MHT CET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) आयत के शीर्ष $(a, b)$,$(-a, b)$,$(-a, -b)$,और $(a, -b)$ हैं।
चूँकि वृत्त इन शीर्षों से होकर गुजरता है,इसलिए आयत का विकर्ण वृत्त का व्यास बन जाता है।
$(a, b)$ और $(-a, -b)$ को जोड़ने वाले विकर्ण को व्यास मानकर,वृत्त का समीकरण है:
$(x - a)(x + a) + (y - b)(y + b) = 0$
$x^2 - a^2 + y^2 - b^2 = 0$
$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$

(B) मान लीजिए $P$ कथन "हेमा $95 \%$ से अधिक अंक प्राप्त करती है" है और $Q$ कथन "हेमा को अच्छी कॉलेज में प्रवेश मिलता है" है।
"हेमा को अच्छी कॉलेज में प्रवेश पाने के लिए $95 \%$ से अधिक अंक प्राप्त करना एक आवश्यक शर्त है" यह कथन $Q \implies P$ के समतुल्य है।
एक निहितार्थ $Q \implies P$ का निषेध $\sim(Q \implies P) \equiv Q \land \sim P$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$Q$ "हेमा को अच्छी कॉलेज में प्रवेश मिलता है" है और $\sim P$ "हेमा $95 \%$ से अधिक अंक प्राप्त नहीं करती है" है।
अतः,निषेध है: "हेमा को अच्छी कॉलेज में प्रवेश मिलता है और वह $95 \%$ से अधिक अंक प्राप्त नहीं करती है।"

(B) दिया गया संयुक्त कथन $p \wedge (\sim p \wedge q)$ है।
साहचर्य नियम का उपयोग करते हुए,हम इसे $(p \wedge \sim p) \wedge q$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $p \wedge \sim p$ हमेशा असत्य $(F)$ होता है,इसलिए व्यंजक $F \wedge q$ बन जाता है।
चूंकि $F \wedge q$ हमेशा असत्य होता है,इसलिए यह कथन एक व्याघात है।

(B) माना $p$ कथन है: "मौसम अच्छा है".
माना $q$ कथन है: "मेरे मित्र आएंगे".
माना $r$ कथन है: "हम पिकनिक पर जाएंगे".
दिया गया कथन $p \rightarrow (q \wedge r)$ है.
$p \rightarrow (q \wedge r)$ का प्रतिधनात्मक $\sim(q \wedge r) \rightarrow \sim p$ है.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(q \wedge r) \equiv (\sim q \vee \sim r)$.
अतः,प्रतिधनात्मक $(\sim q \vee \sim r) \rightarrow \sim p$ है.
शब्दों में: "यदि मेरे मित्र नहीं आते हैं या हम पिकनिक पर नहीं जाते हैं,तो मौसम अच्छा नहीं होगा।"

(C) दिया गया समीकरण $5x^2 + xy - kx - 2y + 2 = 0$ है। चूँकि यह रेखाओं का एक युग्म है और एक रेखा $5x + y - 1 = 0$ है,हम समीकरण को $(5x + y - 1)(ax + c) = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
गुणा करने पर: $5ax^2 + axy + (5c - a)x + cy - c = 0$.
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर:
$xy$ पद से,$a = 1$ प्राप्त होता है।
अचर पद से,$-c = 2$,इसलिए $c = -2$ प्राप्त होता है।
$x$ के गुणांक से,$-k = 5c - a$ है।
मान रखने पर: $-k = 5(-2) - 1 = -11$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 11$।

