MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $25x^2 + 16y^2 - 150x = 175$.
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $25(x^2 - 6x) + 16y^2 = 175$.
$25(x^2 - 6x + 9) + 16y^2 = 175 + 225$.
$25(x - 3)^2 + 16y^2 = 400$.
$400$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 3)^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त है जिसका केंद्र $(h, k) = (3, 0)$,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है।
चूंकि $a^2 > b^2$,मुख्य अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
नाभियाँ $(h, k \pm ae) = (3, 0 \pm 5 \times \frac{3}{5}) = (3, \pm 3)$ हैं।

(A) दिया गया है $x = 3(\cos t + \sin t)$ और $y = 4(\cos t - \sin t)$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$x^2 = 9(1 + \sin 2t)$
$y^2 = 16(1 - \sin 2t)$
पहले समीकरण से,$\sin 2t = \frac{x^2}{9} - 1$.
इसे दूसरे समीकरण में रखने पर:
$y^2 = 16(1 - (\frac{x^2}{9} - 1)) = 32 - \frac{16x^2}{9}$.
अतः,$\frac{16x^2}{9} + y^2 = 32$,या $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) है जहाँ $a^2 = 32$ और $b^2 = 18$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{18}{32}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उस पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ को $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\theta$ उत्केंद्र कोण है।
दिए गए समीकरण $\frac{x^2}{48} + \frac{y^2}{16} = 1$ से,$a^2 = 48$ और $b^2 = 16$ है।
अतः,$a = 4\sqrt{3}$ और $b = 4$ है।
बिंदु $P(-6, 2)$ के लिए: $a \cos \theta = -6 \implies 4\sqrt{3} \cos \theta = -6 \implies \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
और $b \sin \theta = 2 \implies 4 \sin \theta = 2 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$।
चूँकि $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \theta = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\theta$ द्वितीय चतुर्थांश में है।
अतः,$\theta = 150^{\circ}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 288$ है। $288$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{18} = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ $a^2 = 32$ और $b^2 = 18$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।
स्पर्श रेखा अक्षों पर समान अंतःखंड बनाती है,इसलिए इसकी ढाल $m = -1$ होगी। अतः स्पर्श रेखा का समीकरण $x + y = c$ है।
स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है। मान रखने पर:
$c^2 = 32(-1)^2 + 18 = 32 + 18 = 50$.
अतः,$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |c| |c| = \frac{1}{2} c^2 = \frac{1}{2} (50) = 25$ वर्ग इकाई है।

(A) क्रमचय ${}^{n}P_{r}$ को परिभाषित होने के लिए,$n \ge r \ge 0$ होना चाहिए और $n, r$ को अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
यहाँ,$n = 7-x$ और $r = x-1$ है।
प्रतिबंध $1$: $n \ge r \implies 7-x \ge x-1 \implies 8 \ge 2x \implies x \le 4$।
प्रतिबंध $2$: $r \ge 0 \implies x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$।
प्रतिबंध $3$: $n \ge 0 \implies 7-x \ge 0 \implies x \le 7$।
इन शर्तों को संयोजित करने पर,हमें $1 \le x \le 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्रमचय संकेतन के लिए $x$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए प्रांत $\{1, 2, 3, 4\}$ है।

(D) माना कि दिया गया योग $S = \sum_{k=0}^{99} \left[\frac{1}{2} + \frac{k}{100}\right]$ है।
प्रत्येक पद $\left[\frac{1}{2} + \frac{k}{100}\right]$ का मान देखने पर:
$0 \le k \le 49$ के लिए,$\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \le 0.99$ होता है। अतः,महत्तम पूर्णांक भाग $0$ है। ऐसे $50$ पद हैं।
$50 \le k \le 99$ के लिए,$1 \le \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \le 1.49$ होता है। अतः,महत्तम पूर्णांक भाग $1$ है। ऐसे $50$ पद हैं।
इस प्रकार,$S = (50 \times 0) + (50 \times 1) = 50$.

(B) दिया गया है $f(x) = bx^2 + cx + d$.
तब $f(x+1) = b(x+1)^2 + c(x+1) + d = b(x^2 + 2x + 1) + cx + c + d = bx^2 + 2bx + b + cx + c + d$.
अब,$f(x+1) - f(x) = (bx^2 + 2bx + b + cx + c + d) - (bx^2 + cx + d) = 2bx + b + c$.
हमें सर्वसमिका $f(x+1) - f(x) = 8x + 3$ दी गई है।
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$2b = 8 \implies b = 4$.
$b + c = 3 \implies 4 + c = 3 \implies c = -1$.
अतः,मान $b = 4$ और $c = -1$ हैं।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(3,0)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{3^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1$ है,जिसका अर्थ है $a^2 = 9$।
अब,समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(3\sqrt{2}, 2)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{(3\sqrt{2})^2}{9} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$\frac{18}{9} - \frac{4}{b^2} = 1$
$2 - \frac{4}{b^2} = 1$
$1 = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = 4$।
उत्केंद्रता $e$ का मान $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$e = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$ है। यहाँ $a^2=20$ और $b^2=5$ है।
रेखा $4x+3y=7$ की ढाल $m_1 = -\frac{4}{3}$ है।
चूंकि स्पर्शरेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$ है।
मान रखने पर: $y = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{20(\frac{9}{16})-5} = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{\frac{45}{4}-5} = \frac{3}{4}x \pm \frac{5}{2}$।
स्थिति $1$: $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2} \implies \frac{3}{4}x - y = -\frac{5}{2} \implies \frac{x}{-10/3} + \frac{y}{5/2} = 1$। अंतःखंड $-\frac{10}{3}, \frac{5}{2}$ हैं।
स्थिति $2$: $y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{2} \implies \frac{3}{4}x - y = \frac{5}{2} \implies \frac{x}{10/3} + \frac{y}{-5/2} = 1$। अंतःखंड $\frac{10}{3}, -\frac{5}{2}$ हैं।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ दूसरी स्थिति से मेल खाता है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ है।
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a=2$ और $b=3$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ है।
$a=2$ और $b=3$ रखने पर,स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{2} - \frac{y \tan \theta}{3} = 1$ है।
इसे $y = \left( \frac{3 \sec \theta}{2 \tan \theta} \right) x - \frac{3}{\tan \theta}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \frac{3 \sec \theta}{2 \tan \theta} = \frac{3}{2 \sin \theta}$ है।
दी गई रेखा $3x-y+4=0$ है,जिसे $y=3x+4$ लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_2 = 3$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के समांतर है,इसलिए $m_1 = m_2$।
$\frac{3}{2 \sin \theta} = 3 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।

(A) हमें $\tan A = \frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}}$ और $\tan B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}$ दिया गया है।
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(A+B) = \frac{\frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}}$
$= \frac{\frac{1 + x}{\sqrt{x(x^2+x+1)}}}{1 - \frac{1}{x^2+x+1}} = \frac{\frac{1+x}{\sqrt{x(x^2+x+1)}}}{\frac{x^2+x}{x^2+x+1}} = \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}$.
यहाँ $\tan C = \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^3}} = \frac{1}{x}\sqrt{x^2+x+1}$.
गणना करने पर $A+B=C$ प्राप्त होता है।

(B) सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{|x|+x^2}$ ज्ञात करने के लिए,हम बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा का मूल्यांकन करते हैं।
बाएँ हाथ की सीमा $(x \rightarrow 0^-)$ के लिए,$|x| = -x$ है। अतः,व्यंजक $\frac{-x}{-x+x^2} = \frac{-x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x-1}$ हो जाता है। जैसे ही $x \rightarrow 0^-$,यह $\frac{-1}{0-1} = 1$ की ओर अग्रसर होता है।
दाएँ हाथ की सीमा $(x \rightarrow 0^+)$ के लिए,$|x| = x$ है। अतः,व्यंजक $\frac{x}{x+x^2} = \frac{x}{x(1+x)} = \frac{1}{1+x}$ हो जाता है। जैसे ही $x \rightarrow 0^+$,यह $\frac{1}{1+0} = 1$ की ओर अग्रसर होता है।
चूँकि बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व है और यह $1$ के बराबर है।

(B) सीमा $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ के अस्तित्व के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ को दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ के बराबर होना चाहिए।
$LHL = \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^-} (b - ax) = b - 2a$.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^+} (a + 2bx) = a + 4b$.
चूंकि सीमा का अस्तित्व है,$b - 2a = a + 4b$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $-2a - a = 4b - b$,जो सरल होकर $-3a = 3b$ हो जाता है।
दोनों पक्षों को $3b$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $b \neq 0$),हमें $\frac{a}{b} = -1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x) = \frac{(84-x)^{\frac{1}{4}}-3}{x-3}$ है।
जब $x \rightarrow 3$,तो अंश $(84-3)^{\frac{1}{4}}-3 = 81^{\frac{1}{4}}-3 = 3-3 = 0$ हो जाता है और हर $3-3 = 0$ हो जाता है।
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
$L$'Hopital नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx} ((84-x)^{\frac{1}{4}}-3) = \frac{1}{4}(84-x)^{-\frac{3}{4}} \times (-1) = -\frac{1}{4}(84-x)^{-\frac{3}{4}}$.
$\frac{d}{dx} (x-3) = 1$.
अब,$x \rightarrow 3$ के लिए सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 3} \frac{-\frac{1}{4}(84-x)^{-\frac{3}{4}}}{1} = -\frac{1}{4}(84-3)^{-\frac{3}{4}} = -\frac{1}{4}(81)^{-\frac{3}{4}}$.
चूंकि $81 = 3^4$,इसलिए $81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.
अतः,सीमा का मान $-\frac{1}{4} \times \frac{1}{27} = -\frac{1}{108}$ है।

