MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) सबसे पहले,समीकरण $xy+2x+2y+4=0$ का गुणनखंड करें।
$x(y+2)+2(y+2)=0$
$(x+2)(y+2)=0$.
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x=-2$ और $y=-2$.
तीसरी रेखा $x+y+2=0$ दी गई है,जिसे $y=-x-2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $x=-2$ और $y=-2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-2, -2)$ है।
$2$. $x=-2$ और $y=-x-2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(-2, 0)$ है।
$3$. $y=-2$ और $y=-x-2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(0, -2)$ है।
यह त्रिभुज $A(-2, -2)$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।
कर्ण $BC$ रेखाखंड है जो $(-2, 0)$ और $(0, -2)$ को जोड़ता है।
कर्ण $BC$ की लंबाई $= \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ इकाई।

(B) शीर्ष $A(0,0)$,$B(3,0)$,और $C(0,-4)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$c = AB = 3$
$b = AC = 4$
$a = BC = 5$
अंतःकेंद्र $(I)$ के निर्देशांक का सूत्र:
$I = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} \right)$
मान रखने पर:
$I = \left( \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{12}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(-4)}{12} \right)$
$I = (1, -1)$.

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
चूंकि $P(-4, 1)$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$-4 = \frac{1(0) + 2(a)}{1+2} \implies -4 = \frac{2a}{3} \implies a = -6$.
$1 = \frac{1(b) + 2(0)}{1+2} \implies 1 = \frac{b}{3} \implies b = 3$.
अतः,अंतःखंड $a = -6$ और $b = 3$ हैं।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$\frac{x}{-6} + \frac{y}{3} = 1$.
$-6$ से गुणा करने पर,$x - 2y = -6$,या $x - 2y + 6 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: $(4, -5)$ और $(-2, 9)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु $M$ ज्ञात करें।
$M = (\frac{4 + (-2)}{2}, \frac{-5 + 9}{2}) = (1, 2)$.
चरण $2$: $(-3, 6)$ और $(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ ज्ञात करें।
$m = \frac{2 - 6}{1 - (-3)} = \frac{-4}{4} = -1$.
चरण $3$: झुकाव $\theta$ ज्ञात करें।
$m = \tan(\theta) = -1$,इसलिए $\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(C) सबसे पहले,समीकरण $xy + 2x + 2y + 4 = 0$ का गुणनखंड करें।
$x(y + 2) + 2(y + 2) = 0$
$(x + 2)(y + 2) = 0$.
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x = -2$ और $y = -2$.
तीसरी रेखा $x + y + 2 = 0$ है।
ये तीन रेखाएं प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर एक त्रिभुज बनाती हैं:
$1$. $x = -2$ और $y = -2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -2)$ है।
$2$. $x = -2$ और $x + y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 0)$ है।
$3$. $y = -2$ और $x + y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -2)$ है।
चूंकि यह एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए परिकेंद्र कर्ण का मध्य बिंदु है।
कर्ण $(-2, 0)$ और $(0, -2)$ को जोड़ता है।
मध्य बिंदु = $(\frac{-2 + 0}{2}, \frac{0 - 2}{2}) = (-1, -1)$.

(B) दी गई रेखा $3x + 4y = 24$ है।
$X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y = 0$ रखें: $3x = 24 \implies x = 8$. अतः,$A = (8, 0)$.
$Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x = 0$ रखें: $4y = 24 \implies y = 6$. अतः,$B = (0, 6)$.
त्रिभुज $OAB$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(8, 0)$,और $B(0, 6)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $OA = 8$,$OB = 6$,और $AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ है।
अंतःकेंद्र का सूत्र $(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c})$ है।
यहाँ,$I_x = \frac{10(0) + 6(8) + 8(0)}{24} = 2$ और $I_y = \frac{10(0) + 6(0) + 8(6)}{24} = 2$.
अतः,अंतःकेंद्र $(2, 2)$ है।

(B) रेखा $4x - 2y + 13 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{4}{-2} = 2$ है।
निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंड बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ होता है,जिसे $x + y = a$ लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_2 = -1$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + (2)(-1)} \right| = \left| \frac{3}{1 - 2} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = 3$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3)$।

(D) $1$. $M$ के निर्देशांक ज्ञात करें: रेखा $x-y-2=0$,$X$-अक्ष को वहाँ काटती है जहाँ $y=0$ है। $y=0$ रखने पर,$x=2$ प्राप्त होता है। अतः,$M = (2,0)$.
$2$. मूल रेखा $MN$ की ढाल ज्ञात करें: समीकरण $x-y-2=0$ को $y=x-2$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ ढाल $m_1 = 1$ है,जो $45^{\circ}$ के कोण के अनुरूप है।
$3$. नई ढाल ज्ञात करें: रेखा को $45^{\circ}$ वामावर्त दिशा में घुमाने पर,नया कोण $\theta_2 = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ होगा।
$4$. नई रेखा का समीकरण ज्ञात करें: $M(2,0)$ से गुजरने वाली और $90^{\circ}$ के कोण पर स्थित रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। अतः,इसका समीकरण $x=2$ है।

(NONE) चरण $1$: रेखाओं $x + 2y + 6 = 0$ और $2x - y = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
दूसरे समीकरण से,$y = 2x - 2$.
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(2x - 2) + 6 = 0$.
$x + 4x - 4 + 6 = 0 \implies 5x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{5}$.
अतः $y = 2(-\frac{2}{5}) - 2 = -\frac{14}{5}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{2}{5}, -\frac{14}{5})$ है।
चरण $2$: $y$-अंतःखंड $c = 5$ वाली रेखा का समीकरण $y = mx + 5$ है।
चूंकि रेखा $(-\frac{2}{5}, -\frac{14}{5})$ से गुजरती है:
$-\frac{14}{5} = m(-\frac{2}{5}) + 5 \implies m = \frac{39}{2}$.
चरण $3$: समीकरण $y = \frac{39}{2}x + 5 \implies 39x - 2y + 10 = 0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $(x-2y+1)^2 + k(x-2y+1) = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x-2y+1)(x-2y+1+k) = 0$ प्राप्त होता है।
यह दो समानांतर रेखाओं को दर्शाता है:
$L_1: x-2y+1 = 0$
$L_2: x-2y+(1+k) = 0$.
दो समानांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A=1, B=-2, C_1=1, C_2=1+k$.
दिया गया है $d = \sqrt{5}$,इसलिए $\sqrt{5} = \frac{|1-(1+k)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}$.
$\sqrt{5} = \frac{|-k|}{\sqrt{5}}$.
$|-k| = 5$.
अतः $k = \pm 5$.
विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $A$ है।

(D) मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
विकल्प $A$ के लिए: $d_A = \frac{|4|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{4}{5} = 0.8$.
विकल्प $B$ के लिए: $d_B = \frac{|-5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{5}{\sqrt{13}} \approx 1.38$.
विकल्प $C$ के लिए: $d_C = \frac{|12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{12}{5} = 2.4$.
विकल्प $D$ के लिए: $d_D = \frac{|-3|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{29}} \approx 0.55$.
दूरियों की तुलना करने पर,$0.55$ सबसे छोटा मान है। अतः,विकल्प $D$ की रेखा मूल बिंदु के सबसे निकट है।

(A) माना बिंदु $P(1, 2)$ है। $P$ से गुजरने वाली और $3x - y = 2$ के समानांतर रेखा का समीकरण $3x - y = k$ है। चूँकि यह $(1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $3(1) - 2 = k$,जिससे $k = 1$ प्राप्त होता है। रेखा का समीकरण $3x - y = 1$ या $y = 3x - 1$ है।
इस रेखा का $x + y = 0$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ ज्ञात करने के लिए,$y = 3x - 1$ को $x + y = 0$ में प्रतिस्थापित करें:
$x + (3x - 1) = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4}$.
अतः $y = -x = -\frac{1}{4}$. इसलिए $Q = (\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(1 - \frac{1}{4})^2 + (2 - (-\frac{1}{4}))^2} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + (\frac{9}{4})^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{81}{16}} = \sqrt{\frac{90}{16}} = \frac{3 \sqrt{10}}{4}$ इकाई।

(B) दी गई रेखाएँ $x=5$ और $y=3$ हैं।
ये रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
रेखाओं $x=h$ और $y=k$ के बीच के कोणों के समद्विभाजक $x-h = \pm(y-k)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$h=5$ और $k=3$ रखने पर,हमें $x-5 = \pm(y-3)$ प्राप्त होता है।
इससे दो समीकरण मिलते हैं: $x-5 = y-3 \implies x-y-2=0$ और $x-5 = -(y-3) \implies x+y-8=0$।
संयुक्त समीकरण $(x-y-2)(x+y-8) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर: $x^2 - y^2 - 10x + 6y + 16 = 0$।