(C) माना दो रेखाओं की ढाल $m$ और $2m$ है।
समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ से,हमारे पास है:
ढाल का योग: $m_1+m_2 = m+2m = 3m = -\frac{2h}{b} \Rightarrow m = -\frac{2h}{3b}$.
ढाल का गुणनफल: $m_1 \times m_2 = m \times 2m = 2m^2 = \frac{a}{b}$.
$m$ का मान गुणनफल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b}$
$2(\frac{4h^2}{9b^2}) = \frac{a}{b}$
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$8h^2 = 9ab$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - y^2 + x + 3y - 2 = 0$ है।
इसे व्यापक द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, h=0, b=-1, g=\frac{1}{2}, f=\frac{3}{2}, c=-2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ आंशिक अवकलज $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ के हल द्वारा प्राप्त होता है।
$\frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2 + x + 3y - 2) = 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
$\frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2 + x + 3y - 2) = -2y + 3 = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ है।

(D) दिया गया परवलय समीकरण $y^2 = -16x$ और प्राचल $t = \frac{1}{2}$ है।
$y^2 = -16x$ की तुलना मानक रूप $y^2 = -4ax$ से करने पर,हमें $4a = 16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 4$.
परवलय $y^2 = -4ax$ पर किसी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $P(t) = (-at^2, 2at)$ होते हैं।
$a = 4$ और $t = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर:
$x = -a t^2 = -4 \times (\frac{1}{2})^2 = -4 \times \frac{1}{4} = -1$.
$y = 2at = 2 \times 4 \times \frac{1}{2} = 4$.
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(-1, 4)$ हैं।

(C) $HULULULU$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $H(1), U(4), L(3)$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $n(S) = \frac{8!}{4!3!} = 280$.
जब तीनों $L$ एक साथ हों,तो हम $(LLL)$ को एक इकाई मानते हैं।
अब हमारे पास $6$ इकाइयाँ हैं: $(LLL), H, U, U, U, U$.
व्यवस्थाओं की संख्या $n(A) = \frac{6!}{4!1!} = 30$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{30}{280} = \frac{3}{28}$.

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
व्यंजक $E = a \cos^2\left(\frac{C}{2}\right) + c \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$ है।
सर्वसमिका $2 \cos^2\theta = 1 + \cos(2\theta)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{a}{2}(1 + \cos C) + \frac{c}{2}(1 + \cos A)$
$E = \frac{1}{2}(a + a \cos C + c + c \cos A)$
प्रक्षेप सूत्र (projection formula) के अनुसार,$a \cos C + c \cos A = b$।
$E = \frac{1}{2}(a + c + b)$
चूंकि $a + c = 2b$,इसलिए:
$E = \frac{1}{2}(2b + b) = \frac{3b}{2}$।

(B) दी गई श्रेणी $S_{10} = 9 + 99 + 999 + \ldots$ है जो $10$ पदों तक है।
इसे $S_{10} = (10-1) + (10^2-1) + (10^3-1) + \ldots + (10^{10}-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S_{10} = (10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^{10}) - (1 + 1 + 1 + \ldots + 1 \text{ (10 बार)})$।
पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=10$,$r=10$,और $n=10$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $= a\frac{r^n-1}{r-1} = 10\frac{10^{10}-1}{10-1} = \frac{10}{9}(10^{10}-1)$।
$1$ के योग को घटाने पर (जो $10$ है):
$S_{10} = \frac{10}{9}(10^{10}-1) - 10 = \frac{10(10^{10}-1) - 90}{9} = \frac{10^{11}-10-90}{9} = \frac{10^{11}-100}{9} = \frac{100}{9}(10^9-1)$।

(A) दिया गया है $X = \{4^n - 3n - 1 : n \in N\}$ और $Y = \{9(n - 1) : n \in N\}$।
द्विपद विस्तार के अनुसार,$4^n = (1 + 3)^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2!} (3^2) + \dots + 3^n$।
अतः,$4^n - 3n - 1 = 1 + 3n + \frac{9n(n-1)}{2} + \dots - 3n - 1 = \frac{9n(n-1)}{2} + \dots = 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2} + \dots \right]$।
यह दर्शाता है कि $X$ का प्रत्येक अवयव $9$ का गुणज है,और चूंकि $n(n-1)$ हमेशा सम होता है,$\frac{n(n-1)}{2}$ एक पूर्णांक है।
इस प्रकार,$X \subseteq Y$।
वैकल्पिक रूप से,मान रखने पर:
$n=1$ के लिए,$X = \{4^1 - 3(1) - 1\} = \{0\}$।
$n=2$ के लिए,$X = \{4^2 - 3(2) - 1\} = \{16 - 6 - 1\} = \{9\}$।
$n=3$ के लिए,$X = \{4^3 - 3(3) - 1\} = \{64 - 9 - 1\} = \{54\}$।
$X = \{0, 9, 54, \dots\}$।
$Y = \{0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, \dots\}$।
चूंकि $X$ के सभी अवयव $Y$ में हैं,इसलिए $X \cap Y = X$।