(A) हमें सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\tan x}-e^x}{\tan x-x}$ दी गई है।
चूँकि यह $\frac{0}{0}$ का रूप है,हम टेलर श्रेणी $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \dots$ का उपयोग कर सकते हैं।
$e^{\tan x} = 1 + \tan x + \frac{\tan^2 x}{2} + \dots$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots$
अंश में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$e^{\tan x} - e^x = (\tan x - x) + \frac{1}{2}(\tan^2 x - x^2) + \dots$
अब,सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\tan x - x) + \frac{1}{2}(\tan^2 x - x^2)}{\tan x - x} = \lim _{x \rightarrow 0} [1 + \frac{1}{2} \frac{\tan^2 x - x^2}{\tan x - x}]$ हो जाती है।
$\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\tan^2 x - x^2 \approx (x + \frac{x^3}{3})^2 - x^2 \approx x^2 + \frac{2x^4}{3} - x^2 = \frac{2x^4}{3}$।
साथ ही,$\tan x - x \approx \frac{x^3}{3}$।
अतः,$\frac{\tan^2 x - x^2}{\tan x - x} \approx \frac{2x^4/3}{x^3/3} = 2x$।
जैसे ही $x \rightarrow 0$,यह पद $0$ की ओर अग्रसर होता है।
इसलिए,सीमा $1 + 0 = 1$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{7^x-1}{x} = \log 7$,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(x/k)}{x/k} = 1$,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^2/3)}{x^2/3} = 1$,और $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1$ है।
सीमा को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\frac{7^x-1}{x})^4 \cdot x^4}{(\frac{\tan(x/k)}{x/k} \cdot \frac{x}{k}) \cdot (\frac{\log(1+x^2/3)}{x^2/3} \cdot \frac{x^2}{3}) \cdot (\frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4x)} = 3(\log 7)^3$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\log 7)^4 \cdot x^4}{1 \cdot \frac{x}{k} \cdot 1 \cdot \frac{x^2}{3} \cdot 1 \cdot 4x} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{(\log 7)^4 \cdot x^4}{\frac{4x^4}{3k}} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{3k(\log 7)^4}{4} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{k \log 7}{4} = 1$.
$k = \frac{4}{\log 7} = 4(\log 7)^{-1}$.

(A) सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x^4}-1}{e^{x^4}+1}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $e^{x^4}$ से विभाजित करते हैं।
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x^4}(1 - \frac{1}{e^{x^4}})}{e^{x^4}(1 + \frac{1}{e^{x^4}})} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1 - \frac{1}{e^{x^4}}}{1 + \frac{1}{e^{x^4}}}$.
जैसे $x \rightarrow \infty$,$x^4 \rightarrow \infty$,इसलिए $e^{x^4} \rightarrow \infty$.
अतः,$\frac{1}{e^{x^4}} \rightarrow 0$.
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $f(x) = x + 3x^2 + 5x^3 + 7x^4 - 166$ है।
सबसे पहले,$f(2)$ का मान ज्ञात करें:
$f(2) = 2 + 3(2^2) + 5(2^3) + 7(2^4) - 166 = 2 + 12 + 40 + 112 - 166 = 166 - 166 = 0$।
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'Hopital के नियम का उपयोग करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f'(x)}{1} = f'(2)$।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + 3x^2 + 5x^3 + 7x^4 - 166) = 1 + 6x + 15x^2 + 28x^3$।
अब,$f'(2)$ का मान ज्ञात करें:
$f'(2) = 1 + 6(2) + 15(2^2) + 28(2^3) = 1 + 12 + 15(4) + 28(8) = 1 + 12 + 60 + 224 = 297$।
अतः,सीमा $297$ है।

(B) हम जानते हैं कि $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$.
अतः,$2 - 2 \cos \theta = 4 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$.
$\theta = x^2 - 12x + 35 = (x-5)(x-7)$ प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\lim _{x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{4 \sin^2 \left(\frac{(x-5)(x-7)}{2}\right)}}{x-5} = \lim _{x \rightarrow 5} \frac{2 |\sin \left(\frac{(x-5)(x-7)}{2}\right)|}{x-5}$.
जैसे $x \rightarrow 5$,$h = x-5$ लें,तो $h \rightarrow 0$. सीमा $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 |\sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right)|}{h}$ हो जाती है।
$h > 0$ (अर्थात $x > 5$) के लिए,$\frac{h(h-2)}{2}$ ऋणात्मक है और $0$ के करीब है,इसलिए $\sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right) < 0$. अतः,$|\sin \theta| = -\sin \theta$.
दाहिनी सीमा $= \lim _{h \rightarrow 0^+} \frac{-2 \sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right)}{h} = \lim _{h \rightarrow 0^+} -2 \cdot \frac{\sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right)}{\frac{h(h-2)}{2}} \cdot \frac{h-2}{2} = -2 \cdot 1 \cdot (-1) = 2$.
$h < 0$ (अर्थात $x < 5$) के लिए,$\frac{h(h-2)}{2}$ धनात्मक है और $0$ के करीब है,इसलिए $\sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right) > 0$. अतः,$|\sin \theta| = \sin \theta$.
बाईं सीमा $= \lim _{h \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right)}{h} = \lim _{h \rightarrow 0^-} 2 \cdot \frac{\sin \left(\frac{h(h-2)}{2}\right)}{\frac{h(h-2)}{2}} \cdot \frac{h-2}{2} = 2 \cdot 1 \cdot (-1) = -2$.
चूंकि बाईं सीमा $(-2)$ और दाहिनी सीमा $(2)$ समान नहीं हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,$-2$ सही उत्तर है।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{63^x-9^x-7^x+1}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $63^x-9^x-7^x+1 = (9^x-1)(7^x-1)$.
हर को सरल करने पर: $\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x} = 2\sqrt{2}\sin^2(x/4)$.
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(9^x-1)(7^x-1)}{2\sqrt{2}\sin^2(x/4)}$.
मानक सीमा का उपयोग करने पर,$L = 4\sqrt{2} \ln 9 \ln 7$ प्राप्त होता है।

(B) हमें सीमा $L = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{100} (2x+k)^{50}}{(2x)^{50} + 10^{50}}$ दी गई है।
अंश और हर को $(2x)^{50}$ से विभाजित करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{100} \left(\frac{2x+k}{2x}\right)^{50}}{1 + \frac{10^{50}}{(2x)^{50}}}$.
जैसे $x \rightarrow \infty$,प्रत्येक $k \in \{1, 2, \dots, 100\}$ के लिए $\frac{k}{2x} \rightarrow 0$ होता है।
अतः,$\left(1 + \frac{k}{2x}\right)^{50} \rightarrow 1^{50} = 1$।
अंश $\sum_{k=1}^{100} 1 = 100$ हो जाता है।
हर $1 + 0 = 1$ हो जाता है।
इसलिए,$L = \frac{100}{1} = 100$।

(C) हम $x \rightarrow 0$ के लिए मानक श्रेणी विस्तार का उपयोग करके सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \dots$
$\cos 3x = 1 - \frac{(3x)^2}{2} + \dots = 1 - \frac{9x^2}{2} + \dots$
$\sin x = x + \dots$
$\log(1+2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + \dots = 2x - 2x^2 + \dots$
इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x^2 + \dots) - (1 - \frac{9x^2}{2} + \dots)}{(x + \dots)(2x - \dots)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 + \frac{9x^2}{2}}{2x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{11x^2}{2}}{2x^2} = \frac{11}{4}$.

(D) हम जानते हैं कि $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$.
दिया गया व्यंजक $L = \lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+8}{x+1})^{x+5}$ है।
आधार को पुन: लिखने पर: $\frac{x+8}{x+1} = \frac{x+1+7}{x+1} = 1 + \frac{7}{x+1}$.
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{7}{x+1})^{x+5}$.
माना $u = x+1$,तब जैसे $x \rightarrow \infty$,$u \rightarrow \infty$ और $x = u-1$.
$L = \lim _{u \rightarrow \infty} (1 + \frac{7}{u})^{u-1+5} = \lim _{u \rightarrow \infty} (1 + \frac{7}{u})^{u+4}$.
$L = \lim _{u \rightarrow \infty} (1 + \frac{7}{u})^u \cdot \lim _{u \rightarrow \infty} (1 + \frac{7}{u})^4$.
$L = e^7 \cdot (1 + 0)^4 = e^7 \cdot 1 = e^7$.

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1} (\log _3 3x)^{\log _x 8}$ है।
यह $1^{\infty}$ प्रकार का अनिर्धारित रूप है।
हम सूत्र $\lim _{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow a} g(x)(f(x)-1)}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$f(x) = \log _3 3x = \log _3 3 + \log _3 x = 1 + \log _3 x$ और $g(x) = \log _x 8$ है।
अतः,$L = \exp(\lim _{x \rightarrow 1} \log _x 8 (1 + \log _3 x - 1)) = \exp(\lim _{x \rightarrow 1} \log _x 8 \cdot \log _3 x)$ है।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,$\log _x 8 = \frac{\ln 8}{\ln x}$ और $\log _3 x = \frac{\ln x}{\ln 3}$ है।
इस प्रकार,$L = \exp(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln 8}{\ln x} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3}) = \exp(\frac{\ln 8}{\ln 3}) = \exp(\log _3 8) = 8$ है।

(C) दिया गया है $A = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left(1 + \tan^2 \sqrt{x}\right)^{\frac{1}{2x}}$.
यह $1^{\infty}$ के रूप में है।
सूत्र $\lim_{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow a} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\log_{e} A = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left(1 + \tan^2 \sqrt{x} - 1\right) \cdot \frac{1}{2x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\tan^2 \sqrt{x}}{2x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{2} \left(\frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)^2$
चूंकि $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$,इसलिए:
$\log_{e} A = \frac{1}{2} \cdot (1)^2 = \frac{1}{2}$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{1-n^4}$ है।
चूंकि हर $(1-n^4)$ योग सूचकांक $k$ से स्वतंत्र है,हम लिख सकते हैं:
$S_n = \frac{1}{1-n^4} \sum_{k=1}^{n} k^3$.
घनों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
अतः,$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4(1-n^4)}$.
अंश का विस्तार करने पर: $S_n = \frac{n^2(n^2+2n+1)}{4(1-n^4)} = \frac{n^4+2n^3+n^2}{4-4n^4}$.
अब,$n \rightarrow \infty$ सीमा लेने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^4+2n^3+n^2}{4-4n^4}$.
अंश और हर को $n^4$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{4}{n^4}-4} = \frac{1+0+0}{0-4} = -\frac{1}{4}$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3+1}$ है।
चूंकि हर $n^3+1$,$k$ से स्वतंत्र है,इसलिए हम $S_n = \frac{1}{n^3+1} \sum_{k=1}^{n} k^2$ लिख सकते हैं।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^3+1)}$।
$n \rightarrow \infty$ के लिए सीमा ज्ञात करने पर,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3+6}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $n^3$ से विभाजित करने पर,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6 + \frac{6}{n^3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई असमिकाएँ $|x-y| \leqslant 1$ और $x, y \geqslant 0$ हैं।
असमिका $|x-y| \leqslant 1$ को $-1 \leqslant x-y \leqslant 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसे दो असमिकाओं में विभाजित किया जा सकता है: $y \leqslant x+1$ और $y \geqslant x-1$।
इन्हें $x \geqslant 0$ और $y \geqslant 0$ के साथ जोड़ने पर,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र को देखते हैं।
किसी भी $x \geqslant 0$ के लिए,हम $y$ को इस प्रकार चुन सकते हैं कि $x-1 \leqslant y \leqslant x+1$ हो।
जैसे-जैसे $x$ अनंत तक बढ़ता है,$y$ भी अनंत तक बढ़ सकता है (उदाहरण के लिए,$y=x$ चुनकर)।
चूंकि यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में अनंत तक फैला हुआ है,इसलिए हल समुच्चय एक अपरिमित समुच्चय (unbounded set) है।