(B) बिंदु $P(x, y, z)$ की $x$-अक्ष से दूरी $\sqrt{y^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $y$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $z$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों के वर्गों का योग $242$ है:
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 242$
$2(x^2 + y^2 + z^2) = 242$
$x^2 + y^2 + z^2 = 121$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$d = \sqrt{121} = 11$।
अतः,दूरी $11$ इकाई है।

(C) बिंदु $P(x, y, z)$ की $x$-अक्ष से दूरी $\sqrt{y^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P$ की $y$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P$ की $z$-अक्ष से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ है।
दिया गया है कि इन दूरियों के वर्गों का योग $324$ है:
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 324$
$2(x^2 + y^2 + z^2) = 324$
$x^2 + y^2 + z^2 = 162$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d = \sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = 9 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,$(x_3, y_3, z_3)$,और $(x_4, y_4, z_4)$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का केंद्रक $G$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4} \right)$
दिए गए शीर्षों $A(3, -5, x)$,$B(5, 4, 2)$,$C(7, -7, y)$,$D(1, 0, z)$ और केंद्रक $G(4, -2, 2)$ के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$z$-निर्देशांक के लिए:
$\frac{x + 2 + y + z}{4} = 2$
$x + y + z + 2 = 8$
$x + y + z = 8 - 2$
$x + y + z = 6$

(A) दिया गया समीकरण $\tan 3\theta = \cot \theta$ है।
हम जानते हैं कि $\cot \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$।
अतः,$\tan 3\theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$।
$\tan x = \tan y$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + y$ होता है,जहाँ $n \in Z$।
इसलिए,$3\theta = n\pi + (\frac{\pi}{2} - \theta)$।
दोनों पक्षों में $\theta$ जोड़ने पर,हमें $4\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$4\theta = \frac{(2n+1)\pi}{2}$।
$4$ से भाग देने पर,हमें $\theta = \frac{(2n+1)\pi}{8}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n \in Z$।

(A) दिया गया है $\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
सर्वसमिका $\cos(x) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ का उपयोग करने पर:
$\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
इसका अर्थ है $\frac{\pi}{4} \cot \theta = n \pi + (-1)^n \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
$n=0$ के लिए,$\frac{\pi}{4} \cot \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta \implies \cot \theta + \tan \theta = 2 \implies \frac{1}{\tan \theta} + \tan \theta = 2$.
माना $\tan \theta = t$,तब $\frac{1}{t} + t = 2 \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies \tan \theta = 1$.
अतः,$\theta = n \pi + \frac{\pi}{4}$.

(A) दिया गया समीकरण $(5+3 \sin \theta)(2 \cos \theta+1)=0$ है।
इसका अर्थ है कि या तो $(5+3 \sin \theta)=0$ या $(2 \cos \theta+1)=0$ है।
स्थिति $1$: $5+3 \sin \theta = 0 \implies \sin \theta = -\frac{5}{3}$। चूँकि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: $2 \cos \theta + 1 = 0 \implies \cos \theta = -\frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में होता है।
अंतराल $[0, 2\pi)$ में,हल $\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ और $\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ हैं।
अतः,मुख्य हल $\frac{2\pi}{3}$ और $\frac{4\pi}{3}$ हैं।

(B) दिया गया है $\sec x + \tan x = 2$।
हम जानते हैं कि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,जिसका अर्थ है $(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) = 1$।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sec x - \tan x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \sec x = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$,इसलिए $\sec x = \frac{5}{4}$।
अतः,$\cos x = \frac{4}{5}$।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - 4/5}{2} = \frac{1}{10}$।
चूँकि $0 < x < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4}$,अतः $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
तब $\cos \frac{x}{2} = \sqrt{1 - \sin^2 \frac{x}{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$।
$\sin^2 \frac{x}{4} = \frac{1 - \cos \frac{x}{2}}{2} = \frac{1 - 3/\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{10} - 3}{2 \sqrt{10}}$।
अंश और हर को $\sqrt{10} + 3$ से गुणा करने पर:
$\sin^2 \frac{x}{4} = \frac{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)}{2 \sqrt{10}(\sqrt{10} + 3)} = \frac{10 - 9}{2(10 + 3 \sqrt{10})} = \frac{1}{2(10 + 3 \sqrt{10})}$।
इसलिए,$\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2(10 + 3 \sqrt{10})}}$।

(D) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ के लिए,मुख्य मान $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$ और $\theta = 2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$ हैं।
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,मुख्य मान $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$ हैं।
दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ मान $\theta = \frac{7 \pi}{6}$ है।
हालाँकि,$\tan \theta$ का मुख्य हल अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में परिभाषित होता है,जहाँ $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ से $\theta = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$,इसलिए कोई उभयनिष्ठ मुख्य हल नहीं है।

(D) दिया गया है $\tan (\pi \cos \theta) = \cot (\pi \sin \theta)$.
हम जानते हैं कि $\cot x = \tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.
अतः,$\tan (\pi \cos \theta) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta\right)$.
इसका अर्थ है $\pi \cos \theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$\pi$ से विभाजित करने पर,$\cos \theta + \sin \theta = n + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ से गुणा करने पर,$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{n + 0.5}{\sqrt{2}}$.
$\sin \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{n + 0.5}{\sqrt{2}}$.
चूँकि साइन फलन $[-1, 1]$ के बीच होता है,$n=0$ लेने पर: $\sin \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{0.5}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^2 \theta + \sec 2\theta = 1$
हम जानते हैं कि $\tan^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$ और $\sec 2\theta = \frac{1}{\cos 2\theta}$।
मान रखने पर,$\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} + \frac{1}{\cos 2\theta} = 1$।
मान लीजिए $x = \cos 2\theta$। तो $\frac{1-x}{1+x} + \frac{1}{x} = 1$।
$\frac{x(1-x) + 1+x}{x(1+x)} = 1 \implies x - x^2 + 1 + x = x + x^2$।
$2x^2 - x - 1 = 0 \implies (2x + 1)(x - 1) = 0$।
स्थिति $1$: $\cos 2\theta = 1 \implies 2\theta = 2n\pi \implies \theta = n\pi$।
स्थिति $2$: $\cos 2\theta = -\frac{1}{2} \implies 2\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \implies \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin \theta + \sin (4 \theta) + \sin (7 \theta) = 0$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ का उपयोग करके,$\sin \theta$ और $\sin (7 \theta)$ को संयोजित करने पर:
$2 \sin (4 \theta) \cos (3 \theta) + \sin (4 \theta) = 0$.
$\sin (4 \theta)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sin (4 \theta) (2 \cos (3 \theta) + 1) = 0$.
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $\sin (4 \theta) = 0 \implies 4 \theta = n \pi \implies \theta = \frac{n \pi}{4}$.
$\theta \in (0, \pi)$ के लिए,मान $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}$ हैं।
मामला $2$: $2 \cos (3 \theta) + 1 = 0 \implies \cos (3 \theta) = -\frac{1}{2}$.
$3 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \implies \theta = \frac{2 n \pi}{3} \pm \frac{2 \pi}{9}$.
$\theta \in (0, \pi)$ के लिए:
यदि $n=0$,तो $\theta = \frac{2 \pi}{9}$.
यदि $n=1$,तो $\theta = \frac{4 \pi}{9}$ और $\theta = \frac{8 \pi}{9}$.
सभी मानों को संयोजित करने पर,$\theta \in \{ \frac{2 \pi}{9}, \frac{\pi}{4}, \frac{4 \pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{8 \pi}{9} \}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $y = 16^{\sin ^2 x}$. चूँकि $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$,इसलिए $16^{\cos ^2 x} = \frac{16}{y}$ होगा।
समीकरण: $y + \frac{16}{y} = 10 \implies y^2 - 10y + 16 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(y - 8)(y - 2) = 0$,अतः $y = 8$ या $y = 2$.
स्थिति $1$: $16^{\sin ^2 x} = 8 \implies 4 \sin ^2 x = 3 \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. इसके $4$ हल हैं।
स्थिति $2$: $16^{\sin ^2 x} = 2 \implies 4 \sin ^2 x = 1 \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$. इसके $4$ हल हैं।
कुल हलों की संख्या = $4 + 4 = 8$.

