વિકલ સમીકરણ (x+y) dy + (x-y) dx = 0 નો x=1, y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$. તેને $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left|\frac{x^2+y^2}{2}ight|=\frac{\pi}{2}-2 	an ^{-1}\left(\frac{y}{x}ight)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$. તેને $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. કિંમતો મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1}$. $x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1} - v = -\frac{1+v^2}{1+v}$. ચલનું પૃથક્કરણ કરતા: $\int \frac{1+v}{1+v^2} dv = -\int \frac{dx}{x}$. $	an^{-1}(v) + \frac{1}{2} \log(1+v^2) = -\log|x| + C$. $v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(1+\frac{y^2}{x^2}) = -\log|x| + C$. સામાન્યીકરણ કરતા: $	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = C$. $x=1, y=1$ માટે: $	an^{-1}(1) + \frac{1}{2} \log(2) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$. તેથી,$	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$. $\frac{1}{2} \log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{4} - 	an^{-1}(\frac{y}{x})$. બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(\frac{y}{x})$.

વિકલ સમીકરણ $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$ નો $x=1, y=1$ આગળનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શું છે? (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.)

વિકલ સમીકરણ $(x^2+y^2) dx - 5xy dy = 0$,$y(1)=0$ નો ઉકેલ શોધો :

વિકલ સમીકરણ $x + y\frac{dy}{dx} = 2y$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ એ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ (homogeneous differential equation) હોય,તો $f(x, y)$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module