(C) $1$. कथन $p$ का विश्लेषण: $n=1$ के लिए,$10(1)-3 = 7$ (अभाज्य)। $n=8$ के लिए,$10(8)-3 = 77 = 7 \times 11$ (अभाज्य नहीं)। अतः,$p$ असत्य $(F)$ है।
$2$. कथन $q$ का विश्लेषण: दिक कोज्याओं के वर्गों का योग $1$ होना चाहिए। यहाँ,$(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{3}})^2 = 3 \neq 1$। अतः,$q$ असत्य $(F)$ है।
$3$. कथन $r$ का विश्लेषण: $\sin x$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में एक वर्धमान फलन है। अतः,$r$ सत्य $(T)$ है।
$4$. विकल्पों की जाँच करने पर: विकल्प $C$ में,$(\sim F \vee F) \wedge T$ $\Rightarrow (T \vee F) \wedge T$ $\Rightarrow T \wedge T$ $\Rightarrow T$। अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि कथन पैटर्न $[(p$ $\rightarrow q) \wedge \sim q]$ $\rightarrow r$ कब एक पुनरुक्ति है,हम पहले पूर्ववृत्त $[(p \rightarrow q) \wedge \sim q]$ को सरल करते हैं।
निहितार्थ नियम $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है:
$[(\sim p \vee q) \wedge \sim q] \rightarrow r$
वितरण नियम द्वारा,यह $[(\sim p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q)] \rightarrow r$ बन जाता है।
चूंकि $q \wedge \sim q \equiv F$ (एक विरोधाभास),हमारे पास है:
$[(\sim p \wedge \sim q) \vee F]$ $\rightarrow r \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ $\rightarrow r$.
इसे पुनरुक्ति होने के लिए,$p$ और $q$ के सभी सत्य मानों के लिए अभिव्यक्ति सत्य होनी चाहिए।
यदि $r = \sim p$ है,तो अभिव्यक्ति $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow \sim p$ बन जाती है।
चूंकि $(\sim p \wedge \sim q)$,$\sim p$ को इंगित करता है,इसलिए निहितार्थ हमेशा सत्य है।
अतः,जब $r = \sim p$ होता है तो कथन एक पुनरुक्ति होता है।

(D) हम परिपथों को बूलियन बीजगणित का उपयोग करके दर्शाते हैं,जहाँ एक बंद स्विच $1$ है और एक खुला स्विच $0$ है। यदि परिपथ बंद है तो लैंप $L$ जलता है।
$(A)$ परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं: $(S_1 \land S_2)$ और $(S_1 \land S_3)$। व्यंजक $(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3) = S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ है।
$(B)$ परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं: $S_1$ और $(S_2 \land S_3)$। व्यंजक $S_1 \lor (S_2 \land S_3)$ है।
$(C)$ परिपथ में $S_1$,$S_2$ और $S_3$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। व्यंजक $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ है।
$(D)$ परिपथ में $S_1, S_2, S_3$ श्रेणीक्रम में हैं। व्यंजक $S_1 \land S_2 \land S_3$ है।
$(E)$ परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं: $(S_1 \land S_2)$ और $S_3$। व्यंजक $(S_1 \land S_2) \lor S_3$ है।
व्यंजकों की तुलना करने पर,परिपथ $(A)$ और परिपथ $(C)$ का बूलियन व्यंजक समान है: $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$।
अतः,$(A)$ और $(C)$ समतुल्य परिपथ हैं।

(C) आइए दिए गए कथन पैटर्न के लिए सत्यता सारणी का निर्माण करें:
$1$. $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $(q \wedge \sim p)$ | $p \rightarrow (q \wedge \sim p)$ | $(p \vee \sim q)$ | $(p \vee \sim q) \wedge p$ | $[p \rightarrow (q \wedge \sim p)] \vee [(p \vee \sim q) \wedge p]$
$2$. $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
$3$. $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
$4$. $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$
$5$. $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$
अतः,अंतिम स्तंभ के मान $T, T, T, T$ हैं।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q) \vee (p \wedge \sim q)$
पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(\sim p \wedge (q \vee \sim q)) \vee (p \wedge \sim q)$
चूंकि $(q \vee \sim q) \equiv T$ (तत:सत्य),अभिव्यक्ति बन जाती है: $(\sim p \wedge T) \vee (p \wedge \sim q)$
यह सरल होकर बनता है: $(\sim p) \vee (p \wedge \sim q)$
पुनः वितरण नियम लागू करने पर: $(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
चूंकि $(\sim p \vee p) \equiv T$,अभिव्यक्ति बन जाती है: $T \wedge (\sim p \vee \sim q)$
अतः,अंतिम समतुल्य कथन है: $(\sim p) \vee (\sim q)$

(D) दिया गया है कि $q$ का सत्यता मान $False$ है और $(p \wedge q) \leftrightarrow r$ का सत्यता मान $True$ है।
चूंकि $q$ का मान $False$ है,इसलिए $(p \wedge q)$ हमेशा $False$ होगा,चाहे $p$ का सत्यता मान कुछ भी हो।
इसे द्वि-प्रतिबंधक कथन में रखने पर: $False \leftrightarrow r$ का मान $True$ है।
एक द्वि-प्रतिबंधक कथन के $True$ होने के लिए,दोनों पक्षों का सत्यता मान समान होना चाहिए। इसलिए,$r$ का मान $False$ होना चाहिए।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
$A) p \wedge q = p \wedge False = False$.
$B) p \vee r = p \vee False = p$. यह $p$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह हमेशा $True$ नहीं है।
$C) p \wedge r = p \wedge False = False$.
$D) (p \wedge r)$ $\rightarrow (p \vee r) = (p \wedge False)$ $\rightarrow (p \vee False) = False$ $\rightarrow p$.
चूंकि $False \rightarrow p$ किसी भी $p$ के सत्यता मान के लिए हमेशा $True$ होता है,इसलिए विकल्प $D$ $True$ है।

(D) मान लीजिए $P$ कथन है: "त्रिभुज के तीन शीर्ष इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित होते हैं".
मान लीजिए $Q$ कथन है: "त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है".
दिया गया कथन $P \implies Q$ के रूप में है.
एक सशर्त कथन $P \implies Q$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg Q \implies \neg P$ होता है,जो मूल कथन के तार्किक रूप से समतुल्य है.
यहाँ,$\neg Q$ है: "त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज नहीं है".
यहाँ,$\neg P$ है: "त्रिभुज के तीन शीर्ष इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित नहीं होते हैं".
अतः,समतुल्य कथन $\neg Q \implies \neg P$ है,जो है: "यदि एक त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज नहीं है,तो त्रिभुज के तीन शीर्षों को इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित नहीं किया जा सकता है".
इसलिए,सही विकल्प $D$ है.

(C) माना $S$ कथन $(p \wedge \sim q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ है।
याद रखें कि निहितार्थ $A \rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ होता है।
यहाँ,$A = (p \wedge \sim q)$ और $B = (p \vee \sim q)$ है।
अतः,निषेध $(p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \vee \sim q)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,निषेध $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$ है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों द्वारा,यह $(p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$ हो जाता है।
चूंकि $p \wedge \sim p$ एक विरोधाभास $(F)$ है और $\sim q \wedge q$ एक विरोधाभास $(F)$ है,इसलिए यह व्यंजक $F \wedge F$ बन जाता है,जो $F$ है।
जो कथन हमेशा गलत होता है उसे विरोधाभास कहा जाता है।

(D) प्रतिबंधात्मक कथन $(p \wedge q) \rightarrow (r \vee \sim s)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $(p \wedge q)$ सत्य हो और परिणामी $(r \vee \sim s)$ असत्य हो।
$(p \wedge q)$ के सत्य होने के लिए,$p$ और $q$ दोनों का सत्य $(T)$ होना आवश्यक है।
$(r \vee \sim s)$ के असत्य होने के लिए,$r$ और $\sim s$ दोनों का असत्य $(F)$ होना आवश्यक है।
चूंकि $\sim s$ असत्य है,इसलिए $s$ सत्य $(T)$ होना चाहिए।
अतः,सत्य मान $p = T, q = T, r = F, s = T$ हैं।

(A) दिया गया व्यंजक: $[\sim(\sim p \vee q) \vee (p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r)]$.
पहले भाग में डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर: $\sim(\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim q)$.
अब व्यंजक यह हो जाता है: $[(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r))]$.
साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों का उपयोग करने पर: $(p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge (r \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge r$.
इसे वापस रखने पर: $(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge \sim q) \wedge r)$.
अवशोषण नियम का उपयोग करने पर: $A \vee (A \wedge B) \equiv A$,जहाँ $A = (p \wedge \sim q)$ और $B = r$.
अतः,व्यंजक $(p \wedge \sim q)$ में सरल हो जाता है।

