MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) चूँकि $A$,$B$,और $C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
दिया है $P(B) = \frac{3}{2} P(A)$ और $P(C) = \frac{1}{2} P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} P(A) = \frac{3}{4} P(A)$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P(A) + \frac{3}{2} P(A) + \frac{3}{4} P(A) = 1$
हर $4$ लेने पर:
$\frac{4 P(A) + 6 P(A) + 3 P(A)}{4} = 1$
$\frac{13 P(A)}{4} = 1$
$P(A) = \frac{4}{13}$

(D) कुल टिकटें = $9$ हैं। विषम संख्याएँ ${1, 3, 5, 7, 9}$ ($5$ टिकटें) हैं और सम संख्याएँ ${2, 4, 6, 8}$ ($4$ टिकटें) हैं।
स्थिति $1$: अनुक्रम {विषम,सम,विषम} है।
प्रायिकता $P(O_1 \cap E_2 \cap O_3) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{80}{504} = \frac{10}{63}$ है।
स्थिति $2$: अनुक्रम {सम,विषम,सम} है।
प्रायिकता $P(E_1 \cap O_2 \cap E_3) = \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{60}{504} = \frac{5}{42}$ है।
कुल प्रायिकता = $\frac{10}{63} + \frac{5}{42} = \frac{20 + 15}{126} = \frac{35}{126} = \frac{5}{18}$ है।

(A) सबसे पहले,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s$ ज्ञात करें:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta$ है:
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
हम जानते हैं कि क्षेत्रफल का सूत्र $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ है।
मान रखने पर: $84 = \frac{1}{2} \times 14 \times 15 \times \sin A$.
$84 = 105 \sin A$.
$\sin A = \frac{84}{105} = \frac{4}{5}$.

(B) कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = 4^2 + 8^2 - 2(4)(8) \cos 60^{\circ} = 16 + 64 - 64(0.5) = 48$
$c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
साइन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\sin B = \frac{b \sin C}{c} = \frac{8 \sin 60^{\circ}}{4\sqrt{3}} = 1$
अतः,$\angle B = 90^{\circ}$
$\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$
अनुपात $\cos A : \cos C = \cos 30^{\circ} : \cos 60^{\circ} = \sqrt{3} : 1$

(B) दी गई व्यंजक $E = \left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right)$ है।
इसे $E = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$E = \frac{(b+c)+a}{c} \times \frac{(b+c)-a}{b} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{bc}$.
अंश का विस्तार करने पर: $E = \frac{b^2 + c^2 + 2bc - a^2}{bc} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} + 2$.
कोसाइन नियम के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$,इसलिए $b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $E = \frac{2bc \cos A}{bc} + 2 = 2 \cos A + 2$.
चूंकि $A = 30^{\circ}$ दिया गया है,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$E = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 = \sqrt{3} + 2$.

(A) त्रिभुज का परिमाप $P = a + b + c$ है। इसके कोणों के ज्या का माध्य $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ है।
दिया गया है कि $a + b + c = 6 \times \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
इसका अर्थ है कि $2R = 2$,अतः $R = 1$.
चूँकि $a = 2R \sin A$ और $a = 1$,हमारे पास $1 = 2(1) \sin A$ है।
इसलिए,$\sin A = \frac{1}{2}$,जिससे $A = \frac{\pi}{6}$ या $A = \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
ऐसे प्रश्नों के मानक संदर्भ में,हम $A = \frac{\pi}{6}$ चुनते हैं।

(B) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$। चूँकि $A+B+C = 180^{\circ}$,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$।
यदि $a=10, b=9$ है,तो $9^2 = 10^2 + c^2 - 2(10)(c) \cos 60^{\circ} \implies 81 = 100 + c^2 - 10c \implies c^2 - 10c + 19 = 0$।
$c$ के लिए हल करने पर: $c = 5 \pm \sqrt{6}$।
परिमाप $= 10 + 9 + 5 + \sqrt{6} = 24 + \sqrt{6}$।

(B) ज्या (Sine) के नियम का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5}{3/4} = \frac{7}{\sin B}$।
$\frac{20}{3} = \frac{7}{\sin B} \implies \sin B = \frac{21}{20}$।
चूंकि $\sin B$ का मान $\le 1$ होना चाहिए और $\frac{21}{20} > 1$ है,इसलिए ऐसा कोई कोण $B$ संभव नहीं है।
अतः,दिए गए मापदंडों के साथ कोई भी त्रिभुज $ABC$ नहीं बनाया जा सकता है।

(A) चूंकि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$ है।
$A + B + C = 180^{\circ}$ होने के कारण,$3B = 180^{\circ}$,जिससे $B = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k$।
अतः,$\frac{a}{b} \sin 2B + \frac{b}{a} \sin 2A = \frac{\sin A}{\sin B} \sin 2B + \frac{\sin B}{\sin A} \sin 2A = 2 \sin A \cos B + 2 \sin B \cos A = 2 \sin(A + B)$।
चूंकि $A + B = 180^{\circ} - C$,इसलिए $2 \sin(180^{\circ} - C) = 2 \sin C$।
$A+C = 120^{\circ}$ होने के कारण,$2 \sin(A+B) = 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।

(C) दी गई व्यंजक $E = \left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right)$ है।
पदों को सरल करने पर,$E = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$ प्राप्त होता है।
इसे $E = \frac{(b+c)+a}{c} \times \frac{(b+c)-a}{b} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{bc}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अंश का विस्तार करने पर,$E = \frac{b^2+c^2+2bc-a^2}{bc} = \frac{b^2+c^2-a^2}{bc} + 2$ प्राप्त होता है।
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,इसलिए $b^2+c^2-a^2 = 2bc \cos A$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$E = \frac{2bc \cos A}{bc} + 2 = 2 \cos A + 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\angle A = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
अतः,$E = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2 = \sqrt{3} + 2$।

(A) माना $AB = c$,$AC = b$,और $BC = a$ है। माना $\angle BAD = \alpha$ और $\angle CAD = \beta$ है।
$\triangle ABD$ में,ज्या नियम (sine rule) से: $\frac{BD}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \angle ADB} \implies \sin \alpha = \frac{BD \sin \angle ADB}{c}$।
$\triangle ACD$ में,ज्या नियम से: $\frac{CD}{\sin \beta} = \frac{b}{\sin \angle ADC} \implies \sin \beta = \frac{CD \sin \angle ADC}{c}$।
चूंकि $\angle ADB + \angle ADC = \pi$,इसलिए $\sin \angle ADB = \sin \angle ADC$।
अतः,$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{BD}{CD} \cdot \frac{b}{c}$।
दिया है $BD:CD = 1:3$,इसलिए $BD/CD = 1/3$।
$\triangle ABC$ में ज्या नियम से,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies \frac{b}{c} = \frac{\sin(\pi/3)}{\sin(\pi/4)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$।

(A) माना $\frac{b+c}{11} = \frac{c+a}{12} = \frac{a+b}{13} = k$.
तब $b+c = 11k$,$c+a = 12k$,और $a+b = 13k$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर,$2(a+b+c) = 36k$,अतः $a+b+c = 18k$.
$a+b+c = 18k$ में से समीकरणों को घटाने पर:
$a = 18k - 11k = 7k$.
$b = 18k - 12k = 6k$.
$c = 18k - 13k = 5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{5}$.
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{19}{35}$.
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{5}{7}$.
अतः,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{1}{5} : \frac{19}{35} : \frac{5}{7} = 7 : 19 : 25$.

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 6+2\sqrt{3}$,$b = 4\sqrt{3}$,और $c = 2\sqrt{6}$ हैं।
सबसे छोटी भुजा $c = 2\sqrt{6}$ है,इसलिए सबसे छोटा कोण $C$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
गणना करने पर,$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C = \frac{\pi}{6}$।

(D) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a = \sqrt{3}-2$ और $b = \sqrt{3}+2$ हैं,और उनके बीच का कोण $C = 60^{\circ}$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,तीसरी भुजा $c$ इस प्रकार है:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$
$c^2 = (\sqrt{3}-2)^2 + (\sqrt{3}+2)^2 - 2(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2) \cos(60^{\circ})$
$c^2 = (3 + 4 - 4\sqrt{3}) + (3 + 4 + 4\sqrt{3}) - 2(3 - 4) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 7 - 4\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3} - 2(-1) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 14 + 1 = 15$
$c = \sqrt{15}$ इकाइयाँ।

(C) दिए गए घन समीकरण $x^3-11x^2+38x-40=0$ के मूल $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$a+b+c = 11$
$ab+bc+ca = 38$
$abc = 40$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$।
इसे $\frac{\cos A}{a} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$ में प्रतिस्थापित करने पर।
इसी प्रकार,$\frac{\cos B}{b} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}$ और $\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$।
योग करने पर,$\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$।
हम जानते हैं कि $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$।
$11^2 = a^2+b^2+c^2+2(38) \implies 121 = a^2+b^2+c^2+76 \implies a^2+b^2+c^2 = 45$।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{45}{2(40)} = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$ है।

