MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^3+1)}$.
अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x^2 dx}{x^3(x^3+1)}$.
माना $x^3 = t$,तब $3x^2 dx = dt$,या $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{t(t+1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$.
$I = \frac{1}{3} \int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}\right) dt$.
$I = \frac{1}{3} (\log|t| - \log|t+1|) + c$.
$I = \frac{1}{3} \log \left|\frac{t}{t+1}\right| + c$.
$t = x^3$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} \log \left|\frac{x^3}{x^3+1}\right| + c = \log \left|\left(\frac{x^3}{x^3+1}\right)^{1/3}\right| + c = \log \left(\sqrt[3]{\frac{x^3}{x^3+1}}\right) + c$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x+a)^{\frac{9}{7}}(x-b)^{\frac{5}{7}}}$.
समाकल्य को इस प्रकार लिखें: $I = \int \frac{dx}{(x+a)^{\frac{9}{7}} \cdot (x+a)^{\frac{5}{7}} \cdot \left(\frac{x-b}{x+a}\right)^{\frac{5}{7}}} = \int \frac{dx}{(x+a)^2 \left(\frac{x-b}{x+a}\right)^{\frac{5}{7}}}$.
माना $t = \frac{x-b}{x+a}$. तब $dt = \frac{(x+a)(1) - (x-b)(1)}{(x+a)^2} dx = \frac{a+b}{(x+a)^2} dx$.
अतः,$\frac{dx}{(x+a)^2} = \frac{dt}{a+b}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int \frac{1}{t^{\frac{5}{7}}} \cdot \frac{dt}{a+b} = \frac{1}{a+b} \int t^{-\frac{5}{7}} dt$.
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \frac{1}{a+b} \cdot \frac{t^{-\frac{5}{7}+1}}{-\frac{5}{7}+1} + c = \frac{1}{a+b} \cdot \frac{t^{\frac{2}{7}}}{\frac{2}{7}} + c = \frac{7}{2(a+b)} \left(\frac{x-b}{x+a}\right)^{\frac{2}{7}} + c$.

(B) $\text{माना } I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \,dx$.
$\text{अंश और हर को } \cos^2 x \text{ से विभाजित करने पर:}$
$I = \int \frac{\sqrt{\tan x} / \cos^2 x}{(\sin x \cos x) / \cos^2 x} \,dx = \int \frac{\sqrt{\tan x} \cdot \sec^2 x}{\tan x} \,dx$.
$I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} \,dx$.
$\text{माना } u = \tan x, \text{तब } du = \sec^2 x \,dx$.
$\text{इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:}$
$I = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \,du = \int u^{-1/2} \,du$.
$\text{घात नियम } \int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c \text{ का उपयोग करने पर:}$
$I = \frac{u^{1/2}}{1/2} + c = 2 \sqrt{u} + c$.
$u = \tan x \text{ वापस रखने पर:}$
$I = 2 \sqrt{\tan x} + c$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{x^{1/2} + x^{1/3}}$ को हल करने के लिए,हम $x = t^6$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जिससे $dx = 6t^5 dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{6t^5 dt}{t^3 + t^2} = \int \frac{6t^5}{t^2(t+1)} dt = \int \frac{6t^3}{t+1} dt$.
बहुपद विभाजन का उपयोग करते हुए,$\frac{t^3}{t+1} = t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1}$.
अतः,$I = 6 \int (t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1}) dt = 6 [\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + t - \log|t+1|] + k$.
$I = 2t^3 - 3t^2 + 6t - 6 \log|t+1| + k$.
$t = x^{1/6}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = 2(x^{1/6})^3 - 3(x^{1/6})^2 + 6(x^{1/6}) - 6 \log(x^{1/6} + 1) + k$.
$I = 2x^{1/2} - 3x^{1/3} + 6x^{1/6} - 6 \log(x^{1/6} + 1) + k$.
दिए गए रूप $A x^{1/2} + B x^{1/3} + C x^{1/6} + D \log(x^{1/6} + 1) + k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 2, B = -3, C = 6, D = -6$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}} dx$.
$u = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = e^x dx$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $I = \int \frac{du}{\sqrt{u^2+4u+13}}$ हो जाता है।
द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने पर: $u^2+4u+13 = (u+2)^2 + 9 = (u+2)^2 + 3^2$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2+a^2}| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \log |(u+2) + \sqrt{(u+2)^2 + 3^2}| + c$.
$u = e^x$ वापस रखने पर:
$I = \log |e^x + 2 + \sqrt{e^{2x}+4e^x+13}| + c$.
दिए गए व्यंजक $\log |e^{ax}+2+\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}| + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin 7 x}{\cos 9 x \cos 2 x} \,d x$ है।
चूँकि $7x = 9x - 2x$, हम $\sin 7x = \sin(9x - 2x)$ लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin 9x \cos 2x - \cos 9x \sin 2x}{\cos 9x \cos 2x} \,d x$.
भिन्न को अलग करने पर:
$I = \int \left( \frac{\sin 9x \cos 2x}{\cos 9x \cos 2x} - \frac{\cos 9x \sin 2x}{\cos 9x \cos 2x} \right) \,d x$.
$I = \int (\tan 9x - \tan 2x) \,d x$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int \tan 9x \,d x - \int \tan 2x \,d x$.
सूत्र $\int \tan(ax) \,d x = \frac{1}{a} \ln |\sec(ax)| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{9} \ln |\sec 9x| - \frac{1}{2} \ln |\sec 2x| + c$.
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{\cos x(1+\cos x)}$.
हम समाकल्य को $\frac{1}{\cos x(1+\cos x)} = \frac{1+\cos x - \cos x}{\cos x(1+\cos x)} = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{1+\cos x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,$I = \int \sec x \, dx - \int \frac{dx}{1+\cos x}$.
हम जानते हैं कि $\int \sec x \, dx = \log |\sec x + \tan x| + c_1$.
दूसरे भाग के लिए,सर्वसमिका $1+\cos x = 2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ का उपयोग करें।
अतः,$\int \frac{dx}{1+\cos x} = \int \frac{dx}{2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{2} \int \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) dx$.
इसका समाकलन करने पर,हमें $\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan(x/2)}{1/2} = \tan \left(\frac{x}{2}\right) + c_2$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को संयोजित करने पर,$I = \log |\sec x + \tan x| - \tan \left(\frac{x}{2}\right) + c$।