(C) दिया गया समीकरण $2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$ है।
माना $t = \sin x$. समीकरण $2t^2 + 5t - 3 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(2t - 1)(t + 3) = 0$.
अतः $t = \frac{1}{2}$ या $t = -3$.
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,इसलिए $\sin x = -3$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin x = \frac{1}{2}$ को हल करने पर।
अंतराल $[0, 3\pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ प्राप्त होते हैं।
कुल $3$ मान प्राप्त होते हैं।

(A) माना $u = 81^{\sin^2 x}$ है। चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,इसलिए $81^{\cos^2 x} = \frac{81}{u}$ होगा।
समीकरण: $u + \frac{81}{u} = 30 \implies u^2 - 30u + 81 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(u - 27)(u - 3) = 0$,अतः $u = 27$ या $u = 3$ है।
स्थिति $1$: $81^{\sin^2 x} = 27 \implies 4\sin^2 x = 3 \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$0 \leqslant x \leqslant \pi$ के लिए,$x = \frac{\pi}{3}$ या $x = \frac{2\pi}{3}$ है।
स्थिति $2$: $81^{\sin^2 x} = 3 \implies 4\sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$।
$0 \leqslant x \leqslant \pi$ के लिए,$x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{5\pi}{6}$ है।
अतः सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $1 - \cos \theta = \sin \theta \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} (1 - \cos \frac{\theta}{2}) = 0$
स्थिति $1$: $\sin^2 \frac{\theta}{2} = 0 \implies \frac{\theta}{2} = n\pi \implies \theta = 2n\pi$
स्थिति $2$: $1 - \cos \frac{\theta}{2} = 0 \implies \cos \frac{\theta}{2} = 1 \implies \frac{\theta}{2} = 2n\pi \implies \theta = 4n\pi$
दोनों को मिलाने पर,हल $\theta = 2n\pi$ या $\theta = 4n\pi$ है,जहाँ $n \in Z$ है।

(B) दिया गया समीकरण $3 \sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0$ है।
माना $t = \sin x$,तो समीकरण $3t^2 - 7t + 2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3t^2 - 6t - t + 2 = 0 \implies 3t(t - 2) - 1(t - 2) = 0 \implies (3t - 1)(t - 2) = 0$।
अतः,$t = \frac{1}{3}$ या $t = 2$।
चूंकि $\sin x$ का मान $2$ नहीं हो सकता,इसलिए $\sin x = \frac{1}{3}$।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{3}$ के लिए $2$ हल मिलते हैं।
अंतराल $[2\pi, 4\pi]$ में,$2$ और हल मिलते हैं।
अंतराल $[4\pi, 5\pi]$ में,$1$ हल मिलता है।
कुल हलों की संख्या = $2 + 2 + 1 = 5$।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sin^2 5^{\circ} + \sin^2 10^{\circ} + \ldots + \sin^2 85^{\circ} + \sin^2 90^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \sin^2(90^{\circ} - \theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है।
$5^{\circ}$ से $85^{\circ}$ तक $5^{\circ}$ के अंतराल पर कुल $17$ पद हैं।
इन्हें $(\sin^2 5^{\circ} + \sin^2 85^{\circ}) + (\sin^2 10^{\circ} + \sin^2 80^{\circ}) + \ldots + (\sin^2 40^{\circ} + \sin^2 50^{\circ}) + \sin^2 45^{\circ}$ के रूप में जोड़ा जा सकता है।
ऐसी $8$ जोड़ियाँ हैं,जिनका योग $1$ है,और एक मध्य पद $\sin^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,इन $17$ पदों का योग $8 \times 1 + \frac{1}{2} = 8.5$ है।
अंतिम पद $\sin^2 90^{\circ} = 1$ जोड़ने पर,कुल योग $8.5 + 1 = 9.5 = \frac{19}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $3 \sin \alpha = 5 \sin \beta$,इसलिए हम लिख सकते हैं $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{5}{3}$.
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin \alpha - \sin \beta} = \frac{5 + 3}{5 - 3} = \frac{8}{2} = 4$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)} = 4$
$\tan \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cot \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4$
चूंकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,इसलिए $\tan \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \div \tan \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4$.

(D) दिया गया व्यंजक: $E = a \cos (B-\theta) + b \cos (A+\theta)$
सूत्र $\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$E = a(\cos B \cos \theta + \sin B \sin \theta) + b(\cos A \cos \theta - \sin A \sin \theta)$
$E = (a \cos B + b \cos A) \cos \theta + (a \sin B - b \sin A) \sin \theta$
त्रिभुज में प्रक्षेप सूत्र (projection formula) के अनुसार,$a \cos B + b \cos A = c$ होता है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,इसलिए $a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$।
दूसरे पद में इन मानों को रखने पर: $a \sin B - b \sin A = (2R \sin A) \sin B - (2R \sin B) \sin A = 0$।
अतः,$E = c \cos \theta + 0 \cdot \sin \theta = c \cos \theta$।

(B) दिया गया है $A+B=\frac{\pi}{2}$,इसलिए $B=\frac{\pi}{2}-A$ है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos A \cdot \cos(\frac{\pi}{2}-A)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}-A) = \sin A$ होता है,इसलिए व्यंजक $\cos A \cdot \sin A$ बन जाता है।
$2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $\frac{2 \sin A \cos A}{2} = \frac{\sin(2A)}{2}$ प्राप्त होता है।
$\sin(2A)$ का अधिकतम मान $1$ है।
अतः,$\frac{\sin(2A)}{2}$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है।

(A) माना $E = \sqrt{3} \cot 20^{\circ} - 4 \cos 20^{\circ}$.
$E = \sqrt{3} \frac{\cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} - 4 \cos 20^{\circ}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 4 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर,$4 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ} = 2 \sin 40^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 \sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sqrt{3} \cos 20^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} = 1$.

(D) दिया गया समीकरण: $3 \sin 2 \theta = 2 \sin 3 \theta$.
सर्वसमिकाओं $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ और $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$3(2 \sin \theta \cos \theta) = 2(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$.
$6 \sin \theta \cos \theta = 6 \sin \theta - 8 \sin^3 \theta$.
चूंकि $0 < \theta < \pi$,$\sin \theta \neq 0$,इसलिए $2 \sin \theta$ से भाग देने पर:
$3 \cos \theta = 3 - 4 \sin^2 \theta$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \cos \theta = 3 - 4(1 - \cos^2 \theta) = 3 - 4 + 4 \cos^2 \theta$.
$4 \cos^2 \theta - 3 \cos \theta - 1 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(4 \cos \theta + 1)(\cos \theta - 1) = 0$.
इससे $\cos \theta = 1$ (जो संभव नहीं है) या $\cos \theta = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

(B) हम जानते हैं कि $\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$.
मान लीजिए $\theta = 10^{\circ}$,तो $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\tan 10^{\circ} - \tan^3 10^{\circ}}{1 - 3\tan^2 10^{\circ}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{3} = \frac{(3\tan 10^{\circ} - \tan^3 10^{\circ})^2}{(1 - 3\tan^2 10^{\circ})^2}$.
$(1 - 3\tan^2 10^{\circ})^2 = 3(9\tan^2 10^{\circ} - 6\tan^4 10^{\circ} + \tan^6 10^{\circ})$.
$1 - 6\tan^2 10^{\circ} + 9\tan^4 10^{\circ} = 27\tan^2 10^{\circ} - 18\tan^4 10^{\circ} + 3\tan^6 10^{\circ}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3\tan^6 10^{\circ} - 27\tan^4 10^{\circ} + 33\tan^2 10^{\circ} = 1$.

(A) माना $x = \tan 20^{\circ} \tan 80^{\circ} \cot 50^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\cot 50^{\circ} = \frac{1}{\tan 50^{\circ}}$ होता है।
अतः,$x = \frac{\tan 20^{\circ} \tan 80^{\circ}}{\tan 50^{\circ}}$.
$\tan \theta \tan(60^{\circ} - \theta) \tan(60^{\circ} + \theta) = \tan 3\theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\sin A = n \sin (A + 2B)$.
हम इसे $\frac{\sin A}{\sin (A + 2B)} = n$ के रूप में लिख सकते हैं।
योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{\sin (A + 2B) + \sin A}{\sin (A + 2B) - \sin A} = \frac{1 + n}{1 - n}$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \sin(A + B) \cos B}{2 \cos(A + B) \sin B} = \frac{1 + n}{1 - n}$.
$\tan (A + B) \cot B = \frac{1 + n}{1 - n}$.
अतः,$\tan (A + B) = \frac{1 + n}{1 - n} \tan B$.

(A) दिया है: $\sin A + \sin B = x$ $(1)$ और $\cos A + \cos B = y$ $(2)$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) = x$ $(3)$
$2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) = y$ $(4)$
$(3)$ को $(4)$ से विभाजित करने पर:
$\tan(\frac{A+B}{2}) = \frac{x}{y}$.
हम जानते हैं कि $\sin(A+B) = \frac{2 \tan(\frac{A+B}{2})}{1 + \tan^2(\frac{A+B}{2})}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(A+B) = \frac{2(x/y)}{1 + (x/y)^2} = \frac{2x/y}{(y^2 + x^2)/y^2} = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$.