(B) दिया गया है $a \cos B = b \cos A$। ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$2R \sin A \cos B = 2R \sin B \cos A$,जिसका अर्थ है $\sin A \cos B - \cos A \sin B = 0$,इसलिए $\sin(A - B) = 0$।
चूंकि $A$ और $B$ त्रिभुज के कोण हैं,$A = B$,जिसका अर्थ है कि त्रिभुज समद्विबाहु है जहाँ $a = b$ है।
हालाँकि,शर्त $a \cos C \neq c \cos A$ यह दर्शाती है कि $\sin A \cos C \neq \sin C \cos A$,इसलिए $\sin(A - C) \neq 0$,जिसका अर्थ है $A \neq C$।
अतः,त्रिभुज $a = b$ और $a \neq c$ के साथ समद्विबाहु है।
$a, a, c$ भुजाओं वाले समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
आधार $c$ है। ऊंचाई $h = \sqrt{a^2 - (c/2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4a^2 - c^2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times c \times \frac{1}{2} \sqrt{4a^2 - c^2} = \frac{c}{4} \sqrt{4a^2 - c^2}$।

(A) दिया गया समीकरण: $a^4+b^4+c^4-2a^2c^2-2c^2b^2=0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(a^2+b^2-c^2)^2 = 2a^2b^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $a^2+b^2-c^2 = \pm \sqrt{2}ab$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \pm \frac{\sqrt{2}ab}{2ab} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$C = 45^{\circ}$ या $C = 135^{\circ}$.
विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $135^{\circ}$ है।

(A) नेपियर के सादृश्य का उपयोग करते हुए,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
चूंकि $a=5, b=4$,इसलिए $\frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{9}$.
$\cos(A-B) = 2\cos^2\left(\frac{A-B}{2}\right) - 1 = \frac{31}{32}$ से $\cos^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{63}{64}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{63}$,जिसका अर्थ है $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3\sqrt{7}}$.
सूत्र में मान रखने पर,$\frac{1}{3\sqrt{7}} = \frac{1}{9} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$,जिससे $\cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{3}{\sqrt{7}}$ प्राप्त होता है।
अब $\cos C = \frac{1-\tan^2(C/2)}{1+\tan^2(C/2)} = \frac{1-7/9}{1+7/9} = \frac{1}{8}$.
कोसाइन नियम के अनुसार,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 25 + 16 - 2(5)(4)(\frac{1}{8}) = 36$.
अतः,$c = 6$.

(C) दिया गया है $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{c+a}{2a}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{c+a}{2a}$.
अर्ध-कोण सूत्र $\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{s(s-b)}{ac}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ अर्ध-परिमाप है।
अतः,$\frac{s(s-b)}{ac} = \frac{c+a}{2a}$.
दोनों पक्षों को $2ac$ से गुणा करने पर,$2s(s-b) = c(c+a)$.
$2s = a+b+c$ और $s-b = \frac{a+c-b}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(a+b+c) \times \frac{a+c-b}{2} = c(c+a)$.
$(a+c+b)(a+c-b) = 2c(c+a)$.
$(a+c)^2 - b^2 = 2c^2 + 2ac$.
$a^2 + c^2 + 2ac - b^2 = 2c^2 + 2ac$.
$a^2 - b^2 = c^2$.
अतः,$a^2 = b^2 + c^2$.

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a-d$,$a$,और $a+d$ हैं,जहाँ $d > 0$ है। सबसे बड़ी भुजा $a+d = 7$ है।
सबसे बड़ी भुजा के सामने का कोण $120^{\circ}$ है,अतः कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$(a+d)^2 = (a-d)^2 + a^2 - 2a(a-d) \cos(120^{\circ})$.
$a+d=7$ रखने पर,$d = 7-a$ प्राप्त होता है।
$49 = (2a-7)^2 + a^2 + a(2a-7)$.
$49 = 4a^2 - 28a + 49 + a^2 + 2a^2 - 7a$.
$7a^2 - 35a = 0$.
$a=5$ प्राप्त होता है।
भुजाएँ $3, 5, 7$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin(120^{\circ}) = \frac{15 \sqrt{3}}{4} \ m^2$.

(C) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है। दिए गए समीकरण में ये मान रखने पर:
$\frac{2 \cos A}{2R \sin A} + \frac{\cos B}{2R \sin B} + \frac{2 \cos C}{2R \sin C} = \frac{2R \sin A}{(2R \sin B)(2R \sin C)} + \frac{2R \sin B}{(2R \sin C)(2R \sin A)}$
$\frac{1}{R} (\cot A + \frac{1}{2} \cot B + \cot C) = \frac{1}{2R} (\frac{\sin A}{\sin B \sin C} + \frac{\sin B}{\sin C \sin A})$
$2R$ से गुणा करने पर:
$2 \cot A + \cot B + 2 \cot C = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin A \sin B \sin C}$
$\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2(A+B) = \sin^2 C$ का उपयोग करने पर,दायां पक्ष $\frac{\sin^2 C}{\sin A \sin B \sin C} = \frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = \cot B + \cot A$ हो जाता है।
मान रखने पर: $2 \cot A + \cot B + 2 \cot C = \cot B + \cot A$
$\cot A + 2 \cot C = 0$।
त्रिभुज के गुणों के अनुसार,इससे $\angle A = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $(a+b+c)(a+b-c) = 3ab$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$((a+b)+c)((a+b)-c) = 3ab$ प्राप्त होता है।
यह $(a+b)^2 - c^2 = 3ab$ में सरल हो जाता है।
$(a+b)^2$ का विस्तार करने पर,$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = 3ab$ मिलता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a^2 + b^2 - c^2 = ab$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2ab$ से विभाजित करने पर,$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$ मिलता है।
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ होता है।
अतः,$\cos C = \frac{1}{2}$।
चूँकि $\cos C = \frac{1}{2}$,इसलिए $\angle C = \frac{\pi}{3}$ या $60^\circ$ है।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ होता है।
अतः,$p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos A}{p_1} + \frac{\cos B}{p_2} + \frac{\cos C}{p_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$।
ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta}$
$= \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$।
किसी भी त्रिभुज में,$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ होता है।
साथ ही,$\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$,इसलिए $\sin A \sin B \sin C = \frac{\Delta}{2R^2}$।
यह मान रखने पर:
$= \frac{R(4 \cdot \frac{\Delta}{2R^2})}{2\Delta} = \frac{2R \Delta / R^2}{2\Delta} = \frac{1}{R}$।

(A) भुजाएँ $a, b, c$ त्रिघात समीकरण $x^3-11x^2+38x-40=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$a+b+c = 11$
$ab+bc+ca = 38$
$abc = 40$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
अतः,$\frac{\cos A}{a} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$.
इसी प्रकार,$\frac{\cos B}{b} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}$ और $\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$.
इन पदों को जोड़ने पर:
$\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$.
हम जानते हैं कि $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 11^2 - 2(38) = 121 - 76 = 45$.
इसलिए,योग $\frac{45}{2(40)} = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$ है।

(C) माना $\frac{b+c}{11} = \frac{c+a}{12} = \frac{a+b}{13} = k$.
तब $b+c = 11k$,$c+a = 12k$,और $a+b = 13k$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर,$2(a+b+c) = 36k$,अतः $a+b+c = 18k$.
योग से व्यक्तिगत समीकरणों को घटाने पर:
$a = (a+b+c) - (b+c) = 18k - 11k = 7k$.
$b = (a+b+c) - (c+a) = 18k - 12k = 6k$.
$c = (a+b+c) - (a+b) = 18k - 13k = 5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
मान रखने पर: $\cos B = \frac{(7k)^2 + (5k)^2 - (6k)^2}{2(7k)(5k)} = \frac{49k^2 + 25k^2 - 36k^2}{70k^2} = \frac{38k^2}{70k^2} = \frac{19}{35}$.

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $5x$,$12x$,और $13x$ हैं।
चूँकि $5^2 + 12^2 = 13^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 5x \times 12x = 30x^2$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $270$ है,इसलिए $30x^2 = 270$.
$x^2 = 9$,जिसका अर्थ है $x = 3$.
भुजाएँ $5(3) = 15$,$12(3) = 36$,और $13(3) = 39$ हैं।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
त्रिभुज के लिए अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ है।
इनका गुणा करने पर,$\tan \frac{A}{2} \cdot \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)} \cdot \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{s-b}{s}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $s = \frac{a+b+c}{2}$ और $a+c = 2b$ है,इसलिए $s = \frac{2b+b}{2} = \frac{3b}{2}$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$\frac{s-b}{s} = \frac{\frac{3b}{2} - b}{\frac{3b}{2}} = \frac{\frac{b}{2}}{\frac{3b}{2}} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ है।
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{A}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \frac{s}{s-b}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $3b = a + c$,हम जानते हैं कि $2s = a + b + c = 3b + b = 4b$,इसलिए $s = 2b$ है।
$s = 2b$ को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{2b}{2b - b} = \frac{2b}{b} = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{5}{6}$ और $\tan \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{2}{5}$।
सूत्र $\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan \left(\frac{C}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ का उपयोग करते हुए।
इनका गुणा करने पर,$\tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{s-b}{s} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{3}$।
अतः,$3(s-b) = s \implies 3s - 3b = s \implies 2s = 3b$।
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $a+b+c = 3b \implies a+c = 2b$।
यह दर्शाता है कि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं।

