MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया समीकरण $(ax^2 + by^2 + c)(x^2 - 5xy + 6y^2) = 0$ है।
इसका अर्थ है कि या तो $ax^2 + by^2 + c = 0$ या $x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$ है।
दूसरे भाग $x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$ को $(x - 2y)(x - 3y) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं को दर्शाता है।
यदि $a = b$ हो और $c$ का चिह्न $a$ के विपरीत हो,तो पहला भाग $ax^2 + ay^2 + c = 0$ समीकरण $x^2 + y^2 = -c/a$ बन जाता है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।
अतः,यह समीकरण दो सीधी रेखाओं और एक वृत्त को दर्शाता है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि इसका केंद्र $(-g, -f)$ रेखा $x-4y=1$ पर स्थित है,इसलिए $-g-4(-f)=1$,जो $-g+4f=1$ $\dots(i)$ हो जाता है।
चूंकि वृत्त $(3,7)$ से गुजरता है,इसलिए $3^2+7^2+2g(3)+2f(7)+c=0$,जिससे $6g+14f+c=-58$ $\dots(ii)$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त $(5,5)$ से भी गुजरता है,इसलिए $5^2+5^2+2g(5)+2f(5)+c=0$,जिससे $10g+10f+c=-50$ $\dots(iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,$4g-4f=8$ प्राप्त होता है,अर्थात $g-f=2$ $\dots(iv)$।
समीकरण $(i)$ और $(iv)$ को हल करने पर,$f=1$ और $g=3$ प्राप्त होता है।
$g=3$ और $f=1$ का मान $(iii)$ में रखने पर,$c=-90$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+6x+2y-90=0$ है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह $(1, -2)$ से गुजरता है,हमारे पास $1+4+2g-4f+c=0 \Rightarrow 2g-4f+c=-5$ $(i)$ है।
चूंकि यह $(4, -3)$ से गुजरता है,हमारे पास $16+9+8g-6f+c=0 \Rightarrow 8g-6f+c=-25$ $(ii)$ है।
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर: $(8g-6f+c) - (2g-4f+c) = -25 - (-5) \Rightarrow 6g-2f = -20$ $(iii)$।
केंद्र $(-g, -f)$ रेखा $3x+2y=7$ पर स्थित है,इसलिए $3(-g)+2(-f)=7 \Rightarrow -3g-2f=7$ $(iv)$।
$(iii)$ में से $(iv)$ को घटाने पर: $(6g-2f) - (-3g-2f) = -20 - 7$ $\Rightarrow 9g = -27$ $\Rightarrow g = -3$।
$g=-3$ को $(iii)$ में रखने पर: $6(-3)-2f = -20$ $\Rightarrow -18-2f = -20$ $\Rightarrow -2f = -2$ $\Rightarrow f = 1$।
$g=-3$ और $f=1$ को $(i)$ में रखने पर: $2(-3)-4(1)+c = -5$ $\Rightarrow -6-4+c = -5$ $\Rightarrow c = 5$।
अतः वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+2y+5=0$ है।

(A) वृत्त का केंद्र व्यासों $3x - 4y - 7 = 0$ और $2x - 3y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण को $3$ से और दूसरे को $4$ से गुणा करने पर: $9x - 12y = 21$ और $8x - 12y = 20$ प्राप्त होता है।
घटाने पर $x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ को $2x - 3y - 5 = 0$ में रखने पर $2(1) - 3y - 5 = 0$ मिलता है,जिससे $-3y = 3$,अर्थात $y = -1$।
केंद्र $(h, k) = (1, -1)$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 49\pi$ है,इसलिए $r^2 = 49$,अर्थात $r = 7$।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$।
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$।
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$।

(A) वृत्त का केंद्र व्यास $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण को $3$ से और दूसरे को $2$ से गुणा करने पर: $6x - 9y = 15$ और $6x - 8y = 14$ प्राप्त होता है।
घटाने पर $y = -1$ मिलता है। $y = -1$ को $2x - 3(-1) = 5$ में रखने पर $2x + 3 = 5$ मिलता है,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(1, -1)$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 154$ है।
$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर,$\frac{22}{7} r^2 = 154$,जिससे $r^2 = 49$ और $r = 7$ मिलता है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$.
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण: $x^2+y^2-6x-2y+9=0$.
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2-6x+9) + (y^2-2y+1) = -9+9+1$.
$(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1^2$.
वृत्त का मानक रूप $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है,जहाँ केंद्र $(h, k) = (3, 1)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर: $x = 3 + 1 \cos \theta$ और $y = 1 + 1 \sin \theta$.
अतः,$x = 3 + \cos \theta$ और $y = 1 + \sin \theta$।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+y^2-ax-by=0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x-\frac{a}{2})^2 + (y-\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$.
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(h, k) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ और त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$ है।
वृत्त के प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ होते हैं।
मान रखने पर,हमें $x = \frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \cos \theta$ और $y = \frac{b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वृत्त $2x^2+2y^2-8x-12y-9=0$ के साथ संकेंद्रीय है,जिसे $x^2+y^2-4x-6y-4.5=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ के रूप में है।
यह वृत्त $x^2+y^2+8x+10y-7=0$ के केंद्र से होकर गुजरता है।
$x^2+y^2+8x+10y-7=0$ का केंद्र $(-4, -5)$ है।
$(-4, -5)$ को समीकरण $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ में रखने पर:
$(-4)^2+(-5)^2-4(-4)-6(-5)+k=0$
$16+25+16+30+k=0$
$87+k=0 \Rightarrow k=-87$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2+y^2-4x-6y-87=0$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है,अतः त्रिज्या $r = 2$ है।
दी गई रेखा $x+2y+3=0$ है,जिसे $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
चूँकि स्पर्श रेखाएँ इस रेखा के समांतर हैं,इसलिए उनकी ढाल भी $m = -\frac{1}{2}$ होगी।
$m$ ढाल वाली $x^2+y^2=r^2$ वृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}$ होता है।
$m = -\frac{1}{2}$ और $r = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{1 + (-\frac{1}{2})^2}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{1 + \frac{1}{4}}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{\frac{5}{4}}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{5}$
$2$ से गुणा करने पर:
$2y = -x \pm 2\sqrt{5}$
$x+2y = \pm 2\sqrt{5}$

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=25$ है,इसलिए केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r=5$ है।
माना $P$ बिंदु $(1,7)$ है। दूरी $OP = \sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
माना $T$ स्पर्श बिंदु है। समकोण त्रिभुज $\triangle OPT$ में,$\sin(\angle OPT) = \frac{OT}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,$\angle OPT = 45^{\circ}$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2 \times \angle OPT = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ है।

(D) पहले वृत्त $x^2+y^2+8x-6y-24=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-4, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 7$ है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, -5)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = 10$ है।
चूंकि $C_1 C_2 = r_1 + r_2 = 10$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{i^{592}+i^{590}+i^{588}+i^{586}+i^{584}}{i^{582}+i^{580}+i^{578}+i^{576}+i^{574}}-1$
अंश से $i^{584}$ और हर से $i^{574}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{i^{584}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}{i^{574}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}-1$
समान पद $(i^8+i^6+i^4+i^2+1)$ को काटने पर:
$\frac{i^{584}}{i^{574}}-1 = i^{584-574}-1 = i^{10}-1$
चूँकि $i^4 = 1$,इसलिए $i^{10} = (i^4)^2 \times i^2 = 1^2 \times (-1) = -1$
अतः,$-1 - 1 = -2$

(D) $-6-24i$ का संयुग्मी $-6+24i$ है।
दिया गया है कि $(x-iy)(3+5i) = -6+24i$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $3x + 5xi - 3yi - 5yi^2 = -6+24i$.
चूँकि $i^2 = -1$,इसलिए $(3x+5y) + (5x-3y)i = -6+24i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$3x + 5y = -6$ (समीकरण $1$)
$5x - 3y = 24$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $3$ से और समीकरण $2$ को $5$ से गुणा करने पर:
$9x + 15y = -18$
$25x - 15y = 120$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $34x = 102$,जिससे $x = 3$ प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ में $x=3$ रखने पर: $3(3) + 5y = -6$ $\Rightarrow 9 + 5y = -6$ $\Rightarrow 5y = -15$ $\Rightarrow y = -3$.
अतः,$x=3$ और $y=-3$.

