MHT CET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दी गई रेखाओं के युग्म $xy = 0$ और $xy + 5x - 4y - 20 = 0$ हैं।
$xy = 0$ से,हमें रेखाएँ $x = 0$ (y-अक्ष) और $y = 0$ (x-अक्ष) प्राप्त होती हैं।
दूसरे समीकरण $xy + 5x - 4y - 20 = 0$ का गुणनखंड करने पर:
$x(y + 5) - 4(y + 5) = 0$
$(x - 4)(y + 5) = 0$
इससे हमें रेखाएँ $x = 4$ और $y = -5$ प्राप्त होती हैं।
यह क्षेत्र रेखाओं $x = 0$,$x = 4$,$y = 0$ और $y = -5$ द्वारा घिरा हुआ है।
यह एक आयत बनाता है जिसकी लंबाई $|4 - 0| = 4$ इकाई और चौड़ाई $|0 - (-5)| = 5$ इकाई है।
आयत का क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 4 \times 5 = 20$ वर्ग इकाई है।

(B) हमारे पास रेखा $y = x$ और वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ का समीकरण है।
दी गई रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$x^2 + x^2 - 2x = 0$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
$x = 0, 1$
जब $x = 0$ है,तो $y = 0$; जब $x = 1$ है,तो $y = 1$ है।
अतः,व्यास $AB$ के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $(0, 0)$ और $(1, 1)$ हैं।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $(0, 0)$ और $(1, 1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ है।
इसका केंद्र $(-g, -f) = (3, 2)$ है।
दिए गए वृत्त के संकेंद्रीय वृत्त का केंद्र भी $(3, 2)$ होगा।
माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x-3)^2+(y-2)^2=r^2$ है।
चूंकि वृत्त $Y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |3| = 3$ होगी।
समीकरण में $r=3$ रखने पर: $(x-3)^2+(y-2)^2=3^2$.
विस्तार करने पर: $x^2-6x+9+y^2-4y+4=9$.
अतः,$x^2+y^2-6x-4y+4=0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया है,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{18}{5}$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a} = \frac{9}{5}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{9}{5}a \dots (i)$.
उत्केंद्रता $e = \frac{4}{5}$ है।
हम जानते हैं कि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $\frac{16}{25} = 1 - \frac{b^2}{a^2} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
$b^2 = \frac{9}{5}a$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\frac{9}{5}a}{a^2} = \frac{9}{25}$ $\Rightarrow \frac{9}{5a} = \frac{9}{25}$ $\Rightarrow a = 5$.
अब,$b^2 = \frac{9}{5}(5) = 9$.
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ अर्थात $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $25x^2 - 9y^2 = 225$ है।
दोनों पक्षों को $225$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 25$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर:
$e = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}$।

(B) अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 6$ दी गई है,इसलिए $a = 3$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{8}{3}$ दी गई है।
$a = 3$ का मान रखने पर: $\frac{2b^2}{3} = \frac{8}{3} \implies 2b^2 = 8 \implies b^2 = 4$ है।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ होता है।
$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ रखने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
$36$ से गुणा करने पर,$4x^2 - 9y^2 = 36$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ है,जो $e = \sqrt{2}$ उत्केंद्रता वाला एक आयतीय अतिपरवलय है।
नाभियाँ $S(a\sqrt{2}, 0)$ और $S'(-a\sqrt{2}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय पर किसी बिंदु $P(x_1, y_1)$ के लिए,नाभीय दूरियाँ $SP = |\sqrt{2}x_1 - a|$ और $S'P = |\sqrt{2}x_1 + a|$ हैं।
अतः,$SP \cdot S'P = |2x_1^2 - a^2|$।
चूंकि $x_1^2 - y_1^2 = a^2$,इसलिए $x_1^2 = a^2 + y_1^2$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$SP \cdot S'P = x_1^2 + y_1^2$ प्राप्त होता है।

(B) पुनरुक्ति (tautology) एक ऐसा कथन पैटर्न है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
विकल्प $(b)$ की जाँच करें: $p \rightarrow (q \vee p)$
$= \sim p \vee (q \vee p)$
$= (\sim p \vee p) \vee q$
$= T \vee q$
$= T$
चूंकि परिणाम हमेशा सत्य $(T)$ है,इसलिए कथन पैटर्न $p \rightarrow (q \vee p)$ एक पुनरुक्ति है।

(D) मान लीजिए $p$ कथन "दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं" है और $q$ कथन "उनके क्षेत्रफल समान हैं" है। दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिलोम $\sim p \rightarrow \sim q$ है,जो है: "यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं,तो उनके क्षेत्रफल समान नहीं हैं।"
प्रतिलोम $(\sim p \rightarrow \sim q)$ का प्रतिधनात्मक $\sim(\sim q) \rightarrow \sim(\sim p)$ है,जो $q \rightarrow p$ में सरल हो जाता है। यह है: "यदि दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं,तो वे सर्वांगसम हैं।"

(A) दिया गया है: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a: \sim(p \wedge \sim r) \vee(\sim q \vee s)$ के लिए
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sim(T \wedge \sim F) \vee(\sim T \vee F)$
$= \sim(T \wedge T) \vee(F \vee F)$
$= \sim(T) \vee(F)$
$= F \vee F = F$.
$b: (p \vee s) \leftrightarrow(q \wedge r)$ के लिए
मान प्रतिस्थापित करने पर: $(T \vee F) \leftrightarrow(T \wedge F)$
$= (T) \leftrightarrow(F)$
चूंकि सत्य मान अलग-अलग हैं,इसलिए द्वि-प्रतिबंधक कथन $F$ है।
अतः,$a$ और $b$ के सत्य मान $F, F$ हैं।

(C) मुख्य विचार: वह कथन जो न तो 'टॉटोलॉजी' (tautology) है और न ही 'कॉन्ट्राडिक्शन' (contradiction),उसे 'कंटिंजेंसी' कहते हैं।
विकल्प $A$: $(p \vee q) \vee \sim q \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$. यह एक 'टॉटोलॉजी' है।
विकल्प $B$: $(p \vee q) \vee \sim p \equiv (p \vee \sim p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. यह एक 'टॉटोलॉजी' है।
विकल्प $C$: $(p \vee q) \wedge \sim q \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee F \equiv p \wedge \sim q$.
यदि $p=T, q=T$ है,तो $p \wedge \sim q = F$ प्राप्त होता है।
यदि $p=T, q=F$ है,तो $p \wedge \sim q = T$ प्राप्त होता है।
चूंकि सत्यता का मान $p$ और $q$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह एक 'कंटिंजेंसी' है।
विकल्प $D$: $p \rightarrow (p \vee q) \equiv \sim p \vee (p \vee q) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. यह एक 'टॉटोलॉजी' है।
अतः,सही कथन $(p \vee q) \wedge \sim q$ है।

(A) मुख्य विचार: सार्वत्रिक क्वांटिफायर $\forall$ (सभी के लिए) का निषेध अस्तित्व क्वांटिफायर $\exists$ (कोई एक है) होता है,और असमिका $>$ का निषेध $\leq$ होता है।
दिया गया कथन: $\forall n \in N, n+7 > 6$।
निषेध के नियमों को लागू करने पर:
$1$. $\forall$ को $\exists$ से बदलें।
$2$. शर्त $n+7 > 6$ का निषेध करें,जो $n+7 \leq 6$ हो जाता है।
अतः,दिए गए कथन का निषेध $\exists n \in N$,इस प्रकार कि $n+7 \leq 6$ है।

(C) दिया गया है: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
विकल्प $(A)$ की जाँच करें: $(q \wedge r) \vee (\sim p \wedge s) \equiv (T \wedge F) \vee (F \wedge F) \equiv F \vee F \equiv F$.
विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $((\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (r \wedge s)) \equiv (\sim T$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow (F \wedge F) \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
विकल्प $(C)$ की जाँच करें: $(p$ $\rightarrow q) \vee (r \leftrightarrow s) \equiv (T$ $\rightarrow T) \vee (F \leftrightarrow F) \equiv T \vee T \equiv T$.
विकल्प $(D)$ की जाँच करें: $(p \wedge \sim r) \wedge (\sim q \vee s) \equiv (T \wedge \sim F) \wedge (\sim T \vee F) \equiv (T \wedge T) \wedge (F \vee F) \equiv T \wedge F \equiv F$.
अतः,विकल्प $(C)$ सत्य है।

