MHT CET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) किसी संयुक्त कथन का द्वैत ज्ञात करने के लिए,हम $\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से,$t$ (पुनरुक्ति) को $c$ (विरोधाभास) से और $c$ को $t$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
दिया गया कथन: $\sim p \wedge (q \vee c)$।
$\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से और $c$ को $t$ से बदलने पर:
द्वैत $\sim p \vee (q \wedge t)$ प्राप्त होता है।

(C) पुनरुक्ति (tautology) एक ऐसा कथन पैटर्न है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करें:
$(A) \ p \vee (q \rightarrow p) \equiv p \vee (\sim q \vee p) \equiv p \vee \sim q$. यह एक पुनरुक्ति नहीं है क्योंकि जब $p$ का मान $F$ और $q$ का मान $T$ होता है,तो यह असत्य हो जाता है।
$(B) \ \sim q \rightarrow \sim p \equiv q \vee \sim p$. यह एक पुनरुक्ति नहीं है क्योंकि जब $q$ का मान $F$ और $p$ का मान $T$ होता है,तो यह असत्य हो जाता है।
$(D) \ p \wedge \sim p \equiv F$. यह एक विरोधाभास है।
$(C) \ (q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$. सत्यता सारणी का निर्माण करने पर:

$p, q$	$(q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$
$T, T$	$T \vee (F \leftrightarrow T) = T \vee F = T$
$T, F$	$T \vee (F \leftrightarrow F) = T \vee T = T$
$F, T$	$F \vee (T \leftrightarrow T) = F \vee T = T$
$F, F$	$T \vee (T \leftrightarrow F) = T \vee F = T$

चूंकि परिणाम हमेशा $T$ है,इसलिए विकल्प $(C)$ एक पुनरुक्ति है।

(B) हम $(\sim p \wedge q)$ के समतुल्य विकल्प खोजने के लिए दिए गए विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं।
विकल्प $B$ पर विचार करें: $(p \vee q) \wedge \sim p$।
वितरण नियम (Distributive Law) के अनुसार,यह $(p \wedge \sim p) \vee (q \wedge \sim p)$ के बराबर है।
चूंकि $(p \wedge \sim p) = F$ (पूरक नियम),इसलिए हमारे पास $F \vee (q \wedge \sim p)$ है।
तत्समक नियम (Identity Law) के अनुसार,$F \vee (q \wedge \sim p) = (q \wedge \sim p)$।
क्रमविनिमेय नियम (Commutative Law) के अनुसार,$(q \wedge \sim p) = (\sim p \wedge q)$।
अतः,कथन पैटर्न $(\sim p \wedge q)$ तार्किक रूप से $(p \vee q) \wedge \sim p$ के समतुल्य है।

(A) दिया गया समीकरण $px^2 - qy^2 = 0$ है।
इसे व्यापक समघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = p$,$h = 0$,और $b = -q$ प्राप्त होता है।
रेखाएँ वास्तविक और भिन्न होती हैं यदि $h^2 - ab > 0$ हो।
मान रखने पर,हमें $0^2 - (p)(-q) > 0$ प्राप्त होता है।
अतः $pq > 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $K x^2 + 5 x y + y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $a x^2 + 2 h x y + b y^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = K$,$2h = 5$,और $b = 1$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं।
तब,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -5$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = K$ होगा।
यह दिया गया है कि प्रवणताओं का अंतर $1$ है,अर्थात $|m_1 - m_2| = 1$ है।
सर्वसमिका $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4 m_1 m_2$ का उपयोग करने पर:
$1^2 = (-5)^2 - 4(K)$.
$1 = 25 - 4K$.
$4K = 24$.
$K = 6$.

