यदि $\left(\frac{4 x}{5}-\frac{5}{2 x}\right)^{2022}$ के द्विपद प्रसार में अंत से $1011$ वाँ पद, आरंभ से $1011$ वें पद का $1024$ गुना है, तो $|\mathrm{x}|$ बराबर है -

माना कि $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Z \}, T_1=\left\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in N \right\}$, और $T_2=\left\{(1+\sqrt{2})^n: n \in N \right\}$ हैं। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$

$(B)$ $T_1 \cap\left(0, \frac{1}{2024}\right)=\phi$, जहां $\phi$ रिक्त समुच्चय (empty set) को दर्शाता है।

$(C)$ $T_2 \cap(2024, \infty) \neq \phi$

$(D)$ किन्हीं दिये गए $a, b \in Z$ के लिए, $\cos (\pi(a+b \sqrt{2}))+i \sin (\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ यदि और केवल यदि (if and only if) $b=0$, जहां $i=\sqrt{-1}$ है।

$(1+x)\left(1-x^2\right)\left(1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)^5, x \neq 0 $ के प्रसार में $\mathrm{x}^3$ तथा $\mathrm{x}^{-13}$ के गुणांकों का योग है...................

$\lambda$ का धनात्मक मान, जिसके लिये व्यंजक $x ^{2}\left(\sqrt{ x }+\frac{\lambda}{ x ^{2}}\right)^{10}$ में $x ^{2}$ का गुणांक $720$ है, होगा

माना कि $m$ ऐसा न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक (smallest positive integer) है कि $(1+x)^2+(1+x)^3+\cdots+(1+x)^{49}+(1+m x)^{50}$ के विस्तार में $x^2$ का गुणांक $(3 n+1)^{51} C_3$ किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए है। तब $n$ का मान है

$(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+$ $\cdots \cdots+x^{1000}$ के द्विपद प्रसार में $x^{50}$ का गुणाँक है