$5$ ખરા-ખોટા પ્રશ્નોના સેટ માટે,કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ બધા જ સાચા જવાબો લખ્યા નથી અને કોઈ પણ બે વિદ્યાર્થીઓએ જવાબોનો સમાન ક્રમ આપ્યો નથી. આ શક્ય બને તે માટે વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા કેટલી છે?

$INCONVENIENCE$ શબ્દના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા ઓછામાં ઓછા એક પુનરાવર્તિત અક્ષર ધરાવતા તમામ પાંચ અક્ષરોના શબ્દોની સંખ્યા (અર્થપૂર્ણ કે અર્થહીન) કેટલી છે?

એક મૂળાક્ષરના $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો આપેલા છે. આ આપેલા અક્ષરોમાંથી $4$ અક્ષરોવાળા શબ્દો બનાવવામાં આવે છે. તો એવા શબ્દોની સંખ્યા જેમાં ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય અને કોઈ પણ બે સમાન અક્ષરો સાથે ન હોય,તે છે:

એક પ્રશ્નપત્રમાં ત્રણ ભાગ $A, B, C$ છે,જેમાં ભાગ $A$ માં ચાર પ્રશ્નો,ભાગ $B$ માં પાંચ પ્રશ્નો અને ભાગ $C$ માં છ પ્રશ્નો છે. વિદ્યાર્થીએ કુલ સાત પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા બે પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. તો વિદ્યાર્થી સાત પ્રશ્નો પસંદ કરી શકે તેવા કુલ અલગ-અલગ પ્રકારોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક વર્ગખંડમાં $8$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $4$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરીને તેમને એક ટેબલની આસપાસ ગોઠવવામાં આવે છે. જો બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓને એક હરોળમાં ગોઠવવામાં આવે,તો તે $8$ વિદ્યાર્થીઓ સાથે કરી શકાય તેવી કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $p$ અને $q$ નો લ.સા.અ. $r^2t^4s^2$ હોય,જ્યાં $r, s$ અને $t$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે અને $p$ તથા $q$ ધન પૂર્ણાંકો છે,તો ક્રમયુક્ત જોડી $(p, q)$ ની સંખ્યા .... છે.