frac{\theta}{2} A^T$।
चूंकि $\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2}$,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$,जहाँ $I$ कोटि $3 \times 3$ का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -1 & 7 & -24 \\ 2 & a & 4 \\ 2 & -3 & 15 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ b & -1 & c \end{bmatrix}$।
अतः,$A \cdot A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -1 & 7 & -24 \\ 2 & a & 4 \\ 2 & -3 & 15 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ b & -1 & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
आव्यूहों का गुणा करने पर:
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $1$: $\frac{1}{11} [(-1)(3) + (7)(2) + (-24)(b)] = 1 \implies -3 + 14 - 24b = 11 \implies 11 - 24b = 11 \implies b = 0$।
पंक्ति $2 \times$ स्तंभ $2$: $\frac{1}{11} [(2)(3) + (a)(-3) + (4)(-1)] = 1 \implies 6 - 3a - 4 = 11 \implies 2 - 3a = 11 \implies -3a = 9 \implies a = -3$।
पंक्ति $3 \times$ स्तंभ $3$: $\frac{1}{11} [(2)(4) + (-3)(4) + (15)(c)] = 1 \implies 8 - 12 + 15c = 11 \implies -4 + 15c = 11 \implies 15c = 15 \implies c = 1$।
अतः,$a = -3, b = 0, c = 1$ है।

(C) हम जानते हैं कि $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ होता है।
दिया गया है कि $(AB)^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B^{-1} A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
$B^{-1} \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
$B^{-1} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \frac{3}{6} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$। तब $B^{-1} M = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$।
$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} M^{-1}$।
सबसे पहले,$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M)$ ज्ञात करें।
$|M| = (4)(0) - (3)(-1) = 0 + 3 = 3$।
$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$।
$M^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$।
अब,$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -7 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} (-7)(0) + (-3)(1) & (-7)(-3) + (-3)(4) \\ (2)(0) + (3)(1) & (2)(-3) + (3)(4) \end{bmatrix}$
$B^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -3 & 21 - 12 \\ 3 & -6 + 12 \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} -3 & 9 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$।

(C) $A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं।
$|A| = 3((-3)(1) - (4)(-1)) - (-3)((2)(1) - (4)(0)) + 4((2)(-1) - (-3)(0))$
$|A| = 3(-3 + 4) + 3(2) + 4(-2) = 3(1) + 6 - 8 = 3 + 6 - 8 = 1$.
चूंकि $|A| = 1 \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
इसके बाद,हम सहखंडज आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं।
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = -2$.
$C_{21} = -1, C_{22} = 3, C_{23} = 3$.
$C_{31} = 0, C_{32} = -4, C_{33} = -3$.
अतः,$adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ की गणना करने पर।
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ की गणना करने पर।
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = adj(A)$,इसलिए $A^{-1} = A^3$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(A-3I)(A-5I) = 0$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $A^2 - 5A - 3A + 15I = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $A^2 - 8A + 15I = 0$ हो जाता है।
चूंकि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,हम समीकरण के दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$A^{-1}(A^2 - 8A + 15I) = A^{-1}(0)$।
इससे $A - 8I + 15A^{-1} = 0$ प्राप्त होता है।
$15A^{-1}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $15A^{-1} = 8I - A$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $8$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{15}{8} A^{-1} = \frac{8I - A}{8} = I - \frac{1}{8} A$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अभिलक्षणिक समीकरण $A^2 - 4A + 3I = 0$ है।
हमें $(A + 3I)^{-1}$ ज्ञात करना है।
माना $(A + 3I)^{-1} = xA + yI$ है।
अतः $(A + 3I)(xA + yI) = I$ होगा।
$xA^2 + yA + 3xA + 3yI = I$
$xA^2 + (y + 3x)A + 3yI = I$
$A^2 = 4A - 3I$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x(4A - 3I) + (y + 3x)A + 3yI = I$
$(7x + y)A + (3y - 3x)I = I$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$7x + y = 0 \implies y = -7x$
$3y - 3x = 1$
$y = -7x$ को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$3(-7x) - 3x = 1 \implies -24x = 1 \implies x = -\frac{1}{24}$
अतः $y = \frac{7}{24}$
इस प्रकार,$(A + 3I)^{-1} = -\frac{1}{24}A + \frac{7}{24}I = \frac{7I}{24} - \frac{A}{24}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) समुच्चय $\{1, 2, 3, 4\}$ से प्रतिस्थापन के साथ दो संख्याएँ $p$ और $q$ चुनने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $4 \times 4 = 16$ है।
हमें उन युग्मों $(p, q)$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $p^2 > 4q$ हो।
आइए $p$ के प्रत्येक मान की जाँच करें:
यदि $p = 1$,तो $p^2 = 1$। किसी भी $q \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $1 > 4q$ संभव नहीं है।
यदि $p = 2$,तो $p^2 = 4$। किसी भी $q \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $4 > 4q$ संभव नहीं है।
यदि $p = 3$,तो $p^2 = 9$। $q = 1$ $(9 > 4)$ और $q = 2$ $(9 > 8)$ के लिए $9 > 4q$ सत्य है। अतः,$(3, 1)$ और $(3, 2)$ अनुकूल परिणाम हैं।
यदि $p = 4$,तो $p^2 = 16$। $q = 1$ $(16 > 4)$,$q = 2$ $(16 > 8)$,और $q = 3$ $(16 > 12)$ के लिए $16 > 4q$ सत्य है। अतः,$(4, 1), (4, 2)$,और $(4, 3)$ अनुकूल परिणाम हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $2 + 3 = 5$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{5}{16}$ है।

