यदि क्षेत्र {(x, y): |x^2-2| leq y leq x} का | vedclass

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Question

(C) क्षेत्र $|x^2-2| \leq y \leq x$ द्वारा परिभाषित है। सबसे पहले,$y = x^2-2$ और $y = x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^2-x-2 = 0 \implies (x-2)(

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$27$

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(C) क्षेत्र $|x^2-2| \leq y \leq x$ द्वारा परिभाषित है। सबसे पहले,$y = x^2-2$ और $y = x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^2-x-2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$,अतः $x=2$ या $x=-1$. साथ ही,$y = |x^2-2|$,$y=x$ को तब काटता है जब $x^2-2 = x$ ($x^2 \geq 2$ के लिए,अर्थात $x \geq \sqrt{2}$) या $2-x^2 = x$ ($x^2 $x^2 0$ होने के कारण)। $x^2 \geq 2$ के लिए,$x^2-x-2=0 \implies x=2$. क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है: $A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (x - (2-x^2)) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (x - (x^2-2)) dx$ $A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (x^2+x-2) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (-x^2+x+2) dx$ $A = [\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x]_{1}^{\sqrt{2}} + [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x]_{\sqrt{2}}^{2}$ $A = ((\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 - 2\sqrt{2}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2)) + ((-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (-\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 + 2\sqrt{2}))$ $A = (\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - 1 + \frac{5}{6}) + (\frac{10}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - 1)$ $A = (-\frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{6}) + (\frac{7}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) = \frac{13}{6} - \frac{8\sqrt{2}}{3}$ अतः $6A = 13 - 16\sqrt{2}$. इसलिए,$6A + 16\sqrt{2} = 13 + 14 = 27$.

यदि क्षेत्र $\{(x, y): |x^2-2| \leq y \leq x\}$ का क्षेत्रफल $A$ है,तो $6A + 16\sqrt{2}$ का मान $...........$ है।

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