(A) दिया गया है $(x+iy)^{1/3} = a+ib$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $x+iy = (a+ib)^3$.
सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ का उपयोग करने पर,$x+iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
$x+iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $x+iy = (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x = a^3 - 3ab^2$ और $y = 3a^2b - b^3$.
क्रमशः $a$ और $b$ से विभाजित करने पर: $\frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$ और $\frac{y}{b} = 3a^2 - b^2$.
अतः,$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) - (3a^2 - b^2) = a^2 - 3b^2 - 3a^2 + b^2 = -2a^2 - 2b^2 = -2(a^2+b^2)$.

(D) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।
दिया गया है $|z| + z = 3 + i$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$ प्राप्त होता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$y = 1$ और $\sqrt{x^2 + y^2} + x = 3$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण में $y = 1$ रखने पर:
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + 1 = (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$ प्राप्त होता है।
$1 = 9 - 6x$ $\Rightarrow 6x = 8$ $\Rightarrow x = \frac{4}{3}$ है।
अब,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + 1} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$ है।

(C) दिए गए कार्तीय निर्देशांक $(x, y) = \left(-\frac{5 \sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}\right)$ हैं।
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(-\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = 5$.
चूंकि बिंदु दूसरे चतुर्थांश में स्थित है $(x < 0, y > 0)$,ध्रुवीय कोण $\theta = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$.
अतः,ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta) = \left(5, \frac{5 \pi}{6}\right)$ हैं।

(A) दिया गया है $x = -2 - \sqrt{3} i$.
$x + 2 = -\sqrt{3} i$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + 2)^2 = (-\sqrt{3} i)^2$.
$x^2 + 4x + 4 = 3i^2$.
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए $x^2 + 4x + 4 = -3$.
$x^2 + 4x + 7 = 0$.
अब,$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 41$ को $x^2 + 4x + 7$ से विभाजित करने पर:
$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 41 = (x^2 + 4x + 7)(2x^2 - 3x + 5) + 6$.
$x^2 + 4x + 7 = 0$ रखने पर:
$0 \times (2x^2 - 3x + 5) + 6 = 6$.

(A) सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें: $\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
अब,इसे $100$ की घात तक ले जाने पर: $(-i)^{100} = (-1)^{100} \times i^{100} = 1 \times (i^4)^{25} = 1 \times (1)^{25} = 1$.
दिया गया है कि $a+ib = 1$,जिसे $1+0i$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $a=1$ और $b=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b) = (1, 0)$.

(C) माना $z = \frac{2+3i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$.
सरल करने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+2i \sin \theta)$ से गुणा करें:
$z = \frac{(2+3i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}$
$z = \frac{2 + 4i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
चूँकि $i^2 = -1$, हमारे पास है:
$z = \frac{(2 - 6 \sin^2 \theta) + i(7 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए, वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$\operatorname{Re}(z) = \frac{2 - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$2 - 6 \sin^2 \theta = 0$
$\sin^2 \theta = \frac{1}{3}$
$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

(C) हम जानते हैं कि $arg(-z) = arg(-1 \times z)$ होता है।
गुणधर्म $arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)$ का उपयोग करने पर,हमें $arg(-z) = arg(-1) + arg(z)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $arg(-1) = \pi$,इसलिए $arg(-z) = \pi + arg(z)$।
अतः,$arg(-z) - arg(z) = (\pi + arg(z)) - arg(z) = \pi$।

(C) माना $z = \frac{1-i \sqrt{3}}{1+i \sqrt{3}}$.
हर के संयुग्मी $(1-i \sqrt{3})$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})}{(1+i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})} = \frac{1 - 2i \sqrt{3} + i^2(3)}{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 2i \sqrt{3} - 3}{1 + 3} = \frac{-2 - 2i \sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि सम्मिश्र संख्या $z = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए कोणांक $\text{Arg}(z) = 180^{\circ} + \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 180^{\circ} + 60^{\circ} = 240^{\circ}$ होगा।

(B) दिए गए कार्तीय निर्देशांक $(x, y) = (-2 \sqrt{3}, 2)$ हैं।
सबसे पहले,मापांक $r$ की गणना करें:
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2 \sqrt{3})^2 + (2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.
चूंकि बिंदु दूसरे चतुर्थांश में स्थित है $(x < 0, y > 0)$,इसलिए कोणांक $\theta$ इस प्रकार होगा:
$\theta = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{y}{x} \right| = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{2}{-2 \sqrt{3}} \right| = \pi - \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$.
अतः,ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta) = (4, \frac{5 \pi}{6})$ हैं।

(A) दी गई सम्मिश्र संख्या ध्रुवीय रूप में है: $z = 4(\cos 300^{\circ} + i \sin 300^{\circ})$.
हम जानते हैं कि $\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
और $\sin 300^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 60^{\circ}) = -\sin 60^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$z = 4\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$z = 4 \times \frac{1}{2} - 4 \times i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z = 2 - 2\sqrt{3}i$.

(B) माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
अब,इन मानों को व्यंजक $\alpha^4 + \beta^{28} + \frac{1}{\alpha \beta}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \omega^4 + (\omega^2)^{28} + \frac{1}{\omega \cdot \omega^2}$
$= \omega^4 + \omega^{56} + \frac{1}{\omega^3}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = \omega$ और $\omega^{56} = (\omega^3)^{18} \cdot \omega^2 = 1^{18} \cdot \omega^2 = \omega^2$ है।
अतः,व्यंजक $\omega + \omega^2 + \frac{1}{1} = \omega + \omega^2 + 1$ हो जाता है।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए मान $0$ है।

(C) इकाई के सम्मिश्र घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं। चूँकि $\alpha$ और $\beta$ सम्मिश्र घनमूल हैं,इसलिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ लेने पर।
दिया गया व्यंजक: $\alpha^3 + \beta^3 + \alpha^{-2} \times \beta^{-2} = \alpha^3 + \beta^3 + \frac{1}{(\alpha \beta)^2}$.
यहाँ $\alpha^3 = \omega^3 = 1$ और $\beta^3 = (\omega^2)^3 = \omega^6 = 1$ है।
साथ ही,$\alpha \beta = \omega \times \omega^2 = \omega^3 = 1$ है।
मान रखने पर: $1 + 1 + \frac{1}{(1)^2} = 1 + 1 + 1 = 3$.

(D) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-ax+b}{x-1}=5$.
चूंकि हर $x \rightarrow 1$ पर $0$ हो जाता है,इसलिए अंश को भी $0$ होना चाहिए।
अतः,$1^2 - a(1) + b = 0 \Rightarrow b = a - 1$.
$L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2x - a}{1} = 5$.
$2(1) - a = 5 \Rightarrow a = -3$.
अब $b = a - 1 = -3 - 1 = -4$.
अतः,$a + b = -3 + (-4) = -7$.

(B) सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x}{|x|+x^2}$ ज्ञात करने के लिए,हम वाम-हस्त सीमा $(LHL)$ और दक्षिण-हस्त सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$LHL = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2x}{-x+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2}{-1+x} = \frac{2}{-1} = -2$.
$RHL = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2x}{x+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{1+x} = \frac{2}{1} = 2$.
चूंकि $LHL \neq RHL$,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(A) दिया गया है $f(x) = 5 - |x - 2|$। $f(x)$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $|x - 2| = 0$,इसलिए $\alpha = 2$ है।
दिया गया है $g(x) = |x + 1|$। $g(x)$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $x + 1 = 0$,इसलिए $\beta = -1$ है।
सीमा $x \rightarrow -\alpha \beta = - (2)(-1) = 2$ पर ज्ञात करनी है।
हमें $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x - 1)(x^2 - 5x + 6)}{(x^2 - 6x + 8)}$ की गणना करनी है।
गुणनखंड करने पर: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ और $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$।
सीमा में मान रखने पर: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x - 4)}$।
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x - 2)$ को हटाने पर: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x - 1)(x - 3)}{x - 4}$।
सीमा का मान निकालने पर: $\frac{(2 - 1)(2 - 3)}{2 - 4} = \frac{(1)(-1)}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$।