(A) यह रेखा दूसरे चतुर्थांश में निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है। इसलिए,यह रेखा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $135^{\circ}$ का कोण बनाती है।
अतः,रेखा की ढाल $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ है।
रेखा बिंदु $(-3, 1)$ से गुजरती है।
बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए,रेखा का समीकरण है:
$(y - y_1) = m(x - x_1)$
$(y - 1) = -1(x - (-3))$
$y - 1 = -1(x + 3)$
$y - 1 = -x - 3$
$x + y + 2 = 0$

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 3x + \sin 5x = 0$
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 0$
$\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 3x \cos 2x + \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 1) = 0$
इसका अर्थ है $\sin 3x = 0$ या $\cos 2x = -\frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: $\sin 3x = 0 \implies 3x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{3}$।
$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ के लिए,संभावित मान $x = \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$ हैं।
स्थिति $2$: $\cos 2x = -\frac{1}{2} \implies 2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$।
$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ के लिए,संभावित मान $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ हैं।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,अलग-अलग हल $x = \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$ हैं।
अतः,हलों की कुल संख्या $3$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ} \cdot \cos 3^{\circ} \dots \cos 90^{\circ} \dots \cos 179^{\circ}$ है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$,इसलिए पूरे गुणनफल का मान $0$ हो जाएगा क्योंकि किसी भी संख्या का $0$ से गुणा करने पर परिणाम $0$ आता है।
अतः,$\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ} \cdot \cos 3^{\circ} \dots \cos 179^{\circ} = 0$.

(D) दिया गया समीकरण: $2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$
विस्तार सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \left(\sin \theta \cdot \frac{1}{2} + \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin \theta \cdot \frac{1}{2}$
$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2 \sin \theta + 2 \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\sin \theta = -\sqrt{3} \cos \theta$
अतः,$\tan \theta = -\sqrt{3}$

(B) दिया गया है कि $A + B + C = \pi$।
चूंकि $A + B = \pi - C$,हम दोनों पक्षों का कोटैंजेंट लेते हैं:
$\cot(A + B) = \cot(\pi - C)$।
सर्वसमिका $\cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$ और $\cot(\pi - C) = -\cot C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} = -\cot C$।
दोनों पक्षों को $(\cot A + \cot B)$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है:
$\cot A \cot B - 1 = -\cot A \cot C - \cot B \cot C$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot A \cot C = 1$।

(A) दिया गया वक्र: $y^2 = ax^3 + b$.
चूंकि बिंदु $(2,3)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $3^2 = a(2)^3 + b$,जो $9 = 8a + b$ (समीकरण $1$) में सरल होता है।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = \frac{3a(2)^2}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ है।
दी गई रेखा $y = 4x - 5$ की ढाल $4$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $2a = 4$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
$a = 2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $9 = 8(2) + b \Rightarrow 9 = 16 + b \Rightarrow b = -7$.
अब,$7a + 2b$ का मान ज्ञात करने पर: $7(2) + 2(-7) = 14 - 14 = 0$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$।
यह ज्ञात करने के लिए कि $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम भागफल नियम का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$।
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $(x^2+1)^2$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है $1-x^2 > 0$।
यह $x^2 - 1 < 0$ में सरल हो जाता है,जो $(x-1)(x+1) < 0$ है।
इस असमिका को हल करने पर,हमें $x \in (-1, 1)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x \log x$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x = 1 + \log x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$1 + \log x = 0 \implies \log x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + \log x) = \frac{1}{x}$.
$x = \frac{1}{e}$ पर $f''(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f''(\frac{1}{e}) = \frac{1}{1/e} = e$.
चूंकि $e > 0$,फलन का $x = \frac{1}{e}$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(e^{-1}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$ है।