(D) माना $O(0,0), A(1,2), B(3,4)$ हैं।
$1$. $O$ से $AB$ पर माध्यिका:
$AB$ का मध्य-बिंदु $D = (\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2,3)$ है।
$O(0,0)$ और $D(2,3)$ से गुजरने वाली माध्यिका $OD$ का समीकरण $y = \frac{3}{2}x$ है,जो $3x - 2y = 0$ हो जाता है।
$2$. $O$ से $AB$ पर शीर्षलंब:
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{4-2}{3-1} = 1$ है।
शीर्षलंब $OP$ की ढाल $m_{OP} = -\frac{1}{m_{AB}} = -1$ है।
$O(0,0)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा $OP$ का समीकरण $y = -x$ है,जो $x + y = 0$ हो जाता है।
$3$. संयुक्त समीकरण:
शीर्षलंब और माध्यिका का संयुक्त समीकरण $(3x - 2y)(x + y) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$3x^2 + 3xy - 2xy - 2y^2 = 0$,अर्थात $3x^2 + xy - 2y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2 C$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,हमें प्राप्त होता है $\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(\frac{a}{2R})^2 + (\frac{b}{2R})^2 = (\frac{c}{2R})^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = c^2$।
यह दर्शाता है कि $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $c = l(AB) = 10$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $Area = \frac{1}{2}ab$ है।
चूंकि $c = 10$,इसलिए $a = 10 \sin A$ और $b = 10 \cos A$ है।
$Area = \frac{1}{2}(10 \sin A)(10 \cos A) = 50 \sin A \cos A = 25 \sin(2A)$।
$\sin(2A)$ का अधिकतम मान $1$ है (जब $2A = 90^{\circ}$ या $A = 45^{\circ}$)।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $25 \times 1 = 25$ है।

(D) मान लीजिए $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$.
माध्यिका $AD$ के दिक-अनुपात $D$ और $A$ के निर्देशांकों के अंतर द्वारा प्राप्त होते हैं:
$AD = \left( \frac{\lambda - 1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu + 2}{2} - 5 \right) = \left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$.
चूंकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए इसके दिक-अनुपात $(1, 1, 1)$ या $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ के अनुपात में होने चाहिए।
अतः,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \implies \lambda - 5 = 2 \implies \lambda = 7$.
$\frac{\mu - 8}{2} = 1 \implies \mu - 8 = 2 \implies \mu = 10$.
इसलिए,$\lambda = 7$ और $\mu = 10$ है।

(D) समत्रिभाजन बिंदु रेखाखंड $AB$ को $1:2$ और $2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करते हैं।
मान लीजिए बिंदु $P$ और $Q$ हैं,जहाँ $P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में और $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का $z$-निर्देशांक $\frac{mz_2 + nz_1}{m+n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$z_1$ के लिए (अनुपात $1:2$):
$z_1 = \frac{1(6) + 2(4)}{1 + 2} = \frac{6 + 8}{3} = \frac{14}{3}$.
$z_2$ के लिए (अनुपात $2:1$):
$z_2 = \frac{2(6) + 1(4)}{2 + 1} = \frac{12 + 4}{3} = \frac{16}{3}$.
अतः,$z_1 + z_2 = \frac{14}{3} + \frac{16}{3} = \frac{30}{3} = 10$.

(D) दिया गया समीकरण $\tan 2\theta = 1$ है।
चूंकि $\tan 2\theta$ धनात्मक है,इसलिए $2\theta$ प्रथम या तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
मुख्य हलों के लिए,हम $0 \le \theta < 2\pi$ पर विचार करते हैं,जिसका अर्थ है $0 \le 2\theta < 4\pi$।
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,यहाँ $4$ मुख्य हल मौजूद हैं।

(C) दिया गया वक्र $y = \sqrt{x - 1}$ है।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$ है।
रेखा का समीकरण $2x + y - 5 = 0$ है,जिसे $y = -2x + 5$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_2 = -2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के लंबवत है,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$।
मान रखने पर,$\left(\frac{1}{2\sqrt{x - 1}}\right) \times (-2) = -1$।
इसे सरल करने पर $\frac{-1}{\sqrt{x - 1}} = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{x - 1} = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x - 1 = 1$,अतः $x = 2$।
$x = 2$ को वक्र के समीकरण में रखने पर,$y = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(2, 1)$ है।

(A) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है। समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 4 \pi \ cm^3/sec$,इसलिए $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = 4 \pi$,जिसका अर्थ है $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$।
जब आयतन $V = 288 \pi \ cm^3$ है,तो $\frac{4}{3} \pi r^3 = 288 \pi$,इसलिए $r^3 = 216$,जिसका अर्थ है $r = 6 \ cm$।
अब,पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है। समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$ रखने पर,$\frac{dA}{dt} = 8 \pi r \times \frac{1}{r^2} = \frac{8 \pi}{r}$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ के लिए,$\frac{dA}{dt} = \frac{8 \pi}{6} = \frac{4}{3} \pi \ cm^2/sec$।