(C) हमें समाकलन $I = \int e^x \frac{x-1}{(x+1)^3} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
अंश को $(x+1) - 2$ के रूप में लिखें:
$I = \int e^x \frac{(x+1) - 2}{(x+1)^3} \, dx$
$I = \int e^x \left( \frac{x+1}{(x+1)^3} - \frac{2}{(x+1)^3} \right) \, dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{2}{(x+1)^3} \right) \, dx$
मानक समाकलन रूप $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$ को याद करें।
माना $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2} = (x+1)^{-2}$ है।
तब $f'(x) = -2(x+1)^{-3} = -\frac{2}{(x+1)^3}$ होगा।
चूंकि समाकल्य $e^x [f(x) + f'(x)]$ के रूप में है,इसलिए समाकलन $e^x f(x) + c$ होगा।
अतः,$I = \frac{e^x}{(x+1)^2} + c$।

(A) माना $I = \int \log (2+x)^{2+x} \, dx$.
गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int (2+x) \log(2+x) \, dx$.
माना $u = 2+x$,तो $du = dx$.
समाकलन $I = \int u \log u \, du$ बन जाता है।
खंडशः समाकलन $\int f(u)g'(u) \, du = f(u)g(u) - \int f'(u)g(u) \, du$ का उपयोग करते हुए,$f(u) = \log u$ और $g'(u) = u$ लें।
तब $f'(u) = \frac{1}{u}$ और $g(u) = \frac{u^2}{2}$.
$I = \frac{u^2}{2} \log u - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{u^2}{2} \, du$
$I = \frac{u^2}{2} \log u - \frac{1}{2} \int u \, du$
$I = \frac{u^2}{2} \log u - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{2} + c$
$I = \frac{u^2}{2} \left( \log u - \frac{1}{2} \right) + c$
चूंकि $\frac{1}{2} = \log \sqrt{e}$,इसलिए:
$I = \frac{u^2}{2} (\log u - \log \sqrt{e}) + c = \frac{u^2}{2} \log \left( \frac{u}{\sqrt{e}} \right) + c$.
$u = 2+x$ वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{(2+x)^2}{2} \log \left( \frac{2+x}{\sqrt{e}} \right) + c$.

(D) माना $I = \int e^{2x} \frac{\sin 2x \cos 2x - 1}{\sin^2 2x} \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int e^{2x} \left( \frac{\sin 2x \cos 2x}{\sin^2 2x} - \frac{1}{\sin^2 2x} \right) \, dx$
$I = \int e^{2x} (\cot 2x - \csc^2 2x) \, dx$.
अब,खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए:
माना $u = \cot 2x$,$dv = e^{2x} \, dx$. तब $du = -2 \csc^2 2x \, dx$ और $v = \frac{1}{2} e^{2x}$.
$I = \int u \, dv = uv - \int v \, du$
$I = \cot 2x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} (-2 \csc^2 2x) \, dx - \int e^{2x} \csc^2 2x \, dx$
$I = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + \int e^{2x} \csc^2 2x \, dx - \int e^{2x} \csc^2 2x \, dx + c$
$I = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + c$.