(A) दिया गया है $\sin \theta = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{x})$.
चूंकि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,और किसी भी वास्तविक $x \neq 0$ के लिए,$|x + \frac{1}{x}| \geq 2$,इसलिए $|\sin \theta| = \frac{1}{2} |x + \frac{1}{x}| \geq 1$ होता है।
अतः,$\sin \theta$ का मान केवल $1$ या $-1$ हो सकता है।
यदि $\sin \theta = 1$ है,तो $x + \frac{1}{x} = 2$,जिसका अर्थ है $x = 1$ है।
तब $\sin 3 \theta = \sin(3 \times 90^\circ) = \sin 270^\circ = -1$ है।
साथ ही,$\frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = \frac{1}{2} (1^3 + \frac{1}{1^3}) = \frac{1}{2} (2) = 1$ है।
इसलिए,$\sin 3 \theta + \frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = -1 + 1 = 0$ है।
यदि $\sin \theta = -1$ है,तो $x + \frac{1}{x} = -2$,जिसका अर्थ है $x = -1$ है।
तब $\sin 3 \theta = \sin(3 \times 270^\circ) = \sin 810^\circ = \sin 90^\circ = 1$ है।
साथ ही,$\frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = \frac{1}{2} ((-1)^3 + \frac{1}{(-1)^3}) = \frac{1}{2} (-2) = -1$ है।
इसलिए,$\sin 3 \theta + \frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = 1 - 1 = 0$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos^4(\pi - \theta) = \cos^4 \theta$.
अतः,$\cos^4 \frac{7\pi}{8} = \cos^4 \frac{\pi}{8}$ और $\cos^4 \frac{5\pi}{8} = \cos^4 \frac{3\pi}{8}$.
व्यंजक $2(\cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8})$ हो जाता है।
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos^4 \theta = \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$.
$\theta = \frac{\pi}{8}$ के लिए,$\cos^4 \frac{\pi}{8} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8}$.
$\theta = \frac{3\pi}{8}$ के लिए,$\cos^4 \frac{3\pi}{8} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8}$.
योग करने पर,$2(\frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} + \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8}) = 2(\frac{6}{8}) = \frac{3}{2}$.

(A) हम जानते हैं कि $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\tan \frac{2 \pi}{3} = \tan(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$.
$\tan \frac{4 \pi}{3} = \tan(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\tan \frac{8 \pi}{3} = \tan(2 \pi + \frac{2 \pi}{3}) = \tan \frac{2 \pi}{3} = -\sqrt{3}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\sqrt{3} + 2(-\sqrt{3}) + 4(\sqrt{3}) + 8(-\sqrt{3})$
$= \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}$
$= (1 - 2 + 4 - 8) \sqrt{3}$
$= -5 \sqrt{3}$.

(A) दिया गया है $\sin(\alpha+\beta)=1$. चूँकि $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$,$\alpha+\beta = \frac{\pi}{2}$.
दिया गया है $\sin(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}$. चूँकि $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$,$\alpha-\beta = \frac{\pi}{6}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2\alpha = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \implies \alpha = \frac{\pi}{3}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2\beta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \implies \beta = \frac{\pi}{6}$.
अब,$\tan(\alpha+2\beta) \cdot \tan(2\alpha+\beta)$ की गणना करने पर:
$\alpha+2\beta = \frac{2\pi}{3}$ और $2\alpha+\beta = \frac{5\pi}{6}$.
$\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ और $\tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
गुणनफल $= (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1$.

(A) फलन $f(x) = a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम इसे $R \sin(x + \alpha)$ के रूप में लिख सकते हैं।
हम $\sqrt{a^2 + b^2}$ से गुणा और भाग करते हैं:
$f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right)$.
मान लीजिए $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ और $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
तब $f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha)$।
चूंकि $\sin(x + \alpha)$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।

(D) दी गई रेखा $x - y + 1 = 0$ है। वक्र $x = y^2$ है।
माना वक्र पर एक बिंदु $P(y^2, y)$ है।
बिंदु $P$ से रेखा $x - y + 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि सभी वास्तविक $y$ के लिए $y^2 - y + 1 > 0$ है,इसलिए $d = \frac{y^2 - y + 1}{\sqrt{2}}$ होगा।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(y) = y^2 - y + 1$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
अवकलन करने पर,$f'(y) = 2y - 1$ प्राप्त होता है। $f'(y) = 0$ रखने पर $y = \frac{1}{2}$ मिलता है।
न्यूनतम मान $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{3/4}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ है।

(C) माना $t = \tan \theta$. अतः $\theta = \tan^{-1} t$.
$x$ के लिए: $x = \tan^{-1} \left\{ \frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta} \right\} = \tan^{-1} \left\{ \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right\} = \tan^{-1} \left\{ \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \right\} = \tan^{-1} \left\{ \tan \frac{\theta}{2} \right\} = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} t$.
अतः,$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2(1+t^2)}$.
$y$ के लिए: $y = \cos^{-1} \left\{ \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} \right\} = \cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1} t$.
अतः,$\frac{dy}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2/(1+t^2)}{1/(2(1+t^2))} = 2 \times 2 = 4$.

(A) माना $y = u + v$,जहाँ $u = x^x$ और $v = x^{\frac{1}{x}}$ है।
अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ होगा।
$u = x^x$ के लिए,दोनों पक्षों में $\log$ लेने पर: $\log u = x \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
अतः,$\frac{du}{dx} = x^x(1 + \log x)$.
$v = x^{\frac{1}{x}}$ के लिए,दोनों पक्षों में $\log$ लेने पर: $\log v = \frac{1}{x} \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = (-\frac{1}{x^2}) \log x + \frac{1}{x} (\frac{1}{x}) = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \log x}{x^2}$.
इस प्रकार,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x) + x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \log x}{x^2}$.

(A) दिया गया फलन $f(\theta) = \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos \theta_3 \cdots \cos \theta_n$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(f(\theta)) = \ln(\cos \theta_1) + \ln(\cos \theta_2) + \cdots + \ln(\cos \theta_n)$।
$\theta$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(\theta)} \cdot f^{\prime}(\theta) = -(\tan \theta_1 + \tan \theta_2 + \cdots + \tan \theta_n)$।
अतः,$\tan \theta_1 + \tan \theta_2 + \cdots + \tan \theta_n = -\frac{f^{\prime}(\theta)}{f(\theta)}$।

(C) माना $y = x^{\left(x^x\right)}$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log y = x^x \log x$।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^x) \cdot \log x + x^x \cdot \frac{d}{dx} (\log x)$।
$\frac{d}{dx} (x^x)$ ज्ञात करने के लिए,$u = x^x$ लें। तब $\log u = x \log x$। अवकलन करने पर $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$।
अतः,$\frac{du}{dx} = x^x (1 + \log x)$।
इस मान को मुख्य समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = [x^x (1 + \log x)] \log x + x^x \cdot \frac{1}{x}$।
$\frac{dy}{dx} = y \left[ x^x \log x (1 + \log x) + x^x \cdot \frac{1}{x} \right]$।
$\frac{dy}{dx} = x^{\left(x^x\right)} \cdot x^x \left( \frac{1}{x} + \log x (1 + \log x) \right)$।

(A) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left(\frac{5x-x}{1+5x \cdot x}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{\frac{3}{2}-x}{1+\frac{3}{2}x}\right)$.
सूत्र $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$y = (\tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x)) + (\cot^{-1}(x) - \cot^{-1}(\frac{3}{2}))$.
चूंकि $\cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)$,प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x) - \cot^{-1}(\frac{3}{2})$.
$y = \tan^{-1}(5x) - 2\tan^{-1}(x) + \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(\frac{3}{2})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(5x)) - 2\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x)) + 0 - 0$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{1+25x^2} - \frac{2}{1+x^2}$.
नोट: $\cot^{-1}\left(\frac{3-2x}{2+3x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2+3x}{3-2x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}+x}{1-\frac{2}{3}x}\right) = \tan^{-1}(\frac{2}{3}) + \tan^{-1}(x)$ होता है।
अतः,$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(\frac{2}{3}) + \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}(5x) + \tan^{-1}(\frac{2}{3})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{1+25x^2}$.

(C) माना $4x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan^{-1}(4x)$.
$y$ के व्यंजक में यह मान रखने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{3(4x) - (4x)^3}{1 - 3(4x)^2}\right)$
सर्वसमिका $\tan(3\theta) = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}(\tan(3\theta)) = 3\theta$
$\theta = \tan^{-1}(4x)$ वापस रखने पर:
$y = 3 \tan^{-1}(4x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{1 + (4x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(4x)$
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{1 + 16x^2} \cdot 4 = \frac{12}{1 + 16x^2}$

(A) दिया गया है $f(x) = \cot^{-1}\left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)$.
मान लीजिए $u = x^x$. तब $f(x) = \cot^{-1}\left(\frac{u - u^{-1}}{2}\right) = \cot^{-1}\left(\frac{u^2 - 1}{2u}\right)$.
सर्वसमिका $\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}(1/z)$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2u}{u^2 - 1}\right)$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $2\tan^{-1}(u) = \tan^{-1}\left(\frac{2u}{1 - u^2}\right)$,इसलिए $f(x) = -2\tan^{-1}(u) + \frac{\pi}{2}$ (उचित परिसर के लिए)।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}$.
चूँकि $u = x^x$,इसलिए $\frac{du}{dx} = x^x(1 + \ln x)$.
$x = 1$ पर,$u = 1^1 = 1$ और $\frac{du}{dx} = 1^1(1 + \ln 1) = 1$.
अतः,$f'(1) = -2 \cdot \frac{1}{1 + 1^2} \cdot 1 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.