(C) मान लीजिए $Z = ax + by$ उद्देश्य फलन है।
रैखिक प्रोग्रामिंग के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए इष्टतम समाधान मौजूद है,तो यह सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं (शीर्षों) में से किसी एक पर अवश्य होता है।
भले ही इष्टतम मान एक से अधिक बिंदुओं पर प्राप्त हो,लेकिन यह गारंटी है कि यह कम से कम एक कोणीय बिंदु पर प्राप्त होगा।
अतः,उद्देश्य फलन अपना इष्टतम मान कम से कम एक कोणीय बिंदु पर प्राप्त करता है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \Rightarrow 1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
यह पुष्टि करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज या $f'(x)$ के चिह्न परिवर्तन की जाँच करते हैं। चूँकि $x < e$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > e$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए $x = e$ स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(D) यह क्षेत्र $y=3x+1$ (ऊपरी रेखा),$y=2x+1$ (निचली रेखा) और $x=4$ द्वारा घिरा हुआ है। ये रेखाएं $x=0$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,जहाँ $y=1$ है। अतः,त्रिभुज के शीर्ष $(0, 1)$,$(4, 9)$ और $(4, 13)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$ की गणना समाकलन का उपयोग करके की जा सकती है:
$A = \int_{0}^{4} [(3x+1) - (2x+1)] \, dx$
$A = \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{16}{2} - 0 = 8 \text{ वर्ग इकाई}$.
वैकल्पिक रूप से,$x=4$ रेखा पर आधार वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए:
आधार की लंबाई $= 13 - 9 = 4$.
ऊंचाई $= 4 - 0 = 4$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) उद्देश्य फलन $Z = 4 x_1 + 5 x_2$ है।
प्रतिबंध इस प्रकार हैं:
$1) 2 x_1 + x_2 \geq 7$
$2) 2 x_1 + 3 x_2 \leq 15$
$3) x_2 \leq 3$
$4) x_1, x_2 \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$2 x_1 + x_2 = 7$ के लिए,अंतःखंड $(3.5, 0)$ और $(0, 7)$ हैं।
$2 x_1 + 3 x_2 = 15$ के लिए,अंतःखंड $(7.5, 0)$ और $(0, 5)$ हैं।
रेखा $x_2 = 3$ एक क्षैतिज रेखा है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं को हल करने पर:
- $2 x_1 + x_2 = 7$ और $x_2 = 3$ का प्रतिच्छेदन: $2 x_1 + 3 = 7 \implies 2 x_1 = 4 \implies x_1 = 2$. बिंदु: $(2, 3)$.
- $2 x_1 + 3 x_2 = 15$ और $x_2 = 3$ का प्रतिच्छेदन: $2 x_1 + 9 = 15 \implies 2 x_1 = 6 \implies x_1 = 3$. बिंदु: $(3, 3)$.
- $x_1$-अक्ष पर अंतःखंड $(3.5, 0)$ और $(7.5, 0)$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(3.5, 0), (7.5, 0), (3, 3), (2, 3)$ हैं।
इन बिंदुओं पर $Z = 4 x_1 + 5 x_2$ का मान ज्ञात करने पर:

कोणीय बिंदु	$Z = 4 x_1 + 5 x_2$
$(3.5, 0)$	$4(3.5) + 5(0) = 14$
$(7.5, 0)$	$4(7.5) + 5(0) = 30$
$(3, 3)$	$4(3) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$(2, 3)$	$4(2) + 5(3) = 8 + 15 = 23$

$Z$ का न्यूनतम मान $14$ है,जो बिंदु $(3.5, 0)$ पर प्राप्त होता है। चूँकि $x_2$-निर्देशांक $0$ है,इसलिए यह बिंदु $x_1$-अक्ष पर स्थित है।

(A) $x = 0$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} x = 0$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$
$f(0) = 0$
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता:
बायां अवकलज $(LHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h - 0}{-h} = 1$
दायां अवकलज $(RHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{0 - 0}{h} = 0$
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
निष्कर्ष: फलन $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(B) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
$K = \lim_{x \to 0} \log(\sec^2 x)^{\cot^2 x}$
गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर:
$K = \lim_{x \to 0} \cot^2 x \cdot \log(\sec^2 x)$
चूंकि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$,इसलिए:
$K = \lim_{x \to 0} \cot^2 x \cdot \log(1 + \tan^2 x)$
$K = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + \tan^2 x)}{\tan^2 x}$
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \tan^2 x$ जब $x \to 0$:
$K = 1$.

