વિકલ સમીકરણ left(frac{y}{x}right) cos left(fr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx = \left[\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{

Vedclass · Accepted Answer

$y \sin \left(\frac{y}{x}\right) = k$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx = \left[\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] dy$. તેને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$. ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v}{\frac{1}{v} \sin v + \cos v} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v}$. તેથી $x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} - v = \frac{v^2 \cos v - v \sin v - v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} = \frac{-v \sin v}{\sin v + v \cos v}$. ચલને અલગ કરતા: $\frac{\sin v + v \cos v}{v \sin v} dv = -\frac{dx}{x}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \left( \frac{1}{v} + \cot v \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$. $\ln |v| + \ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |k|$. $\ln |v \sin v x| = \ln |k| \Rightarrow v \sin v x = k$. કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) x = k$,જેનું સાદું રૂપ $y \sin \left(\frac{y}{x}\right) = k$ થાય છે.

વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx - \left[\left(\frac{x}{y}\right) \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

નીચેનામાંથી કયા વિધેયો સમપરિમાણીય (homogeneous) છે?

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $2 y e^{\frac{x}{y}} dx + (y - 2 x e^{\frac{x}{y}}) dy = 0$ સમપરિમાણીય છે અને તેનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યાં $y = 1$ હોય ત્યારે $x = 0$ છે.

સાબિત કરો કે આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણ છે અને તેને ઉકેલો:
$y \, dx + x \log \left(\frac{y}{x}\right) dy - 2x \, dy = 0$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module