एक वक्र y=f(x) के बिंदु P(x, y) पर एक अभिलंब | vedclass

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Question

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है। स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है,अतः अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy}$ है।अभिलंब का समीकरण $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X -

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$x^2 + y^2 = k^2$

Vedclass · Answer

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है। स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है,अतः अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy}$ है।अभिलंब का समीकरण $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$ है।$X$-अक्ष पर $Y=0$ रखने पर,$Q$ के निर्देशांक $(x + y \frac{dy}{dx}, 0)$ प्राप्त होते हैं।लंबाई $PQ^2 = (y \frac{dy}{dx})^2 + y^2 = k^2$ है।अतः $y^2 ((\frac{dy}{dx})^2 + 1) = k^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{k^2 - y^2}}{y}$ प्राप्त होता है।समाकलन करने पर,$\int \frac{y}{\sqrt{k^2 - y^2}} dy = \int dx \implies -\sqrt{k^2 - y^2} = x + C$ प्राप्त होता है।बिंदु $(0, k)$ के लिए $C=0$ प्राप्त होता है,अतः अभीष्ट वक्र $x^2 + y^2 = k^2$ है।

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