(B) माना कि दिया गया तार्किक कथन $L = [\{q \wedge (\sim q \vee r)\} \wedge \{\sim p \vee (p \wedge \sim r)\}] \vee (p \wedge r)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$\{q \wedge (\sim q \vee r)\} = (q \wedge \sim q) \vee (q \wedge r) = F \vee (q \wedge r) = (q \wedge r)$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$\{\sim p \vee (p \wedge \sim r)\} = (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim r) = T \wedge (\sim p \vee \sim r) = (\sim p \vee \sim r)$.
इन मानों को $L$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = [(q \wedge r) \wedge (\sim p \vee \sim r)] \vee (p \wedge r)$ प्राप्त होता है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(q \wedge r) \wedge (\sim p \vee \sim r) = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee (q \wedge r \wedge \sim r) = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee F = (q \wedge r \wedge \sim p)$.
अब,$L = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee (p \wedge r) = r \wedge [(q \wedge \sim p) \vee p]$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(q \wedge \sim p) \vee p = (q \vee p) \wedge (\sim p \vee p) = (q \vee p) \wedge T = (q \vee p)$.
अतः,$L = r \wedge (p \vee q)$.
स्विच के संदर्भ में,$r$ का अर्थ $S_3$,$p$ का अर्थ $S_1$,और $q$ का अर्थ $S_2$ है।
इसलिए,$L = S_3 \wedge (S_1 \vee S_2)$.
यह स्विच $S_3$ को स्विच $S_1$ और $S_2$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में दर्शाता है।

(D) एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$,$False$ होता है यदि और केवल यदि $A$ सत्य $(True)$ हो और $B$ असत्य $(False)$ हो।
यहाँ,$A = \{(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r)\}$ और $B = (\sim p \vee q)$ है।
$B = (\sim p \vee q)$ को $False$ होने के लिए,$\sim p$ और $q$ दोनों को $False$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $p = True$ और $q = False$।
अब,इन मानों को $A$ में प्रतिस्थापित करें:
$A = \{(T \wedge \sim F) \wedge (T \wedge r)\} = \{(T \wedge T) \wedge (T \wedge r)\} = \{T \wedge (T \wedge r)\} = (T \wedge r)$।
$A$ को $True$ होने के लिए,$r$ को $True$ होना चाहिए।
अतः,सत्यता मान $p = True, q = False, r = True$ हैं।

(D) प्रत्येक कथन का मूल्यांकन करते हैं:
$A$: इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं। वे सार्व अनुपात $\omega$ के साथ गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं। उनका योग $1+\omega+\omega^2 = 0$ है। कथन कहता है कि योग $1$ है,जो गलत है। अतः,$A$ का मान $F$ है।
$B$: $4+7 > 10$ का अर्थ $11 > 10$ $(T)$ है। $2+8 < 10$ का अर्थ $10 < 10$ $(F)$ है। $T \iff F$ का मान $F$ होता है। अतः,$B$ का मान $F$ है।
$C$: $\exists x \in N$ इस प्रकार कि $x^2-3x+2=0$। मूल $x=1$ और $x=2$ हैं,जो दोनों $N$ में हैं। यह भाग $T$ है। $\exists n \in N$ इस प्रकार कि $n$ एक विषम संख्या है,यह $T$ है। $T \land T$ का मान $T$ है। अतः,$C$ का मान $T$ है।
$D$: $3+i$ एक सम्मिश्र संख्या है $(T)$। $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ गलत है $(F)$। $T \lor F$ का मान $T$ है। अतः,$D$ का मान $T$ है।
अतः,$C$ और $D$ दोनों का सत्यता मान $T$ है।

(D) दिया गया कथन पैटर्न $[p \wedge \sim r] \rightarrow [\sim r \wedge q]$ है और इसका सत्यता मान $F$ है।
एक प्रतिबन्धित कथन $A \rightarrow B$ केवल तब $F$ होता है जब $A = T$ और $B = F$ हो।
अतः,$[p \wedge \sim r] = T$ और $[\sim r \wedge q] = F$ है।
$[p \wedge \sim r] = T$ से,हमें $p = T$ और $\sim r = T$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = F$।
चूंकि $r = F$,इसलिए $\sim r = T$ है।
$\sim r = T$ को $[\sim r \wedge q] = F$ में रखने पर,हमें $[T \wedge q] = F$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = F$।
इस प्रकार,सत्यता मान $p = T, q = F, r = F$ हैं।
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$D$: $\sim(r \vee q)$ $\rightarrow \sim p \implies \sim(F \vee F)$ $\rightarrow F \implies \sim F$ $\rightarrow F \implies T$ $\rightarrow F = F$।
अतः,असत्य सत्यता मान वाला कथन $\sim(r \vee q) \rightarrow \sim p$ है।

(D) यह सर्किट लैंप $L$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ में स्विच $S_1$ और उसके साथ $S_2$ तथा $S_3$ का समानांतर संयोजन श्रेणीक्रम में है। इस शाखा का प्रतीकात्मक रूप $p \wedge (q \vee r)$ है।
शाखा $2$ में स्विच $S_3$,$S_2$,और $S_1$ तीनों श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का प्रतीकात्मक रूप $r \wedge q \wedge p$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए कुल प्रतीकात्मक रूप $(p \wedge (q \vee r)) \vee (r \wedge q \wedge p)$ होगा।

(C) एक सशर्त कथन $P \implies Q$ का प्रतिधनात्मक $\neg Q \implies \neg P$ होता है।
कथन $p$ के लिए: $P$ है '$7$ एक विषम संख्या है' (सत्य),$Q$ है '$7$,$2$ से विभाज्य है' (असत्य)। प्रतिधनात्मक है 'यदि $7$,$2$ से विभाज्य नहीं है,तो $7$ एक विषम संख्या नहीं है'। चूँकि $7$,$2$ से विभाज्य नहीं है (सत्य) और $7$ एक विषम संख्या है (सत्य),इसलिए 'यदि सत्य,तो असत्य' कथन असत्य है। अतः,$V_1 = F$.
कथन $q$ के लिए: $P$ है '$7$ एक अभाज्य संख्या है' (सत्य),$Q$ है '$7$ एक विषम संख्या है' (सत्य)। प्रतिधनात्मक है 'यदि $7$ एक विषम संख्या नहीं है,तो $7$ एक अभाज्य संख्या नहीं है'। चूँकि $7$ एक विषम संख्या है (सत्य),इसलिए पूर्ववर्ती 'यदि $7$ एक विषम संख्या नहीं है' असत्य है। असत्य पूर्ववर्ती वाला सशर्त कथन हमेशा सत्य होता है। अतः,$V_2 = T$.
इसलिए,$(V_1, V_2) = (F, T)$.

(D) दिया गया कथन $S = \sim p \vee (q \wedge \sim r)$ है।
हम जानते हैं कि प्रतिज्ञप्ति $A \rightarrow B$,$\sim A \vee B$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।
अतः,कथन $S$ को $p \rightarrow (q \wedge \sim r)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एक प्रतिज्ञप्ति $p \rightarrow Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$Q = (q \wedge \sim r)$ है।
इसलिए,$\sim Q = \sim (q \wedge \sim r) = \sim q \vee \sim (\sim r) = \sim q \vee r$ होगा।
अतः,प्रतिधनात्मक $(\sim q \vee r) \rightarrow \sim p$ है।

(C) दिया गया कथन $\forall M > 0, \exists x \in S$ के रूप में है कि $P(x, M)$,जहाँ $P(x, M)$ का अर्थ $x \geqslant M$ है।
क्वांटिफायर वाले कथन का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम $\forall$ को $\exists$ से और $\exists$ को $\forall$ से बदलते हैं,और विधेय का निषेध करते हैं।
$\forall M > 0, \exists x \in S, (x \geqslant M)$ का निषेध $\exists M > 0, \forall x \in S, \neg(x \geqslant M)$ है।
चूंकि $x \geqslant M$ का निषेध $x < M$ है,इसलिए निषेधित कथन $\exists M > 0$ ऐसा है कि सभी $x \in S$ के लिए $x < M$ है।

(B) दिए गए परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं जो बैटरी और लैंप $L$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं।
मान लीजिए स्विच $S_1, S_2, S_3$ हैं। पहली शाखा $S_1 \land (S_2' \lor S_3')$ है।
दूसरी शाखा $S_2 \land S_3 \land S_1$ है।
कुल परिपथ का व्यंजक $P = [S_1 \land (S_2' \lor S_3')] \lor (S_2 \land S_3 \land S_1)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करके,हम $S_1$ को कॉमन ले सकते हैं:
$P = S_1 \land [(S_2' \lor S_3') \lor (S_2 \land S_3)]$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$(S_2' \lor S_3')$ का मान $(S_2 \land S_3)'$ के समतुल्य है।
अतः,$P = S_1 \land [(S_2 \land S_3)' \lor (S_2 \land S_3)]$.
चूंकि $(X' \lor X)$ हमेशा सत्य (tautology) होता है,इसलिए व्यंजक सरल होकर $P = S_1 \land T = S_1$ हो जाता है।
इस प्रकार,समतुल्य परिपथ लैंप के साथ श्रेणीक्रम में केवल एक स्विच $S_1$ है।
समतुल्य परिपथ में स्विचों की संख्या $1$ है।

(C) तर्कशास्त्र में,एक सशर्त कथन $P \implies Q$ सत्य होता है यदि $P$ असत्य है,चाहे $Q$ का सत्य मान कुछ भी हो।
$(A)$ $4+3=8$ असत्य है। चूँकि पूर्ववर्ती असत्य है,इसलिए निहितार्थ $(A)$ सत्य है।
$(B)$ $6+4=10$ सत्य है,लेकिन परिणामी कथन 'चंद्रमा चपटा है' असत्य है। एक सत्य पूर्ववर्ती का असत्य परिणामी की ओर ले जाना $(B)$ को असत्य बनाता है।
$(C)$ पूर्ववर्ती कथन है '$(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं'। चूँकि $(B)$ असत्य है,इसलिए संयोजन '$(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं' असत्य है। असत्य पूर्ववर्ती वाला सशर्त कथन सत्य होता है। अतः,$(C)$ सत्य है।
इसलिए,$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं,जबकि $(B)$ असत्य है।