(C) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
दिया गया है $f(0) = K$,अतः $K = \lim_{x \to 0} [\tan(\frac{\pi}{4} + x)]^{\frac{1}{x}}$.
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ का उपयोग करने पर:
$K = \lim_{x \to 0} (\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x})^{\frac{1}{x}}$.
यह $1^{\infty}$ का रूप है,इसलिए हम $\lim_{x \to 0} (1 + g(x))^{h(x)} = e^{\lim_{x \to 0} g(x)h(x)}$ सूत्र का उपयोग करेंगे।
$K = \lim_{x \to 0} [1 + (\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1)]^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} [1 + \frac{2 \tan x}{1 - \tan x}]^{\frac{1}{x}}$.
$K = e^{\lim_{x \to 0} (\frac{2 \tan x}{1 - \tan x} \cdot \frac{1}{x})}$.
चूंकि $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,इसलिए:
$K = e^{\lim_{x \to 0} (\frac{2}{1 - \tan x} \cdot 1)} = e^{\frac{2}{1 - 0}} = e^{2}$.

(D) हमें दिया गया है कि $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx = \frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)$।
हमें $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sec x \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,इसलिए $\log \sec x = \log \left(\frac{1}{\cos x}\right) = \log 1 - \log \cos x = -\log \cos x$ होता है।
अतः,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} -\log \cos x \, dx$।
$I = -\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx$।
दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर,$I = -\left[\frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)\right]$।
चूंकि $\log \left(\frac{1}{2}\right) = \log (2^{-1}) = -\log 2$,इसलिए $I = -\left[\frac{\pi}{2} (-\log 2)\right] = \frac{\pi}{2} \log 2$ प्राप्त होता है।

(B) खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. मान लीजिए $u = \tan^{-1} x$ और $dv = x \, dx$. तब $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$.
$\int_0^1 x \tan^{-1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2(1+x^2)} \, dx$
$= \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 \right) - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2+1-1}{1+x^2} \, dx$
$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) \, dx$
$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left[ x - \tan^{-1} x \right]_0^1$
$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left( (1 - \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) \right)$
$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

(A) यह समाकलन $\int_0^3 [x] \, dx$ के रूप में परिभाषित है।
चूंकि $[x]$ प्रत्येक पूर्णांक पर अपना मान बदलता है,हम समाकलन को अंतरालों में विभाजित करते हैं:
$\int_0^3 [x] \, dx = \int_0^1 [x] \, dx + \int_1^2 [x] \, dx + \int_2^3 [x] \, dx$
अंतराल $[0, 1)$ में,$[x] = 0$ है।
अंतराल $[1, 2)$ में,$[x] = 1$ है।
अंतराल $[2, 3)$ में,$[x] = 2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx + \int_2^3 2 \, dx$
$= 0 + [x]_1^2 + [2x]_2^3$
$= (2 - 1) + (6 - 4)$
$= 1 + 2 = 3$.

(A) $y$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $(x - 0)^2 = 4a(y - k)$ है,जहाँ $a$ और $k$ स्वेच्छ अचर हैं।
इसे सरल करने पर $x^2 = 4ay - 4ak$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow x = 2a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{1}{2a} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dx}$
स्वेच्छ अचर $a$ को हटाने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2a} \right)$
बाएँ पक्ष में गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{x} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( - \frac{1}{x^2} \right) = 0$
पूरे समीकरण को $x^2$ से गुणा करने पर:
$x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \tan \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{x}$.
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \tan v + v$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर:
$x \frac{dv}{dx} = \tan v$.
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}$,अर्थात $\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cot v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\log |\sin v| = \log |x| + \log |c|$.
$\log |\sin v| = \log |cx|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\sin v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = cx$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x dy + 2y dx = 0$ है।
$xy$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{y} + \frac{2 dx}{x} = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} + 2 \int \frac{dx}{x} = \int 0$।
इससे $\ln|y| + 2 \ln|x| = C_1$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\ln|y| + \ln|x^2| = C_1$,जिसका अर्थ है $\ln|yx^2| = C_1$।
अतः,$yx^2 = e^{C_1} = C$।
दिया गया है कि $x = 2$ और $y = 1$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1)(2)^2 = C$,इसलिए $C = 4$।
अतः,विशिष्ट हल $x^2 y = 4$ है।