(B) यह क्षेत्र परवलय $x^2=4y$,रेखाओं $y=1$ और $y=4$,तथा प्रथम चतुर्थांश में y-अक्ष द्वारा परिबद्ध है।
$x^2=4y$ से,हमें $x = \sqrt{4y} = 2\sqrt{y}$ प्राप्त होता है (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $x > 0$ है)।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ को y के सापेक्ष समाकलन द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2})$
$A = \frac{4}{3} (8 - 1)$
$A = \frac{4}{3} (7) = \frac{28}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) $Z = 2x + y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $3x + 5y \leq 26$,$5x + 3y \leq 30$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करते हैं।
$1$. रेखाओं $3x + 5y = 26$ और $5x + 3y = 30$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
पहले समीकरण को $5$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर:
$15x + 25y = 130$
$15x + 9y = 90$
समीकरणों को घटाने पर: $16y = 40 \implies y = \frac{40}{16} = 2.5$.
$y = 2.5$ को $3x + 5(2.5) = 26$ में रखने पर: $3x + 12.5 = 26 \implies 3x = 13.5 \implies x = 4.5$.
अतः,बिंदु $B$ $(4.5, 2.5)$ है।
$2$. सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$,$(6, 0)$,$(4.5, 2.5)$ और $(0, 5.2)$ हैं।
$3$. प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 2x + y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर: $Z = 2(0) + 0 = 0$
$(6, 0)$ पर: $Z = 2(6) + 0 = 12$
$(4.5, 2.5)$ पर: $Z = 2(4.5) + 2.5 = 9 + 2.5 = 11.5$
$(0, 5.2)$ पर: $Z = 2(0) + 5.2 = 5.2$
अतः,अधिकतम मान $12$ है जो बिंदु $(6, 0)$ पर प्राप्त होता है।

(D) चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}$
इस सीमा का मान ज्ञात करने के लिए,अंश में $1$ जोड़ें और घटाएं:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{x^2} - 1) + (1 - \cos x)}{x^2}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} + \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \to 0^+} (x^2 + \alpha) = \lim_{x \to 0^-} (2\sqrt{x^2 + 1} + \beta)$
$0^2 + \alpha = 2\sqrt{0^2 + 1} + \beta$
$\alpha = 2 + \beta \implies \alpha - \beta = 2 . . . (1)$
दिया गया है कि $f(\frac{1}{2}) = 2$ है। चूंकि $\frac{1}{2} \ge 0$,हम फलन के पहले भाग का उपयोग करेंगे:
$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 + \alpha = 2$
$\frac{1}{4} + \alpha = 2$
$\alpha = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$
समीकरण $(1)$ में $\alpha = \frac{7}{4}$ रखने पर:
$\frac{7}{4} - \beta = 2$
$\beta = \frac{7}{4} - 2 = -\frac{1}{4}$
अब,$\alpha^2 + \beta^2$ की गणना करते हैं:
$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{7}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2$
$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{49}{16} + \frac{1}{16} = \frac{50}{16} = \frac{25}{8}$

(B) हम खंडशः समाकलन (integration by parts) की विधि का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = x$ और $dv = \sec^2 x \, dx$.
तब $du = dx$ और $v = \tan x$.
सूत्र लागू करने पर:
$\int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x \, dx = [x \tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx$.
प्रथम पद का मूल्यांकन करने पर:
$[x \tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4}) - (0 \cdot \tan 0) = \frac{\pi}{4} \cdot 1 - 0 = \frac{\pi}{4}$.
$\tan x$ के समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int \tan x \, dx = \ln |\sec x|$.
अतः,$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx = [\ln |\sec x|]_0^{\frac{\pi}{4}} = \ln |\sec \frac{\pi}{4}| - \ln |\sec 0| = \ln \sqrt{2} - \ln 1 = \ln \sqrt{2} - 0 = \ln \sqrt{2}$.
परिणामों को संयोजित करने पर:
$\frac{\pi}{4} - \ln \sqrt{2}$.