(C) त्रिभुज $ABC$ में नेपियर की सादृश्यता (Napier's Analogy) के अनुसार:
$\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$
दिए गए समीकरण $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = x \cot \frac{A}{2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{b-c}{b+c}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) सर्वसमिका $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \frac{s}{s-a}$ का उपयोग करने पर।
दिया गया है कि $3a = b + c$,इसलिए $2s = a + b + c = a + 3a = 4a$,अर्थात $s = 2a$।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \frac{2a}{2a - a} = \frac{2a}{a} = 2$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) अर्ध-कोण सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ का उपयोग करते हुए।
दिया है $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$,ज्या नियम $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर।
तब $\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,$\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$.
अतः,$\frac{b+c}{a} = \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
इसे $\cot \frac{A}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$ के बराबर रखने पर,हमें $\cos \frac{B-C}{2} = \cos \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}$,इसलिए $\cos \frac{B-C}{2} = \sin \frac{B+C}{2}$.
यह दर्शाता है कि $\cos \frac{B-C}{2} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}) = \cos (\frac{A}{2})$.
इससे $\frac{B-C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = \frac{\pi}{2}$,अर्थात त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(A) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$,$\cot \frac{B}{2} = \frac{s(s-b)}{\Delta}$,और $\cot \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{\Delta}$ है।
इनका योग करने पर,$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \frac{s}{\Delta} [(s-a) + (s-b) + (s-c)]$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{s}{\Delta} [3s - (a+b+c)]$ हो जाता है।
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए व्यंजक $\frac{s}{\Delta} [3s - 2s] = \frac{s^2}{\Delta}$ बन जाता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $b \sin C(b \cos C + c \cos B) = 42$ है।
प्रक्षेप नियम (projection rule) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a = b \cos C + c \cos B$ होता है।
इस मान को अभिव्यक्ति में रखने पर,हमें $b \sin C(a) = 42$ प्राप्त होता है।
यह $ab \sin C = 42$ में सरल हो जाता है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल के सूत्र में $ab \sin C = 42$ का मान रखने पर,हमें $\Delta = \frac{1}{2} \times 42 = 21 \text{ वर्ग इकाई}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} = \sin \frac{B}{2}$.
त्रिभुज के गुणों का उपयोग करने पर,यह संबंध $a+c = 3b$ की ओर ले जाता है।
परिमाप $2s = a+b+c = 3b+b = 4b$ होता है।
अतः,$s = 2b$.

(B) त्रिभुज $ABC$ में,हम जानते हैं कि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
अतः,$\cot \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \tan \left(\frac{C}{2}\right)$.
अब,व्यंजक $\tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$ हो जाता है।
नेपियर की सादृश्यता (Napier's Analogy) का उपयोग करते हुए,$\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \left[ \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right) \right] = \frac{a-b}{a+b} \cdot \left[ \tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \cot \left(\frac{C}{2}\right) \right] = \frac{a-b}{a+b} \cdot 1 = \frac{a-b}{a+b}$ प्राप्त होता है।

(A) $\triangle PQR$ में,$\angle R = \frac{\pi}{2}$,अतः $P + Q = \frac{\pi}{2}$ है।
इस प्रकार,$\frac{P+Q}{2} = \frac{\pi}{4}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan \frac{P}{2}$ और $\tan \frac{Q}{2}$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2} = -\frac{b}{a}$ है।
मूलों का गुणनफल: $\tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2} = \frac{c}{a}$ है।
सर्वसमिका $\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \frac{\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2}}{1 - \tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2}}$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $\frac{P+Q}{2} = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
अतः,$1 = \frac{-b/a}{1 - c/a} = \frac{-b/a}{(a-c)/a} = \frac{-b}{a-c}$ है।
$a - c = -b$,जो दर्शाता है कि $a + b = c$ है।

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 10$,$b = 8$ और $c = 6$ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके जाँचें: $a^2 = b^2 + c^2$.
$10^2 = 100$ और $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
चूँकि $100 = 100$,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $a = 10$ है।
समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R$,कर्ण की आधी होती है।
$R = \frac{10}{2} = 5 \ units$.

(B) माना समीकरण $x^2-(a-2)x-a+1=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha + \beta = a-2$
$\alpha \beta = -a+1$
मूलों के वर्गों का योग $S = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ है।
मान रखने पर:
$S = (a-2)^2 - 2(-a+1)$
$S = a^2 - 4a + 4 + 2a - 2$
$S = a^2 - 2a + 2$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$S = (a^2 - 2a + 1) + 1 = (a-1)^2 + 1$
व्यंजक $(a-1)^2 + 1$ का न्यूनतम मान तब होता है जब $(a-1)^2 = 0$ हो,जिसका अर्थ है $a = 1$।
अतः,'$a$' का मान $1$ है।

(B) त्रिभुज $ABC$ में $A$ पर समकोण है,अतः $B+C = 90^\circ$,इसलिए $\frac{B+C}{2} = 45^\circ$ है।
चूंकि $\tan \frac{B}{2}$ और $\tan \frac{C}{2}$ समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं,मूलों का योग $\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{c}{a}$ है।
सर्वसमिका $\tan(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}) = \frac{\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}}{1 - \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}}$ का उपयोग करते हुए,$\tan 45^\circ = 1$ रखने पर:
$1 = \frac{-b/a}{1 - c/a} = \frac{-b}{a-c}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $a-c = -b$,अर्थात $a+b=c$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = 2x^3 + mx^2 - 13x + n = 0$। चूँकि $2$ और $3$ मूल हैं,इसलिए $f(2) = 0$ और $f(3) = 0$ होगा।
$x = 2$ के लिए: $2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0 \implies 16 + 4m - 26 + n = 0 \implies 4m + n = 10$।
$x = 3$ के लिए: $2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0 \implies 54 + 9m - 39 + n = 0 \implies 9m + n = -15$।
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: $(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10 \implies 5m = -25 \implies m = -5$।
$m = -5$ को $4m + n = 10$ में रखने पर: $4(-5) + n = 10 \implies -20 + n = 10 \implies n = 30$।
हमें $4m + 5n$ का मान ज्ञात करना है: $4(-5) + 5(30) = -20 + 150 = 130$।

(A) $\triangle ABC$ में,चूंकि $\angle B = \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $A + C = \frac{\pi}{2}$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{A}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,$\tan(\frac{A}{2} + \frac{C}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
सूत्र $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}} = 1$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = \tan \frac{A}{2}$ और $\beta = \tan \frac{C}{2}$ समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ और $\alpha \beta = \frac{r}{p}$.
इन मानों को समीकरण $\alpha + \beta = 1 - \alpha \beta$ में रखने पर,हमें $-\frac{q}{p} = 1 - \frac{r}{p}$ प्राप्त होता है।
$p$ से गुणा करने पर,$-q = p - r$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $r = p + q$ या $p + q = r$ हो जाता है।

(C) दिया गया है $x = -2 + i\sqrt{3}$,अतः $x + 2 = i\sqrt{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x + 2)^2 = -3$,जो सरल होकर $x^2 + 4x + 4 = -3$ अर्थात $x^2 + 4x + 7 = 0$ प्राप्त होता है।
अब,बहुपद $P(x) = 2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 38$ को $x^2 + 4x + 7$ से विभाजित करने पर:
$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 38 = (x^2 + 4x + 7)(2x^2 - 3x + 5) + 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x^2 + 4x + 7 = 0$ है,इसलिए व्यंजक का मान:
$P(x) = 0 \times (2x^2 - 3x + 5) + 3 = 3$ होगा।
अतः,सही मान $3$ है।

(B) निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज के लिए सूत्र $A = Pe^{rt}$ है।
यहाँ $P = 400$,$t = 6$ वर्ष के लिए $A = 800$ है।
$800 = 400e^{6r} \implies e^{6r} = 2 \implies 6r = \ln(2) \implies r = \frac{\ln(2)}{6}$.
$33$ वर्षों के अंत में राशि $A$ ज्ञात करने के लिए:
$A = 400e^{33r} = 400e^{33 \times \frac{\ln(2)}{6}} = 400(2^{5.5})$.
$2^{5.5} = 32 \times \sqrt{2} = 32 \times 1.4142 = 45.2544$.
$A = 400 \times 45.2544 = 18101.76$.
अतः,$33$ वर्षों के अंत में राशि ₹ $18101.76$ होगी।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ $G.P.$ में हैं।
अतः,$(\cos \theta)^2 = (\frac{1}{6} \sin \theta) \times (\tan \theta)$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \times \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$\cos^3 \theta = \frac{1}{6} \sin^2 \theta$
$\cos^3 \theta = \frac{1}{6} (1 - \cos^2 \theta)$
$6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$
माना $x = \cos \theta$ है। तब $6x^3 + x^2 - 1 = 0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$x = \frac{1}{2}$ एक मूल है: $6(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - 1 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 1 = 0$।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ है।
व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$ है।