(A) हम जानते हैं कि एक निहितार्थ का निषेध $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए व्यंजक पर इस नियम को लागू करने पर:
$\sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q)$।
द्वि-निषेध के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(\sim q) \equiv q$।
अतः,व्यंजक $p \wedge q$ में सरल हो जाता है।

(C) तार्किक निहितार्थ $p \rightarrow q$ को कई समतुल्य तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:
$1.$ यदि $p$ तो $q$।
$2.$ $p$ केवल यदि $q$।
$3.$ $p$ के लिए $q$ आवश्यक है।
$4.$ $q$ के लिए $p$ पर्याप्त है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ ($q$ केवल यदि $p$) $q \rightarrow p$ के समतुल्य है,जो $p \rightarrow q$ का विलोम है। इसलिए,यह $p \rightarrow q$ के समतुल्य नहीं है।

(B) माना दिया गया कथन $S = (p \wedge q) \wedge [\sim r \vee (p \wedge q)] \vee (\sim p \wedge q)$ है।
अवशोषण नियम (absorption law) का उपयोग करते हुए,$(p \wedge q) \wedge [\sim r \vee (p \wedge q)]$ सरल होकर $(p \wedge q)$ हो जाता है।
इस प्रकार,व्यंजक $S = (p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)$ बन जाता है।
वितरण नियम (distributive law) का उपयोग करके,हम $q$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$S = (p \vee \sim p) \wedge q$.
चूंकि $(p \vee \sim p)$ एक पुनरुक्ति (tautology) $(T)$ है,
$S = T \wedge q = q$.
अतः,कथन पैटर्न $q$ के समतुल्य है।

(A) दो रेखाओं की ढाल $m_1 = 1+\sqrt{2}$ और $m_2 = \frac{1}{1+\sqrt{2}}$ है।
$m_2$ का परिमेयकरण करने पर: $m_2 = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}-1$.
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण $(y-m_1 x)(y-m_2 x) = 0$ होता है,जो $y^2 - (m_1+m_2)xy + m_1 m_2 x^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
ढाल का योग: $m_1+m_2 = (1+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}$.
ढाल का गुणनफल: $m_1 m_2 = (1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1 = 1$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $y^2 - (2\sqrt{2})xy + 1x^2 = 0$,अर्थात $x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2 = 0$.

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की ढाल $m_1 = 1+\sqrt{2}$ और $m_2 = \frac{-1}{1+\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $m_2 = 1-\sqrt{2}$,रेखाएं $y = (1+\sqrt{2})x$ और $y = (1-\sqrt{2})x$ हैं।
अतः संयुक्त समीकरण $(y - (1+\sqrt{2})x)(y - (1-\sqrt{2})x) = 0$ है।
विस्तार करने पर,$y^2 - 2xy - x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः अभीष्ट समीकरण $x^2 + 2xy - y^2 = 0$ है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
यदि ये रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो शर्त $a + b = 0$ है।
दिए गए समीकरण $(1+\sin^2 \theta) x^2 + 2hxy + 2\sin \theta y^2 = 0$ के लिए,$a = 1+\sin^2 \theta$ और $b = 2\sin \theta$ है।
शर्त $a + b = 0$ लागू करने पर:
$(1+\sin^2 \theta) + 2\sin \theta = 0$
$(1+\sin \theta)^2 = 0$
$1+\sin \theta = 0$
$\sin \theta = -1$
$\theta \in [0, 2\pi]$ के लिए,$\sin \theta = -1$ को संतुष्ट करने वाला $\theta$ का मान $\theta = \frac{3\pi}{2}$ है।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-4pxy+8y^2=0$ है।
यह $ax^2+2hxy+by^2=0$ के रूप में है,जहाँ $a=1$,$2h=-4p$,और $b=8$ है।
मान लीजिए कि $m_1$ और $m_2$ रेखाओं के ढाल हैं।
हम जानते हैं कि $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ होता है।
मान रखने पर,$m_1+m_2 = -\frac{-4p}{8} = \frac{4p}{8} = \frac{p}{2}$ और $m_1m_2 = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,ढालों का योग उनके गुणनफल का तीन गुना है:
$m_1+m_2 = 3(m_1m_2)$
$\frac{p}{2} = 3 \times \frac{1}{8}$
$\frac{p}{2} = \frac{3}{8}$
$p = \frac{3}{8} \times 2 = \frac{3}{4}$.

(D) $52$ ताश के पत्तों में से $3$ पत्ते निकालने के कुल तरीके ${}^{52}C_3$ हैं।
$52$ पत्तों की गड्डी में $26$ लाल पत्ते होते हैं। $3$ लाल पत्ते निकालने के तरीके ${}^{26}C_3$ हैं।
$\text{अभीष्ट प्रायिकता} = \frac{{}^{26}C_3}{{}^{52}C_3} = \frac{26 \times 25 \times 24}{52 \times 51 \times 50} = \frac{2}{17}$.

(B) जब तीन पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6^3 = 216$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि ऊपर की सतहों पर संख्याओं का योग $5$ से कम है।
योग $5$ से कम होने के लिए संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$(1, 1, 1)$ (योग $= 3$)
$(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$ (योग $= 4$)
अतः,योग $5$ से कम होने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1 + 3 = 4$ है।
योग $5$ से कम होने की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ है।
इसलिए,ऊपर की सतहों पर संख्याओं का योग कम से कम $5$ होने की प्रायिकता $P(\text{योग} \geq 5) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{54} = \frac{53}{54}$ है।

(C) गेंदों की कुल संख्या $= 6 + 4 = 10$ है।
$10$ में से $2$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ है।
गेंदों के एक ही रंग के होने के लिए,उन्हें या तो दोनों सफेद होना चाहिए या दोनों काली।
$6$ में से $2$ सफेद गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ है।
$4$ में से $2$ काली गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 15 + 6 = 21$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$ है।

(A) मुख्य विचार: ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करें,अर्थात $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
दिया गया है,$\sin B \sin C = \frac{bc}{a^2}$.
ज्या नियम से,$\sin B = \frac{b}{2R}$ और $\sin C = \frac{c}{2R}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{b}{2R}\right) \left(\frac{c}{2R}\right) = \frac{bc}{a^2}$
$\Rightarrow \frac{bc}{4R^2} = \frac{bc}{a^2}$
$\Rightarrow 4R^2 = a^2$
$\Rightarrow a = 2R$.
चूंकि $\frac{a}{\sin A} = 2R$,इसलिए $\frac{2R}{\sin A} = 2R$,जिसका अर्थ है $\sin A = 1$.
अतः,$A = 90^{\circ}$.
इस प्रकार,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(C) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$ है।
अतः,$b = k \sin B$ और $c = k \sin C$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b \sin B - c \sin C}{\sin (B - C)} = \frac{(k \sin B) \sin B - (k \sin C) \sin C}{\sin (B - C)}$
$= \frac{k(\sin^2 B - \sin^2 C)}{\sin (B - C)}$
सर्वसमिका $\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B + C) \sin(B - C)$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{k \sin(B + C) \sin(B - C)}{\sin (B - C)}$
$= k \sin(B + C)$
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $B + C = 180^{\circ} - A$।
$= k \sin(180^{\circ} - A) = k \sin A$
$= a$.