(C) दिया गया समाकलन $\int_{0}^{k} \frac{dx}{2 + 18x^2} = \frac{\pi}{24}$ है।
हर से $2$ कॉमन लेने पर: $\frac{1}{2} \int_{0}^{k} \frac{dx}{1 + 9x^2} = \frac{\pi}{24}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\int_{0}^{k} \frac{dx}{1 + (3x)^2} = \frac{\pi}{12}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{1 + a^2x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(ax) + C$ का उपयोग करने पर:
$\left[ \frac{1}{3} \tan^{-1}(3x) \right]_{0}^{k} = \frac{\pi}{12}$.
$\frac{1}{3} \tan^{-1}(3k) - \frac{1}{3} \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{12}$.
चूंकि $\tan^{-1}(0) = 0$,इसलिए $\frac{1}{3} \tan^{-1}(3k) = \frac{\pi}{12}$.
$\tan^{-1}(3k) = \frac{\pi}{4}$.
$3k = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
अतः,$k = \frac{1}{3}$.

(D) $4a$ नाभिलंब और $x$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ होता है।
यहाँ,$a$ एक निश्चित प्राचल है (नाभिलंब की लंबाई के रूप में दिया गया है),जबकि $h$ और $k$ शीर्ष $(h, k)$ के निर्देशांक को दर्शाने वाले स्वेच्छ अचर हैं।
चूँकि इसमें $2$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।

(B) दिया गया है $y = (\tan^{-1} x)^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
दोनों पक्षों को $(1+x^2)$ से गुणा करने पर:
$(1+x^2) \frac{dy}{dx} = 2 \tan^{-1} x$.
बाईं ओर गुणन नियम का उपयोग करते हुए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1+x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot (2x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
पूरे समीकरण को $(1+x^2)$ से गुणा करने पर:
$(1+x^2)^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x(1+x^2) \frac{dy}{dx} = 2$.
अतः,मान $2$ है।

(B) माना $x+y = v$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$।
इस मान को दिए गए अवकल समीकरण में रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos v$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos v$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos v = 2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)$ का उपयोग करने पर,$\frac{dv}{dx} = 2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)} = dx$,जो सरल होकर $\frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{v}{2}\right) dv = dx$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{v}{2}\right) dv = \int dx$।
इससे $\tan \left(\frac{v}{2}\right) = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = x+y$ वापस रखने पर,हमें $\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = x + c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $x=e^\theta(\sin \theta-\cos \theta)$ और $y=e^\theta(\sin \theta+\cos \theta)$ है।
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = e^\theta(\cos \theta + \sin \theta) + e^\theta(\sin \theta - \cos \theta) = e^\theta(\cos \theta + \sin \theta + \sin \theta - \cos \theta) = 2e^\theta \sin \theta$.
गुणन नियम का उपयोग करके $y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = e^\theta(\cos \theta - \sin \theta) + e^\theta(\sin \theta + \cos \theta) = e^\theta(\cos \theta - \sin \theta + \sin \theta + \cos \theta) = 2e^\theta \cos \theta$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2e^\theta \cos \theta}{2e^\theta \sin \theta} = \cot \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर मान रखने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{\theta=\frac{\pi}{4}} = \cot \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$.