(B) आयत की भुजाएँ $x=8, x=10, y=11$ और $y=12$ रेखाओं द्वारा दी गई हैं।
ये रेखाएँ $(8, 11), (10, 11), (10, 12)$ और $(8, 12)$ शीर्षों वाला एक आयत बनाती हैं।
आयत के विकर्ण उसके मध्य-बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$(8, 11)$ और $(10, 12)$ को जोड़ने वाले विकर्ण का मध्य-बिंदु:
$M = \left(\frac{8+10}{2}, \frac{11+12}{2}\right) = \left(\frac{18}{2}, \frac{23}{2}\right) = \left(9, \frac{23}{2}\right)$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(9, \frac{23}{2}\right)$ है।

(A) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = mx$ है।
इसे पहली रेखा $4x + 3y - 10 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4x + 3(mx) = 10$ प्राप्त होता है,अतः $x_A = \frac{10}{4+3m}$ और $y_A = \frac{10m}{4+3m}$।
इस प्रकार,$OA = \sqrt{x_A^2 + y_A^2} = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|4+3m|}$।
$y = mx$ को दूसरी रेखा $8x + 6y + 5 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $8x + 6(mx) = -5$ प्राप्त होता है,अतः $x_B = \frac{-5}{8+6m}$ और $y_B = \frac{-5m}{8+6m}$।
इस प्रकार,$OB = \sqrt{x_B^2 + y_B^2} = \frac{5\sqrt{1+m^2}}{|8+6m|} = \frac{5\sqrt{1+m^2}}{2|4+3m|}$।
अनुपात $OA : OB = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|4+3m|} : \frac{5\sqrt{1+m^2}}{2|4+3m|} = 10 : \frac{5}{2} = 20 : 5 = 4 : 1$।
अतः $O$,$AB$ को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(B) शीर्ष $A$ से गुजरने वाली माध्यिका भुजा $BC$ के मध्यबिंदु $M$ से गुजरती है।
$BC$ का मध्यबिंदु $M = (\frac{2-4}{2}, \frac{1+5}{2}) = (-1, 3)$ है।
माध्यिका $A(3, k)$ और $M(-1, 3)$ से गुजरती है।
माध्यिका $AM$ की ढाल $m = \frac{3-k}{-1-3} = \frac{3-k}{-4}$ है।
रेखा $AM$ का समीकरण $y - 3 = \frac{3-k}{-4}(x + 1)$ है।
$-4y + 12 = (3-k)x + (3-k)$.
$(3-k)x + 4y = 9+k$.
दिए गए समीकरण $x + 4y = p$ के साथ तुलना करने पर,$x$ और $y$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।
चूंकि $y$ का गुणांक $4$ है,इसलिए $3-k = 1$,जिससे $k = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 2$.

(B) माना बिंदु $A(1, 1)$ और $B(2, 4)$ हैं। बिंदु $P(x, y)$ रेखाखंड $AB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{3(2) + 2(1)}{3+2} = \frac{8}{5}$ और $y = \frac{3(4) + 2(1)}{3+2} = \frac{14}{5}$.
बिंदु $P(\frac{8}{5}, \frac{14}{5})$ रेखा $2x + y = k$ पर स्थित है।
अतः,$2(\frac{8}{5}) + \frac{14}{5} = k \implies k = \frac{30}{5} = 6$.
अब,$(k+1):(k-1) = (6+1):(6-1) = 7:5$ अर्थात $\frac{7}{5}$।

(A) माना विपरीत शीर्ष $A(1,3)$ और $C(5,1)$ हैं। $AC$ का मध्यबिंदु $(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3,2)$ है।
चूँकि आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,दूसरे विकर्ण $BD$ का मध्यबिंदु भी $(3,2)$ होगा।
माना शीर्ष $B$ और $D$ $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं। चूँकि वे $y = 2x + c$ पर स्थित हैं,$y_1 = 2x_1 + c$ और $y_2 = 2x_2 + c$ होगा।
मध्यबिंदु $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (3,2)$ है,अतः $x_1+x_2 = 6$ और $y_1+y_2 = 4$ है।
$y_1, y_2$ का मान रखने पर: $(2x_1+c) + (2x_2+c) = 4 \implies 2(x_1+x_2) + 2c = 4 \implies 12 + 2c = 4 \implies c = -4$.
अतः रेखा $y = 2x - 4$ है।
साथ ही,सदिश $\vec{AB} = (x_1-1, y_1-3)$ को $\vec{BC} = (5-x_1, 1-y_1)$ के लंबवत होना चाहिए।
डॉट प्रोडक्ट का उपयोग करने पर: $(x_1-1)(5-x_1) + (2x_1-7)(5-2x_1) = 0$.
सरल करने पर $x_1^2 - 6x_1 + 8 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $x_1 = 4$ या $x_1 = 2$ हैं।
अतः शीर्ष $(4,4)$ और $(2,0)$ हैं।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{v \log v} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
माना $u = \log v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$. समाकलन $\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$ बन जाता है.
$\log|u| = \log|x| + \log|c|$.
$\log|\log v| = \log|cx|$.
$\log v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\log(\frac{y}{x}) = cx$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2 - x^2) dx = xy dy$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2 - x^2}{x(vx)} = \frac{v^2 - 1}{v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 - 1}{v} - v = \frac{v^2 - 1 - v^2}{v} = -\frac{1}{v}$.
चरों को पृथक करने पर: $v dv = -\frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\frac{v^2}{2} = -\log |x| + c$.
चूँकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\frac{y^2}{2x^2} = -\log |x| + c$.
$2x^2$ से गुणा करने पर: $y^2 = -2x^2 \log |x| + 2cx^2$.
व्यवस्थित करने पर: $2x^2 \log |x| + y^2 - 2cx^2 = 0$.
$-c$ को एक नए स्थिरांक $C$ के रूप में लेने पर,$2x^2 \log |x| + y^2 + 2Cx^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ दी गई है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2x(vx)} = \frac{1+v^2}{2v}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1-v^2}{2v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1-v^2| = \ln|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,हल $2y^2 = 2x^2 - 3x$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x(x-1) \frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y$.
इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $x(x-1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x-2}{x(x-1)}y = \frac{x^3(2x-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2(2x-1)}{x-1}$.
यहाँ,$P(x) = -\frac{x-2}{x(x-1)} = -(\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1}) = \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x}$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x}) dx} = e^{\ln|x-1| - 2\ln|x|} = \frac{x-1}{x^2}$.
रैखिक समीकरण को $IF$ से गुणा करने पर:
$\frac{d}{dx} [y \cdot \frac{x-1}{x^2}] = \frac{x^2(2x-1)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x^2} = 2x-1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y \cdot \frac{x-1}{x^2} = \int (2x-1) dx = x^2 - x + c$.
$y \cdot \frac{x-1}{x^2} = x(x-1) + c$.
$x^2$ से गुणा करने पर:
$y(x-1) = x^3(x-1) + cx^2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2)+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^2)$.
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{dx}{dy} = -\frac{x-e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} = -\frac{x}{1+y^2} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ है।
हल $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + k$ है।
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + k$.
माना $u = \tan ^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int e^{2u} du + k = \frac{1}{2} e^{2u} + k = \frac{1}{2} e^{2 \tan ^{-1} y} + k$.
$2$ से गुणा करने पर: $2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + 2k$.
चूँकि $2k$ भी एक स्थिरांक है,हम इसे $k$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + k$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ है।
$(1+x^2)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ और $Q(x) = \frac{4x^2}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ है।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है।
$y(1+x^2) = \int \frac{4x^2}{1+x^2} \cdot (1+x^2) dx + C$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + C$.
$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + C$.
चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर: $0(1+0) = 0 + C \implies C = 0$.
अतः,समीकरण $y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3}$ है,जिसे सरल करने पर $3(1+x^2)y = 4x^3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ है।
अवकलन का विस्तार करने पर: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x \sin x + x \log x$.
$2y + x \frac{dy}{dx} = x \sin x + x \log x$.
$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = \sin x + \log x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = \sin x + \log x$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = x^2$.
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$y \cdot x^2 = \int x^2(\sin x + \log x) dx + c$.
$y x^2 = \int x^2 \sin x dx + \int x^2 \log x dx + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}$.
अतः,$y x^2 = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + c$.
$x^2$ से भाग देने पर: $y = -\cos x + \frac{2 \sin x}{x} + \frac{2 \cos x}{x^2} + \frac{x}{3} \log x - \frac{x}{9} + \frac{c}{x^2}$.
यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ है।
अवकलज पद का विस्तार करने पर: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x(\sin x + \log x)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर: $2y + x \frac{dy}{dx} = x(\sin x + \log x)$ हो जाता है।
पूरे समीकरण को $x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = \sin x + \log x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = \sin x + \log x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P dx}$ होता है।
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$.
इसे मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $(1+x)$ से भाग देने पर:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}y = \frac{1-x}{1+x}$.
यहाँ,$P(x) = -\frac{x}{1+x} = -1 + \frac{1}{1+x}$ और $Q(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1+x}) dx} = e^{-x + \ln(1+x)} = (1+x)e^{-x}$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$y(1+x)e^{-x} = \int (\frac{1-x}{1+x}) (1+x)e^{-x} dx + c = \int (1-x)e^{-x} dx + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int (1-x)e^{-x} dx = (1-x)(-e^{-x}) - \int (-1)(-e^{-x}) dx = -(1-x)e^{-x} - \int e^{-x} dx = (x-1)e^{-x} + e^{-x} + c = xe^{-x} + c$.
अतः,$y(1+x)e^{-x} = xe^{-x} + c$.
दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर,हमें $y(1+x) = x + ce^x$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + y \frac{\log x}{x} = e^x \cdot x^{-1/2} \log x$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{\log x}{x}$ और $Q = e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$।
अतः,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$।
इसलिए,$IF = e^{\frac{(\log x)^2}{2}} = (e^{\log x})^{\frac{1}{2} \log x} = x^{\frac{1}{2} \log x}$।

