वक्र y^2 = frac{x^3}{9} पर वे बिंदु,जहाँ वक्र | vedclass

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Question

(B) दिया गया वक्र $y^2 = \frac{x^3}{9}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{9} = \frac{x^2}{3}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \fra

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$(4, \pm \frac{8}{3})$

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(B) दिया गया वक्र $y^2 = \frac{x^3}{9}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{9} = \frac{x^2}{3}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$ प्राप्त होता है।बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ है।अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = -\frac{6y_1}{x_1^2}(x - x_1)$ है।चूंकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए। ज्यामिति के अनुसार,ढाल $-1$ है।अतः,$-\frac{6y_1}{x_1^2} = -1 \implies x_1^2 = 6y_1$ है।$y_1^2 = \frac{x_1^3}{9}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $y_1 = \frac{x_1^2}{6} \implies y_1^2 = \frac{x_1^4}{36}$ प्राप्त होता है।$y_1^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{x_1^3}{9} = \frac{x_1^4}{36} \implies 4x_1^3 = x_1^4 \implies x_1 = 4$ (क्योंकि $x_1 
eq 0$ है)।यदि $x_1 = 4$,तो $y_1^2 = \frac{64}{9} \implies y_1 = \pm \frac{8}{3}$ है।अतः,बिंदु $(4, \pm \frac{8}{3})$ हैं।

वक्र $y^2 = \frac{x^3}{9}$ पर वे बिंदु,जहाँ वक्र का अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,हैं

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