(C) दिए गए समीकरण $x = a (t - 1/t)$ और $y = a (t + 1/t)$ हैं।
समीकरणों का वर्ग करके घटाने पर:
$y^2 - x^2 = a^2 [(t + 1/t)^2 - (t - 1/t)^2]$
सर्वसमिका $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ का उपयोग करने पर:
$y^2 - x^2 = a^2 [4 \cdot t \cdot (1/t)] = 4a^2$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$d/dx (y^2 - x^2) = d/dx (4a^2)$
$2y (dy/dx) - 2x = 0$
$2y (dy/dx) = 2x$
अतः,$dy/dx = x/y$.

(A) दिया गया है $x=f(t)$ और $y=g(t)$.
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = f^{\prime}(t)$ और $\frac{dy}{dt} = g^{\prime}(t)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}$.
अब,$\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करने के लिए $\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)} \right) \cdot \frac{dt}{dx}$.
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$= \frac{f^{\prime}(t) \cdot g^{\prime \prime}(t) - g^{\prime}(t) \cdot f^{\prime \prime}(t)}{\left[f^{\prime}(t)\right]^2} \cdot \frac{1}{f^{\prime}(t)}$.
$= \frac{f^{\prime}(t) \cdot g^{\prime \prime}(t) - g^{\prime}(t) \cdot f^{\prime \prime}(t)}{\left[f^{\prime}(t)\right]^3}$.

(A) दिया गया है कि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम फलन है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होगा।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ प्राप्त होता है।
हमें $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^4}$ दिया गया है।
$f^{\prime}(x)$ के व्यंजक में $x$ के स्थान पर $g(x)$ रखने पर,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1+[g(x)]^4}$ प्राप्त होता है।
इस मान को अवकलित समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{1+[g(x)]^4} \cdot g^{\prime}(x) = 1$।
अतः,$g^{\prime}(x) = 1+[g(x)]^4$ होगा।

(B) $I = \int \frac{\sec^{8} x}{\text{cosec} x} dx$
चूँकि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ और $\text{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,इसलिए:
$I = \int \frac{\sin x}{\cos^{8} x} dx$
मान लीजिए $u = \cos x$,तब $du = -\sin x dx$,जिसका अर्थ है $\sin x dx = -du$.
समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int -\frac{du}{u^{8}} = -\int u^{-8} du$
घात नियम $\int u^{n} du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$I = -\left( \frac{u^{-7}}{-7} \right) + c = \frac{1}{7u^{7}} + c$
$u = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{7 \cos^{7} x} + c = \frac{\sec^{7} x}{7} + c$

(D) $\int \sqrt{\frac{x - 5}{x - 7}} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $\sqrt{x - 5}$ से गुणा करते हैं:
$\int \frac{x - 5}{\sqrt{(x - 5)(x - 7)}} dx = \int \frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx$
अब,अंश को द्विघात व्यंजक $x^2 - 12x + 35$ के अवकलज $2x - 12$ के रूप में व्यक्त करते हैं:
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x - 10}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x - 12 + 2}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x - 12}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx$
$= \sqrt{x^2 - 12x + 35} + \int \frac{1}{\sqrt{(x - 6)^2 - 1}} dx$
मानक समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^2}} dt = \log |t + \sqrt{t^2 - a^2}|$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt{x^2 - 12x + 35} + \log |x - 6 + \sqrt{(x - 6)^2 - 1}| + C$
$= 1 \cdot \sqrt{x^2 - 12x + 35} + \log |x - 6 + \sqrt{x^2 - 12x + 35}| + C$
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 1$ प्राप्त होता है।

(A) हम समाकल्य को विभाजित करने के लिए आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं: $\frac{1}{(x^{2} + 4)(x^{2} + 9)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 9} \right)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{(x^{2} + 4)(x^{2} + 9)} dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{2} + 2^{2}} dx - \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{2} + 3^{2}} dx$.
मानक सूत्र $\int \frac{1}{x^{2} + a^{2}} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{x}{2} \right) - \frac{1}{5} \left( \frac{1}{3} \tan^{-1} \frac{x}{3} \right) + C$.
$= \frac{1}{10} \tan^{-1} \frac{x}{2} - \frac{1}{15} \tan^{-1} \frac{x}{3} + C$.
इसकी तुलना $A \tan^{-1} \frac{x}{2} + B \tan^{-1} \frac{x}{3} + C$ से करने पर,हमें $A = \frac{1}{10}$ और $B = -\frac{1}{15}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A - B = \frac{1}{10} - (-\frac{1}{15}) = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.