(D) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$.
सबसे पहले,समाकल्य को पुनर्व्यवस्थित करें: $\frac{x+5}{(x+6)^2} = \frac{(x+6) - 1}{(x+6)^2} = \frac{1}{x+6} - \frac{1}{(x+6)^2}$.
मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{x+6}$.
तब $f'(x) = -\frac{1}{(x+6)^2}$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $\int e^x \left( \frac{1}{x+6} - \frac{1}{(x+6)^2} \right) dx = \int e^x [f(x) + f'(x)] dx$.
सूत्र लागू करने पर,हमें $e^x f(x) + c = \frac{e^x}{x+6} + c$ प्राप्त होता है।

(A) $\int x^2 \cos x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = x^2$ और $dv = \cos x \, dx$.
तब $du = 2x \, dx$ और $v = \sin x$.
सूत्र लागू करने पर:
$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int (\sin x)(2x) \, dx = x^2 \sin x - 2 \int x \sin x \, dx$.
अब,$\int x \sin x \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन लागू करें:
माना $u = x$ और $dv = \sin x \, dx$.
तब $du = dx$ और $v = -\cos x$.
$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x$.
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - 2(-x \cos x + \sin x) + c = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + c$.

(A) माना $I = \int e^x \cos x \, dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = \cos x$ और $dv = e^x \, dx$.
तब $du = -\sin x \, dx$ और $v = e^x$.
$I = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
अब,पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करके $\int e^x \sin x \, dx$ का मान ज्ञात करें।
माना $u = \sin x$ और $dv = e^x \, dx$.
तब $du = \cos x \, dx$ और $v = e^x$.
$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - I$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = e^x \cos x + e^x \sin x - I$.
$2I = e^x (\cos x + \sin x)$.
$I = \frac{e^x (\cos x + \sin x)}{2} + c$.

(B) हम जानते हैं कि $|x| < 1$ के लिए $\tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right) = 2 \tan^{-1} x$ होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int 2 \tan^{-1} x \, dx$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \tan^{-1} x$ और $dv = 2 \, dx$ है।
तब $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$ और $v = 2x$ होगा।
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:
$I = 2x \tan^{-1} x - \int \frac{2x}{1+x^2} \, dx$.
मान लीजिए $t = 1+x^2$,तो $dt = 2x \, dx$ होगा।
अतः,$\int \frac{2x}{1+x^2} \, dx = \int \frac{1}{t} \, dt = \log|t| + c = \log(1+x^2) + c$.
इस प्रकार,$I = 2x \tan^{-1} x - \log(1+x^2) + c$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $I - 2x \tan^{-1} x = -\log(1+x^2) + c$ प्राप्त होता है।

(C) समाकल $\int \frac{x \, dx}{(x-1)(x-2)}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें $x = A(x-2) + B(x-1)$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ रखने पर,$1 = A(1-2) \implies A = -1$.
$x = 2$ रखने पर,$2 = B(2-1) \implies B = 2$.
अतः,$\int \frac{x \, dx}{(x-1)(x-2)} = \int \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x-2} \right) dx$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर,हमें $-\log |x-1| + 2 \log |x-2| + c$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणधर्म $n \log m = \log m^n$ का उपयोग करने पर,हमें $\log |x-2|^2 - \log |x-1| + c = \log \left| \frac{(x-2)^2}{x-1} \right| + c$ प्राप्त होता है।

(B) समाकलन $\int \frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} dx$ को हल करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं:
$\frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{B}{x-1} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$
$2x+3 = B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)$
$x=1$ रखने पर,हमें $2(1)+3 = B(1^2+1) \implies 5 = 2B \implies B = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = B+C \implies C = -B = -\frac{5}{2}$।
अचर पदों की तुलना करने पर: $3 = B-D \implies D = B-3 = \frac{5}{2} - 3 = -\frac{1}{2}$।
इस प्रकार,समाकलन $\int \left( \frac{5/2}{x-1} + \frac{-5/2x - 1/2}{x^2+1} \right) dx$ बन जाता है।
$= \frac{5}{2} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{5}{4} \int \frac{2x}{x^2+1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$
$= \frac{5}{2} \log_e |x-1| - \frac{5}{4} \log_e (x^2+1) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + A$
$= \log_e |x-1|^{\frac{5}{2}} + \log_e (x^2+1)^{-\frac{5}{4}} - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + A$
$= \log_e \{(x-1)^{\frac{5}{2}}(x^2+1)^{-\frac{5}{4}}\} - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + A$
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -\frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{3 \sin x \cos x}{4 \sin x + 7} \, dx$.
$u = \sin x$ प्रतिस्थापित करें,तो $du = \cos x \, dx$.
समाकलन $I = \int \frac{3u}{4u+7} \, du$ हो जाता है।
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{3u}{4u+7} = \frac{3}{4} \left( \frac{4u+7-7}{4u+7} \right) = \frac{3}{4} \left( 1 - \frac{7}{4u+7} \right) = \frac{3}{4} - \frac{21}{4(4u+7)}$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $I = \int \left( \frac{3}{4} - \frac{21}{4(4u+7)} \right) \, du = \frac{3}{4}u - \frac{21}{16} \log |4u+7| + c$.
$u = \sin x$ वापस रखने पर: $I = \frac{3}{4} \sin x - \frac{21}{16} \log |4 \sin x + 7| + c$.
इसे $A \sin x - B \log |4 \sin x + 7| + c$ से तुलना करने पर,$A = \frac{3}{4}$ और $B = \frac{21}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B = \frac{3}{4} + \frac{21}{16} = \frac{12+21}{16} = \frac{33}{16}$.

