ધારો કે E_1: frac{x^2}{9}+frac{y^2}{4}=1 એક ઉ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ માટે,અર્ધ-ગુરુ અક્ષ $a_1 = 3$ અને અર્ધ-લઘુ અક્ષ $b_1 = 2$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b_1^2

Vedclass · Accepted Answer

$54$

Vedclass · Answer

(A) $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ માટે,અર્ધ-ગુરુ અક્ષ $a_1 = 3$ અને અર્ધ-લઘુ અક્ષ $b_1 = 2$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b_1^2}{a_1^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.બધા ઉપવલયો $E_i$ સમાન ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ધરાવતા હોવાથી,$e^2 = 1 - \frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{5}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{4}{9}$,અથવા $b_i = \frac{2}{3}a_i$.પ્રશ્ન મુજબ $E_i$ ની લઘુ અક્ષની લંબાઈ $(2b_i)$ એ $E_{i+1}$ ની ગુરુ અક્ષની લંબાઈ $(2a_{i+1})$ છે,તેથી $2b_i = 2a_{i+1}$,જેનો અર્થ છે કે $a_{i+1} = b_i$.$b_i = \frac{2}{3}a_i$ મૂકતા,આપણને $a_{i+1} = \frac{2}{3}a_i$ મળે છે. આ અર્ધ-ગુરુ અક્ષો માટે સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{3}$ સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A_i = \pi a_i b_i = \pi a_i (\frac{2}{3}a_i) = \frac{2\pi}{3} a_i^2$ છે.$a_i$ એ $\frac{2}{3}$ ગુણોત્તર સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી હોવાથી,$a_i^2$ એ $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$ ગુણોત્તર સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.આમ,$A_i$ એ પ્રથમ પદ $A_1 = \pi(3)(2) = 6\pi$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R = \frac{4}{9}$ સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.અનંત શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{A_1}{1 - R} = \frac{6\pi}{1 - 4/9} = \frac{6\pi}{5/9} = \frac{54\pi}{5}$ છે.તેથી,$\frac{5}{\pi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{5}{\pi} 	imes \frac{54\pi}{5} = 54$.

Similar Questions

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી છે?

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 + 8x + 36y + 4 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

જેના નાભિ $(0, \pm 1)$ હોય અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $\sqrt{5}$ હોય તેવું ઉપવલય કયું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module