(A) हमें समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{9-16 x^2}} d x$ दिया गया है।
हर को $\sqrt{3^2-(4 x)^2}$ के रूप में लिखें।
मानक सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-u^2}} d u = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 4x$ और $du = 4 dx$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{1}{\sqrt{3^2-(4 x)^2}} d x = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{3^2-(4 x)^2}} d(4x) = \frac{1}{4} \sin^{-1}(\frac{4x}{3}) + c$।
इसकी तुलना $\alpha \sin^{-1}(\beta x) + c$ से करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,$\alpha + \frac{1}{\beta} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4/3} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$ की गणना करें।

(A) हमें व्यंजक $\cos ^{-1}\left(\cot \left(\frac{\pi}{2}\right)\right)+\cos ^{-1}\left(\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)$ दिया गया है।
सबसे पहले,आंतरिक त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करें:
$\cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
$\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right) = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\cos ^{-1}(0) + \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ और $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
इन मानों को जोड़ने पर:
$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + \pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

(C) हमें दिया गया है कि $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$ है।
इसे $A(\operatorname{adj} A) = 10 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 10I$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $I$ एक $2 \times 2$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
हम जानते हैं कि आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का मूलभूत गुणधर्म $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $|A|I = 10I$ प्राप्त होता है।
अतः,$|A| = 10$।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = 1(3(-1) - 0(2)) - 0 + 0 = -3$ की गणना करें।
इसके बाद,सहखंडज आव्यूह (cofactor matrix) $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = -3, C_{12} = 3, C_{13} = -9$.
$C_{21} = 0, C_{22} = -1, C_{23} = -2$.
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = 3$.
अतः,$\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A) = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.

(D) माना $A = \begin{bmatrix} \alpha & 14 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ है।
किसी आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम तब अस्तित्व में नहीं होता है जब उसका सारणिक (determinant) शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$ हो।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = \alpha(3 \times 3 - 1 \times 2) - 14(2 \times 3 - 1 \times 6) + (-1)(2 \times 2 - 3 \times 6)$
$|A| = \alpha(9 - 2) - 14(6 - 6) - 1(4 - 18)$
$|A| = \alpha(7) - 14(0) - 1(-14)$
$|A| = 7\alpha + 14$
व्युत्क्रम के अस्तित्व में न होने के लिए $|A| = 0$ रखने पर:
$7\alpha + 14 = 0$
$7\alpha = -14$
$\alpha = -2$
अतः,$\alpha$ का मान $-2$ है।

(C) माना $X$ एक निष्पक्ष सिक्के को $3$ बार उछालने पर चितों की संख्या है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3$ हैं।
द्विपद वितरण $B(n=3, p=0.5)$ के अनुसार:
$P(X=0) = \frac{1}{8}, P(X=1) = \frac{3}{8}, P(X=2) = \frac{3}{8}, P(X=3) = \frac{1}{8}$
लाभ $Y = 2X$ है। अपेक्षित लाभ $E[Y] = 2E[X]$ है।
द्विपद वितरण के लिए $E[X] = np = 3 \times 0.5 = 1.5$ है।
अतः,$E[Y] = 2 \times 1.5 = 3$।

(B) मान लीजिए कि किसी व्यक्ति में प्रतिरक्षा विकसित होने की प्रायिकता $p$ है,इसलिए $p = 0.8$ है।
चूंकि $8$ अलग-अलग लोगों में प्रतिरक्षा विकसित होने की घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए सभी $8$ लोगों में प्रतिरक्षा विकसित होने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होगी।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $p \times p \times p \times p \times p \times p \times p \times p = (0.8)^8$ है।

(A) प्रायिकता $P(3 < X \leq 5)$ का मान $F(5) - F(3)$ द्वारा प्राप्त होता है।
दी गई तालिका से:
$F(5) = 0.85$
$F(3) = 0.48$
अतः,$P(3 < X \leq 5) = F(5) - F(3) = 0.85 - 0.48 = 0.37$।