(D) दिया है,$\log _{10}\left(\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}\right)=2$
$\Rightarrow \frac{x^3-y^3}{x^3+y^3} = 10^2 = 100$
$\Rightarrow x^3 - y^3 = 100x^3 + 100y^3$
$\Rightarrow -99x^3 = 101y^3$
$\Rightarrow y^3 = -\frac{99}{101}x^3$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = -\frac{99}{101} \cdot 3x^2$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{99}{101} \cdot \frac{x^2}{y^2}$
चूंकि $y^3 = -\frac{99}{101}x^3$,इसलिए $-\frac{99}{101} = \frac{y^3}{x^3}$
इस मान को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{x^3} \cdot \frac{x^2}{y^2} = \frac{y}{x}$

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ है।
चूंकि प्रांत $R-\{2\}$ है,हम $x \neq 2$ के लिए व्यंजक को सरल कर सकते हैं:
$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$.
चूंकि $x$,$2$ को छोड़कर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है,इसलिए $x+2$ का मान $2+2 = 4$ को छोड़कर कोई भी वास्तविक मान हो सकता है।
अतः,फलन का परिसर $R-\{4\}$ है।

(D) $I = \int \frac{1}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx + \int \frac{\cos^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx + \int \frac{1}{\sin x} \, dx$
$I = \int \tan x \sec x \, dx + \int \operatorname{cosec} x \, dx$
$I = \sec x + \ln |\operatorname{cosec} x - \cot x| + c$

(A) दिया गया समाकलन: $I = \int e^x \left[ \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right] dx$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left[ \frac{2 + 2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{2(1 + \sin x \cos x)}{2 \cos^2 x} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} \right] dx$
$I = \int e^x (\sec^2 x + \tan x) dx$
चूँकि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$,जहाँ $f(x) = \tan x$ और $f'(x) = \sec^2 x$ है:
$I = e^x \tan x + C$

(D) हम जानते हैं कि $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ होता है।
दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{4^2 - (3x)^2}}$ है।
$u = 3x$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$du = 3dx$ प्राप्त होता है,इसलिए $dx = \frac{du}{3}$।
$I = \int \frac{du/3}{\sqrt{4^2 - u^2}} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{4^2 - u^2}}$।
$I = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{u}{4}) + C = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{3x}{4}) + C$।
इसे $A \sin^{-1}(Bx) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{3}$ और $B = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4 + 9}{12} = \frac{13}{12}$।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} 2x + \tan ^{-1} 3x = \frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{5x}{1 - 6x^2} \right) = \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$6x^2 + 6x - x - 1 = 0$
$6x(x + 1) - 1(x + 1) = 0$
$(6x - 1)(x + 1) = 0$
इससे $x = \frac{1}{6}$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan ^{-1} 2x + \tan ^{-1} 3x = \frac{\pi}{4} > 0$,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए। अतः $x = -1$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
इस प्रकार,$x = \frac{1}{6}$।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग आव्यूह के सारणिक के बराबर होता है,अर्थात $a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + a_{i3} A_{i3} = |A|$।
यहाँ,$a_{31} A_{31} + a_{32} A_{32} + a_{33} A_{33} = |A|$ है।
अब,प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करके $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(1 \times 7 - 5 \times 4) - 2(1 \times 7 - 5 \times 2) + 3(1 \times 4 - 1 \times 2)$
$|A| = 1(7 - 20) - 2(7 - 10) + 3(4 - 2)$
$|A| = 1(-13) - 2(-3) + 3(2)$
$|A| = -13 + 6 + 6$
$|A| = -1$
अतः,मान $-1$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $(A^2 - 5A)A^{-1}$ है।
कोष्ठक के अंदर $A^{-1}$ का वितरण करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(A^2 \cdot A^{-1}) - (5A \cdot A^{-1})$
चूंकि $A^2 \cdot A^{-1} = A$ और $A \cdot A^{-1} = I$ (जहां $I$ एक तत्समक आव्यूह है),इसलिए अभिव्यक्ति का सरलीकृत रूप है:
$A - 5I$
अब,आव्यूह $A$ और तत्समक आव्यूह $I$ का मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1-5 & 2-0 & 3-0 \\ -1-0 & 1-5 & 2-0 \\ 1-0 & 2-0 & 4-5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -4 & 2 & 3 \\ -1 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$