(B) माना $I = \int \frac{2x^2+3}{(x^2-1)(x^2-4)} dx$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$x^2 = t$ रखने पर,$\frac{2t+3}{(t-1)(t-4)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t-4}$.
$2t+3 = A(t-4) + B(t-1)$.
$t=1$ के लिए,$5 = A(-3) \implies A = -\frac{5}{3}$.
$t=4$ के लिए,$11 = B(3) \implies B = \frac{11}{3}$.
अतः,$\frac{2x^2+3}{(x^2-1)(x^2-4)} = \frac{-5/3}{x^2-1} + \frac{11/3}{x^2-4}$.
समाकलन करने पर,$I = -\frac{5}{3} \int \frac{dx}{x^2-1} + \frac{11}{3} \int \frac{dx}{x^2-4}$.
$I = -\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + \frac{11}{3} \cdot \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + c$.
$I = \frac{5}{6} \log \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + \frac{11}{12} \log \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + c$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$a = \frac{11}{12}$ और $b = \frac{5}{6} = \frac{10}{12}$.
अतः,$a+b = \frac{11}{12} + \frac{10}{12} = \frac{21}{12}$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x^4+5x^2+4}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^4+5x^2+4 = (x^2+1)(x^2+4)$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{A'}{x^2+1} + \frac{B'}{x^2+4}$.
$1 = A'(x^2+4) + B'(x^2+1)$.
$x^2 = -1$ रखने पर,$1 = A'(3) \implies A' = \frac{1}{3}$.
$x^2 = -4$ रखने पर,$1 = B'(-3) \implies B' = -\frac{1}{3}$.
अतः,$I = \int \left( \frac{1/3}{x^2+1} - \frac{1/3}{x^2+4} \right) dx$.
$I = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2+1} - \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2+2^2}$.
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1} x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{x}{2} + c$.
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1} x - \frac{1}{6} \tan^{-1} \frac{x}{2} + c$.
$A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} \frac{x}{2} + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{3}$ और $B = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{x^4+1}{x(x^2+1)^2} dx$ है।
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x(x^4+1)}{x^2(x^2+1)^2} dx$.
माना $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$,अर्थात $x dx = \frac{dt}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t(t+1)^2} dt$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{t^2+1}{t(t+1)^2} = \frac{A_1}{t} + \frac{B_1}{t+1} + \frac{C_1}{(t+1)^2}$.
$t^2+1 = A_1(t+1)^2 + B_1 t(t+1) + C_1 t$.
$t=0$ रखने पर,$1 = A_1(1)^2 \implies A_1 = 1$.
$t=-1$ रखने पर,$2 = C_1(-1) \implies C_1 = -2$.
$t^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $1 = A_1 + B_1 \implies 1 = 1 + B_1 \implies B_1 = 0$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{2}{(t+1)^2} \right) dt = \frac{1}{2} \left( \log |t| + \frac{2}{t+1} \right) + c$.
$I = \frac{1}{2} \log |x^2| + \frac{1}{x^2+1} + c = \log |x| + \frac{1}{x^2+1} + c$.
$A \log |x| + \frac{B}{1+x^2} + c$ से तुलना करने पर,हमें $A = 1$ और $B = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A-B = 1-1 = 0$.

(A) हमारे पास $I = \int \tan^4 x dx = \int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) dx$ है।
$I = \int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int \tan^2 x dx$.
$I = \int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int (\sec^2 x - 1) dx$.
$I = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + k$.
इसे $a \tan^3 x + b \tan x + c x + k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1}{3}$,$b = -1$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - b + c = \frac{1}{3} - (-1) + 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$.

(A) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का उपयोग करते हैं:
$1$. $\sin ^{-1}(-x) = -\sin ^{-1}(x)$
$2$. $\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$
$3$. $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$
$4$. $\tan ^{-1}(x)$ मानक है।
प्रत्येक पद का मूल्यांकन करने पर:
$\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}$
$\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\cot ^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \cot ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
$\tan ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{-\pi + 4\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) हमें व्यंजक $\cot ^{-1}\left(2 \cos \left(2 \operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2})\right)\right)$ दिया गया है।
सबसे पहले,$\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2})$ का मान ज्ञात करें।
चूंकि $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$,इसलिए $\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$ है।
अब,इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$2 \cos \left(2 \times \frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$।
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,इसलिए व्यंजक $2 \times 0 = 0$ हो जाता है।
अंत में,हमें $\cot ^{-1}(0)$ ज्ञात करना है।
चूंकि $\cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,इसलिए $\cot ^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $y = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,अतः $\theta = \tan^{-1} x$.
तब $y = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}\right) = \tan^{-1}(\tan(\theta/2))$.
$y = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)}$ प्राप्त होता है।