(D) $x$ : खराब पेन की संख्या।
बॉक्स से दो पेन लिए जाते हैं।
इसलिए,$x$ के मान $0, 1, 2$ हो सकते हैं।
$P(x=0) = \frac{{}^4C_2}{{}^6C_2} = \frac{6}{15}$
$P(x=1) = \frac{{}^2C_1 \times {}^4C_1}{{}^6C_2} = \frac{8}{15}$
$P(x=2) = \frac{{}^2C_2}{{}^6C_2} = \frac{1}{15}$

$x_i$	$P(x_i)$	$x_i P(x_i)$	$x_i^2 P(x_i)$
$0$	$\frac{6}{15}$	$0$	$0$
$1$	$\frac{8}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{8}{15}$
$2$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{4}{15}$

$E(x) = \sum x_i P(x_i) = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
$E(x^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0 + \frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$
$\text{प्रसरण}(x) = E(x^2) - [E(x)]^2 = \frac{4}{5} - (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{5} - \frac{4}{9} = \frac{36-20}{45} = \frac{16}{45}$
$\text{मानक विचलन} = \sqrt{\text{प्रसरण}(x)} = \sqrt{\frac{16}{45}} = \frac{4}{3 \sqrt{5}}$

(B) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $E(X) = np = 18$ है और प्रसरण $Var(X) = npq = 12$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $\frac{npq}{np} = \frac{12}{18}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $q = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ होगा।
$p = \frac{1}{3}$ का मान माध्य के समीकरण $np = 18$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{3} = 18$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 54$।
यादृच्छिक चर $X$ का मान $0, 1, 2, \dots, n$ तक हो सकता है।
अतः,$X$ के संभावित मान $0, 1, 2, \dots, 54$ हैं।
इन मानों की कुल संख्या $n + 1 = 54 + 1 = 55$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^2 + 5|x| - 6 = 0$.
चूंकि $x^2 = |x|^2$,हम लिख सकते हैं: $|x|^2 + 5|x| - 6 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(|x| + 6)(|x| - 1) = 0$.
इससे $|x| = 1$ या $|x| = -6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|x|$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|x| = 1$,जिसका अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$।
मान लीजिए $\alpha = 1$ और $\beta = -1$।
अतः,$|\tan^{-1} \alpha - \tan^{-1} \beta| = |\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)|$.
$= |\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})| = |\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}| = |\frac{\pi}{2}| = \frac{\pi}{2}$.

(B) मान लीजिए कि पहली रेखा $L_1$ पर एक सामान्य बिंदु $P(r)$ है।
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{4} = r$
$x = 2r + 1, y = 2r - 1, z = 4r + 1$
अतः,$P = (2r + 1, 2r - 1, 4r + 1)$।
चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,यह बिंदु दूसरी रेखा $L_2$ के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{2} = \frac{z}{1} = k$।
$P$ के निर्देशांकों को $L_2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2r + 1 - 3}{1} = \frac{2r - 1 - 6}{2} = \frac{4r + 1}{1}$
$\frac{2r - 2}{1} = \frac{2r - 7}{2} = 4r + 1$
पहले और तीसरे भाग को लेने पर: $2r - 2 = 4r + 1 \Rightarrow -3 = 2r \Rightarrow r = -\frac{3}{2}$।
अब,$r = -\frac{3}{2}$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-\frac{3}{2}) + 1 = -3 + 1 = -2$
$y = 2(-\frac{3}{2}) - 1 = -3 - 1 = -4$
$z = 4(-\frac{3}{2}) + 1 = -6 + 1 = -5$
अतः,प्रतिच्छेद बिंदु $(-2, -4, -5)$ है।

(A) $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और दिक-अनुपात $(a, b, c)$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
यहाँ रेखा $(-3, 2, -5)$ से गुजरती है,इसलिए $x_1 = -3, y_1 = 2, z_1 = -5$ है।
चूंकि रेखा धनात्मक निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए दिक-कोज्याएँ $(l, m, n)$ समान होंगी,अर्थात $l = m = n$ है।
अतः,दिक-अनुपात $a = 1, b = 1, c = 1$ लिए जा सकते हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x - (-3)}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - (-5)}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x+3}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+5}{1}$ है।