(A) माना वक्र पर स्थित बिंदु $(x, y)$ है। स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy}$ है।
प्रश्न के अनुसार,अभिलंब की ढाल उसकी कोटि $y$ के बराबर है,इसलिए $-\frac{dx}{dy} = y$ है।
इसका अर्थ है $dx = -y \, dy$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $x = -\frac{y^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र $(1, -1)$ से होकर गुजरता है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: $1 = -\frac{(-1)^2}{2} + C$,जिससे $1 = -\frac{1}{2} + C$ प्राप्त होता है,अतः $C = \frac{3}{2}$ है।
इस प्रकार,समीकरण $x = -\frac{y^2}{2} + \frac{3}{2}$ है,जिसे सरल करने पर $2x = -y^2 + 3$ या $2x = 1(3 - y^2)$ प्राप्त होता है।
इसे $2x = k(3 - y^2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $t$ समय पर मूलधन $P$ है। दिया गया है कि मूलधन $x \%$ की दर से निरंतर बढ़ता है,इसलिए अवकल समीकरण: $\frac{dP}{dt} = \frac{x}{100} P$ है।
इसका समाकलन करने पर,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{x}{100} dt$,जिससे $\ln P = \frac{x}{100} t + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = P_0 = 100$ है,अतः $C = \ln 100$।
अतः,$\ln P = \frac{x}{100} t + \ln 100$,या $\ln(\frac{P}{100}) = \frac{x}{100} t$।
दिया गया है कि $10$ वर्षों में मूलधन दोगुना हो जाता है,यानी $t = 10$ पर $P = 200$।
इन मानों को रखने पर: $\ln(\frac{200}{100}) = \frac{x}{100} \times 10$।
$\ln 2 = \frac{x}{10}$।
यहाँ $\ln 2 \approx 0.6931$ लेने पर,$0.6931 = \frac{x}{10} \implies x = 6.931 \% \approx 6.93 \%$।

(B) माना किसी समय $t$ पर मूलधन $P$ है।
दिया गया है कि मूलधन $10 \%$ प्रति वर्ष की दर से निरंतर बढ़ता है,अतः अवकल समीकरण है:
$\frac{dP}{dt} = 0.10 P$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dP}{P} = 0.10 dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dP}{P} = \int 0.10 dt$
$\ln(P) = 0.10 t + C$
$P(t) = e^{0.10 t + C} = Ae^{0.10 t}$
$t = 0$ पर,$P = 2000$ है। इन मानों को रखने पर:
$2000 = Ae^{0.10(0)} \implies A = 2000$
अतः,मूलधन के लिए समीकरण $P(t) = 2000 e^{0.10 t}$ है।
$t = 5$ वर्ष बाद:
$P(5) = 2000 e^{0.10(5)} = 2000 e^{0.5}$
दिया गया है $e^{0.5} = 1.648$:
$P(5) = 2000 \times 1.648 = 3296$
इस प्रकार,$5$ वर्ष बाद राशि $3296$ रुपये हो जाएगी।

(C) माना $t$ समय पर संपत्ति $A(t)$ है। घटने की दर संपत्ति के वर्गमूल के समानुपाती है, इसलिए $\frac{dA}{dt} = -k \sqrt{A}$, जहाँ $k > 0$.
चरों को अलग करने पर, $\frac{dA}{\sqrt{A}} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int A^{-1/2} dA = \int -k dt$, जिससे $2\sqrt{A} = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर, $A = 25$, इसलिए $2\sqrt{25} = C \implies C = 10$.
अतः, $2\sqrt{A} = -kt + 10$.
$t = 2$ पर, $A = 6.25$, इसलिए $2\sqrt{6.25} = -k(2) + 10$.
$2(2.5) = -2k + 10 \implies 5 = -2k + 10 \implies 2k = 5 \implies k = 2.5$.
समीकरण $2\sqrt{A} = -2.5t + 10$ बन जाता है।
दिवालिया होने के लिए, $A = 0$, इसलिए $0 = -2.5t + 10$.
$2.5t = 10 \implies t = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ वर्ष}$.

(B) मान लीजिए $t$ समय पर संपत्ति $A(t)$ है। कमी की दर संपत्ति के वर्गमूल के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dA}{dt} = -k\sqrt{A}$,जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $A^{-1/2} dA = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$2\sqrt{A} = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$A = 10,00,000$ है। अतः,$2\sqrt{10,00,000} = C \implies C = 2 \times 1000 = 2000$ है।
इस प्रकार,$2\sqrt{A} = -kt + 2000$ है।
$t = 3$ पर,$A = 10,000$ है। अतः,$2\sqrt{10,000} = -3k + 2000 \implies 200 = -3k + 2000 \implies 3k = 1800 \implies k = 600$ है।
समीकरण $2\sqrt{A} = -600t + 2000$ है।
दिवालिया होने के लिए,$A = 0$ होना चाहिए,इसलिए $0 = -600t + 2000$ है।
$600t = 2000 \implies t = \frac{2000}{600} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ वर्ष।

(A) मान लीजिए कि समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या $N$ है। दिया गया है कि वृद्धि की दर मौजूद संख्या के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dN}{dt} = kN$.
समाकलन करने पर,$\ln N = kt + C$,या $N(t) = N_0 e^{kt}$ प्राप्त होता है।
शुरू में,$t = 0$ पर,$N_0 = 1,00,000$ है।
$2$ घंटे बाद,संख्या $10 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए $N(2) = 1,00,000 + 0.10 \times 1,00,000 = 1,10,000$ है।
इन मानों को रखने पर: $1,10,000 = 1,00,000 e^{2k} \implies e^{2k} = 1.1 \implies 2k = \ln(1.1) \implies k = \frac{\ln(1.1)}{2}$।
हमें $t$ ज्ञात करना है ताकि $N(t) = 2,00,000$ हो जाए।
$2,00,000 = 1,00,000 e^{kt} \implies 2 = e^{kt} \implies \ln 2 = kt$।
$k$ का मान रखने पर: $\ln 2 = \left(\frac{\ln(1.1)}{2}\right) t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{2 \ln 2}{\ln(1.1)} = \frac{2 \log 2}{\log(1.1)}$।