(C) हमें समीकरण $4 \sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \pi$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होती है,जिसका अर्थ है $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \sin ^{-1} x + (\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x) = \pi$
$3 \sin ^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi$
$3 \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$
दोनों पक्षों का साइन (sine) लेने पर:
$x = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $x = \cos \theta$ है। तब $\theta = \cos^{-1} x$ होगा।
व्यंजक में $x = \cos \theta$ रखने पर,हमें $\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} (\tan(\theta/2)) \right)$ बन जाता है।
चूंकि $\tan(\theta/2) = \cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$,इसलिए $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} \left( \cot \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) \right) \right)$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $y = \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) = \cos^2(\theta/2)$ है।
सर्वसमिका $\cos^2(\theta/2) = \frac{1+\cos \theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{1+x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{2} \right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।

(B) माना $x = \tan \theta$. तब $\theta = \tan^{-1} x$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{2 \tan \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\tan 2\theta}\right) = \tan^{-1}(\cot 2\theta) = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)\right) = \frac{\pi}{2} - 2\theta$.
अब,$\cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$.
इन दोनों भागों को जोड़ने पर: $(\frac{\pi}{2} - 2\theta) + 2\theta = \frac{\pi}{2}$.
अंत में,$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(C) दिया गया है कि $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)-\cot ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)=0$,जिसका अर्थ है कि $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\cot ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$.
इसका मतलब है $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$,इसलिए $x=y$.
पहले समीकरण में $x=y$ प्रतिस्थापित करने पर: $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{3}$.
$2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{3} \implies \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{6}$.
अतः,$x=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.
चूंकि $x=y$,इसलिए $y=\frac{1}{2}$.
अब,$2 x^2+y^2-x y$ का मान ज्ञात करें:
$2 \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}-\frac{1}{4} = \frac{1}{2}+0 = \frac{1}{2}$.

(C) माना $x = \tan \theta$ है। अतः $\theta = \tan^{-1} x$ है।
$x = \sqrt{3}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
व्यंजक $y = \sin^{-1}(\sin 2\theta) + \sec^{-1}(\sec 2\theta)$ बन जाता है।
$x > 1$ के लिए,$\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}) = \pi - 2\tan^{-1} x$ और $\sec^{-1}(\frac{1+x^2}{1-x^2}) = 2\tan^{-1} x - \pi$ होता है।
अतः,$y = (\pi - 2\tan^{-1} x) + (2\tan^{-1} x - \pi) = 0$ है।
चूँकि $y$ एक अचर है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 0$ होगा।

(B) माना $u = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$ है। $x = \tan \theta$ रखने पर,$u = \tan ^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)}$।
माना $v = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x \sqrt{1-x^2}}{1-2 x^2}\right)$ है। $x = \sin \phi$ रखने पर,$v = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin \phi \cos \phi}{1-2 \sin^2 \phi}\right) = \tan ^{-1}(\tan 2\phi) = 2\phi = 2 \sin ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dv}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{1}{2(1+x^2)} \times \frac{\sqrt{1-x^2}}{2} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{4(1+x^2)}$ ज्ञात करना है।
$x=0$ पर,$\frac{du}{dv} = \frac{\sqrt{1-0}}{4(1+0)} = \frac{1}{4}$।

(C) माना $\theta_1 = \sec ^{-1} 4$,तब $\sec \theta_1 = 4$ है।
सर्वसमिका $\tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan ^2(\sec ^{-1} 4) = \sec ^2(\sec ^{-1} 4) - 1 = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$ प्राप्त होता है।
माना $\theta_2 = \operatorname{cosec}^{-1} 3$,तब $\operatorname{cosec} \theta_2 = 3$ है।
सर्वसमिका $\cot ^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\cot ^2(\operatorname{cosec}^{-1} 3) = \operatorname{cosec}^2(\operatorname{cosec}^{-1} 3) - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ प्राप्त होता है।
इन मानों को जोड़ने पर,हमें $15 + 8 = 23$ प्राप्त होता है।

