શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix}$ ના બીજા સ્તંભના ઘટકોના સહ-અવયવો (co-factors) શોધો.

જો $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ હોય અને $A_1, B_1, C_1$ એ અનુક્રમે $a_1, b_1, c_1$ ના સહ-અવયવો (co-factors) દર્શાવતા હોય,તો નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{vmatrix}$ નું મૂલ્ય શું થાય?

જો $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,જ્યાં $A_{21}, A_{22}, A_{23}$ એ અનુક્રમે $a_{21}, a_{22}, a_{23}$ ના સહઅવયવો (cofactors) હોય,તો $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ ની કિંમત શોધો.

ત્રીજા સ્તંભના ઘટકોના સહ-અવયવોનો ઉપયોગ કરીને,$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

નીચે આપેલા નિશ્ચાયકના ઘટકોના ઉપનિશ્ચાયક (Minors) અને સહઅવયવ (Cofactors) લખો: $\left|\begin{array}{rr}2 & -4 \\ 0 & 3\end{array}\right|$

ધારો કે $\alpha \beta \neq 0$ અને $A = \begin{bmatrix} \beta & \alpha & 3 \\ \alpha & \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha & 2\alpha \end{bmatrix}$. જો $B = \begin{bmatrix} 3\alpha & -9 & 3\alpha \\ -\alpha & 7 & -2\alpha \\ -2\alpha & 5 & -2\beta \end{bmatrix}$ એ $A$ ના ઘટકોના સહઅવયવ શ્રેણિક હોય,તો $\operatorname{det}(AB)$ ની કિંમત શોધો.