(A) समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}) = 13$ है,जिसे कार्तीय रूप में $3x + 2y + 6z - 13 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, \lambda)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $ax + by + cz + d = 0$ से दूरी $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$5 = \left| \frac{3(2) + 2(3) + 6(\lambda) - 13}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6 + 6 + 6\lambda - 13}{\sqrt{9 + 4 + 36}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6\lambda - 1}{\sqrt{49}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6\lambda - 1}{7} \right|$.
$35 = |6\lambda - 1|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $6\lambda - 1 = 35$ या $6\lambda - 1 = -35$.
स्थिति $1$: $6\lambda = 36 \implies \lambda = 6$.
स्थिति $2$: $6\lambda = -34 \implies \lambda = -\frac{34}{6} = -\frac{17}{3}$.
अतः,$\lambda = 6, -\frac{17}{3}$.

(A) एक बिंदु जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}$ है,से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के लंबवत समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान न्यून कोण बनाता है,इसलिए इसकी दिक्-कोज्याएँ समान हैं,अर्थात $l = m = n$। $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होने के कारण,हमें $3l^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इस प्रकार,अभिलंब सदिश को $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ लिया जा सकता है।
दिया गया बिंदु $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ में मान रखने पर:
$\vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (-\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$
$= (-1)(1) + (1)(1) + (2)(1) = -1 + 1 + 2 = 2$.
अतः,समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2$ है।

(C) दो समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{n}_1 = m\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2\hat{i} - m\hat{j} + \hat{k}$ है।
कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\cos \theta = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (m)(2) + (-1)(-m) + (2)(1) = 3m + 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{m^2 + 5}$ और $|\vec{n}_2| = \sqrt{m^2 + 5}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \left| \frac{3m + 2}{m^2 + 5} \right|$.
इस समीकरण को हल करने पर $m=3$ प्राप्त होता है यदि $\vec{n}_2$ में पद $- \hat{k}$ हो।

(C) एक सदिश $\vec{r}$ के निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुके होने के लिए, दिक्-कोसाइन को $|l| = |m| = |n|$ को संतुष्ट करना चाहिए।
चूंकि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$, हम $|l| = |m| = |n|$ प्रतिस्थापित करते हैं जिससे $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ प्राप्त होता है।
यह $3l^2 = 1$ में सरल हो जाता है, जिससे $l^2 = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, और $n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
प्रत्येक दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के $2$ संभावित मान $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ हैं।
इसलिए, ऐसे सदिशों की कुल संख्या $2 \times 2 \times 2 = 8$ है।

(C) मान लीजिए बिंदुओं $P, Q, R, S, M, N$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{m}, \vec{n}$ हैं।
चूंकि $M, PQ$ का मध्य बिंदु है,हमारे पास $\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$ है,जिसका अर्थ है $\vec{p} + \vec{q} = 2\vec{m}$।
चूंकि $N, RS$ का मध्य बिंदु है,हमारे पास $\vec{n} = \frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$ है,जिसका अर्थ है $\vec{r} + \vec{s} = 2\vec{n}$।
अब,व्यंजक $\overrightarrow{PS} + \overrightarrow{QR} = (\vec{s} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q})$ पर विचार करें।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(\vec{s} + \vec{r}) - (\vec{p} + \vec{q})$ प्राप्त होता है।
मध्य बिंदुओं से प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\vec{n} - 2\vec{m}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $2(\vec{n} - \vec{m}) = 2\overrightarrow{MN}$ हो जाता है।

(C) यदि बिंदु $O(0,0,0)$,$P(2,3,4)$,$Q(1,2,3)$ और $R(x, y, z)$ समतलीय हैं,तो सदिशों $\vec{OR}$,$\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\implies [\vec{OR} \quad \vec{OP} \quad \vec{OQ}] = 0$
सारणिक रूप का उपयोग करते हुए:
$\left| \begin{array}{ccc} x & y & z \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(3 \times 3 - 4 \times 2) - y(2 \times 3 - 4 \times 1) + z(2 \times 2 - 3 \times 1) = 0$
$x(9 - 8) - y(6 - 4) + z(4 - 3) = 0$
$x(1) - y(2) + z(1) = 0$
$x - 2y + z = 0$
अतः,सही समीकरण $x - 2y + z = 0$ है।