(A) मान लीजिए $p$ कथन "त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है" है।
मान लीजिए $q$ कथन "त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है" है।
मान लीजिए $r$ कथन "त्रिभुज समकोण है" है।
दिया गया कथन $(p \lor q) \land (\neg q \land r)$ है।
हमें निषेध ज्ञात करना है: $\neg((p \lor q) \land (\neg q \land r))$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$,हमें मिलता है:
$\neg(p \lor q) \lor \neg(\neg q \land r)$.
डी मॉर्गन के नियम को फिर से लागू करने पर:
$(\neg p \land \neg q) \lor (q \lor \neg r)$.
इसका अर्थ है: "त्रिभुज समबाहु नहीं है और समद्विबाहु नहीं है,या त्रिभुज समद्विबाहु है या यह समकोण नहीं है"।

(A) दिया गया है कि $p = T$,$q = F$,और $r = T$ है।
सबसे पहले,कथन पैटर्न $S = [\sim q \wedge (p \vee \sim q) \wedge \sim r] \vee p$ का मूल्यांकन करें।
मान रखने पर:
$S = [\sim F \wedge (T \vee \sim F) \wedge \sim T] \vee T$
$S = [T \wedge (T \vee T) \wedge F] \vee T$
$S = [T \wedge T \wedge F] \vee T$
$S = F \vee T = T$।
अब,द्वैत कथन $S^*$ ज्ञात करें। द्वैत प्राप्त करने के लिए,$\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से,$T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलें।
द्वैत कथन $S^* = [\sim q \vee (p \wedge \sim q) \vee \sim r] \wedge p$ है।
मान रखने पर:
$S^* = [\sim F \vee (T \wedge \sim F) \vee \sim T] \wedge T$
$S^* = [T \vee (T \wedge T) \vee F] \wedge T$
$S^* = [T \vee T \vee F] \wedge T$
$S^* = T \wedge T = T$।
अतः,सत्यता मान $T$ और $T$ हैं।

(C) रोले के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए,हमारे पास $f(-3) = f(0)$ होना चाहिए।
$f(-3) = (-3)(-3+3) e^{3/2} = 0$.
$f(0) = (0)(0+3) e^{0} = 0$.
चूंकि $f(-3) = f(0) = 0$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू होता है।
हमें $c \in (-3, 0)$ ज्ञात करना है ताकि $f'(c) = 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = (x^2 + 3x) e^{-\frac{x}{2}}$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = (2x + 3) e^{-\frac{x}{2}} + (x^2 + 3x) e^{-\frac{x}{2}} \left(-\frac{1}{2}\right)$.
$f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( 2x + 3 - \frac{x^2}{2} - \frac{3x}{2} \right)$.
$f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 \right)$.
$f'(c) = 0$ रखने पर,$-\frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}c + 3 = 0$.
$-2$ से गुणा करने पर,हमें $c^2 - c - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(c - 3)(c + 2) = 0$.
अतः,$c = 3$ या $c = -2$.
चूंकि $c$ को अंतराल $(-3, 0)$ में होना चाहिए,इसलिए हम $c = -2$ चुनते हैं।

(C) अंतराल $[a, b] = [-2, 2]$ पर फलन $f(x) = x^3$ दिया गया है।
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(-2, 2)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
सबसे पहले,छेदक रेखा की ढाल की गणना करें:
$f(2) = 2^3 = 8$
$f(-2) = (-2)^3 = -8$
ढाल $= \frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{8 - (-8)}{2 + 2} = \frac{16}{4} = 4$.
अब,फलन का अवकलज ज्ञात करें:
$f'(x) = 3x^2$.
अवकलज को छेदक रेखा की ढाल के बराबर रखें:
$3c^2 = 4$
$c^2 = \frac{4}{3}$
$c = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः,भुज $\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ हैं।

(D) दिया गया है कि $f(x)$,$[1, 5]$ पर सतत है और $(1, 5)$ पर अवकलनीय है।
लाग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के अनुसार,कम से कम एक $c \in (1, 5)$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1}$ हो।
हमें दिया गया है कि सभी $x \in [1, 5]$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$,इसलिए $f^{\prime}(c) \leq 5$ होगा।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f(5) - 1}{4} \leq 5$.
$f(5) - 1 \leq 20$.
$f(5) \leq 21$.
अतः,$f(5)$ का अधिकतम मान $21$ है।

(D) रोले के प्रमेय के अनुसार $[1, 2]$ पर $f(1) = f(2)$ होना चाहिए।
$f(1) = 1^3 + a(1)^2 + b(1) = 1 + a + b$.
$f(2) = 2^3 + a(2)^2 + b(2) = 8 + 4a + 2b$.
$f(1) = f(2)$ रखने पर,$1 + a + b = 8 + 4a + 2b$,जिसे सरल करने पर $3a + b = -7$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)।
साथ ही,रोले के प्रमेय के अनुसार $f'(c) = 0$ होता है,जहाँ $c = \frac{4}{3}$ है।
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
$f'(\frac{4}{3}) = 3(\frac{4}{3})^2 + 2a(\frac{4}{3}) + b = 3(\frac{16}{9}) + \frac{8a}{3} + b = \frac{16}{3} + \frac{8a}{3} + b = 0$.
$3$ से गुणा करने पर,$16 + 8a + 3b = 0$,या $8a + 3b = -16$ (समीकरण $2$)।
समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण $1$ से,$b = -7 - 3a$.
समीकरण $2$ में रखने पर: $8a + 3(-7 - 3a) = -16$.
$8a - 21 - 9a = -16$.
$-a = 5$,इसलिए $a = -5$.
अब $b = -7 - 3(-5) = -7 + 15 = 8$.
अतः,$a = -5$ और $b = 8$।

(A) $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय के लिए,फलन को $f(1) = f(3)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + a(1) + b = 1 - 6 + a + b = a + b - 5$.
$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + a(3) + b = 27 - 54 + 3a + b = 3a + b - 27$.
$f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर:
$a + b - 5 = 3a + b - 27$
$2a = 22 \implies a = 11$.
साथ ही,रोले के प्रमेय के अनुसार $(1, 3)$ में किसी $c$ के लिए $f'(c) = 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = 3x^2 - 12x + a = 3x^2 - 12x + 11$.
$f'(c) = 0$ रखने पर:
$3c^2 - 12c + 11 = 0$.
इसके मूल $c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ हैं।
चूंकि $2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.423$ जो $(1, 3)$ के भीतर है,इसलिए $a = 11$ के लिए शर्त पूरी होती है। विकल्पों को देखते हुए,$a=11$ वाला विकल्प $A$ सही है।

(C) माना $A_1$,$x = 0$ से $x = \frac{\pi}{3}$ तक $y = \cos x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल है।
$A_1 = \int_{0}^{\pi/3} \cos x \, dx = [\sin x]_{0}^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
माना $A_2$,$x = 0$ से $x = \frac{\pi}{3}$ तक $y = \cos 2x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल है।
$A_2 = \int_{0}^{\pi/3} \cos 2x \, dx = [\frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi/3} = \frac{1}{2} (\sin(\frac{2\pi}{3}) - \sin(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/4} = \frac{4}{2} = 2: 1$ है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ और रेखाओं $x = a$ तथा $x = 4a$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = 2 \int_{a}^{4a} y \, dx$
चूंकि $y^2 = 4ax$,इसलिए $y = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ (सममिति के लिए $x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल को लेकर उसे $2$ से गुणा करने पर)।
$A = 2 \int_{a}^{4a} 2\sqrt{a} \sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{a} \int_{a}^{4a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{a}^{4a} = 4\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{a}^{4a}$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ (4a)^{3/2} - a^{3/2} \right]$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ 8a\sqrt{a} - a\sqrt{a} \right]$
$A = \frac{8\sqrt{a}}{3} \left[ 7a\sqrt{a} \right] = \frac{56a^2}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया वक्र $y = |x - 2|$ है।
हमें $y = |x - 2|$,$x = 1$,$x = 3$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
फलन $y = |x - 2|$ को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
$y = \begin{cases} -(x - 2) & \text{यदि } x < 2 \\ x - 2 & \text{यदि } x \ge 2 \end{cases}$
क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{3} |x - 2| \, dx$
$x = 2$ पर समाकलन को विभाजित करने पर:
$A = \int_{1}^{2} -(x - 2) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$A = \left[ -\frac{(x - 2)^2}{2} \right]_{1}^{2} + \left[ \frac{(x - 2)^2}{2} \right]_{2}^{3}$
$A = \left( 0 - (-\frac{(1 - 2)^2}{2}) \right) + \left( \frac{(3 - 2)^2}{2} - 0 \right)$
$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वक्र $x = 2 - y - y^2$ द्वारा दिया गया है। $Y$-अक्ष रेखा $x = 0$ है।
$Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें:
$2 - y - y^2 = 0 \implies y^2 + y - 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y + 2)(y - 1) = 0$,अतः $y = -2$ और $y = 1$ है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-2}^{1} |x| dy = \int_{-2}^{1} (2 - y - y^2) dy$ द्वारा प्राप्त होता है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = [2y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}]_{-2}^{1}$.
$y = 1$ पर: $2(1) - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 2 - \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$.
$y = -2$ पर: $2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}$.
$A = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया वक्र $y = a\sqrt{x} + bx$ बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $2 = a(1) + b(1)$,अर्थात $a + b = 2$।
वक्र,$x=4$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_{0}^{4} (a\sqrt{x} + bx) dx = 8$ है।
समाकलन करने पर: $[a \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + b \cdot \frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = 8$।
$x=4$ रखने पर: $a \cdot \frac{2}{3}(8) + b \cdot \frac{16}{2} = 8$,जो सरल होकर $\frac{16}{3}a + 8b = 8$ बनता है।
$8$ से भाग देने पर: $\frac{2}{3}a + b = 1$।
अब हमारे पास समीकरण हैं:
$1) a + b = 2$
$2) \frac{2}{3}a + b = 1$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $(a - \frac{2}{3}a) = 2 - 1$,इसलिए $\frac{1}{3}a = 1$,जिसका अर्थ है $a = 3$।
$a=3$ को $a+b=2$ में रखने पर: $3 + b = 2$,इसलिए $b = -1$।
अतः,$a - b = 3 - (-1) = 4$।

(A) दिया गया वक्र $y = 4x - x^2$ है।
वक्र $X$-अक्ष को जहाँ काटता है,उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए हम $y = 0$ रखते हैं:
$4x - x^2 = 0$
$x(4 - x) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 4$ हैं।
क्षेत्रफल $A$ को निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx$
$A = [2x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{4}$
$A = (2(4)^2 - \frac{4^3}{3}) - (0)$
$A = (2 \times 16 - \frac{64}{3})$
$A = 32 - \frac{64}{3}$
$A = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=2^2$ है,जिसकी त्रिज्या $r=2$ और केंद्र $(0,0)$ है।
रेखा $x=1$ है। वृत्त और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर प्राप्त होते हैं: $1^2+y^2=4 \implies y^2=3 \implies y=\pm\sqrt{3}$.
छोटे भाग का क्षेत्रफल $x=1$ से $x=2$ तक वृत्त और रेखा द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{1}^{2} y \, dx = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} \, dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$A = 2 [\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{1}^{2}$.
$A = 2 [(\frac{2}{2}\sqrt{4-4} + 2\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{4-1} + 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}))]$.
$A = 2 [(0 + 2(\frac{\pi}{2})) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2(\frac{\pi}{6}))]$.
$A = 2 [\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}] = 2 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$.