(D) कुल सेबों की संख्या $N = 100$ है। खराब सेबों की संख्या $M = 10$ है और सही सेबों की संख्या $N - M = 90$ है।
हम $n = 6$ सेबों का नमूना चुनते हैं। हमें $k = 3$ खराब सेब होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
यह हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का पालन करता है:
$P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
बाइनोमियल सन्निकटन $(p = 0.1)$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 3) = \binom{6}{3} (0.1)^3 (0.9)^3 = 20 \times 0.001 \times 0.729 = 0.01458$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर,$\frac{11}{20} = P(A) + \frac{2}{5} - P(A) \times \frac{2}{5}$.
$\frac{11}{20} - \frac{8}{20} = P(A)(1 - \frac{2}{5})$.
$\frac{3}{20} = P(A) \times \frac{3}{5}$.
$P(A) = \frac{3}{20} \times \frac{5}{3} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A'$ और $B$ भी स्वतंत्र हैं।
अतः,$P(A' \mid B) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
अब,जाँचें कि किस समीकरण का मूल $x = \frac{3}{4}$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $4(\frac{3}{4})^2 - 7(\frac{3}{4}) + 3 = 4(\frac{9}{16}) - \frac{21}{4} + 3 = \frac{9}{4} - \frac{21}{4} + \frac{12}{4} = 0$.
अतः,$x = \frac{3}{4}$ समीकरण $4x^2 - 7x + 3 = 0$ का एक मूल है।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X) = k + 2k + 4k + 2k + k = 10k = 1 \implies k = \frac{1}{10}$.
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(1 \le X < 4 | X \le 2)$ ज्ञात करनी है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
यहाँ,$A$ घटना $1 \le X < 4$ है,जिसका अर्थ है $X \in \{1, 2, 3\}$.
$B$ घटना $X \le 2$ है,जिसका अर्थ है $X \in \{0, 1, 2\}$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ घटना $X \in \{1, 2\}$ है।
अब,$P(A \cap B) = P(X=1) + P(X=2) = 2k + 4k = 6k = 6 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$.
और $P(B) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k + 2k + 4k = 7k = 7 \times \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$.
अतः,$P(A|B) = \frac{6/10}{7/10} = \frac{6}{7}$.

(B) मान लीजिए $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है। हमें प्रत्येक बॉक्स के चयन की प्रायिकता दी गई है: $P(B_1) = \frac{1}{2}$,$P(B_2) = \frac{1}{3}$,$P(B_3) = \frac{1}{6}$।
प्रत्येक बॉक्स से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता है:
$P(R|B_1) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$
$P(R|B_2) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$
$P(R|B_3) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,लाल गेंद निकालने की प्रायिकता है:
$P(R) = P(B_1)P(R|B_1) + P(B_2)P(R|B_2) + P(B_3)P(R|B_3)$
$P(R) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{6} \times \frac{3}{7}\right)$
$P(R) = \frac{1}{6} + \frac{2}{15} + \frac{1}{14} = \frac{35 + 28 + 15}{210} = \frac{78}{210} = \frac{13}{35}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद लाल है तो उसके बॉक्स $B_2$ से आने की प्रायिकता है:
$P(B_2|R) = \frac{P(B_2)P(R|B_2)}{P(R)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}{\frac{13}{35}} = \frac{2}{15} \times \frac{35}{13} = \frac{2 \times 7}{3 \times 13} = \frac{14}{39}$.

