વિકલ સમીકરણ $x \frac{d^2 y}{d x^2} = 1$ નો ઉકેલ,જ્યાં $x = y = 1$ અને $x = 1$ આગળ $\frac{dy}{d x} = 0$ હોય,તે શોધો:

બેક્ટેરિયાના વૃદ્ધિનો દર હાજર સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે. જો શરૂઆતમાં $1000$ બેક્ટેરિયા હોય અને $1$ કલાકમાં સંખ્યા બમણી થાય,તો $2 \frac{1}{2}$ કલાક પછી બેક્ટેરિયાની સંખ્યા કેટલી હશે? (આપેલ છે $\sqrt{2} = 1.414$)

એક ગોળાકાર ફુગ્ગાનું કદ અચળ દરે વધે છે. જો શરૂઆતમાં તેની ત્રિજ્યા $3$ એકમ હોય અને $3$ સેકન્ડ પછી તે $6$ એકમ થાય,તો $t$ સેકન્ડ પછી ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા શોધો.

જો વિધેય $y = e^{4x} + 2e^{-x}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{\frac{d^3y}{dx^3} - 13\frac{dy}{dx}}{y} = K$ નો ઉકેલ હોય,તો $K$ ની કિંમત શોધો.

બેક્ટેરિયાના એક ચોક્કસ સંવર્ધનમાં,વધારાનો દર તે સમયે હાજર બેક્ટેરિયાની સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે. જો $3$ કલાકના અંતે $10,000$ બેક્ટેરિયા અને $5$ કલાકના અંતે $40,000$ બેક્ટેરિયા હોય,તો શરૂઆતમાં હાજર બેક્ટેરિયાની સંખ્યા શોધો.

વક્ર $C : y = y(x)$ ના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2e^{2x} - 6e^{-x} + 9}{2 + 9e^{-2x}}$ છે. જો $C$ બિંદુઓ $(0, \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}})$ અને $(\alpha, \frac{1}{2}e^{2\alpha})$ માંથી પસાર થાય,તો $e^{\alpha}$ ની કિંમત શોધો.