(C) मान लीजिए कि $t$ समय पर जनसंख्या $P(t)$ है। परिवर्तन की दर $\frac{dP}{dt} = kP$ द्वारा दी गई है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $\ln P = kt + C$ प्राप्त होता है,या $P(t) = P_0 e^{kt}$।
$t = 0$ पर,$P(0) = 40,000$ है। अतः,$P_0 = 40,000$ है।
$t = 20$ पर,$P(20) = 80,000$ है। इस प्रकार,$80,000 = 40,000 e^{20k}$,जिसका अर्थ है $e^{20k} = 2$।
हमें अगले $40$ वर्षों के बाद की जनसंख्या ज्ञात करनी है,जो $t = 20 + 40 = 60$ वर्ष पर होगी।
$P(60) = 40,000 e^{60k} = 40,000 (e^{20k})^3$।
$e^{20k} = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(60) = 40,000 \times (2)^3 = 40,000 \times 8 = 320,000$ प्राप्त होता है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)$,जहाँ $T_a = 290 \ K$ है।
समाकलन करने पर,हमें $\ln(T - 290) = -kt + C$,या $T - 290 = Ce^{-kt}$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$T = 370$,इसलिए $370 - 290 = C$,जिससे $C = 80$ मिलता है।
अतः,$T - 290 = 80e^{-kt}$।
$t = 10 \ \text{मिनट}$ पर,$T = 330$,इसलिए $330 - 290 = 80e^{-10k}$,जिसका अर्थ है $40 = 80e^{-10k}$,इसलिए $e^{-10k} = 0.5$।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$-10k = \ln(0.5) = -\ln(2)$,इसलिए $k = \frac{\ln(2)}{10}$।
हमें $t$ ज्ञात करना है जब $T = 295$ हो।
$295 - 290 = 80e^{-kt} \implies 5 = 80e^{-kt} \implies e^{-kt} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$।
चूँकि $e^{-10k} = \frac{1}{2}$,हमारे पास $e^{-kt} = (e^{-10k})^4 = e^{-40k}$ है।
इसलिए,$kt = 40k$,जिससे $t = 40 \ \text{मिनट}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि $t$ समय पर जनसंख्या $P(t)$ है। प्रश्न के अनुसार,जनसंख्या बढ़ने की दर जनसंख्या के समानुपाती है: $\frac{dP}{dt} = kP$।
इसका समाकलन करने पर,हमें $\ln P = kt + C$ प्राप्त होता है,या $P(t) = P_0 e^{kt}$।
$t = 0$ पर,$P(0) = 4$ लाख,इसलिए $P_0 = 4$।
$t = 20$ पर,$P(20) = 6$ लाख। अतः,$6 = 4 e^{20k}$,जिससे $e^{20k} = \frac{6}{4} = 1.5$ प्राप्त होता है।
हमें अगले $20$ वर्षों के बाद,यानी $t = 40$ पर जनसंख्या ज्ञात करनी है।
$P(40) = P_0 e^{40k} = 4 (e^{20k})^2$।
$e^{20k} = 1.5$ रखने पर,हमें $P(40) = 4 \times (1.5)^2 = 4 \times 2.25 = 9$ लाख प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि समय $t$ पर जनसंख्या $P(t)$ है। समस्या के अनुसार,$\frac{dP}{dt} \propto P$,जिसका अर्थ है $\frac{dP}{dt} = kP$।
इस अवकल समीकरण को हल करने पर,हमें $P(t) = Ce^{kt}$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,जनसंख्या $30,000$ है,इसलिए $P(0) = C = 30,000$।
अतः,$P(t) = 30,000 e^{kt}$।
$t = 40$ पर,जनसंख्या $40,000$ है,इसलिए $40,000 = 30,000 e^{40k}$।
इसे सरल करने पर $e^{40k} = \frac{40,000}{30,000} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $P(t)$ के समीकरण में रखने पर,हमें $P(t) = 30,000 (e^{40k})^{\frac{t}{40}} = 30,000 (\frac{4}{3})^{\frac{t}{40}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूप $P(t) = (a)(b)^{\frac{t}{40}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 30,000$ और $b = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) निरंतर चक्रवृद्धि के लिए,समय $t$ पर राशि $A$ सूत्र $A(t) = P e^{rt}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ मूलधन है,$r$ ब्याज की दर है और $t$ वर्षों में समय है।
दिया गया है $P = 400$ और $A(6) = 800$,इसलिए $800 = 400 e^{6r}$।
$400$ से विभाजित करने पर,हमें $2 = e^{6r}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(2) = 6r$,इसलिए $r = \frac{\ln(2)}{6}$।
हमें $t = 30$ वर्षों पर राशि ज्ञात करनी है: $A(30) = 400 e^{30r}$।
$r = \frac{\ln(2)}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A(30) = 400 e^{30 \times \frac{\ln(2)}{6}} = 400 e^{5 \ln(2)}$ प्राप्त होता है।
$e^{a \ln(b)} = b^a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $A(30) = 400 \times 2^5$ प्राप्त होता है।
$A(30) = 400 \times 32 = 12800$।
अतः,$30$ वर्षों के अंत में राशि ₹ $12800$ हो जाएगी।

(C) मान लीजिए $P(t)$ समय $t$ पर जनसंख्या है। परिवर्तन की दर $\frac{dP}{dt} = kP$ द्वारा दी गई है,जो $P(t) = P_0 e^{kt}$ की ओर ले जाती है।
मान लीजिए $t=0$ वर्ष $1984$ के अनुरूप है। तब $P_A(0) = 20,000$ और $P_B(0) = 20,000$ है।
नगर $A$ के लिए $t=5$ (वर्ष $1989$) पर,$P_A(5) = 20,000 e^{5k_A} = 25,000$,इसलिए $e^{5k_A} = 1.25$ है।
नगर $B$ के लिए $t=5$ (वर्ष $1989$) पर,$P_B(5) = 20,000 e^{5k_B} = 28,000$,इसलिए $e^{5k_B} = 1.4$ है।
$t=10$ (वर्ष $1994$) पर:
$P_A(10) = 20,000 (e^{5k_A})^2 = 20,000 (1.25)^2 = 20,000 \times 1.5625 = 31,250$ है।
$P_B(10) = 20,000 (e^{5k_B})^2 = 20,000 (1.4)^2 = 20,000 \times 1.96 = 39,200$ है।
अंतर $|39,200 - 31,250| = 7,950$ है।

(D) माना $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$ है।
सबसे पहले,पद $g(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right)$ को सरल करें।
$\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करते हुए,हमें $g(x) = \cos^{-1}\left(\cos(\frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}})\right) = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}}$ प्राप्त होता है।
$g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4\sqrt{\frac{1+x}{2}}}$.
$x=1$ पर,$g'(1) = -\frac{1}{4\sqrt{1}} = -\frac{1}{4}$.
अब,माना $h(x) = x^x$ है। तब $\ln(h(x)) = x \ln(x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{h'(x)}{h(x)} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$।
अतः,$h'(x) = x^x(\ln(x) + 1)$।
$x=1$ पर,$h'(1) = 1^1(\ln(1) + 1) = 1(0 + 1) = 1$।
$x=1$ पर $f(x)$ का अवकलज $f'(1) = g'(1) + h'(1) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ है।

(C) माना $y = f(x) = (1-x)(2-x)(3-x) \dots (n-x)$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए,यदि $y = u_1 u_2 u_3 \dots u_n$ है,तो $\frac{dy}{dx} = u_1' (u_2 u_3 \dots u_n) + u_1 (u_2 u_3 \dots u_n)'$ होता है।
$x=1$ पर,$(1-x)$ पद $0$ हो जाता है।
इसलिए,अवकलज में $(1-x)$ वाले सभी पद शून्य हो जाएंगे,सिवाय उस पद के जहाँ $(1-x)$ का अवकलन होता है।
माना $g(x) = (2-x)(3-x) \dots (n-x)$। तो $y = (1-x)g(x)$।
$\frac{dy}{dx} = (-1)g(x) + (1-x)g'(x)$।
$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = (-1)g(1) + 0 = -g(1)$।
$g(1) = (2-1)(3-1)(4-1) \dots (n-1) = (1)(2)(3) \dots (n-1) = (n-1)!$।
अतः,$x=1$ पर $\frac{dy}{dx} = -(n-1)!$ है।

(B) दिया गया है $y = \log_{e} x^3 + 3 \sin^{-1} x + k x^2$।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$y = 3 \log_{e} x + 3 \sin^{-1} x + k x^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $y' = \frac{3}{x} + \frac{3}{\sqrt{1 - x^2}} + 2kx$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $y'(\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{3}$,अतः $x = \frac{1}{2}$ को अवकलज में रखने पर:
$y'(\frac{1}{2}) = \frac{3}{1/2} + \frac{3}{\sqrt{1 - (1/2)^2}} + 2k(\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{3}$।
$6 + \frac{3}{\sqrt{3/4}} + k = 2 \sqrt{3}$।
$6 + \frac{3}{\sqrt{3}/2} + k = 2 \sqrt{3}$।
$6 + \frac{6}{\sqrt{3}} + k = 2 \sqrt{3}$।
$6 + 2 \sqrt{3} + k = 2 \sqrt{3}$।
$k = -6$।

(D) माना $g(x) = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
हमें $g^{\prime}(1)$ ज्ञात करना है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$f(f(f(x)))$ का अवकलज $f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)$ है।
$x=1$ पर,यह $f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1)$ होगा।
दिया गया है $f(1)=1$ और $f^{\prime}(1)=3$,मान रखने पर:
$f^{\prime}(f(f(1))) = f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(1) = 3$.
अतः,$x=1$ पर $f(f(f(x)))$ का अवकलज $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ है।
$(f(x))^2$ का अवकलज $2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$ है।
$x=1$ पर,यह $2f(1) \cdot f^{\prime}(1) = 2(1)(3) = 6$ है।
इसलिए,$g^{\prime}(1) = 27 + 6 = 33$.

(B) माना $t = \tan^{-1} x$ है। तब $u = \frac{t}{t+1}$ और $v = \tan^{-1}(t)$ होगा।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dt}{dv/dt}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $u$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dt} = \frac{(t+1)(1) - t(1)}{(t+1)^2} = \frac{1}{(t+1)^2}$.
इसके बाद,$v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{1+t^2}$.
अब,$\frac{du}{dv}$ की गणना करने पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dt}{dv/dt} = \frac{1/(t+1)^2}{1/(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{(t+1)^2}$.
$t = \tan^{-1} x$ का मान वापस रखने पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{1 + (\tan^{-1} x)^2}{(1 + \tan^{-1} x)^2}$.

(D) दिया गया है $a(4+x^2)=x$,अतः $a = \frac{x}{4+x^2}$.
$x=1$ पर,$a = \frac{1}{4+1^2} = \frac{1}{5}$.
$a(4+x^2)=x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{da}{dx}(4+x^2) + a(2x) = 1$.
$x=1$ और $a=\frac{1}{5}$ रखने पर:
$\frac{da}{dx}(4+1) + \frac{1}{5}(2(1)) = 1 \implies 5\frac{da}{dx} + \frac{2}{5} = 1 \implies 5\frac{da}{dx} = \frac{3}{5} \implies \frac{da}{dx} = \frac{3}{25}$.
दिया गया है $y = x^3 + a^2$,इसका $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2a\frac{da}{dx}$.
$x=1$,$a=\frac{1}{5}$ और $\frac{da}{dx}=\frac{3}{25}$ रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3(1)^2 + 2(\frac{1}{5})(\frac{3}{25}) = 3 + \frac{6}{125} = \frac{375+6}{125} = \frac{381}{125}$.