(C) पासे पर संभावित परिणाम ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ हैं।
इनमें पूर्ण वर्ग संख्याएँ ${1, 4}$ हैं।
अतः,एक बार फेंकने पर पूर्ण वर्ग प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
एक बार फेंकने पर पूर्ण वर्ग न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$n = 4$ स्वतंत्र प्रयासों के लिए,चारों बार में से एक भी बार पूर्ण वर्ग न प्राप्त करने की प्रायिकता $q^4 = (\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$ है।
कम से कम एक बार पूर्ण वर्ग प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई पूर्ण वर्ग नहीं}) = 1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$ है।

(D) जब एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है।
माना $n(H)$ चितों की संख्या है और $n(T)$ पटों की संख्या है। $X = |n(H) - n(T)|$.
$HHH$ के लिए: $n(H)=3, n(T)=0, X=|3-0|=3$.
$HHT$ के लिए: $n(H)=2, n(T)=1, X=|2-1|=1$.
$HTH$ के लिए: $n(H)=2, n(T)=1, X=|2-1|=1$.
$HTT$ के लिए: $n(H)=1, n(T)=2, X=|1-2|=1$.
$THH$ के लिए: $n(H)=2, n(T)=1, X=|2-1|=1$.
$THT$ के लिए: $n(H)=1, n(T)=2, X=|1-2|=1$.
$TTH$ के लिए: $n(H)=1, n(T)=2, X=|1-2|=1$.
$TTT$ के लिए: $n(H)=0, n(T)=3, X=|0-3|=3$.
$X=1$ वाले परिणाम $\{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$ हैं।
ऐसे कुल $6$ परिणाम हैं।
अतः,$P(X=1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(D) दिया गया है कि $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n = 10$ और $p = 0.4$ है।
चूँकि $q = 1 - p$,इसलिए $q = 1 - 0.4 = 0.6$ होगा।
द्विपद बंटन का माध्य $E(X) = np = 10 \times 0.4 = 4$ होता है।
द्विपद बंटन का प्रसरण $V(X) = npq = 10 \times 0.4 \times 0.6 = 2.4$ होता है।
हम जानते हैं कि $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ होता है।
मान रखने पर,$2.4 = E(X^2) - (4)^2$ प्राप्त होता है।
$2.4 = E(X^2) - 16$।
अतः,$E(X^2) = 16 + 2.4 = 18.4$।

(B) पासा फेंकने के संभावित परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं। हम प्रत्येक परिणाम के लिए धनात्मक भाजकों की संख्या इस प्रकार निर्धारित करते हैं:

परिणाम	धनात्मक भाजक	भाजकों की संख्या $(X)$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1, 2$	$2$
$3$	$1, 3$	$2$
$4$	$1, 2, 4$	$3$
$5$	$1, 5$	$2$
$6$	$1, 2, 3, 6$	$4$

यादृच्छिक चर $X$ द्वारा लिए गए मानों का समूह परिसर है। तालिका से,मान $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं। अतः,$X$ का परिसर $\{1, 2, 3, 4\}$ है।

(C) माना दिशा कोण $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
दिया गया है $\alpha = 120^{\circ}$ और $\gamma = 60^{\circ}$।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
मान रखने पर: $\cos^2(120^{\circ}) + \cos^2 \beta + \cos^2(60^{\circ}) = 1$।
$(-\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \beta + (\frac{1}{2})^2 = 1$।
$\frac{1}{4} + \cos^2 \beta + \frac{1}{4} = 1$।
$\cos^2 \beta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
$\cos \beta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\beta = 45^{\circ}$ या $\beta = 135^{\circ}$।