(B) दिया गया है $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$.
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = a(n+1)x^n + b(-n)x^{-n-1}$.
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = a(n+1)nx^{n-1} + b(-n)(-n-1)x^{-n-2}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = an(n+1)x^{n-1} + bn(n+1)x^{-n-2}$.
$x^2$ से गुणा करने पर: $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = an(n+1)x^{n+1} + bn(n+1)x^{-n}$.
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n+1} + b x^{-n}]$.
चूँकि $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$,इसलिए $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1)y$.

(C) दिया गया है $y = a^x \cdot b^{2x-1}$।
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $y = a^x \cdot (b^2)^x \cdot b^{-1} = \frac{1}{b} (a b^2)^x$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log y = \log \left( \frac{1}{b} (a b^2)^x \right) = \log(1) - \log(b) + x \log(a b^2) = -\log b + x \log(a b^2)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(a b^2)$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \log(a b^2)$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{dy}{dx} \log(a b^2)$।
$\frac{dy}{dx} = y \log(a b^2)$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d^2 y}{d x^2} = (y \log(a b^2)) \cdot \log(a b^2) = y(\log(a b^2))^2$।

(D) माना $y = \log x$.
अतः,प्रथम अवकलज $y_1 = \frac{d}{dx}(\log x) = x^{-1}$ है।
द्वितीय अवकलज $y_2 = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2}$ है।
तृतीय अवकलज $y_3 = \frac{d}{dx}(-1 \cdot x^{-2}) = (-1)(-2) \cdot x^{-3} = 2 \cdot x^{-3}$ है।
चतुर्थ अवकलज $y_4 = \frac{d}{dx}(2 \cdot x^{-3}) = 2(-3) \cdot x^{-4} = -6 \cdot x^{-4} = -3! \cdot x^{-4}$ है।
इस पैटर्न को देखने पर,$n$-वां अवकलज $y_n = (-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot x^{-n}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{d^{n}}{d x^{n}}(\log x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^{n}}$।

(B) दिया गया है $f(x) = 3x^3 + Ax^2 + Bx + C$,जहाँ $A = 2f'(1)$,$B = f''(2)$,और $C = f'''(3)$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें:
$f'(x) = 9x^2 + 2Ax + B$
$f''(x) = 18x + 2A$
$f'''(x) = 18$
अब,स्थिरांकों का मान ज्ञात करें:
$f'''(3) = 18$,इसलिए $C = 18$ है।
$f''(2) = 18(2) + 2A = 36 + 2A$ है। चूँकि $B = f''(2)$,इसलिए $B = 36 + 2A$ है।
$f'(1) = 9(1)^2 + 2A(1) + B = 9 + 2A + B$ है। चूँकि $A = 2f'(1)$,इसलिए $A = 2(9 + 2A + B) = 18 + 4A + 2B$ है।
$B = 36 + 2A$ को $A$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$A = 18 + 4A + 2(36 + 2A)$
$A = 18 + 4A + 72 + 4A$
$A = 90 + 8A$
$-7A = 90 \implies A = -\frac{90}{7}$ है।
अब $B$ ज्ञात करें:
$B = 36 + 2(-\frac{90}{7}) = 36 - \frac{180}{7} = \frac{252 - 180}{7} = \frac{72}{7}$ है।
अतः,$f(x) = 3x^3 - \frac{90}{7}x^2 + \frac{72}{7}x + 18 = \frac{1}{7}(21x^3 - 90x^2 + 72x + 126)$ है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) दी गई दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^2} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$.
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{y} \right) = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y(1) - x(dy/dx)}{y^2} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y - x(-b^2 x / a^2 y)}{y^2} \right) = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 y^2 + b^2 x^2}{a^2 y^3} \right)$.
चूंकि $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,इसलिए $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 b^2}{a^2 y^3} \right) = -\frac{b^4}{a^2 y^3}$.

(C) दिया गया है $f(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$.
मान लीजिए $f'(1) = a$ और $f''(2) = b$.
तब $f(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 6x + 2a$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$f'(1) = 6(1) + 2a = 6 + 2a$.
चूंकि $f'(1) = a$,इसलिए $a = 6 + 2a$,जिसका अर्थ है $a = -6$.
अब,$f'(x) = 6x + 2a$ का पुनः अवकलन करने पर,हमें $f''(x) = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$f''(2) = 6$.
चूंकि $f''(2) = b$,इसलिए $b = 6$.
$a = -6$ और $b = 6$ को $f(x)$ के व्यंजक में रखने पर:
$f(x) = 3x^2 + 2(-6)x + 6 = 3x^2 - 12x + 6$.

(B) दिया गया समीकरण $[x]^2-5[x]+6=0$ है। माना $[x] = y$ है।
तब $y^2-5y+6=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(y-2)(y-3)=0$ मिलता है।
अतः,$[x]=2$ या $[x]=3$ है।
यदि $[x]=2$ है,तो $2 \le x < 3$ होगा।
यदि $[x]=3$ है,तो $3 \le x < 4$ होगा।
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in [2, 4)$ प्राप्त होता है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = \sec \left[ \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right]$ सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मूल्यांकन करते हैं।
सबसे पहले,आंतरिक फलन $g(x) = \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$ पर विचार करें।
$g(-x) = \log \left( -x + \sqrt{1 + (-x)^2} \right) = \log \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right)$.
अंश और हर को $\left( \sqrt{1 + x^2} + x \right)$ से गुणा और भाग करने पर:
$g(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{1 + x^2} - x)(\sqrt{1 + x^2} + x)}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1 + x^2 - x^2}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = -\log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) = -g(x)$.
चूंकि $g(x)$ एक विषम फलन है,हमारे पास $f(-x) = \sec(g(-x)) = \sec(-g(x))$ है।
चूंकि $\sec(\theta)$ एक सम फलन है,$\sec(-g(x)) = \sec(g(x)) = f(x)$।
अतः,$f(-x) = f(x)$,जिसका अर्थ है कि यह फलन एक सम फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = \cos(\log x)$.
हमें $f(x^2) \cdot f(y^2) - \frac{1}{2} \left[ f\left(\frac{x^2}{y^2}\right) + f(x^2 y^2) \right]$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,पदों की गणना करें:
$f(x^2) = \cos(\log x^2) = \cos(2 \log x)$
$f(y^2) = \cos(\log y^2) = \cos(2 \log y)$
$f\left(\frac{x^2}{y^2}\right) = \cos(\log \frac{x^2}{y^2}) = \cos(2 \log x - 2 \log y)$
$f(x^2 y^2) = \cos(\log x^2 y^2) = \cos(2 \log x + 2 \log y)$
मान लीजिए $A = 2 \log x$ और $B = 2 \log y$ है।
व्यंजक $\cos A \cdot \cos B - \frac{1}{2} [\cos(A - B) + \cos(A + B)]$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\cos A \cos B - \frac{1}{2} [2 \cos A \cos B] = \cos A \cos B - \cos A \cos B = 0$.

(A) दिया गया है $f(x) = 3x + 10$ और $g(x) = x^2 - 1$.
सबसे पहले,संयुक्त फलन $(fog)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करें।
$(fog)(x) = f(x^2 - 1) = 3(x^2 - 1) + 10$.
$(fog)(x) = 3x^2 - 3 + 10 = 3x^2 + 7$.
मान लीजिए $y = (fog)(x) = 3x^2 + 7$.
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,$y$ के पदों में $x$ का मान निकालें:
$y - 7 = 3x^2$.
$x^2 = \frac{y - 7}{3}$.
$x = \pm \sqrt{\frac{y - 7}{3}}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(fog)^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x - 7}{3}} = \left(\frac{x - 7}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) $(f \circ g)(x)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,पहले हम $g(x)$ का परिसर निर्धारित करते हैं।
$g(x) = \begin{cases} -x, & -2 \leqslant x \leqslant 3 \\ x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \end{cases}$ के लिए,$g(x)$ का परिसर $[-3, 2]$ है।
अब,हम $f(u)$ का मान ज्ञात करते हैं जहाँ $u \in [-3, 2]$ है।
दिया गया है कि $f(u) = \begin{cases} 3-u, & -1 \leqslant u < 0 \\ 1+\frac{5u}{3}, & -3 \leqslant u \leqslant 2 \end{cases}$ है।
चूंकि $f$ का प्रांत $[-3, 2]$ है,हम $u \in [-3, 2]$ के लिए $f(u)$ के मानों पर विचार करते हैं।
$u \in [-3, 2]$ के लिए,$f(u) = 1 + \frac{5u}{3}$ है।
न्यूनतम मान $f(-3) = 1 + \frac{5(-3)}{3} = 1 - 5 = -4$ है।
अधिकतम मान $f(2) = 1 + \frac{5(2)}{3} = 1 + \frac{10}{3} = \frac{13}{3}$ है।
अतः,$(f \circ g)(x)$ का परिसर $[-4, \frac{13}{3}]$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ और $g(x) = \frac{3x+x^3}{1+3x^2}$.
हमें $(fog)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करना है।
$f(x)$ में $g(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(fog)(x) = \log \left(\frac{1+g(x)}{1-g(x)}\right) = \log \left(\frac{1+\frac{3x+x^3}{1+3x^2}}{1-\frac{3x+x^3}{1+3x^2}}\right)$.
लघुगणक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$= \log \left(\frac{\frac{1+3x^2+3x+x^3}{1+3x^2}}{\frac{1+3x^2-3x-x^3}{1+3x^2}}\right) = \log \left(\frac{1+3x+3x^2+x^3}{1-3x+3x^2-x^3}\right)$.
द्विपद विस्तार $(1+x)^3 = 1+3x+3x^2+x^3$ और $(1-x)^3 = 1-3x+3x^2-x^3$ का उपयोग करने पर:
$= \log \left(\frac{(1+x)^3}{(1-x)^3}\right) = \log \left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3\right)$.
गुणधर्म $\log(a^n) = n \log(a)$ का उपयोग करने पर:
$= 3 \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 3f(x)$.
अतः,$(fog)(x) = 3f(x)$।