(D) दिया गया है $\cos A = \frac{\sin B}{\sin C}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,हमारे पास $\sin B = \frac{b}{2R}$ और $\sin C = \frac{c}{2R}$ है।
इन्हें दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\cos A = \frac{b/2R}{c/2R} = \frac{b}{c}$.
कोज्या नियम (Cosine Rule) का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b}{c}$.
दोनों पक्षों को $2bc$ से गुणा करने पर: $b^2 + c^2 - a^2 = 2b^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $c^2 = a^2 + b^2$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(C) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$.
दिया गया है $\left(\tan \frac{A}{2}\right)\left(\tan \frac{B}{2}\right)=\frac{3}{4}$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \times \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} = \frac{3}{4}$.
व्यंजक को सरल करने पर,$\sqrt{\frac{(s-c)^2}{s^2}} = \frac{3}{4}$,जो $\frac{s-c}{s} = \frac{3}{4}$ देता है।
$s = \frac{a+b+c}{2}$ रखने पर,हमें मिलता है $\frac{\frac{a+b+c}{2} - c}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{3}{4}$.
यह $\frac{a+b-c}{a+b+c} = \frac{3}{4}$ में सरल हो जाता है।
वज्र-गुणन करने पर $4(a+b) - 4c = 3(a+b) + 3c$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = 7c$.

(B) किसी भी $\triangle ABC$ में,क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ होता है।
इससे,$\sin A = \frac{2\Delta}{bc} \quad (i)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{a}{2 \sin A}$,जिसका अर्थ है $\sin A = \frac{a}{2R} \quad (ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$\frac{2\Delta}{bc} = \frac{a}{2R}$ प्राप्त होता है।
$\Delta$ के लिए हल करने पर,$\Delta = \frac{abc}{4R}$ प्राप्त होता है।

(A) हमें समुच्चय $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 + 5|x| + 6 = 0\}$ दिया गया है।
चूंकि $x^2 = |x|^2$,समीकरण को $|x|^2 + 5|x| + 6 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है। समीकरण $t^2 + 5t + 6 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर,हमें $(t + 2)(t + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = -2$ या $t = -3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t = |x|$ ऋणात्मक नहीं हो सकता $(t \ge 0)$,इसलिए $x$ का कोई भी वास्तविक मान इन शर्तों को पूरा नहीं करता है।
अतः,समुच्चय $A$ एक रिक्त समुच्चय है,अर्थात $A = \emptyset$ है।
इस प्रकार,$A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 0$ है।

(B) माना $GP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $R$ है।
तब,$A = aR^{p-1}$,$B = aR^{q-1}$,और $C = aR^{r-1}$।
अब,व्यंजक $E = A^{q-r} \cdot B^{r-p} \cdot C^{p-q}$ पर विचार करें।
मान रखने पर:
$E = (aR^{p-1})^{q-r} \cdot (aR^{q-1})^{r-p} \cdot (aR^{r-1})^{p-q}$
$E = a^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
चूंकि $(q-r) + (r-p) + (p-q) = 0$,इसलिए $a$ की घात $0$ है।
$R$ की घात के लिए:
$(pq - pr - q + r) + (qr - pq - r + p) + (rp - rq - p + q) = 0$
अतः,$E = a^0 \cdot R^0 = 1 \cdot 1 = 1$।

(C) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है कि अनंत $GP$ का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 9$ है।
इसका अर्थ है $a = 9(1-r)$।
पहले दो पदों का योग $a + ar = 5$ है।
$a = 9(1-r)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$9(1-r)(1+r) = 5$।
$9(1-r^2) = 5$।
$1-r^2 = \frac{5}{9}$।
$r^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$।
अतः,$r = \pm \frac{2}{3}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही सार्व अनुपात $\frac{2}{3}$ है।

(B) एक $G.P.$ में,$m^{\text{th}}$ पद उन पदों का गुणोत्तर माध्य होता है जो इससे समान दूरी पर होते हैं।
इसलिए,$(T_m)^2 = T_{m+n} \times T_{m-n}$.
दिया गया है कि $T_{m+n} = p$ और $T_{m-n} = q$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(T_m)^2 = p \times q$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_m = \sqrt{pq}$.

(C) हमें प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = 5(2^n - 1)$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $n$-वां पद $t_n = S_n - S_{n-1}$ होता है,जहाँ $n > 1$ है।
$t_n = 5(2^n - 1) - 5(2^{n-1} - 1)$
$t_n = 5(2^n - 1 - 2^{n-1} + 1)$
$t_n = 5(2^n - 2^{n-1})$
$t_n = 5(2 \times 2^{n-1} - 2^{n-1})$
$t_n = 5(2^{n-1}(2 - 1))$
$t_n = 5(2^{n-1})$

(A) दिया गया योग $\sum_{r=1}^n(2r+1) = 440$ है।
योग को विस्तारित करने पर,हमें श्रेणी $3 + 5 + 7 + \ldots + (2n+1) = 440$ प्राप्त होती है।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 3$,सार्व अंतर $d = 2$ और पदों की संख्या $n$ है।
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
मान रखने पर: $\frac{n}{2}[2(3) + (n-1)(2)] = 440$.
$\Rightarrow \frac{n}{2}[6 + 2n - 2] = 440$.
$\Rightarrow \frac{n}{2}[2n + 4] = 440$.
$\Rightarrow n(n + 2) = 440$.
$\Rightarrow n^2 + 2n - 440 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n + 22)(n - 20) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 20$ है।

(B) दिया गया है $S_n = \frac{4^n - 3^n}{3^n}$.
हम जानते हैं कि $n > 1$ के लिए $t_n = S_n - S_{n-1}$ होता है।
$n = 2$ के लिए,$t_2 = S_2 - S_1$ है।
$S_2 = \frac{4^2 - 3^2}{3^2} = \frac{16 - 9}{9} = \frac{7}{9}$ की गणना करें।
$S_1 = \frac{4^1 - 3^1}{3^1} = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3}$ की गणना करें।
अतः,$t_2 = \frac{7}{9} - \frac{1}{3} = \frac{7 - 3}{9} = \frac{4}{9}$।

(B) दिया गया समुच्चय $A = \{x \mid x \in N, x \text{ एक अभाज्य संख्या है जो } 12 \text{ से कम है}\}$.
चूंकि $12$ से कम अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं,इसलिए $A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ है।
दिया गया समुच्चय $B = \{x \mid x \in N, x \text{ संख्या } 10 \text{ का एक गुणनखंड है}\}$.
चूंकि $10$ के गुणनखंड $1, 2, 5, 10$ हैं,इसलिए $B = \{1, 2, 5, 10\}$ है।
सर्वनिष्ठ समुच्चय $A \cap B$ में वे अवयव होते हैं जो समुच्चय $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ हैं।
$A \cap B = \{2, 3, 5, 7, 11\} \cap \{1, 2, 5, 10\} = \{2, 5\}$.

(D) दिया गया समुच्चय $A = \{x \in R : x^2 - 5|x| + 6 = 0\}$ है।
चूंकि $x^2 = |x|^2$,समीकरण $|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$ हो जाता है।
माना $|x| = t$,तो $t^2 - 5t + 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 2)(t - 3) = 0$.
अतः,$|x| = 2$ या $|x| = 3$.
यदि $|x| = 2$,तो $x = 2$ या $x = -2$.
यदि $|x| = 3$,तो $x = 3$ या $x = -3$.
इस प्रकार,समुच्चय $A = \{-3, -2, 2, 3\}$ है।
समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 4$ है।

(D) $P$ के ध्रुवीय निर्देशांक $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ दिए गए हैं।
यदि $Q$,$X$-अक्ष के सापेक्ष $P$ का प्रतिबिंब है,तो त्रिज्यीय दूरी $r$ समान रहती है और कोण $\theta$ बदलकर $-\theta$ हो जाता है।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $\left(2, -\frac{\pi}{6}\right)$ हैं।
कोण को मानक अंतराल $[0, 2\pi)$ में व्यक्त करने के लिए,हम कोण में $2\pi$ जोड़ते हैं:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.
इस प्रकार,$Q$ के ध्रुवीय निर्देशांक $\left(2, \frac{11\pi}{6}\right)$ हैं।

(B) दिए गए कार्तीय निर्देशांक $(x, y) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ हैं।
ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ ज्ञात करने के लिए:
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$.
चूंकि $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$,हमारे पास है:
$\cos \theta = \frac{-\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\cos \theta < 0$ और $\sin \theta > 0$,बिंदु दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.
अतः,ध्रुवीय निर्देशांक $\left(2, \frac{3 \pi}{4}\right)$ हैं।

(B) शीर्ष $R$ से गुजरने वाली माध्यिका भुजा $PQ$ को बिंदु $M$ पर समद्विभाजित करती है।
$M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $M = \left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = (0, 3)$ है।
माध्यिका $R(3, 4)$ और $M(0, 3)$ से गुजरती है।
रेखा $RM$ की ढाल $m = \frac{3 - 4}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$ है।
रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$y - 3 = \frac{1}{3}(x - 0)$
$3(y - 3) = x$
$3y - 9 = x$
$x - 3y + 9 = 0$.