(D) सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{n^2+9}-n\right)$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम व्यंजक को उसके संयुग्मी $\left(\sqrt{n^2+9}+n\right)$ से गुणा और भाग करके परिमेयकरण करते हैं।
$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{n^2+9}-n\right) \times \frac{\sqrt{n^2+9}+n}{\sqrt{n^2+9}+n}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n^2+9-n^2)}{\sqrt{n^2+9}+n}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{9n}{\sqrt{n^2+9}+n}$
अंश और हर को $n$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{9}{\sqrt{\frac{n^2+9}{n^2}}+1}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{9}{\sqrt{1+\frac{9}{n^2}}+1}$
जैसे $n \rightarrow \infty$,$\frac{9}{n^2} \rightarrow 0$,इसलिए सीमा $\frac{9}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{9}{1+1} = \frac{9}{2}$ है।

(B) सबसे पहले,हम $m$ की गणना करते हैं:
$m = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \log(1+2x)}{x \tan x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+2x)}{\tan x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\log(1+2x)}{2x} \times \frac{x}{\tan x} \times 2 \right) = 1 \times 1 \times 2 = 2$.
इसके बाद,हम $n$ की गणना करते हैं:
$n = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log x + \log(\frac{1+x}{x})}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x \times \frac{1+x}{x})}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$.
मूल $m=2$ और $n=1$ वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (m+n)x + mn = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 - (2+1)x + (2 \times 1) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 3x + 2 = 0$ हो जाता है।

(C) सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{8 x^2+5 x+3}{2 x^2-7 x-5}\right)^{\frac{4 x+3}{8 x-1}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम पहले $x \rightarrow \infty$ पर आधार की सीमा ज्ञात करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{8 x^2+5 x+3}{2 x^2-7 x-5} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{8 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2}}{2 - \frac{7}{x} - \frac{5}{x^2}} = \frac{8+0+0}{2-0-0} = 4$.
इसके बाद,हम $x \rightarrow \infty$ पर घातांक की सीमा ज्ञात करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x+3}{8 x-1} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{8 - \frac{1}{x}} = \frac{4+0}{8-0} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
अतः,सीमा $4^{\frac{1}{2}} = 2$ है।

(C) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi \cos ^2 x\right)}{x^2}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sin(\pi \cos^2 x) = \sin(\pi - \pi \cos^2 x) = \sin(\pi(1 - \cos^2 x)) = \sin(\pi \sin^2 x)$.
अब सीमा इस प्रकार होगी: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{x^2}$.
$\pi \sin^2 x$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{\pi \sin^2 x} \times \frac{\pi \sin^2 x}{x^2} \right)$.
हम जानते हैं कि $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए:
$= 1 \times \pi \times \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 = 1 \times \pi \times 1^2 = \pi$.

(B) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x (\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{2-(1+\cos x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x (\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{1-\cos x}$
सर्वसमिका $\sin ^2 x = 1-\cos ^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x)$ का उपयोग करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{1-\cos x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} (1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})$
$x = 0$ रखने पर:
$= (1+\cos 0)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos 0})$
$= (1+1)(\sqrt{2}+\sqrt{1+1})$
$= 2 \times (\sqrt{2}+\sqrt{2})$
$= 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{27^x-9^x-3^x+1}{\sqrt{5}-\sqrt{4+\cos x}}$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $27^x-9^x-3^x+1 = (9^x-1)(3^x-1)$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{4+\cos x}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{4+\cos x}}{1-\cos x}$.
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(9^x-1)(3^x-1)}{1-\cos x} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{4+\cos x})$.
$1-\cos x = 2 \sin^2(x/2)$ का उपयोग करने पर,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(9^x-1)(3^x-1)}{2 \sin^2(x/2)} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{4+\cos x})$.
$x^2$ से गुणा और भाग करने पर: $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\frac{9^x-1}{x})(\frac{3^x-1}{x})}{2 \cdot (\frac{\sin(x/2)}{x/2})^2 \cdot (1/4)} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{4+\cos x})$.
$L = \frac{\ln 9 \cdot \ln 3}{1/2} \cdot 2 \sqrt{5} = 8 \sqrt{5} (\ln 3)^2$.

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2^{2 x-2}-2^x+1}{\sin ^2(x-1)}$.
अंश को $(2^{x-1}-1)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2^{x-1}-1)^2}{\sin ^2(x-1)}$.
अंश और हर को $(x-1)^2$ से विभाजित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(\frac{2^{x-1}-1}{x-1}\right)^2}{\left(\frac{\sin(x-1)}{x-1}\right)^2}$.
मानक सीमा $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{a^h-1}{h} = \log a$ और $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ का उपयोग करने पर,जहाँ $h = x-1$:
$L = \frac{(\log 2)^2}{1^2} = (\log 2)^2$.

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\operatorname{cosec} x}$.
चूँकि यह $1^\infty$ का रूप है,हम सूत्र $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करेंगे।
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}-1\right) \operatorname{cosec} x}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x-\sin x}{1+\sin x}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{1+\sin x}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x(1+\sin x)}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{\cos x(1+\sin x)}}$
जैसे $x \to 0$,$\cos x \to 1$ और $1-\cos x \to 0$.
$L = e^{\frac{0}{1(1+0)}} = e^0 = 1$.

(D) यह सीमा $1^\infty$ के रूप में है। हम सूत्र $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करते हैं।
$\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{5 x-8}{8-3 x}\right)^{\frac{3}{2 x-4}} = e^{\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{5 x-8}{8-3 x}-1\right) \times \frac{3}{2 x-4}}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{5 x-8 - (8-3 x)}{8-3 x}\right) \times \frac{3}{2(x-2)}}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{8x-16}{8-3 x}\right) \times \frac{3}{2(x-2)}}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{8(x-2)}{8-3 x}\right) \times \frac{3}{2(x-2)}}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow 2} \frac{24}{2(8-3 x)}}$
$= e^{\frac{12}{8-3(2)}} = e^{\frac{12}{2}} = e^6$

(D) दी गई रैखिक असमिकाएँ:
$1) 2x + 3y \leq 18$
$2) x + y \geq 10$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
पहली असमिका $2x + 3y \leq 18$ के लिए,सीमा रेखा $2x + 3y = 18$ है। इसके अंतःखंड $(9, 0)$ और $(0, 6)$ हैं। चूँकि मूल बिंदु $(0, 0)$,$2(0) + 3(0) \leq 18$ को संतुष्ट करता है,इसलिए सुसंगत क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
दूसरी असमिका $x + y \geq 10$ के लिए,सीमा रेखा $x + y = 10$ है। इसके अंतःखंड $(10, 0)$ और $(0, 10)$ हैं। चूँकि मूल बिंदु $(0, 0)$,$0 + 0 \geq 10$ को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए सुसंगत क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है।
दोनों क्षेत्रों की तुलना करने पर: पहला क्षेत्र $(9, 0)$ और $(0, 6)$ से गुजरने वाली रेखा के नीचे है,जबकि दूसरा क्षेत्र $(10, 0)$ और $(0, 10)$ से गुजरने वाली रेखा के ऊपर है। ये दोनों क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश $(x \geq 0, y \geq 0)$ में एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
अतः,ऐसा कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र नहीं है जो सभी दी गई असमिकाओं को संतुष्ट करे। इस प्रकार,सुसंगत क्षेत्र एक रिक्त समुच्चय है।

(D) तर्क के नियमों का उपयोग करके हम तार्किक व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं:
$(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((p \vee q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim(p \vee q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \wedge \sim q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee q))$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge T)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim p \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$\equiv T$
चूंकि परिणाम हमेशा सत्य है,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है।

(B) दिया गया कथन $P(n): n^2 - n + 37$ एक अभाज्य संख्या है।
$n = 3$ के लिए,$P(3) = 3^2 - 3 + 37 = 9 - 3 + 37 = 43$। चूँकि $43$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $P(3)$ सत्य है।
$n = 5$ के लिए,$P(5) = 5^2 - 5 + 37 = 25 - 5 + 37 = 57$। चूँकि $57 = 3 \times 19$,यह एक अभाज्य संख्या नहीं है,इसलिए $P(5)$ असत्य है।
अतः,$P(3)$ सत्य है लेकिन $P(5)$ असत्य है।