(C) एकैकी की जाँच के लिए: माना $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{2x_1+3}{3x_1+4} = \frac{2x_2+3}{3x_2+4}$
$(2x_1+3)(3x_2+4) = (2x_2+3)(3x_1+4)$
$6x_1x_2 + 8x_1 + 9x_2 + 12 = 6x_1x_2 + 8x_2 + 9x_1 + 12$
$8x_1 + 9x_2 = 8x_2 + 9x_1$
$x_1 = x_2$. अतः,फलन एकैकी है।
आच्छादक की जाँच के लिए: माना $y = \frac{2x+3}{3x+4}$.
$y(3x+4) = 2x+3$
$3xy + 4y = 2x+3$
$x(3y-2) = 3-4y$
$x = \frac{3-4y}{3y-2}$.
$x$ के परिभाषित होने के लिए $3y-2 \neq 0$,अतः $y \neq \frac{2}{3}$.
फलन का परिसर $\mathbb{R} - \{\frac{2}{3}\}$ है,जो कि सह-प्रांत है। अतः,$y \neq \frac{2}{3}$ के लिए फलन आच्छादक है।

(A) चरण $1$: $f^{-1}(x)$ ज्ञात करें। मान लीजिए $y = \frac{x-3}{x-2}$ है। तब $y(x-2) = x-3$,अर्थात $xy - 2y = x - 3$ है। अतः $x(y-1) = 2y-3$,जिससे $x = \frac{2y-3}{y-1}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$f^{-1}(x) = \frac{2x-3}{x-1}$ है।
चरण $2$: $g^{-1}(x)$ ज्ञात करें। मान लीजिए $y = 3x-2$ है। तब $3x = y+2$,अर्थात $x = \frac{y+2}{3}$ है। अतः,$g^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}$ है।
चरण $3$: समीकरण $f^{-1}(x) + g^{-1}(x) = \frac{19}{6}$ को हल करें।
$\frac{2x-3}{x-1} + \frac{x+2}{3} = \frac{19}{6}$.
हर को हटाने के लिए $6(x-1)$ से गुणा करें: $6(2x-3) + 2(x-1)(x+2) = 19(x-1)$.
$12x - 18 + 2(x^2 + x - 2) = 19x - 19$.
$12x - 18 + 2x^2 + 2x - 4 = 19x - 19$.
$2x^2 + 14x - 22 = 19x - 19$.
$2x^2 - 5x - 3 = 0$.
चरण $4$: द्विघात समीकरण $2x^2 - 5x - 3 = 0$ को हल करें।
$(2x+1)(x-3) = 0$.
मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = 3$ हैं।
चरण $5$: $x$ के मानों का योगफल $-\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$ है।

(D) यदि $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)$ हो,तो फलन $f(x, y)$ को $n$ घात का समघातीय फलन कहा जाता है।
$1$. $f(x, y) = y^2+2xy$ के लिए,$f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda y)^2 + 2(\lambda x)(\lambda y) = \lambda^2(y^2+2xy) = \lambda^2 f(x, y)$। यह $2$ घात का समघातीय फलन है।
$2$. $f(x, y) = 2x-3y$ के लिए,$f(\lambda x, \lambda y) = 2(\lambda x) - 3(\lambda y) = \lambda(2x-3y) = \lambda^1 f(x, y)$। यह $1$ घात का समघातीय फलन है।
$3$. $f(x, y) = \sin\left(\frac{y}{x}\right)$ के लिए,$f(\lambda x, \lambda y) = \sin\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right) = \sin\left(\frac{y}{x}\right) = \lambda^0 f(x, y)$। यह $0$ घात का समघातीय फलन है।
$4$. $f(x, y) = \cos x + \sin y$ के लिए,$f(\lambda x, \lambda y) = \cos(\lambda x) + \sin(\lambda y)$। इस फलन को किसी भी $n$ के लिए $\lambda^n f(x, y)$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,$\cos x + \sin y$ एक समघातीय फलन नहीं है।

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{e^{2030 \log x}-e^{2029 \log x}}{e^{2028 \log x}-e^{2027 \log x}} \,d x$ है।
गुणधर्म $e^{n \log x} = e^{\log x^n} = x^n$ का उपयोग करते हुए,हम समाकल्य को पुनः लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{x^{2030} - x^{2029}}{x^{2028} - x^{2027}} \,d x$.
अंश और हर से उच्चतम उभयनिष्ठ घात को बाहर निकालने पर:
$I = \int \frac{x^{2029}(x - 1)}{x^{2027}(x - 1)} \,d x$.
यह मानते हुए कि $x \neq 1$,हम $(x - 1)$ पद को काट सकते हैं:
$I = \int \frac{x^{2029}}{x^{2027}} \,d x = \int x^{2029 - 2027} \,d x = \int x^2 \,d x$.
$x^2$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{x^3}{3} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

(C) $\text{हमारे पास समाकलन } I = \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} \,d x \text{ है।}
\text{त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं } \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \text{ और } 1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \text{ का उपयोग करने पर:}
I = \int \frac{x + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \,d x
I = \int \left( \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) \,d x
I = \int \left( \frac{1}{2} x \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) \,d x
I = \frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} \,d x + \int \tan \frac{x}{2} \,d x
\text{प्रथम पद के लिए खंडशः समाकलन } \int u v' = uv - \int u' v \text{ का उपयोग करने पर:}
\text{माना } u = x \text{ और } v' = \sec^2 \frac{x}{2}. \text{ तब } u' = 1 \text{ और } v = 2 \tan \frac{x}{2}.
\frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} \,d x = \frac{1}{2} \left( x \cdot 2 \tan \frac{x}{2} - \int 2 \tan \frac{x}{2} \,d x \right) = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} \,d x.
\text{इस मान को } I \text{ में प्रतिस्थापित करने पर:}
I = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} \,d x + \int \tan \frac{x}{2} \,d x = x \tan \frac{x}{2} + c.$

(C) हम जानते हैं कि $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{(2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= \int \frac{2\cos^2 x - 2\cos^2 \alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= 2 \int \frac{(\cos x - \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$= 2 \int (\cos x + \cos \alpha) dx$
$= 2 (\sin x + x \cos \alpha) + c$
$= 2 \sin x + 2x \cos \alpha + c$.

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}$ है।
चूँकि $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$
$I = \int \left( \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx$
$I = \int (\sec^2 x + \csc^2 x) dx$
मानक समाकलन $\int \sec^2 x dx = \tan x$ और $\int \csc^2 x dx = -\cot x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \tan x - \cot x + c$.

(C) आव्यूह $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक $|A|$ इसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है:
$|A| = a \times b \times c = 7^x \times 7^{7^x} \times 7^{7^{7^x}}$.
घातांक के नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$|A| = 7^{x + 7^x + 7^{7^x}}$.
हमें समाकलन $I = \int 7^{x + 7^x + 7^{7^x}} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
फलन $f(x) = 7^{7^{7^x}}$ का अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dx} (7^{7^{7^x}}) = 7^{7^{7^x}} \cdot \log 7 \cdot \frac{d}{dx} (7^{7^x}) = 7^{7^{7^x}} \cdot \log 7 \cdot 7^{7^x} \cdot \log 7 \cdot \frac{d}{dx} (7^x) = 7^{7^{7^x}} \cdot 7^{7^x} \cdot 7^x \cdot (\log 7)^3$.
इसलिए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{7^{7^{7^x}}}{(\log 7)^3} \right) = 7^{7^{7^x}} \cdot 7^{7^x} \cdot 7^x = |A|$.
अतः,$\int |A| \, dx = \frac{7^{7^{7^x}}}{(\log 7)^3} + k$.