(B) दी गई रेखा $x - 2y = 4$ है,जिसे $2y = x - 4$ या $y = \frac{1}{2}x - 2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ की शर्त को पूरा करना होगा। अतः,$m_2 = -2$.
$A(6, 1)$ से गुजरने वाली और $m_2 = -2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ है।
मान रखने पर,$y - 1 = -2(x - 6)$.
$y - 1 = -2x + 12$.
$2x + y = 13$.
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $2x + y = 13$ में $x = 0$ रखते हैं।
$2(0) + y = 13 \Rightarrow y = 13$.
अतः,रेखा का $y$-अंतःखंड $13$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $x-3=0$ $(i)$ और $x+y=19$ (ii) हैं।
रेखा $(i)$ के लिए,$x=3$,जो $y$-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। यह धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta_1 = 90^{\circ}$ का कोण बनाती है।
रेखा (ii) के लिए,$x+y=19$ को $y = -x + 19$ के रूप में लिखा जा सकता है। ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m_2 = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m_2 = \tan \theta_2 = -1$,इसलिए कोण $\theta_2 = 135^{\circ}$ है।
दोनों रेखाओं के बीच का कोण $|\theta_2 - \theta_1| = |135^{\circ} - 90^{\circ}| = 45^{\circ}$ है।
चूँकि $45^{\circ}$ एक न्यून कोण है,इसलिए अभीष्ट कोण $45^{\circ}$ है।

(D) शीर्षों $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ वाले त्रिभुज का केंद्रक $G$ सूत्र $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A(7, -8, 1)$,$B(p, q, 5)$,$C(q+1, 5p, 0)$ और $G(3, -5, r)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$x$-निर्देशांक: $\frac{7+p+q+1}{3} = 3 \Rightarrow p+q+8 = 9 \Rightarrow p+q = 1$ (समीकरण $1$)
$y$-निर्देशांक: $\frac{-8+q+5p}{3} = -5 \Rightarrow 5p+q-8 = -15 \Rightarrow 5p+q = -7$ (समीकरण $2$)
$z$-निर्देशांक: $\frac{1+5+0}{3} = r \Rightarrow r = \frac{6}{3} = 2$
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(5p+q) - (p+q) = -7 - 1 \Rightarrow 4p = -8 \Rightarrow p = -2$।
$p = -2$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $-2 + q = 1 \Rightarrow q = 3$।
अतः,मान $p = -2, q = 3, r = 2$ हैं।

(D) फलन $\cos (kx)$ का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{|k|}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक विकल्प की जाँच करने पर:
$A) \cos \left( \frac{\pi}{3} x \right) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi/3} = 6$.
$B) \cos \left( \frac{\pi}{2} x \right) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi/2} = 4$.
$C) \cos (2 \pi x) \implies T = \frac{2 \pi}{2 \pi} = 1$.
$D) \cos (\pi x) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi} = 2$.
अतः,$2$ आवर्तकाल वाला फलन $\cos (\pi x)$ है।

(B) त्रिकोणमितीय फलनों का परिसर इस प्रकार है:
$1$. $\sin \theta$ और $\cos \theta$ के लिए,मान $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए।
$2$. $\sec \theta$ और $\csc \theta$ के लिए,मान $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ में होना चाहिए।
$3$. $\tan \theta$ और $\cot \theta$ के लिए,मान कोई भी वास्तविक संख्या $(R)$ हो सकता है।
विकल्पों का मूल्यांकन करने पर:
- विकल्प $A$: $\sec \theta = 23$ संभव है क्योंकि $23 \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$।
- विकल्प $B$: $\cos \theta = \sqrt{2} \approx 1.414$। चूंकि $1.414 > 1$,यह मान $[-1, 1]$ के परिसर से बाहर है। अतः,$\cos \theta = \sqrt{2}$ का कोई हल नहीं है।
- विकल्प $C$: $\tan \theta = 2019$ संभव है क्योंकि $\tan \theta$ का परिसर $R$ है।
- विकल्प $D$: $\sin \theta = -\frac{1}{5} = -0.2$ संभव है क्योंकि $-0.2 \in [-1, 1]$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta \in [0, \pi]$ है,इस अंतराल में साइन फलन का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।
अंतराल $[0, \pi]$ में $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ को संतुष्ट करने वाले $\theta$ के मान $\theta = \frac{\pi}{4}$ और $\theta = \frac{3\pi}{4}$ हैं।
अतः,कुल $2$ हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \sin x \cos x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$\sin 2x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $2x \in (0, \pi)$ है।
$(0, \pi)$ में $2x$ के लिए हल $2x = \frac{\pi}{6}$ और $2x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ हैं।
अतः,$x = \frac{\pi}{12}$ और $x = \frac{5\pi}{12}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $A = 18^{\circ}$। तब $5A = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $2A = 90^{\circ} - 3A$।
दोनों पक्षों में साइन लेने पर,$\sin 2A = \sin(90^{\circ} - 3A) = \cos 3A$।
डबल एंगल और ट्रिपल एंगल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin A \cos A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$।
चूंकि $\cos 18^{\circ} \neq 0$,हम $\cos A$ से विभाजित कर सकते हैं:
$2 \sin A = 4 \cos^2 A - 3$।
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin A = 4(1 - \sin^2 A) - 3$।
$2 \sin A = 4 - 4 \sin^2 A - 3$।
$4 \sin^2 A + 2 \sin A - 1 = 0$।
$\sin A$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sin A = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$।
चूंकि $18^{\circ}$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\sin 18^{\circ} > 0$।
अतः,$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$।

(D) दिया गया है $\theta = \frac{17 \pi}{3} = 5 \pi + \frac{2 \pi}{3}$।
चूंकि $\tan(n \pi + x) = \tan x$ और $\cot(n \pi + x) = \cot x$,इसलिए $\tan \theta = \tan \frac{2 \pi}{3} = -\sqrt{3}$ और $\cot \theta = \cot \frac{2 \pi}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अब,$(\tan \theta - \cot \theta) = -\sqrt{3} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})$ की गणना करने पर,
$= -\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{-3 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{-2}{\sqrt{3}}$।

(A) किसी भी $\triangle ABC$ में,टेंजेंट के योग के लिए सर्वसमिका $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होती है।
दिया गया है कि $\tan A + \tan B + \tan C = 6$,इसलिए $\tan A \tan B \tan C = 6$ होगा।
हमें $\tan A \cdot \tan B = 2$ भी दिया गया है।
इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,$2 \cdot \tan C = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan C = \frac{6}{2} = 3$।

(C) वक्र के दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = \sqrt{t}$ और $y = t - \frac{1}{\sqrt{t}}$ हैं।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{t}}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t - t^{-1/2}) = 1 - (-\frac{1}{2})t^{-3/2} = 1 + \frac{1}{2t^{3/2}}$
अब,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ द्वारा दी जाती है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{1}{2t^{3/2}}}{\frac{1}{2\sqrt{t}}} = (1 + \frac{1}{2t^{3/2}}) \times (2\sqrt{t}) = 2\sqrt{t} + \frac{1}{t} = \frac{2t\sqrt{t} + 1}{t}$
$t=4$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=4} = \frac{2(4)\sqrt{4} + 1}{4} = \frac{16+1}{4} = \frac{17}{4}$
अभिलंब की ढाल,स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$\text{अभिलंब की ढाल} = -\frac{1}{(\frac{dy}{dx})_{t=4}} = -\frac{1}{17/4} = -\frac{4}{17}$