(D) मान लीजिए $H$ चित है और $T$ पट है। प्रयोग तब रुकता है जब $H$ आता है या $T$ लगातार $4$ बार आता है।
$X=1$ के लिए: परिणाम ${H}$ है। $P(X=1) = \frac{1}{2}$.
$X=2$ के लिए: परिणाम ${TH}$ है। $P(X=2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
$X=3$ के लिए: परिणाम ${TTH}$ है। $P(X=3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
$X=4$ के लिए: परिणाम ${TTTH, TTTT}$ हैं। $P(X=4) = (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
अतः,बंटन इस प्रकार है:
$P(X=1) = \frac{1}{2}$,$P(X=2) = \frac{1}{4}$,$P(X=3) = \frac{1}{8}$,$P(X=4) = \frac{1}{8}$.
यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(B) कुल संतरे = $4 + 16 = 20$ हैं। तीन संतरे निकाले जाते हैं। $20$ में से $3$ संतरे चुनने के तरीके $C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ हैं।
मान लीजिए $X$ खराब संतरों की संख्या है। $X$ का मान $0, 1, 2, 3$ हो सकता है।
$P(X=0) = \frac{C(4,0) \times C(16,3)}{1140} = \frac{1 \times 560}{1140} = \frac{560}{1140} = \frac{28}{57}$.
$P(X=1) = \frac{C(4,1) \times C(16,2)}{1140} = \frac{4 \times 120}{1140} = \frac{480}{1140} = \frac{24}{57} = \frac{8}{19}$.
$P(X=2) = \frac{C(4,2) \times C(16,1)}{1140} = \frac{6 \times 16}{1140} = \frac{96}{1140} = \frac{8}{95}$.
$P(X=3) = \frac{C(4,3) \times C(16,0)}{1140} = \frac{4 \times 1}{1140} = \frac{4}{1140} = \frac{1}{285}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ इन मानों से मेल खाता है।

(B) मान लीजिए कि $W_i$ और $B_i$ क्रमशः कलश $i$ से सफेद और काली गेंद निकालने की घटनाएँ हैं,जहाँ $i = 1, 2, 3$ है।
कलश $1$: $P(W_1) = \frac{2}{5}$,$P(B_1) = \frac{3}{5}$.
कलश $2$: $P(W_2) = \frac{3}{5}$,$P(B_2) = \frac{2}{5}$.
कलश $3$: $P(W_3) = \frac{1}{5}$,$P(B_3) = \frac{4}{5}$.
हमें $1$ काली और $2$ सफेद गेंदें चुनने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। यह तीन परस्पर अपवर्जी तरीकों से हो सकता है:
$1$. $(B_1, W_2, W_3)$: $P(B_1) \times P(W_2) \times P(W_3) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{9}{125}$.
$2$. $(W_1, B_2, W_3)$: $P(W_1) \times P(B_2) \times P(W_3) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{4}{125}$.
$3$. $(W_1, W_2, B_3)$: $P(W_1) \times P(W_2) \times P(B_3) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{125}$.
कुल प्रायिकता इन प्रायिकताओं का योग है: $\frac{9}{125} + \frac{4}{125} + \frac{24}{125} = \frac{37}{125}$.

(C) मान लीजिए $B$ एक लड़का और $G$ एक लड़की को दर्शाता है। $3$ बच्चों वाले परिवार के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ है:
$S = \{BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\}$.
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि तीनों बच्चे लड़कियाँ हैं,इसलिए $A = \{GGG\}$।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कम से कम एक बच्चा लड़की है,इसलिए $E = \{BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\}$।
घटना $E$ में परिणामों की संख्या $n(E) = 7$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap E = \{GGG\}$,इसलिए $n(A \cap E) = 1$।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|E)$ इस प्रकार है:
$P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)} = \frac{1}{7}$.

(B) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $P(X \leqslant x)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दी गई तालिका से,हमारे पास है:
$P(X \leqslant 0) = F(0) = 0.5$.
हम जानते हैं कि $P(X > 0) = 1 - P(X \leqslant 0)$.
इसलिए,$P(X > 0) = 1 - 0.5 = 0.5$.
अब,हमें अनुपात $\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)}$ की गणना करनी है।
$\frac{P(X \leqslant 0)}{P(X > 0)} = \frac{0.5}{0.5} = 1$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $P(A) = x$ और $P(B) = y$ है। चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $A$ और $B'$ भी स्वतंत्र हैं,और $A'$ और $B$ भी स्वतंत्र हैं।
दिया गया है $P(A \cap B') = P(A)P(B') = x(1-y) = \frac{3}{25}$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है $P(A' \cap B) = P(A')P(B) = (1-x)y = \frac{8}{25}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$x - xy = \frac{3}{25} \implies xy = x - \frac{3}{25}$।
$xy$ का मान समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $y - xy = \frac{8}{25} \implies y - (x - \frac{3}{25}) = \frac{8}{25} \implies y - x = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \implies y = x + \frac{1}{5}$।
$y$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $x(1 - (x + \frac{1}{5})) = \frac{3}{25} \implies x(\frac{4}{5} - x) = \frac{3}{25} \implies \frac{4}{5}x - x^2 = \frac{3}{25}$।
$25$ से गुणा करने पर: $20x - 25x^2 = 3 \implies 25x^2 - 20x + 3 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(5x - 1)(5x - 3) = 0$।
अतः,$x = \frac{1}{5}$ या $x = \frac{3}{5}$।
यदि $x = \frac{1}{5}$ है,तो $y = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$।
यदि $x = \frac{3}{5}$ है,तो $y = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।
विकल्पों की जाँच करने पर,$P(A) = \frac{1}{5}$ सही उत्तर है।