(B) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{(a+b \cos x)^2} dx = \int \frac{2 \sin x \cos x}{(a+b \cos x)^2} dx$.
$t = a + b \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -b \sin x dx$,अतः $\sin x dx = -\frac{dt}{b}$.
साथ ही,$\cos x = \frac{t-a}{b}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2 (\frac{t-a}{b})}{t^2} (-\frac{dt}{b}) = -\frac{2}{b^2} \int \frac{t-a}{t^2} dt$.
$I = -\frac{2}{b^2} \int (\frac{1}{t} - \frac{a}{t^2}) dt$.
$I = -\frac{2}{b^2} [\log |t| + \frac{a}{t}] + C$.
$t = a + b \cos x$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{2}{b^2} [\log |a+b \cos x| + \frac{a}{a+b \cos x}] + C$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{2e^{2x} + 3e^x + 1}$.
$e^x = t$ रखने पर,$e^x dx = dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{t}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{dt}{t(2t^2 + 3t + 1)} = \int \frac{dt}{t(2t+1)(t+1)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{t(2t+1)(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{2t+1} + \frac{C}{t+1}$.
$1 = A(2t+1)(t+1) + Bt(t+1) + Ct(2t+1)$.
$t=0$ के लिए,$1 = A(1)(1) \implies A=1$.
$t=-1$ के लिए,$1 = C(-1)(-2+1) = C(-1)(-1) = C \implies C=1$.
$t=-1/2$ के लिए,$1 = B(-1/2)(1/2) = -B/4 \implies B=-4$.
अतः,$I = \int (\frac{1}{t} - \frac{4}{2t+1} + \frac{1}{t+1}) dt$.
$I = \log|t| - 4 \cdot \frac{1}{2} \log|2t+1| + \log|t+1| + c$.
$I = \log|e^x| - 2 \log|2e^x+1| + \log|e^x+1| + c$.
$I = x + \log(e^x+1) - 2 \log(2e^x+1) + c$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{2+\cos x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करते हैं।
इसे समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dx}{2 + \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} = \int \frac{(1+\tan^2(x/2)) dx}{2(1+\tan^2(x/2)) + 1 - \tan^2(x/2)} = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{3 + \tan^2(x/2)}$.
माना $t = \tan(x/2)$,तो $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,जिसका अर्थ है $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2 dt}{3 + t^2} = 2 \int \frac{dt}{(\sqrt{3})^2 + t^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right) + c = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \tan \frac{x}{2}\right) + c$.

(A) माना $I = \int \sin^5 x \, dx = \int \sin^4 x \cdot \sin x \, dx$.
हम $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1 - \cos^2 x)^2$ लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int (1 - \cos^2 x)^2 \sin x \, dx$.
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \, dx = -du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (1 - u^2)^2 (-du) = -\int (1 - 2u^2 + u^4) \, du$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = -(u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}) + c = -u + \frac{2}{3} u^3 - \frac{1}{5} u^5 + c$.
$u = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = -\cos x + \frac{2}{3} \cos^3 x - \frac{1}{5} \cos^5 x + c$.

(B) माना $I = \int_0^3 \frac{dx}{(x+2) \sqrt{x+1}}$.
$t = \sqrt{x+1}$ प्रतिस्थापन करने पर,$t^2 = x+1$ और $x = t^2 - 1$ प्राप्त होता है।
अतः $dx = 2t \, dt$.
जब $x = 0$,तब $t = 1$. जब $x = 3$,तब $t = 2$.
समाकलन $I = \int_1^2 \frac{2t \, dt}{(t^2 - 1 + 2) t} = \int_1^2 \frac{2 \, dt}{t^2 + 1}$ हो जाता है।
समाकलन करने पर,$I = [2 \tan^{-1}(t)]_1^2 = 2(\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1))$.
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर,
$I = 2 \tan^{-1}\left(\frac{2-1}{1+2(1)}\right) = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} 2 x}}{1+4 x^2} dx$.
$u = \tan ^{-1} 2 x$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$du = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2x) dx = \frac{2}{1+4x^2} dx$.
इसका अर्थ है कि $\frac{dx}{1+4x^2} = \frac{1}{2} du$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du$.
$I = \frac{1}{2} e^u + c$.
$u = \tan ^{-1} 2 x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} e^{\tan ^{-1} 2 x} + c$.

(B) समाकलन $I = \int \sqrt{x^2-6x-16} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^2-6x-16 = (x^2-6x+9) - 9 - 16 = (x-3)^2 - 25 = (x-3)^2 - 5^2$.
अब,समाकलन $I = \int \sqrt{(x-3)^2 - 5^2} \, dx$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{t^2-a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \log |t + \sqrt{t^2-a^2}| + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = x-3$ और $a = 5$:
$I = \frac{x-3}{2} \sqrt{(x-3)^2 - 5^2} - \frac{5^2}{2} \log |(x-3) + \sqrt{(x-3)^2 - 5^2}| + c$.
मूल व्यंजक $x^2-6x-16$ को वापस रखने पर:
$I = \frac{x-3}{2} \sqrt{x^2-6x-16} - \frac{25}{2} \log |x-3 + \sqrt{x^2-6x-16}| + c$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
$x(x^2+1)$ से गुणा करने पर,हमें $1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x$ प्राप्त होता है।
$1 = (A+B)x^2 + Cx + A$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$A=1$,$C=0$,और $A+B=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B=-1$.
अतः,$\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x}{x^2+1} dx$.
दूसरे समाकलन के लिए,मान लीजिए $u = x^2+1$,तो $du = 2x dx$,इसलिए $x dx = \frac{du}{2}$.
$I = \log |x| - \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \log |x| - \frac{1}{2} \log |x^2+1| + c$.
चूंकि $x^2+1 > 0$,हम इसे $\log |x| - \frac{1}{2} \log (x^2+1) + c$ के रूप में लिख सकते हैं।

$(A)\ \text{माना } I = \int \frac{x^3}{(x+1)^2} dx.$
$u = x+1\ \text{प्रतिस्थापित करने पर},\ x = u-1\ \text{और } dx = du\ \text{प्राप्त होता है।}$
$I = \int \frac{(u-1)^3}{u^2} du = \int \frac{u^3 - 3u^2 + 3u - 1}{u^2} du.$
$I = \int \left(u - 3 + \frac{3}{u} - \frac{1}{u^2}\right) du.$
$\text{प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:}$
$I = \frac{u^2}{2} - 3u + 3\log|u| + \frac{1}{u} + C.$
$u = x+1\ \text{वापस रखने पर:}$
$I = \frac{(x+1)^2}{2} - 3(x+1) + 3\log|x+1| + \frac{1}{x+1} + C.$
$I = \frac{x^2 + 2x + 1}{2} - 3x - 3 + 3\log|x+1| + \frac{1}{x+1} + C.$
$I = \frac{x^2}{2} - 2x + 3\log|x+1| + \frac{1}{x+1} + C.$
$\text{अतः, सही विकल्प } A \text{ है।}$

(D) माना $I = \int \cos \left(\frac{x}{16}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{8}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right) \cdot \sin \left(\frac{x}{16}\right) dx$.
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\sin \left(\frac{x}{16}\right) \cos \left(\frac{x}{16}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{8}\right)$ है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx$.
पुनः सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\sin \left(\frac{x}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{4}\right)$.
अतः,$I = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx = \frac{1}{4} \int \sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) dx$.
अंतिम बार सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{2}\right)$.
इस प्रकार,$I = \frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{2}\right) dx = \frac{1}{8} \int \sin \left(\frac{x}{2}\right) dx$.
$\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ का समाकलन करने पर,हमें $-2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{8} \cdot (-2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)) + c = -\frac{1}{4} \cos \left(\frac{x}{2}\right) + c$.

(D) माना $I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5 \sin ^2 x+6 \cos ^2 x}} \,d x$.
$\sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5(1 - \cos ^2 x) + 6 \cos ^2 x}} \,d x$
$I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5 - 5 \cos ^2 x + 6 \cos ^2 x}} \,d x$
$I = \int \frac{\sin x}{\sqrt{5 + \cos ^2 x}} \,d x$.
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x \,d x$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \,d x = -du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-du}{\sqrt{5 + u^2}} = -\int \frac{du}{\sqrt{(\sqrt{5})^2 + u^2}}$.
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \log |x + \sqrt{a^2 + x^2}| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = -\log |u + \sqrt{5 + u^2}| + c$.
$u = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = -\log |\cos x + \sqrt{5 + \cos ^2 x}| + c$.