(B) दिया गया स्थिति फलन $x = 2 + 27t - t^3$ है।
वेग ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = 27 - 3t^2$।
गति की दिशा तब उलट जाती है जब वेग शून्य हो जाता है:
$27 - 3t^2 = 0$
$3t^2 = 27$
$t^2 = 9$
$t = 3$ (चूंकि $t > 0$)।
अब,हम $t = 3$ पर दूरी $x$ की गणना करते हैं:
$x = 2 + 27(3) - (3)^3$
$x = 2 + 81 - 27$
$x = 56 \text{ इकाई}$।

(A) दिया गया वक्र $y = \log_e x$ है।
सबसे पहले,बिंदु $P(1, 0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलज $\frac{dy}{dx}$ निकालें।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$।
बिंदु $P(1, 0)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 0)} = \frac{1}{1} = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 0)$ से गुजरने वाली और $m_n = -1$ ढाल वाली अभिलंब रेखा का समीकरण है:
$y - y_1 = m_n(x - x_1)$
$y - 0 = -1(x - 1)$
$y = -x + 1$
$x + y = 1$।

(A) माना घन की भुजा $x \ cm$ है। घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 6x^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि भुजा के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = -0.04 \ cm/sec$ है।
$A$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 12x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dA}{dt} = 12(10)(-0.04) = 120(-0.04) = -4.8 \ cm^2/sec$।
ऋणात्मक चिह्न कमी को दर्शाता है। अतः,पृष्ठीय क्षेत्रफल के घटने की दर $4.8 \ cm^2/sec$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 2x + 1$ है।
हमें $x = 2.99$ पर अनुमानित मान ज्ञात करना है।
माना $x = 3$ और $\Delta x = -0.01$,ताकि $x + \Delta x = 2.99$ हो।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 2x - 2$ प्राप्त होता है।
रैखिक सन्निकटन के लिए सूत्र: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta x \cdot f'(x)$ है।
$x = 3$ पर,$f(3) = 3^2 - 2(3) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4$ है।
$x = 3$ पर,$f'(3) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f(2.99) \approx f(3) + (-0.01) \cdot f'(3)$।
$f(2.99) \approx 4 + (-0.01)(4)$।
$f(2.99) \approx 4 - 0.04 = 3.96$।

(A) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 5 \ cm/sec$ है।
$t = 0$ पर,त्रिज्या $r = 0$ है।
$\frac{dr}{dt} = 5$ का समाकलन करने पर,हमें $r = 5t$ प्राप्त होता है।
$t = 2 \ \text{सेकंड}$ पर,त्रिज्या $r = 5(2) = 10 \ cm$ होगी।
वृत्ताकार लहर का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 10 \ cm$ और $\frac{dr}{dt} = 5 \ cm/sec$ का मान रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (10)(5) = 100 \pi \ cm^2/sec$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 3x$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष फलन का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3$.
अवकलन का गुणनखंड करने पर:
$f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं:
$3(x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = 1, x = -1$.
ये बिंदु वास्तविक संख्या रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, -1)$,$(-1, 1)$,और $(1, \infty)$.
$1$. $x \in (-\infty, -1)$ के लिए,$x = -2$ लें: $f'(-2) = 3((-2)^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0$. अतः,$f(x)$ वर्धमान है।
$2$. $x \in (-1, 1)$ के लिए,$x = 0$ लें: $f'(0) = 3(0^2 - 1) = -3 < 0$. अतः,$f(x)$ ह्रासमान है।
$3$. $x \in (1, \infty)$ के लिए,$x = 2$ लें: $f'(2) = 3(2^2 - 1) = 3(3) = 9 > 0$. अतः,$f(x)$ वर्धमान है।
इसलिए,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ में वर्धमान है और $(-1, 1)$ में ह्रासमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = x + \frac{1}{x}$,$x \neq 0$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
स्थानीय उच्चतम या निम्नतम के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं।
$1 - \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1, -1$।
अब,हम इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:
$x < -1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है। $-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ है। चूँकि $x = -1$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए $x = -1$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$ है।
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) < 0$ है। $x > 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है। चूँकि $x = 1$ पर $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है,इसलिए $x = 1$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है।
स्थानीय निम्नतम मान $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ है।
अतः,स्थानीय उच्चतम मान $-2$ और स्थानीय निम्नतम मान $2$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 3x^3 - 9x^2 - 27x + 15$ है।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 9x^2 - 18x - 27$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $9(x^2 - 2x - 3) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $9(x - 3)(x + 1) = 0$ हैं।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 3$ और $x = -1$ हैं।
इन बिंदुओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $f''(x) = 18x - 18$।
$x = 3$ पर,$f''(3) = 18(3) - 18 = 36 > 0$,इसलिए $f(x)$ का $x = 3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
$x = -1$ पर,$f''(-1) = 18(-1) - 18 = -36 < 0$,इसलिए $f(x)$ का $x = -1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(-1) = 3(-1)^3 - 9(-1)^2 - 27(-1) + 15 = -3 - 9 + 27 + 15 = 30$ है।

(C) क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=\pi$ तक $|y|$ के समाकलन द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $y = \cos x$,$[0, \pi/2]$ में धनात्मक है और $[\pi/2, \pi]$ में ऋणात्मक है,इसलिए क्षेत्रफल है:
$A = \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx + \left| \int_{\pi/2}^{\pi} \cos x \, dx \right|$
$A = [\sin x]_0^{\pi/2} + |[\sin x]_{\pi/2}^{\pi}|$
$A = (\sin(\pi/2) - \sin(0)) + |\sin(\pi) - \sin(\pi/2)|$
$A = (1 - 0) + |0 - 1|$
$A = 1 + |-1| = 1 + 1 = 2 \text{ वर्ग इकाई.}$

(A) दिए गए वक्र $y=2x-x^2$ और $y=x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$2x-x^2 = x$ रखें।
$x-x^2 = 0 \implies x(1-x) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=1$ हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
$\text{Area} = \int_0^1 (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) dx = \int_0^1 ((2x-x^2) - x) dx$.
$\text{Area} = \int_0^1 (x-x^2) dx$.
समाकलन का मान: $\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$.
$= (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$ वर्ग इकाई।

(A) हमें उद्देश्य फलन $Z = 5x + 4y$ दिया गया है,जो प्रतिबंधों $y \leq 2x$,$x \leq 2y$,$x+y \leq 3$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ के अधीन है।
सबसे पहले,हम $y = 2x$,$x = 2y$,और $x+y = 3$ रेखाओं को आलेखित करके सुसंगत क्षेत्र (feasible region) निर्धारित करते हैं।
$1$. $y = 2x$ और $x+y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y=2x$ को $x+y=3$ में प्रतिस्थापित करने पर $x+2x=3$ प्राप्त होता है,जिससे $3x=3$,अर्थात $x=1$ मिलता है। तब $y=2(1)=2$ होगा। अतः,बिंदु $A(1, 2)$ है।
$2$. $x = 2y$ और $x+y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x=2y$ को $x+y=3$ में प्रतिस्थापित करने पर $2y+y=3$ प्राप्त होता है,जिससे $3y=3$,अर्थात $y=1$ मिलता है। तब $x=2(1)=2$ होगा। अतः,बिंदु $B(2, 1)$ है।
$3$. मूल बिंदु $O(0, 0)$ भी एक कोणीय बिंदु है।
सुसंगत क्षेत्र त्रिभुज $OAB$ है। हम कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:

कोणीय बिंदु	$Z = 5x + 4y$
$O(0, 0)$	$5(0) + 4(0) = 0$
$A(1, 2)$	$5(1) + 4(2) = 5 + 8 = 13$
$B(2, 1)$	$5(2) + 4(1) = 10 + 4 = 14$

