रेखाएँ x+2ay+a=0,x+3by+b=0,और x+4cy+c=0 संगाम | vedclass

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Question

(A) तीन रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:$\begin

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हरात्मक श्रेणी (Harmonic progression)

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(A) तीन रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \ 1 & 3b & b \ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$पंक्ति संक्रियाओं $R_2 	o R_2 - R_1$ और $R_3 	o R_3 - R_1$ को लागू करने पर:$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \ 0 & 3b-2a & b-a \ 0 & 4c-2a & c-a \end{vmatrix} = 0$प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:$(3b-2a)(c-a) - (b-a)(4c-2a) = 0$$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - (4bc - 2ab - 4ac + 2a^2) = 0$$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - 4bc + 2ab + 4ac - 2a^2 = 0$$-bc - ab + 2ac = 0$$2ac = ab + bc$दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर:$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$यह दर्शाता है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ समांतर श्रेणी में हैं,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

रेखाएँ $x+2ay+a=0$,$x+3by+b=0$,और $x+4cy+c=0$ संगामी हैं। तो $a, b, c$ किसमें हैं?

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बिंदुओं $\hat{i}+2 \hat{j}, 2 \hat{i}-\hat{j}$ और $-\hat{i}, 2 \hat{i}$ को जोड़ने वाली रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

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