(A) हमें व्यंजक $\cos(2 \cos^{-1} x + \sin^{-1} x)$ दिया गया है।
हम इसे $\cos(\cos^{-1} x + (\cos^{-1} x + \sin^{-1} x))$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ ($x \in [-1, 1]$ के लिए) का उपयोग करने पर,व्यंजक $\cos(\cos^{-1} x + \frac{\pi}{2})$ हो जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $-\sin(\cos^{-1} x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin(\cos^{-1} x) = \sqrt{1 - x^2}$,इसलिए व्यंजक $-\sqrt{1 - x^2}$ में सरल हो जाता है।
$x = \frac{1}{5}$ दिया गया है,इस मान को सरल व्यंजक में रखने पर:
$-\sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दी गई असमिका $(\cos ^{-1} x)^2 - (\sin ^{-1} x)^2 > 0$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$(\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} x)(\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x) > 0$.
हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
यह मान रखने पर:
$(\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} x) \cdot \frac{\pi}{2} > 0$.
चूंकि $\frac{\pi}{2} > 0$,इसलिए दोनों पक्षों को भाग देने पर:
$\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} x > 0$
$\cos ^{-1} x > \sin ^{-1} x$.
चूंकि $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$,इसलिए:
$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x > \sin ^{-1} x$
$\frac{\pi}{2} > 2 \sin ^{-1} x$
$\sin ^{-1} x < \frac{\pi}{4}$
चूंकि $\sin \theta$ एक वर्धमान फलन है,दोनों पक्षों का $\sin$ लेने पर:
$x < \sin(\frac{\pi}{4})$
$x < \frac{1}{\sqrt{2}}$.
साथ ही,$\sin ^{-1} x$ और $\cos ^{-1} x$ का प्रांत $x \in [-1, 1]$ है।
अतः,हल $-1 \leqslant x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(B) हमें $\cos ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{9 \pi}{10}-\sin \frac{9 \pi}{10}\right)\right]$ का मुख्य मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को फिर से लिखें:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{9 \pi}{10} - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{9 \pi}{10}$
चूंकि $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हमें प्राप्त होता है:
$\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{9 \pi}{10} - \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{9 \pi}{10}$
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$\cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{9 \pi}{10}\right) = \cos \left(\frac{5 \pi + 18 \pi}{20}\right) = \cos \left(\frac{23 \pi}{20}\right)$
चूंकि $\cos \theta = \cos(2 \pi - \theta)$,इसलिए $\cos \left(\frac{23 \pi}{20}\right) = \cos \left(2 \pi - \frac{23 \pi}{20}\right) = \cos \left(\frac{17 \pi}{20}\right)$.
अतः,$\cos ^{-1}\left[\cos \frac{17 \pi}{20}\right] = \frac{17 \pi}{20}$,जो $[0, \pi]$ के परिसर में है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
माना $u = \tan ^{-1} x$. तब $\cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$.
दिया गया समीकरण $u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$ हो जाता है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5 \pi^2}{8} = 0$.
$2u^2 - \pi u - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
$8$ से गुणा करने पर: $16u^2 - 8\pi u - 3\pi^2 = 0$.
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर: $(4u - 3\pi)(4u + \pi) = 0$.
अतः,$u = \frac{3\pi}{4}$ या $u = -\frac{\pi}{4}$.
चूंकि $\tan ^{-1} x$ का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए $u = -\frac{\pi}{4}$ होगा।
इस प्रकार,$\tan ^{-1} x = -\frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
अतः,$x^2 + 1 = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

(D) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\right)$.
सर्वसमिकाओं $1+\sin x = \left(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\right)^2$ और $1-\sin x = \left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)^2$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{(\cos(x/2) + \sin(x/2))^2}{(\cos(x/2) - \sin(x/2))^2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\cos(x/2) + \sin(x/2)}{\cos(x/2) - \sin(x/2)}\right)$.
अंश और हर को $\cos(x/2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \tan(x/2)}{1 - \tan(x/2)}\right) = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)\right)$.
चूंकि $0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$,अतः $y = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y' = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} x + \cos ^{-1}\left(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$.
हम जानते हैं कि $y > 0$ के लिए $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$.
साथ ही,$\sin ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \tan ^{-1}(3)$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right) = \tan ^{-1}(3)$.
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर: $\tan ^{-1}\left(\frac{x + \frac{1}{y}}{1 - \frac{x}{y}}\right) = \tan ^{-1}(3)$.
इससे $\frac{xy + 1}{y - x} = 3$ प्राप्त होता है,जो $xy + 1 = 3y - 3x$ में सरल हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $xy + 3x - 3y = -1$.
गुणनखंड करने के लिए दोनों पक्षों में $9$ जोड़ने पर: $x(y+3) - 3(y+3) + 9 = -1 + 9$.
$(x-3)(y+3) = 8$.
चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक पूर्णांक हैं,$x \ge 1$ और $y \ge 1$. अतः,$y+3 \ge 4$.
$8$ के गुणनखंड जिनके लिए $y+3 \ge 4$ है,वे हैं:
$1) y+3 = 4 \implies y=1$. तब $x-3 = 2 \implies x=5$.
$2) y+3 = 8 \implies y=5$. तब $x-3 = 1 \implies x=4$.
अतः,$(5, 1)$ और $(4, 5)$ दो धनात्मक पूर्णांक हल हैं।
इसलिए,कुल $2$ हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण $\sin ^{-1}(4 x)+\sin ^{-1}(4 \sqrt{3} x)=-\frac{\pi}{2}$ है।
चूंकि $\sin ^{-1}(y)$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए योग $-\frac{\pi}{2}$ होने के लिए दोनों पदों का ऋणात्मक या शून्य होना आवश्यक है।
मान लीजिए $4x = \sin(\alpha)$ और $4\sqrt{3}x = \sin(\beta)$,जहाँ $\alpha, \beta \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$.
अतः $\alpha + \beta = -\frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\alpha = -\frac{\pi}{2} - \beta$.
दोनों पक्षों में साइन लेने पर: $\sin(\alpha) = \sin(-\frac{\pi}{2} - \beta) = -\cos(\beta)$.
चूंकि $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$,इसलिए $\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)}$.
मान रखने पर: $4x = -\sqrt{1 - (4\sqrt{3}x)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16x^2 = 1 - 48x^2$.
$64x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{64}$.
चूंकि योग ऋणात्मक है,इसलिए $x$ को ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $x = -\frac{1}{8}$.
$x$ का निरपेक्ष मान $|x| = \frac{1}{8}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\cot ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})-\tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$.
हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(y)$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) - \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$.
यह सरल होकर बनता है: $\frac{\pi}{2} - 2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = \frac{\pi}{2} - x$.
दोनों पक्षों का $\tan$ लेने पर: $\tan(2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) = \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x$.
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})$:
$\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{1 - \cos \alpha}$.
अर्ध-कोण सूत्र $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{\cos \alpha}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}$.
हालाँकि,मानक सर्वसमिका $2 \tan ^{-1}(y) = \cos ^{-1}(\frac{1-y^2}{1+y^2})$ का उपयोग करते हुए,$x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}) = \sin ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha})$.
अतः,$\sin x = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \tan^2 \frac{\alpha}{2}$.