अतः,$Z$ का अधिकतम मान $14$ है,जो बिंदु $B(2, 1)$ पर प्राप्त होता है।

(C) उद्देश्य फलन $z = ax + by$ है,जहाँ $a, b > 0$ है। प्रतिबंध $x \leq 2, y \leq 2, x + y \geq 3, x \geq 0, y \geq 0$ हैं।
इन प्रतिबंधों को आलेख पर दर्शाने पर,हमें शीर्षों $A(2, 1)$,$B(1, 2)$ और $C(2, 2)$ वाला त्रिभुज सुसंगत क्षेत्र के रूप में प्राप्त होता है।
चूंकि $z$ का न्यूनतम मान केवल $(2, 1)$ पर प्राप्त होता है,इसलिए $(2, 1)$ पर $z$ का मान अन्य शीर्ष बिंदुओं पर $z$ के मान से कम होना चाहिए।
$A(2, 1)$ और $B(1, 2)$ पर $z$ की तुलना करने पर:
$z(2, 1) = 2a + b$
$z(1, 2) = a + 2b$
न्यूनतम मान $(2, 1)$ पर होने के लिए,$z(2, 1) < z(1, 2)$ होना चाहिए।
$2a + b < a + 2b$
$2a - a < 2b - b$
$a < b$
अतः,सही शर्त $a < b$ है।

(B) हमें उद्देश्य फलन दिया गया है: अधिकतम $z = 4x_1 + 2x_2$।
प्रतिबंध इस प्रकार हैं:
$1) 3x_1 + 2x_2 \geq 9$
$2) x_1 - x_2 \leq 3$
$3) x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$
इन रेखाओं को निर्देशांक तल पर आलेखित करने पर:
$3x_1 + 2x_2 = 9$ के लिए,अंतःखंड $(3, 0)$ और $(0, 4.5)$ हैं। यह क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है।
$x_1 - x_2 = 3$ के लिए,अंतःखंड $(3, 0)$ और $(0, -3)$ हैं। यह क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
संभाव्य क्षेत्र का विश्लेषण करने पर,हम देखते हैं कि प्रथम चतुर्थांश में यह क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है। एक अपरिबद्ध संभाव्य क्षेत्र के लिए,यदि उद्देश्य फलन का मान सीमा के साथ बढ़ता रहता है,तो $L$.$P$.$P$. का समाधान अपरिबद्ध होता है। यहाँ,जैसे-जैसे $x_1$ और $x_2$ बढ़ते हैं,$z = 4x_1 + 2x_2$ का मान संभाव्य क्षेत्र के भीतर अनिश्चित रूप से बढ़ सकता है। इसलिए,इस $L$.$P$.$P$. का समाधान अपरिबद्ध है।

(A) उद्देश्य फलन $z = 10x + 25y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले $0 \leq x \leq 3$,$0 \leq y \leq 3$ और $x + y \geq 5$ प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करते हैं।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदुओं को रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित किया जाता है:
$1$. $x = 3$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन $y = 2$ देता है,इसलिए बिंदु $(3, 2)$ है।
$2$. $x = 3$ और $y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 3)$ देता है।
$3$. $y = 3$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन $x = 2$ देता है,इसलिए बिंदु $(2, 3)$ है।
अब,हम इन शीर्ष बिंदुओं पर $z = 10x + 25y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $(3, 2)$ पर: $z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$.
- $(3, 3)$ पर: $z = 10(3) + 25(3) = 30 + 75 = 105$.
- $(2, 3)$ पर: $z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$.
इन मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $80$ है।

(D) दी गई शर्तें $3x+2y \leq 12$,$2x+3y \leq 12$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम इन असमिकाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं (corner points) की पहचान करते हैं।
रेखाएं $L_1: 3x+2y=12$ और $L_2: 2x+3y=12$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $E$ समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जाता है:
$3x+2y=12$ ($3$ से गुणा करने पर) $\Rightarrow 9x+6y=36$
$2x+3y=12$ ($2$ से गुणा करने पर) $\Rightarrow 4x+6y=24$
घटाने पर $5x=12$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=2.4$।
$x=2.4$ को $3(2.4)+2y=12$ में रखने पर $7.2+2y=12$ प्राप्त होता है,इसलिए $2y=4.8$,$y=2.4$।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0)$,$(4,0)$,$(0,4)$ और $(2.4, 2.4)$ हैं।
अब इन बिंदुओं पर $z=9x+11y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$z(0,0) = 9(0)+11(0) = 0$
$z(4,0) = 9(4)+11(0) = 36$
$z(0,4) = 9(0)+11(4) = 44$
$z(2.4, 2.4) = 9(2.4)+11(2.4) = 21.6+26.4 = 48$
अधिकतम मान $48$ है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x = 3$ पर सतत है।
किसी बिंदु $x = c$ पर फलन के सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और उस बिंदु पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$\therefore \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$.
बाएँ पक्ष की सीमा की गणना: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(3 - h) = \lim_{h \to 0} [a(3 - h) + 1] = 3a + 1$.
दाएँ पक्ष की सीमा की गणना: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(3 + h) = \lim_{h \to 0} [b(3 + h) + 3] = 3b + 3$.
चूँकि $f(x)$ बिंदु $x = 3$ पर सतत है,हम सीमाओं को बराबर करते हैं: $3a + 1 = 3b + 3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3a - 3b = 3 - 1$.
$3(a - b) = 2$.
$a - b = \frac{2}{3}$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x - \frac{|x|}{x}, & x < 0 \\ x + \frac{|x|}{x}, & x > 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ है।
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(0)$ ज्ञात करते हैं।
$LHL = \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \left(x - \frac{|x|}{x}\right)$.
चूँकि $x < 0$,$|x| = -x$,इसलिए $\frac{|x|}{x} = -1$.
$LHL = \lim_{x \to 0^{-}} (x - (-1)) = \lim_{x \to 0^{-}} (x + 1) = 0 + 1 = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \left(x + \frac{|x|}{x}\right)$.
चूँकि $x > 0$,$|x| = x$,इसलिए $\frac{|x|}{x} = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 0^{+}} (x + 1) = 0 + 1 = 1$.
दिया गया है $f(0) = 1$.
चूँकि $LHL = RHL = f(0) = 1$,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।

(D) दिया गया है कि फलन $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
चूंकि $f(0) = 16$ है,हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \to 0} \frac{(e^{kx} - 1) \tan kx}{4x^2} = 16$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{kx} - 1}{kx} \right) \left( \frac{\tan kx}{kx} \right) \left( \frac{k^2 x^2}{4x^2} \right) = 16$.
मानक सीमाओं $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ और $\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$1 \times 1 \times \frac{k^2}{4} = 16$.
$\frac{k^2}{4} = 16$.
$k^2 = 64$.
$k = \pm 8$.

(B) दिया गया है कि फलन $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + ax) - \log(1 - bx)}{x}$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करेंगे:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log(1 + ax)) - \frac{d}{dx}(\log(1 - bx))}{\frac{d}{dx}(x)}$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{1 + ax} - \frac{-b}{1 - bx}}{1}$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{a}{1 + ax} + \frac{b}{1 - bx} \right)$.
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(0) = \frac{a}{1 + 0} + \frac{b}{1 - 0} = a + b$.

(C) एक फलन $f(x)$,$x = a$ पर संतत होता है यदि $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ हो।
विकल्प $C$ के लिए,हम $x = 0$ पर सीमा की जाँच करते हैं:
$R.H.L. = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - e^{-1/x}}{1 + e^{-1/x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
$L.H.L. = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.
चूंकि $L.H.L. \neq R.H.L.$,इसलिए $x = 0$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
अतः,यह फलन $x = 0$ पर संतत नहीं है।

(D) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos \theta} \cdot \sin^{3} \theta d \theta$
$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos \theta} \cdot \sin \theta (1 - \cos^{2} \theta) d \theta$
$\cos \theta = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\sin \theta d \theta = dt$,या $\sin \theta d \theta = -dt$.
जब $\theta = 0, t = 1$ और जब $\theta = \frac{\pi}{2}, t = 0$.
$I = \int_{1}^{0} \sqrt{t} (1 - t^{2}) (-dt) = \int_{0}^{1} (t^{1/2} - t^{5/2}) dt$
$= [\frac{t^{3/2}}{3/2} - \frac{t^{7/2}}{7/2}]_{0}^{1} = [\frac{2}{3} t^{3/2} - \frac{2}{7} t^{7/2}]_{0}^{1}$
$= (\frac{2}{3} - \frac{2}{7}) - 0 = \frac{14 - 6}{21} = \frac{8}{21}$

(C) माना $I = \int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} \, dx$.
$x = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = 4, t = 2$ होता है।
अतः,$I = \int_0^2 \frac{2t}{1+t} \, dt$.
$I = 2 \int_0^2 \frac{(1+t)-1}{1+t} \, dt$.
$I = 2 \int_0^2 \left(1 - \frac{1}{1+t}\right) \, dt$.
$I = 2 [t - \ln(1+t)]_0^2$.
$I = 2 [(2 - \ln 3) - (0 - \ln 1)]$.
$I = 2(2 - \ln 3) = 4 - 2\ln 3 = 4 - \ln(3^2) = 4 - \ln 9$.
चूँकि $4 = \ln(e^4)$,इसलिए $I = \ln(e^4) - \ln 9 = \ln \left(\frac{e^4}{9}\right)$.

