સમીકરણ $\left(x^2-9 x+11\right)^2-(x-4)(x-5)=3$ ના બધા જ સંમેય બીજનો ગુણાકાર _____ છે.

જો $\alpha $ અને $\beta $ એ દ્રીઘાત સમીકરણ ${x^2}\,\sin \,\theta  - x\,\left( {\sin \,\theta \cos \,\,\theta  + 1} \right) + \cos \,\theta  = 0\,\left( {0 < \theta  < {{45}^o}} \right)$ ના ઉકેલો હોય અને $\alpha  < \beta $ તો $\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\left( {{\alpha ^n} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{\beta ^n}}}} \right)} $ = ......

સમીકરણ $x^2 + 4y^2 + 3z^2 - 2x - 12y - 6z + 14$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય કેટલું થાય ?

ધારોકે દ્રીધાત સમીકરણો $x^2-12 x+[x]+31=0$ અને $x^2-5|x+2|-4=0$ ના વાસ્તવિક બીજોની સંખ્યા અનુક્રમે $m$ અને $n$ છે, જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાક $\leq x$ દર્શાવે છે.તો $m^2+m n+n^2=.......$

જો $a$ અને $b$ એ સમીકરણ $x^2-7 x-1=0$ નાં બીજ હોય, તો $\frac{a^{21}+b^{21}+a^{17}+b^{17}}{a^{19}+b^{19}}$ નું મૂલ્ય $......$ છે.

ધારોકે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3+b x+c=0$ ના ત્રણ બીજ છે. જો $\beta \gamma=1=-\alpha$ હોય, તો $b^3+2 c^3-3 \alpha^3-6 \beta^3-8 \gamma^3=..............$