(B) माना $I = \int \frac{\sin 2x \cos 2x}{\sqrt{4-\cos^4 2x}} \, dx$ है।
$u = \cos^2 2x$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब $du = 2 \cos 2x (-\sin 2x) \cdot 2 \, dx = -4 \sin 2x \cos 2x \, dx$।
अतः,$\sin 2x \cos 2x \, dx = -\frac{1}{4} du$।
समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{-\frac{1}{4} du}{\sqrt{4-u^2}} = -\frac{1}{4} \int \frac{du}{\sqrt{2^2-u^2}}$।
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{4} \sin^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) + c$।
$u = \cos^2 2x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = -\frac{1}{4} \sin^{-1}\left(\frac{\cos^2 2x}{2}\right) + c$।

(A) माना $I = \int \sec^{\frac{2}{3}} x \cdot \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x} \cdot \frac{1}{\sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$.
अंश और हर को $\cos^{\frac{4}{3}} x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x \cdot \sin^{\frac{4}{3}} x} \cdot \frac{\cos^{\frac{4}{3}} x}{\cos^{\frac{4}{3}} x} \, dx = \int \frac{\cos^{\frac{4}{3}} x}{\cos^2 x \cdot \sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^{-\frac{4}{3}} \, dx = \int \sec^2 x \cdot (\tan x)^{-\frac{4}{3}} \, dx$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$.
$I = \int u^{-\frac{4}{3}} \, du = \frac{u^{-\frac{4}{3} + 1}}{-\frac{4}{3} + 1} + c = \frac{u^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + c = -3u^{-\frac{1}{3}} + c$.
$u = \tan x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = -3 \tan^{-\frac{1}{3}} x + c$.

(A) माना $I = \int \frac{x^3}{x^4+5x^2+4} dx$.
$t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x dx$,या $x dx = \frac{1}{2} dt$.
समाकलन $I = \frac{1}{2} \int \frac{t}{t^2+5t+4} dt$ हो जाता है।
हर का गुणनखंड करने पर: $t^2+5t+4 = (t+1)(t+4)$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{t}{(t+1)(t+4)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+4}$.
$t = A(t+4) + B(t+1)$.
$t = -1$ के लिए,$-1 = 3A \implies A = -1/3$.
$t = -4$ के लिए,$-4 = -3B \implies B = 4/3$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{4/3}{t+4} - \frac{1/3}{t+1} \right) dt = \frac{1}{6} \int \left( \frac{4}{t+4} - \frac{1}{t+1} \right) dt$.
$I = \frac{1}{6} [4 \log|t+4| - \log|t+1|] + c$.
$I = \frac{1}{6} \log \left| \frac{(t+4)^4}{t+1} \right| + c$.
$t = x^2$ वापस रखने पर: $I = \frac{1}{6} \log \left( \frac{(x^2+4)^4}{x^2+1} \right) + c = \frac{1}{3} \log \left( \frac{(x^2+4)^2}{\sqrt{x^2+1}} \right) + c$.

(C) हमारे पास $I = \int \left(\frac{x-3}{x^2+9}\right)^2 \, dx = \int \frac{x^2 - 6x + 9}{(x^2+9)^2} \, dx$ है।
समाकलन को अलग करने पर,हमें $I = \int \frac{x^2+9}{(x^2+9)^2} \, dx - \int \frac{6x}{(x^2+9)^2} \, dx$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{1}{x^2+9} \, dx - \int \frac{6x}{(x^2+9)^2} \, dx$.
पहला भाग $\int \frac{1}{x^2+3^2} \, dx = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$ है।
दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $u = x^2+9$,तो $du = 2x \, dx$,इसलिए $3 \, du = 6x \, dx$.
अतः,$\int \frac{6x}{(x^2+9)^2} \, dx = \int \frac{3}{u^2} \, du = 3 \left(-\frac{1}{u}\right) = -\frac{3}{x^2+9}$.
इन दोनों को मिलाने पर,$I = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) - \left(-\frac{3}{x^2+9}\right) + c = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + \frac{3}{x^2+9} + c$.

(B) माना $I = \int \frac{d x}{e^x-1}$.
अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} d x$.
माना $u = 1-e^{-x}$. तब $du = e^{-x} d x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{u} d u = \log |u| + c = \log |1-e^{-x}| + c$.
चूँकि $1-e^{-x} = \frac{e^x-1}{e^x}$,इसलिए:
$I = \log \left| \frac{e^x-1}{e^x} \right| + c = \log |e^x-1| - \log |e^x| + c$.
$I = \log |e^x-1| - x + c$.

(D) समाकल $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x} + x}$ को हल करने के लिए,हम हर में से $\sqrt{x}$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं।
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})}$
माना $u = 1 + \sqrt{x}$. तब,$du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2 du}{u} = 2 \int \frac{du}{u} = 2 \log |u| + c$.
$u = 1 + \sqrt{x}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = 2 \log (1 + \sqrt{x}) + c$.

(B) समाकलन $I = \int \sqrt{x^2+3x} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$.
अब,समाकलन $I = \int \sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2} \, dx$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{t^2 - a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log |t + \sqrt{t^2 - a^2}| + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = x + \frac{3}{2}$ और $a = \frac{3}{2}$ है:
$I = \frac{x + \frac{3}{2}}{2} \sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}} - \frac{9/4}{2} \log |(x + \frac{3}{2}) + \sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}}| + c$.
इसे सरल करने पर:
$I = \frac{2x+3}{4} \sqrt{x^2+3x} - \frac{9}{8} \log |x + \frac{3}{2} + \sqrt{x^2+3x}| + c$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{x}{1+x^4} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं।
माना $u = x^2$ है। तब,अवकलन $du = 2x \, dx$ होगा,जिसका अर्थ है कि $x \, dx = \frac{1}{2} \, du$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot (x \, dx) = \int \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{1}{2} \, du$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u^2} \, du$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{1+u^2} \, du = \tan^{-1}(u) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(u) + c$
अब $u = x^2$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(x^2) + c$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना $I = \int \frac{(5 \sin \theta-2) \cos \theta}{5-\cos ^2 \theta-4 \sin \theta} d \theta$.
$u = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \cos \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
हर $5 - (1 - \sin^2 \theta) - 4 \sin \theta = 5 - 1 + u^2 - 4u = u^2 - 4u + 4 = (u-2)^2$ हो जाता है।
अतः,$I = \int \frac{5u-2}{(u-2)^2} du$.
$u-2 = t$ रखने पर,$u = t+2$ और $du = dt$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{5(t+2)-2}{t^2} dt = \int \frac{5t+8}{t^2} dt = \int (\frac{5}{t} + 8t^{-2}) dt$.
$I = 5 \log |t| - \frac{8}{t} + c$.
$t = u-2 = \sin \theta - 2$ का मान वापस रखने पर,$I = 5 \log |\sin \theta - 2| - \frac{8}{\sin \theta - 2} + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{3 \cos 2x + 5}$ है।
सर्वसमिका $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{3 \left(\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}\right) + 5}$
$I = \int \frac{1 + \tan^2 x}{3(1 - \tan^2 x) + 5(1 + \tan^2 x)} dx$
$I = \int \frac{\sec^2 x}{3 - 3 \tan^2 x + 5 + 5 \tan^2 x} dx$
$I = \int \frac{\sec^2 x}{8 + 2 \tan^2 x} dx$
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx$ होगा।
$I = \int \frac{du}{8 + 2u^2} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{4 + u^2}$
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) + c$
$I = \frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{\tan x}{2}\right) + c$.

(B) समाकलन $I = \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करते हैं:
$I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(e^x + 1)} \, dx = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \, dx$
मान लीजिए $u = 1 + e^{-x}$. तब $du = -e^{-x} \, dx$,जिसका अर्थ है कि $e^{-x} \, dx = -du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-du}{u} = -\log|u| + c$
$I = -\log(1 + e^{-x}) + c$
चूँकि $1 + e^{-x} = 1 + \frac{1}{e^x} = \frac{e^x + 1}{e^x}$,इसलिए:
$I = -\log\left(\frac{e^x + 1}{e^x}\right) + c = -[\log(e^x + 1) - \log(e^x)] + c$
$I = -\log(e^x + 1) + x + c$
अतः,$I = x - \log(e^x + 1) + c$.

(A) माना $I = \int \frac{x^4 \cos \left(\tan ^{-1} x^5\right)}{1+x^{10}} \,d x$.
$u = \tan^{-1}(x^5)$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$du = \frac{1}{1+(x^5)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^5) \,dx = \frac{5x^4}{1+x^{10}} \,dx$.
इसका अर्थ है कि $\frac{x^4}{1+x^{10}} \,dx = \frac{du}{5}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \cos(u) \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int \cos(u) \,du$.
$I = \frac{1}{5} \sin(u) + c$.
$u = \tan^{-1}(x^5)$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\sin \left(\tan ^{-1} x^5\right)}{5} + c$.