(A) माना $\alpha = \cos^{-1} \frac{1}{5\sqrt{2}}$. तब $\cos \alpha = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
चूंकि $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$,इसलिए $\sin \alpha = \frac{7}{5\sqrt{2}}$.
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{7/5\sqrt{2}}{1/5\sqrt{2}} = 7$.
माना $\beta = \sin^{-1} \frac{4}{\sqrt{17}}$. तब $\sin \beta = \frac{4}{\sqrt{17}}$.
चूंकि $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \frac{16}{17} = \frac{1}{17}$,इसलिए $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{17}}$.
अतः,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{4/\sqrt{17}}{1/\sqrt{17}} = 4$.
हमें $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर,$\tan(\alpha - \beta) = \frac{7 - 4}{1 + (7)(4)} = \frac{3}{1 + 28} = \frac{3}{29}$.

(B) माना $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$. तब $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,जिसका अर्थ है $\tan \alpha = \frac{3}{4}$.
माना $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$. तब $\cos \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$,जिसका अर्थ है $\tan \beta = \frac{1}{2}$.
हमें $\tan(\alpha - 2\beta)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\tan(2\beta) = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \beta} = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ की गणना करें।
अब,सूत्र $\tan(\alpha - 2\beta) = \frac{\tan \alpha - \tan 2\beta}{1 + \tan \alpha \tan 2\beta}$ का उपयोग करें।
मान रखने पर: $\tan(\alpha - 2\beta) = \frac{3/4 - 4/3}{1 + (3/4)(4/3)} = \frac{(9-16)/12}{1 + 1} = \frac{-7/12}{2} = -\frac{7}{24}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=1$
दोनों पक्षों में $\sin ^{-1}$ लेने पर:
$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \sin ^{-1}(1)$
चूंकि $\sin ^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
हम सर्वसमिका $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ जानते हैं,जहाँ $\theta \in [-1, 1]$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$
अतः,$x = \frac{1}{5}$.

(A) माना $x = \frac{ab}{cr}$,$y = \frac{bc}{ar}$,और $z = \frac{ca}{br}$ है।
हमें दिया गया है कि $a^2+b^2+c^2=r^2$ है।
गुणनफल $xyz = \frac{ab}{cr} \times \frac{bc}{ar} \times \frac{ca}{br} = \frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2} = 1$ प्राप्त होता है।
जब $xyz = 1$ होता है,तो हम सर्वसमिका $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,दिए गए व्यंजक का मान $\frac{\pi}{2}$ है।