(D) माना कि दिया गया कथन $S = (p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$ है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करके,हम पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
$S = \{(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)\} \vee q$
हम जानते हैं कि $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ एक्सक्लूसिव $OR$ के लिए तार्किक व्यंजक है,जिसे $p \oplus q$ या $\sim(p \Leftrightarrow q)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अतः,$S = (p \oplus q) \vee q$.
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(p \oplus q) \vee q \equiv (p \vee q) \wedge (\sim q \vee q) \equiv (p \vee q) \wedge T \equiv p \vee q$.
इस प्रकार,दिया गया कथन $p \vee q$ के समतुल्य है।

(C) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ है।
अतः,व्यंजक $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ हो जाता है।
वितरण नियम लागू करने पर,हम $\sim p$ को उभयनिष्ठ लेते हैं:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$।
चूँकि $(\sim q \vee q) \equiv t$ (एक पुनरुक्ति),
अतः व्यंजक सरल होकर $\sim p \wedge t \equiv \sim p$ हो जाता है।

(A) दिया गया कथन 'यदि $p$,तो $q$' के रूप में है,जहाँ $p$ है '$\forall x, x$ एक सम्मिश्र संख्या है' और $q$ है '$x^2 < 0$'।
'यदि $p$,तो $q$' का निषेध '$p$ और (नहीं $q$)' होता है।
यहाँ $p$ है '$\forall x, x$ एक सम्मिश्र संख्या है' और $\neg q$ है '$x^2 \geq 0$'।
अतः,निषेध '$\forall x, x$ एक सम्मिश्र संख्या है और $x^2 \geq 0$' है।

(D) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिए गए कथन $(\sim p \wedge q) \rightarrow (q \wedge \sim r)$ के लिए,$p$ का मान $(\sim p \wedge q)$ है और $q$ का मान $(q \wedge \sim r)$ है।
अतः प्रतिधनात्मक $\sim (q \wedge \sim r) \rightarrow \sim (\sim p \wedge q)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियमों को लागू करने पर:
$\sim (q \wedge \sim r) \equiv \sim q \vee r$.
$\sim (\sim p \wedge q) \equiv p \vee \sim q$.
इस प्रकार,प्रतिधनात्मक $(\sim q \vee r) \rightarrow (p \vee \sim q)$ है।

(B) समतुल्य कथन निर्धारित करने के लिए,हम दिए गए पैटर्न $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ के लिए सत्यता सारणी का मूल्यांकन करते हैं और विकल्पों के साथ तुलना करते हैं।
| $p$ | $q$ | $q \rightarrow p$ | $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ |
|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
कथन $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ एक पुनरुक्ति (tautology) है।
अब,विकल्प $B$ की जाँच करें: $p \rightarrow (p \vee q)$।
| $p$ | $q$ | $p \vee q$ | $p \rightarrow (p \vee q)$ |
|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
चूंकि $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ और $p \rightarrow (p \vee q)$ दोनों ही पुनरुक्ति हैं,इसलिए वे तार्किक रूप से समतुल्य हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) कथन $p \vee (q \rightarrow \sim r)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हैं: $\sim(p \vee (q$ $\rightarrow \sim r)) \equiv \sim p \wedge \sim(q$ $\rightarrow \sim r)$.
तार्किक तुल्यता $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर,हमें $\sim(q \rightarrow \sim r) \equiv q \wedge \sim(\sim r)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sim(\sim r) \equiv r$,इसलिए व्यंजक $q \wedge r$ में सरल हो जाता है।
अतः,अंतिम निषेध $\sim p \wedge (q \wedge r)$ है।

(C) $n^2+n = n(n+1)$ दो क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है,जो हमेशा सम होता है। अतः,$p$ सत्य है।
$n^2-n = n(n-1)$ भी दो क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है,जो हमेशा सम होता है। अतः,$q$ असत्य है।
अब,सत्यता मानों का मूल्यांकन करने पर:
$p \wedge q = T \wedge F = F$
$p \vee q = T \vee F = T$
$p$ $\rightarrow q = T$ $\rightarrow F = F$
अतः,सत्यता मान $F, T, F$ हैं।

(B) मान लीजिए $p$ कथन है "भुगतान किया जाता है" और $q$ कथन है "कार्य समय पर पूरा हो जाता है"।
दिया गया कथन $p \leftrightarrow q$ है।
हम जानते हैं कि द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन का निषेध $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ होता है।
इसका अर्थ है: "भुगतान किया जाता है और कार्य समय पर पूरा नहीं होता है,या भुगतान नहीं किया जाता है और कार्य समय पर पूरा हो जाता है"।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(A) एक कथन पैटर्न एक विरोधाभास है यदि इसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए इसका सत्य मान हमेशा असत्य $(c)$ होता है।
$S_3 \equiv (\sim p \wedge q) \wedge (\sim q)$ के लिए:
$S_3 \equiv \sim p \wedge (q \wedge \sim q)$ [साहचर्य नियम]
$S_3 \equiv \sim p \wedge c$ [चूंकि $q \wedge \sim q \equiv c$]
$S_3 \equiv c$ [चूंकि कोई भी कथन $\wedge c \equiv c$]
चूंकि $S_3$ एक विरोधाभास है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया व्यंजक $p \rightarrow (q \vee r)$ है।
तार्किक समतुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करने पर:
$p \rightarrow (q \vee r) \equiv \sim p \vee (q \vee r)$
वियोजन के साहचर्य नियम (associative law) द्वारा:
$\equiv (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee r)$
दोनों भागों पर पुन: निहितार्थ (implication) की परिभाषा $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ लागू करने पर:
$\equiv (p$ $\rightarrow q) \vee (p$ $\rightarrow r)$

(B) चूंकि सदिश समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - C_1$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 1 & -1 & 1 \\ c & 0 & b \end{vmatrix} = 0$
दूसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(-1) \begin{vmatrix} a & c \\ c & b \end{vmatrix} = 0$
$ab - c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = ab$
अतः,$c = \sqrt{ab}$,जो $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य है।

(A) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो। अदिश त्रिक गुणनफल सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$D = \begin{vmatrix} \mu & 1 & 1 \\ 1 & \mu & 1 \\ 1 & 1 & \mu \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = \mu(\mu^2 - 1) - 1(\mu - 1) + 1(1 - \mu) = 0$
$D = \mu(\mu - 1)(\mu + 1) - 1(\mu - 1) - 1(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1) [\mu(\mu + 1) - 1 - 1] = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu^2 + \mu - 2) = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu + 2)(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1)^2(\mu + 2) = 0$
$\mu$ के भिन्न वास्तविक मान $1$ और $-2$ हैं।
इन भिन्न वास्तविक मानों का योग $1 + (-2) = -1$ है।

(D) समतलों $P_1: 2x - y - 4 = 0$ और $P_2: y + 2z - 4 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$
चूंकि समतल बिंदु $(1, 1, 0)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x = 1, y = 1, z = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2(1) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(2 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-3 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = -1$
$\lambda = -1$ को समीकरण में रखने पर:
$(2x - y - 4) - 1(y + 2z - 4) = 0$
$2x - y - 4 - y - 2z + 4 = 0$
$2x - 2y - 2z = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $x - y - z = 0$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & x \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + x) - \hat{j}(3 - x) + \hat{k}(-3 - 2) = (x + 2)\hat{i} + (x - 3)\hat{j} - 5\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण $r = |\vec{a} \times \vec{b}|$ ज्ञात करें:
$r^2 = (x + 2)^2 + (x - 3)^2 + (-5)^2$
$r^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) + 25$
$r^2 = 2x^2 - 2x + 38 = 2(x^2 - x + 19)$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें:
$r^2 = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + 19 - \frac{1}{4}\right) = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{4}\right) = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{2}$.
चूंकि $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$,इसलिए $r^2$ का न्यूनतम मान $\frac{75}{2}$ है।
अतः,$r^2 \geq \frac{75}{2} \implies r \geq \sqrt{\frac{75}{2}} = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$.
इस प्रकार,शर्त $r \geq 5\sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = 15 - |x - 10|$.
हमें उन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है जहाँ $g(x) = f(f(x))$ अवकलनीय नहीं है।
$g(x) = f(f(x)) = 15 - |f(x) - 10| = 15 - |(15 - |x - 10|) - 10| = 15 - |5 - |x - 10||$.
फलन $f(x)$,$x = 10$ पर अवकलनीय नहीं है (मापांक फलन का शीर्ष)।
संयुक्त फलन $g(x) = f(f(x))$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है,या जहाँ आंतरिक फलन $f(x)$ का मान $10$ हो जाता है (वह बिंदु जहाँ बाहरी $f$ अवकलनीय नहीं है)।
$1$. $f(x)$,$x = 10$ पर अवकलनीय नहीं है।
$2$. $f(x) = 10 \implies 15 - |x - 10| = 10 \implies |x - 10| = 5 \implies x - 10 = 5$ या $x - 10 = -5 \implies x = 15$ या $x = 5$.
अतः,उन बिंदुओं का समुच्चय जहाँ $g(x)$ अवकलनीय नहीं है,$\{5, 10, 15\}$ है।