(D) वक्र $y = \frac{x^2}{4}$,$X$-अक्ष और रेखा $x=4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_{0}^{4} \frac{x^2}{4} dx = \left[ \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$.
चूंकि रेखा $x=\alpha$ इस क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है,इसलिए $x=0$ से $x=\alpha$ तक का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होना चाहिए:
$\int_{0}^{\alpha} \frac{x^2}{4} dx = \frac{1}{2} \times \frac{16}{3} = \frac{8}{3}$.
समाकलन करने पर:
$\left[ \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{\alpha} = \frac{\alpha^3}{12} = \frac{8}{3}$.
$\alpha^3 = \frac{8 \times 12}{3} = 32$.
अतः,$\alpha = (32)^{1/3}$.

(A) दिए गए वक्र $y = |x - 4|$,$x = 3$,$x = 5$ और $X$-अक्ष $(y = 0)$ हैं।
हम जानते हैं कि यदि $x \ge 4$ है तो $|x - 4| = x - 4$ और यदि $x < 4$ है तो $-(x - 4)$ होता है।
क्षेत्रफल $A = \int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x = 4$ पर समाकलन को विभाजित करने पर:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$
$A = \int_{3}^{4} (4 - x) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$
प्रथम समाकलन का मान: $[4x - \frac{x^2}{2}]_{3}^{4} = (16 - 8) - (12 - 4.5) = 8 - 7.5 = 0.5$.
द्वितीय समाकलन का मान: $[\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$.
कुल क्षेत्रफल $A = 0.5 + 0.5 = 1$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 27x$ है।
चूँकि क्षेत्र परवलय और रेखा $x = 1$ द्वारा परिबद्ध है,क्षेत्रफल $A$ को $x = 0$ से $x = 1$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करके प्राप्त किया जाता है।
चूँकि $y^2 = 27x$,हमारे पास $y = \sqrt{27x} = 3\sqrt{3}\sqrt{x}$ है।
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के परितः सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $2 \times \int_{0}^{1} y \, dx$ है।
$A = 2 \int_{0}^{1} 3\sqrt{3} \sqrt{x} \, dx = 6\sqrt{3} \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$.
$A = 6\sqrt{3} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = 6\sqrt{3} \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$.
$A = 4\sqrt{3} (1 - 0) = 4\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए वक्र $y^2 = 4x$ (दाहिनी ओर खुलने वाला परवलय) और $y = |x|$ ($V$-आकार का ग्राफ) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $y^2 = x^2$ लेते हैं (क्योंकि $y = |x| \implies y^2 = x^2$)।
$y^2 = 4x$ को $x^2 = y^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 = 4x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 - 4x = 0$,इसलिए $x(x - 4) = 0$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 4$ हैं।
$x \in [0, 4]$ के लिए,परवलय $y = 2\sqrt{x}$ रेखा $y = x$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4}$
$A = [\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4}$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{16}{2}) - (0 - 0)$
$A = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32 - 24}{3} = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए समीकरण दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ और रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ हैं।
माना $x = 3 \cos \theta$ और $y = 2 \sin \theta$ है।
रेखा का समीकरण $\cos \theta + \sin \theta = 1$ हो जाता है।
$\theta$ के लिए हल करने पर,हमें $\theta = 0$ या $\theta = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त और रेखा द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल,दीर्घवृत्त के सेक्टर के क्षेत्रफल में से रेखा और अक्षों द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\pi ab = \pi(3)(2) = 6\pi$ है।
प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{4}(6\pi) = \frac{3\pi}{2}$ है।
रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ द्वारा अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ है।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{3\pi}{2} - 3 = \frac{3}{2}(\pi - 2)$ वर्ग इकाई है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$ है।
यहाँ,$a=5$ और $b=3$ है।
धनात्मक चतुर्थांश $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{4} \times \pi ab = \frac{1}{4} \times \pi \times 5 \times 3 = \frac{15\pi}{4}$ है।
शीर्षों $(0,0), (5,0), (0,3)$ वाले त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{15}{2}$ है।
चाप $AB$ और जीवा $AB$ के बीच का क्षेत्रफल चतुर्थांश के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{15\pi}{4} - \frac{15}{2} = \frac{15}{4}(\pi - 2)$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए समीकरण $x^2 = 8y$ $(1)$ और $x - 8y + 2 = 0$ $(2)$ हैं।
समीकरण $(2)$ से,$8y = x + 2$। इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 = x + 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 - x - 2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x + 1) = 0$,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -1$ और $x = 2$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x = -1$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
$A = \int_{-1}^{2} (\frac{x+2}{8} - \frac{x^2}{8}) dx = \frac{1}{8} \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx$।
$A = \frac{1}{8} [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$।
सीमाओं पर मान रखने पर: $A = \frac{1}{8} [(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})]$।
$A = \frac{1}{8} [(2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})] = \frac{1}{8} [\frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})] = \frac{1}{8} [\frac{20+7}{6}] = \frac{1}{8} \times \frac{27}{6} = \frac{9}{16}$ वर्ग इकाई।

(C) वक्रों $y=f(x)$ और $y=g(x)$ द्वारा $x=a$ और $x=b$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वक्र $y = x^2 + 3$ और $y = x$ हैं।
यह क्षेत्र $y$-अक्ष $(x=0)$ और रेखा $x=3$ द्वारा घिरा है।
चूंकि $x \in [0, 3]$ के लिए $x^2 + 3 > x$ है,इसलिए क्षेत्रफल:
$A = \int_{0}^{3} (x^2 + 3 - x) \, dx$
$A = [\frac{x^3}{3} + 3x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{3}$
$A = (\frac{27}{3} + 3(3) - \frac{9}{2}) - (0)$
$A = 9 + 9 - 4.5 = 18 - 4.5 = 13.5$
$A = \frac{27}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $y = 9x^2$ (या $x^2 = \frac{y}{9}$) और $y = \frac{x^2}{16}$ (या $x^2 = 16y$) हैं।
चूंकि क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करते हैं और $2$ से गुणा करते हैं।
$y = 9x^2$ के लिए, $x = \frac{\sqrt{y}}{3}$.
$y = \frac{x^2}{16}$ के लिए, $x = 4\sqrt{y}$.
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{1} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{1} (4\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{3}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{1} (4 - \frac{1}{3}) \sqrt{y} dy = 2 \times \frac{11}{3} \int_{0}^{1} y^{1/2} dy$.
$A = \frac{22}{3} [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{0}^{1} = \frac{22}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{44}{9}$ वर्ग इकाई।

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = \frac{2}{\log 2}$ होना चाहिए।
चरण $1$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{3 \sin x + 5 \tan x}{a^x - 1}$ का मूल्यांकन करें।
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\lim_{x \to 0^-} \frac{3(\frac{\sin x}{x}) + 5(\frac{\tan x}{x})}{\frac{a^x - 1}{x}} = \frac{3(1) + 5(1)}{\ln a} = \frac{8}{\ln a}$.
$f(0)$ के बराबर रखने पर: $\frac{8}{\ln a} = \frac{2}{\ln 2} \implies \ln a = 4 \ln 2 = \ln(2^4) = \ln 16 \implies a = 16$.
चरण $2$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{8x + 2x \cos x}{b^x - 1}$ का मूल्यांकन करें।
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\lim_{x \to 0^+} \frac{8 + 2 \cos x}{\frac{b^x - 1}{x}} = \frac{8 + 2(1)}{\ln b} = \frac{10}{\ln b}$.
$f(0)$ के बराबर रखने पर: $\frac{10}{\ln b} = \frac{2}{\ln 2} \implies \ln b = 5 \ln 2 = \ln(2^5) = \ln 32 \implies b = 32$.
अतः,$a=16$ और $b=32$ मान प्राप्त होते हैं।

(D) फलन $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
$1$. $x = \frac{\pi}{2}$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(\frac{\pi}{2}) = m(\frac{\pi}{2}) + 1$
$2$. $x = \frac{\pi}{2}$ पर $LHL$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (mx + 1) = m(\frac{\pi}{2}) + 1$
$3$. $x = \frac{\pi}{2}$ पर $RHL$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (\sin x + n) = \sin(\frac{\pi}{2}) + n = 1 + n$
$4$. $LHL$ और $RHL$ की तुलना करें:
$m(\frac{\pi}{2}) + 1 = 1 + n$
$m(\frac{\pi}{2}) = n$
अतः,सांतत्य के लिए शर्त $n = \frac{m \pi}{2}$ है।