(D) रेखाखंड $PQ$ के दिक्-अनुपात $(3-4, y-5, 4-x) = (-1, y-5, 4-x)$ हैं।
रेखाखंड $QR$ के दिक्-अनुपात $(5-3, 8-y, 0-4) = (2, 8-y, -4)$ हैं।
चूंकि बिंदु $P, Q$ और $R$ संरेख हैं,इसलिए उनके दिक्-अनुपात समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{-1}{2} = \frac{y-5}{8-y} = \frac{4-x}{-4}$.
$\frac{-1}{2} = \frac{y-5}{8-y}$ से:
$-1(8-y) = 2(y-5)$
$-8+y = 2y-10$
$y = 2$.
$\frac{-1}{2} = \frac{4-x}{-4}$ से:
$4 = 2(4-x)$
$4 = 8-2x$
$2x = 4$
$x = 2$.
अतः,$x+y = 2+2 = 4$.

(C) माना कि दी गई दो रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों रेखाओं पर लंब है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{b}$ क्रॉस गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 2) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-4 + 2) = -2\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$-1$ से गुणा करके हम दिशा अनुपात $(2, 3, 2)$ ले सकते हैं।
यह रेखा बिंदु $(3, -1, 2)$ से गुजरती है।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - (-1)}{3} = \frac{z - 2}{2}$ है,जिसे सरल करने पर $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ तभी प्रतिच्छेद करती हैं जब उनके बिंदुओं के अंतर और उनके दिक अनुपातों से बने सारणिक का मान शून्य हो:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
दी गई रेखाओं $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z-0}{1}$ के लिए,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$ है।
दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$ हैं।
सारणिक की शर्त में मान रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$
$2k - 9 = 0$
$2k = 9$
$k = \frac{9}{2}$

(C) चूंकि दिए गए समतल एक सीधी रेखा से गुजरते हैं,इसलिए समतलों के गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ c & -1 & a \\ b & a & -1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$1( (-1)(-1) - (a)(a) ) - (-c)( (c)(-1) - (a)(b) ) + (-b)( (c)(a) - (-1)(b) ) = 0$
$1(1 - a^2) + c(-c - ab) - b(ac + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
अतः,$a^2 + b^2 + c^2 = 1 - 2abc$.

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
दिया गया है कि समतलों के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए उनके अभिलंबों के बीच के कोण का कोज्या $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (p)(2) + (-1)(-p) + (2)(-1) = 2p + p - 2 = 3p - 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{p^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{p^2 + 5}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + (-p)^2 + (-1)^2} = \sqrt{p^2 + 5}$.
अतः,$\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{|3p - 2|}{\sqrt{p^2 + 5} \sqrt{p^2 + 5}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{|3p - 2|}{p^2 + 5}$.
स्थिति $1$: $3p - 2 = \frac{1}{2}(p^2 + 5) \implies 6p - 4 = p^2 + 5 \implies p^2 - 6p + 9 = 0 \implies (p - 3)^2 = 0 \implies p = 3$.
स्थिति $2$: $-(3p - 2) = \frac{1}{2}(p^2 + 5) \implies -6p + 4 = p^2 + 5 \implies p^2 + 6p + 1 = 0 \implies p = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि दिए गए विकल्पों में केवल $3$ उपलब्ध है,इसलिए $p$ का मान $3$ है।

(C) दिया गया है कि बिंदुओं $L$ और $M$ के स्थिति सदिश $\vec{l} = 2\vec{a} - \vec{b}$ और $\vec{m} = \vec{a} + 2\vec{b}$ हैं।
बिंदु $N$,रेखाखंड $LM$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन के लिए स्थिति सदिश का सूत्र $\vec{n} = \frac{m\vec{m} - n\vec{l}}{m - n}$ है।
मान रखने पर:
$\vec{n} = \frac{2(\vec{a} + 2\vec{b}) - 1(2\vec{a} - \vec{b})}{2 - 1}$
$\vec{n} = \frac{2\vec{a} + 4\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{b}}{1}$
$\vec{n} = 5\vec{b}$.