ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $2 \cos x \frac{d y}{d x}=\sin 2 x-4 y \sin x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. જો $y\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ હોય,તો $y^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

બધા $x > 0$ માટે,ધારો કે $y_1(x), y_2(x)$,અને $y_3(x)$ એવા વિધેયો છે જે $\frac{dy_1}{dx} - (\sin x)^2 y_1 = 0, y_1(1) = 5$; $\frac{dy_2}{dx} - (\cos x)^2 y_2 = 0, y_2(1) = \frac{1}{3}$; અને $\frac{dy_3}{dx} - \left(\frac{2-x^3}{x^3}\right) y_3 = 0, y_3(1) = \frac{3}{5e}$ નું સમાધાન કરે છે. તો $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{y_1(x) y_2(x) y_3(x) + 2x}{e^{3x} \sin x}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(1 + xy^2(1 + \log_e x))$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(1) = 3$. તો $\frac{y^2(x)}{9}$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $y$ એ વિકલ સમીકરણ $(1-x^{2}) dy = (xy + (x^{3}+2) \sqrt{1-x^{2}}) dx$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $-1 < x < 1$ અને $y(0)=0$ છે. જો $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-x^{2}} y(x) dx = k$ હોય,તો $k^{-1}$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 2y \tan 2x = e^x \sec 2x$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$,$(x \ge 1)$ નો ઉકેલ છે. તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો: $[y(1) = 0]$