मान लीजिए कि बिंदु A(4, 3, 1) से समतल P: x - | vedclass

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Question

(C) बिंदु $A(4, 3, 1)$ से समतल $x - y + 2z + 3 = 0$ पर लंब $AN$ की लंबाई $AN = \frac{|4 - 3 + 2(1) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{6

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$7$

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(C) बिंदु $A(4, 3, 1)$ से समतल $x - y + 2z + 3 = 0$ पर लंब $AN$ की लंबाई $AN = \frac{|4 - 3 + 2(1) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ है।$N$ के निर्देशांक $\frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-1}{2} = -\frac{4-3+2+3}{6} = -1$ द्वारा प्राप्त होते हैं। अतः,$x=3, y=4, z=-1$,यानी $N(3, 4, -1)$ है।चूंकि बिंदु $B(5, \alpha, \beta)$ समतल $x - y + 2z + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $5 - \alpha + 2\beta + 3 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = 2\beta + 8$.$\Delta ABN$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes AN 	imes BN = 3\sqrt{2}$. $AN = \sqrt{6}$ रखने पर,$\frac{1}{2} 	imes \sqrt{6} 	imes BN = 3\sqrt{2}$,अतः $BN = 2\sqrt{3}$ है।$BN^2 = (5-3)^2 + (\alpha-4)^2 + (\beta+1)^2 = 4 + (2\beta+4)^2 + (\beta+1)^2 = 12$.$4 + 4\beta^2 + 16\beta + 16 + \beta^2 + 2\beta + 1 = 12 \implies 5\beta^2 + 18\beta + 9 = 0$.गुणनखंड करने पर $(5\beta + 3)(\beta + 3) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $\beta \in \mathbb{Z}$,इसलिए $\beta = -3$. तब $\alpha = 2(-3) + 8 = 2$.अंत में,$\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta = (2)^2 + (-3)^2 + (2)(-3) = 4 + 9 - 6 = 7$.

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