(C) दिया गया वक्र $y = \frac{x}{x^2-3}$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-3)(1) - x(2x)}{(x^2-3)^2} = \frac{x^2-3-2x^2}{(x^2-3)^2} = \frac{-(x^2+3)}{(x^2-3)^2}$.
रेखा $2x + 6y - 11 = 0$ की ढाल $m = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $-\frac{1}{3}$ होगी।
अतः,$\frac{-(\alpha^2+3)}{(\alpha^2-3)^2} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 3(\alpha^2+3) = (\alpha^2-3)^2$.
माना $t = \alpha^2$. तब $3t + 9 = t^2 - 6t + 9 \Rightarrow t^2 - 9t = 0$.
चूंकि $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$,$\alpha^2 \neq 0$,इसलिए $\alpha^2 = 9$,जिसका अर्थ है $\alpha = \pm 3$.
यदि $\alpha = 3$,तो $\beta = \frac{3}{3^2-3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
यदि $\alpha = -3$,तो $\beta = \frac{-3}{(-3)^2-3} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.
अब,$|6\alpha + 2\beta|$ का मान ज्ञात करते हैं:
बिंदु $(3, 1/2)$ के लिए,$|6(3) + 2(1/2)| = |18 + 1| = 19$.
बिंदु $(-3, -1/2)$ के लिए,$|6(-3) + 2(-1/2)| = |-18 - 1| = |-19| = 19$.
अतः,$|6\alpha + 2\beta| = 19$.

(B) वक्र $y=f(x)$ के किसी बिंदु पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan(\theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ दिया गया है,इसलिए अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$ है।
हम जानते हैं कि अभिलंब की प्रवणता फलन के अवकलज से $m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(x)}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
बिंदु $(3,4)$ पर,$m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ होता है।
अभिलंब की प्रवणता के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$
$f^{\prime}(3) = 1$.

(A) चूंकि बिंदु $(2,3)$ वक्र $y^2=px^3+q$ पर स्थित है,इसलिए हमारे पास है:
$3^2 = p(2)^3 + q$
$9 = 8p + q$ ...$(i)$
अब,वक्र के समीकरण $y^2=px^3+q$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3px^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$
स्पर्शरेखा $y=4x-5$ की ढाल $4$ है। इसलिए,$(2,3)$ पर अवकलज का मान $4$ के बराबर होना चाहिए:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = 4$
$\frac{12p}{6} = 4$
$2p = 4 \Rightarrow p = 2$ ...$(ii)$
$p=2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$8(2) + q = 9$
$16 + q = 9$
$q = 9 - 16 = -7$
अतः,$p=2$ और $q=-7$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x=t^2$ और $y=2t$ हैं।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dx}{dt} = 2t$ और $\frac{dy}{dt} = 2$।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}$ है।
$t=2$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m_T = \frac{1}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = -2$ है।
$t=2$ पर,बिंदु के निर्देशांक $x = (2)^2 = 4$ और $y = 2(2) = 4$ हैं।
$(4, 4)$ बिंदु पर और $m_N = -2$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $(y - y_1) = m_N(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $(y - 4) = -2(x - 4)$।
$y - 4 = -2x + 8$।
$2x + y - 12 = 0$।

(A) दिया गया वक्र $y=x^3+ax-b$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^2+a$ है।
रेखा $y-x+4=0$ की ढाल $m_1 = 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के लंबवत है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,अतः $m_2 = -1$।
बिंदु $(1,-5)$ पर,$\frac{dy}{dx} = 3(1)^2+a = 3+a$।
$3+a = -1$ रखने पर,हमें $a = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(1,-5)$ वक्र पर स्थित है,हम $x=1, y=-5, a=-4$ को समीकरण में रखते हैं:
$-5 = (1)^3 + (-4)(1) - b
-5 = 1 - 4 - b
-5 = -3 - b
b = 2$।
वक्र का समीकरण $y = x^3 - 4x - 2$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(2,-2)$ के लिए: $y = (2)^3 - 4(2) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2$।
चूंकि बिंदु $(2,-2)$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए यह वक्र पर स्थित है।

(D) दिया गया वक्र $\left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n=2$ है।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$n\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n\left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(a, b)$ पर,हमें प्राप्त होता है:
$n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
बिंदु $(a, b)$ से गुजरने वाली और $-\frac{b}{a}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण है:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$.
$ay - ab = -bx + ab$.
$bx + ay = 2ab$.
$ab$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$.

(A) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ है।
उस क्षण पर जब त्रिज्या $r = 10 \text{ cm}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 10 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi \times 10 \times 2 = 40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$.
अतः, क्षेत्रफल में वृद्धि की दर $40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$ है।

(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर जनसंख्या $P$ है। दिया गया है कि $\frac{dP}{dt} \propto P$,इसलिए $\frac{dP}{dt} = kP$।
समाकलन करने पर,हमें $\ln P = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = 20$,इसलिए $C = \ln 20$।
अतः,$\ln P = kt + \ln 20$।
$t = 30$ पर,$P = 40$,इसलिए $\ln 40 = 30k + \ln 20$,जिससे $30k = \ln 2$ प्राप्त होता है,या $k = \frac{\ln 2}{30}$।
हमें $t = 30 + 15 = 45$ वर्षों पर $P$ ज्ञात करना है।
$\ln P = \left(\frac{\ln 2}{30}\right) \times 45 + \ln 20 = 1.5 \ln 2 + \ln 20 = \ln(2^{1.5} \times 20)$।
$P = 20 \times 2^{1.5} = 20 \times 2 \times \sqrt{2} = 40 \times 1.41 = 56.4$ लाख।

(B) माना कि वृत्तीय सेक्टर की त्रिज्या $r$ और केंद्रीय कोण $\theta$ रेडियन में है।
सेक्टर की परिधि $P = 2r + r\theta = 60$ है।
इससे,$\theta = \frac{60 - 2r}{r}$ प्राप्त होता है।
सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ होता है।
$\theta$ का मान रखने पर,$A(r) = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{60 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2} r(60 - 2r) = 30r - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A(r)$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे शून्य के बराबर रखने पर:
$A'(r) = 30 - 2r = 0$.
$r$ के लिए हल करने पर,$r = 15 \ m$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A''(r) = -2 < 0$ है,इसलिए $r = 15 \ m$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(A) माना कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है और इसका क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि भुजा की लंबाई में परिवर्तन की दर $\frac{da}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $A = a^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 2a \frac{da}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $a = 6 \text{ cm}$ और $\frac{da}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 6 \times 3 = 36 \text{ cm}^2/\text{min}$।
अतः,क्षेत्रफल $36 \text{ cm}^2/\text{min}$ की दर से बढ़ रहा है।

(A) माना $r$ बर्फ की परत सहित गोले की त्रिज्या है।
दिया गया है कि लोहे की गेंद की त्रिज्या $10 \text{ cm}$ है और बर्फ की मोटाई $x = 5 \text{ cm}$ है,इसलिए कुल त्रिज्या $r = 10 + x = 15 \text{ cm}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बर्फ $50 \text{ cm}^3/\text{min}$ की दर से पिघलती है,इसलिए आयतन में परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$ है।
मान रखने पर: $-50 = 4 \pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{-50}{4 \pi \times 225} = \frac{-50}{900 \pi} = \frac{-1}{18 \pi} \text{ cm/min}$.
चूंकि $\frac{dr}{dt} = \frac{dx}{dt}$,इसलिए मोटाई घटने की दर $\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$ है।