(D) $f(x)$ को $x = 3$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = k$ होना चाहिए।
सबसे पहले,सीमा $\lim_{x \to 3} ([x^2] - [-x^2])$ का मूल्यांकन करें।
महत्तम पूर्णांक फलन का गुण याद करें: यदि $y \in \mathbb{Z}$ है,तो $[y] + [-y] = 0$,और यदि $y \notin \mathbb{Z}$ है,तो $[y] + [-y] = -1$ होता है।
जैसे $x \to 3$,$x^2 \to 9$ होता है।
चूंकि $9$ एक पूर्णांक है,हम बाएँ हाथ की सीमा $(x \to 3^-)$ और दाएँ हाथ की सीमा $(x \to 3^+)$ की जाँच करते हैं।
$x \to 3^-$ के लिए,$x^2 < 9$,इसलिए $x^2 = 9 - h$ जहाँ $h > 0$ बहुत छोटी संख्या है। तब $[x^2] = 8$ और $[-x^2] = [-9 + h] = -9$ होगा।
अतः,$\lim_{x \to 3^-} ([x^2] - [-x^2]) = 8 - (-9) = 17$।
$x \to 3^+$ के लिए,$x^2 > 9$,इसलिए $x^2 = 9 + h$ जहाँ $h > 0$ बहुत छोटी संख्या है। तब $[x^2] = 9$ और $[-x^2] = [-9 - h] = -10$ होगा।
अतः,$\lim_{x \to 3^+} ([x^2] - [-x^2]) = 9 - (-10) = 19$।
चूंकि बाएँ हाथ की सीमा $(17)$ दाएँ हाथ की सीमा $(19)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा $\lim_{x \to 3} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
इसलिए,$k$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो फलन को $x = 3$ पर सतत बना सके।

(A) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा $(LHL)$ दायाँ सीमा $(RHL)$ के बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4}$.
$f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$LHL$,$RHL$ के बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$
$b = -a - b \implies a = -2b$.
$a = -2b$ को $a - b = \frac{\pi}{4}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$.
अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
इस प्रकार,$a - b = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{12}) = \frac{2\pi + \pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x - |x - x^2|$ है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन $(2x)$ और एक बहुपद फलन के मापांक $(|x - x^2|)$ का संयोजन है,जो दोनों $\mathbb{R}$ पर हर जगह संतत हैं,इसलिए उनका अंतर $f(x)$ भी सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए संतत है।
विशेष रूप से,$x = 1$ पर:
$f(1) = 2(1) - |1 - 1^2| = 2 - 0 = 2$.
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (2x - |x - x^2|) = 2(1) - |1 - 1| = 2$.
चूंकि $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$,इसलिए फलन $x = 1$ पर संतत है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x^4-5x^2+4}{|(x-1)(x-2)|} = \frac{(x^2-1)(x^2-4)}{|(x-1)(x-2)|} = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{|(x-1)(x-2)|}$.
$x \neq 1, 2$ के लिए,$f(x) = \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{|(x-1)(x-2)|} = \text{sgn}((x-1)(x-2)) \cdot (x+1)(x+2)$.
$x=1$ पर: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{-(x-1)(x-2)} = -(1+1)(1+2) = -6$. चूंकि $f(1) = 6$,यह $x=1$ पर असतत है।
$x=2$ पर: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)} = (2+1)(2+2) = 12$. चूंकि $f(2) = 12$,दाईं सीमा $f(2)$ के बराबर है।
हालाँकि,$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)}{-(x-1)(x-2)} = -(2+1)(2+2) = -12$. चूंकि $-12 \neq 12$,यह $x=2$ पर असतत है।
अतः,$f(x)$ समुच्चय $R - \{1, 2\}$ पर सतत है।

(D) $f(x)$ के $x = -\frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा और दायाँ सीमा बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} (-2 \sin x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} (a \sin x + b)$
$-2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = a \sin(-\frac{\pi}{2}) + b$
$-2(-1) = a(-1) + b \implies 2 = -a + b \quad (1)$
$f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (a \sin x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (\cos x)$
$a \sin(\frac{\pi}{2}) + b = \cos(\frac{\pi}{2})$
$a(1) + b = 0 \implies a + b = 0 \quad (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(-a + b) + (a + b) = 2 + 0
2b = 2 \implies b = 1$
समीकरण $(2)$ में $b = 1$ रखने पर:
$a + 1 = 0 \implies a = -1$
अब,$2a + b$ का मान:
$2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$
अतः,मान $-1$ है।

(B) समाकलन $I = \int_0^1 \tan^{-1} x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = \tan^{-1} x$ और $dv = dx$.
तब $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$ और $v = x$.
सूत्र लागू करने पर:
$I = [x \tan^{-1} x]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} \, dx$.
पहले भाग का मूल्यांकन करने पर: $(1 \cdot \tan^{-1} 1) - (0 \cdot \tan^{-1} 0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.
दूसरे भाग के लिए,माना $t = 1+x^2$,तो $dt = 2x \, dx$ या $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.
जब $x=0, t=1$; जब $x=1, t=2$.
$\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} [\log |t|]_1^2 = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2 = \log 2^{1/2} = \log \sqrt{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4} - \log \sqrt{2}$.

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (2+3x^2) \cos 3x \, dx$ है।
खंडशः समाकलन $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = 2+3x^2$ और $dv = \cos 3x \, dx$ लें।
तब $du = 6x \, dx$ और $v = \frac{\sin 3x}{3}$ प्राप्त होता है।
$I = \left[ (2+3x^2) \frac{\sin 3x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} - \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin 3x}{3} (6x) \, dx$।
$I = \left[ (2+3(\frac{\pi^2}{36})) \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{3} - 0 \right] - 2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} x \sin 3x \, dx$।
$I = \frac{1}{3} (2 + \frac{\pi^2}{12}) - 2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} x \sin 3x \, dx$।
दूसरे समाकलन के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करें: $u = x, dv = \sin 3x \, dx \implies du = dx, v = -\frac{\cos 3x}{3}$।
$\int_0^{\frac{\pi}{6}} x \sin 3x \, dx = \left[ -\frac{x \cos 3x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} - \int_0^{\frac{\pi}{6}} -\frac{\cos 3x}{3} \, dx$।
$= (0 - 0) + \frac{1}{3} \left[ \frac{\sin 3x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{9} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{9}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{2}{3} + \frac{\pi^2}{36} - 2(\frac{1}{9}) = \frac{2}{3} - \frac{2}{9} + \frac{\pi^2}{36} = \frac{6-2}{9} + \frac{\pi^2}{36} = \frac{4}{9} + \frac{\pi^2}{36}$।

(A) समाकल $I = \int_0^1 \log(x+1) \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं।
माना $u = \log(x+1)$ और $dv = dx$ है।
तब $du = \frac{1}{x+1} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:
$I = [x \log(x+1)]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{x+1} \, dx$
$I = [1 \cdot \log(2) - 0 \cdot \log(1)] - \int_0^1 \frac{x+1-1}{x+1} \, dx$
$I = \log 2 - \int_0^1 (1 - \frac{1}{x+1}) \, dx$
$I = \log 2 - [x - \log(x+1)]_0^1$
$I = \log 2 - [(1 - \log 2) - (0 - \log 1)]$
$I = \log 2 - 1 + \log 2$
$I = 2 \log 2 - 1$.

(A) माना $I = \int_1^{e} \frac{e^x}{x}(1+x \log x) d x$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_1^{e} (\frac{e^x}{x} + e^x \log x) d x$.
माना $f(x) = e^x \log x$.
तब $f'(x) = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x (\log x + \frac{1}{x})$.
यह समाकल्य से बिल्कुल मेल खाता है।
इसलिए,$\int (f(x) + f'(x)) d x = f(x) + C$.
अतः,$I = [e^x \log x]_1^e$.
सीमाओं का मूल्यांकन करने पर:
$I = (e^e \log e) - (e^1 \log 1)$.
चूंकि $\log e = 1$ और $\log 1 = 0$,
$I = (e^e \cdot 1) - (e \cdot 0) = e^e$.
सही विकल्प $A$ है.

(A) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 (x - x^3)^{\frac{1}{3}} dx$.
हम समाकल्य को $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 [x^3(\frac{1}{x^2} - 1)]^{\frac{1}{3}} dx = \int_{\frac{1}{3}}^1 x(\frac{1}{x^2} - 1)^{\frac{1}{3}} dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $u = \frac{1}{x^2} - 1$,जिससे $du = -\frac{2}{x^3} dx$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,इस समाकलन का मान $0$ है।

(B) माना $I = \int_0^1 \frac{1}{2+\sqrt{x}} \, dx$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापन करने पर,$x = t^2$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = 1$,तब $t = 1$।
अतः,$I = \int_0^1 \frac{2t}{2+t} \, dt$.
$I = 2 \int_0^1 \frac{t+2-2}{t+2} \, dt = 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{2}{t+2}\right) \, dt$.
$I = 2 [t - 2 \log |t+2|]_0^1$.
$I = 2 [(1 - 2 \log 3) - (0 - 2 \log 2)]$.
$I = 2 [1 - 2 \log 3 + 2 \log 2] = 2 [1 + 2 \log(2/3)]$.
$I = 2 [\log e + \log(4/9)] = 2 \log(4e/9)$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) हमें समाकलन $I = \int_1^4 \log [x] dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,हम समाकलन को पूर्णांक बिंदुओं $x=2$ और $x=3$ पर विभाजित करते हैं:
$I = \int_1^2 \log [x] dx + \int_2^3 \log [x] dx + \int_3^4 \log [x] dx$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $\log [x] = \log 1 = 0$.
$x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,इसलिए $\log [x] = \log 2$.
$x \in [3, 4)$ के लिए,$[x] = 3$,इसलिए $\log [x] = \log 3$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_1^2 0 dx + \int_2^3 \log 2 dx + \int_3^4 \log 3 dx$.
$I = 0 + [x \log 2]_2^3 + [x \log 3]_3^4$.
$I = (3-2) \log 2 + (4-3) \log 3$.
$I = 1 \cdot \log 2 + 1 \cdot \log 3 = \log 2 + \log 3$.
गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \log(2 \times 3) = \log 6$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = \sin^7 x \cos^{16} x$ है।
हम $f(-x)$ का मूल्यांकन करके जांचते हैं कि फलन सम है या विषम।
$f(-x) = \sin^7(-x) \cos^{16}(-x)$।
चूंकि $\sin(-x) = -\sin x$ और $\cos(-x) = \cos x$,हमारे पास है:
$f(-x) = (-\sin x)^7 (\cos x)^{16} = -\sin^7 x \cos^{16} x = -f(x)$।
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकल के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) \,dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-3}^3 \sin^7 x \cos^{16} x \,dx = 0$।

(B) माना $I = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}\right) dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,यहाँ $a+b = -1+1 = 0$ है।
अतः,$I = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+(-x)+(-x)^2} - \sqrt{1-(-x)+(-x)^2}\right) dx$.
$I = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1-x+x^2} - \sqrt{1+x+x^2}\right) dx$.
$I = - \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}\right) dx$.
$I = -I$.
$2I = 0$,जिसका अर्थ है कि $I = 0$.