(D) माना $I = \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} dx$ है।
$x = a \sin^{2} \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sin \theta \cos \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $\theta = 0$ और जब $x = a$,तो $\theta = \frac{\pi}{2}$।
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\frac{a - a \sin^{2} \theta}{a \sin^{2} \theta}} (2a \sin \theta \cos \theta) d \theta$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (2a \sin \theta \cos \theta) d \theta$
$I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2} \theta d \theta$
सर्वसमिका $\cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} d \theta = a \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos 2 \theta) d \theta$
$I = a [\theta + \frac{\sin 2 \theta}{2}]_{0}^{\pi/2} = a [(\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0)] = \frac{\pi a}{2}$।
दिया गया है कि $\int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} dx = \frac{K}{2}$,इसलिए $\frac{\pi a}{2} = \frac{K}{2}$।
अतः,$K = \pi a$।

(B) माना $I = \int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)(1 - (1 - x))^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)(x)^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (x^{5} - x^{6}) dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \left[ \frac{x^{6}}{6} - \frac{x^{7}}{7} \right]_{0}^{1}$
$I = \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) - (0 - 0)$
$I = \frac{7 - 6}{42} = \frac{1}{42}$.

(B) माना $I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a + b - x}} dx$ . . . .$(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{a + b - x}}{\sqrt{a + b - x} + \sqrt{a + b - (a + b - x)}} dx$
$I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{a + b - x}}{\sqrt{a + b - x} + \sqrt{x}} dx$ . . . .$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{x} + \sqrt{a + b - x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a + b - x}} dx$
$2I = \int_{a}^{b} 1 dx = [x]_{a}^{b} = b - a$
$I = \frac{b - a}{2}$

(B) माना $I = \int_{-3}^{3} (ax^5 + bx^3 + cx + k) dx$ है।
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-3}^{3} (ax^5 + bx^3 + cx) dx + \int_{-3}^{3} k dx$।
चूंकि $f(x) = ax^5 + bx^3 + cx$ एक विषम फलन है (अर्थात $f(-x) = -f(x)$),इसलिए सममित अंतराल $[-3, 3]$ पर इस फलन का समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = 0 + \int_{-3}^{3} k dx = \int_{-3}^{3} k dx$।
इसका मान ज्ञात करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = [kx]_{-3}^{3} = k(3) - k(-3) = 3k + 3k = 6k$।
इस प्रकार,समाकलन का मान केवल स्थिरांक $k$ पर निर्भर करता है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ क्रम $n=3$ के वर्ग आव्यूह हैं।
हमें $|A|=2$ और $|B|=4$ दिया गया है।
हमें $|A(\operatorname{adj} B)|$ का मान ज्ञात करना है।
सारणिक के गुणधर्म $|AB| = |A||B|$ का उपयोग करने पर:
$|A(\operatorname{adj} B)| = |A| |\operatorname{adj} B|$।
हम जानते हैं कि क्रम $n$ के वर्ग आव्यूह $B$ के लिए,$|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1}$ होता है।
यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj} B| = |B|^{3-1} = |B|^2$ होगा।
मान रखने पर:
$|A(\operatorname{adj} B)| = |A| \times |B|^2 = 2 \times (4)^2$।
$|A(\operatorname{adj} B)| = 2 \times 16 = 32$।

(C) प्रथम चतुर्थांश में स्थित और दोनों अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है।
इसे सरल करने पर $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ है।
यहाँ,केवल एक स्वेच्छ अचर $a$ है।
अवकल समीकरण की कोटि वक्रों के कुल के सामान्य समीकरण में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूँकि यहाँ केवल $1$ स्वेच्छ अचर है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(B) $4$ त्रिज्या और केंद्र $(h, k)$ वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = 4^2$ है।
यहाँ,$h$ और $k$ स्वेच्छ अचर हैं।
चूँकि इसमें $2$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।

(B) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ केंद्र $A(-1, 2)$ दिया गया है,इसलिए समीकरण $(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = r^2$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ प्राप्त होता है।
$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = r^2$.
$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 - r^2 = 0$.
माना $c = 5 - r^2$,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है।
अतः,व्यापक हल $x^2 + y^2 + 2x - 4y + c = 0$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + 1) \frac{dy}{dx} + (y^2 + 1) = 0$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x^2 + 1) \frac{dy}{dx} = -(y^2 + 1)$
$\frac{dy}{y^2 + 1} = -\frac{dx}{x^2 + 1}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{y^2 + 1} = -\int \frac{dx}{x^2 + 1}$
हम जानते हैं कि $\int \frac{du}{u^2 + 1} = \tan^{-1} u + C$ होता है।
अतः,$\tan^{-1} y = -\tan^{-1} x + C$
$\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = -k dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = \int -k dt$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|\theta - \theta_0| = -kt + C_1$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\theta - \theta_0 = e^{-kt + C_1} = e^{C_1} e^{-kt}$.
माना $e^{C_1} = a$.
अतः,$\theta - \theta_0 = a e^{-kt}$.
इस प्रकार,हल $\theta = \theta_0 + a e^{-kt}$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\log\left(\frac{dy}{dx}\right) = x$ है।
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = e^x$ होता है।
चरों को पृथक करने पर,$dy = e^x dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int dy = \int e^x dx$,जिससे $y = e^x + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि जब $x = 0, y = 1$ है,इन मानों को समीकरण में रखने पर: $1 = e^0 + C$।
चूंकि $e^0 = 1$ होता है,इसलिए $1 = 1 + C$,जिसका अर्थ है कि $C = 0$।
अतः,विशिष्ट हल $y = e^x$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x \tan \left( \frac{y}{x} \right)$ है।
$x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \tan \left( \frac{y}{x} \right)$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \tan v$।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = - \tan v$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\tan v} = - \frac{dx}{x}$,जो $\cot v \, dv = - \frac{dx}{x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot v \, dv = - \int \frac{1}{x} \, dx$।
इससे $\ln |\sin v| = - \ln |x| + \ln |c|$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $\ln |\sin v| + \ln |x| = \ln |c| \Rightarrow \ln |x \sin v| = \ln |c|$।
अतः,$x \sin v = c$। $v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,हमें $x \sin \left( \frac{y}{x} \right) = c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y \ dx - x \ dy = xy \ dx$ है।
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{y \ dx - x \ dy}{xy} = dx$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$d \left( \log \left( \frac{x}{y} \right) \right) = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int d \left( \log \left( \frac{x}{y} \right) \right) = \int dx$
$\log \left( \frac{x}{y} \right) = x + C$
दिए गए विकल्पों के लिए समाकलन स्थिरांक $C = 0$ मानने पर:
$\log \left( \frac{x}{y} \right) = x$
$\frac{x}{y} = e^x$
$x = y e^x$

(B) दिया गया है $x = \sin \theta$ और $y = \sin^3 \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \sin^2 \theta \cos \theta$
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \sin^2 \theta \cos \theta}{\cos \theta} = 3 \sin^2 \theta$
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(3 \sin^2 \theta) = \frac{d}{d\theta}(3 \sin^2 \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = (6 \sin \theta \cos \theta) \cdot \frac{1}{\cos \theta} = 6 \sin \theta$
अंत में,$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर मान रखने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6 \sin(\frac{\pi}{2}) = 6(1) = 6$.