(C) उत्पादन में परिवर्तन की दर दी गई है: $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dP = \int (100 - 12x^{1/2}) dx$.
$P = 100x - 12 \times \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 100x - 8x^{3/2} + C$.
प्रारंभ में,जब $x = 0$,तो उत्पादन $P = 2000$ है। इन मानों को रखने पर: $2000 = 100(0) - 8(0)^{3/2} + C$,जिससे $C = 2000$ प्राप्त होता है।
अतः,उत्पादन फलन $P(x) = 100x - 8x^{3/2} + 2000$ है।
$x = 25$ अतिरिक्त श्रमिकों के लिए,नया उत्पादन स्तर: $P(25) = 100(25) - 8(25)^{3/2} + 2000$.
$P(25) = 2500 - 8(125) + 2000$.
$P(25) = 2500 - 1000 + 2000 = 3500$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$,जहाँ $T_s = 20^{\circ} C$ है।
इसका समाकलन करने पर $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T_0 = 80^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए $T(t) = 20 + 60e^{-kt}$।
$t = 5$ मिनट के लिए,$T = 70^{\circ} C$:
$70 = 20 + 60e^{-5k} \Rightarrow 50 = 60e^{-5k} \Rightarrow e^{-5k} = \frac{5}{6}$।
$t = 15$ मिनट के लिए:
$T(15) = 20 + 60e^{-15k} = 20 + 60(e^{-5k})^3$।
$e^{-5k} = \frac{5}{6}$ रखने पर:
$T(15) = 20 + 60 \times \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 20 + 60 \times \frac{125}{216} = 20 + 34.722 = 54.722^{\circ} C$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,तापमान $54.7^{\circ} C$ होगा।

(D) माना वृत्ताकार सेक्टर की त्रिज्या $r$ है और चाप की लंबाई $l$ है। सेक्टर का परिमाप $P = 2r + l = 20 \ m$ द्वारा दिया गया है।
इसलिए,चाप की लंबाई $l = 20 - 2r$ है।
वृत्ताकार सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r l$ द्वारा दिया जाता है।
$l$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A(r) = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(r)$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ रखने पर,हमें $10 - 2r = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 5 \ m$.
सत्यापन के लिए,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$ है,जो $0$ से कम है,यह पुष्टि करता है कि $r = 5 \ m$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर रेडियोधर्मी तत्व का द्रव्यमान $m$ है। प्रश्न के अनुसार,विघटन की दर उसके द्रव्यमान के समानुपाती है:
$\frac{dm}{dt} = -km$ (जहाँ $k > 0$ क्षय स्थिरांक है)।
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dm}{m} = -k \, dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dm}{m} = -\int k \, dt \implies \ln(m) = -kt + C$.
$t = 0$ पर,प्रारंभिक द्रव्यमान $m = 6 \text{ gm}$ है,इसलिए $\ln(6) = C$.
अतः,$\ln(m) = -kt + \ln(6) \implies \ln(\frac{m}{6}) = -kt$.
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब द्रव्यमान $m = 3 \text{ gm}$ हो जाए:
$\ln(\frac{3}{6}) = -kt
\implies \ln(\frac{1}{2}) = -kt
\implies -\ln(2) = -kt
\implies t = \frac{\ln(2)}{k}$.
अतः,समय $t$,$\log 2$ के समानुपाती है।

(A) दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dv}{dt} = 36 \text{ } m^3/sec$ है।
बेलन का आयतन $v = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
आधार त्रिज्या $r = 3 \text{ } m$ दी गई है,इसलिए आयतन $v = \pi (3)^2 h = 9\pi h$ होगा।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dv}{dt} = 9\pi \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$36 = 9\pi \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dh}{dt}$ के लिए हल करने पर,$\frac{dh}{dt} = \frac{36}{9\pi} = \frac{4}{\pi} \text{ } m/sec$ प्राप्त होता है।

(D) माना लोहे की गेंद की त्रिज्या $r = 10 \text{ cm}$ है। माना बर्फ की परत की मोटाई $x$ है। गोले की कुल त्रिज्या (लोहे की गेंद + बर्फ) $R = r + x = 10 + x \text{ cm}$ है।
बर्फ का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (10 + x)^3 - \frac{4}{3} \pi (10)^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (10 + x)^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि बर्फ $50 \text{ cm}^3/\text{min}$ की दर से पिघलती है,इसलिए $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$।
जब मोटाई $x = 5 \text{ cm}$ है,तो कुल त्रिज्या $R = 10 + 5 = 15 \text{ cm}$ है।
इन मानों को रखने पर: $-50 = 4 \pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$।
$-50 = 4 \pi (225) \frac{dx}{dt} = 900 \pi \frac{dx}{dt}$।
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900 \pi} = -\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$।
अतः,बर्फ की मोटाई घटने की दर $\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$ है।

(A) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $s$ है और इसका क्षेत्रफल $A$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2s \cdot \frac{ds}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} s \cdot \frac{ds}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{ds}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ और $s = 10 \text{ cm}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \times 2 = 10 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt} \right)$
दिया गया है: $r = 3 \text{ cm}$,$h = 5 \text{ cm}$,$\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$,और $\frac{dh}{dt} = -3 \text{ cm/sec}$ (चूँकि ऊँचाई घट रही है)।
इन मानों को अवकलज में रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2 \times 3 \times 5 \times 2 + 3^2 \times (-3) \right)$
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 60 - 27 \right)$
$\frac{dV}{dt} = 33 \pi \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(D) लंबवृत्तीय बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2r \cdot \frac{dr}{dt} \cdot h + r^2 \cdot \frac{dh}{dt} \right)$.
दिया है: $r = 2 \text{ cm}$,$h = 3 \text{ cm}$,$\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm/min}$,और $\frac{dh}{dt} = -0.2 \text{ cm/min}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2 \times 2 \times 0.1 \times 3 + 2^2 \times (-0.2) \right)$
$= \pi \left( 1.2 - 0.8 \right) = 0.4 \pi = \frac{2\pi}{5} \text{ cm}^3\text{/min}$.

(C) माना $V$ गोले का आयतन है और $S$ त्रिज्या $r$ वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
$S = 4 \pi r^2$
$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$
$S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$
हमें पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dV}{dS}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$
यहाँ $r = 5 \ m$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{dV}{dS} = \frac{5}{2}$