(B) सबसे पहले,हम निरपेक्ष मान के अंदर के द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.
शून्य $x = -1$ और $x = 2$ हैं।
हम अंतराल $[-2, 2]$ पर $f(x) = x^2 - x - 2$ के चिह्न की जाँच करते हैं:
$x \in [-2, -1]$ के लिए,$f(x) \ge 0$ है।
$x \in [-1, 2]$ के लिए,$f(x) \le 0$ है,इसलिए $|x^2 - x - 2| = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2$ होगा।
अतः,समाकलन $\int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) dx + \int_{-1}^2 (-x^2 + x + 2) dx$ होगा।
पहले भाग का मान: $[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (-\frac{8}{3} - 2 + 4) = \frac{7}{6} - (-\frac{2}{3}) = \frac{11}{6}$।
दूसरे भाग का मान: $[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x]_{-1}^2 = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$।
कुल योग: $\frac{11}{6} + \frac{27}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3}$।

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+(\cot x)^{101}}$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+(\cot(\frac{\pi}{2}-x))^{101}}$
चूँकि $\cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan x$,इसलिए:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+(\tan x)^{101}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\frac{1}{(\cot x)^{101}}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cot x)^{101}}{1+(\cot x)^{101}} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+(\cot x)^{101}}{1+(\cot x)^{101}} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि फलन $[x^2]$ उन बिंदुओं पर अपना मान बदलता है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए हम अंतराल $[0, 2]$ में इन बिंदुओं को ज्ञात करते हैं।
$x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ पर $x^2$ के मान क्रमशः $1, 2, 3, 4$ हैं।
हम समाकलन को उप-अंतरालों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx$.
अंतराल $[0, 1)$ में,$0 \le x^2 < 1$ है,इसलिए $[x^2] = 0$ है।
अंतराल $[1, \sqrt{2})$ में,$1 \le x^2 < 2$ है,इसलिए $[x^2] = 1$ है।
अंतराल $[\sqrt{2}, \sqrt{3})$ में,$2 \le x^2 < 3$ है,इसलिए $[x^2] = 2$ है।
अंतराल $[\sqrt{3}, 2)$ में,$3 \le x^2 < 4$ है,इसलिए $[x^2] = 3$ है।
अतः,$I = \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx$.
$I = 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$.
$I = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$.
$I = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

(A) माना $I = \int_2^4 \frac{\log x^2}{\log x^2 + \log (36-12x+x^2)} dx$.
यहाँ $36-12x+x^2 = (6-x)^2$ है।
अतः,$I = \int_2^4 \frac{\log x^2}{\log x^2 + \log (6-x)^2} dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b = 2+4 = 6$.
$x$ को $6-x$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_2^4 \frac{\log (6-x)^2}{\log (6-x)^2 + \log (6-(6-x))^2} dx = \int_2^4 \frac{\log (6-x)^2}{\log (6-x)^2 + \log x^2} dx$.
$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_2^4 \frac{\log x^2 + \log (6-x)^2}{\log x^2 + \log (6-x)^2} dx = \int_2^4 1 dx$.
$2I = [x]_2^4 = 4-2 = 2$.
अतः,$I = 1$.

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x \sin^2 x}{(\cos^3 x + \sin^3 x)^2} \, dx$ है।
अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 x \sec^2 x}{(1 + \tan^3 x)^2} \, dx$।
माना $u = \tan^3 x$,तब $du = 3 \tan^2 x \sec^2 x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\tan^2 x \sec^2 x \, dx = \frac{du}{3}$।
जब $x = 0$,तो $u = 0$। जब $x = \frac{\pi}{4}$,तो $u = 1$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^1 \frac{1}{3(1 + u)^2} \, du = \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{1 + u} \right]_0^1$।
$I = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6}$।

(B) माना $I = \int_{-1}^3 \left(\tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx$.
गुणधर्म $\tan^{-1}(u) + \tan^{-1}(1/u) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,जब $u > 0$ हो तो समाकलन का मान $\frac{\pi}{2}$ होता है।
हालाँकि,$x < 0$ के लिए,$u = x/(x^2+1) < 0$ होता है।
$u < 0$ के लिए $\tan^{-1}(u) + \tan^{-1}(1/u) = -\frac{\pi}{2}$ होने के कारण,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_{-1}^0 (-\frac{\pi}{2}) dx + \int_0^3 (\frac{\pi}{2}) dx$.
$I = -\frac{\pi}{2} [x]_{-1}^0 + \frac{\pi}{2} [x]_0^3$.
$I = -\frac{\pi}{2} (0 - (-1)) + \frac{\pi}{2} (3 - 0)$.
$I = -\frac{\pi}{2} (1) + \frac{\pi}{2} (3) = -\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

(C) हमें समाकलन $I = \int_0^2 \frac{3x+1}{x^2+4} dx$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें:
$I = \int_0^2 \frac{3x}{x^2+4} dx + \int_0^2 \frac{1}{x^2+4} dx$.
पहले भाग के लिए,मान लीजिए $u = x^2+4$,तो $du = 2x dx$,इसलिए $x dx = \frac{du}{2}$.
$\int_0^2 \frac{3x}{x^2+4} dx = \frac{3}{2} \int_4^8 \frac{du}{u} = \frac{3}{2} [\log |u|]_4^8 = \frac{3}{2} (\log 8 - \log 4) = \frac{3}{2} \log(\frac{8}{4}) = \frac{3}{2} \log 2$.
दूसरे भाग के लिए,मानक समाकलन $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करें।
$\int_0^2 \frac{1}{x^2+2^2} dx = [\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2})]_0^2 = \frac{1}{2} \tan^{-1}(1) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(0) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4}) - 0 = \frac{\pi}{8}$.
दोनों भागों को जोड़ने पर,$I = \frac{3}{2} \log 2 + \frac{\pi}{8}$.

(B) माना $I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \frac{x}{1+\sin x} dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi$:
$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \frac{\pi-x}{1+\sin(\pi-x)} dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \frac{\pi-x}{1+\sin x} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \frac{x + \pi - x}{1+\sin x} dx = \pi \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \frac{1}{1+\sin x} dx$.
अंश और हर को $(1-\sin x)$ से गुणा करने पर:
$2I = \pi \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} dx = \pi \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx$.
समाकलन करने पर:
$2I = \pi [\tan x - \sec x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}}$.
सीमाओं पर मान रखने पर:
$2I = \pi [(\tan \frac{2\pi}{3} - \sec \frac{2\pi}{3}) - (\tan \frac{\pi}{3} - \sec \frac{\pi}{3})]$.
$2I = \pi [(-\sqrt{3} - (-2)) - (\sqrt{3} - 2)] = \pi [2 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 2] = \pi [4 - 2\sqrt{3}]$.
$I = \pi (2 - \sqrt{3})$.

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}} + \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}} \right) d x$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} d x$
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} d x$
सर्वसमिका $\sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2$ का उपयोग करने पर:
$I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} d x$
माना $u = \sin x - \cos x$,तो $du = (\cos x + \sin x) d x$.
जब $x = 0$,तो $u = -1$. जब $x = \frac{\pi}{4}$,तो $u = 0$.
$I = \sqrt{2} \int_{-1}^0 \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \sqrt{2} [\arcsin u]_{-1}^0$
$I = \sqrt{2} (\arcsin 0 - \arcsin(-1)) = \sqrt{2} (0 - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\sqrt{2} \pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

(B) माना $I = \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{8-x}+\sqrt{x}} \, dx$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{3+5-x}}{\sqrt{8-(3+5-x)}+\sqrt{3+5-x}} \, dx$
$I = \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{8-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{8-x}} \, dx$
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{8-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{8-x}} \, dx$
$2I = \int_{3}^{5} 1 \, dx$
$2I = [x]_{3}^{5} = 5 - 3 = 2$
$I = 1$

(A) माना $I = \int_0^1 \tan^{-1}(1-x+x^2) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^1 \tan^{-1}(1-(1-x)+(1-x)^2) dx$
$I = \int_0^1 \tan^{-1}(x^2-x+1) dx$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(1-x+x^2) = \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(1-x)$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$I = \int_0^1 \tan^{-1}(x) dx + \int_0^1 \tan^{-1}(1-x) dx$.
चूंकि $\int_0^1 \tan^{-1}(x) dx = \int_0^1 \tan^{-1}(1-x) dx$,इसलिए:
$I = 2 \int_0^1 \tan^{-1}(x) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int \tan^{-1}(x) dx = x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \log(1+x^2)$.
$0$ से $1$ तक सीमाएं रखने पर:
$I = 2 [x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \log(1+x^2)]_0^1$
$I = 2 [ (1 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2) - 0 ] = \frac{\pi}{2} - \log 2$.

(D) माना $I = \int_0^1 \log \left(\frac{1-x}{x}\right) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^1 \log \left(\frac{1-(1-x)}{1-x}\right) dx = \int_0^1 \log \left(\frac{x}{1-x}\right) dx$.
$I = \int_0^1 \log \left(\left(\frac{1-x}{x}\right)^{-1}\right) dx = -\int_0^1 \log \left(\frac{1-x}{x}\right) dx$.
$I = -I$.
$2I = 0$,जिसका अर्थ है कि $I = 0$.

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx$.
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x dx$.
माना $f(x) = \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x$.
तब $f(-x) = \log \left(\frac{\pi-(-x)}{\pi+(-x)}\right) \cdot \cos(-x) = \log \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cdot \cos x = \log \left(\left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right)^{-1}\right) \cdot \cos x = -\log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x = -f(x)$.
चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = 0$.
अतः,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \cdot \frac{(\pi/2)^3}{3} = 2 \cdot \frac{\pi^3}{8 \cdot 3} = \frac{\pi^3}{12}$.