જો ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ $(\sqrt{2}, 4/3)$ હોય,અને જીવાની લંબાઈ $\frac{2 \sqrt{\alpha}}{3}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો :

ધારો કે $A$ એ ઉપવલય $S \equiv \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-1=0$ નું શિરોબિંદુ છે અને $F$ એ ઉપવલય $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1=0$ ની નાભિ છે. ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $S^{\prime}=0$ ની મુખ્ય અક્ષ પરનું બિંદુ છે,જે $\overline{OF}$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે ($O$ એ ઉગમબિંદુ છે). જો ઉપવલય $S=0$ ની $A$ અને $P$ માંથી પસાર થતી જીવાની લંબાઈ $\frac{3\sqrt{101}}{k}$ હોય,તો $k=$

જો ઉપવલય (ellipse) ના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર તેના ગૌણ અક્ષ (minor axis) જેટલું હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર એ ઉપવલય $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ ના કેન્દ્ર પર છે. ધારો કે $C$ એ $E$ ના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ માંથી પસાર થાય છે જેથી વર્તુળ $C$ અને ઉપવલય $E$ ચાર બિંદુઓમાં છેદે છે. ધારો કે $P$ એ આ ચાર બિંદુઓમાંથી એક છે. જો ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $30$ હોય અને $E$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $17$ હોય,તો $E$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

જો $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલય $16 x^2+25 y^2=400$ ના નાભિઓ હોય અને $P$ તેના પરનું કોઈ બિંદુ હોય,તો ગુણાકાર $P F_1 \cdot P F_2$ ની કિંમત કયા અંતરાલમાં હશે?

ઉપવલય $4x^{2} + 9y^{2} = 36$ માટે નાભિના યામ,શિરોબિંદુઓ,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ,ગૌણ અક્ષની લંબાઈ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.