(D) दिया गया है कि $\tan ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$.
मान लीजिए $A = \tan ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$,$B = \tan ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)$,और $C = \tan ^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)$.
तब $A+B+C = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $A+B = \frac{\pi}{2}-C$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,हमें मिलता है $\tan(A+B) = \tan\left(\frac{\pi}{2}-C\right) = \cot(C) = \frac{1}{\tan(C)}$.
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\frac{\frac{x}{2} + \frac{y}{2}}{1 - \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{2}} = \frac{1}{z/2}$.
यह सरल होकर $\frac{(x+y)/2}{(4-xy)/4} = \frac{2}{z}$ बनता है,जो $\frac{2(x+y)}{4-xy} = \frac{2}{z}$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{x+y}{4-xy} = \frac{1}{z}$.
वज्र-गुणन करने पर $z(x+y) = 4-xy$,जिसका अर्थ है $zx + zy = 4 - xy$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $xy + yz + zx = 4$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} \frac{1}{3}+\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x = \cos ^{-1} \sqrt{1-x^2}$.
अतः,$\sin ^{-1} \frac{1}{3} = \cos ^{-1} \frac{2\sqrt{2}}{3}$ और $\sin ^{-1} \frac{3}{5} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - (\sin ^{-1} \frac{1}{3} + \sin ^{-1} \frac{3}{5})$.
माना $A = \sin ^{-1} \frac{1}{3}$ और $B = \sin ^{-1} \frac{3}{5}$.
तो $\sin A = \frac{1}{3}, \cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ और $\sin B = \frac{3}{5}, \cos B = \frac{4}{5}$.
$x = \sin(\frac{\pi}{2} - (A+B)) = \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
$x = (\frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{4}{5}) - (\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}) = \frac{8\sqrt{2}-3}{15}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}\left(x+\frac{2}{x}\right) - \tan^{-1}\left(x-\frac{2}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $A = x+\frac{2}{x}$ और $B = x-\frac{2}{x}$.
तब $A-B = (x+\frac{2}{x}) - (x-\frac{2}{x}) = \frac{4}{x}$.
और $1+AB = 1 + (x+\frac{2}{x})(x-\frac{2}{x}) = 1 + (x^2 - \frac{4}{x^2}) = x^2 - \frac{4}{x^2} + 1$.
अतः,$\tan^{-1}\left(\frac{4/x}{1 + x^2 - 4/x^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
इसका अर्थ है कि $\frac{4/x}{1 + x^2 - 4/x^2} = \frac{4}{x}$.
मान लीजिए $x \neq 0$,$4/x$ से विभाजित करने पर हमें $1 + x^2 - 4/x^2 = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 4/x^2 = 0$ हो जाता है।
इस प्रकार $x^4 = 4$,इसलिए $x^2 = 2$,जो $x = \pm \sqrt{2}$ देता है।
दोनों मान मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं। इसलिए,$2$ हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}(x+1)+\tan ^{-1}(x-1)+\tan ^{-1} x=\tan ^{-1} 3$.
सर्वसमिका $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1} \left( \frac{(x+1)+(x-1)}{1-(x+1)(x-1)} \right) + \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} 3$.
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-(x^2-1)} \right) + \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} 3$.
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x}{2-x^2} \right) + \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} 3$.
पुनः सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2x}{2-x^2} + x}{1 - \frac{2x^2}{2-x^2}} \right) = \tan ^{-1} 3$.
$\frac{2x + 2x - x^3}{2-x^2-2x^2} = 3$.
$\frac{4x-x^3}{2-3x^2} = 3$.
$4x - x^3 = 6 - 9x^2$.
$x^3 - 9x^2 - 4x + 6 = 0$.
चूंकि $x < 0$,हम देखते हैं कि $x = -1$ एक मूल है: $(-1)^3 - 9(-1)^2 - 4(-1) + 6 = -1 - 9 + 4 + 6 = 0$.
$(x+1)$ से विभाजित करने पर,$(x+1)(x^2 - 10x + 6) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x = -1$ और $x = 5 \pm \sqrt{19}$ हैं। $x < 0$ होने के कारण,हम $x = -1$ लेते हैं।
$500x^4 + 270x^2 + 997$ में $x = -1$ रखने पर:
$500(-1)^4 + 270(-1)^2 + 997 = 500 + 270 + 997 = 1767$.

(C) हम सर्वसमिका $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ का उपयोग करते हैं।
प्रत्येक पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$1. \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+x(x+1)}\right) = \tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1}(x)$
$2. \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+1)(x+2)}\right) = \tan^{-1}(x+2) - \tan^{-1}(x+1)$
$3. \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+2)(x+3)}\right) = \tan^{-1}(x+3) - \tan^{-1}(x+2)$
इनका योग करने पर,हमें $y = \tan^{-1}(x+3) - \tan^{-1}(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = \frac{1}{1+(x+3)^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
$x=0$ पर मान रखने पर:
$y'(0) = \frac{1}{1+3^2} - \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{10} - 1 = -\frac{9}{10}$.

(D) दिया गया समीकरण: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2 \operatorname{cosec} x)$ है।
सूत्र $2 \tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{2 \cos x}{1 - \cos^2 x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sin x}\right)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x}$।
यदि $\sin x \neq 0$ है,तो हम सरल कर सकते हैं:
$\frac{\cos x}{\sin x} = 1$,जिसका अर्थ है $\cot x = 1$।
अतः,$x = \frac{\pi}{4}$।

(D) हम जानते हैं कि $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$.
$x = \frac{1}{2}$ के लिए इस सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \tan ^{-1} \frac{1}{2} = \tan ^{-1} \left( \frac{2 \times (1/2)}{1 - (1/2)^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{1}{1 - 1/4} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3/4} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)$.
अब,व्यंजक $\tan ^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{8} \right)$ हो जाता है।
सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{4/3 + 3/8}{1 - (4/3)(3/8)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{(32+9)/24}{1 - 12/24} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{41/24}{12/24} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{41}{12} \right)$.