(C) माना $y = \log \left[f\left(e^x+2 x\right)\right]$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f\left(e^x+2 x\right)} \cdot f^{\prime}\left(e^x+2 x\right) \cdot \frac{d}{dx}(e^x+2 x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{f^{\prime}\left(e^x+2 x\right) \cdot (e^x+2)}{f\left(e^x+2 x\right)}$.
अब,$x=0$ पर मान ज्ञात करते हैं:
$x=0$ पर,$f$ का तर्क $e^0 + 2(0) = 1 + 0 = 1$ है।
अतः,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{f^{\prime}(1) \cdot (e^0+2)}{f(1)}$.
दिया गया है कि $f(1)=3$ और $f^{\prime}(1)=2$ है:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{2 \cdot (1+2)}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$.

(C) दिया गया है $y = \tan^{-1} \left[ \frac{4 \sin 2x}{\cos 2x - 6 \sin^2 x} \right]$.
द्वि-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{4(2 \sin x \cos x)}{(\cos^2 x - \sin^2 x) - 6 \sin^2 x} \right] = \tan^{-1} \left[ \frac{8 \sin x \cos x}{\cos^2 x - 7 \sin^2 x} \right]$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{8 \tan x}{1 - 7 \tan^2 x} \right]$.
माना $f(x) = \frac{8 \tan x}{1 - 7 \tan^2 x}$. तब $y = \tan^{-1}(f(x))$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (f(x))^2} \cdot f'(x)$.
$x = 0$ पर,$f(0) = 0$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = f'(0)$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
$u = 8 \tan x \implies u' = 8 \sec^2 x$.
$v = 1 - 7 \tan^2 x \implies v' = -14 \tan x \sec^2 x$.
$x = 0$ पर,$u(0) = 0, u'(0) = 8, v(0) = 1, v'(0) = 0$.
$f'(0) = \frac{8(1) - 0(0)}{1^2} = 8$.
अतः,$x = 0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान $8$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x = e^{\tan^{-1}\left(\frac{y-x^2}{x^2}\right)}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(x) = \tan^{-1}\left(\frac{y-x^2}{x^2}\right)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\tan(\ln x) = \frac{y-x^2}{x^2}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$y = x^2 \tan(\ln x) + x^2$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[x^2 \tan(\ln x)] + \frac{d}{dx}[x^2]$
$\frac{dy}{dx} = [2x \tan(\ln x) + x^2 \cdot \sec^2(\ln x) \cdot \frac{1}{x}] + 2x$
$\frac{dy}{dx} = 2x \tan(\ln x) + x \sec^2(\ln x) + 2x$।
अब,$x = 1$ पर मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=1} = 2(1) \tan(\ln 1) + 1 \sec^2(\ln 1) + 2(1)$
चूंकि $\ln 1 = 0$,$\tan 0 = 0$ और $\sec 0 = 1$ है:
$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=1} = 2(0) + 1(1)^2 + 2 = 0 + 1 + 2 = 3$।

(C) दिया गया है $y = \log_3(\log_3 x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{\log_e(\log_3 x)}{\log_e 3} = \frac{\log_e(\frac{\log_e x}{\log_e 3})}{\log_e 3}$.
$y = \frac{\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 3)}{\log_e 3}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{d}{dx} [\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 3)]$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{1}{x}$.
$x = 3$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3(\log_e 3)^2} = \frac{1}{3}(\log_e 3)^{-2}$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{\sin^2 x}{1+\cot x} + \frac{\cos^2 x}{1+\tan x}$.
पदों को सरल करने पर:
$f(x) = \frac{\sin^2 x}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} + \frac{\cos^2 x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}$
$f(x) = \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} + \frac{\cos^3 x}{\cos x + \sin x}$
$f(x) = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x}$
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x}$
$f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x - \sin x \cos x$
$f(x) = 1 - \frac{1}{2}(2 \sin x \cos x) = 1 - \frac{1}{2} \sin(2x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = 0 - \frac{1}{2} \cos(2x) \cdot 2 = -\cos(2x)$.
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \sqrt{1 + \cos^2(x^2)}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = 1 + \cos^2(x^2)$,तो $f(x) = \sqrt{u}$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + \cos^2(x^2))$.
अब,$\frac{d}{dx}(\cos^2(x^2)) = 2\cos(x^2) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x \sin(2x^2)$.
अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{-2x \sin(2x^2)}{2\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}} = \frac{-x \sin(2x^2)}{\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}}$.
$x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ पर,$x^2 = \frac{\pi}{4}$.
$f^{\prime}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})}{\sqrt{1 + \cos^2(\frac{\pi}{4})}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin(\frac{\pi}{2})}{\sqrt{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = -\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = -\sqrt{\frac{\pi}{6}}$.

(D) दिया गया है कि $u = \log(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})$ और $v = \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}$ है।
ध्यान दें कि $(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}) = (x+1) - (x-1) = 2$ है।
अतः,$\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1} = \frac{2}{v}$ है।
हालाँकि,$\log$ का तर्क $\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = -(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}) = -\frac{2}{v}$ है।
चूंकि $\log$ के डोमेन के लिए धनात्मक तर्क की आवश्यकता होती है,हम परिमाण या सम्मिश्र रूप पर विचार करते हैं। मानक अवकलन विधि का उपयोग करते हुए:
$u = \log(-2) - \log(v)$ है।
$v$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(\log(-2) - \log(v)) = 0 - \frac{1}{v} = -\frac{1}{v}$।

(D) दिया गया समीकरण: $x^{\frac{2}{5}} + y^{\frac{2}{5}} = a^{\frac{2}{5}}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{dx}(y^{\frac{2}{5}}) = \frac{d}{dx}(a^{\frac{2}{5}})$
घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1} + \frac{2}{5}y^{\frac{2}{5}-1} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}} + \frac{2}{5}y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{5}$ से विभाजित करने पर:
$x^{-\frac{3}{5}} + y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = -x^{-\frac{3}{5}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{3}{5}}}{y^{-\frac{3}{5}}}$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{3}{5}}$
$\frac{dy}{dx} = -\sqrt[5]{\left(\frac{y}{x}\right)^3}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^{y} + y^{x} = a^{b}$ है।
मान लीजिए $u = x^{y}$ और $v = y^{x}$ है। तब $u + v = a^{b}$ होगा।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$u = x^{y}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = y \log x$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \implies \frac{du}{dx} = x^{y} (\frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx})$।
$x = 1, y = 2$ पर,$u = 1^{2} = 1$,इसलिए $\frac{du}{dx} = 1(\frac{2}{1} + \log 1 \frac{dy}{dx}) = 2$।
$v = y^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log v = x \log y$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \log y + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} \implies \frac{dv}{dx} = y^{x} (\log y + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx})$।
$x = 1, y = 2$ पर,$v = 2^{1} = 2$,इसलिए $\frac{dv}{dx} = 2(\log 2 + \frac{1}{2} \frac{dy}{dx}) = 2 \log 2 + \frac{dy}{dx}$।
इन मानों को योग के अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर: $2 + 2 \log 2 + \frac{dy}{dx} = 0$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -(2 + 2 \log 2) = -2(1 + \log 2)$।

(B) दिया गया है $(a+bx) e^{\frac{y}{x}}=x$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(a+bx) + \frac{y}{x} = \ln x$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{y}{x} = \ln x - \ln(a+bx) = \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = x \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right) + x \cdot \frac{a+bx}{x} \cdot \frac{(a+bx)(1) - x(b)}{(a+bx)^2} = \frac{y}{x} + \frac{a}{(a+bx)}$.
इस प्रकार,$x \frac{dy}{dx} = y + \frac{ax}{a+bx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} + \frac{(a+bx)(a) - ax(b)}{(a+bx)^2} = \frac{dy}{dx} + \frac{a^2}{(a+bx)^2}$.
अतः,$x \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{a^2}{(a+bx)^2}$.
$x \frac{dy}{dx} - y = \frac{ax}{a+bx}$ से,$\left(x \frac{dy}{dx} - y\right)^2 = \frac{a^2 x^2}{(a+bx)^2}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $x \frac{d^2y}{dx^2}$ से करने पर,$x^3 \frac{d^2y}{dx^2} = x^2 \cdot \frac{a^2}{(a+bx)^2} = \left(x \frac{dy}{dx} - y\right)^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $y = \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = x + \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}$ प्राप्त होता है।
माना $u = \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}$,तो $y^2 = x + u$.
$u$ का वर्ग करने पर,$u^2 = y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}} = y + y = 2y$.
अतः,$u = \sqrt{2y}$.
$u$ का मान $y^2$ के समीकरण में रखने पर,$y^2 = x + \sqrt{2y}$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{2y}} \cdot 2 \frac{dy}{dx}$.
$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2y}} \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} (2y - \frac{1}{\sqrt{2y}}) = 1$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{2y\sqrt{2y} - 1}{\sqrt{2y}}) = 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{2y}}{2y\sqrt{2y} - 1}$.
वैकल्पिक रूप से,$y^2 - x = \sqrt{2y}$ से,वर्ग करने पर $(y^2 - x)^2 = 2y$.
अवकलन करने पर: $2(y^2 - x)(2y \frac{dy}{dx} - 1) = 2 \frac{dy}{dx}$.
$(y^2 - x)(2y \frac{dy}{dx} - 1) = \frac{dy}{dx}$.
$2y(y^2 - x) \frac{dy}{dx} - (y^2 - x) = \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} (2y^3 - 2xy - 1) = y^2 - x$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x}{2y^3 - 2xy - 1}$.