(A) दिया गया है $f(x) = x^2 e^{-x}$.
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $f(x)$ निरंतर वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) e^{-x} + x^2 \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x}(2 - x)$.
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ होता है,इसलिए असमिका $x e^{-x}(2 - x) > 0$ सरल होकर $x(2 - x) > 0$ हो जाती है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है: $x(x - 2) < 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ का मान $0$ और $2$ के बीच हो।
अतः,$x \in (0, 2)$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x+2)e^{-x}$ है।
वर्धमान और ह्रासमान के अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x+2) \cdot e^{-x} + (x+2) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x+2) \cdot (-e^{-x})$
$f'(x) = e^{-x}(1 - (x+2))$
$f'(x) = e^{-x}(1 - x - 2)$
$f'(x) = -e^{-x}(x+1)$
अब,हम $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $-(x+1)$ पर निर्भर करता है।
$1$. यदि $x < -1$ है,तो $(x+1) < 0$ होगा,इसलिए $-(x+1) > 0$ होगा। अतः,$f'(x) > 0$ है,और फलन $(-\infty, -1)$ में एकदिष्ट वर्धमान है।
$2$. यदि $x > -1$ है,तो $(x+1) > 0$ होगा,इसलिए $-(x+1) < 0$ होगा। अतः,$f'(x) < 0$ है,और फलन $(-1, \infty)$ में एकदिष्ट ह्रासमान है।
इसलिए,फलन $(-\infty, -1)$ में वर्धमान और $(-1, \infty)$ में ह्रासमान है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.
भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \log(e + x) - \log(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{\{\log(e + x)\}^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x) \log(e + x) - (\pi + x) \log(\pi + x)}{(\pi + x)(e + x) \{\log(e + x)\}^2}$.
मान लीजिए $g(x) = (e + x) \log(e + x) - (\pi + x) \log(\pi + x)$.
तब $g'(x) = \log(e + x) + 1 - (\log(\pi + x) + 1) = \log(e + x) - \log(\pi + x)$.
चूंकि $\pi > e$,$x > 0$ के लिए $\pi + x > e + x$,इसलिए $\log(\pi + x) > \log(e + x)$.
अतः,$g'(x) < 0$,जिसका अर्थ है कि $g(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
चूंकि $g(0) = e \log e - \pi \log \pi = e - \pi \log \pi < 0$ (क्योंकि $e < \pi \log \pi$),और $g(x)$ ह्रासमान है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $g(x) < 0$ होगा।
अतः,सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $f'(x) < 0$,जो दर्शाता है कि $f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन: $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+29$
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में एकदिष्ट वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2 x^3-9 x^2+12 x+29) = 6 x^2-18 x+12$
अवकलज का गुणनखंड करने पर:
$f^{\prime}(x) = 6(x^2-3 x+2) = 6(x-1)(x-2)$
फलन के एकदिष्ट वर्धमान होने के लिए,हमें $f^{\prime}(x) > 0$ की आवश्यकता है:
$6(x-1)(x-2) > 0$
संख्या रेखा पर क्रांतिक बिंदुओं $x=1$ और $x=2$ का उपयोग करके चिह्न योजना:
- $x < 1$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (धनात्मक)
- $1 < x < 2$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ (ऋणात्मक)
- $x > 2$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (धनात्मक)
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, 1) \cup(2, \infty)$ में एकदिष्ट वर्धमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\log x}$.
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $f(x)$ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{(\log x)(1) - (x)(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$.
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि $(\log x)^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न अंश $\log x - 1$ पर निर्भर करता है।
$\log x - 1 > 0 \Rightarrow \log x > 1 \Rightarrow x > e$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $(e, \infty)$ में वर्धमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{8^x} = 8^{-x}$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(8^{-x}) = 8^{-x} \cdot \ln(8) \cdot (-1)$.
$f'(x) = -\frac{\ln(8)}{8^x}$.
चूंकि सभी $x \in [1, 3]$ के लिए $8^x > 0$ और $\ln(8) > 0$ है,इसलिए व्यंजक $f'(x) = -\frac{\ln(8)}{8^x}$ सभी $x \in [1, 3]$ के लिए हमेशा ऋणात्मक होगा।
चूंकि $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $[1, 3]$ पर एक ह्रासमान फलन है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = 3x^3 - 18x^2 + 27x - 40$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 9x^2 - 36x + 27 = 9(x^2 - 4x + 3) = 9(x - 1)(x - 3)$ है।
क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 3$ हैं।
अब,असमिका $x^2 + 30 \leq 11x$ को हल करके समुच्चय $S$ निर्धारित करें:
$x^2 - 11x + 30 \leq 0$
$(x - 5)(x - 6) \leq 0$
इससे $x \in [5, 6]$ प्राप्त होता है।
अब,अंतराल $[5, 6]$ पर $f(x)$ के व्यवहार का मूल्यांकन करें। चूंकि $f'(x) = 9(x - 1)(x - 3)$,किसी भी $x \geq 5$ के लिए,$(x - 1)$ और $(x - 3)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[5, 6]$ पर निरंतर वर्धमान है।
समुच्चय $S = [5, 6]$ पर अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 6$ पर प्राप्त होता है।
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40$
$f(6) = 3(216) - 18(36) + 162 - 40$
$f(6) = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$ है।
इसलिए,अधिकतम मान $122$ है।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = (x-1)(x+2)^2$.
गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = (1)(x+2)^2 + (x-1)(2)(x+2)$
$f'(x) = (x+2)[(x+2) + 2(x-1)]$
$f'(x) = (x+2)(x+2+2x-2) = 3x(x+2)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$3x(x+2) = 0 \implies x = 0, x = -2$.
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करें:
$x < -2$ के लिए,$f'(x) > 0$ (वर्धमान फलन).
$-2 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ (ह्रासमान फलन).
$x > 0$ के लिए,$f'(x) > 0$ (वर्धमान फलन).
$x = -2$ पर,फलन वर्धमान से ह्रासमान में बदलता है,इसलिए $f(-2)$ एक स्थानीय उच्चतम मान है:
$f(-2) = (-2-1)(-2+2)^2 = (-3)(0) = 0$.
$x = 0$ पर,फलन ह्रासमान से वर्धमान में बदलता है,इसलिए $f(0)$ एक स्थानीय निम्नतम मान है:
$f(0) = (0-1)(0+2)^2 = (-1)(4) = -4$.
अतः,स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान क्रमशः $0$ और $-4$ हैं।

(C) दिया गया फलन: $f(x) = x \sqrt{1-x}$
स्थानीय उच्चतम ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = (1) \cdot \sqrt{1-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1)$
$f^{\prime}(x) = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}}$
$f^{\prime}(x) = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}}$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखें:
$\frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}} = 0 \Rightarrow 2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
अब,$x = \frac{2}{3}$ के आसपास $f^{\prime}(x)$ का चिह्न जाँचें:
$x < \frac{2}{3}$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (फलन वर्धमान है)।
$x > \frac{2}{3}$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ (फलन ह्रासमान है)।
चूँकि अवकलज $x = \frac{2}{3}$ पर धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए फलन का स्थानीय उच्चतम $x = \frac{2}{3}$ पर है।

(B) मान लीजिए बिंदु $M$ की $A$ से दूरी $x$ है। तब $AM = x$ और $MB = 10 - x$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle DAM$ और $\triangle CBM$ में:
$MD^2 = AM^2 + AD^2 = x^2 + 8^2 = x^2 + 64$
$MC^2 = MB^2 + BC^2 = (10 - x)^2 + 11^2 = (10 - x)^2 + 121$
मान लीजिए $f(x) = MD^2 + MC^2 = x^2 + 64 + (10 - x)^2 + 121$
$f(x) = x^2 + 64 + 100 - 20x + x^2 + 121$
$f(x) = 2x^2 - 20x + 285$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 4x - 20$
क्रांतिक बिंदु के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$4x - 20 = 0 \Rightarrow x = 5$
चूंकि $f''(x) = 4 > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ का मान $x = 5$ मीटर पर न्यूनतम है।

(C) माना $f(x) = x^{25}(1-x)^{75}$ है।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{75} + x^{25} \cdot 75(1-x)^{74} \cdot (-1)$
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} [(1-x) - 3x]$
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} (1-4x)$
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$,$x = 1$,और $x = \frac{1}{4}$ पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं।
चूंकि $f(0) = 0$ और $f(1) = 0$ है,और $x \in (0,1)$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए फलन अपना अधिकतम मान $x = \frac{1}{4}$ बिंदु पर प्राप्त करेगा।

(A) दिया गया है कि $x+y=60$,इसलिए $x=60-y$.
माना $f(y) = x y^3 = (60-y) y^3 = 60 y^3 - y^4$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(y)$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(y) = \frac{d}{dy}(60 y^3 - y^4) = 180 y^2 - 4 y^3$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(y) = 0$ रखने पर:
$4 y^2(45 - y) = 0$.
चूंकि $y$ एक धनात्मक संख्या है,इसलिए $y=45$.
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$f''(y) = 360 y - 12 y^2$.
$y=45$ पर,$f''(45) = 360(45) - 12(45)^2 = 45(360 - 540) = 45(-180) < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन $y=45$ पर अधिकतम है।
अतः $x = 60 - 45 = 15$.
इस प्रकार,संख्याएँ $x=15$ और $y=45$ हैं।