(C) दिया गया समीकरण $x^y = e^{x - y}$ है।
दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $y \log x = (x - y) \log e = x - y$ . . . . . . $(i)$.
जब $x = 1$,तो $(i)$ में मान रखने पर $y \log 1 = 1 - y$,जिसका अर्थ है $0 = 1 - y$,अतः $y = 1$.
$x$ के सापेक्ष $(i)$ का अवकलन करने पर:
$y \cdot (\frac{1}{x}) + \log x \cdot \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} (\log x + 1) = 1 - \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x (\log x + 1)}$.
$x = 1$ और $y = 1$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 1}{1 (\log 1 + 1)} = \frac{0}{1} = 0$.

(A) दिया गया है $x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$ और $y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = a^{\sin^{-1} t}$ और $y^2 = a^{\cos^{-1} t}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log_a(x^2) = \sin^{-1} t$ और $\log_a(y^2) = \cos^{-1} t$ प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,$\log_a(x^2) + \log_a(y^2) = \sin^{-1} t + \cos^{-1} t$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,$\log_a(x^2 y^2) = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x^2 y^2 = a^{\pi/2}$,जो एक अचर है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(x^2 y^2) = \frac{d}{dx}(a^{\pi/2})$ प्राप्त होता है।
गुणन नियम का उपयोग करने पर,$2x y^2 + x^2 (2y \frac{dy}{dx}) = 0$।
$2xy$ से भाग देने पर,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-y}{x}$।

(B) दिया गया है $y = \log \left[ \frac{x + \sqrt{x^2 + 25}}{\sqrt{x^2 + 25} - x} \right]$।
लघुगणक के अंदर के पद का परिमेयकरण करने पर:
$y = \log \left[ \frac{(x + \sqrt{x^2 + 25})(x + \sqrt{x^2 + 25})}{(\sqrt{x^2 + 25} - x)(\sqrt{x^2 + 25} + x)} \right]$
$y = \log \left[ \frac{(x + \sqrt{x^2 + 25})^2}{(x^2 + 25) - x^2} \right]$
$y = \log \left[ \frac{(x + \sqrt{x^2 + 25})^2}{25} \right]$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर:
$y = 2 \log (x + \sqrt{x^2 + 25}) - \log 25$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 25}} \cdot \frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + 25}) - 0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x + \sqrt{x^2 + 25}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 25}} \cdot 2x \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x + \sqrt{x^2 + 25}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x^2 + 25} + x}{\sqrt{x^2 + 25}} \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{x^2 + 25}}$

(B) माना $y = \log _{e^2}(\log x)$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log _{b^n} a = \frac{1}{n} \log _b a$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \frac{1}{2} \log _e(\log x)$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \log _e(\log x) \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x \log x}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $y = \sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$.
$t = \tan \theta$ रखने पर,$\theta = \tan ^{-1} t$ प्राप्त होता है।
$y = \sin ^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan ^2 \theta}}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}\right) = \sin ^{-1}(\sin \theta) = \theta = \tan ^{-1} t$.
माना $z = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$.
$z = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^2 \theta}}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sec \theta}\right) = \cos ^{-1}(\cos \theta) = \theta = \tan ^{-1} t$.
चूंकि $y = \theta$ और $z = \theta$,इसलिए $y = z$ है।
अतः,$\frac{dy}{dz} = \frac{d}{dz}(z) = 1$.

(A) दिया गया है $f(x) = \cos^{-1} \left( \frac{1 - (\log x)^2}{1 + (\log x)^2} \right)$.
माना $u = \log x$. तब व्यंजक $f(x) = \cos^{-1} \left( \frac{1 - u^2}{1 + u^2} \right)$ हो जाता है।
त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन $u = \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\cos^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = \cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1} u$.
अतः,$f(x) = 2 \tan^{-1} (\log x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (\log x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{2}{1 + (\log x)^2} \cdot \frac{1}{x}$.
अब,$x = e$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f'(e) = \frac{2}{1 + (\log e)^2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{2}{1 + 1^2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$.

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{x-2}{3-x}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: $\frac{x-2}{3-x} \geq 0$।
इसका अर्थ है कि अंश और हर के चिह्न विपरीत होने चाहिए या अंश शून्य होना चाहिए।
विशेष रूप से,$x-2 \geq 0$ और $3-x > 0$।
$x-2 \geq 0$ से,हमें $x \geq 2$ प्राप्त होता है।
$3-x > 0$ से,हमें $x < 3$ प्राप्त होता है।
इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $2 \leq x < 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[2, 3)$ है।

(C) हमारे पास $f(x) = [x]$ है।
$x = 1$ पर दाहिने हाथ के अवकलज (right-hand derivative) की परिभाषा के अनुसार:
$f^{\prime}(1^{+}) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$.
चूँकि $h$ एक छोटा धनात्मक मान है,$1+h$,$1$ से थोड़ा बड़ा है,इसलिए $[1+h] = 1$.
साथ ही,$[1] = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(1^{+}) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{1 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{0}{h} = 0$.

(D) दिए गए फलन $f(x)=3x+6$ और $g(x)=4x+k$ हैं।
चूंकि $f \circ g(x) = g \circ f(x)$,इसलिए हमारे पास है:
$f(g(x)) = g(f(x))$
$f(4x+k) = g(3x+6)$
फलनों में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$3(4x+k)+6 = 4(3x+6)+k$
$12x + 3k + 6 = 12x + 24 + k$
दोनों पक्षों से $12x$ घटाने पर:
$3k + 6 = 24 + k$
$k$ के लिए हल करने पर:
$3k - k = 24 - 6$
$2k = 18$
$k = 9$

(A) दिया गया है: $f(x) = 3x - 2$ और $g(x) = x^2$।
संयुक्त फलन की परिभाषा के अनुसार,$f \circ g(x) = f(g(x))$।
फलन $f(x)$ में $g(x) = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(g(x)) = f(x^2)$।
चूंकि $f(x) = 3x - 2$,इसलिए $x$ को $x^2$ से बदलने पर:
$f(x^2) = 3(x^2) - 2 = 3x^2 - 2$।
अतः,$f \circ g(x) = 3x^2 - 2$।

(D) त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर स्थिर $K$ है।
अतः,$\frac{d}{dt}(4 \pi r^2) = K$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{d}{dt}(4 \pi r^2) dt = \int K dt$.
इससे हमें $4 \pi r^2 = K t + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(D) माना $I = \int \frac{dx}{(\sin x + \cos x)(2 \cos x + \sin x)}$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{(\tan x + 1)(2 + \tan x)} dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$.
$I = \int \frac{dt}{(t+1)(t+2)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}$.
$1 = A(t+2) + B(t+1)$.
$t = -1$ रखने पर,$A = 1$. $t = -2$ रखने पर,$B = -1$.
$I = \int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2} \right) dt = \log|t+1| - \log|t+2| + C$.
$I = \log \left| \frac{t+1}{t+2} \right| + C = \log \left| \frac{\tan x + 1}{\tan x + 2} \right| + C$.

(A) माना $I = \int \frac{1}{1-\cot x} dx$.
$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ रखने पर,$I = \int \frac{1}{1-\frac{\cos x}{\sin x}} dx = \int \frac{\sin x}{\sin x - \cos x} dx$.
अंश और हर को $2$ से गुणा और भाग करने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x}{\sin x - \cos x} dx$.
अंश को इस प्रकार लिखने पर: $2 \sin x = (\sin x - \cos x) + (\sin x + \cos x)$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x - \cos x) + (\sin x + \cos x)}{\sin x - \cos x} dx = \frac{1}{2} \int \left( 1 + \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \right) dx$.
माना $u = \sin x - \cos x$,तो $du = (\cos x + \sin x) dx$.
$I = \frac{1}{2} \left( \int 1 dx + \int \frac{1}{u} du \right) = \frac{1}{2} (x + \log |u|) + C = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \log |\sin x - \cos x| + C$.
$Ax + B \log |\sin x - \cos x| + C$ से तुलना करने पर,$A = \frac{1}{2}$ और $B = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.