(C) माना $u = \sqrt{y-\sqrt{y-\sqrt{y-\ldots \infty}}}$ और $v = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots \infty}}}$.
दिया है कि $u = v$.
$u$ के लिए,हमारे पास $u = \sqrt{y-u} \implies u^2 = y-u \implies y = u^2+u$ है।
$v$ के लिए,हमारे पास $v = \sqrt{x+v} \implies v^2 = x+v \implies x = v^2-v$ है।
चूंकि $u = v$,हम $y = u^2+u$ और $x = u^2-u$ लिख सकते हैं।
अब,$u$ के सापेक्ष $y$ और $x$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{du} = 2u+1$ और $\frac{dx}{du} = 2u-1$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/du}{dx/du} = \frac{2u+1}{2u-1}$.
$y = u^2+u$ से,$y-x = (u^2+u) - (u^2-u) = 2u$,अतः $u = \frac{y-x}{2}$.
$u$ का मान $\frac{dy}{dx} = \frac{2u+1}{2u-1}$ में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(\frac{y-x}{2})+1}{2(\frac{y-x}{2})-1} = \frac{y-x+1}{y-x-1}$.

(A) दिया गया समीकरण $e^{y} + xy = e$ है।
$x = 0$ पर,$e^{y} + 0 = e$,जिसका अर्थ है $e^{y} = e$,इसलिए $y = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(e^{y} + xy) = \frac{d}{dx}(e)$
$e^{y} \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$(x, y) = (0, 1)$ पर:
$e^{1} \frac{dy}{dx} + 1 + 0 = 0 \implies e \frac{dy}{dx} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(e^{y} \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx}) = 0$
$e^{y} (\frac{dy}{dx})^2 + e^{y} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$e^{y} (\frac{dy}{dx})^2 + e^{y} \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$ प्राप्त होता है।
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ का मान रखने पर:
$e(-\frac{1}{e})^2 + e \frac{d^2y}{dx^2} + 2(-\frac{1}{e}) + 0 = 0$
$\frac{1}{e} + e \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$।
अतः क्रमित युग्म $(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2})$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $x \cdot \log_{e}(\log_{e} x) - x^2 + y^2 = 4$.
सबसे पहले,$x=e$ पर $y$ का मान ज्ञात करें:
$e \cdot \log_{e}(\log_{e} e) - e^2 + y^2 = 4$.
चूंकि $\log_{e} e = 1$ और $\log_{e} 1 = 0$,हमारे पास $e \cdot 0 - e^2 + y^2 = 4$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = 4 + e^2$.
चूंकि $y > 0$,इसलिए $y = \sqrt{4 + e^2}$.
अब,दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[x \cdot \log_{e}(\log_{e} x)] - \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$.
पहले पद के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$1 \cdot \log_{e}(\log_{e} x) + x \cdot \frac{1}{\log_{e} x} \cdot \frac{1}{x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$\log_{e}(\log_{e} x) + \frac{1}{\log_{e} x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$x=e$ रखने पर:
$\log_{e}(\log_{e} e) + \frac{1}{\log_{e} e} - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$0 + 1 - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$2y \frac{dy}{dx} = 2e - 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2y}$.
$y = \sqrt{4 + e^2}$ रखने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2\sqrt{4 + e^2}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $y = \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \ldots \infty}}}$ है।
चूंकि यह अनंत तक जाता है,हम इसे $y = \sqrt{\sin x + y}$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = \sin x + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin x + y)$ प्राप्त होता है।
यह $2y \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx}$ में सरल हो जाता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \cos x$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \cos x$ है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}$ होगा।

(C) दिया गया है कि $t = K^{\cos^{-1} x}$ है।
$y$ के व्यंजक में $t$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \frac{t}{1+t}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $t$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{t}{1+t} \right)$.
भागफल नियम $\frac{d}{dt} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dt} - u \frac{dv}{dt}}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = t$ और $v = 1+t$ है:
$\frac{dy}{dt} = \frac{(1+t)(1) - t(1)}{(1+t)^2}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{1+t-t}{(1+t)^2} = \frac{1}{(1+t)^2}$.
$t = K^{\cos^{-1} x}$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{(1 + K^{\cos^{-1} x})^2}$.

(B) दिया गया है $x = \log t$ और $y = \frac{1}{t}$।
सबसे पहले,चेन नियम का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$।
चूंकि $y = t^{-1}$,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -t^{-2} = -\frac{1}{t^2}$।
चूंकि $x = \log t$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1/t^2}{1/t} = -\frac{1}{t} = -y$।
अब,$\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करने के लिए $\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-y) = -\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = -(-t^{-2}) \cdot t = t^{-1} = y$।
इस प्रकार,$\frac{d^2 y}{dx^2} = y$।

(C) दिया गया है $x = a \cos^3 \theta$ और $y = a \sin^3 \theta$।
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^2 \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$।
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta (\cos \theta) = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$।
अतः,$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = (-\tan \theta)^2 = \tan^2 \theta$।
अंत में,$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = |\sec \theta|$।

(A) दिया गया है $x = a \sin 2t (1 + \cos 2t) = a \sin 2t + a \sin 2t \cos 2t = a \sin 2t + \frac{a}{2} \sin 4t$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dx}{dt} = 2a \cos 2t + 2a \cos 4t = 2a (\cos 2t + \cos 4t)$.
दिया गया है $y = b \cos 2t (1 - \cos 2t) = b \cos 2t - b \cos^2 2t$.
$\cos^2 2t = \frac{1 + \cos 4t}{2}$ का उपयोग करते हुए,$y = b \cos 2t - \frac{b}{2} (1 + \cos 4t)$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dt} = -2b \sin 2t + b \sin 4t = -2b \sin 2t + 2b \sin 2t \cos 2t = -2b \sin 2t (1 - \cos 2t)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-2b \sin 2t (1 - \cos 2t)}{2a (\cos 2t + \cos 4t)} = \frac{b}{a} \tan t$.

(C) दिया गया है कि $x = \sin \theta$ और $y = \sin^3 \theta$ है।
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \sin^2 \theta \cos \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \sin^2 \theta \cos \theta}{\cos \theta} = 3 \sin^2 \theta$.
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (3 \sin^2 \theta) = \frac{d}{d\theta} (3 \sin^2 \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
चूंकि $\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$,इसलिए $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{\cos \theta}$।
$\frac{d^2 y}{dx^2} = (6 \sin \theta \cos \theta) \cdot \frac{1}{\cos \theta} = 6 \sin \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6 \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

(A) दिया गया है $x = \sin t$ और $y = \sin pt$।
सबसे पहले,चेन रूल का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = p \cos pt$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{p \cos pt}{\cos t}$।
इसका अर्थ है $\cos t \frac{dy}{dx} = p \cos pt$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (\cos t \frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx} (p \cos pt)$।
बाईं ओर प्रोडक्ट रूल का उपयोग करने पर:
$-\sin t \frac{dt}{dx} \frac{dy}{dx} + \cos t \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 \sin pt \frac{dt}{dx}$।
चूंकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos t}$,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$-\sin t (\frac{1}{\cos t}) \frac{dy}{dx} + \cos t \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 \sin pt (\frac{1}{\cos t})$।
पूरे समीकरण को $\cos t$ से गुणा करने पर:
$-\sin t \frac{dy}{dx} + \cos^2 t \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 \sin pt$।
$x = \sin t$,$\cos^2 t = 1 - x^2$,और $y = \sin pt$ रखने पर:
$-x \frac{dy}{dx} + (1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 y$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + p^2 y = 0$।

(D) दिया गया है $x = t^2 + t + 1$ और $y = \sin \left(\frac{t \pi}{2}\right) + \cos \left(\frac{t \pi}{2}\right)$.
सबसे पहले,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 + t + 1) = 2t + 1$.
इसके बाद,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sin \left(\frac{t \pi}{2}\right) + \cos \left(\frac{t \pi}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{2} \cos \left(\frac{t \pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} \sin \left(\frac{t \pi}{2}\right)$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\frac{\pi}{2} \left(\cos \left(\frac{t \pi}{2}\right) - \sin \left(\frac{t \pi}{2}\right)\right)}{2t + 1}$.
$t=1$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\pi}{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right)}{2(1) + 1} = \frac{\frac{\pi}{2} (0 - 1)}{3} = \frac{-\pi/2}{3} = -\frac{\pi}{6}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।