(B) रेखा का समीकरण $2y + x = 8$ है,जिसे $y = \frac{8 - x}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वांछित क्षेत्रफल निश्चित समाकलन $\int_{2}^{4} y \, dx = \int_{2}^{4} \frac{8 - x}{2} \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
$= \frac{1}{2} \int_{2}^{4} (8 - x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left[ 8x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4}$
$= \frac{1}{2} \left( (8(4) - \frac{4^2}{2}) - (8(2) - \frac{2^2}{2}) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( (32 - 8) - (16 - 2) \right)$
$= \frac{1}{2} (24 - 14) = \frac{10}{2} = 5 \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = -x^2$,$a = 1$ और $b = 4$ है।
चूँकि $x \in [1, 4]$ के लिए $y = -x^2$,$x$-अक्ष के नीचे स्थित है,इसलिए क्षेत्रफल:
$A = \int_{1}^{4} | -x^2 | \, dx = \int_{1}^{4} x^2 \, dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3}$
$A = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = \frac{63}{3} = 21 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिए गए वक्र $y = \sqrt{x}$ और $2y - x + 3 = 0$ हैं।
सबसे पहले,वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$2(\sqrt{x}) - x + 3 = 0$
माना $\sqrt{x} = t$,तो $2t - t^2 + 3 = 0 \implies t^2 - 2t - 3 = 0
(t-3)(t+1) = 0$. चूँकि $t = \sqrt{x} \geq 0$,इसलिए $t = 3$,जिसका अर्थ है $x = 9$ और $y = 3$।
रेखा $2y - x + 3 = 0$,$X$-अक्ष $(y=0)$ को $x = 3$ पर काटती है।
क्षेत्रफल $x=0$ से $x=9$ तक वक्र $y = \sqrt{x}$ के समाकलन में से $x=3$ से $x=9$ तक रेखा $2y - x + 3 = 0$ द्वारा $X$-अक्ष के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_0^9 \sqrt{x} \, dx - \int_3^9 \frac{x-3}{2} \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^9 - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_3^9$
$= \frac{2}{3} (27) - \frac{1}{2} [(\frac{81}{2} - 27) - (\frac{9}{2} - 9)]$
$= 18 - \frac{1}{2} [\frac{27}{2} - (-\frac{9}{2})] = 18 - \frac{1}{2} [\frac{36}{2}] = 18 - 9 = 9$ वर्ग इकाई।

(C) वक्र $y^2=9x$ और रेखा $y=3x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y=3x$ को $y^2=9x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(3x)^2=9x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $9x^2=9x$,इसलिए $x^2-x=0$,जिससे $x(x-1)=0$ प्राप्त होता है। अतः,$x=0$ और $x=1$.
$x=0$ के लिए,$y=0$. $x=1$ के लिए,$y=3$.
क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन द्वारा दिया जाता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_0^1 (\sqrt{9x} - 3x) dx$
$= \int_0^1 (3\sqrt{x} - 3x) dx$
$= 3 \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$= 3 \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{(1)^2}{2} \right) - 0$
$= 3 \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right)$
$= 3 \left( \frac{4-3}{6} \right) = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दी गई असमिका $x^2 + y^2 \leq 1 - x$ है,जिसे $x^2 + x + y^2 \leq 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 + x + \frac{1}{4}) + y^2 \leq 1 + \frac{1}{4}$,जो $(x + \frac{1}{2})^2 + y^2 \leq \frac{5}{4}$ देता है।
यह एक वृत्त के आंतरिक भाग को दर्शाता है जिसका केंद्र $(-\frac{1}{2}, 0)$ और त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
हालाँकि,इस प्रकार के प्रश्नों की मानक व्याख्या को देखते हुए,क्षेत्र $x^2 + y^2 + x \leq 1$ एक वृत्त है।
दिए गए विकल्पों के आधार पर,गणना के अनुसार सही उत्तर $\frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$ है।

(A) $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए $y$-अक्ष $(x=0)$,$y=\cos x$ और $y=\sin x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$,ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन द्वारा दिया जाता है।
अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में,$\cos x \geq \sin x$ होता है।
अतः,क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$
$A = [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$A = \sqrt{2} - 1$ वर्ग इकाई।

(C) वक्र $y = \sin x$ और $y = \cos x$ वहाँ प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $\sin x = \cos x$ हो,जिसका अर्थ है $\tan x = 1$। चूँकि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ है,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ पर है।
मान लीजिए $x = \frac{\pi}{4}$ पर वक्रों की स्पर्श रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
$y = \sin x$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = \cos x$। अतः,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$y = \cos x$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = -\sin x$। अतः,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$।

(B) अभीष्ट क्षेत्रफल दी गई सीमाओं के बीच ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_{0}^{3} (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) \, dx$
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_{0}^{3} ((x^2 + 2) - x) \, dx$
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_{0}^{3} (x^2 - x + 2) \, dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 2(3) \right) - (0 - 0 + 0)$
$= \left( \frac{27}{3} - \frac{9}{2} + 6 \right)$
$= 9 - 4.5 + 6$
$= 10.5 = \frac{21}{2} \text{ वर्ग इकाई}$

(B) $x=a$ और $x=b$ के बीच वक्रों $y=f(x)$ और $y=g(x)$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$x \in [0, 3]$ के लिए $f(x) = x^2+2$ और $g(x) = x+1$ है।
चूंकि $x \in [0, 3]$ के लिए $x^2+2 \ge x+1$ है,इसलिए आवश्यक क्षेत्रफल:
$Area = \int_0^3 \{(x^2+2)-(x+1)\} dx$
$Area = \int_0^3 (x^2-x+1) dx$
$Area = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^3$
$Area = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) - 0$
$Area = \left( 9 - \frac{9}{2} + 3 \right) = 12 - 4.5 = 7.5 = \frac{15}{2}$ वर्ग इकाई।

(D) दिए गए वक्र $y^2 = 2x + 1$ और $x - y = 1$ हैं।
रेखा के समीकरण से,$x = y + 1$ है।
वक्र के समीकरण में $x$ का मान रखने पर: $y^2 = 2(y + 1) + 1 \implies y^2 = 2y + 3 \implies y^2 - 2y - 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y - 3)(y + 1) = 0$,अतः $y = 3$ और $y = -1$ है।
परिबद्ध क्षेत्रफल रेखा और वक्र के बीच के अंतर का $y$ के सापेक्ष $-1$ से $3$ तक का समाकलन है: $x_{line} - x_{curve} = (y + 1) - \frac{y^2 - 1}{2}$.
$\text{Area} = \int_{-1}^3 \left( y + 1 - \frac{y^2 - 1}{2} \right) dy = \int_{-1}^3 \left( \frac{2y + 2 - y^2 + 1}{2} \right) dy = \frac{1}{2} \int_{-1}^3 (3 + 2y - y^2) dy$.
$= \frac{1}{2} \left[ 3y + y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^3$.
$= \frac{1}{2} \left[ (9 + 9 - 9) - (-3 + 1 + \frac{1}{3}) \right] = \frac{1}{2} \left[ 9 - (-\frac{5}{3}) \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{27 + 5}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{32}{3} = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{2} - 1$। अंतराल $[0, \pi]$ पर,हम $x = 2$ पर फलनों का परीक्षण करते हैं।
$\tan[f(x)]$ के लिए:
जब $x \to 2^-$,तब $[f(x)] = [\frac{x}{2} - 1] = -1$,इसलिए $\tan[f(x)] \to \tan(-1)$।
जब $x \to 2^+$,तब $[f(x)] = [\frac{x}{2} - 1] = 0$,इसलिए $\tan[f(x)] \to \tan(0) = 0$।
चूंकि $\tan(-1) \neq 0$,इसलिए $\tan[f(x)]$ बिंदु $x = 2$ पर असतत है।
$\frac{1}{f(x)}$ के लिए:
$f(x) = \frac{x}{2} - 1$। $x = 2$ पर,$f(2) = 0$।
अतः,$\frac{1}{f(x)}$ बिंदु $x = 2$ पर अपरिभाषित है,जो इसे $x = 2$ पर असतत बनाता है।
इसलिए,दोनों फलन अंतराल $[0, \pi]$ पर असतत हैं।

(C) किसी फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।
दिया गया है $f(0) = K+1$.
हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $L = \lim_{x \rightarrow 0} \log(\sec^2 x)^{\cot^2 x}$.
लघुगणक के गुण का उपयोग करते हुए,$L = \lim_{x \rightarrow 0} \cot^2 x \cdot \log(\sec^2 x)$.
चूंकि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$,हमारे पास $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + \tan^2 x)}{\tan^2 x}$ है।
मान लीजिए $u = \tan^2 x$ है। जैसे $x \rightarrow 0$,$u \rightarrow 0$ होता है। सीमा $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log(1+u)}{u}$ बन जाती है।
मानक सीमा $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें $L = 1$ प्राप्त होता है।
सीमा को $f(0)$ के बराबर रखने पर,$1 = K+1$ प्राप्त होता है।
अतः,$K = 0$।